ARITMEETILINE JA GEOMEETRILINE JADA 1. Aritmeetilise jada kolmas liige on 2 ja kaheksas liige on 17. Mitu jada liiget tuleb võtta, et nende summa oleks 95? n =10 2. Aritmeetilise jada esimese ja kuuenda liikme vahe on 10, nelja esimese liikme summa on 48. Leia see jada. a1 = 15, d = -2 3. Alustanud liikumist, läbib rong esimese sekundiga 0,3 m ja igas järgnevas sekundis 0,4 m rohkem kui eelmises. Leida 0,6 minutiga läbitud tee. 262,8 m 4. Aritmeetilise jada neljas liige on 9 ja üheksas liige on -6. Mitme liikme summa on 54? n1 = 4; n2 = 9 5. Leia kõigi niisuguste naturaalarvude summa, mis 9-ga jagades annavad jäägiks 4 ja arvud ise on suuremad 200 –st ning väiksemad 350-st
kõrgus r/2. Tee joonis. 22. Tõesta võrratus cos2x + 2sinx < 1,5 23. Lahenda võrrand 10 log ( x ) =4 2 +x -8 24. Komplektis on 4 standardset ja 2 mittestandardset lampi. Võetakse juhuslikult 2 lampi. Leia tõenäosus, et mõlemad on standardsed. 25. Kolmnurga tipud A(1; 1), B(2; 3), C(5; -1). Konrolli ka skolmnurk on täisnurkne. Leia pindala. 26. Rong läbis esimeses sekundis peale liikuma hakkamist 0,4 meetrit, igas järgmises sekundis aga 0,5 meetrit rohkem kui eelmises. Leia rondi poolt 1,2 minutiga läbitud tee pikkus. 27. Merevesi sisaldan 5% soola. Kui palju magedat vett tuleb lisada 60 kg mereveele, et saada segu, mis sisaldab 4% soola? 28. Leia funktsiooni y = 2x³ + 3x² -2 kasvamis- ja kahanemisvahemikud. Joonesta graafik. 29. Trapetsi alused on a ja (a + 3 +1) ning nurgad pikema aluse juures 30º ja 45º. Leia
Leia maatüki mõõtmed, kui maatüki pindala on 400 m². Aritmeetiline ja geomeetriline jada. 1. Leia kõigi sajast väiksemate kolmega jaguvate positiivsete arvude summa. 2. Geomeetrilise jada esimese ja viienda liikme summa on 51 ning teise ja kuuenda liikme summa on 102. Kui palju peaks selles jadas olema liikmeid, et jada summa oleks 3069? 3. Kolm arvu moodustavad geomeetrilise jada. Nende arvude korrutis on 64 ja aritmeetiline keskmine 14/3. Leia need arvud. 4. Kaevu ehitamisel maksis esimese meetri kaevamine 100 krooni. Iga järgmise meetri kaevamine aga 50 krooni võrra rohkem, kui eelmise kaevamine. Lisaks kaevamiskuludele maksti kaevu ehitamise eest täiendavalt 1000 krooni ning seetõttu kujunes kaevu jooksva meetri keskmiseks hinnaks 625 krooni. Leia kaevu sügavus. 5. Kolm arvu moodustavad aritmeetilise jada ja nende summa on 15. Liites neile arvudele vastavalt 1, 4 ja 19 saame geomeetrilise jada. Leia need arvud.
; ; ; ; a n1 2 ; a n1 2 Vastus: 1) 1,5 ; 6 12 20 30 n n n 3n 2 2) n 200 3) 0 a15 a32 4 c) Aritmeetilises jadas on a4 . Leidke a13 väärtus. Vastus : 2,5 d) Geomeetrilise jada teine liige on 14 ja viies liige 112. Leidke selle jada esimese kuue liikme summa. Vastus: 441 e) Alpinist, tõustes mäkke, jõuab esimese tunniga 800m kõrgusele, igas järgmises tunnis tõuseb ta 25m vähem kui eelmises. Mitme tunniga jõuab alpinist 5700m kõrguse mäe tippu? Vastus: 8 tunniga f) Milline peab olema intressimäär, et 500 krooni suurune hoius kasvaks 5 aastaga vähemalt 200 krooni võrra. (eeldusel, et intressimäär ei muutu). Vastus : vähemalt 7% g) On antud aritmeetiline jada 7, 11 , 15, …. Milliste n väärtuste korral selle jada n
a15 a32 4 a4 a13 c) Aritmeetilises jadas on . Leidke väärtus. Vastus : 2,5 d) Geomeetrilise jada teine liige on 14 ja viies liige 112. Leidke selle jada esimese kuue liikme summa. Vastus: 441 e) Alpinist, tõustes mäkke, jõuab esimese tunniga 800m kõrgusele, igas järgmises tunnis tõuseb ta 25m vähem kui eelmises. Mitme tunniga jõuab alpinist 5700m kõrguse mäe tippu? Vastus: 8 tunniga f) Milline peab olema intressimäär, et 500 krooni suurune hoius kasvaks 5 aastaga vähemalt 200 krooni võrra. (eeldusel, et intressimäär ei muutu). Vastus : vähemalt 7%
tema liikumiskiirus on 3 cm/min? Vastus: 6 cm ( 7 * 3 = 21 cm läbib rööviku pea 7 minutiga oksal roomates. 21 15 = 6 cm rööviku pikkus; oksa pikkuse lahutame ära) 76. Öö on päevast 6 tunni võrra pikem. Kui pikk on öö ja kui pikk päev? Vastus: öö 15 tundi ja päev 9 tundi ( 24 + 6 = 30 : 2 = 15 h öö; 15 6 = 9 h päev) KONTROLL: 15 + 9 = 24; 15 9 = 6 77. Sõidad oma rongiga Tallinnast Tartusse. Rong väljub kell 9.00 ja sõidab 1 tund. Tapal on veerandtunnine peatus. Seejärel sõidab rong veel 1,25 tundi. Mis on rongijuhi nimi? Vastus: sinu oma nimi (loe esimest lauset) 78. Mitu korda on vaja liita suurimale ühekohalisele arvule suurimat kahekohalist arvu, et saada suurim kolmekohaline arv? Vastus: 10 ( 10 * 99 = 990; 9 + 990 = 999) 79. Reisirongil on 5 vagunit, igaühes72 istekohta. Vaguni pikkus on 24 m. Igas vagunis on 2 vaba kohta
2007. aasta matemaatika riigieksami ülesanded koos lahenduste ja kommentaaridega 2 1. ÜLESANNE (5 punkti) Ülesannete tekstid 1 5x 1 I Antud on avaldis 2 , kus x 0 ja x . x 25 x 2 x 0 5 1) Lihtsustage see avaldis. 3 2) Arvutage avaldise väärtus, kui x 2 . Vastus andke täpsusega 10 2. 2 x 2 (9 x 2 x 0 ) 1 II Antud on avaldis , kus x 0 ja x . 1 3x 3 1)
Pärnu Koidula Gümnaasium lahus hoopis kilogrammi 20%-lise lahusega saadakse 18%-line lahus. Leia millega võrdub b a. B-10 Korrapärase nelinurkse prisma külgservad on 12,5% väiksemad põhiservadest, Kahe mitte ühele põhitahule kuuluva ja mitteparalleelse serva keskpunktide vaheline kaugus on 9. Leia prisma külgpindala. B-11 Viisnurga ja tema ümberringi puutepunktid jaotavad ringjoone võrdeliselt arvude 1 : 2 : 2 : 2:5.. Leia selle viisnurga pindala teades, et ringjoone raadius on vähim positiivne arv, mis on võrrandi r 4 - 8r 2 + 13 = 0 lahendiks. 2 2 -x+2 C-1 Lahenda võrrand 2 2 x - 17 2 x + 2 8-2 x = 0 28 -5a 5 19
23.05.1998 a matemaatika riigieksam Lehe haldamist toetavad Topauto ja meelespea.net Põhivariant 1. rida 1998 aasta matemaatika riigieksami ülesannete lahendused 8 - x 12 x +2 1. (5p) Lihtsustage avaldist ning näidake, et selle väärtus ei sõltu x väärtusest. 6 2- x 18 x 21-x Lahendus: Valemid, mida lihtsustamisel kasutati: 1 a n ; ( ab ) = a n bn ; ( a n ) = a n m n m a - n = n ; a m+ n = a m a Vastus: Avaldise väärtus ei sõltu x väärtusest, lihtsustatud avaldises x puudub. Vastus on 2. 2. (10p) Ühistu maast 80% on põldude all ja 51 ha on metsa. Mitte põllumaast 15% on hei
Sama kokkulepet kasutame ka edaspidi. Kui aga tekib probleeme, siis tasub ka arvutuste käigus kirjutada iga suuruse taha sellele vastav ühik. 2 Näidisülesanne 3. Lennuk lendab ühtlaselt kiirusega 450 km/h. Kui palju aega kulub lennukil 2250 km läbimiseks? Lahendus: kuna tegemist on ühtlase liikumisega, siis kiirus arvutatakse Antud: valemist v = s/t. Teades kiirust ja läbitud teepikkust saab selleks v = 450 km/h kulunud aja t arvutada valemist s = 2250 km t=? s 2250 h = 5 h t= =( ) v 450 Vastus: lennukil kulub 2250 km läbimiseks 5 tundi. NB! Antud ülesandes jätsime me ühikud teisendamata, sest kiirus oli kilomeetrites tunnis ja läbitud teepikkus kilomeetrites. Jagamisel taanduvad kilomeetrid välja, tulemuse saame tundides. 1
TARTU ÜLIKOOLI TEADUSKOOL PROGRAMMEERIMISE ALGKURSUS 2005-2006 Sisukord KURSUSE TUTVUSTUS: Programmeerimise algkursus.........................................6 Kellele see algkursus on mõeldud?..................................................................6 Mida sellel kursusel ei õpetata?.......................................................................6 Mida selle kursusel õpetatakse?......................................................................6 Kuidas õppida?.................................................................................................7 Mis on kompilaator?.............................................................................................8 Milliseid kompilaatoreid kasutada ja kust neid saab?......................................8 Millist keelt valida?...........................................................................................8 ESIMENE TEEMA: sissejuhatav sõnavõtt ehk 'milleks on v
Kordamine II 5 x + 6 12 - x x 33. - = Lahenda võrrandid ja tee kontroll 9 6 2 1. 5 - 2( 3x +1) = 3( 2 - 3x ) + 6 Lahenda võrrandisüsteem 2. ( x + 3) - 2 x = ( x - 2 )( x + 2 ) + 1 2 3. ( 2 y - 3) + 4 = ( 2 y - 3)( 2 y + 1) 2 ( x + 2) 2 - ( y + x ) = ( x + 1)( x - 1) + 13 34. 4. ( x - 2 ) 2 + ( 3 x -1)( x + 3) = ( 2 x -1)( 2 x + 1) + 6 ( x + 3)( x - 2) - ( x - y )( x + y ) = ( y + 1) 2 - 9 5. 12 x 2 - ( 3 x +1) 2 = ( 3 x - 2 )( x +1) - 6 6. ( 2 x -1) 2 + x = x( x - 3) +13 ( u - 1) 2 + 3v = ( u -
x2 = 4 + 5t. Millisel ajahetkel need punktid kohtuvad? (x mõõdetakse meetrites, t aga sekundites) Antud: x1 = 10 + 2t x2 = 4 + 5t Leida: t=? Lahendus: Kui 2 punkti kohtuvad, siis x1 = x2, seega hetkel t kehtib võrdus 10 + 2t = 4 + 5t; 3t = 6; t = 2. Vastus: Kaks punkti kohtuvad ajahetkel t = 2 s. km 5. Punktist A kell 12 päeval väljunud rong sõidab kiirusega v 1 = 60 . Kell 2 päeval punktist B h km väljunud rong sõidab esimesele vastu kiirusega 40 . Mis kell rongid kohtuvad? Punktide A ja B h vaheline kaugus on s = 420 km. Antud:
Lahendus. Autode poolt iga minutiga läbitud teepikkused moodustavad 2 aritmeetilist jada. 1 I auto: a1 = 1 km; d = km 12 1 II auto: a1 * = 1 km; d * = km 6 4 Teksti põhjal: S n + S n * = 23 km 2a1 + d (n - 1) Teades, et S n = n , saame võrrandi: 2 1 1 2 1 + (n - 1) 2 1 + (n - 1) 12 n+ 6 n = 23 2 2 1 1 1 1 n 1 + n- + 1 + n - = 23 n 2 + 15n - 184 = 0; n1;2 = -7,5 ± 7,5 2 + 184 = -7,5 ± 15,5; 24 24 12 12
Programmeerimise algkursus 1 - 89 Mida selle kursusel õpetatakse?...................................................................................................3 SISSEJUHATAV SÕNAVÕTT EHK 'MILLEKS ON VAJA PROGRAMMEERIMIST?'......3 PROGRAMMEERIMISE KOHT MUUDE MAAILMA ASJADE SEAS.............................3 PROGRAMMEERIMISKEELTE ÜLDINE JAOTUS ..........................................................7 ESIMESE TEEMA KOKKUVÕTE........................................................................................8 ÜLESANDED......................................................................................................................... 8 PÕHIMÕISTED. OMISTAMISLAUSE. ...................................................................................9 ................................................................................................................................................. 9 SISSEJUHATUS.......
Leidke võistlussuusataja keskmine kiirus. 14. (17.05. 1997 reaal ülesanne 6) Kirjandit kirjutas 108 õpilast. Nendele jagati 480 lehte paberit nii, et iga tüdruk sai ühe lehe rohkem kui poiss. Tüdrukud sai kokku sama palju lehti kui poisid. Kui palju poisse ja tüdrukuid kirjutas kirjandeid? 15. (17.05.1997 reaal ülesanne 4) Antikvariaat ostis kaks raamatut 224 krooni eest ja sai neid edasi müües 40% kasumit. Leidke mõlema raamatu müügihind teades, et esimese raamatu müügist sadi 15% ja teise raamatu müügist 50% kasumit. Vastused.1. (4500 krooni), 2. 48 min 3. 525 dm, 4. 54 kasti , 5. 125%-liselt, 6.(A10 miljonit, B9,5 miljonit, C7,5 miljonit), 7.(P7 miljonit, T10 miljonit, V6,5 miljonit), 8. 3,8m x 1,2m, 0,5 1,25 9. , 10. 20 km/h, 11.(60km), 12.(36km), 13.(20 km/h), 14.(60 poissi ja 48 tüdrukut), 15.(73,6kr ja 240 kr)
Matemaatika õhtuõpik 1 2 Matemaatika õhtuõpik 3 Alates 31. märtsist 2014 on raamatu elektrooniline versioon tasuta kättesaadav aadressilt 6htu6pik.ut.ee CC litsentsi alusel (Autorile viitamine + Mitteäriline eesmärk + Jagamine samadel tingimustel 3.0 Eesti litsents (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ee/). Autoriõigus: Juhan Aru, Kristjan Korjus, Elis Saar ja OÜ Hea Lugu, 2014 Viies, parandatud trükk Toimetaja: Hele Kiisel Illustratsioonid ja graafikud: Elis Saar Korrektor: Maris Makko Kujundaja: Janek Saareoja ISBN 978-9949-489-95-4 (trükis) ISBN 978-9949-489-96-1 (epub) Trükitud trükikojas Print Best 4 Sisukord osa 0 – SISSEJUHATUS . .................... 17 OSA 2 – arvud ..................................... 75 matemaatika meie ümber ................... 20 arvuhulgad ....................
Ülesanne 1 Aksioom (kreeka keeles axima 'see, mis on vääriline') tähendab üldkeeles väidet, mille tõesuses pole kahtlust. Algarvuks nimetatakse ühest suuremat naturaalarvu, mis jagub vaid arvuga 1 ja iseendaga. Algarvude hulk on lõpmatu. Sajast väiksemad algarvud ((100) = 25) on 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ja 97. Kaksikuteks nimetatakse selliseid algarve, mille vahe on 2, näiteks 101 ja 103 või 1 000 000 007 ja 1 000 000 009. Ei ole teada, kas kaksikuid on lõpmata palju. Aritmeetiliseks keskmiseks nimetatakse arvu, mis saadakse antud arvude summa jagamisel liidetavate arvuga. Näide 1. On antud arvud 3, 4, 5 ja 6. Leiame nende arvude aritmeetilise keskmise. 1) Leiame summa: 3 + 4 + 5 + 6 = 18. 2) Jagame summa liidetavate arvuga 18 : 4 = 4,5. Seega nende arvude aritmeetiline keskmine on 4,5. Lahendamiseks sobib ka avaldis (3 + 4 + 5 + 6) : 4. Arvkiir on kiir, mille alguspunktis on märgitud arv 0. Edasi on vaba
Diskreetne matemaatika II Suulise eksami konspekt IABB 2011 [1]. Hulgad. Alam- ja ülemhulgad. Tehted hulkadega. [2]. Hulga võimsus. Kontiinumhüpotees. [3]. Järjendid. Permutatsioonid. Kombinatsioonid. [4]. Binoomi valem. Pascali kolmnurk. [5]. Liitmis- ja korrutamisreegel kombinatoorikas. [6]. Kordustega permutatsioonid. Multinoomkordajad. [7]. Elimineerimismeetod (juurde- ja mahaarvamise valem). [8]. Korratused ja subfaktoriaalid. [9]. Dirichlet` printsiip. [10]. Arvujadade genereerivad funktsioonid. Jadade ja genereerivate funktsioonide teisendamine. [11]. n objekti jaotamine k gruppi. [12]. Rekurrentsed võrrandid. Rekurrentsi lahendamine ad hoc meetodil ja iteratsioonimeetodil. [13]. Tasandi tükeldamine n sirgega ja n nurgaga. [14]. Lineaarsed rekurrentsed võrrandid. [15]. Rekurrentsete võrrandite lahendamine genereerivate funktsioonide meetodil. [16]. Fibonacci arvud. Üldliikm
Mainori Kõrgkool Matemaatika ja statistika Loengukonspekt Silver Toompalu, MSc 2008/2009 1 Matemaatika ja statistika 2008/2009 Sisukord 1 Mudelid majanduses ............................................................................................................. 4 1.1 Mudeli mõiste ......................................................................................................................... 4 1.2 Matemaatilise mudeli struktuur ja sisu ................................................................................... 4 2 Funktsioonid ja nende algebra............................................................................................... 5 2.1 Funktsionaalne sõltuvus ....................................
b) Leiame summaarsed kulud 100 ajalehe trükkimisel päevas: C (100) ' 3000 % 6 @100 ' 3000 % 600 ' 3600 Vastus: 100 ajalehe trükkimisel tehtavad kulutused on 3600 kr päevas. c) Leiame summaarsed kulud 3000 ajalehe trükkimisel päevas: C (3000) ' 3000 % 6 @3000 ' 3000 % 18000 ' 21000 Vastus: 3000 ajalehe trükkimisel tehtavad kulutused on 21 000 kr päevas. Kulufunktsiooni teadmine võimaldab leida kogukulusid suvalise tootmismahu korral. Sobiv on selleks kasutada tabelarvutust: Teades funktsiooni kuju, võime me selle funktsiooni tabuleerida: leida funktsiooni väärtuse erinevate argumendi väärtuste korral. Tabelarvutust kasutades võime me muuta ka algandmeid, "läbi mängides" erinevaid võimalusi, uurida "mis juhtub, kui..". Näiteks võime leida, kuidas muutuvad summaarsed kulud, kui õnnestub vähendada fikseeritud kulusid 2500 kroonini päevas või kui muutuvkulud ühiku kohta suurenevad 7 kroonini.
tundi; kui ta aga sõidab 15 km tunnis, siis ta saabub Painkülla 12 minutit enne tähtaega. Kui pika tee peab jalgrattur läbima? 4. Kaks matkajat väljusid üheaegselt teineteisele vastu asulast A ja B ning kohtusid 3 tunni 20 minuti pärast. Kui palju aega kulus kummalgi matkajal asulate A ja B vahemaa läbimiseks, kui esimene neist jõudis asulasse B 5 tundi pärast seda, kui teine matkaja oli jõudnud asulasse A? 5. Rong pidi kindla ajavahemiku jooksul läbima 840 km. Poolel teel rong peatus pool tundi semafori juures. Selleks, et jõuda kohale õigeaegselt, tuli kiirust suurendada 2 km võrra tunnis. Kui kaua oli rong teel? 6. Kaks sportlast jooksevad üheaegselt teineteisele vastu, üks punktist A ja teine punktist B. Mõlemad jooksevad erinevate kuid konstantsete kiirustega. Nad kohtuvad 300 m kaugusel punktist A. Joostes oma suunas lõpuni,
EKSAMIKÜSIMUSED 2009 1. Infoedastussüsteemi struktuurskeemid. Üksikute osade: infoallikas, kooder, edastuskanal jne ühtsed kirjeldused. Infoedastuse põhiseadused. (Slaididelt: paragrahv 1) Struktuurskeem: info allikas -> kodeerimine -> edastuskanal -> dekodeerimine -> info tarbija Info allikas edastamisele kuuluvad teatud sõnumid ajalise järjestikuse jadana, siia lisandub ideaalne vaatleja, kes saab sõnumis aru; info allikad on pidevad (elektrilised signaalid) ja diskreetsed (lõplik arv teateid, diskreetsed allikad võivad olla lihtallikad ja kahendallikad); diskreetsed lihtallikad võivad olla mäluta (üksteiele järgnevad sümbolid on teineteisest statistiliselt sõltumatud) või mäluga (sümbolid on stat. sõltuvad); diskreetsel kahendallikal on kaks võimalikku väljundsümbolit null ja üks; Kodeerimine kooder on sobituste kogu; Edastuskanal edastuskanalil on välismõjud; edastuskanal on tehniliste vahendite kogum, toimib teatud reaalses füüsikalises
9. Keskmine kiirus Jagades nihke s selle sooritamiseks kulunud ajaga t, saamegi keskmise kiiruse: vk = s . t Keskmine kiirus näitab, millise nihke teeb keha keskmiselt ühes ajaühikus. Kui näiteks rong läbib 10 tunniga 600 km, siis keskmiselt läbib ta igas tunnis 60 km. On ilmne, et teatud osa ajast rong üldse ei liikunud, vaid seisis jaamades. Jaamast väljudes rongi kiirus suurenes, jaamale lähenemisel aga vähenes. 10. Kiirendus Keha mitteühtlasel liikumisel muutub tema kiirus aja jooksul. Kiiruse muutumist iseloomustab kiirenduse mõiste.
kiirendus. Kiirendusühikuks on võetud sellise liikumise kiirendus, mille puhul ühtlaselt muutuva liikumise kiirus muutub ühes ajaühikus ühe kiirusühiku võrra. Mõned kiirendused a (m/ s2) Tramm 0,5... 1 Kiirlift 1... 2 Võidusõiduauto 5...10 Startiv auto 2... 6 Pidurdav auto - 4....-6 Inimese taluvus piir 100 Maanduv lennuk -5....- 8 Kosmoselaev 30...90 Teades keha algkiirust vo ja kiirendust a, saab ühtlaselt muutuva liikumise kiirus leida mistahes ajahetkel. Selleks tuleb kiirus avaldada kiirenduse valemist. v = vo + at , Ûhtlaselt kiireneval liikumisel kiirendus on positiivne arv ( + a ). Ûhtlaselt aeglustuval liikumisel kiirendus on negatiivne ( - a ) ja v = vo - at . Kui algkiirus on null ( vo= 0 ), siis v = at Kui lõppkiirus on null ( v = 0 ) S.t
oli tabamise hetkel noole kiirus? 11. Uisutaja lõpetab jääl liikudes jalgade töö kiirusel 25,2 km/h ning 14 sekundit hiljem peatub. Määrata pidurdav jõud, kui uisutaja mass on 82 kg. 12. Vasar massiga 600 grammi tabab naela pead kiirusega 4 m/s, mille tulemusena nael tungib 1.2 cm võrra laua sisse. Leida puidu takistus jõud? 13. Autole massiga 4 tonni mõjub pidurdav jõud 8 KN, mille toimel auto peatub 16 meetri pikkusel teel. Leida auto kiirus pidurdamise algul. 14. Millise jõuga on vaja tõugata vagunit, et see hakkaks liikumakiirenevalt ja läbiks 0,7 minuti jooksul 21 meetrit? Mass on 4,2 tonni. 9 15. Auto massiga 5 tonni liigub kiirusega 54 km/h. kui suur pidurdav jõud pidurdab selle auto 22,5 meetrisel teel? 16. Mürsk massiga 8 kg lendab torust välja kiirusega 600 m/s
1. Milline on Lagrange'i kordaja optimaalse väärtuse majanduslik tõlgendus tingliku ekstreemumi (võrduskitsendusega) ülesandes? Lagrange'i kordaja optimaalne väärtus O* x näitab, et ressursi varu b y suurendamisel hakkab toodangukoguse maksimaalne väärtus suurenema kiirusega x (nt eelarvetingimusel 4 K L 9 on toodangukoguse maksimaalne väärtus Qmax 1,125;4,5 | 5,06 , st ressursi varu suurenemisel ühiku võrra on maksimaalne väärtus suurenenud ligikaudu 1 võrra). 2. Kuidas tõlgendatakse varihindade optimaalseid väärtusi LP ülesande lahendi tundlikkuse seisukohalt? Võrrelge Lagrange'i kordaja tõlgendusega. Varihinnaks on Lagrange'i kordaja väärtus. Ressursi varihind on täiendav (varjatud) kasum, mida oleks võimalik saada vastava ressursi ühe lisaühiku kasutamisel. Varihindade optimaalsed väärtused LP ülesandes näitavad, kui tundlik on sihifunktsioon maksimaalne väärtus sellele, kui muudetakse ära kitsenduse väärtus ülesandes (parem pool). 3. Mill
2x = 6, millest x2 = 3. See läheb kokku ka meie joonisega. Nende kahe punkti keskkoha saame kätte, kui nende vahekauguse jagame kahega. [0 (3)] : 2 = 1,5. 1,5 ühikut on nende kahe punkti vahemaa. Vastus: x = 1,5. 6. On teada, et kui muutuja x väärtus on 1, siis ruutfunktsiooni y = 2x 2 + bx väärtus on 10. Leia kordaja b väärtus. Lahendus: Asetame igale poole selles võrrandis, kus on muutuja x, tema arvulise väärtuse 1. Teades, et y = 10, saame 10 = 2 . (1)2 + b . (1); 10 = 2 b; 10 2 = b; 8 = b; b = 8. Iseseisvalt teha kontroll! Vastus: Kordaja b väärtus on 8. Ruutfunktsioon Ruutfunktsioon y = ax2 + bx + c ja tema graafik Ruutfunktsioonid etendavad tähtsat osa nii matemaatikas endas kui ka mitmesuguste nähtuste ja protsesside kirjeldamisel. Nii saame ruutfunktsiooni abil kirjeldada ühtlaselt
b. muutub igas sekundis ühepalju Vahetult enne kukkuva lennuki põrkumist maapinnaga, umbes 2 meetri kõrgusel maapinnast, hüppab piloot lennukist välja. Piloot Select one: a. saab tõenäoliselt viga või hukkub Kivile, mille mass on 1 kg, mõjutakse jõuga ning kivi saab kiirenduse. Selleks et kivi massiga 10 kg saaks sama suure kiirenduse, peab sellele kivile mõjuv jõud olema Select one: b. 10 korda suurem Raudteeülesõidul põrkub rong kokku sõiduautoga. Kokkupõrke hetkel mõjub sõiduauto rongile Select one: b. sama suure jõuga kui rong sõiduautole Vibulaskur laseb noole lendu. Vastavalt Newtoni II seadusele peab vibunöörilt noolele mõjuva kaasnema teine jõud. See jõud on Select one: c. noole poolt vibunöörile avaldatav jõud Tühjas ruumis liikuvale osakesele mõjub jõud 10N. Järsku hakkab osakesele mõjuma teine jõud, mis on esimese jõuga vastassuunaline ja absoluutväärtuselt võrdne. Osake
samapalju. 11. Vahetult enne kukkuva lennuki põrkumist maapinnaga, ~2 m kõrguselt maapinnast, hüppab piloot lennukist välja. Piloot: saab tõenäoliselt viga või hukkub. 12. Kivile, mille mass on 1 kg, mõjutatakse jõuga ning kivi saabkiirenduse. Selleks, et kivi massiga 10 kg saaks sama suure kiirenduse peab selllele kivile mõjuv jõg kokku sõiud olema: 10x suurem. 13. Raudteeülesõidul põrkub rong kokku sõiduautoga. kokkupõrke hetkel mõjub sõiduauto rongile: sama suure jõuga, kui rong sõiduautole. 14. Vibulaskur laseb noole lendu. Vastavalt Newtoni 2. seadusele peab noolele mõjuva kaasnema teine jõud. See jõud on: noole poolt vibunöörille avaldav jõud. 15. Tühjas ruumis liikuvale osakesele mõjub jõud 10N. Järsku hakkabosakesele mõjuma teine jõud, mis on esimese jõuga vastassuunaline ja absoluuväärtuselt võrdne. Osake: liigub
LTMS.00.022 ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS Loengukursus Tartu Ülikooli loodus- ja täppisteaduste valdkonna üliõpilastele 2019./2020. õppeaasta Toivo Leiger Joonised: Ksenia Niglas Pisitäiendused 2016–20: Märt Põldvere, Natalia Saealle, Indrek Zolk, Urve Kangro 2 Sisukord 1 Reaalarvud 6 1.1 Järjestatud korpused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Korpuse aksioomid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Järjestatud korpus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Täielik järjestatud korpus . . . . . . . . . . . . .
läheb katuse servast mööda ja jätkab langemist. Leida palli asukoht ja kiirus 1.00 ja 4.00 s pärast. Leida palli kiirus, kui ta on 5.00 m katusest kõrgemal. Leida palli maksimaalne kõrgus ja selle saavutamise hetk. Leida palli kiirendus kõrgeimas punktis. 13. Peatusest liikuma hakkava rongi esimene vagun möödub selle vaguni alguses asuvast vaatlejast 3.0 sekundiga. Kui pika aja jooksul mööduvad vaatlejast rongi kõik 9 vagunit? Eeldame, et rong liigub ühtlaselt kiirenevalt. 14. Auto läbis esimese poole teest kiirusega 10 m/s, teise poole kiirusega 15 m/s. Leida keskmine kiirus. 15. Liikumist alustanud jalgrattur sõitis 4.0 s kiirendusega 1.0 m/s2, siis 0.1 minutit ühtlaselt ja viimased 20 m ühtlaselt aeglustuvalt kuni peatumiseni. Leida keskmine kiirus. 16. Metrooeskalaator viib seisva reisija üles 1 minutiga. Liikumatul eskalaatoril kulub reisijal üles jõudmiseks 3 minutit
Mat. analüüsi eksami küs. vastused: OSA 1 1. Millisel tingimusel nimetatakse sümbolit x muutujaks mingis hulgas X? Kui sümbol x tähistab hulga X suvalist elementi, siis nimetatakse sümbolit x muutujaks hulgas X 2. Tooge hulkade kohta 2 näidet! y fx () Reaalarvude-, kompleksarvude-, vektorite-, maatriksite-, kaubahalli kauba hulk. 3. Mis on operaator? Tooge 2 näidet! Eeskirja f(f()fx()) , mis näitab kuidas leida muutuja x väärtusele hulgas X vastavat muutuja x hulgas Y, nimetatakse operaatoriks. väärtust f ( x) Näited: aritmeetilised tehted reaalarvudega, aritmeetilised tehted kompleksarvudega, tehted vektoritega, tehted maatri
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
