10. Karbist, milles on 3 rohelist, 2 punast ja 4 sinist pliiatsit, võetakse juhuslikult 3 pliiatsit. Leia tõenäosus, et kõik kolm on erinevat värvi. 11. Kaardipakist, milles on 52 kaarti, võetakse juhuslikult üks kaart. Loeme sündmuseks A punase kaardi tuleku, B soldati tuleku, C piltkaardi tuleku, D ruutumastist kaardi tuleku. Arvutage järgmiste sündmuste tõenäosused: 1) A + B; 2) C + D; 3)A + C; 4)A + D; 5)B + D. 12. Kotis on 15 õuna, neist 5 on magusad ja 10 hapud. Kui tõenäone on, et võttes kotist pimesi 3 õuna, saame vähemalt ühe magusa õuna? 13. Viie ühesuguse paari kingad on kastis segamini. Kõik sama suurusnumbriga. Kui tõenäone on, et sealt pimesi 2 kinga võttes saame paari? 14. Leida tõenäosus, et kahe täringuga veeretades tuleb esimese täringu silmade arv kaks korda väiksem kui teisel täringul. 15. Perekonnas on 5 last, neist 3 on tüdrukud ja 2 on poisid
sõltumatud sündmused kui katset korratakse mitu korda, siis ühe sündmuse toimumine ei mõjuta teise sündmuse toimumist sõltuvad sündmused ühe sündmuse toimumisest sõltub teise sündmuse toimumine Näit. 1) täringut visatakse järjest kolm korda A esimesel viskel saadakse 5 silma B teisel viskel saadakse 5 silma C kolmandal viskel saadakse 3 silma Sündmused A, B, C on sõltumatud sündmused, sest katsetingimused on igal katsel samasugused. 2) korvis on 3 valget ja 4 musta kuulikest; korvist võetakse järjest 2 kuuli, neid tagasi panemata A esimesena saadakse valge kuulike B teisena saadakse must kuulike Sündmuse B toimumine sõltub sündmuse A toimumisest või mittetoimumisest. Kui esimesena saadud kuulike on valge, siis enne teise katse toimumist on korvis alles 2 valget ja 4 musta kuulikest. Kui esimesena valget kuulikest ei saada (saadakse must), siis on enne teist katset korvis 3 valget ja 3 musta kuulikest. Seega sündmuse B
Kombinatoorika valemeid ja mõisteid · Variatsioonideks n erinevast elemendist k kaupa nimetame ühendeid, mis sisaldavad k elementi antud n elemendist ning erinevad kas elementide või nende järjestuse poolest. Erinevaid variatsioone on A =n(n-1) ...(n-k+1)=n!/(n-k)! · Permutatsioonideks n elemendilisest hulgast nimetame ühendeid, mis sisaldavad kõiki n elementi (üks kord) ja erinevad järjestuse poolest. Erinevaid permutatsioone on Pn=n (n-1) ...1 = n! · Kombinatsioonideks n elemendist k kaupa nimetame ühendeid, mis sisaldavad k elementi (antud n elemendi hulgast) ja erinevad vähemalt ühe elemendi poolest. n! · Erinevaid kombinatsioone on C =A /Pk C nk = ( n - k )!k! Tõenäosusteooria · Sündmuste hulka, kus alati üks sündmus toimub ja see välistab teiste toimumise nimetame sündmuste täissüst
23.05.1998 a matemaatika riigieksam Lehe haldamist toetavad Topauto ja meelespea.net Põhivariant 1. rida 1998 aasta matemaatika riigieksami ülesannete lahendused 8 - x 12 x +2 1. (5p) Lihtsustage avaldist ning näidake, et selle väärtus ei sõltu x väärtusest. 6 2- x 18 x 21-x Lahendus: Valemid, mida lihtsustamisel kasutati: 1 a n ; ( ab ) = a n bn ; ( a n ) = a n m n m a - n = n ; a m+ n = a m a Vastus: Avaldise väärtus ei sõltu x väärtusest, lihtsustatud avaldises x puudub. Vastus on 2. 2. (10p) Ühistu maast 80% on põldude all ja 51 ha on metsa. Mitte põllumaast 15% on hei
Tõenäosus Kombinatoorika kasutamine tõenäosuse arvutamisel Liitmise reegel – kui mingi elemendi A võib valida r erineval viisil, elemendi B aga s erineval viisil (mis ei sõltu elemendi A valimisviisist), siis elemendi “kas A või B” saab valida r + s erineval viisil. Näide 1. Kui kooli sööklas on võimalik valida soolastest toitudest kahe erineva supi ja kolme erineva prae vahel, siis kokku on soolase toidu valimiseks 2 + 3 = 5 võimalust. Korrutamise reegel – kui elemendi A saab valida r erineval viisil ning elemendi B saab valida s erineval viisil (sõltumata elemendi A valikust), siis elementide paari “A ja B” saab valida r . s erineval viisil. Näide 2. Kui kooli söökla menüüs on 4 erinevat praadi ja 2 erinevat magustoitu, siis prae ja magustoidu valikuks on 4 . 2 = 8 erinevat võimalust. Permutatsioonid – ühendid, mis erinevad üksteisest ainult elementide järjestuse poolest.
8 4 2 Tõenäosus, et teisest urnist võtame musta kuuli (sündmus B) on p(B) = = . 10 5 Kuna sündmused on sõltumatud (teisest urnist võetud kuuli värvus ei sõltu sellest, mis värvi kuul võeti esimesest urnist), siis tõenäosus, et mõlemad kuulid on mustad, on 5 2 1 p(A · B) = p(A) · p(B) = · = . 8 5 4 Suurema arvu sõltumatute sündmuste korral: p(A1 · A2 · A3 · ... ·An) = p(A1) · p(A2) · p(A3) · ... · p(An). · Sündmust B nimetatakse sõltuvaks sündmusest A, kui sündmuse B tõenäosus sõltub sellest; kas sündmus A toimus või ei.
TÕENÄOSUS SÜNDMUSED Tõenäosusteooria uurib esinevate juhuslike nähtuste seaduspärasusi Meie käsitluse aluseks on katse. Katse seisneb teatud tingimuste realiseeerumises ning selle käigus jälgitakse sündmuste toimumisi. Sündmus võib olla kindel, võimatu või juhuslik. Kindel sündmus (tähistatakse K) sündmus, mis teatud tingimuste korral alati toimub. Kindlateks sündmusteks on kooliaasta algus 1. septembril, igahommikune päikesetõus, vesi on ämbris vedelas olekus kui temperatuur on 10 kraadi. . Võimatu sündmus (tähistatakse V) sündmus, mis antud vaatluse või katse korral kunagi ei toimu. Võimatuteks sündmusteks on näiteks täringul üheaegselt 6 ja 4 silma heitmine; vesi ei saa tahkes olekus olla, kui temperatuur on +10 kraadi. Kindla sündmuse vastandsündmus on võimatu sündmus. Juhuslik sündmus sündmus, mis antud vaatluse või katse korral võib toimuda, aga võib ka mitte toimuda. Juhuslikeks sünd
toodet. Milline on tõenäosus, et viie juhuslikult võetud toote hulgas on kõik esimese sordi tooted? Vastus: 1/42 5. Viieliikmelisse uurimisrühma kandideerib 12 inimest, neist 4 on naised. Milline on tõenäosus, et loosimisel satub selle koosseisu 2 naist? Vastus: 14/33 6. Õpperühmas on 4 tütarlast ja 16 noormeest. Eksamile ilmujate järjekord koostatakse juhuslikult. Leida tõenäosus, et a) kolm esimest järjekorras on noormehed; b) vähemalt üks kolmest esimesest on tütarlaps. Vastus: a) 28/57; b) 29/57 7. Kauplusse saabusid ühetüübilised elektripirnid, mis olid valmistatud neljas tehases: esimeses 250 pirni, teises 525, kolmandas 275 ja neljandas 950. Tõenäosus, et pirn põleb üle 1500 tunni, on esimeses 0,15, teises 0,30, kolmandas0,20 ja neljandas 0,10. Milline on tõenäosus, et juhuslikult ostetud pirn põleb üle 1500 tunni? Vastus: 0,1725 8. Turismigrupis on 3 võõrkeeleoskajat ja 2 mitteoskajat. Teises grupis on vastavad arvud 4 ja 4
4 2. ÜLESANNE (5 punkti) Ülesannete tekstid I Urnis on 10 kollast ja 6 rohelist kuuli. Leidke tõenäosus, et urnist 1) juhuslikult võetud kuul on roheline; 2) juhuslikult korraga võetud kaks kuuli on mõlemad rohelised. II Karbis on 9 valget ja 7 musta palli. Leidke tõenäosus, et karbist 1) juhuslikult võetud pall on valge; 2) juhuslikult korraga võetud kaks palli on mõlemad valged. III Esimeses urnis on 5 punast ja 3 sinist kuuli, teises 4 punast ja 3 sinist kuuli. Leidke tõenäosus, et 1) esimesest urnist juhuslikult võetud kuul on sinine; 2) võttes kummastki urnist juhuslikult ühe kuuli, on mõlemad kuulid sinised. Vastused 3 1 9 3 3 9
Klassikaline või geomeetriline tõenäosus μ(ΩA)=(2,25-2*0,5)=1,25 k V =k! Ck P(A)=1,25/2,25=5/9 Variatsioonid: n n Liitmislause, korrutamislause, tinglik 1) Karbis on 10 pooljuhti, neist 7 hiljuti testitut. Karbist tõenäosus, sõltumatud sündmused, võetakse huupi 5 pooljuhti. Leidke tõenäosus, et sõltumatute katsete seeria nende hulgas on täpselt 3 hiljuti testitut. Liitmislause: P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2) Lahendus: A=“3 pooljuhti 5-st on testitud“ P((A1+A2)+A3)= P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)-
MATEMAATIKA ARVESTUS 1. Kombinatoorika põhiprintsiibid-liitmis ja korrutamisprintsiip. Liitmisprintsiip- ,,kas üks või teine" . kui mingit objekti A on võimalik valida n erineval viisil ja objekti B m erineval viisil ning valida tuleb kas objekt A või objekt B, siis kõigi erinevate võimalike valikute arv on n + m. Korrutamisprintsiip- ,, nii üks kui ka teine" kui mingit objekti A on võimalik valida n erineval viisil ja objekti B m erineval viisil ning valida tuleb nii objekt A kui ka objekt B, siis kõigi võimalike erinevate valikute arv on n · m. 2. Permutatsiooni permutatsioonideks n erinevast elemendist nimetatakse nende elementide kõikvõimalikke erinevaid järjestusi. Pn = n! 3. Variatsioonid Variatsioonideks n elemendist k-kaupa (k n) nimetatakse nelemendilise hulga kõigi k-elemendiliste osahulkade elementide erinevaid järjestusi. Vnk = n!/(n-k)! k 0! = 1 Variatsioonides on oluline liikmete järjestus erinevalt kombinatsioonidest. Variatsioone on 2x ro
Sündmused. Kindel A = {1, 3, 5} ja sündmus B = {1, 2, 3}, perekonnas on sündmus (tähistatakse K) - sündmus, siis A B = AB = {1, 3}.Sündmusi, mis teatud tingimuste korral alati mille korrutiseks on võimatu toimub.Kindlateks sündmusteks on sündmus, nimetatakse üksteist kooliaasta algus 1. septembril, välistavateks.Kui A = igahommikune päikesetõus, vesi on {1, 3, 5} ja B = {2, 4, 6}, siis AB ämbris vedelas olekus kui temperatuur = , siis öeldakse on 10 kraadi. Võimatu sündmused A ja B on sündmus (tähistatakse V) - sündmus, teineteist välistavad. mis antud vaatluse või katse korral Näide7. Olgu täringu kunagi ei toimu. viskel sündmus A = {1, 3, 5} Võimatuteks sündmusteks on näiteks ja sündmus B = {1, 2, 3}, siis AB = tär
p (C ) = 3 Leida p( A B) = p (C B) = p( A B C ) = 2. Tõenäosus, et juhuslikult välja valitud apelsin on riknenud, on 0,1. Mandariini korral on vastav tõenäosus 0,2. Kui suur on tõenäosus, et valides ühe apelsini ja ühe mandariini, riknenud puuvilju ei saada? 3. Väikeses poekeses on 2 naist ja 1 mees. Iga naine ostab poest tõenäosusega 0,8. Mehe puhul on vastav tõenäosus 0,1. Kui suur on tõenäosus, et vähemalt üks ostjatest sooritab ostu? 4. a) Ühes karbis on 2 valget ja 4 musta kuulikest, teises karbis aga 4 valget ja 3 musta kuulikest. Valitakse üks karpidest ning võetakse sealt üks kuul. Kui suur on tõenäosus, et saadakse valge kuul? b) Võetud kuul pannakse karpi tagasi, karpides olevad kuulid kallatakse kokku suurde kasti ning võetakse üks kuul. Kui suur on nüüd tõenäosus, et saadakse valge kuul? 5. Korvpallur tabab vabaviske tõenäosusega 0,75. Kui tal on 3 vabaviset, kui suur on
23.05.1998 a matemaatika riigieksam Lehe haldamist toetavad Topauto ja meelespea.net Põhivariant 2. rida 1998 aasta matemaatika riigieksami ülesannete lahendused 7 y -1 - 4 x -1 1. (5p) Leidke avaldise väärtus, kui x : y = 3 : 4. 3y -1 - x -1 Lahendus: 7 ( 4( x y 7x - 4y - -1 7 y - 4x -1 y = (x x = xy = ( 7 x - 4 y ) xy = 7 x - 4 y
Liitmisreegel- üks kahest kombinatoorika põhipostulaadist. Ta ütleb, et kui ühte objekti saab valida m erinval viisi ja teist objekti saab valida n erinval viisil, kusjuures esimese ja teise objekti valikud on teineteist välistavad, siis kas esimese või teise objekti valmiseks leidub täpselt m + n erinevat võimaust. Korrutamisreegel- teine kombinatoorika põhipostulaat. Ta väidab, et kui ühte objekti saab valida m erineval viisil ja teist objekti saab valida n erineval esimesest valikust sõltumatul viisil, siis nii esimese kui ka teise objekti valimiseks on täpselt m*n erinvat võimalust kokku. [6]. Kordustega permutatsioonid. Multinoomkordajad. Kordustega permutatsioonid on sellised n-permutatsioonid, kus mingit hulga elementi a esineb n korda, kusjuures n > 1. (Tähistame ) Anagrammid: *Nagu ka L.Lovasz'i õpikus näidatud oli, leiavad kordustega permutatsioonid sageli rakendust näiteks juhul, kui meil on vaja arvutada mingi sõna anagrammide arv.
0,04; 0,03; 0,06; 0,02. Tsehhidest saabus detaile järgmistes kogustes: 30, 20, 30 ja 25 tükki. Kui tõenäone on, et juhuslikult võttes saadakse praakdetail? (0,066) 12. Viiest urnist 2 sisaldavad kumbki 4 valget ja 3 musta kuuli, üks - 3 valget ja 4 musta ning kaks urni kumbki 5 valget ja 2 musta kuuli, ühest urnist võetakse üks kuul. Kui tõenäone on, et kuul osutub valgeks? (0,6) 13. Lähteandmed on 12 näites. Võetud kuul osutus valgeks. Kui tõenäone on, et ta pärineb esimesest urnide gru- pist? (0,381) 14. Aparaate monteeritakse kõrgema või I sordi detailidest. Keskmiselt 40 % aparaatidest monteeritakse kõrgema sordi detailidest. Kõrgema sordi detailidest aparaadil on tõenäosus tõrgeteta töötamiseks aasta jooksul 0,95. esimese sordi detailidest monteeritud aparaatidel - 0,7. Aparaat läbis katsetused tõrgeteta. Kui tõenäone on, et aparaat koosnes kõrgema sordi detailidest? (0,475) 15. Garaazis seisab 3 autot
Vastus: 17297280 b) Martinil on taskus viis viiekroonist ja neli kümnekroonist rahatähte. Kui suur on tõenäosus, et kahe kupüüri juhuslikul võtmisel on mõlemad viiekroonised? Vastus: 20/72 c) Tõenäosus leida pliiats kirjutuslaua esimesest sahtlist on 0,5, teisest sahtlist 0,7 ja kolmandast 0,4. Kui suur on tõenäosus , et pliiats on olemas a) täpselt ühes sahtlis b) vähemalt ühes sahtlis c) mitte üheski sahtlis Vastus: a)0,36 b)0,91 c)0,09 d) Lapsel on 3 kaarti, millele on kirjutatud kolm tähte I ; S ; A. Kui suur on tõenäosus, et kaarte juhuslikult üksteise
Sissejuhatus - Test 1 1. Järjesta skaalad informatiivsuse järgi, alustades kõige vähem informatiivsemast a. kõige vähem informatiivsem nimiskaala b. suurema informatiivsusega järjestusskaala c. kõige informatiivsem intervallskaala 2. Uuringufirma viib Eesti elanikkonna hulgas läbi tööjõu-uuringut. Vali õiged terminid, mis tähistavad toodud mõisteid. a. Eesti elanik objekt b. Uuringu teostamiseks kasutatakse intervjuusid mõõtmismeetod c. Tallinna elanikud osakogum d. need isikud, keda küsitletakse valim e. Intervjuul esitatavate küsimuste komplekt mõõtmisvahend f. Eesti elanikkond üldkogum g. inimese vanus tunnus h. need inimesed, kelle sissetulek on väiksem kui 5000 kr osakogum i. inimese sissetulek tunnus 3. Milliste vaatlustega on tegemist? a. küsimustiku
mitu korda on ta eelmisest suurem. Ruutkeskmine – rakenduslik tähtsus on suur dispersioonanalüüsis, korrelatsioonikordajate leidmisel ja muudes statistliste protseduurides. 6. Mediaan – korrastatud statistilise rea keskliige, millest mõlemale poole jääb võrdne arv liikmeid. Ühele poole jäävad on väiksemad ja teisele poole jäävad suuremad. Kvartiilid –Jagavad stat rea neljaks osaks, millel igas on võrdne arv liikmeid. Esimene kvartiil on mediaan rea esimesest poolest, teine kv. on mediaan, kolmas mediaan rea teisest poolest. Detsiilid jaotavad stat rea kümneks osaks (D1..D9).Tsentiilid jaotavad stat rea 100 võrdse liikmete arvuga osaks(T1..T99) 7. Mood – kõige sagedamini korduv tunnuse väärtus. Seda kasutatakse siis, kui soovitakse kogumit iseloomustada temas kõige sagedamini esineva nähtuse alusel. Mood on kõige tüüpilisem väärtus. Pideva tunnuse korral tuleb andmed rühmitada intervallidesse ja saadud
36 pa 0.036 kõik võimalused 1000 valiku teel eksamiruumi. Leida tõenäosus selleks, et sisenejate hulgas on 4 naisüliõpilast. 13860 Pa= 0.075018 äringul tuleb 5 silma? ineteisest erinevad) ja valib need juhuslikult. Kui tõenäone on, et ta valib õiged numbrid? ja 3 defektiga detaili. Esimesest kastist pannakse üks juhuslikult võetud detail teise kasti. Leida tõenäosus, et seejärel teise gi ühe lasu ja tabati kahte palli. 6 ja Antsul 0,6. Leida tõenäosus, et möödalaskja oli Ants. (Kasutage Bayesi valemit) enäosus, et seejärel teisest kastist juhuslikult võetud detail on standardne.
1. Tõenäosuse mõiste - Sündmuse (klassikaliseks) tõenäosuseks nimetame temas sisalduvate (ehk soodsate) elementaarsündmuste arvu ja kõigi elementaarsündmuste arvu suhet. kindel sündmus, võimatu, juhuslik. Vastandsündmus, selle tõenäosus. - Sündmuse A vastandsündmuseks nimetame sündmust, mis toimub parajasti siis, kui sündmus A ei toimu. 2. Sündmuste summa - Sündmuste A ja B summa on sündmus, mis toimub kui toimub vähemalt üks sündmustest A või B. korrutis - Sündmuste A ja B korrutis on sündmus, mis toimub parajasti siis, kui toimuvad sündmused A ja B. (samaaegselt) vahe - Sündmuste A ja B vahe on sündmus, mis toimub parajasti siis, kui sündmus A toimub aga sündmus B ei toimu. AB 3. Sõltumatud sündmused. - Sündmused on sõltumatud kui: P(A|B)=P(A), ehk sündmuse A tõenäosus ei sõltu sündmuse B toimumisest või mittetoimumisest: Välistavad sündmused - Sündmus
RAKENDUSSTATISTIKA Kontrollküsimused 12.2005 1. Tõenäosus ja tõenäosuse põhilised omadused. Tingimuslik tõenäosus. Bayes'i valem 0 P(A) 1; P(AB) = P(A) + P(B), AB= või U. Tingimuslik tõenäosus tõenäosus sündmusele A kui toimus sündmus B - P(A/B) = P(AB) / P(B) 2. Sündmus ja vastandsündmus. Sõltuvad ja mittesõltuvad sündmused. Sündmuste väli P(A/B) = P(A), P(AB) = P(A)P(B) 3. Sündmuste algebralised operatsioonid. Sündmuste summa ja korrutis. C = F D> C =F D> F> 4. Juhuslik suurus X = X(e) 5. Jaotusseadus ja selle esitamine. Jaotusfunktsioon F(x) ja tema põhiomadused. Väärtus x ja tema tõenäosus p. F(x) juhuslikule suurusele X on tõenäosus, et X võtab väärtuse vähem kui antud arvul x. F(x) = P(Xx). P(x´ X x´´) = F(x´´) - F(x´); 0 F(x) 1; F(x1) F(x2) 6. Tõenäosuse tihedusfunktsioon f(x) ja tema põhiomadused. f(x) = lim P(xXx+x) / x;
2 c) an= n 2n 1 2 Vastused. a) 5 b) 0 c) 4 d) -0,5 11. Tõenäosusteooria 1. Lapsel on 3 kaarti, millele on kirjutatud kolm tähte I ; S ; A. Kui suur on tõenäosus, et kaarte juhuslikult üksteise kõrvale seades saab ta a) sõna ISA b) tähendusega sõna Vastus. a) 1/6 b) 2/3 2. Kotis on 15 õuna, neist 5 magusad ja 10 hapud. Kui tõenäone on, et võttes kotist pimesi 3 õuna, saame vähemalt ühe magusa õuna Vastus 67/91 3. Kvaliteetse detaili tegemise tõenäosus esimesel tööpingil on 0,7 ja teisel 0,8. Esimesel tehakse 2 detaili ja teisel 3 detaili. Kui suur on tõenäosus, et kõik 5 on kvaliteetsed? Vastus ~ 0,25 4. Täringut heidetakse 2 korda
Piirkondadeks jaotamiseks tuleb leida väärtused, mille puhul ühe absoluutväärtuse väärtus on 0. Antud võrrandis x1 = 2 x2 = 0 x3 = -1 Seejärel tuleb arvtelg jagada antud juhul neljaks piirkonnaks: ]-;-1], ]-1;0], ] 0;2] ja ]2;]. Piirkonnas lahendatakse lineaarvõrrand. Märke muudetakse järgmiselt: valitakse piirkonnast suvaline väärtus (näiteks esimesest piirkonnast -5) ning pannakse x asemele. Kui absoluutväärtuse väärtus on negatiivne, muudetakse märgid. Juhul, kui väärtus on positiivne, märke ei muudeta. Antud juhul: Piirkond: ]-;-1] Võrrand: -x+2-x=2-x-1 -> x=1 (EI SOBI PIIRKONDA) Piirkond: ]-1;0] Võrrand: -x+2-x=2+x+1 -> x1=-1/3 Piirkond: ]0;2] Võrrand: -x+2+x=2+x+1 -> x=-1 (EI SOBI P.K)
1. Arvud, mis väljendavad risttahuka mõõtmeid moodustavad geomeetrilise jada. Risttahuka põhja pindala on 108 m² ja täispindala 888 m². Leia risttahuka mõõtmed. 2. Urnis on 5 musta, 7 kollast ja 4 punast palli. Leia tõenäosus, et juhuslikult võetud kolme palli hulgas on. 1) vähemalt 2 kollast palli; 2) Kõik erinevat värvi pallid; 3) kõik ühtevärvi pallid. 3. Leia kõik reaalarvude paarid (x;y), mis rahuldavad võrrandit 2 x +1 = 4 y 2 +1 ja võrratust 2 x 2 y . 4. Kahe positiivse arvu vahe moodustab 1/19 nende kuupide vahest, nend4e korrutis on aga ½ võrra väiksem nende ruutude poolsummast. Leia need arvud. 5. Lahenda võrrand 3sin 9 + 3 = 3 vahemikus (-2; 2). 6. Võrdkülgsesse kolmnurka küljega a on kujundatud teine võrdkülgne kolmnurk, mille tipud asuvad esimese kolmnurga külgedel jaotades need suhtes 1:2. Leia väiksema kolmnurga pindala. 7. Koonusekujulise veiniklaasi kõrgus on h
s12 s22 + n1 n2 Andmetöötlus sotsiaalteadustes 19 kus x1 , x 2 on vastavalt tunnuse keskmised valimites, s1 ja s2 on vastavalt tunnuse standardhälbed valimites ning n1 ja n2 on vastavalt valimite mahud. Kui ühes või mõlemas grupis on alla 30 vastanu, siis eelmisest valemist ei piisa, kindlasti peame kontrollima järgmisi eeltingimusi: 1. Kas tunnuse väärtused väikeses valimis alluvad normaaljaotusele kui see tingimus ei ole täidetud, ei tohi t-testi teha. 2. Kas tunnuse dispersioonid valimites on võrdsed või mitte see ei mõjuta t-testi lubatust, vaid kontrollimiseks kasutatav metoodika muutub.
1 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK I Joonistel on kuue funktsiooni graafikud. Tee kindlaks, missuguste funktsioonidega on tegemist. 1 2 3 © Allar Veelmaa 2014 2 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK II © Allar Veelmaa 2014 3 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium REAALARVUDE PIIRKONNAD Kuna erinevates õpikutes kasutatakse reaalarvude piirkondade märkimiseks erinevaid tähistusi, siis oleks kasulik teada mõlemat varianti. Nimetus Tingimus Esimene
MATEMAATIKA RIIGIEKSAM 2010 Eksami eesmärk Matemaatika riigieksami peamisteks eesmärkideks on: · teada saada, kui struktureeritud ja korrastatud on gümnaasiumilõpetaja matemaatikaalased teadmised; · selgitada välja, kui hästi suudab õpilane õpitut rakendada (näiteks lahendada mitterutiinseid ülesandeid); · teada saada, milline on gümnaasiumilõpetajate matemaatikaalane ettevalmistus õpingute jätkamiseks järgmisel haridusastmel. Eksami vorm Matemaatika riigieksami põhieksam on kahes variandis ja lisaeksam on ühes variandis. Matemaatika riigieksam (ja ka lisaeksam) on kaheosaline kirjalik eksam 1. osa kestus on 120 minutit ja 2. osa kestus on 150 minutit. Kahe eksamiosa vahel on 45 minutiline vaheaeg. Käesoleva õppeaasta matemaatika riigieksam toimub 4. mail 2010.a, algusega kell 10.00. Eksaminandidele, kes mõjuvatel põhjustel põhieksamil osaleda ei saa, korraldatakse lisaeksam 17. mail 2010.a, alg
Statistika teooria I 1. Kirjeldava statistika põhimõisted: aritmeetiline keskmine, mediaan, kvartiilid, mood, dispersioon, standardhälve, haare. Esitada definitsioonid ja osata antud andmeväärtuste puhul neid mõisteid rakendada N x + x 2 + ... + x N xi Aritmeetiline keskmine: µ = 1 = i =1 N N N-üldkogumi maht Aritmeetilise keskmise erijuht on kaalutud keskmine: N N N µ = 1 µ1 + 2 µ 2 + ... + m µ m N N N µ1, µ2,..., µm on m-rühma keskmised N1 N 2 N , ,..., m on nn kaalud N N N Mediaan: Kui N on paaritu, siis on mediaan järjestatud statistilise rea (variatsioonirea) keskmine liige; kui N on paarisarv, si
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK - alfa - nüü - beeta - ksii - gamma - omikron - delta - pii - epsilon - roo - dzeeta - sigma - eeta - tau - teeta - üpsilon - ioota - fii - kapa - hii - lambda - psii - müü - oomega
EESTI MAAÜLIKOOL VETERINAARMEDITSIINI JA LOOMAKASVATUSE INSTITUUT LOOMAGENEETIKA JA TÕUARETUSE OSAKOND ARETUSÕPETUS I OSA (POPULATSIOONIGENEETIKA) LOENGUKONSPEKT G P Koostaja: dots. E. Orgmets TARTU 2008 1 KORDAMISKÜSIMUSED 1. Populatsioonigeneetika. (populatsiooni mõiste, panmiksis, biotsönoos, populatsiooni evolutsioonitegurid, suletud ja avatud populatsioon, populatsioonimaht, valimi mõiste). 2. Juhuslikkus ja tõenäosus. Tõenäosuste korrutamise seadus. 3. Genotüübi sagedus ja selle arvutamine. 4. Geeni- ehk alleelisagedus ja selle arvutamine. Geenisageduse arvutamine alleeliseeria korral. 5. Hardy-Weinbergi seadus (definitsioon, tingimused, valem p2+2pq+q2=1). POPULATSIOONI GENEETILINE DÜNAAMIKA 6. Mutatsioon (otse- ja pöördmutatsioonid, nende esinemissagedus, mutatsioonirõhk).
Mootor Mootoriks nimetatakse masinat, milles muundatakse mingi energia mehhaaniliseks energiaks. Traktorimootorites toimub kütuse põlemisel tekkiva soojusenergia muundamine mehhaaniliseks energiaks ja edasi generaatoris, mille käitab mootor, elektrienergiaks. Kuna kütuse põlemine toimub mootori silindris, siis nimetatakse seda mootorit veel sisepõlemismootoriks. Sisepõlemismootoreid liigitatakse küttesegu süütamise viisi järgi: Diiselmootor survesüüde Ottomootor sädesüüde Töötsükli osade arvu järgi:
1. Aine, alajaotused (allpool) , areng. Ökoloogia - teadus, mis uurib elusa ja eluta looduse omavahelist suhet, ei keskendu ühele objektile, vaatleb tervikut. E. Haeckel 1869 ökoloogia on teadus organismide ja kk suhetest. E. Odum teadus looduse struktuurist ja funktsoonist. 2. Ökoloogia põhimõisted. Ökoloogia valdkonnad: 1) Organelli tase 2) Raku tase (ainurakse puhul isend) 3) Koe tase 4) Organi tase 5) Isendi tase autökoloogia, uurib abiootilisi kk faktoreid. 6) Populatsiooni tase demökoloogia e. populatsiooni ökoloogia. 7) Koosluse tase kooslusökoloogia e. sünökoloogia, uurib mitmeliigilisi pop. süsteeme. 8) Ökosüsteem süsteemökoloogia, uurib energia- ja aineringeid teatud valdkondades. 9) Biosfäär kuna ei ole absoluutselt kinnist ökosüsteemi, käib süsteemökoloogia ka siia alla. Kogu maa elustik globaalökoloogia. Ökofüsioloogia hõlmab tasemeid organellist kuni organini ning osaliselt ka isendeid; uurib nende kohanemisreaktsi
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
