F-ni funktsiooni Argumentide Funktsiooni Funktsiooni Loogika nr. nimetus funktsioonid selgitus matemaatiline elemendi X1=0011 esitus tähis X2=0101 olekutabel f0 konstantne OOOO Väljundis f0=0 null on signaal alati 0 f1 konjuktsioon OOO1 väljundis on f1=X1*X2 e. Loogiline 1, kui kõikides X1 korrutamine süsteemides on X2 & y e. NING sisendites 1 f2 X2 keeld OO1O väljund võrdub f2=X1* X2 sisendiga X1 kui X2=0. Korral & ...
x20= y20= 100 50 0 0 2 4 6 8 Klaviatuurilt sisestatakse argumendi alg- ja lõppväärtus a ja b ning sammuude arv n. Funktsiooni väärtust arvutatakse punktides a, a+h, a+2*h, ... kuni argumendi väärtus ei ületa b, kusjuures samm h = (b a 9,4447726007 x y=x + - 1 2 2x 2 400 y 350 300
SELETUS e. SEOS - sellepärast, et tugevat klassi iseloomustavad head eksamite tulemused. TÕESTUS(ED) - Kõigi eksami tulemused olid vabariigi keskmisest kõrgemad. JÄRELDUS - Järelikult meil on väga tugev klass. Näide2 .. VÄIDE - Ma olen meie klassi kõige targem õpilane. SELETUS e. SEOS - sellepärast, et mul on kõrgemad hinded kui teistel. TÕESTUS(ED) - Ekoolist.... JÄRELDUS - Järelikult olen ma kõige parem. Et paremini aru saada, mis teeb ühe argumendi tugevaks, tuleb teada, millest argument koosneb. Väide on mõte, mida tahetakse tõestada. Seletus e. seos e. loogiline seos on väidet ja tõestust omavahel siduv loogika, mis ei pruugi olla selgelt välja toodud. Tõestus on põhjendus, mille abil väidet tõestatakse, tavaliselt kas mõni põhimõte või faktiline näide. (teaduslik uuring, statistika, jutustus, autoriteetse isiku tsitaat, esemeline tõestus)
FUNKTSIOONIDE TULETISED Funktsiooni y=f(x)tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. f ( x + x)- f ( x) f ' ( x)= lim ¿ x 0 x Funktsiooni summa ja vahe tuletis [f (x) + g (x) ]' = f ' (x) + g ' (x) [f (x) - g (x) ]' = f ' (x) - g ' (x) Funktsiooni korrutise tuletis [f (x) * g (x) ]'= f ' (x) *g (x) + f (x) * g ' (x) Funktsiooni jagatise tuletis [ ] f (x) g(x) '= f ' ( x)g (x )- f ( x )g ' ( x) [ g ( x) ] 2
Ühiskond Eesti Vabariigi sotsiaalkindlustus: mõiste, liigid, sotsiaalkindlustusmaksed. Sotsiaalkindlustus on riigi poolt antav garantii, millega teatud sotsiaalsete riskide korral tagatakse täiendav sissetulek või sissetulekute jätkumine vähemalt tasemel, mis võimaldab inimväärset äraelamist. Sotsiaalkindlustusmaksed on kohustuslikud maksud, mida sotsiaalkindlustusametid koguvad haigus-, töövõimetus- või töötushüvitiste maksmiseks. Filosoofia Teema: Argumendi äratundmine Näidisküsimus: Milliste näitajate põhjal tunned ära argumendi? (õpilane saab vastava teksti, milles tunneb ära kõik argumendid) Materjal: http://filosoofiajaloogika.ee/argument/,http://filosoofiajaloogika.ee/argumendi- indikaatorid/,http://filosoofiajaloogika.ee/argumendi-moiste- 2/,http://filosoofiajaloogika.ee/vastused-2/ Argument on mõtlemisvorm, mis koosneb väitest ja sellest põhjendusest. Teine võimalik
Funktsioone saab esitada valemi, tabeli graafikuga ja sõnaliselt.
Funktsioon e kujutius- seos, mis seob ühe hulga iga elemendi üheselt määratud elemendiga teiste
hulgast.
Lineaarfunktsioon- funktsioon, mida saab esitada kujul y=ax+b.
Ruutfunktsioon- funktsioon, mis on esitatud ruutavaldisega.
Funktsiooni määramispiirikond- valemina antud funktsiooni argumendi x selliste väärtuste hulk,
mille korral on võimalik funktsiooni f(x) väärtust välja arvutada.
Funktsiooni muutumispiirkond- funktsiooni väärtuste hulk ehk selle määramispiirkonna kujutis.
Kasvavaks nimetatakse funktsiooni y=f(x) vahemikus (a;b), kui selles vahemikus argumendi
väärtuste suurenedes ka funktsiooni vastavad väärtused suurenevad: kui x1
Väitlus Punamütsike ei olnud liiderlik tüdruk Tere! Mina olen … ning ma olen väitluse avakõneleja. Täna kõnelen teemal „Kas punamütsike oli liiderlik tüdruk?“. Meie eesmärgiks on tõestada, et Punamütsike ei olnud liiderlik tüdruk. Esimese argumendina väidan, et Punamütsike oli sügavusklik kristlane. Muinasjutt „Punamütsike“ on ajakirja Imeline Ajalugu andmetel kirjutatud 12. sajandil Kesk-Euroopas. Sel ajal oli seal aga paavstivõimu hiilgeaeg ning inimestele sisendati väga tugvalt usku, mille tõttu olid inimesed sügavalt usklikud. Kristluses ei peeta sündsaks liiderlikkust. Seetõttu väidan, et kirjanik ei kirjutanud muinasjuttu liiderlikust tüdrukust. Punamütsikese riietus oli punane, mis tähistab Kristuse kannatusi. Selle põhjal arvan, et Punamütsikese usk võis olla nii sügav, et ta kandis punast, mõeldes Kristuse kannatustele. Teise argumendina tooksin väl...
ühe kindla väärtuse, nimetatakse funktsiooniks. Sõltuv muutuja - Valemis muutuja, mille väärtus sõltub ühest või enamast teisest muutujast. Sõltumatu muutuja - Valemis iga muutuja, mille väärtus ei sõltu ühestki teisest muutujast. 2. Mis on funktsiooni määramispiirkond muutumispiirkond? Mis on funktsiooni loomulik määramispiirkond? Funktsiooni määramispiirkond - valemina antud funktsiooni argumendi x selliste väärtuste hulk, mille korral on võimalik funktsiooni f(x) väärtust välja arvutada. Funktsiooni muutumispiirkond - muutuja y kõigi väärtuste hulk. Funktsiooni loomulik määramispiirkond argumendi väärtuse hulk, mille korral funktsiooni määrav eeskiri on rakendatav- 3. Millised on funktsiooni põhilised esitusviisid? Valemi abil, graafiku alusel, tabeli abil. 4. Mis on funktsiooni graafik?
Ül 6. Töölehele Valem leida lehel SKP olevast tabelist majandussektori 'Tööstus ja ehitus' väärtused haldusüksuste ja aastate lõikes Kasutada funktsioone SUMIFS või AVERAGEIFS (üks valem sobib kopeerimiseks terve tabeli jaoks) Ül 7. Töölehele funktsioonid koostada rakendus kahe ühemuutuja funktsiooni F1 ja F2 (vt. funkts väärtuste arvutamiseks sobival lõigul, mida on võimalik muuta. Kujutada moodustatud tabeli andm Rakenduse algandmeteks on argumendi vahemiku algus ja lõpp. Jaotiste arv tabeli loomisel on 40. Leida tabeli andmetest valemite abil funktsiooni F2 suurim väärtus ja sellele vastav argument (x vä Viimane nr lintdiagramm (Bar) 2012. ja 2015. aasta rahvaarvudest tabelis toodud haldusüksuste lõikes. lintdiagramm (Bar) 2014. ja 2016. aasta rahvaarvudest tabelis toodud haldusüksuste lõikes. joondiagramm Harju, Ida-Viru ja Pärnu maakondade rahvaarvudest tabelis toodud aastatel.
Funktsiooni määramispiirkonnaks nim. argumendi väärtuste hulka, mille korral saab leida f-ni väärtust. Funktsiooni muutumispiirkonnaks nim. funktsiooni väärtuste hulka. Paaris funktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Funktsiooni nullkohaks nim. argumendi väärtust, mille korral funktsiooni väärtus võrdub 0-ga. y = 0 Funktsiooni positiivsuspiirk. nim. argumendi väärtuste hulka, mille korral funktsiooni väärtused on positiivsed. y > 0 Funktsiooni negatiivsuspiirk. nim. argumendi väärtuste hulka, mille korral funktsiooniväärtused on negatiivsed. y < 0 ____________________________________________________________________________________________ Funktsiooni pöördfunktsiooni leidmiseks tuleb a.) vahetada muutujad x ja y b.) saadud avaldisest avaldada y
Ekstreemumkoht on argumendi väärtus, mille korral on funkts. Suurim vi vähim väärtus Ekstreemumpunkt On graafiku punkt, kus funktsioonil on kas suurim või vähim väärtus Kasvamispk nim. Argumendi väärtuste hulka, mille korral suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funkts. Väärtus (selles piirkonnas on funkts. Graafik tõusev) Kahanemispk on argumendi väärtuste hulk, mille korral suuremale väärtusele vastab väiksem funkts. Väärtus (graafik langev) Käänupkt- punkt, millest läbiminekul joon muutub kumerast või nõgusast kumeraks. Kumeruspk argumendi väärtuste hulk, kus graafik on kumer Nõgususpk - argumendi väärtuste hulk, kus graafik on nõgus Paarisfunk graafik on sümeetriline y-telje suhtes Paaritufunk graafik on sümeetriline kordinaatide alguspunkti suhtes
1) Funktsiooni määramispiirkonnaks (X) nim. argumendi (x) väärtuste hulka, mille korral funktsiooni (y) väärtust saab leida. 2) Funktsiooni muutumispiirkonnaks (Y) nim. funktsiooni väärtuste hulka. 3) Funktsiooni nullkohtadeks (Fo) nim. Argumendi väärtuste hulka, mille korral funktsiooni väärtus on 0. Leidmine: tuleb panna 0-ga võrduma ehk funktsioon (y) asendatakse 0-ga. 4) Funktsiooni positiivsuspiirkonnaks (F+) nim. argumendi x väärtuste hulka, mille korral funktsiooni y väärtused on positiivsed. Leidmine: võrratus+intervallimeetod 5) Funktsiooni negatiivsuspiirkonnaks (F-) nim. Argumendi x väärtuste hulka, mille korral funktsiooni y väärtused on negatiivsed. Leidmine: võrratus+intervallimeetod 6) Funktsiooni kasvamisvahemikuks nim. Argumendi x väärtuste hulka, mille korral x-i väärtuste kasvades y-i väärtused kasvavad. Tunnus: f´(x)>0
Mata eksami küsimused ja vastused 1. Funktsiooni mõiste. Määramispiirkond ja muutumispiirkond. Kolme põhilise elementaarfunktsiooni graafikud. - y=f(x), on eeskiri, mis seab ühe muutuja (sõltumatu muutuja ehk argumendi) igale väärtusele vastavusse teise muutuja (sõltuva muutuja) kindla väärtuse. - Argumendi väärtuste hulk on funktsiooni määramispiirkond X ja funktsiooni väärtuste hulk on funktsiooni muutumispiirkond Y. 2. Funktsioonide liigitus paarisfunktsiooniks ja paarituksfunktsiooniks. Kaks tuntumat paarisfunktsiooni ja kaks tuntumat paaritutfunktsiooni. - Kui terves määramispiirkonnas kehtib funktsiooni f(x) jaoks võrdus f(-x)=f(x), siis on tegemist paarisfunktsiooniga. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. f(x)=x2, sest (-x)2=x2
Sisukord Argument | Funktsioon.......................................................................... 4 Tabulleerimise meetod(0. variant): On antud agrumendi alg- ja lõppväärtus A ja B, samm H ning sammu koeffitsient C; kusjuures peavad kehtima tingimused B > A ja H,C > 0. Funktsiooni väärtust arvutatakse punktides A, A + H, A + H + C*H, A + H + C*H + C2*H, ... (st samm võetakse iga kord teguriga C) kuni argumendi väärtus ei ületa B................................................. 4 Ülesande püstitus Vastavalt oma variandile (matrikli kolm viimast numbri) valitakse tabuleerimise meetod ja tabuleeritav funktsioon. Koostatakse ülesande algoritm ja sellele üksüheselt vastav programm (C- keeles). Kõik algandmed on reaalarvulised ning sisestatakse klaviatuurilt. Tulemused kuvatakse (väljastatakse ekraanile) tabeli kujul, mille veergudeks on vastavalt
Kordamisküsimused aines "Matemaatiline analüüs I" Funktsioon Funktsioon. Kui muutuja x igale väärtusele piirkonnas X vastab muutuja y kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X. Funktsiooni y argumendiks e sõltumatuks muutujaks nimetatakse muutujat x Sõltuvaks muutujaks nimetatakse funktsiooni y. Funktsiooni määramispiirkond. Funktsiooni y määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi x muutumispiirkonda. Funktsiooni y muutumispiirkonnaks Y nimetatakse funktsiooni väärtuseid, mis vastavad kõigile argumendi väärtustele piirkonnas X. Funktsioonide liigid. Paarisfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni f(x), mis rahuldab tingimust f ( x) = f (- x) iga x puhul määramispiirkonnas X. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y- telje suhtes: y = x2 Paarituks funktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni f(x), mis rahuldab
Missugust fni nim. kasvavaks? 10. Missugust fni nim. kahanevaks?(lk. 136) 11. Millal on funktsioonil kohal xe maksimum? (lk. 136) 12. Millal on fnil kohal xe miinimum? 13. Missugust fni nim. paarisfniks? (lk. 147) 14. Milline omadus iseloomustab paarisfni graafikut? 15. Missugust fni nim. paariituks? (lk147,148) 16. Milline omadus iseloomustab paaritu fni graafikut? Vastused 1. Fni määramispiirkonnaks X nimetatakse argumendi x kõigi väärtuste hulka mille korral saab funkts. Väärtust arvutada 2. Fni mutuumispiirkonnaks Y nim. Funktsiooni kõigi väärtuste hulka 3. Fniks nimetatakse seost, mis seab sõltumatu muutuja x igale väärtusele hulgast X vastavasse sõltuvusse muutuja y ühe kindla väärtuse hulgast Y. 4. Fni nullkohtadeks X0 nim. Argumendi x kõigi väärtuste hulka ille korral fni väärtus on null (y=0) 5
Järelikult: f(x) + g(x) = A+B + ( (x) + (x) ) lvs (x +) Lim ( f(x) + g(x) ) = A+B m.o.t.t. Sõnastatud teoreem kehtib mistahes lõpliku arvu liidetavate korral. Näide 1: 2. Esitada funktsiooni y = f (x) punktis pidevuse definitsioon. Tuletada funktsiooni pidevuse tunnus. Pidevus on funktsiooni omadus, kusjuures mingis kindlas piirkonnas pideva funktsiooni graafik on katkematu joon. Olgu funktsioon y=f(x) määratud mingi argumendi väärtusega xo ja selle mingis ümbruses keskpunktiga xo. Olgu yo = f (xo). Kui argument x muutub mingi positiivse või negatiivse väärtuse võrra ning omandab väärtuse x= xo + x, siis ka funktsioon y muutub mingi suuruse y võrra ja see väljendub valemiga: y= f(xo + x) f(xo). Definitsioon: Funktsiooni y = f (x) nimetatakse argumendi väärtusel x=xo pidevaks, kui on täidetud kolm tingimust:
muutuja väärtus). Võrdelise seose valemiks on y = ax ja tunnuseks a = y/x. Graafikuks on sirgjoon, mis läbib punkte (0;0) ning (1;a). Pöördvõrdelise seose valemiks on y = a/x, kus x 0 ja tunnuseks a = xy. Graafikuks on hüperbool. Lineaarfunktsiooni valemiks on y = ax + b ning graafikuks sirgjoon, mis läbib punkte (0;b) ning (1;a+b). Funktsiooni määramispiirkond (X) on sõltumatu muutuja e. argumendi x väärtuste e. funktsiooni väärtuste hulk. Funktsiooni muutumispiirkond (Y) on sõltuva muutuja y väärtuste hulk. Funktsiooni esitusviisideks on valem e. analüütiline esitus, graafik, tabel, arvupaarid ning nooldiagramm. Argumendi väärtusi, mille korral funktsiooni väärtus on 0 nimetatakse funktsiooni nullkohtadeks (X0). Funktsiooni nullkohtade leidmiseks tuleb määrata punktid, kus f(x) = 0. Funktsiooni positiivsuspiirkonna (X+) moodustavad
sõltuva muutuja mingi väärtus Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks nimetatakse kõikide selliste muutuja x väärtuste hulka, mille korral saab funktsiooni väärtust y arvutada. (Tähis:X) Funktsiooni y=f(x) muutumispiirkonnaks nimetatakse muutja y kõigi väärtuste hulka.(Tähis:Y) Funktsiooni esitusviisid: valem, sõnaline formuleering, nooldiagramm, graafik, tabel. Funktsiooni nullkohaks nimetatakse argumendi väärtust, mille korral funktsiooni väärtus on null. Võrrand-(f(x)=0)(Tähis:X0) Funktsiooni positiivsuspiirkonnaks nimetatakse argumendi kõigi selliste väärtuste hulka, mille korral funktsiooni väärtus on positiivne. Võrratus-(f(x)>0) (Tähis:X+) Funktsiooni negatiivsuspiirkonnaks nimetatakse argumendi kõigi selliste väärtuste hulka, mille korral funktsiooni väärtus on negatiivne. Võrratus-(f(x) <0)(Tähis:X-)
määramispiirkonda. Funktsiooni tuletis saabki kehtida ainult algfunktsiooni määramispiirkonnas! See on oluline detail, mida tuleb alati märkida. Algfunktsiooni võib defineerida ka teistmoodi, kuigi mõte on täpselt sama: Funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) ALGFUNKTSIOONIKS lõigul [a;b] , kui selle S lõigu kõikides punktides kehtib võrdus F'(x) = f(x). Lõigu [a;b] sisse jäävad need argumendi väärtused, mille puhul on mõlemad, nii funktsioon kui ka tema algfunktsioon, määratavad. NÄITEID: x3 x3 ' 2 1) Funktsioon f(x) = 3 on funktsiooni f(x) =x algfunktsioon reaalarvude hulgal R , sest 3 2
8. Hääbuva geomeetrilise jada summa avaldub kujul S = a 1 / (1 q), kus a 1 on geomeetrilise jada esimene liige, q on alates teisest liikmest liikme ja sellele eelneva liikme jagatis ning n on liikmete arv jadas. 9. Funktsioon vastavus (eeskiri), mis seab sõltumatu muutuja x igale väärtusele hulgast X vastavusse sõltuva muutuja y ühe kindla väärtuse hulgast Y. 10. Funktsiooni määramispiirkond X sõltumatu muutuja ehk argumendi x väärtuste hulk. *Näide: funktsiooni f (x) määramispiirkond on R {0}. Funktsiooni muutumispiirkond Y sõltumatu muutuja y väärtuste ehk funktsiooni väärtuste hulk. *Näide: funktsiooni f (x) = x(2) muutumispiirkond on kõigi mittenegatiivsete reaalarvude hulk. 11. Funktsiooni nullkohad argumendi väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on 0, nimetatakse nullkohtadeks. Funktsiooni nullkohtade leidmiseks tuleb määrata need x väärtused, kus f (x) = 0.
8.Käänup. asendad käänukohad algv-sse 9.Kumerus/nõgusus X : y ´ ´ < 0 X : y ´ ´ > 0 murru korral korrutiseks + joonis pos-nõgus, neg- kumer 10.Asümptoodid: PA-katkevuskohad f (x ) b1,2 = lim [ f ( x )-kx ] KA- y=kx+b k =xlim ± x x ± Määramispiirkond kõigi selliste muutuja x väärtuste hulk, mille korral f(x) on arvutatav Nullkohad - need argumendi väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on null. Positiivsuspiirkond - argumendi need väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on positiivne. f(x) > 0 Negatiivsuspiirkond argumendi need väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on negatiivne Ekstreemumkohad -argumenti väärtused, mille korral funktsiooni kasvamine läheb üle kahanemiseks või vastupidi Ekstreemumpunktid - graafiku punktid, kus funktsioonil on kas suurim või vähim väärtus
Näiteks kui väitlusteema on "Koolivormi kehtestamine Eesti koolides on põhjendatud", võiks üks argument selle toetuseks olla "Koolivormi kehtestamine Eesti koolides on põhjendatud, sest see vähendab ebavõrdsust rikaste ja vaeste laste väljanägemise vahel". Üldiselt võiks väitluskaasuses koosneda 2-4 tugevast argumendist, millest igaüks väljendab erinevat ideed. Lisaks sellele, et väitluskaasus peaks olema jagatud eraldiseisvateks argumentideks, peaks ka iga argumendi enda sees olema mingisugune struktuur. Vaatame nüüd, millistest osadest üks hea argument peaks koosnema. 1. Väide Väide on argumendi pealkiri, mis ütleb ära, mida argument tõestada tahab. Väide peaks koosnema ühest lausest, mis võtab terve argumendi kokku. Mõned lõigud tagasi toodud näide argumendist koolivormi poolt ("Koolivormi kehtestamine Eesti koolides on põhjendatud, sest see vähendab ebavõrdsust rikaste ja vaeste laste väljanägemise vahel") ongi tegelikult väide
1.10 Funktsiooni tuletis DEF 1.Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nim. funktsiooni y=f(x) muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. f´(x)=limy/x, piirprotsessis x->0 DEF 2. Kui funktsioonil f(x) on tuletis kohal x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. f´(x0) <->f(x) D(x0) DEF 3. Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x+)=limy/x, piirprotsessis x->0+ DEF 4. Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x-)=limy/x, piirprotsessis x->0- Funktsiooni tuletis: Lause 1
ühe seisukohta toetuseks erinevate põhjenduste toomine. See on eraldi seisev mõte, mis toetab seda seisukohta. Argument vastam alati küsimusele miks. Palgaarmee on eestile vajalik, kuna treenitud poisse on hea vaadata, kuna tagab eesti turvalisuse, nõuab vähem raha, kuna jätab aega rohkem koolis käia. on põhjendus. Palgaarmee on eestile vajalik, kuna see on kasulik, kuna see koosneb 5000mehest.-ei ole põhjendus. Tugevam või parem mõte on see, kui hästi see on ära tõstatud. Argumendi ülesehitus- väide(mõte, mida ahetakse öelda) tõestus(põhjendus, mille abil väidet tõestatakse) - loogiline seos(loogika, mis seob väidet ja tõestust). Veenva argumendi esitlemine- argumendi osa, millisele küsimusele see vastab, milliste sõnadega ta algab, näide. Argumendi osa Vastab küsimusele Milliste sõnadega näide algab väide Mida väidetakse? Minu 1,2,3..
Räägitakse, et xi on eelnev väärtus ja xk on järgnev väärtus. Kasvava muutuva suuruse korral on iga järgnev väärtus suurem kui eelnev väärtus. Kahaneva muutuva suuruse korral on iga järgnev väärtus väiksem kui eelnev väärtus. Funktsioon Funktsioon on eeskiri, mis seab ühe muutuja x igale väärtusele piirkonnast X vastavusse teise muutuja y ühe kindla väärtuse. Muutuja x – sõltumatu muutuja ehk argument. Muutuja y – sõltuv muutuja ehk funktsioon. Argumendi x väärtuste hulk X on funktsiooni määrmaispiirkond. Funktsiooni väärtuste hulk, kus vastab argumendi väärtuste hulk, kus vastab argumendi väärtuste hulgale, on funktsiooni muutumispiirkond. Tähised: y = f (x) , y = y (x), y = g (x) Võib olla x = x (t) x- funktsioon t- argument S=S (r) Kasvava funktsiooni korral vastab suuremale argumendi väärtusele suurem funktsiooni väärtus. Kahaneva funktsiooni korral vastab suuremale argumendi väärtusele väiksem
M > 0 , et kõik muutuva suuruse väärtused, alates mingist väärtusest, täidavad x M tingimust - M x M , s.t. 3. Funktsiooni definitsioon, funktsiooni määramispiirkond ja muutumispiirkond. Kasvav ja kahanev funktsioon. Funktsiooni esitusviise. Funktsioonide liike. Def. Kui muutuja x igale väärtusele piirkonnas X vastab muutuja y kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X. Argumendi x muutumispiirkonda X nimetatakse funktsiooni y määramispiirkonnaks. Funktsiooni väärtused, mis vastavad kõigile argumendi väärtustele piirkonnas X, moodustavad funktsiooni muutumispiirkonna. Funktsiooni f (x) nimetatakse piirkonnas X kasvavaks, kui selles piirkonnas igale suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus, ja kahanevaks, kui igale suuremale argumendi väärtusele vastab väiksem funktsiooni väärtus.
Funktsiooni määramispiirkonnaks nimetatakse selliseid argumendiväärtuseid, mille korral on reaalne funktsiooni väärtus olemas 3. Millised võimalused on funktsiooni esitamiseks Valemina, tabelina, graafiliselt, järjestatud arvupaaridena, nool diagrammidega 4. Mida nimetatakse funktsiooni null kohaks ja mida negatiivsus piirkonnaks? Funktsiooni null koht on selline x väärtus kui graafik lõikab x telge. y = null. Negatiivsuspiirkonna moodustavad need argumendi väärtused, mille korral on funktsiooni väärtus negatiivne ehk y on väiksem 0 5. Millal on funktsioon kasvav? Kui suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus 6. Mis on funktsiooni ekstreemumkoht? Argumendi väärtust, mille korral funktsioon saavutab oma suurima või vähima väärtuse, nimetatakse ekstreemumkohaks
I Loe läbi Hallapi tekst ning vasta lühidalt järgmistele küsimustele: 1. Mis on argument ning mis osadest see koosneb? Argumentatsiooniteooria määratleb argumendi kui mõtlemisstruktuuri, mis koosneb teesist ja põhjendusest. Teine, sisult samaväärne võimalus on öelda, et argument on kogum väiteid, kus ühtedest väidetest (eeldustest) järeldatakse teised (järeldused). 2. Mis on lihtargument ning kuidas nendest moodustub ahel? Nimetatakse ka järeldusvormiks, mis koosneb eeldustest ja järeldusest. Lihtvormid põimitakse arutluses omavahel kokku loogilisteks järeldusahelateks, nii et ühe lihtargumendi järeldusest saab järgmise
Esindada ei tohi ainult iseennast. 1. jaataja 1. eitaja 2. jaataja 2. eitaja 1. Juhatab teema sisse 1. Tuvustab 1. Taastugevdab oma 1. Teeb 2. Tutvustab olulisi 2. Asub argumente argumente kokku mõisteid ümber lükkama 2. Lükkab ümber eitaja 2. Lükka 3. Tutvustab väitlejaid 3. Kui on aega, toob argumendi jaataja 4. Toob argumendid sisse oma 3. Teeb kokkuvõtte argum 1.;2.;(3.) argumendi 5. Aega on 5 minutit 4. Ristküsitlus 6. Ristküsitlus Küsitleb 2. eitaja Küsitleb 2.jaataja Argument Argumendi struktuur: 1. Väide 2. Selgitus 3. Tõestus 4. Järeldus Tõestuseks sobivad kõik eelnevad strateegiad. Kasutada võib fakte,
........................lk9 3 Ülesande püstitus Vastavalt oma matriklinumbrile valitakse tabulleerimise meetod ja tabuleeritav funktsioon etteantud valikute seast. Tuleb koostada ülesande algoritm ja sellele üksüheselt vastav C- keeles. Tingimused: 1) Kõik algandmed on reaalarvulised ning sisestatakse klaviatuurilt. 2) Tulemused väljastatakse tabeli kujul, mille veergudeks on vastavalt argumendi ja funktsiooni väärtused st. kujul Argument | Funktsioon X1 | Y1 X2 | Y2 jne Tabulleerimise meetod(2. variant): On antud argumendi alg- ja lõppväärtus A ja B ning sammuude arv N. Funktsiooni väärtust arvutatakse punktides A, A + H, A +2*H, ..., B, kusjuures samm H = (B A)/N. Tabuleeritav funktsioon:
"Matemaatiline analüüs I" Funktsioon Funktsioon- Kui muutja x igale väärtusele piirkonnas X vastab muutuja y kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X. Sõltumatu muutuja on x, sõltuv y Funktsiooni määramispiirkond-Funktsiooni y määramispiirkonnaks nimetakse argumendi x muutumispiirkonda. Funktsioonide liigid- 1. Paaris funktsioon-rahuldab tingimust f(x)=f(-x) ja see on sümmeetriline y-telje suhtes. (Nt:y=x2) 2.Paaritu funktsioon-rahuldab tingimust f(-x)=-f(x) ja see on sümmetrialine 0 punkti suhtes. (y=sinx) 3.Perioodilised funktsioonid- rahuldab tingimust f(x+T)=f(x), T on periood. 4.Ilmutatud funktsioon- funktsioon, kus esitatava võrdsuse vasakul pool on ainult sõltuv muutuja y ja paremal muutujast x sõltuv avaldis. 5
x M väärtusest, täidavad tingimust - M x M , s.t. . FUNKTSIOON:. . Kui muutuja x igale väärtusele piirkonnas X vastab muutuja y kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X. Esitusviisid: Tabel, Analüütilisel kujul esitatud funktsiooni määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi kõigi väärtuste hulka, mille korral see valem on määratud.; F.gaafikuks nim punktihulka Kui hulga X igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud ühe muutuja funktsoon, kui aga hulga X igale elemendile on vastavusse seotud vähemalt üks hulga Y element ja vähemalt ühele hulga X elemendile on vastavusse seatud mitu elementi hulgast Y, siis hulgal X on määratud mitmene funktsioon
1. Mis on funktsioon? Mis on sõltumatu muutuja, sõltuv muutuja? Kui hulga X igale elemendile x on seatud vastavusse kindel element y hulgast Y. sõltumatu muutuja ehk argument, sõltuv muutuja ehk funktsiooni väärtus 2. Mis on funktsiooni määramispiirkond muutumispiirkond? Mis on funktsiooni loomulik määramispiirkond? Määramispiirkond - argumendi x selliste väärtuste hulk, mille korral on võimalik funktsiooni f(x) väärtust välja arvutada. Muutumispiirkond - muutumispiirkonna Y all mõeldakse funktsiooni kõikvõimalike väärtuste hulka. loomulik määramispiirkond - Argumendi väärtuste hulk, mille korral funktsiooni määrav eeskiri on rakendatav. 3. Millised on funktsiooni põhilised esitusviisid? Graafikuna, tabelina, analüütiline 4. Mis on funktsiooni graafik?
3. Millist hulka nimetatakse funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks, millist muutumispiirkonnaks? Millega tuleb arvestada määramispiirkonna leidmisel? Hulka { ( )} nim funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks ja hulka { ( ) } tema väärtuste hulgaks ehk muutumispiirkonnaks. Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonna leidmiseks tuleb kindlaks äärata need argumendi x väärtused, mille korral on võimalik funktsiooni väärtust arvutada. Määramispiirkonna leidmisel arvestame: Murru nimetja ei tohi võrduda nulliga Paarisarvulise juurijaga juure all olev avaldis ei saa olla negatiivne Logaritmitav peab olema positiivne Logaritmi alus peab olema ühest erinev positiivne arv 4. Millisel tingimusel loeme kahte funktsiooni võrdseiks? Näited
x-2 5 8 6 4 2 0 2 4 6 8 5 Uurime funktsiooni käitumist arvu 2 ümbruses: x 1,5 1,9 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1 2,5 f(x) 3,5 3,9 3,99 3,999 4,001 4,01 4,1 4,5 3 Funktsiooni piirväärtus Järeldus. Argumendi väärtuse (arv 2) ümbruse vähenedes väheneb ka funktsiooni väärtuse (arv 4) ümbrus. Kui argumendi väärtuse (arvu 2) ümbruse vähendamisega saab muuta funktsiooni vastava väärtuse (arvu 4) ümbruse kuitahes väikeseks, siis öeldakse, et arv 4 on funktsiooni f (x) piirväärtus, kui x läheneb arvule 2 ja kirjutatakse x2 - 4 lim f ( x) = lim =4 x2 x2 x - 2
2.4 FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUS. FUNKTSIOONI PIDEVUS Vaatleme funktsioone, mis on määratud valemiga y = f(x). Selliseid funktsioone võib liigitada nende määramispiirkonna järgi. Funktsioonid, mis on määratud kogu reaalarvude hulgas. Need on funktsioonid, mille väärtusi on võimalik arvutada argumendi x iga väärtuse korral. Sellised funktsioonid on lineaarfunktsioon y = ax + b, ruutfunktsioon y = ax 2 + bx + c , aga ka naturaalarvulise astendajaga astmefunktsioon y = x n . Kõigile neile on ühine see, et funktsioonide graafikud on pidevad jooned ja kogu graafiku saab joonestada ilma pliiatsit paberilt tõstmata pideva joonega. Öeldakse, et vaadeldavad funktsioonid on pidevad kogu arvteljel. Funktsioonid, mille määramispiirkond koosneb arvtelje ühest osast. Leidub
Mis on sõltumatu muutuja, vastavusse kindel element y hulgast Y, siis sõltuv muutuja? öeldakse, et hulgal X on defineeritud funktsioon, mida tähistatakse kujul y=f(x) või y=y(x) Sõltumatu – element x (argument) Sõltuv – element y Mis on funktsiooni Argumendi x väärtuste hulka, mille puhul määramispiirkond, saab määrata funktsiooni y väärtusi vastavalt muutumispiirkond? eeskirjale f(x), nimetatakse funktsiooni Mis on funktsiooni loomulik määramispiirkonnaks. määramispiirkond? Määramispiirkonnale vastavat funktsiooni väärtuste hulka nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks.
puhul ühist eesmärki, mille tõestamise poole kõik argumendid liiguvad. Eestis, kus üldiselt väideldakse mingite ühiskondlike nähtuste (kohustuslik sõjaväeteenistus, surmanuhtlus, suitsetamine) üle, on peaaegu eranditult kriteeriumiks ühiskonna heaolu. Ehk siis mõlemad pooled peavad näitama, et nende kaasus viib suurema ühiskonna heaoluni. Seda tehakse järgnevalt: 1. Pärast definitsioone öeldakse: "Meie kriteeriumiks on ühiskonna heaolu" 2. Iga argumendi lõpus, järelduse osas tuuakse välja, kuidas see argument viib ühiskonna heaoluni. Eestis kasutab enamik võistkondi oma kaasustes kriteeriumit ning paljud kohtunikud ootavad, et seda ka väitlustes mainitakse, seepärast tuleb teada, mis loom see on. Samas ei juhtu enamiku väitlusteemade puhul eriti midagi, kui te kriteeriumit ei kasuta, sest tõenäosus on, et argumendid, mis te olete välja mõelnud räägivad ühiskonna heaolust niikuinii.
igal juhul: kui Jumal on olemas, siis saan usu läbi päästetud, kui Jumalat ei ole, siis ei kaota ma temasse uskudes midagi.) 3 1. Teoloogiline argument • ehk kavandatust eeldav või järeldav argument; otstarbekohasuse / eesmärgipärasuse argument Otstarbekohasuse/eesmärgipärasuse argument • ing. k. argument from design, argument to design • õigupoolest argumentide tüüp kr. k. telos – 'siht', 'eesmärk' Teoloogilise argumendi üldine sõnastus Maailma ülesehitus on sedavõrd peen, korrapärane ja otstarbekohane, et seda saab seletada üksnes asjaoluga, et leidub üleloomulik kõikvõimas mõistusega olend, kes on selle kõik kavandanud (ja kujundanud) (“disaininud”). William Paley (1743-1805) – inglise teoloog, moraalifilosoof • Loodusobjektide keerukus, peen ülesehitus ja toimimine on tõendiks, et see kõik on kavandatud/kujundatud Jumala poolt. Kõik klapib maailmas nagu kellavärk. Kell on
Tunni eesmärgid Tänase tunni lõpuks Sa... ... tead mõistete "ekstreemumkoht", "kasvamisvahemik" ja "kahanemisvahemik" sisu ning graafilist tähendust. ... oskad kasutada matemaatilisi sümboleid ekstreemumkohtade ning kasvamis ja kahanemisvahemike välja kirjutamiseks graafiku põhjal. ... oskad määrata ekstreemumi liiki. Funktsiooni kasvamine Funktsiooni y = f(x) nimetatakse kasvavaks vahemikus (a;b), kui selles vahemikus argumendi väärtuste suurenedes ka funktsiooni vastavad väärtused suurenevad. Kui x1 < x2, siis ka f(x1) < f(x2) Funktsiooni kahanemine Funktsiooni y = f(x) nimetatakse kahanevaks vahemikus (a;b), kui selles vahemikus argumendi väärtuste suurenedes funktsiooni vastavad väärtused vähenevad. Kui x1 < x2, siis ka f(x1) > f(x2) Kasvamis- ja kahanemisvahemikud
E2: Kalle on rääkinud, et Malle meeldib talle. JO: Malle käib Kallega. Järeldusotsused on tehtud aluste ehk eelduste põhjal. Ühes aluses võib sisalduda mitu eeldust. Näiteks ühest tõendist ei piisa kohtus reeglina süüdimõistmiseks. Kas see, et Malle käib Kallega, on tees või hüpotees? Järeldusseos on see, et kui inimesed käivad, siis nad käivad käsikäes ja meeldivad üksteisele. Järeldusseos on varjatud kujul, ei tulene otseselt tekstist. Argumendi mõte tuleneb esitusest (tähendamistegu) ja sisust (sõnum). Nendest on välja loetavad argumendi struktuur ja funktsioon ehk argumendi loogika. Argumendi struktuur ja funktsioon on kõige tähtsamad argumendi tunnused – loogika peab olemas olema. Argumendi leidmiseks tuleb leida selle esitusest loogilise struktuuri elemendid 1) tees, seejärel 2) eeldused, püstitada mingi hüpotees ja siis otsustada selgelt funktsiooni ja sisu üle. Argumendis on
Def. Muutuva suuruse kõigi väärtuste hulka nimetatakse selle muutuva suuruse muutumispiirkonnaks. Def. Muutuvat suurust nimetatakse kasvavaks, kui tema iga järgnev väärtus on eelnevast suurem. Muutuvat suurust nimetatakse kahanevaks, kui tema iga järgnev väärtus on eelnevast väiksem. Vastavalt definitsioonile on funktsioon antud, kui on teada : a) funktsiooni määramispiirkond X, b) eeskiri, mis seab argumendi x igale väärtusele piirkonnas X vastavusse funktsiooni y väärtuse. Funktsiooni väärtused, mis vastavad kõigile argumendi väärtustele piirkonnas X, moodustavad funktsiooni muutumispiirkonna. Funktsiooni esitusviise: I Analüütiline esitus valemi abil II Geomeetriline esitus graafiku abil III Numbriline esitus tabeli abil Tabelilisel esitamisel kirjutatakse kindlas järjekorras argumendi väärtused 1 2, , ... ,n x x x ja neile vastavad funktsiooni väärtused 1 2 , , ... ,n y y y . 7
Inga & Siim: argumendi alajaotused peavad vastama küsimusele miks.Peab seletama täpselt lahti mida tähendab.Seleta lahti mida väitega öelda tahad. Kolmas element argumendi juures on tõestus(statistika,inimeese tsitaat,paralleelne näide) Viimane element argumendi lõpus on lõplik järeldus või kokkuvõte, näitad ära,et oled inimestele rääkinud ära milles on probleem ja ära tõestanud,et probleem on.Miks on argumendid olulised? Pead alati mõtlema kellele ja kus sa räägid, hindavad kohtunuikud. Vanduda tohib, ropendada ei tohiks. Vaba suhtlus.Miks küsimusi ei tohi õhku jääda!! Ristküsitlus-küsid asju mis jäid ebaselgeks, tõmmata vastane konksu otsa, et nad nö endale vastu räägiks. Aega 3 min!
f() 2 1 Tooge 2 näidet! fx () x operaatori f( ) sõltumatuks muutujaks ehk funktsiooni f(x) argumendiks. Näide 1: Operaator väärtus võtta ruutu, ehk . f ( x) defineerib eeskirja, mille kohaselt f-ni saamiseks tuleb argumendi Näide 2: Operaator defineerib eeskirja, mille kohaselt f-ni saamiseks tuleb argumendi väärtusest võtta ruutjuur, ehk 6. Mis on funktsioon? Tooge 2 näidet! Muutujat f(x) nimetatakse operaatori . y fx () f( ) sõltuvaks muutujaks ehk funktsiooniks. x-10 F-niks nim
muutumispiirkonnaks. c. Funktsiooni definitsioon (Üheseks) funktsiooniks nim kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnas vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. d. Funktsiooni argument, sõltuv muutuja, määramispiirkond ja väärtuste hulk d.i. Muutujat x nim sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks. d.ii. Muutujat y nim sõltuvaks muutujaks. d.iii. Argumendi x muutumispiirkonnaks nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonda. Määramispiirkonna tähis on X. d.iv. Hulka Y= nim funktsiooni f väärtuste hulgaks. e. Funktsiooni esitamine tabelina ja analüütiliselt. e.i. Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse ühes reas ja neile vastavad funktsiooni väärtused teises reas. On võimalik, kui funktsiooni x-l on lõplik arv väärtusi. e
1. Defineerida funktsiooni tuletis. Mis on diferentseeruv funktsioon ja diferentseerimine? Funktsiooni f tuletiseks punktis a nimetatakse järgmist suurust: f ( x )−f (a) f ' ( a )=lim x→ a x−a Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. 2. Esitada tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu. Tuletist defineeriva piirväärtuse võib kirja panna ka argumendi muudu ja funktsiooni muudu kaudu. Olgu nii nagu ennegi: ∆x = x − a → argumendi muut kohal a , ∆y = f(x) − f(a) →funktsiooni muut kohal a . Siis f ( x )−f ( a) ∆y ∆y f ' ( a )=lim =lim =lim x→ a x−a x→a ∆ x x→ 0 ∆ x 3. Sõnastada ja tõestada teoreem diferentseeruva funktsiooni pidevusest. Kas suvaline
Pöördmaat leidm- Ruutmaatriksil A= ||aij|| Rn×nleidub pöördm siis, kui tema detem ei =0 Ruutm nim regulaarseks, kui tema deter ei ole null. Vastasel juhul nim ruutm singulaarseks. Funkt nim eeskirja, mis seab sõltumatu muutuja igale väärtusele vastavusse sõltuva muutuja mingi ühe väärtuse. Argument-sõltumatu muutuja. Funkt väärtus-argumendi väärt järgi leitud sõltuva muutuja vastavad väärt. Paarisfunk-rahuldab tingimust f(x)=f(-x), sümmeetriline y-telje suhtes. Paaritu-f(-x)=-f(x), 0 punkti suhtes sümmeetr. Ühene f-1le värtusele vastavusse seatud 1 väärtus nt y=2x-3. Mitmene-vastavusse seatud mitu väärtust, nt 1, vahemik 1;-1, x-le vastab y! Tuletis-funkt kasvu ja argumendi kasvu suhte piirväärtus arg muudu lähenemisel 0le. Geogr tõlgendus-f graafikule punktis P tõmmatud puutuja tõus.
aga me ei saa integraali otseselt leida, kuna meil on tegemist liitfunktsiooniga ja suurus x sõltub omakorda mingist teisest suurusest. Sel juhul teeme integraalis kõigepealt muutuja vahetuse ja lahendame integraali kõigepealt ,,uue" muutuja järgi. Asendame x-i avaldise x=(t) Võtame eelduseks, et x=(t) on pidev funktsioon, millel leidub ka pöördfunktsioon. Kuna integraalis on vaja avaldada ka diferentsiaal dx, siis teeme seda: diferentsiaal on tuletise ja argumendi muudu (argumendi diferentsiaali) korrutis: järelikult on suurus dx = '(x) dt. Igal juhul tõestame, et muutuja vahetuse korral, kus x=(t), kehtib seos: f(x) dx = f[(t)]'(t)dt Selleks, et võrdust tõestada, peaksime olema suutelised mõlemast poolest võtma tuletise ja saama tulemuseks f(x) /vaata integraali omadusi/. [f(x) dx]' = f(x) see oli kähkukas Aga teist poolt tuleb diferentseerida kui liitfunktsiooni. Liitfunktsiooni diferentseerimisvalem on: Kui y= f[(t)] ja t=(x), siis
Projektike ,,Funktsioonide uurimine" Ülesande püstitus Koostada VBA toega Exceli rakendus, mis võimaldab teha etteantavas vahemikus (a x b) kolme ühemuutuja funktsiooni Fy, Fz ja Fyz = Fy + Fz (vt. funktsioonide variantide tabel) graafikud ning leiab nullkohad ja antud karakteristikud (vt. karakteristikute variantide tabel) iga funktsiooni jaoks. Algandmed loeb programm töölehelt, karakteristikud kirjutatakse töölehele, kuhu paigutatakse ka diagramm graafikutega ning tabel argumendi ja funktsioonide väärtustega diagrammi loomiseks. Realiseerida kolm varianti, igaüks omaette töölehel. 1. Argumendi ja funktsioonide väärtused kirjutatakse töölehele ning nende alusel leitakse vajalikud karakteristikud ja tehakse graafikud 2. Argumendi ja funktsioonide väärtused salvestatakse ühemõõtmeliste massiividesse ning sealt töölehele. Karakteristikud leitakse massiivides olevate väärtuste alusel 3
annaabi.ee 
