MÄÄRAMATA INTEGRAAL a) funktsioonid ja algfunktsioonid · Kui meil on teada funktsiooni tuletis, kuid peame leidma funktsiooni, millest selline tuletis saadud on, siis peame kasutama toimingut, mida nimetatakse INTEGREERIMISEKS · INTEGREERIMINE on tuletise võtmise pöördtehe: meil on ette antud tuletis ja me peame leidma selle kaudu funktsiooni, millest selline tuletis on saadud. Funktsiooni, millest tuletis on võetud, nimetatakse ALGFUNKTSIOONIKS. LÄHENEME NÜÜD ASJALE MATEMAATILISELT Def:
2.1. Määramata integraal. Def1. F(x) nim f(x) algfunktsiooniks hulgal X, kui iga x korral hulgast X F'(x)=f(x). xX. N. f(x)=xex+ex F(x)=xex F'(x)=ex+xex * Kui f(x) (xX) on 2 algfunktsiooni F1(x) ja F2(x), siis st, f(x) algfunktsioonid erinevad üksteisest vaid konstandi võrra. . F1(x)-F2(x)=C F1(x)=F2(x)+C (xX) Def2. f(x) kõikide algfunktsioonide hulka cX nim. F-ni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse ning kui F(x) on üks f(x)-i algfunktsioon, sel hulgal F(x), siis . Kui f(x) ja F(x) on integreeruvad punktis f(x) siis L1. Määratud integrali lineaarsuse omadused: 2.2 Määramata integraalide tabel 1.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18
b = lim x [f(x) - kx]. Kokkuv~ottes oleme t~oestanud j¨argmise teoreemi: Teoreem 4.8. Kui y = kx+b on joone y = f(x) asu¨mptoot protsessis x , siis k ja b avalduvad valemitega (4.5) ja (4.6). 33. Algfunktsiooni definitsioon . Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x D korral kehtib v~ordus F'(x) = f(x). Sõnastada ja tõestada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta. Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis k~oik funk- tsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. T~oestus. Olgu F funktsiooni f algfunktsioon hulgas D. K~oigepealt kontrollime kas funktsioonid kujul F+C, kus C on konstant, on t~oepoolest f algfunktsioonid hulgas D. Kuna F'(x) = f(x) iga x D korral, siis [F(x) + C]' = F'(x) + C' = F'(x) = f(x) iga x D korral, mis n¨aitab, et suvaline funktsioon F + C, kus C on konstant, on t~oesti f alg- funktsioon hulgas D
Käänupunkti piisav tingimus. Olgu x1 funktsiooni y = f(x) teist järki kriitiline punkt. Kui läbides seda punkti funktsiooni teine tuletis muudab märki, siis on P = (x1,f(x1)) joone y = f(x) käänupunkt. 18. Algfunktsioon ja määramata integraal. Teoreemi 5.1 tõestus. Algfunktsioon. Funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas X, kui selles piirkonnas F'(x) = f(x) Kui F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon piirkonnas X, siis kõik funktsiooni f(x) algfunktsioonid piirkonnas X avalduvad kujul F(x) + C, kus C on suvaline konstant. Tõestus. Olgu F funktsiooni y = f(x) algfunktsioon hulgas D. Kõigepealt kontrollime kas funktsioonid kujul F + C, kus C on konstant, on tõepoolest y = f(x) algfunktsioonid hulgas D. Kuna F(x) = f(x) iga x D korral, siis [F(x) + C] = F(x) + C = F(x) = f(x) iga x D korral, mis näitab, et suvaline funktsioon F + C, kus C on konstant, on tõesti f algfunktsioon hulgas D. Tõestame nüüd teoreemi väite: f-i
Kaldasümptoodi erijuht on horisontaalasümptoot, mis on paralleelne x-teljega. Esitada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x (tuletada pole vaja). 26. Algfunktsiooni definitsioon. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x D korral kehtib võrdus F´(x) = f(x) Sõnastada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta (tõestust ei küsi). Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. Funktsiooni F algfunktsioonide üldavaldist F + C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks. Geomeetriline sisu: Iga x korral on määramata integraalil lõpmata palju väärtusi, mis sõltuvad valitud konstandist C. Määramata integraali võib vaadelda kui üheste funktsioonide parve,
See, et funktsioon on arvutatav Turingi mõttes, tähendabki antud juhul, et see funktsioon on (*)-arvutatav. Tõestuse idee. See teoreem tõestatakse induktsiooniga osaliselt rekursiivse funktsiooni definitsiooni järgi, s.t. näidatakse, et 1) iga algfunktsioon on arvutatav, 2) kui defineerime skeemide abil uusi funktsioone, siis arvutatavus kandub edasi. Antud teoreemi sees on vaja tõestada järgmised lemmad: Lemma 1. ([1], 25) Algfunktsioonid , ja on (*)-arvutatavad. Lemma 2. ([1], 26) Olgu funktsioonid ja (*)-arvutatavad ning , siis on ka funktsioon (*)-arvutatav. Lemma 3. ([1], 28) Olgu funktsioonid ja (*)-arvutatavad ning , siis on ka funktsioon (*)-arvutatav. Lemma 4. ([1], 29) Olgu funktsioon (*)-arvutatav ning , siis ka funktsioon (*)-arvutatav.
Sõnastada ja tõestada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta. Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. a. Algfunktsiooni definitsioon Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga korral kehtib võrdus . b. Sõnastada ja tõestada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta Teoreem: Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F+C, kus C on suvaline konstant. Tõestus: Olgu F funktsiooni f algfunktsioon hulgas D. Kõigepealt kontrollime, kas funktsioonid kujul F+C , kus C on konstant, on tõepoolest f algfunktsioonid hulgas D. Kuna iga korral, siis iga korral mis näitab, et suvaline funktsioon F+C, kus C on konstant, on tõesti f algfunktsioon hulgas D.
Lokaalsed ekstreemumid ja range monotoonsuse piirkond; 7. Graafiku käänupunktid ja kumerus- ning nõgususpiirkonnad; 8. Graafiku püstasümptoodid; 9. Graafiku kaldasümptoodid; 10. Skitseerime graafiku. Integraal Def1 Öeldakse, et funktsiooni F ( x ) on funktsiooni f ( x ) algfunktsioon hulgal X, kui iga x X korral . Lause1 Kui funktsioon F1 ( x ) ja F2 ( x ) on funktsiooni f ( x ) algfunktsioonid, siis leidub selline reaalarv c, nii et F1 ( x ) = F2 ( x ) + c. Def2 Avaldist kujul F ( x ) + C, kus F ( x on funktsiooni f ( x ) mingi algfunktsioon ja C on suvaline konstant ( integreerimiskonstant ), nimetatakse funktsiooni f ( x ) määramata integraaliks ja tähistatakse , . Kui funktsioonil leidub hulgal X algfunktsioon, siis öeldakse, et funktsioonil f ( x ) eksisteerib määramata integraal ( hulgal X ). Kehtivad järgmised seosed:
5) x x x x x x Võrdusest (4.4) saame veel b = lim[f(x) - kx] x (Vaadake lk 99) 33. Algfunktsiooni mõiste. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x kuulub D korral kehtib võrdus F (x) = f(x). Sõnastada ja tostada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta. Teoreem 5.1. Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Tõestus. Olgu F funktsiooni f algfunktsioon hulgas D. Kõigepealt kontrollime kas funktsioonid kujul F+C, kus C on konstant, on tõepoolest f algfunktsioonid hulgas D. Kuna F(x) = f(x) iga x kuulub D korral, siis [F(x) + C]= F(x) + C= F(x) = f(x) iga x D korral, mis näitab, et suvaline funktsioon F + C, kus C on konstant, on tõesti f algfunktsioon hulgas D.
Näeme, et arv ba f(x)dx ba dx paikneb funktsiooni f(x) suurima ja vähima väärtuse Sõnastada ja tostada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta. vahel. Kuna lõigul [a, b] pidev funktsioon f(x) saavutab sellel lõigul iga väärtuse Teoreem 5.1. Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad oma suurima ja vähima väärtuse vahel, siis leidub vähemalt üks punkt c [a, b] nii, et kujul F + C, kus C on suvaline konstant. f(c) = ba f(x)dx ba dx Tõestus. Olgu F funktsiooni f algfunktsioon hulgas D
piirkonnas X, kui iga x X korral F (x) = f (x). Näide 3.1 Funktsiooni f (x) = 2e2x algfunktsiooniks on funktsioon F (x) = e2x , sest F (x) = 2e2x = f (x). Eespool nägime, et funktsioon F (x) = x2 on funktsiooni f (x) = 2x algfunktsioon. Kuid ka funktsioonide u(x) = x2 + 4 ja v(x) = x2 - 0, 6 tuletised on võrdsed antud funktsiooniga f (x) = 2x. Seega on vaadeldavad funktsioonid u ja v samuti antud funktsiooni f (x) = 2x algfunktsioonid nagu ka funktsioon G(x) = x2 + C, kus C võib olla mis tahes reaalarv. Üldiselt, kui funktsioon y = F (x) on funktsiooni y = f (x) algfunktsiooniks piirkonnas X (st F (x) = f (x)), siis on selle funktsiooni algfunktsiooniks ka funktsioon G(x) = F (x) + C, kus C on mingi reaalarv, sest G (x) = F (x) + C = F (x) = f (x). Saab näidata, et funktsioon G(x) = F (x) + C kirjeldab kõiki antud funktsiooni y = f (x) algfunktsioone. Definitsioon 3
Seega: a.vi.10. Võrdusest saame veel: 11. Algfunktsiooni definitsioon. Sõnastada ja tõestada teoreem algfunktsioonide üldavaldiste kohta. Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. a. Algfunktsiooni definitsioon - funktsioon F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, kui iga korral kehtib võrdus b. Algfunktsioonide üldavaldised - Kui F on funktsiooni f algfunksioon hulgas D, siis on kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F+C, kus c. Tõestus: c.i. Kuna iga korral, siis : , mis näitab, et suvaline funktsioon on tõesti algfunktsioon hulgas D. c.ii. Kui f-il leidub algfunktsioon G, mis ei avaldu kujul . Kuna G ja F on ühe ja sama funktsiooni f algfunktsioonid siis saame: iga korral. c.iii
Tõus k on sellisel juhul võrdne nulliga, st asümptoodi võrrand on y = b. Valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x Kui y = kx+b on joone y = f(x) asümptoot protsessis x , siis k ja b avalduvad valemitega Algfunktsiooni mõiste. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x D korral kehtib võrdus F (x) = f(x). TEOREEM- algfunktsioonide üldavaldise kohta Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Määramata integraali mõiste. Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistataksef(x)dx. Seega definitsiooni kohaselt f(x)dx = F(x) + C , C konstant Geomeetriline sisu Määramata integraal ei ole ühene funktsioon. Iga x korral on tal lõpmatult palju erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitud konstandist C
Kui on joone asümtood protsessis siis k ja b avalduvad valemitega 1. 2. 11. Algfunktsiooni definitsioon. Sõnastada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta (tõestust ei küsi). Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. Algfunktsioon funktsioon F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, kui iga korral kehtib võrdus Algfunktsiooni üldavaldis Kui F on funktsiooni f algfunksioon hulgas D, siis on kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F+C, kus Määramata integraal Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldis ja tähistatakse e Määramata integraal ei ole ühene funktsioon tal on lõputult erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitud konstandist C. Teisalt võib tõlgendada integraali, kui üheste funktsioonide parve , kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon, kujutades seda funktsiooni xy-konrdinaadistikus saame joonteparve
vahemikus (a,b), kui F ( x) = f ( x) iga x (a,b) korral. x4 Näide. Funktsiooni y= x 3 algfunktsiooniks on funktsioon y = , üldiselt iga 4 x4 funktsioon kujul y = + C , kus C on suvaline konstant. 4 Üldavaldus. Funktsiooni f kõik algfunktsioonid F avalduvad kujul F(x) +C, kus F on funktsiooni f mingi algfunktsioon, C suvaline konstant. Definitsioon 17. Funktsiooni f kõikide algfunktsioonide üldavaldist F(x) +C, kus F on funktsiooni f mingi algfunktsioon, C suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks. Funktsiooni f määramata integraal tähistatakse sümboliga f ( x ) dx. Seega f ( x)dx = F ( x) + C F ( x) = f ( x).
2. 3. 4. Kaldasümptood - Sirge, mis on paralleelne y-teljega. Võrrand , kus k on asümptoodi tõus. Horisontaalasümtood Kaldasümtooodi erijuht, kus Võrrand Kui on joone asümtood protsessis siis k ja b avalduvad valemitega 1. 2. 33. Algfunktsioon funktsioon F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, kui iga korral kehtib võrdus Teoreem Algfunktsiooni üldavaldis Kui F on funktsiooni f algfunksioon hulgas D, siis on kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F+C, kus Tõestus Kuna iga korral, siis , mis näitab, et suvaline funktsioon on tõesti algfunktsioon hulgas D. Kui f-il leidub algfunktsioon G, mis ei avaldu kujul . Kuna G ja F on ühe ja sama funktsiooni f algfunktsioonid siis saame iga korral. Nulltuletist omab ainult konstantne funktsioon, seega , kus C on konstant. Sealt järeldub Määramata integraal Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldis ja tähistatakse e
Kokkuvõttes oleme tõestanud järgmise teoreemi: Teoreem 4.8. Kui y = kx+b on joone y = f(x) asümptoot protsessis x → ∞, siis k ja b avalduvad valemitega (4.5) ja (4.6). 33. Algfunktsiooni definitsioon . Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x ∈ D korral kehtib võrdus F’(x) = f(x). Sõnastada ja tõestada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta. Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Tõestus. Olgu F funktsiooni f algfunktsioon hulgas D. Kõigepealt kontrollime kas funktsioonid kujul F+C, kus C on konstant, on tõepoolest f algfunktsioonid hulgas D. Kuna F’(x) = f(x) iga x ∈ D korral, siis [F(x) + C]’ = F’(x) + C’ = F’(x) = f(x) iga x ∈ D korral, mis näitab, et suvaline funktsioon F + C, kus C on konstant, on tõesti f alg- funktsioon hulgas D
'. '. 26) Algfunktsiooni definitsioon. Sõnastada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta (tõestust ei küsi). Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. Funktsiooni 2 nimetatakse funktsiooni algfunktsiooniks hulgas 3, kui iga 3 korral kehtib võrdus 2 . Kui 2 on funktsiooni algfunktsioon hulgas 3, siis kõik funktsiooni algfunktsioonid hulgas 3 avalduvad kujul 2 4, kus 4 on suvaline konstant. Funktsiooni algfunktsioonide üldavaldist 2 4, kus 4 on konstant, nimetatakse funktsiooni määramata integraaliks ja tähistatakse 5 2 4, kus 4 on konstant. Määramata integraali võib tõlgendada kui üheste funktsioonide parve 2 4, kus konstandi 4 igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil -
k= xlim →∞ x lim [f ( x )−kx ] b= x→∞ 26. Algfunktsiooni definitsioon. Sõnastada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta (tõestust ei küsi). Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x ∈ D korral kehtib võrdus F’(x) = f(x). Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks a tähistatakse ∫ f (x)dx . Seega definitsiooni kohaselt ∫ f (x)dx = F(x)+C. Geomeetriline sisu. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille jooned on
33. Algfunktsiooni definitsioon. Sõnastada ja tõestada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta. Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. Algfunktsiooni definitsioon Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga xD korral kehtib võrdus F ' (x)=f (x ) . Sõnastada ja tõestada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta Teoreem: Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F+C, kus C on suvaline konstant. Tõestus: Olgu F funktsiooni f algfunktsioon hulgas D. Kõigepealt kontrollime, kas funktsioonid kujul F+C , kus C on konstant, on tõepoolest f algfunktsioonid hulgas D. Kuna F ' (x)=f (x ) iga xD korral, siis ' [ F ( x )+ C ] =F ' ( x )+ C' =F ' ( x )=f ( x ) iga xD korral mis näitab, et suvaline funktsioon F+C, kus C on konstant, on tõesti f algfunktsioon hulgas D.
sellisel juhul võrdne nulliga, st asümptoodi võrrand on y = b. 29. ALGFUNKTSIOONI DEFINITSIOON. Sõnastada teoreem algfunktsioonide uldavaldise kohta (tõestust ei kusi). FUNKTSIOONI MÄÄRAMATA INTEGRAAL ja selle geomeetriline sisu. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x kuulub D korral kehtib võrdus F (x) = f(x). Teoreem Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Määramata integraali mõiste. Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistatakse f(x)dx. Seega definitsiooni kohaselt f(x)dx = F(x) + C , C - konstant . Algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks. Geomeetriline sisu Määramata integraal ei ole ühene funktsioon. Iga x korral on tal lõpmatult palju erinevaid väärtusi, mis sõltuvad
. Teoreem 4.8. Kui y = kx+b on joone y = f(x) asümptoot protsessis x , siis k ja b avalduvad valemitega k = lim f(x)/ x b = lim(f(x) - kx) x x 33. Algfunktsiooni definitsioon. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x D korral kehtib võrdus F (x) = f(x). Sonastada ja toestada teoreem algfunktsioonide uldavaldise kohta. Teoreem 5.1. Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Tõestus. Olgu F funktsiooni f algfunktsioon hulgas D. Kõigepealt kontrollime kas funktsioonid kujul F+C, kus C on konstant, on tõepoolest f algfunktsioonid hulgas D. Kuna F(x) = f(x) iga x D korral, siis [F(x) + C] = F(x) + C = F(x) = f(x) iga x D korral, mis näitab, et suvaline funktsioon F + C, kus C on konstant, on tõesti f algfunktsioon hulgas D
Järelikult, G(x)=C1 Funktsiooni täielik uurimine Järeldus: Funktsiooni f(x) kõik 1. Määramispiirkond. algfunktsioonid võib esitada kujul F(x)+C 2. Katkevuspunktid. Funktsiooni f(x) määramata integral 3. Paarsus, perioodisus. 4. y'(x) uurimine. Kasvamine, kahanemine, ekstreemumid. 21. Definitsioon 1 Funktsioon y=f(x) on nõgus
Superpositsioon:
n-kohaline f.-n f on saadud m kohalisest f.-nist g ja n kohalistest f.-nidest hi (i =
1,..,m) superpositsioonioperaatori rakendamisel, kui
f = Sm+1(g;h1,..,hm) = g(h1,..,hm)
Rekursioon:
n+1-kohaline f-n f on saadud n-kohalisest f.-nist g ning n+2-kohalisest f.-nist h
rekursioonioperaatori rakendamisel, kui iga xi ja y korral kehtivad võrdused:
f = R[g,h]:
f(x1,..,xn,0) = g(x1,..,xn)
f(x1,..,xn,y+1) = h(x1,..xn,y,f(x1,..,xn,y))
Algfunktsioonid:
On(x1,..,xn) = 0 (n-kohaline konstant)
s(x) = x+1
Inm (x1,..,xn) = xm (0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.6 Muutuja vahetamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.7 Ositi integreerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 7.8 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Kontrolltöö teemad 1. Määramata integraali seos kiirenduse, kiiruse ja teepikkusega. 2. Põhiliste elementaarfunktsioonide algfunktsioonid (kuni trigonomeetriliste funktsioonideni). 3. Muutuja vahetuse võte määramata integraali leidmisel. 4. Ositi integreerimise reegel ja selle kasutamine. 5. Ratsionaalsete funktsioonide integreerimine lihtsamal juhul. Eksamiteemad 1. Algfunktsiooni mõiste. 2. Määramata integraali mõiste. 3. Määramata integraali seos kiirenduse, kiiruse ja teepikkusega. 4
(a,b), kui F ( x) = f ( x) iga x (a,b) korral. x4 Näide. Funktsiooni y= x 3 algfunktsiooniks on funktsioon y = , üldiselt iga 4 x4 funktsioon kujul y = + C , kus C on suvaline konstant. 4 Kehtib väide. Funktsiooni f kõik algfunktsioonid F avalduvad kujul F(x) +C, kus F on funktsiooni f mingi algfunktsioon, C suvaline konstant. Definitsioon 17. Funktsiooni f kõikide algfunktsioonide üldavaldist F(x) +C, kus F on funktsiooni f mingi algfunktsioon, C suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks. Funktsiooni f määramata integraal tähistatakse sümboliga f ( x ) dx. Seega f ( x)dx = F ( x ) + C F ( x ) = f ( x ).
Paneme t¨ahele, et algfunktsioon ei ole u ¨heselt m¨a¨aratud. N¨aiteks on funkt- siooni f (x) = cos x algfunktsioonideks ka k~oik funktsioonid F (x) = sin x + C, kus C on suvaline konstant. T~oepoolest, kuna konstandi tuletis on null, kehtib (sin x + C) = (sin x) + C = cos x. Teoreem 5.1. Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis k~ oik funk- tsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. T~ oestus. Olgu F funktsiooni f algfunktsioon hulgas D. K~oigepealt kontrollime kas funktsioonid kujul F +C, kus C on konstant, on t~oepoolest f algfunktsioonid hulgas D. Kuna F (x) = f (x) iga x D korral, siis [F (x) + C] = F (x) + C = F (x) = f (x) iga x D korral, mis n¨aitab, et suvaline funktsioon F + C, kus C on konstant, on t~oesti f alg- funktsioon hulgas D. T~oestame n¨uu
Paneme t¨ahele, et algfunktsioon ei ole u ¨heselt m¨a¨aratud. N¨aiteks on funkt- siooni f (x) = cos x algfunktsioonideks ka k~oik funktsioonid F (x) = sin x + C, kus C on suvaline konstant. T~oepoolest, kuna konstandi tuletis on null, kehtib (sin x + C) = (sin x) + C = cos x. Teoreem 5.1. Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis k~ oik funk- tsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. T~ oestus. Olgu F funktsiooni f algfunktsioon hulgas D. K~oigepealt kontrollime kas funktsioonid kujul F +C, kus C on konstant, on t~oepoolest f algfunktsioonid hulgas D. Kuna F (x) = f (x) iga x D korral, siis [F (x) + C] = F (x) + C = F (x) = f (x) iga x D korral, mis n¨aitab, et suvaline funktsioon F + C, kus C on konstant, on t~oesti f alg- funktsioon hulgas D. T~oestame n¨uu
erineda ainult konstandi poolest. Tõestus: Olgu funktsiooni f (x) kaks algfunktsiooni F (x) ja G (x) Vaatleme funktsiooni h( x) = F ( x) - G ( x) Me näeme, et h' ( x) = F ' ( x) - G ' ( x) = f ( x) - f ( x) = 0 Kasutades Lagrange'i valemit saame, h( x) - h( x 0 ) = h' ( x)( x - x 0 ) = 0 Siit järeldubki, et h( x) = h( x 0 ) = C1 F ( x) - G ( x) = C1 m.o.t.t. Järeldus: Funktsiooni f (x) kõik algfunktsioonid võib esitada kujul (1.1) F ( x) + C Funktsiooni f (x) määramata integraal (1.2) f ( x)dx = F ( x) + C , kus C on määramata konstant © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 40 Ositi integreerimine ja muutuja vahetus (tõestusega). Olgu f (t ) pidev funktsioon, t = u (x) - pidev ja diferentseeruv, siis kehtib valem (25.1) f [u( x)] u' ( x)dx = f (t )dt , kus t = u(x) Tõestus: diferentseerime võrduse mõlemat poolt
Olgu F1 ja F2 funktsiooni f kaks suvalist algfunktsiooni intervallis D, s.t. F′ 1 (x) = F′2 (x) = f (x) iga x ∈ D korral. Siis (F1 − F2)′(x) = F′1 (x) − F′2 (x) = 0 ning lause 7.1(a) kohaselt F1 − F2 on konstantne funktsioon. Niisiis leidub selline C ∈ R, et F1 (x) − F2 (x) = C ehk F1 (x) = F2 (x) + C iga x ∈ D korral. Kokkuvõttes, kui funktsioonil f : D → R leidub algfunktsioon F : D → R, siis funktsiooni f kõik algfunktsioonid intervallis D saame avaldisest F + C, kui anname konstandile C kõikvimalikud reaalarvulised väärtused. Igal pideval funktsioonil leidub algfunktsioon. Selgitada funktsiooni määramata integraali mõistet: Avaldist F (x)+C, kus F on funktsiooni f : D → R mingi algfunktsioon ja C on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks intervallis D ja märgitakse ∫ f (x) dx. Teisisõnu, ∫ f (x) dx = F (x) + C, kus F′ (x) = f (x) iga x ∈ D puhul.
erineda ainult konstandi poolest. Tõestus: Olgu funktsiooni f (x) kaks algfunktsiooni F (x) ja G (x) Vaatleme funktsiooni h( x) = F ( x) - G ( x) Me näeme, et h' ( x) = F ' ( x) - G ' ( x) = f ( x) - f ( x) = 0 Kasutades Lagrange'i valemit saame, h( x) - h( x 0 ) = h' ( x)( x - x 0 ) = 0 Siit järeldubki, et h( x) = h( x 0 ) = C1 F ( x) - G ( x) = C1 m.o.t.t. Järeldus: Funktsiooni f (x) kõik algfunktsioonid võib esitada kujul (1.1) F ( x) + C Funktsiooni f (x) määramata integraal (1.2) f ( x)dx = F ( x) + C , kus C on määramata konstant © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 40 Ositi integreerimine ja muutuja vahetus (tõestusega). Olgu f (t ) pidev funktsioon, t = u (x) - pidev ja diferentseeruv, siis kehtib valem (25.1) f [u( x)] u' ( x)dx = f (t )dt , kus t = u(x) Tõestus: diferentseerime võrduse mõlemat poolt
Iga võimalikku vastust sellele nimetatakse funktsiooni algfunktsiooniks ning mitmust kasutame siin üsna asjakohaselt – võimalikke vastuseid on palju! Tõepoolest, kui on mõne funktsiooni algfunktsioon, siis on seda ka iga konstandi jaoks. Konstandi lisamine ju ainult nihutab funktsiooni üles-alla, ent ei muuda tema muutumise kiirust – puutujad jäävad paral- leelseks. Õigupoolest tuleb välja, et midagi muud teha ei võigi – kõikvõimalikud algfunktsioonid saamegi ühteainsat üles-alla nihutades. 353 integraal ja tuletis Nüüd funktsiooni määramata integraal kogubki kõikvõimalikud vastused ehk teisisõnu algfunktsioonid ühte ja samasse avaldisse . Siin tähistab ühte võimalikest algfunktsioonidest ning suvalist konstanti
annaabi.ee 
