matemaatiline mp (0)

matemaatiline mp



===SUULISE OSA KÜSIMUSED JA VASTUSED=== I.  Lausearvutus 1. Mis on algmõiste? Nimeta vähemalt 3 algmõistet.
Mõisted, mida kasutatakse teiste mõistete defineerimiseks. Algmõisteid ise ei defineerita.
Näiteks tihti peetakse algmõisteteks: punkt, sirge, tasand, ruum, hulk, arv, suurus 2. Mis on definitsioon ja milliseid reegleid peab ta täitma?
Definitsioon on mõistete määratlemine lihtsamate ja tuntumate mõistete kaudu.
Definitsioon peab täitma järgnevaid reegled: 1. Definitsioon peab sisaldama ainult nii palju tunnuseid, et see täpselt määraks millega tegu
2. Mõistet ennast ei tohi mõiste defineerimisel kasutada
3. Definitsioon peab võimalusel olema jaatav
4. Peab olema selge ja arusaadav 3. Mis on aksioom? Nimeta vähemalt 3 aksioomi.
Põhitõde, mida peetakse vaieldamatult õigeks.
Aksioomid on näiteks: 1. Igale naturaalarvukle järgneb vahetult ainult üks naturaalarv
2. Kaht erinevat punkti läbib ainult üks sirge
3. Väljaspool sirget olevat punkti läbib vaid üks algse sirgega paralleelne sirge (paralleelide aksioom) 4. Mis on lausearvutuse lause ja millised on talle esitatavad tingimused?
Väljend, mille korral saab rääkida selle sisu vastavusest või mittevastavusest tegelikkusele.
Tingimusteks on: 1. Iga lause on kas tõene või väär. (välistatud kolmanda seadus)
2. Ükski lause ei ole korraga mõlemat. (mittevasturääkivuse seadus) 5. Mis on predikaat? Too üks näide.
Lause, mis sisaldab vähemalt ühte muutujate, millele saab omistada tõeväärtuse kui muutujatele on
omistatud tõeväärtused.
Näiteks vaadeldes hulka ℕ ja predikaati P(n) : “n on algarv” kehtib, et P(1) on väär, P(2) on tõene jne 6. Mis on kvantor ja kuidas neid kasutatakse? Millised on kvantorite eitamise
reeglid?
Matemaatilise loogika operaator, mis iseloomustab esemete või predikaadi valdkonda, mille kohta
loogiline avaldis käib.
Kvantoriteks on näiteks ∀ (üldisuse kvantor) ja ∃ (olemasolu kvantor). Kvantorite eitamise reeglid: 1. lause “∃ x P(x)” eitus on “∀ x ¬P(x)”
2. lause “∀ x P(x)” eitus on “∃ x ¬P(x)”


7. Nimeta kõik lausearvutuse tehted. Milline on nende tehete järjekord?
Kõik lausearvutuse tehted vastavad tehete järjekorras: 1. Eitus (märk ¬) 2. Konjuktsioon (märk ∧)
3. Disjunktsioon (märk ∨)
4. Implikatsioon (märk ⇒)
5. Ekvivalents (märk ⇔) 8. Lausearvutuse valemi definitsioon. Kuidas erinevad teineteisest lausemuutuja ja
lausearvutuse valem?
Lause üleskirjutis sümbolkujul.
Lausemuutujale omistatakse tõeväärtus, lausearvutuse valem saab oma tõeväärtuse lausemuutujate ja
kvantorite kooslusest
Iga lausemuutuja on lausearvutuse valem, aga iga lausearvutuse valem pole lausemuutuja.
(NB! Definitsioon on hea, vastus küsimusele pole väga solid imo -Kuri) 9. Millal on valem samaselt tõene/väär? Too näide valemist F(X,Y), mis on
samaselt tõene/väär.
Valem on samaselt tõene/väär kui iga lausemuutujate tõeväärtuste kombinatsioonide korral on valemi
tõeväärtus tõene/väär.
Näiteks A ∨ ¬A 10. Millal on valem kehtestatav/kummutatav? Too näide valemist F(X,Y), mis on
kehtestatav/kummutatav.
Kehtestatav kui valem on vähemalt ühel väärtustusel tõene.
Kummutatav kui valem on vähemalt ühel väärtustusel väär.
Näiteks ¬ (A ∨ B) 11. Valemite järeldumise mõiste. Too üks näide.
Järeldumine on mõtlemisprotsess, mille käigus ühele või mitmele otsustusele tuginedes jõutakse uue
otsustuseni.
Näiteks lausetest “Kui täna on 2. jaanuar, siis homme on 3. jaanuar.” ja “Täna on 2. jaanuar” võib
järeldada, et “Homme on 3. jaanuar”. Valemitest järeldub valem kui igal väärtustusel millal algne valem on tõene, on järeldatav valem
tõene.
Sümboliks ⊨


12. Valemite loogiline samaväärsus. Nimeta vähemalt 5 lausearvutuse
põhisamaväärsust.
Valemid on loogiliselt samaväärsed kui nende tõeväärtused on samad igal nendes valemites esinevate
muutujate väärtustustel. 13. Mis on lihtkonjunktsioon ja millal ta on täielik? Too näide täielikust ja
mittetäielikust lihtkonjunktsioonist.
Lihtkonjuktsiooniks on muutujate ja/või nende eituste konjuktsiooni.
Täielik, kui iga muutuja esineb täpselt ühe korra. Näited, kui vaadeldakse muutujaid X, Y, Z
X ∧ Y;  ¬ X ∧ Z;   X ∧ Y ∧ ¬Y (mittetäielikud) X ∧ Y ∧ ¬Z (täielik) 14. Mis on disjunktiivne normaalkuju ja millal ta on täielik? Too näide täielikust ja
mittetäielikust disjunktiivsest normaalkujust.
Valemiga samaväärne valem, mis sisaldab erinevate lihtkonjuktsioonide disjunktsiooni.
Täielik, kui koosneb täielikest lihtkonjuktsioonidest.
Selle näidete kirjutamine võtab palju aega, saad aru küll eksju :) 15. Millal eksisteerib valemil täielik disjunktiivne normaalkuju? Miks on hea teada
valemi täielikku disjunktiivset kuju?
Eksisteerib, kui algne valem on kehtestatav.


Valemi sellise kuju teadmine teeb lihtsaks selle tõesuse väärtustamise. 16. Kirjelda kahte erinevat viisi, kuidas leida valemi täielikku disjunktiivset
normaalkuju? 1. Tõeväärtustabel a. Tee valemile tõeväärtustabel ja leia tulemused
b. Eralda tulemused millal terve valem oli tõene
c. Tee iga muutujate väärtustega täielikud lihtkonjuktsioonid
d. Ühenda need omavahel disjunktsioonidega 2. Valemi teisendamine a. Elimineeri valemist implikatsioonid ja ekvivalentsid
b. Vii eitused vahetult lausemuutujate ette
c. Asenda disjunktsioonide konjuktsioonid distributiivsust kasutades konjuktsioonide disjunktsioonidega d. Võta ära samaselt väärad konjuktsioonid
e. Tee kõik lihtkonjuktsioonid täielikuks


II. Hulgateooria 17. Kirjelda, mida mõeldakse hulga all? Kuidas saab hulki esitada?
Hulga all mõeldakse üksteisest erinevate objektide kogu.
Hulkade tähiseks on tavaliselt suured ladina tähed. Kui tuua hulki esile elementide loeteluna, siis need
eraldatkse komadega ja pannakse looksulgude vahele. Loetelu lõppu võib ka püstkriipsu või
kooloniga kirja panna elemendi hulka kuuluvuse tingimuse. 18. Mis on habemeajaja paradoks ja miks ta oluline on?
Habemeajaja paradoks räägib linnast, kus on niisugune meeshabemeajaja, kes ajab iga päev habet igal
selle linna mehel, kes ise endal habet ei aja, ja mitte kellelgi teisel.
Paradoks tuleneb küsimusest, et kas habemeajaja enda habet ajab? Kui ei, siis ta ei aja kõigi nende meeste habet, kes enda habet ei aja.
Kui jah, siis ta ajab habet mehel, kes ajab enda habet.
Kumbki variant ei sobi habemeajaja tingimustega. Oluline on sellepärast, et see tõi valgust asjaolule, et hulk ei tohi sisaldada iseennast
(NB! See, miks see oluline on, vajab kinnitust -Kuri)
(IMO selle olulisus seisnebki selles, et ta on paradoks ja seega leidub asju, mida ei saa ainult
puhtloogiliselt vaadelda) 19. Osahulga mõiste. Nimeta vähemalt 3 osahulga omadust.
Osahulk on hulk, mille kõik elemendid kuuluvad ka teise hulka. Omadused: 1. Iga hulga A korral A ⊂ A (refleksiivsus) 2. Iga hulga A korral ∅ ⊂ A
3. Kui A ja B on sellised hulgad, et A ⊂ B ja B ⊂ A, siis A = B (antisümmeetrilisus) 4. Kui A, B ja C on sellised hulgad, et A ⊂ B ja B ⊂ C, siis A ⊂ C (transitiivsus) 20. Kas on olemas hulki, mille korral on üks hulk teise hulga nii element kui ka
osahulk? Kui palju osahulki on lõplikul hulgal?
Jah, hulk võib olla nii teise hulga element kui ka alamhulk.
Kui hulgas on n elementi, on hulgas 2n erinevat osahulka. 21. Mis on hulkade ühend ja ühisosa? Nimeta vähemalt 2 hulkade ühendi/ühisosa
omadust.
Hulkade ühend on hulk, mis koosneb elementidest, mis kuuluvad mõlemasse kahte teise hulka..
Hulkade ühisosa on hulk, mis koosneb kõikidest kahe teise hulga elementidest. Omadusi: 1. Iga hulga A korral A ∪ A = A ja A ∩ A = A (idempotentsus) 2. Iga hulga A ja B korral A ∪ B = B ∪ A ja A ∩ B = B ∩ A (kommutatiivsus) 3. Iga hulga A, B ja C korral (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) ja (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (assotsiatiivsus) 4. Iga hulga A, B ja C korral (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ja (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) (distributiivsus)


22. Mis on hulkade vahe ja sümmeetriline vahe? Kas hulkade vahe/sümmeetriline
vahe on kommutatiivne või assotsiatiivne tehe?
Kahe hulga vahe on hulk, kuhu kuuluvad kõik esimese hulga elemendid, mis ei kuulu teisse hulka.
Kahe hulga sümmeetriline vahe on hulk, kuhu kuuluvad mõlema hulga kõik elemendid, mis teisse
hulka ei kuulu. Vahe ei ole kommutatiivne ega assotsiatiivne.
Sümmeetriline vahe on kommutatiivne ja assotsiatiivne. 23. Mis on hulga täiend? Nimeta vähemalt 4 täiendi omadust.
Hulga täiend on hulk, kuhu kuuluvad kõik universaalhulga elemendid, mis ei kuulu algsesse hulka. Omadused: 1. ∅’ = U
2. U’ = ∅
3. A ∪ A’ = U
4. A ∩ A’ = ∅
5. A’’ = A
6. (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
7. (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’ 24. Mis on hulkade otsekorrutis? Nimeta vähemalt 3 otsekorrutise omadust.
Hulkade otsekorrutis on hulk, mis koosneb korrutatavate hulkade kõikide elementide paaridest.
Paari esimene element on esimesest hulgast, teine element teisest hulgast ehk elementide järjekord on
oluline Omadused: 1. A × ∅ = ∅ ja ∅ × A = ∅
2. A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)
3. A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)
4. (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D) 5. A × (B \ C) = (A × B) \ (A × C)


III. Arvuteooria elemente ja matemaatiline induktsioon 25. Jaguvuse mõiste. Nimeta vähemalt 3 jaguvuse omadust.
Jaguvus on täisarvu jaotamine kahe täisarvu korrutiseks.
Arv jagab esialgset arvu, kui leidub selline täisarv, millega arvu korrutades saab esialgse arvu. Omadused: 1. a | a
2. Kui a | b ja b | c, siis a | c
3. Kui a | b ja a | c, siis a | (b ± c)
4. Kui a | b siis ac | bc iga c ∈ ℤ korral.
5. a | 1 parajasti siis, kui a = 1 või a = -1 26. Sõnasta jäägiga jaguvuse põhiteoreem ja kirjelda selle teoreemi tõestusideed.
Olgu a täisarv ja b naturaalarv. Siis leiduvad üheselt määratud täisarvud q (jagatis) ja r (jääk) nii, et a = bq + r ja 0 ≤ r < b Teoreemi tõestusidee: 1. Koostame hulga jäägi definitsiooni põ ⊂ ℕ ∪ {0} 2. Hulk pole tühi lemma “Mis tahes täisarvu a korral a2 + a ≥ 0” põhjal
3. Kuna punktis 1 väljatoodud hulgas ℕ ∪ {0} igas mittetühjas alamhulgas leidub vähim element, siis leidub ka hulga {a − bx | x ∈ ℤ, a − bx ≥ 0} vähim element r = a - bq
(NB! Punkt 2 ja 3 peaks kuidagi paremini sõnastama, et kajastuks rohkem asja idee, mitte asi
ise. Kahjuks see osa tõestusest jäi minu jaoks alati segaseks. -Kuri) 4. Näitame, et r < b kasutades vastuolu r ≥ b
5. Näitame, et q ja r on üheselt määratud, oletades, et pole üheselt määratud 27. Algarvu ja kordarvu mõiste. Kirjelda Eukleidese teoreemi tõestusideed.
Algarv on ühest suurem naturaalarv, mille ainsad naturaalarvulised jagajad on 1 ja tema ise.
Kordarv on arv, mis on suurem kui 1 ja pole algarv. Teoreem: “Algarvude hulk on lõpmatu.” 1. Oletame vastuväiteliselt, et esineb suurim algarv
2. Vaatleme naturaalarvu, mis on kõikide algarvude korrutis esimesest suurimani + 1
3. Kuna see naturaalarv on suurem kui 1, siis aritmeetika põhiteoreemi põhjal leidub algarv, mis seda arvu jagab. 4. Kuna oletati, et on suurim algarv, siis peab leiduma algarv vahemikus esimesest suurimani, mis seda naturaalarvu jagab 5. Antud arvu leidmisel tekib vastuolu, et selleks arvuks on üks, kuigi eelduse põhjal peab arv olema suurem kui üks. 28. Sõnasta matemaatilise induktsiooni printsiip. Milliseid väiteid saab selle
printsiibi abil tõestada?
Esiteks tuleb näidata, et väide kehtib kindla naturaalarvu korral (tavaliselt 1).
Teiseks tuleb näidata, et väitel on järgnevuse printsiip.
Nende kahe põhjal saab üldistada väite tõesuse kõikide naturaalarvude korral.


Selle abil saab tõestada väiteid, mis on järjestikulises seoses omavahel. 29. Sõnasta tugeva matemaatilise induktsiooni printsiip. Kas on olemas väiteid,
mida saab tõestada tugeva matemaatilise induktsiooni printsiibiga, aga tavalise
matemaatilise induktsiooniga ei saa?
Erinevus tavalise matemaatilise induktsiooni printsiibiga on selles, et nüüd järeldub järgnevuse
printsiip kõigist eelnevatest väidetest, mitte ainult esimesest eelnevast väitest. Kõiki väiteid mida saab tõestada matemaatilise induktsiooniga, saab tõestada ka tugeva matemaatilise
induktsiooniga ning sama kehtib ka teistpidi. 30. Sõnasta aritmeetika põhiteoreem ja kirjelda selle teoreemi tõestusideed.
Millisest valdkonnast võib leida aritmeetika põhiteoreemi rakendamist?
Iga naturaalarvu n ≥ 2 saab esitada algarvude korrutisena (st leiduvad r ∈ ℕ ja
algarvud p1, . . . , pr nii, et n = p1 ・. . .・pr) ning see esitus on ühene tegurite järjekorra
täpsuseni.
(NB! Küsimus vajab vastamist)


IV. Tõestamise erinevad meetodid 31. Too 2 näidet otsestest tõestusmeetoditest.
Otsene tõestusmeetod on meetod, kus tulemuse poole liigutakse järjest samm-sammu haaval.
Näiteks: 1. Alamjuhtumite põhine tõestus
2. …? Konkreetsed juhtumid, millal hea kasutada: 1. “Olgu m ja n täisarvud. Kui m ja n on paarisarvud, siis on seda ka m + n.”
2. “Iga paaritu täisarvu ruut annab 8-ga jagades jäägi 1.” 32. Too 2 näidet kaudsetest tõestusmeetoditest.
Kaudne tõestusmeetod on meetod, kus tulemuse poole ei liiguta samm-sammu haaval, vaid tehakse
hüpe muu eelduse poole ning vaadeldakse selle kehtivust algse probleemi suhtes.
(enda loodud definitsioon seega olla ettevaatlik -Kuri)
Näiteks: 1. Kontrapositiivne tõestus
2. Vastuväiteline tõestus Konkreetsed juhtumid, milla hea kasutada: 1. “Olgu n täisarv. Kui n2 on paaritu täisarv, siis n on paaritu täisarv.”
2. “Kui tasandil kaks sirget a ja b on paralleelsed kolmanda sirgega c, siis need sirged a ja b on paralleelsed teineteisega.” 33. Kuidas tõestatakse (mitmeid) samaväärseid tingimusi? Too näide tulemusest,
kus on vähemalt 3 samaväärset tingimust.
Üldtava on tekitada tsüklilised implikatsioonid tingimuste vahel. Võib teha ühe suure tsükli asemel
lisaks veel väiksemaid tsükleid ning ekvivalentse üksikute tingimuste vahel. Näiteks:
Olgu n täisarv. Järgmised väited on samaväärsed: 1. n on paarisarv
2. n + 1 on paaritu arv
3. n2 on paarisarv 34. Kirjelda kuidas tavaliselt jagunevad olemasolu tõestused. Too kummastki
tüübist üks näide.
Jagunevad kaheks: konstruktiivne ja mittekonstruktiivne.
Konstrueerides üritatakse olemasoleva põhjal loogiliselt ehitada kindel lahend.


Mittekonstruktiivses tõestuses ei leita kindlat lahendit, vaid leitakse, et kindlalt leidub mingi lahend. 35. Nimeta kõik Polya printsiibid.
Nummerdatud punktid on olulised, tähtedega punktid on detailid. 1. Mõista sõnastatud probleemi. a. Kas kõik mõisted on arusaadavad?
b. Mida on tarvis leida või näidata?
c. Kas sa oskad probleemi oma sõnadega ümber sõnastada?
d. Kas oskad probleemi kuidagi visualiseerida?
e. Kas ette antud informatsioonist on piisav, et leida lahendus? 2. Koosta plaan. a. Arva ja kontrolli.
b. Otsi mustreid.
c. Tee nimekirjad.
d. Tee joonised.
e. Eemalda variante.
f. Lahenda lihtsam analoogne mure. g. Kasuta mudeleid.
h. Arvesta erijuhtumitega.
i. Hakka tagantpoolt peale. j. Kasuta valemeid. k. Lahenda võrrandid. 3. Vii plaan ellu a. Ole järjepidev ja vii plaan ellu.
b. Ebaõnnestumisel ära anna kohe alla ja proovi uuesti.
c. Ära karda otsast alustada kui olemasolev plaan ei tööta. 4. Kontrolli ja vaata üle a. Veendu, et kõik sai korrektselt tehtud
b. Kontrolli loogikaviga ja näpuvigu
c. Haara kaasa teadmisi järgmisteks kordadeks


V. Funktsioonid 36. Funktsiooni definitsioon. Millal on kaks funktsiooni võrdsed?
Funktsioon on eeskiri, mis seab iga hulga elemendi vastavusse täpselt ühe teise hulga elemendi.
Funktsioonid on võrdsed kui neil on samad lähte- ja sihthulgad ning iga elemendi rakendamine
kumbagi funktsiooni annab sama tulemuse. 37. Mis on hulga karakteristlik funktsioon? Nimeta vähemalt 3 karakteristliku
funktsiooni omadust.
Hulga karakteristlik funktsioon on funktsioon, mis annab väljundiks 1 kui sisend on vastavas hulgas
ning mis annab väljundiks 0 kui sisend on vastava hulga täiendis.
Tähiseks kreeka väike hii ( χ ) Omadused: 38. Hulga kujutise mõiste. Nimeta vähemalt 3 kujutise omadust.
Sihthulga osahulk, mis koosneb kõikidest lähtehulga osahulga kujutistest. Omadused:
Olgu f funktsioon hulgast X hulka Y ja A, B ⊂ X. Siis 1. f(∅) = ∅
2. f(X) ⊂ Y
3. Kui A ⊂ B, siis f(A) ⊂ f(B)
4. f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B)
5. f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B) 39. Hulga originaali mõiste. Nimeta vähemalt 3 originaali omadust.
Lähthulga osahulk, mis koosneb kõikidest elementidest, mis funktsiooni sisestades annavad sihthulga
osahulga. Omadused:
Olgu f funktsioon hulgast X hulka Y ja A, B ⊂ Y . Siis 1. f -1 (∅) = ∅


2. f -1 (Y) = X
3. Kui A ⊂ B, siis f -1 (A) ⊂ f -1 (B)
4. f -1 (A ∪ B) = f -1 (A) ∪ f -1 (B)
5. f -1 (A ∩ B) = f -1 (A) ∩ f -1 (B)
6. f -1 (Y \ B) = X \ f -1 (B) 40. Injektiivse funktsiooni mõiste. Too näide ühest injektiivsest ja mitte injektiivsest
funktsioonist.
Funktsioon on injektiivne kui iga üksteisest erineva sisendite paari puhul on väljundid ka erinevad.
Injektiivne: y = x3 Mitte injektiivne: y = x2 41. Sürjektiivse funktsiooni mõiste. Too näide ühest sürjektiivsest ja mitte
sürjektiivsest funktsioonist.
Funktsioon on sürjektiivne kui igal sihthulga elemendil leidub originaal.
Sürjektiivne: y = sin x, kui Y = [-1, 1] Mitte sürjektiivne: y = 1/x, kui Y = (-∞, ∞) 42. Sõnasta ja kirjelda Dirichlet’ printsiipi.
Olgu A ja B lõplikud hulgad ning f : A → B funktsioon 1. Kui |A| > |B|, siis f pole injektiivne.
2. Kui |A| < |B|, siis f pole sürjektiivne. 43. Funktsioonide kompositsiooni mõiste. Nimeta vähemalt 3 väidet funktsioonide
kompositsiooni kohta.
Funktsioonide kompositsioon on funktsioon, mis koosneb kahest funktsioonist: sisemine ja välimine.
Kõigepealt rakendatakse sisemist funktsiooni ning siis selle tulemusele välimist funktsiooni. Tuntud
ka liitfunktsioonina. Väiteid: 1. Funktsioonide kompositsiooni g ◦ f on võimalik leida vaid siis, kui funktsiooni g lähtehulk on sama mis funktsiooni f sihthulk 2. Kompositsiooni g ◦ f määramispiirkond on sama mis funktsiooni f määramispiirkond
3. Võib juhtuda, et on võimalik defineerida nii g ◦ f kui ka f ◦ g, kuid need kaks funktsiooni ei pruugi samad olla, st üldjuhul g ◦ f ≠ f ◦ g. Seega, funktsioonide kompositsioon ei ole
kommutatiivne. 4. Funktsioonide kompositsioon on assotsiatiivne h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f 44. Pöördfunktsiooni mõiste. Milline on funktsioonide kompositsiooni
pöördfunktsioon?
Pöördfunktsioon on funktsioon, mis seab iga algse sihthulga elemendile vastavusse täpselt ühe algse
lähthulga elemendi. Pöördfunktsioon leidub ainult juhul kui algne funktsioon on bijektiivne. Funktsioonide kompositsioonide pöördfunktsioon on  (g ◦ f) −1 = f −1 ◦ g −1. Leidub ainult siis kui
funktsioonidel f ja g leiduvad pöördfunktsioonid


VI. Hulga võimsus 45. Lõpliku ja lõpmatu hulga mõiste. Too kummastki üks näide.
Lõplik hulk on tühihulk või hulk, mille iga elemendi saab vastavusse seada ℕ alamhulgaga {1 ; ... ; n}
Lõpmatu hulk on hulk, mis pole lõplik. 46. Lõpliku hulga võimsuse mõiste. Nimeta vähemalt 2 lõpliku hulga võimsuse
omadust.
Lõpliku hulga võimsuseks nimetatakse selle elementide arvu. Omadused: 1. |P(A)| = 2|A|
2. |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
3. |A \ B| = |A| − |A ∩ B|
4. |A × B| = |A| · |B| 47. Millal on kaks hulka ekvivalentsed? Nimeta vähemalt 3 paari ekvivalentseid
hulki.
Hulgad on ekvivalentsed ehk sama võimsusega kui leidub nende vaheline bijektsioon. Näiteks: 1. {1, 2, 3, 4, 5}  ⟶ {6, 7, 8, 9, 10} 2. y = x, kus X = [-10, 10] ja Y = [-10, 10]
3. A ja A iga lõpliku hulga A puhul
4. …? 48. Loenduva hulga mõiste ja nende esitamine. Nimeta vähemalt 3 loenduva hulga
omadust.
Hulk on loenduv kui leidub bijektsioon hulga ja ℕ vahel. Hulk on loenduv kui hulga elemendid saab
esitada paarikaupa erinevate elementide lõpmatu jadana. Omadused: 1. Loenduva hulga ja lõpliku hulga ühend on loenduv
2. Kahe loenduva hulga ühend on loenduv
3. Lõpliku hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv
4. Loenduva hulga paarikaupa erinevate lõplike hulkade ühend on loenduv
5. Loenduva hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv
6. Kahe loenduva hulga otsekorrutis on loenduv
7. Lõpliku arvu loenduvate hulkade otsekorrutis on loenduv 49. Millal hulga A võimsus ei ületa hulga B võimsust? Sõnasta Cantor-Bernsteini
teoreem.
Hulga A võimsus ei ületa hulga B võimsust kui leidub injektsioon f: A  ⟶ B. Cantor-Bernsteini teoreem ütleb, et kui A võimsus ei ületa B võimsust ning B võimsus ei ületa A
võimsust, siis need hulgad on sama võimsusega.


50. Kontiinumi võimsusega hulga mõiste. Too 3 näidet kontiinumi võimsusega
hulkadest.
Kontinuumi võimsusega hulgad on hulgad, mis on ekvivalentsed hulgaga ℝ. Näiteks: 1. (0, 1)
2. (-2, 2)
3. [0, 3) 51. Sõnasta Cantori teoreem ja kirjelda selle teoreemi tõestusideed.
Iga hulga A kõigi osahulkade hulga P(A) võimsus on suurem kui hulga A võimsus,
st |A| < |P(A)|. Teoreemi tõestusidee: 1. Peame näitama, et  |A| ≤ |P(A)| ja |A| ≠ |P(A)|.
2. Tühja hulka vaatlema ei pea, sest siis kehtib väide kindlalt
3. Vaadeldes |A| ≤ |P(A)| saab luua funktsiooni f : A → P(A) mis on injektiivne. Seega see osa väitest kehtib 4. Oletame vastuväiteliselt, et |A| = |P(A)|. Sellest tulenevalt leidub nendevaheline bijektsioon. Defineerime abiks hulga B := {x ∈ A: x ∉ f(x)}. Siit edasi arendades jõuab vastuoluni
a ∈ B ⇔ a ∉ B 52. Kas on olemas suurima võimaliku võimsusega hulka? Põhjenda.
Ei ole, sest hulga osahulkade hulk on alati suurem hulgast ning seda mõttelaadi saab lõpmatult
rakendada. 53. Mis on kontiinumi hüpotees ja mis on tema roll hulgateoorias?
Kontiinumi hüpotees ütleb, et ei leidu sellist hulka, mille võimsus on suurem kui naturaalarvude
hulgal kuid väiksem kui naturaalarvude hulga osahulkade hulgal.
Oluline on see sellepärast, et seda pole suudetud tõestada ega ümber lükata ning selle kehtivuse või
mittekehtivuse põhjal võib hulgateooriat eri moodi edasi arendada ja vaadelda


VII. Seosed 54. Seose mõiste. Nimeta vähemalt 3 viisi, kuidas seoseid saab esitada.
Seoseks nimetatakse kahe hulga otsekorrutise mistahes osahulka. Seoseid saab esitada: 1. Sümbolitena a. R ⊂ A × B
b. (a, b) ∈ R
c. aRb 2. Elemendipaari loeteluna
3. Maatriksesitusena
4. Nooldiagrammidena
5. Kujundina ristküliku A × B sees R = A × B (universaalne seos) ∅  ⊂ A × B (tühiseos) 55. Funktsiooni definitsioon seosena. Tuua näide seosest, mis on/ei ole funktsioon.
Funktsioon on seose erijuht. Seost nimetatakse funktsiooniks kui iga esimese hulga elemendi puhul
leidub täpselt üks element teisest hulgast nii, et seos kehtib. Näiteks:
R = {(x, y) | y = x3}, R ⊂ X × Y (seos, mis on funktsioon) R = {(x, y) | y2 = x}, R ⊂ X × Y (seos, mis pole funktsioon) 56. Nimeta vähemalt 4 seose omadust.
Omadused: 1. refleksiivsus - iga a ∈ A korral (a,a) ∈ R 2. irrefleksiivsus - iga a ∈ A korral (a,a) ∉ R 3. sümmeetrilisus - iga a,b ∈ A korral kui (a,b) ∈ R, siis (b,a) ∈ R 4. antisümmeetrilisus - iga a,b ∈ A korral kui (a,b) ∈ R ja (b,a) ∈ R, siis a = b 5. transitiivsus - iga a,b,c ∈ A korral kui (a,b) ∈ R ja (b,c) ∈ R, siis (a,c) ∈ R 57. Seoste kompositsiooni mõiste. Nimeta vähemalt 2 seoste kompositsiooni
omadust.
Seos, mis koosneb kahest seosest: sisemine ja välimine.
Seoste R ⊂ A × B ja S ⊂ B × C puhul: S ◦ R = {(a, c): ∃b ∈ B nii, et (a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ S} Omadused: 1. (S ◦ R) −1 = R−1 ◦ S−1
2. T ◦ (S ◦ R) = (T ◦ S) ◦ R


58. Ekvivalentsusseose mõiste. Too vähemalt 2 näidet ekvivalentsusseostest.
Seos, mis on 1. refleksiivne
2. sümmeetriline
3. transitiivne Näiteks: 1. ΔABC ∼ ΔDEF
2. Hulkade ekvivalentsus
3. Sirgete samasihilisus
4. Vektorite kollineaarsus
5. Vektorite komplanaarsus 59. Ekvivalentsiklassi ja faktorhulga mõiste.
Ekvivalentsiklass on hulga osahulk elemendi järgi, mis koosneb hulga kõikidest elementidest, mis on
seoses algse elemendiga. Faktorhulk on hulk, mille elementideks on seosele vastava klassijaotuse kõik klassid 60. Klassijaotuse mõiste. Kuidas on omavahel seotud klassijaotused ja
ekvivalentsusseosed? Hulga kõigi ekvivalentsusseoste hulga ja sama hulga kõigi klassijaotuste hulga vahel on üksühene
vastavus 61. Järjestusseose mõiste. Too vähemalt 2 näidet järjestusseostest.
Seos, mis on: 1. refleksiivne
2. antisümmeetriline
3. transitiivne Näiteks: 1. Võrratuse seos ≤ reaalarvude hulgal, sest iga kaks arvu on võrreldavad.
2. Jaguvusseos naturaalarvude hulgal on järjestusseos.
3. Hulkade sisaldumise seos hulga X kõigi osahulkade hulgal P(X) on järjestusseos.


62. Lineaarselt järjestatud hulga mõiste. Too 2 näidet osaliselt järjestatud hulkadest,
millest üks on lineaarselt järjestatud ja teine mitte.
Lineaarselt järjestatud hulk on hulk, mille iga kaks suvalist elementi on omavahel võrreldavad. Näiteks: 1. Võrratuse seos ≤ reaalarvude hulgal (lineaarne) 2. Jaguvusseos naturaalarvude hulgal on järjestusseos (mitte lineaarne) 63. Millist elementi osaliselt järjestatud hulgas nimetatakse vähimaks ja millist
minimaalseks? Too üks näide hulgast, milles on olemas vähim element. Too üks
näide hulgast, milles on olemas minimaalne element, aga vähimat ei ole.
Element on vähim kui ta on võrreldav kõikide teiste elementidega ja ta on neist kõige väiksem.
Element on minimaalne kui ta on kõige väiksem nendest elementidest, millega ta võrreldav on. Näiteks:
({1, 2, 3, 4}, | ) (vähim element, 1) ({1, 2, 3, 4}, mõlemad kas paaris- või paaritud arvud) (minimaalsed elemendid, vähimat pole) (Näited vb shady, vaadake ise üle -Kuri) 64. Millist elementi osaliselt järjestatud hulgas nimetatakse suurimaks ja millist
maksimaalseks? Too üks näide hulgast, milles on olemas suurim element. Too
üks näide hulgast, milles on olemas maksimaalne element, aga suurimat ei ole.
Element on suurim kui ta on võrreldav kõikide teiste elementidega ja ta on neist kõige suurem.
Element on maksimaalne kui ta on kõige suurem nendest elementidest, millega ta võrreldav on. Näiteks:
({1, 2, 3, 4}, a - b ∈ ℤ) (suurim element, 4) ({1, 2, 3, 4}, mõlemad kas paaris- või paaritud arvud) (maksimaalsed elemendid, suurimat pole) (Näited vb shady, vaadake ise üle -Kuri) 65. Mis on Hasse diagramm ja milleks ta hea on?
Lõplikku osaliselt järjestatud hulga esitusviis. Ta on hea minimaalsete ja maksimaalsete elementide
tuvastamiseks.


===DEFINITSIOONID, TEOREEMID JA TÕESTUSED=== loodetavasti üks päev jõuab nendeni xd