Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Aritmeetiline jada". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
1287, lahendame, saime, kümnes, kaheteistkümnes, jagub, 1683, paiguta, arvudega, esimesest, liikmegan = 11/3 Vastus: Jadas ei esine liiget 0, sest nZ+. Näide 4 Aritmeetilise jada seitsmes liige on 15 ja viieteistkümnes liige on 7. Leida üldliikme valem. a7 = 15 a1 + 6d = 15 a1 = 21 a15 = 7 a1 + 14d = 7 d = -1 an = 21 + (n-1) ·(-1) = 21- n + 1 = 22- n Vastus: an = 22 - n Näide 5 Paiguta arvude 18 ja 10 vahele kolm arvu nii, et need koos antud arvudega moodustaksid aritmeetilise jada viis järjestikust liiget. a1 = 18 an = a1 + (n 1) ·d n=5 -10 = 18 + (5 1) ·d a5 = -10 -10 = 18 + 4d 4d = -28 d = -7 Vastus: 18; 11; 4; -3; -10 Aritmeetilise jada summa esimene valem Sn =a1 + a2 + ... +an Sn =an + an-1 + ... +a1 2Sn =(a1 + an) + (a2 +an-1) + ... + an + a1
n = 11/3 Vastus: Jadas ei esine liiget 0, sest nZ+. Näide 4 Aritmeetilise jada seitsmes liige on 15 ja viieteistkümnes liige on 7. Leida üldliikme valem. a7 = 15 a1 + 6d = 15 a1 = 21 a15 = 7 a1 + 14d = 7 d = -1 an = 21 + (n-1) ·(-1) = 21- n + 1 = 22- n Vastus: an = 22 - n Näide 5 Paiguta arvude 18 ja 10 vahele kolm arvu nii, et need koos antud arvudega moodustaksid aritmeetilise jada viis järjestikust liiget. a1 = 18 an = a1 + (n 1) ·d n=5 -10 = 18 + (5 1) ·d a5 = -10 -10 = 18 + 4d 4d = -28 d = -7 Vastus: 18; 11; 4; -3; -10 Aritmeetilise jada summa esimene valem Sn =a1 + a2 + ... +an Sn =an + an-1 + ... +a1 2Sn =(a1 + an) + (a2 +an-1) + ... + an + a1
Jadad Aritmeetiline jada Aritmeetilise jada üldliikme valem on an = a1 + d(n – 1), kus d on jada vahe ja n jada liikmete arv. Aritmeetilise jada esimese n liikme summa valem on . a1 a n Sn n 2 Teades, et an = a1 + d(n – 1), võime eelnevale valemile anda ka teise kuju: . 2a 1 n 1 d Sn n 2 Viimane valem võimaldab arvutada esimese n liikme summat vaid jada esimese liikme ja jada vahe järgi.
.. neljas; on geomeetrilised jadad 4) ainult esimene, teine ja kolmas. Kontrolltöö aritmeetiline jada 1. Aritmeetilises jadas on 1= 2 ja 7= 17. Leia 11. 2. Aritmeetilises jadas on 1= 3 ; d = 4. Leia S10 . 3. Leia kõigi kahekohaliste paaritute arvude summa. 4. Leia 5, kui 2+ 8=36. 5. Jada on antud valemiga n= 4+3n. Leia selle jada kaheksa esimese liikme summa. 6. Kirjuta arvude -8 ja 10 vahele viis arvu nii, et nad koos antud arvudega moodustaksid aritmeetilise jada. Kontrolltöö - geomeetriline jada 1. Geomeetrilises jadas on a1= 2 ja a6=64. Leia a8. 2. Geomeetrilises jadas on a1= -3 ja q= -2. Leia a6 3. Leia summa: 1+2+22+...+26 = 4. Leia geomeetrilises jadas a5, kui a3 a 7=81 5. Kirjuta arvude (-2) ja 54 vahele kaks arvu nii, et nad koos antud arvudega moodustaksid geomeetrilise jada jada. 6. Jada on antud valemiga an=2 ·3n Leia selle jada viie esimese liikme summa.
..69) n= 2 an−a1 69−25 44 +1 n= +1= +1=23 n 2 2 Sn ? 25+69 94 S 23 = × 23= ×23=1081 2 2 Vastus: Antud vahemikus kõigi paaritute arvude summa on 1081. 13) Paiguta arvude 9 ja 44 vahele neli arvu nii,et need koos antud arvudega moodustaksid aritmeetilise jada. 9, a2 , a3 , a4 , a5 , 44 an−a1 44−9 a1=9 d= d= d=7 a6 =44 n=6 n−1 5 a2=9+7=16 n-1=5 a3 =16+7=23 d? a 4=23+7=30 a5 =30+7=37
Mitu liiget on vaja võtta, et nende summa oleks 95? (10) 6. Aritmeetilise jada viie esimese liikme summa on 20 ja üheksas liige on 13. Leia jada kolm esimest liiget. (1; 2,5;4) 7. Tsentrifuugi pöörlemiskiirust vähendati 0,4 minuti jooksul, kusjuures iga sekundiga tegi ta 9 pööret vähem kui eelmiseega ja viimasel pidurdamis sekundil tegi ta veel 30 pööret. Mitu pööret tegi tsentrifuug kogu pidurdamise jooksul? (3204) 8. Paiguta arvude 5 ja 15 vahele 4 arvu nii, et nad moodustaksid aritmeetilise jada. 9. Pidurdamisel on auto aeglustus 6m/s2. Kui suur on auto kiirus pärast 3 sekundit kestnud pidurdamist, kui pidurdamise alghetkel on auto kiirus 72 m/s. (54m/s) 10. Leia kõigi 5-ga jaguvate arvude summa, mis asetsevad 1-100? (950) 11. Aritmeetilise jada neljas liige on 10 ja kaheksas liige 21. Leia kümne esimese liikme summa. 12
Vastus: Geomeetrilise jada tegur on . 3 3. Geomeetrilise jada esimese ja kolmanda liikme summa on 15, teise ja neljanda liikme summa on 30. Leia jada. Lahendus: Ülesande tingimuste kohaselt: a1 + a3 = 15 ja a2 + a4 = 30. Olgu jada tegur q ja esimene liige a. Avaldades kõik liikmed esimese liikme ja teguri kaudu, saame võrrandisüsteemi: a + aq 2 = 15 3 . aq + aq = 30 Toome esimesest võrrandist sulgude ette a, teisest võrrandist aq ning jagame teise võrrandi esimesega: ( a 1 + q 2 = 15 ) ( aq 1 + q 2 = 30, ) ( a 1 + q 2 15 = , ) ( aq 1 + q 2 30 ) 1 1 = , q 2 q = 2. Asetades saadud q väärtuse esimesse võrrandisse, saame a(1 + 4) = 15, millest 5a = 15; a = 3. Otsitav jada on 3, 6, 12, 24, ... Kontroll:
7. Geomeetrilise jada esimene liige on 61 ja neljas liige on 1647. Leia selle jada seitsmes liige. 44469 8. Leia neli arvu, mis moodustavad geomeetrilise jada, kui äärmiste liikmete summa on - 49 ja keskmiste liikmete summa on 14. 7;-14;28:-56 9. Geomeetrilise jada kolmas liige on 24 ja kuues liige on -3. Mitme selle jada liikme summa, alates esimesest, oleks 64,5? 7 10. Lõpmatult kahaneva geomeetrilise jada teine liige on 3 ning summa 16. Leia jada esimene liige ja tegur. a1 = 4; q = 0,75 või a1 = 12; q = 0,25 11. Leida hääbuva geomeetrilise jada esimene liige, kui nelja liikme summa on 33,75 ja jada summa on 36. 18 või 54 12. Elanike arv linnas kasvab igal aastal 25% võrra
Mõisted suuliseks arvestuseks 1. Arvjada kui igale naturaalarvule n (alates 1-st) seatakse vastavusse üks kindel arv an, siis saadakse arvjada (arvude järjend, mis võib koosneda kas lõplikust või lõpmatust hulgast arvudest; selle saab kui seada ritta ükskõik mis arve). 2. Aritmeetiline jada jada, milles teisest liikmest alates on iga liikme ja sellele eelneva liikme vahe konstante (jada, kus iga kahe järjestikuse liikme vahe on võrdne). *Jada nimetatakse hääbuvaks ehk nullile lähenevaks, kui jadas järjest kaugemale minnes selle jada liikmed erinevad arvust 0 kui tahes vähe. 3. Aritmeetilise jada üldliige avaldub kujul an = a1 + d (n 1), kus a 1 on aritmeetilise jada esimene liige, d on jada vahe ning n on liikmete arv jadas. 4. Aritmeetilise jada n esimese liikme summa avaldub kujul Sn = (a1 + an) / 2 · n, kus a1 on aritmeetilise jada esimene liige, an on jada üldliige ning n on liikmete arv jadas. 5. Geomeetriline jada ja
sin2 + cos2 = 1 tan = sin /cos 1+tan2 = 1/cos2 sin2 = 1 cos2 sin = tan *cos cos2 = 1/tan2 +1 cos2 = 1 sin2 cos = sin /tan cos2 1 = - sin2 cot = cos /sin cot =1/tan sin2 1 = - cos2 cos = cot *sin tan *cot =1 sin = cos /cot 1+cot2 = 1/sin2 sin = cos (90o ) sin = vastas kaatet/hüpotenuus cos = sin (90o ) cos = lähis kaatet/hüpotenuus tan = 1/tan (90o ) tan = vastas kaatet/lähis kaatet cot =tan (90o ) cot = lähis kaatet/vastas kaatet tan = cot (90o ) Kolmnurga pindala Koosinusteoreem Siinusteoreem S=a*h/2 a2=b2+c2-2bc*cos a/sin=b/sin=c/sin=2R S=1/2a*b*
1. Ristkülik Mõiste: Ristkülik on nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad. Pindala: S=ab Ümbermõõt: Ü=2(a+b) Omadused: 1. Ristkülikul on kõik rööpküliku omadused. 2. Kõik nurgad on täisnurgad 3. Diagonaalid on võrdsed 4. Ristkülikul on ümberringjoon, mille keskpunktiks on diagonaalide lõikepunkt (O) ning raadiuseks pool diagonaali. 5. Ristkülikul on kaks sümmeetriatelge ja sümmeetriakeskpunkt. Ruut: Mõiste: Ruutu võib defineerida, kui a) ristkülikut, mille lähisküljed on võrdsed b) rombi, mille üks nurk on täisnurk c) rööpkülikut, mille lähisküljedon võrdsed ja üks nurk on täisnurk. Pindala: S=a² Ümbermõõt: Ü=4a Omadused: 1. Ruudul on nii ristküliku kui ka rombi omadused 2. Ruudu küljed on võrdsed 3. Ruudu nurgad on täisnurgad 4. Ruut on korrapärane nelinurk 5. Ruudul on siseringjoon, mille keskpunktiks on diagonaalide lõikepunkt (O) ning raadiusekspool külje pik
I Urnis on 10 kollast ja 6 rohelist kuuli. Leidke tõenäosus, et urnist 1) juhuslikult võetud kuul on roheline; 2) juhuslikult korraga võetud kaks kuuli on mõlemad rohelised. II Karbis on 9 valget ja 7 musta palli. Leidke tõenäosus, et karbist 1) juhuslikult võetud pall on valge; 2) juhuslikult korraga võetud kaks palli on mõlemad valged. III Esimeses urnis on 5 punast ja 3 sinist kuuli, teises 4 punast ja 3 sinist kuuli. Leidke tõenäosus, et 1) esimesest urnist juhuslikult võetud kuul on sinine; 2) võttes kummastki urnist juhuslikult ühe kuuli, on mõlemad kuulid sinised. Vastused 3 1 9 3 3 9 I 1) ; 2) . II 1) ; 2) . III 1) ; 2) . 8 8 16 10 8 56 Näpunäited Esimeses alaülesandes on tegemist lihtsündmusega. Lihtsündmuse tõenäosus on määratud soodsate
Valemid, teoreemid, seosed, tunnused, tingimused MATEMAATIKA EKSAMIL XI KLASSIS 1) a2-b2 = (a+b)(a-b) 2) a3 + b3=(a+b)(a2-ab+b2) 3) a3 - b3=(a-b)(a2+ab+b2) 4) (a+b)3 =a3+3a2b+3ab2+b3 5) (a-b)3 =a3-3a2b+3ab2-b3 −b ± √ b2−4 ac 2 6) a) lahenda ax + bx+c =0 2a b) tegurda : ax2 + bx+c= a( x− x1 )( x−x 2) c) tegurda ax3 + bx2+ax+b= x2(ax+b)+ax+b = (ax+b)(x2+1) 7) lim an bn lim an lim bn n n n 8) lim an bn lim an lim bn n n n 9) lim anbn lim an lim bn n n n an 10) lim lim an lim bn n bn n n 11) Korrutise tuletise sõnastus ja valem (u * v ) ´ = Korrutise tuletis võrdub esimese teguri tu
Kordamisülesanded 1. Geomeetrilise jada esimene liige on 96 ja kuues on -3. Leia jaga tegur. 2. Kas antud jada on geomeetriline jada? Kui on leia tegur, üldliikme valem ja kaks järgnevat liiget: a) 3;6;12;24;... b) 2;4;6;8;.... c) 8;-4;2;-1;... d) c 6 ; c 4 ; c 2 ; c 0 ;.. e) a; a 2 b; a 3b 2 ; a 4 b 3 ;... f) 1; 2 ;2;2 2 ;... 3. Geomeetrilise jada esimene liige on 3, jada tegur on 2. Leia jada kümnes liige ja kümne liikme summa. [ a10 = 1536; S10 = 3069] 4. Leia geomeetriline jada, mille kolmas liige on 12 ja kolme liikme summa on 21. a1 + a1q + 12 = 21 [3,6,12,.... ja 27,-18,12,...] Vihje: 2 12 Asenda teine esimesse. 1a q = 12 a1 = q2 5
Piirkondadeks jaotamiseks tuleb leida väärtused, mille puhul ühe absoluutväärtuse väärtus on 0. Antud võrrandis x1 = 2 x2 = 0 x3 = -1 Seejärel tuleb arvtelg jagada antud juhul neljaks piirkonnaks: ]-;-1], ]-1;0], ] 0;2] ja ]2;]. Piirkonnas lahendatakse lineaarvõrrand. Märke muudetakse järgmiselt: valitakse piirkonnast suvaline väärtus (näiteks esimesest piirkonnast -5) ning pannakse x asemele. Kui absoluutväärtuse väärtus on negatiivne, muudetakse märgid. Juhul, kui väärtus on positiivne, märke ei muudeta. Antud juhul: Piirkond: ]-;-1] Võrrand: -x+2-x=2-x-1 -> x=1 (EI SOBI PIIRKONDA) Piirkond: ]-1;0] Võrrand: -x+2-x=2+x+1 -> x1=-1/3 Piirkond: ]0;2] Võrrand: -x+2+x=2+x+1 -> x=-1 (EI SOBI P.K)
.. + anj Ank = aij Aik = (6) i =1 0, kui j k . i = k , siis võrdus (5) kehtib omaduse 7 põhjal. Seepärast eeldame, et i k . Tähistagu Tõestus. Fikseerime determinandis D kaks reanumbrit i ja k. Kui D^ determinanti, mis tekib determinandist D tema k-nda rea arvude asendamisel i-nda rea arvudega ai1 , ai 2 , ... , ain . Arendades determinandi D^ tema k- nda rea järgi, saame: D^ = ai1 Ak1 + ai 2 Ak 2 + ... + ain Akn . Omaduse 3 põhjal D^ = 0 , sest determinandi D^ i-s rida ja k-s rida langevad kokku. Siit järeldub võrdus (5) juhul i k . Analoogselt tõestatakse valem (6). Omadus 10. Kui A ja B on ühte ja sama järku ruutmaatriksid, siis
KOMBINATOORIKA 2 Kombinatoorika tegeleb üldiste meetodite ja valemite loomisega niisuguste ülesannete lahendamiseks, kus tuleb leida erinevate võimaluste arv mingis mõttes eristatavate hulkade moodustamiseks. Näiteks kui meil on vaja numbritest 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 moodustada neljakohalisi naturaalarve, siis saame neid arve eristada selles esinevate kohtade arvu järgi, aga lisaks sellele veel selle järgi, kas selles neljakohalises arvus on korduvaid numbreid, kas selles võib esikohal olla number 0, kas numbrite erinev järjestus annab erineva arvu jne. Seega on ennekõike vaja ülesande teksti põhjal määrata ühendite arvu määramise eeskirjad. Ühendeiks nimetatakse mingeist esemeist ehk elementidest moodustatud rühmi, mis erinevad üksteisest kas elementide endi, nende järjestuse või arvu poolest. Niisugust üldist definitsiooni saab väga mitmel viisil täpsustada. Järgnevalt vaatleme kuut kõige olulisemat võimalust selleks ja esitame vastavate ühendite ar
DETERMINANDI MÕISTE. KAHEREALISE DETERMINANDI Avaldanud esimesest võrrandist x-i ja asendanud saadud tulemuse teise võr- KASUTAMINE VÕRRANDISÜSTEEMIDE LAHENDAMISEL randisse, saame c1 b1 y Paljude sisult erinevate probleemide lahendamine viib ühe ja sama seaduse a1 x b1 y c1 x , kui a1 0. järgi koostatud avaldisteni
eest 200 krooni rohkem kui eelmise eest. Koos preemiaga, mis oli 2000 krooni, maksti puuraugu tegemise eest 11 900 krooni. Leidke puuraugu sügavus. Lahendus: Iga meetri eest makstud rahasummad moodustavad geomeetrilise jada, kus esimene liige on 300 ja jada vahe on 200. Kui puuraugu sügavuseks võtta n meetrit, siis makstud rahasumma, millest on maha lahutatud preemia, on jada n-liikme summa. Seega saime 1. liige a1 = 300; vahe d = 200; n-liikme summa Sn = 11900 2000 = 9900. 2a + ( n - 1) d Kasutame valemit S n = 1 n . Saame 2 Kasutatud kirjandus www.ekk.edu.ee Tööd asuvad keskkonnas www.kool.ee 23.05.1998 a matemaatika riigieksam Lehe haldamist toetavad Topauto ja meelespea.net 2 300 + ( n - 1) 200
…… 3 2.1 Mõningate arvude kõrgemad astmed ………………………….……. 3 2.2 Hariliku murru põhiomadus ………………………………….…….. 3 2.3 Tehetevahelised seosed ……………………………………….…….. 3 2.4 Tehted harilike murdudega ………………………………….……… 4 2.5 Tehete põhiomadused ……………………………………….……… 5 2.6 Näited tehete kohta positiivsete ja negatiivsete arvudega …….…….. 5 2.7 Näited tehete kohta ratsionaalarvudega ……………………….……. 6 2.8 Protsent ja promill …………………………………………….……. 8 2.9 Näited protsentarvutusest …………………………………………... 9 2.10 Arvu absoluutväärtus ………………………………………………. 10 2.11 Ülesanded ……………………………………………………….….. 11 3
võrrandi: x + y = 11. Saadud kaks võrrandit moodustavad võrrandisüsteemi tundmatute x ja y määramiseks: x y = 30, x + y = 11. NB! Võrrandisüsteem ei ole lineaarne (kuna esimeses võrrandis esineb tundmatute korrutis!). Seetõttu ei saa seda lahendada determinantide abil. Ülesanne 1 (3) Lahendus jätkub ... Võrrandisüsteemi lahendame asendusvõttega: avaldame ühe tundmatu (ükskõik kumma) lineaarsest võrrandist (teisest võrrandist), asendame saadud avaldise esimesse, mittelineaarsesse võrrandisse ja lahendame saadud ruutvõrrandi. Teise tundmatu väärtuse saame siis juba avaldada teisest (lineaarsest) võrrandist. Avaldame süsteemi teisest võrrandist tundmatu y: x + y = 11 y = 11 - x. Asendame esimeses võrrandis tundmatu y äsjasaadud avaldisega: x y = 30 x (11 - x) = 30.
Lineaarsed võrrandisüsteemid Lineaarne võrrand Definitsioon Lineaarse võrrandi all mõistetakse võrrandit kujul a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b, (1) kus a1 , ... , an ja b on fikseeritud (antud) arvud ning x1 , ... , xn on tundmatud. http://www.hot.ee/habib/MindReader.htm Arvu b nimetatakse vaadeldava võrrandi vabaliikmeks, arve a1 , ... , an aga tema kordajateks. Näide Võrrandis 5 x + 3 y - 2 z = -4 on vabaliikmeks arv 4, kordajateks arvud 5, 3 ja 2 ning tundmatud on tähistatud tähtedega x, y ja z. Lineaarse võrrandi lahend Definitsioon Lineaarse võrrandi (1) lahendiks nimetatakse sellist tundmatute x1 , ... , xn väärtuste komplekti c1 , ... , cn , R, mis asendamisel võrrandi (1) vasakusse poolde muudavad selle samasuseks: a1 c1 + a2 c2 + ... + an cn b. Näide Võrrandi 5 x + 3 y - 2 z = -4 üheks lahendiks on x = 1, y = -1 ja z = 3, kuna antud tun
a13a21a32 + a13a22a31 Sarruss'i reegel - skeem kolmandat järku determinandi leidmiseks 14. Crameri valemid ja nende tõestus juhul n = 2. x1 = D1/D; x2 = D2/D; ...; xn = Dn/D, kus Dj on determinant, mis tekib determinandist D, kui seal j veerg asendada vabaliikmete veeruga b 1, b2, ..., bn Nõuded: võrrandite arv = tundmatute arv; D 0 a11x1 + a12x2 = b1 ja a21x1 + a22x2 = b2 Tundmatu x1 leidmiseks lahutatakse arvu a22 kordsest esimesest võrrandist arvu a12 kordne teine võrrand ja saadakse (a11a22 - a12a21)x1 = b1a22 - b2a12 => x1 = (b1a22 - b2a12) / (a11a22 - a12a21) Tundmatu x2 leidmiseks lahutatakse arvu a11 kordsest teisest võrrandist arvu a21 kordne esimene võrrand ja saadakse (a11a22 - a12a21)x2 = b2a11 - b1a21 => x2 = (b2a11 - b1a21) / (a11a22 - a12a21) 15. Determinantide omadused (tõestusteta). detA; A = ||aij|| Rnxn 1. |A| = |AT| => kõik omadused, mis kehtivad ridade kohta, kehtivad ka veergude kohta 2
Tiia Toobal 2008 II osa Pärnu Koidula Gümnaasium Test nr. 1. a 0,5 - 16b 0, 5 1. Leia avaldise - 4b 0, 25 , kui a = 16. a 0, 25 - 4b 0, 25 1) 6 2) -2 3) 4 4) 2 2. Leia antud arvudest suurim ( 2) ( 2) 3, 2 3 1 4, 7 1) 2) 3) 4) 3 4 5 2 3 1- log 3 6 - log 4 0 ,125 3. Arvuta avaldise 27 -4 väärtus. 1) 0 2) 7,875 3) 7,875 4) 3,875 4. On antud perioodilise funktsiooni y
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK - alfa - nüü - beeta - ksii - gamma - omikron - delta - pii - epsilon - roo - dzeeta - sigma - eeta - tau - teeta - üpsilon - ioota - fii - kapa - hii - lambda - psii - müü - oomega
valge kuuli valimise tõenäosus on P(B) = P(BA) = P(valge) = 2/4 = 0,5 e. 50%. Sama loogikaga jätkates on kolmanda valge kuuli valimise tõenäosus vaid P(C) = P(C | P(B)) = P(C|A U B) P(valge) = 1/3 = 0,333 ehk 33,3%. Need sündmused on üksteisest sõltuvad, seega nad on sõltuvad juhuslikud sündmused. Näide 7. Viskame kahte täringut. Tähistame E sündmuse, et saadav punktisumma on 6 1 ja sündmuse F, et esimese täringuga saime 4 silma. P(E F) = P({4,2})=1/36 1 kuna P(E )P(F) = 5/36*1/6 = 5/216 1 Sündmused E ja F on sõltuvad. Juhul kui loodame saada kahe täringuga punktisumma 1 6, siis õnne korral võib 1. täringu silmade arv olla 4 (aga ta võib olla ka 1, 2, 3, 5, 6). Ainult neil juhtudel on võimalik, et saame summa 6. Teiselt poolt, kui saame 1. täringu viskel kohe 6, siis meil ei ole enam võimalust kahe täringu viskel summat 6 saada.
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK Α α alfa Ν ν nüü Β β beeta Ξ ξ ksii Γ γ gamma Ο ο omikron Δ δ delta Π π pii Ε ε epsilon Ρ ρ roo Ζ ζ dzeeta Σ σ sigma Η η eeta Τ τ tau Θ θ teeta Υ υ üpsilon Ι ι ioota Φ φ fii Κ κ kap
-13 (-19) = -13 +19 = 6 ja -19(-13) = 247 x 1 = -19 sobib 2) kui x 2 = 13, siis II arv on x +6 = 13 +6 = 19 19 -13 = 6 ja 13 19 = 247 Vastus:need arvud on -19 ja -13 või 13 ja 19 274 II lahendus. Olgu arvud x ja y, vastavalt ülesande tingimustele saame võrrandisüsteemi, x y 6(1) xy 247(2) mille lahendame asendusvõttega: avaldame (1) võrrandist x-i (võib ka y-i) ja asendame (2) võrrandi x-i (või y-i). (1) x = y +6 Asendades (2) võrrandis x-i, saame (y +6)y = 247 y² +6y = 247 y² +6y 247 = 0 y = -3 9 247 = -3 256 = -3 16 y 1 = -19 või y 2 = +13
-13 (-19) = -13 +19 = 6 ja -19(-13) = 247 x 1 = -19 sobib 2) kui x 2 = 13, siis II arv on x +6 = 13 +6 = 19 19 -13 = 6 ja 13 19 = 247 Vastus:need arvud on -19 ja -13 või 13 ja 19 274 II lahendus. Olgu arvud x ja y, vastavalt ülesande tingimustele saame võrrandisüsteemi, x y 6(1) xy 247(2) mille lahendame asendusvõttega: avaldame (1) võrrandist x-i (võib ka y-i) ja asendame (2) võrrandi x-i (või y-i). (1) x = y +6 Asendades (2) võrrandis x-i, saame (y +6)y = 247 y² +6y = 247 y² +6y 247 = 0 y = -3 9 247 = -3 256 = -3 16 y 1 = -19 või y 2 = +13
-13 (-19) = -13 +19 = 6 ja -19(-13) = 247 x 1 = -19 sobib 2) kui x 2 = 13, siis II arv on x +6 = 13 +6 = 19 19 -13 = 6 ja 13 × 19 = 247 Vastus: need arvud on -19 ja -13 või 13 ja 19 274 II lahendus. Olgu arvud x ja y, vastavalt ülesande tingimustele saame võrrandisüsteemi, x - y = 6(1) xy = 247(2) mille lahendame asendusvõttega: avaldame (1) võrrandist x-i (võib ka y-i) ja asendame (2) võrrandi x-i (või y-i). (1) x = y +6 Asendades (2) võrrandis x-i, saame (y +6)y = 247 y² +6y = 247 y² +6y 247 = 0 y = -3 ± 9 + 247 = -3 ± 256 = -3 ± 16 y 1 = -19 või y 2 = +13
2 4 Kui a ≠ 1, siis siis sellist võrrandit nimetatakse taandamata ruutvõrrandiks ja see lahendatakse valemiga b b2 4ac x1;2 2a 3) Kui ruutvõrrandis ax2 + bx + c = 0 b = 0 või c = 0, siis selliseid võrrandeid nimetatakse mittetäielikeks ruutvõrranditeks ja neid valemi abil ei lahendata. Näide 1. Lahendame võrrandi 3x2 – 5x = 0 5 x(3x – 5) = 0, järelikult x1 = 0 ja x2 = . 3 Näide 2. Lahendame võrrandi 4x2 + 21 = 0 21 4x2 = –21, millest x2 = – . Sellel võrrandil reaalarvude hulgas lahendeid ei ole, sest 4 negatiivsest arvust ei saa võtta ruutjuurt. © Allar Veelmaa 2014
ij det A = a1i A1j + a2i A2j + · · · + ani Anj 2.3 Arendusvalemid V~otame arendusteoreemides j = i. Saame nn arendusvalemid ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + · · · + ain Ain det A = a1i A1i + a2i A2i + · · · + ani Ani Esimene valem on determinandi arendus i-nda rea j¨argi ning tei- ne valem on determinandi arendus i-nda veeru j¨argi. Esimesest arendusvalemist saame i = 1 korral determinandi definitsiooni. Arendusvalemeid v~oib kasutada determinandi arvutamiseks. Otstarbekas on kasutada arendusi eesk¨att nende ridade (veergude) j¨argi, mis sisaldavad nulle. 1 Leopold Kronecker (1823-1891), saksa matemaatik I. Determinandid 5 2.4 N¨ aide (u ¨ lesanne) Arendame kolmandat j¨arku determinandi teise rea ja kolmanda veeru j¨argi a11 a12 a13
x (x - 7) = 0 x² - 9 = 0 x1 = 0 x² = 9 x7=0 x = ± 9 = ±3 x2 = 7 x1 = 3 ja x2 = -3 Biruutvõrrand Biruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul ax4 + bx² + c = 0, kus a, b ja c on antud arvud (a0) ja x on tundmatu. Lahendamisel asendame x² mingi tähega ja lahendame võrrandi uue muutuja suhtes. Näidisülesanne 1: Näidisülesanne 2: x4 10x² + 9 = 0 x4 + 5x² + 4 = 0 x² = y x² = y y² - 10y + 9 = 0 y² + 5y + 4 = 0 y = 5± 25 - 9 =5± 16 = 5±4 -5 52 - 4 4 -5 9 -5 3 y= = =
annaabi.ee 
