ümber paigutad, siis muutub teise rea (veeru) liitmine; determinandi märk 1_. vasatupidiseks. 3' maatriksi kahe rea (veeru) Skalaarkorrutis Kahe vektori 3. omadus. ümberpaigutamine. skalaarkorrutiseks nimetatake Determinandi mingi rea kõigi Elementaarteisendused ei m uuda arvu, mis on võrdne nende elementide korrutamise ühe ja sama m maatriksi astakut. vektorite pikkuste jar teguriga korrutub Pöördmaatriks, selle leidmine. vektoritevaheliseu nurga kogud determinant selle sama teguriga. koosinuse korrutisega. See omadus võimaldab determinandi Pöördmaatriks on vaid
nulliga või kui süsteemi tundmatute arv on suurem neid siduvate sõltumatute võrrandite arvust. Põhimõtteliselt on Gaussi meetod liitmisvõtte edasiarendus. Gaussi meetodi puhul kirjutatakse välja süsteemi laiendatud maatriks, mis koosneb süsteemi kordajatest ja vabaliikmetest. (A/B) Kasutades maatriksi elementaarteisendusi, teisendatakse antud maatriks kujule: (E/C), kus C on antus süsteemi lahendimaatriks. Maatriksi elementaarteisendused on järgmised: Maatriksi ridade vahetamine. Maatriksi rea elementide korrutamine 0-ist erineva arvuga. Maatriksi rea elementidele mistahes arvkordsete teise rea vastavate elementide liitmine. 8) Pöördmaatriks. Maatriksvõrrand. 9) Funktsiooni piirväärtus. Ühepoolsed piirväärtused. 10) Funktsiooni pidevus ja katkevus. Esineb esimest ja teist liiki katkevusi kui on tegu mingi arvuga siis on esimest järku, kui lõpmatusega siis teist järku.
väärtus võrdub peadiangonaali elementide korrutisega e pealiikmega 10) Det väärtus võrdub nulliga siis ja ainult siis, kui tema ridada/veergude hulk on lineaarselt sõltuv (üks avaldub teiste kaudu kasut lineaarseid tehteid) Maatriksi astak DEF 1: suurimat nat arvu k, mille korral maatriksil A leidub 0 erinev k-järku miinor nim selle maatriksi A astakuks ja märgitakse üles sümboliga rank(A) Maatriksi elementaarteisendused · M mistahes rida võib korrutada mistahes 0 erineva arvuga · M mistahes reale/veerule võib liita/lahutada mistahes arvuga korrutatud rida/veergu · 2 suvalist rida/veergu võib omavahel ära vahetada DEF 2: m A mk0 kõrgeimat järku nim rank(A)=mk KRONEKER-CAPELLI TEOREEM: LVS on lahenduv siis ja ainult siis, kui võrrandite süst maatriksi ja laiendatud maatriksi astakud on võrdsed CRAMERI peajuhtum m= n ja D 0 Xn = Dn / D
0 1 K 0 Em = = diag ( 1; 1; ... ; 1) Rm× m . M M O M 0 0 K 1 9. Transponeeritud maatriks. Sümmeetriline maatriks. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Def. 1. Maatriksi A = ( aij ) Rm× n transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit AT = ( b ji ) Rn× m , mille veeruvektoriteks on parajasti maatriksi A reavektorid (maatriksi A read on paigutatud maatriksi AT veergudeks), s.t. b ji = aij iga i ja j võimaliku väärtuse korral. Def. 3. Ruutmaatriksit A nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks, kui AT = A .
0 0 ... 0 0 ... 0 8 MÄRKUS. Kolmnurkne maatriks on trapetskujulise erijuhtumiks k = m =n. TEHTEID MAATRIKSITEGA 1) MAATRIKSI TRANSPONEERIMINE. Operatsiooni, mille käigus maatriksi Am×n = || ai j || read ja veerud vahetavad oma osa, nimetatakse maatriksi TRANSPONEERIMISEKS. Tulemuseks saadakse maatriks Bn×m = || aj i || = (Am×n)T , millel on n rida ja m veergu. 2) MAATRIKSI ELEMENTAARTEISENDUSED. Operatsiooni, mille puhul maatriksi ühele reale (või veerule) liidetakse elementhaaval nullist erineva arvuga korrutatud teine rida (veerg), nimetatakse maatriksi ELEMENTAARTEISENDUSEKS. LAUSE. Maatriksi kahe rea (veeru) koha ümbervahetamine on teostatav järjestikuste elementaarteisenduste abil, korrutades viimaks ühe rea (veeru) teguriga -1. Tõestada! 3) MAATRIKSITE LIITMINE. Liita saab ainult samade parameetritega maatrikseid
0 0 ... 0 0 ... 0 8 MÄRKUS. Kolmnurkne maatriks on trapetskujulise erijuhtumiks k = m =n. TEHTEID MAATRIKSITEGA 1) MAATRIKSI TRANSPONEERIMINE. Operatsiooni, mille käigus maatriksi Am×n = || ai j || read ja veerud vahetavad oma osa, nimetatakse maatriksi TRANSPONEERIMISEKS. Tulemuseks saadakse maatriks Bn×m = || aj i || = (Am×n)T , millel on n rida ja m veergu. 2) MAATRIKSI ELEMENTAARTEISENDUSED. Operatsiooni, mille puhul maatriksi ühele reale (või veerule) liidetakse elementhaaval nullist erineva arvuga korrutatud teine rida (veerg), nimetatakse maatriksi ELEMENTAARTEISENDUSEKS. LAUSE. Maatriksi kahe rea (veeru) koha ümbervahetamine on teostatav järjestikuste elementaarteisenduste abil, korrutades viimaks ühe rea (veeru) teguriga -1. Tõestada! 3) MAATRIKSITE LIITMINE. Liita saab ainult samade parameetritega maatrikseid
maatriksite korrutamine on assotsiatiivne, s.t. A (BC)= (AB) C alati, kui vaadeldavad maatriksid on korrutatavad; 3. liitmine ja korrutamine on seotud distributiivsusega, s.t. A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC BC alati, kui antud tehted on teostatavad; 4. kui eksisteerib maatriksite korrutis AB, siis a(AB)=(aA)B=A(aB) iga a korral. m-ndat järku ühikmaatriksiks nimetatakse m-ndat järku ruutmaatriksit. 9. Transponeeritud maatriks. Sümmeetriline maatriks. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Maatriksi A = (aij ) R m×n transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit AT = (bij ) R n×m , mille veeruvektoriteks on parajasti maatriksi A, s.t. b ji = aij iga i ja j võimaliku väärtuse korral. Ruutmaatriksit A nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks, kui AT = A . Maatriksi A ridade elementaarteisenduseks nimetatakse üleminekut maatriksilt A maatriksile B järgmise kahe võimaliku reegli abil: 1. maatriksi A mingile reavektorile
Baasimiinorid ei ole üheselt määratud. Maatriksi read ja veerud, mis määravad baasimiinori on vektoritena lineaarselt sõltumatud. Et leida maatriksi astakut teisendatakse maatriksit nii, et ta kõrgemat järku nullist erinev miinor tuleks maatriksi ülemisse vasakusse nurka. Teisenduseks kasutame elemntaarteisendusi. * maatriksi rea korrutamine nullist erineva teguriga; * maatriksi ühele reale k-kordse teise rea liitmine; * maatriksi ridade ümberpaigutamine. Elementaarteisendused ei muuda maatriksi astakut. Nende abil teisendatakse maatriksid nii, et kõik maatriksi elemendid ühel pool peadiogonaali võrduksid nulliga. Maatriksit AT=(aki) nim maatriksi A=(aik) transponeeritud maatriksiks. See on saadud maatriksi A ridade ja veergude ümbervahetamisel. Olgu Aik maatriksi elemendi aik alamdeterminant. Leiame maatriksi (Aik) ja transponeerime selle maatriksi. Sellist maatriksit nim adjengeeritud maatriksiks. Pöördmaatriksiks nim maatriksit 3
= (a1; ...; an)B; = (b1; ...; bn)B; c K + = (a11 + ... + ann) + (b11 + ... + bnn) = (a1 + b1)1 + ... + (an + bn)n = (a1+b1; ...; an+bn)B c = c(a11 + ... + ann) = (ca1)1 + ... + (can)n = (ca1; ...; can)B n-mõõtmeline vektorruum V üle korpuse K on isomorfne n-mõõtmelise aritmeetilise ruumiga Kn. V <-> Kn; <-> (a1; ...; an)B = A; <-> (b1; ...; bn)B; + <-> A + B; c <-> cA 20. Miinori defnitsioon. Maatriksi astaku defnitsioon. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Astaku leidmine. Valime maatriksist A välja k rida reanumbritega i1, i2, ..., ik (i1 < i2 < ... < ik) ja k veergu veerunumbritega j1, j2, ..., jk (j1 < j2 < ... < jk). k <= m,n. Moodustame väljavalitud k rea ja veeru ühistest elementidest k-ndat järku determinandi. Saadud determinanti nimetatakse maatriksi A k-ndat järku miinoriks. Maatriksi A astakuks nimetatakse tema kõrgeimat järku nullist erineva miinori järku; tähis: r(A) = rank(A)
6. Pöördmaatriksi mõiste. Pöördmaatriksi olemasolu tingimus, leidmise eeskiri. Pöördmaatriksi môiste kui maatriksi A korral leidub selline maatriks B, et AB=BA=E, siis maatriks B on A pöördmaatriks ja täh B = A-1. Pöördmaatriksi olemasolu tingimus A on ruutmaatriks ja maatriksi A determinant ei vôrdu nulliga. Pöördmaatriksi leidmise eeskiri: A-1=(1/|A|)*(Aik)T. 7. Lineaarse võrrandisüsteemi mõiste, normaalkuju, laiendatud maatriks. Lubatavad elementaarteisendused lineaarse võrrandisüsteemi laiendatud maatriksiga. Võimalike lahendite arv. Lineaarse võrrandisüsteemi üld- ja erilahend. Lineaarne vôrrandisüsteem Olgu antud n muutujat, x1, x2, x3,...,xn ja arvud a1, a2, a3, ..., an, saame muutujate suhtes lineaarse vôrrandi a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b, kui meil on m lineaarset vôrrandit samade muutujate suhtes, saame lineaarse vôrrandisüsteemi. Lineaarse vôrrandsüsteemi normaalkuju (a kordaja, x muutuja, b vabaliige):
A+B=B+A, (A+B)+C=A+(B+C), A+==A, vastand maatriks B , nii et A+B=B+A=, (a+b)A=aA+bA, a(A+B)=aA+aB, (ab)B=A*(bB), 1A=A 7. Maatriksite korrutamine ja transponeerimine. Maatriksite ja korrutise leidmiseks esitatakse vastavalt reavektorite ja veeruvektorite kujul ( A= ja )korrutise leidmiseks kasutatakse skalaarkorrutist. Transponeerimine m=i A=aij (A read on veergudes) transp-d maatriks on =bij . bij= aij iga i ja j korral Reeglid , , 8. Elementaarteisendused maatriksi ridadega ja veergudega.ühik maatriksi leidmine maatriksi elementaarteisenduste abil. Kasutatakse üleminekul maatriksi A B le,teisendades ridu ja veergu kindlate reeglite abil. Maatriksi ridade elementaarteisendamieks nim. Üleminekut maatriksilt A maatriksile B kahe reegli abil- 1) maatriksi A mingile reavektorile liidetakse arvu C kordne teine reavektor , CR , C 2) maatriksi A mingit reavektorit korrutatakse mingi arvuga C ,
nullist erinev. pöördmaatriksi leidmine: 1) veenduda, et antud maatriks on ruutmaatriks ja selle determinant et võrdu nulliga. detA = -45 2) leida kõikide elemendite alamdeterminandid ja esialgsed elemendid nendega asendada 3) transponeerida saadud maatriks ja korrutada see läbi 1/detA 7. Lineaarse võrrandisüsteemi mõiste, normaalkuju, laiendatud maatriks. Lubatavad elementaarteisendused lineaarse võrrandisüsteemi laiendatud maatriksiga. Võimalike lahendite arv. Lineaarse võrrandisüsteemi üld- ja erilahend. Lineaarseks võrrandisüsteemiks n tundmatu x1,x2,...,xn suhtes nimetatakse lõplikust arvust lineaarsetest võrranditest koosnevat süsteemi: homogeenne süsteem kõik vabaliikmed on nullid laiendatud maatriksiks nimetatakse maatriksit, mis tekib süsteemi maatriksi A täiendamisel vabaliikmete veerumaatriksiga B, st maatriksit: (A B) =
Laiendatud maatriks Lisatud on ka vabaliikmed. (viimane veerg) 7 LVS-i üldlahend Reaalarve x1 = α1, x2 = α2, . . . , xn = αn nimetatakse lineaarvõrrandisösteemi lahendiks, kui nende arvude asendamisel tema võrranditesse tundamatute asemel saame samasused. LVS-i erilahend Kui avaldame juhtelemendid vabade tundmatutega ja asendame vabad tundatud mingite arvudega, siis saame erilahendid. LVS-i elementaarteisendused Lineaarvõrrandisüsteemi elementaarteisendusteks nimetatakse 1. tema mistahes võrrandi korrutamist nullist erineva reaalarvuga 2. tema mingile võrrandile teise mistahes reaalarvuga läbikorrutatud võrrandi liitmist 3. süsteemi kaks võrrandit omavahel vahetamist. Lahenduv LVS Võrrandisüsteemi nimetatakse kooskõlaliseks, kui tal leidub vähemalt üks lahend. Vastuoluline LVS Lineaarvõrrandisüsteemi nimetatakse vastuoluliseks, kui tal ei ole lahendeid.
2 AB T = 2 = 2 = - 3 0 -1 - 2 - 3 3 + 0 ( -1) - 3 (-4) + 0 (-2) 1 - 8 2 - 16 = 2 = . - 9 12 - 18 24 - 5 2 2 - 16 - 7 18 - = . A 2AB = 2 T - 3 - 6 - 18 24 15 - 30 1.3. Maatriksite elementaarteisendused Maatriksite elementaarteisendusteks kuuluvad: 8. maatriksi kahe rea ümberpaigutamine; 9. suvalise maatriksirea korrumanine arvuga (mis ei ole võrdne nulliga); 10. suvalise maatriksi reale liitmine selle maatriksi teine rida korrutatud arvuga Kaks maatriksit A ja B on ekvivalentsed, kui üks neist on saadud teise maatriksi elementaarteisendustega ja kirjutatakse: A ~ B .
1 2 3 - 4 1 3 + 2 (-1) 1 (-4) + 2 ( -2) 2 AB T = 2 = 2 = - 3 0 -1 - 2 - 3 3 + 0 (-1) - 3 ( -4) + 0 (-2) 1 - 8 2 - 16 = 2 = . - 9 12 - 18 24 - 5 2 2 -16 - 7 18 A2 2ABT= - = . - 3 - 6 -18 24 15 - 30 1.3. Maatriksite elementaarteisendused Maatriksite elementaarteisendusteks kuuluvad: 1. maatriksi kahe rea ümberpaigutamine; 2. suvalise maatriksirea korrumanine arvuga (mis ei ole võrdne nulliga); 3. suvalise maatriksi reale liitmine selle maatriksi teine rida korrutatud arvuga Kaks maatriksit A ja B on ekvivalentsed, kui üks neist on saadud teise maatriksi elementaarteisendustega ja kirjutatakse: A ~ B .
Def. Kui Maatriksis leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor (maatriksi ühistest ridadest ja veergudest moodustatud determinant), kuid mitte ühtegi nullist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis on maatriksi astak r. Seega m x n-maatriksile r m, n. Maatriksi astaku leidmiseks teisendatakse maatriksit elementaarteisendustega (mis ei muuda maatriksi astakut) nii, et tema nullist erinev kõrgemat järku miinor tuleb maatriksi ülemisse vasakpoolsesse nurka. Maatriksi elementaarteisendused (ei muuda maatriksi astet): 1. maatriksi rea (veeru) korrutamine nullist erineva arvuga, 2. maatriksi reale (veerule) mingi arvu kordse teise rea (veeru) liitmine, 3. maatriksi kahe rea (veeru) ümbervahetamine. Nt: [1,3,5,4; [1,3,5,4; [1,3,5,4; |1 3 | = -7 0 2,-1,3,1; ~2I 0,-7,-7,-7; 0,-7,-7,-7; r=2 |0 -7| 8,3,19,11] ~8I 0,-21,-21,-21] ~3II 0,0,0,0] Pöördmaatriks, selle leidmine. Näide.
kus on ühikmaatriks 6. Lihtsamad maatriksvõrrandid. A*X=B lahendus: X = A-1*B või X*A=B lahendus: : X = B*A-1 7. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. Lahend teostab Gaussi või Crameri meetodi abil, näiteks: 8. Süsteemi lahendamine Crameri valemitega. 9. Maatriksi miinor. Maatriksi astak. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Maatriksi rea juhtelement. Kronecker-Capelli teoreem Miinor - Mij nimetatakse determinandi , mille saame maatriksi A determinandist i-nda rea ja j-inda veeru eemaldamisel Igale nullmaatriksist erinevale maatriksile pannakse vastavusse sellega üheselt määratud naturaalarv maatriksi astak. Leiame maatriksi astakut maatriksi elementaarteisenduste abil. Maatriksi astak ei muutu, kui maatriksile rakendada järgmisi teisendusi
.. LVS erilahend Fikseeritud reaalarvude komplekti x1 = 1, x2 = 2, . . . , xn = n nimetatakse lineaarvõrrandisüsteemi (1) lahendiks ehk erilahendiks, kui nende arvude asendamisel süsteemi (1) võrranditesse tundmatute asemele same samasused. Lahenduv LVS Lineaarvõrrandisüsteemi (1) nimetatakse lahenduvaks, kui tal leidub vähemalt üks lahend Vastuoluline LVS - Lineaarvõrrandisüsteemi (1) nimetatakse vastuoluliseks ehk vasturääkivaks, kui süsteemil (1) ei ole lahendeid. Elementaarteisendused: nim. 1) tema mistahes võrrandi korrutamist nullist erineva reaalarvuga 2) tema mingile võrrandile teise mistahes arvuga läbikorrutatud võrrandi liitmist Gaussi meetodi kirjeldus - Gaussi meetodi puhul kirjutatakse välja süsteemi laiendatud maatriks, mis koosneb süsteemi kordajatest ja vabaliikmetest.(A/B) Kasutades maatriksi elementaarteisendusi, teisendatakse antud maatriks kujule:(E/ ). Maatriksi elementaarteisendused on järgmised:
Eesmärgiks on saada selline lvs, kust lahend oleks kohe välja loetav. Uus lvs saadakse tundmatute järk-järgulise süstemaatilise elimineerimise teel. Selleks kasutatakse kolme liiki teisendusi, mida nim lvs elementaarteisendusteks: 1)süsteemi mistahes võrrandit korrutada nullist erineva arvuga 2)vahetada süsteemi kaks võrrandit omavahel 3)süsteemi mistahes võrrandile liita juurde mingi arv kordne teine võrrand samast süsteemist. Teo.51. lvsi elementaarteisendused ei muda lvsi lahendihulka. Märkus: Võrrsüs laiendatud maatriksi väljakirjutamisel peavad igas võrrandis esinema tundmatud samas järjekorras ja vabaliikmed peavad olema paremal. Igale võrrandile lvsis vastab süsteemi laiendatud maatriksi üks kindel rida. Teostades ülalkirjeldatud teisendusi lvsi võrranditega, saame ka uuele süsteemile välaj kirjutada laiendatud maatriksi. Seejuures on ilmsed vastavused: kui korrutame süsteemi mingit võrrandit
Pöördmaatriksi olemasolu tingimus, leidmise eeskiri. Ruutmaatriksi A pöördmaatriksiks nim sellist maatriksit A -1, mille korral AA-1 = A-1A = E. Täh A-1. Igal ruutmaatriksil ei ole pöördmaatriksit. Ruutmaatriksil A leidub pöördmaatriks A-1 siis kui selle determinant on nullist erinev. Transponeeritakse alamdeterminante. Nt: detA = -45 7. Lineaarse võrrandisüsteemi mõiste, normaalkuju, laiendatud maatriks. Lubatavad elementaarteisendused lineaarse võrrandisüsteemi laiendatud maatriksiga. Võimalike lahendite arv. Lineaarse võrrandisüsteemi üld- ja erilahend. Lineaarseks võrrandisüsteemiks n tundmatu x1,x2,...,xn suhtes nim lõplikust arvust lineaarsetest võrranditest koosnevat süsteemi: Laiendatud maatriks: · Kahe rea asukoha vahetamine · Rea korrutamine mis tahes nullist erineva arvuga
60.laiendatud maatriks- maatriks A a11 a12 … a1 n a1 A= a21 a22 … . a2 n a2 am 1 am 2 … amn an 61.LVS-i üldlahend – Kõigi lahendite komplekt x 1=α 1 ; x 1=α 1 Kus α1 sisaldab kõiki x 1 lahendeid 62.LVS- erilahend – ühe konkreetse lahendi komplekti x 1=γ 1 ; x i=γ i kus γ i ∈ R 63.Elementaarteisendused – Ühe võrrandi läbi korrutamine mistahes nullist erineva reaalarvuga Ühele võrrandile mistahes reaalarvuga läbikorrutatud teise võrrandi liitmine 64.Lahenduv LVS- LVS-il leidub vähemalt üks lahend 65.vastuoluline LVS – LVS-il puuduvad lahendid 66.Gaussi meetod – LVS-i üldlahendi leidmine. Jättes võimalikult paljude tundmatute jaoks ühe võrrandi, kus tundmatu kordaja on nullist erinev ja avaldades lõpuks üldlahend. 67
2 -4 1 1 3 4 3 -5 1 D3 = = -12, 9 -3 - 12 X1 = - 6 = -1,5; X2 = - 6 = 0,5; X3 = - 6 = 2. 3. Gaussi meetod: Gaussi meetodi puhul kirjutatakse välja süsteemi laiendatud maatriks, mis koosneb süsteemi kordajatest ja vabaliikmetest. (A/B) Kasutades maatriksi elementaarteisendusi, teisendatakse antud maatriks kujule: (E/ ). Maatriksi elementaarteisendused on järgmised: · Maatriksi ridade vahetamine. · Maatriksi rea elementide korrutamine 0-ist erineva arvuga. · Maatriksi rea elementidele mistahes arvkordsete teise rea vastavate elementide liitmine. Elementaarteisenduste tulemusena saadakse üksteisega sarnased maatriksid, mis vastavad omavahel ekvivalentsetele võrrandisüsteemidele. Ekvivalentsetel võrrandisüsteemidel on ühesugused lahendid. Gaussi meetodi algoritm:
= 0,5; X3 = -6 = 2. 3. Gaussi meetod: Gaussi meetodi puhul kirjutatakse välja süsteemi laiendatud maatriks, mis koosneb süsteemi kordajatest ja vabaliikmetest. (A/B) Kasutades maatriksi elementaarteisendusi, teisendatakse antud maatriks kujule: (E/ ). Maatriksi elementaarteisendused on järgmised: · Maatriksi ridade vahetamine. · Maatriksi rea elementide korrutamine 0-ist erineva arvuga. · Maatriksi rea elementidele mistahes arvkordsete teise rea vastavate elementide liitmine. Elementaarteisenduste tulemusena saadakse üksteisega sarnased maatriksid, mis vastavad omavahel ekvivalentsetele võrrandisüsteemidele. Ekvivalentsetel võrrandisüsteemidel on ühesugused lahendid. Gaussi meetodi algoritm:
Determinantide teooria põhivalem. 6. Regulaarse maatriksi mõiste. Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri. Pöördmaatriksi omadused. 7. Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Vasturääkiv, kooskõlaline, määratu süsteem. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. 8. Süsteemi lahendamine Crameri valemitega. Maatriksi minor. Maatriksi astak. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Maatriksi rea juhtelement, treppmaatriks. Treppmaatriksi astak. Kronecker-Capelli teoreem 9. Gaussi meetodi sisu. 10. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kompleksarvu reaalosa ja imaginaarosa, kompleksarvude võrdsus, kaaskompleksarv. Kompleksarvude liitmise, korrutamise ja jagamise valemid. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvu geomeetriline tõlgendus, Kaaskompleksarvude ja kompleksarvude summa geomeetriline tõlgendus
8 IV. Lineaarv~ orrandisu ¨ steemid 7.2 Ekvivalentsi omadusi 1) Refleksiivsus: iga LVS on ekvivalentne iseendaga, s.t LV S LV S. 2) S¨ummeetria: kui LV S(1) LV S(2), siis LV S(2) LV S(1). 3) Transitiivsus: kui LV S(1) LV S(2) ja LV S(2) LV S(3), siis LV S(1) LV S(3). 7.3 LVS-i elementaarteisendused LVS-i esimest liiki elementaarteisenduseks nimetatakse LVS-i mis tahes v~orrandi l¨abikorrutamist nullist erineva arvuga. LVS-i teist liiki elementaarteisenduseks nimetatakse LVS-i min- gile v~orrandile sama s¨ usteemi m~one teise arvkordse v~ orrandi liit- mist. LVS-i elementaarteisenduseks nimetatakse ka LVS-i v~ orrandite j¨ arjestuse muutmist. See elementaarteisendus ei ole aga s~ oltuma- tu, vaid on realiseeritav esimest ja teist liiki elementaarteisenduste
Seega peab kehtima võrdus C · B -1 · A-1 = I ehk C -1 = B -1 · A-1 . Viimast oligi vaja näidata. Kui maatriksil A leidub pöördmaatriks, siis saab selle leida Gauss'i- Jordan'i meetodiga, teisendades maatriksi A ühikmaatriksiks I ja ühik- maatriksi pöördmaatriksiks A-1 . (A I) (I A-1 ). Ridade elementaarteisendused. Definitsioon 2.4 Maatriksi A ridade elementaarteisendusteks nimetatakse ülemi- nekut maatriksilt A maatriksile B järgmiste reeglite abil: 1. Maatriksi kahte rida võib omavahel vahetada. 2. Maatriksi rea kõiki elemente võib korrutada nullist erineva arvu- ga. 3. Maatriksi reale võib liita mingi arvuga korrutatud teise rea. 2.2 Maatriksvõrrandite lahendamisest Kui maatriksil A leidub pöördmaatriks A-1 , siis saaksime võrdust
annaabi.ee 
