Loogika 2011/12 Loogika ...on teadus mõtlemise reeglitest, struktuuridest ja vormidest. Loogikat võib pidada ka mõtlemise mudeliks, nimelt arutlemise mudeliks keeles. Antiikaeg Parmenides (5 saj ema) Zenon - reductio ad absurdum Induktsioon Õppimine ehk üldistuste tegemine Reeglid Erandid Statistika Kiire reageerimine on oluline ellujäämise seisukohast Deduktsioon Reeglite rakendamine ehk järelduste tegemine Tuletamine Õigete reeglite rakendamine õigetele faktidele garanteerib alati edu Mõtlemise aspektid Kui väide A on õige, siis A on õige Kui A ja B, siis A Ei ole tõsi, et A ja mitte A Modus ponens: Kui Ast järeldub B ja A on tõsi, siis on ka B tõsi. Näide: Iga anarhist on vabaabielu pooldaja Mõned valitseva partei liikmed on anarhistid --------------------------------------------- Mõned valitseva partei liikmed on vabaabielu pooldajad Näite jätk Iga x on y Mõni z on x ------------------- Mõni z on y Loogika ...
IT MATEMAATILISED ALUSED Loogika (TAUNO ÕUNAPUU) 30.01.14 Loogika on teadus mõtlemise reeglitest, struktuuridest ja vormidest. Loogikat võib pidada ka mõtlemise mudeliks, nimelt arutlemise mudeliks keeles. Loogika esitab väiteid ja arutlusi formaliseeritud kujul, kasutades kuntslikke formaalseid keeli. Selle valdkonnaga tegelevad nii filosoofia kui ka matemaatika. Klassikaline loogika puhul võib eristada kahte formaalset keelt – lausearvutust ja predikaatarvutust. Lausearvutus on klassikalise loogika lihtsaim osa, mis tegeleb lihtlausete vaheliste seoste uurimisega ning mille abil on võimalik välja selgitada, kuidas liitlause tõeväärtus sõltub osalausete tõeväärtustest.Lausearvutust kasutatakse väga paljudes valdkondades, rakendusalad ulatuvad arutluste analüüsist filosoofias liittingimuste konstrueerimiseni programmeerimises. Predikaatarvutus on lausearvutuse laiendus...
A1 x x x X A2 x x x X A3 x x x X A4 x x x X MKNK: (X1,X2,X3,X4)= A1 A4 Lihtimpl. Vahed X1 X2 X3 X4 Konjunktsioon A1 1.8 - 0 0 - X2 X3 A4 2.4 1 - - 0 X1 X 4 MKNK: (X1,X2,X3,X4)= A1 A4=( X 2 X 3 )( X 1 X 4 ) 3. Teisendada punktis 2 leitud MKNK loogikaalgebra põhiseaduste abil DNK-kujule MKNK: (X1,X2,X3,X4)= A1 A4=( X 2 X 3 )( X 1 X 4 ) X X X 2 X 4 X1 X 3 X 3 X 4 ( X 2 X 3 )( X 1 X 4 )= 1 2
vastuolu seadus Küsimus 3 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Millised kvantorid on olemas? Vali üks või enam: Lausekvantor Üldsuse kvantor Tõekvantor Normaalkvantor Olemasolu kvantor Loogikakvantor Küsimus 4 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Mitut erinevat loogikatehet kasutatakse lausearvutuses? (sisesta arv/number: ) Vastus: 5 Küsimus 5 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Loogikatehetel on olemas võõrsõnalised nimetused. Loogiline korrutamine on konjunktsioon Loogiline liitmine on disjunktsioon Järeldamistehe on implikatsioon Eitus on inversioon Loogiline lahutamine on pole olemas sellist tehet! Küsimus 6 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Milliseid kvantoreid on võimalik EITADA? Vali üks või enam: lausekvantorit olemasolu kvantorit tõekvantorit ühtegi kvantorit ei saa eitada Küsimus 7
Flag question Küsimuse tekst Mitut erinevat loogikatehet kasutatakse lausearvutuses? (sisesta arv/number: ) Answer: 5 Küsimus 4 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Flag question Küsimuse tekst Loogikatehetel on olemas võõrsõnalised nimetused. Loogiline lahutamine on pole olemas sellist tehet! Eitus on inversioon Loogiline korrutamine on konjunktsioon Loogiline liitmine on disjunktsioon Järeldamistehe on implikatsioon Küsimus 5 Osaliselt õige Hinne 0,50 / 1,00 Flag question Küsimuse tekst Milliste loogikatehete jaoks on operandide järjekord oluline? Vali üks või enam: implikatsioon distributsioon inversioon ekvivalents konjunktsioon disjunktsioon Küsimus 6 Osaliselt õige Hinne 0,83 / 1,00
1. Milliste loogika tehete jaoks on operandide jrjekord oluline? Implikatsioon 2. Missugused seaduse tepoolest on olemas? Neeldumisseadus DeMorgani seadus vlistatud kolmanda seadus kontrapositsiooniseadus vastuolu seadus topelteituse seadus 3. "TAUTOLOOGIA" on lause, mis on alati vr? False 4. Vali loetelust alternatiivne nimetus neile loogika tehetele! Disjunktsioon - VI-tehe Konjunktsioon - JA-tehe Implikatsioon - jreldamine 5. Milliseid kvantoreid on vimalik eitada? Olemasolu kvantorit 6. Millised kvantorid on olemas? Olemasolukvantor ldsusekvantor 7. Kui loogikaavaldises pole sulgudega mratud tehete jrjekorda,siis KONJUNKTSIOONI, INVERSIOONI, DISJUNKTSIOONI leidumisel tehaksekigepealt... a-inversioon b-konjunktsioon c-disjunktsioon 8. Mitu erinevat tehet kasutatakse lausearvutuses? 5 9. Loogika tehetel on olemas vrsnalised nimetused!
Ü ¯¯ loogiline eitus ehk inversioon "käitumise" kõikvõimalikes olukordades). T T Loogikatehete operandideks on tõeväärtused (0 ja 1) ja tulemuseks on loogiline korrutamine ehk konjunktsioon ehk JA-tehe samuti tõeväärtus. Seega loogikatehted "töötlevad tõeväärtusi uuteks ( aritmeetilise korrutamise analoog loogikas ) tõeväärtusteks". Lausearvutuses kasutatakse ühte unaarset (ühe operandiga) ja nelja loogiline liitmine ehk disjunktsioon ehk VÕI-tehe
7 1. avaldisega vasakpoolses veerus võrdub parempoolses veerus avaldis: nr. 4 6. avaldisega vasakpoolses veerus võrdub parempoolses veerus avaldis: nr. 6 2. avaldisega vasakpoolses veerus võrdub parempoolses veerus avaldis: nr. 3 4. avaldisega vasakpoolses veerus võrdub parempoolses veerus avaldis: nr. 5 Küsimus 7 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Millistest tehetest ja väärtustest koosneb loogikaalgebra ? Vali üks või enam: loogikatehe KONJUNKTSIOON loogikatehe IMPLIKATSIOON väärtus "1" loogikatehe INVERSIOON loogikatehe SUMMA MOODULIGA 2 loogikatehe VÄLISTAV VÕI loogikatehe EKVIVALENTS väärtus "-1" loogikatehe DISJUNKTSIOON väärtus "2" väärtus "0" Küsimus 8 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Mingi avaldise jaoks duaalse avaldise saamiseks tuleb selles avaldises teha järgnevad asendused: konstant 0 tuleb asendada konstandiga 1
Küsimus 3 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Kui loogikaavaldises pole sulgudega määratud tehete järjekorda, siis KONJUNKTSIOONi, DISJUNKTSIOONi ja INVERSIOONi leidumisel avaldises . . . Vastus 1 kõige esimesena tehakse loogikaavaldises INVERSIOON Vastus 2 ...selle järel järgmisena tehakse KONJUNKTSIOON Vastus 3 ...ja viimasena tehakse DISJUNKTSIOON Küsimus 4 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Loogikatehetel on olemas võõrsõnalised nimetused. Vastus 1 Loogiline lahutamine on pole olemas sellist tehet! Vastus 2 Loogiline liitmine on disjunktsioon
VÕI-EI kujulise loogikaavaldise saamiseks tuleb KNK-le rakendada topeltinversiooni koos järgneva DeMorgani seaduse rakendamisega. Küsimus 5 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Millised loogikatehted järgnevatest kuuluvad implikatiivse baasi koosseisu ? vali kõik õiged : Valige üks või mitu: inversioon implikatsioon konjunktsioon disjunktsioon Küsimus 6 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Millised loogikatehted ja konstandid kuuluvad Reed-Mulleri baasi koosseisu ? vali kõik õiged : Valige üks või mitu: implikatsioon konstant 1 inversioon ekvivalents summa mooduliga 2 (välistav VÕI) konstant 0 konjunktsioon disjunktsioon Küsimus 7 Õige Hindepunkte 1,00/1,00
KNK-le rakendada koos järgneva topeltinversiooni rakendamisega. DeMorgani seaduse Küsimus 5 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Millised loogikatehted järgnevatest kuuluvad implikatiivse baasi koosseisu ? vali kõik õiged : Vali üks või enam: implikatsioon konjunktsioon disjunktsioon inversioon Küsimus 6 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Millised loogikatehted ja konstandid kuuluvad Reed- Mulleri baasi koosseisu ? vali kõik õiged : Vali üks või enam: konstant 0 konjunktsioon summa mooduliga 2 (välistav VÕI) ekvivalents inversioon konstant 1 disjunktsioon implikatsioon Küsimus 7 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Millised loogikafunktsioonid peavad kuuluma loogikafunktsioonide süsteemi koosseisu, et
Ekvivalents p↔q. Loomulikus keeles on ekvivalentsi indikaatoriteks väljendid … siis ja ainult siis, kui … ; … parajasti siis, kui … ; tarvilik ja piisav tingimus; ühekorraga. Lause on tõene siis, kui oponendid on korraga tõesed või väärad. Antiekvivalents p ⊕q (välistav disjunktsioon) Emb-kumb, kas...või... p ⊕q on tõene parajasti siis, kui p ja q tõeväärtused on erinevad. Lausearvutuse tehete järjekord: 1) tehted sulgudes 2) tehted eitusega 3) konjunktsioon 4) disjunktsioon 5) implikatsioon 6) ekvivalents 7) antiekvivalents Võrdse prioriteediga tehted sooritatakse vasakult paremale. Väidete süsteem on vastuoluline siis, kui tõesustabelis pole ühtegi rida, kus väited oleksid kõik korraga tõesed. Kui aga leidub rida, milles süsteemi väited on korraga tõesed, siis oleme leidnud kontranäite väitele, et selle süsteemi kõik väited ei saa korraga tõesed olla. Laused on ekvivalentsed, kui nende
Õige loogikaalgebra ? Mark 1 out of 1 Vali üks või enam: loogikatehe SUMMA MOODULIGA 2 loogikatehe KONJUNKTSIOON loogikatehe INVERSIOON Lehekülg 1/6 24.11.2012 19:35 KONTROLLKÜSIMUSTEGA TEST - loogikaalgebra file:///C:/Users/CPU/Desktop/Diskmati_TESTID_moodle__'s_-_100%... väärtus "-1"
Correct koosseisu ? Mark 1.00 out of vali kõik õiged : 1.00 Select one or more: inversioon konjunktsioon disjunktsioon Lehekülg 1/4 24.11.2012 19:37 KONTROLLKÜSIMUSTEGA TEST - funktsioonide täielikud süsteemid... file:///C:/Users/CPU/Desktop/Diskmati_TESTID_moodle__'s_-_100%... implikatsioon
Diskmatt terminid Lausearvutus Disjunktsioon: liitlause on tõene, kui vähemalt üks osalause on tõene Ekvivalents: liitlause on tõene, kui osalaused on sarnased Implikatsioon: liitlause on tõene, kui esimene muutuja on väär või teine muutuja on tõene Inversioon: eitus Ja-tehe: konjunktsioon Konjunktsioon: liitlause on tõene, kui mõlemad osalaused on tõesed Lause: iga lause, mille puhul saab rääkida tema vastavusest tegelikkusele (millel on tõeväärtus) Olemasolu kvantor: näitab, et predikaat kehtib oma määramispiirkonna vähemalt ühe muutujate puhul Predikaat: lause, mis sisaldab ühte või enamat muutujat Samaselt tõene predikaat: predikaat, mis kehtib kogu määramispiirkonnas Samaselt väär predikaat: predikaat, mis ei kehti kusagil määramispiirkonnas
hüüumärk muudab kvantori tähenduse vastupidiseks hüüumärk täpsustab, et "leidub täpselt 1" Question 3 Vali loetelust õige alternatiivne nimetus nendele loogikatehetele. Correct Mark 1 out of 1 konjunktsioon on disjunktsioon on implikatsioon on Question 4 otsusta, kas see väide on tõene või vale: Correct "Tautoloogia" on lause, mille tõeväärtus on alati VALE.
Lausearvutus on loogilise mõtlemise matemaatiline mudel. Lausearvutuse lause on lause, millele saab omistada tõeväärtust(0,1). Tõeväärtuseid on kaks, 0-väär, 1-tõene. Lihtlause on lihtsaim lausearvutuse lause. Lausearvutuse lauseid tähistatakse suutre tähtedega A, B, C. Liitlause koosneb lihtlausetest ning neid siduvatest konstruktisoonidest ja sidesõnadest. Lausearvutuse loogikatehted on inversioon, konjunktsioon, disjunktsioon, implikatsioon, ekvivalents. Binaarsed tehted on need tehted, mida saab teha kahe argumendi korral(konjunktsioon, disjunktsioon, implikatsioon, ekvivalents). Unaarne tehe on tehe, mida saab rakendada üksikule argumendile/operandile(inversioon). Ekvivalents on kahepoolne implikatsioon. Elementaarsed loogikatehted on inversioon, konjunktsioon, disjunktsioon, kuna nende abil saab esitada kõik teised tehted.
Küsimus 1 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Millised on loogikafunktsiooni võimalikud esitusviisid ? Vali üks või enam: osaline järjestussuhe Hasse diagramm tõeväärtustabel Grassmani valem Venni diagramm hulk loogikaavaldis numbriline kümnendesitus Küsimus 2 Õige - Hinne 3,00 / 3,00 vali mõlemasse lünka õiged valikud: Konjunktiivne Normaalkuju (KNK) on mis disjunktsioonide konjunktsioon saadakse tõeväärtustabeli 0de piirkonnast Küsimus 3 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 kas järgnev väide on õige või vale? 4-mõõtmeline Boole'i ruum on kõikide 4-järguliste 2ndvektorite hulk. Vali üks: Tõene Väär Küsimus 4 Õige - Hinne 6,00 / 6,00 vali sobivad väljendid, mille korral lause on õige: Täielikult määratud loogikafunktsioon on kõikjal määratud ühene
Tõeväärtustabelid Tähtsus järjestus: (); ¬, &, , , A ¬ Eitus, muudab tõeväärtust vastupidiseks. B t v v t ,,ja, ning, ka, aga, kuid" A B A & B Konjunktsioon on tõene ainult siis, kui kõik t t t tema osalaused on tõesed. t v v v t v v v v ,,või" A B A B Disjunktsioon on väär ainult siis, kui kõik t t t tema osalaused on väärad. t v t v t t v v v ,,Kui ..., siis" A B A B Implikatsioon on väär ainult siis, kui eeldus t t t on tõena ja järeldus on väär. t v v eeldus > järeldus
00 out of 1.00 Select one: True False Question 10 sisesta lünka õige sõna: Correct Mark 1.00 out of elementaarkonjunktsioon on üksik algterm või algtermide konjunktsioon. 1.00 Question 11 täida lünk õige sõnaga: Correct Kui loogikafunktsiooni mingi muutuja ei mõjuta loogikafunktsiooni väärtust mitte kunagi, siis Mark 1.00 out of selline muutuja on mitteoluline muutuja 1.00
k { 0 , 1 } , millel on defineeritud 3 elementaarset loogikatehet: unaarne tehe i loogiliselt võrdsed, kui nende tõeväärtustabelid on täpselt samasugused n inversioon ja binaarsed tehted konjunktsioon ja disjunktsioon. h näide: x1 x ¯2 w= x2x1 w x ¯1 x2 e
Lausearvutuse lihtlauseid seotakse liitlauseteks 5 loogilise konstruktsiooni ehk loogikatehte abil. Binaarsed loogikatehted seovad kahte lauset (4 tk), unaarne loogikatehe on rakendatav üksikule lausele (1 tk – eitus). Loogiline korrutamine ehk konjunktsioon ehk JA-tehe. Loogiline liitmine ehk disjunktsioon ehk VÕI- tehe. Ekvivalents on seotud implikatsiooniga ehk 𝑷↔𝑸 on nagu 𝑃→𝑄 ja samal ajal ka 𝑄→𝑃. Tehted inversioon, konjunktsioon ja disjunktsioon on elementaarsed loogikatehted – nad pole avaldatavad mingite teiste lihtsamate loogikatehete kaudu, kuna nad ise ongi „lihtsaimad“ tehted. Nii liht- kui ka liitlausete formaalseid esitusi nim lausearvutusvalemiteks -> Def – Lihtlause formaalne tähis (nt: A) ja üksik tõeväärtuskonstant 0 1 on valem. Kui A on valem, siis valemid on ka 𝐴̅ ja (A). Kui A ja B on valemid, siis on valemid ka 𝐴∧𝐵,𝐴∨𝐵,𝐴→𝐵,𝐴↔𝐵
Lisad. Tabelid. Tabel nr 1. Formaalse loogika põhilised sümbolid (allikas: Galina Vuks, Traditsiooniline formaalne loogika, Tartu, 1999, lk 18). Sümbol Nimetus A, B, C,... p, q, r, s... lausemuutujad, atomaarsed valemid ( ); ¬, &, , , sulud; loogiliste tehete sümbolid prioriteedijärjestuses alates kõrgemast: eitus, konjunktsioon, disjunktsioon, implikatsioon, ekvivalents t tõeväärtuse tõene sümbol v tõeväärtuse väär sümbol järeldumine x, y, x1, x2... y1, y2... üksikobjektide muutujad P, Q... P1, Q1... , 1, 2 predikaatide sümbolid a, b, c... a1, b1, c1... konstantsete üksikobjektide
x x ¯ = 1 Kuna 1 1 = 0 , siis liites tehtega konstante 1 : 1 1 1 = 1 Loogikaalgebra põhiseoste hulgas leidus distributiivsusseadus, mille kohaselt konjunktsioon on distributiivne disjunktsiooni suhtes: 1 1 1 1 = 0 1 1 1 1 1 = 1 x(y z) = xy xz 1 1 1 1 1 1 = 0
määrsõna adverb adv hästi, kaua asemäärsõna proadverb proadv mujal, millal abimäärsõna afiksaaladverb afadv läbi (saama), ära (sõitma) rõhumäärsõna modaaladverb modadv võibolla, ka kaassõna adpositsioon adp läbi (maja), (ukse) ees sidesõna konjunktsioon konj ja, ega, kuni hüüdsõna interjektsioon int ah!, kurat!, potsti Eesti keele lauseliikmed eestikeelne nimetus rahvusvaheline termin lühend näide öeldis (grammatiline) predikaat V Poiss sööb kooki. alus (grammatiline) subjekt S Lehm sööb rohtu. sihitis (grammatiline) objekt O Karu sööb mustikaid.
määrsõna adverb adv hästi, kaua asemäärsõna proadverb proadv mujal, millal abimäärsõna afiksaaladverb afadv läbi (saama), ära (sõitma) rõhumäärsõna modaaladverb modadv võibolla, ka kaassõna adpositsioon adp läbi (maja), (ukse) ees sidesõna konjunktsioon konj ja, ega, kuni hüüdsõna interjektsioon int ah!, kurat!, potsti Eesti keele lauseliikmed eestikeelne nimetus rahvusvaheline termin lühend näide öeldis (grammatiline) predikaat V Poiss sööb kooki. alus (grammatiline) subjekt S Lehm sööb rohtu. sihitis (grammatiline) objekt O Karu sööb mustikaid.
Lihtlause on lihtsaim võimalik lausearvutuslause. Lausearvutuslauseid tähistatakse formaalselt suurtähtedega: A, B, P, Q … Lihtlausetest koostatakse kindlate sidesõnade ja loog konstruktsioonide abil liitlauseid. Lausearvutuse lihtlauseid seotakse liitlauseteks 5 loogilise konstruktsiooni ehk loogikatehte abil. Binaarsed loogikatehted seovad kahte lauset (4 tk), unaarne loogikatehe on rakendatav üksikule lausele (1 tk – eitus). Loogiline korrutamine ehk konjunktsioon ehk JA-tehe. Loogiline liitmine ehk disjunktsioon ehk VÕI-tehe. Ekvivalents on seotud implikatsiooniga ehk 𝑷 ↔ 𝑸 on nagu 𝑃 → 𝑄 ja samal ajal ka 𝑄 → 𝑃. Tehted inversioon, konjunktsioon ja disjunktsioon on elementaarsed loogikatehted – nad pole avaldatavad mingite teiste lihtsamate loogikatehete kaudu, kuna nad ise ongi „lihtsaimad“ tehted. Nii liht- kui ka liitlausete formaalseid esitusi nim lausearvutusvalemiteks ->
Küsimus 1 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 kas väide on õige või vale: Jääkfunktsioone ei saa leida Karnaugh' kaardi abil Vali üks: Tõene Väär Küsimus 2 Osaliselt õige - Hinne 0,75 / 1,00 vali kõik õiged väited: Vali üks või enam: Funktsioonil võib Taandatud DNK puududa, kuigi minimaalne DNK (MDNK) on sellel funktsioonil olemas - VALE Taandatud DNK-d on võimalik leida Karnaugh' kaardi abil Taandatud DNK ja minimaalne DNK (MDNK) võivad olla üks ja sama avaldis Taandatud DNK võib olla suurema keerukusega avaldis kui minimaalne DNK (MDNK) Taandatud DNK on funktsiooni kõikide implikantide disjunktsioon - VALE Taandatud DNK on funktsiooni kõikide lihtimplikantide disjunktsioon Funktsioonil võib olla mitu erinevat Taandatud DNK-d - VALE Taandatud DNK võib olla väiksema keerukusega avaldis kui minimaalne DNK (MDNK) - VALE Küsimus 3 Õige - Hinne 3,00 / 3,00 Osaliselt määratud loogikafunktsioonile MDNK leid...
monotoonsed funktsioonid ? konstantsed funktsioonid ? eksponentsiaalsed funktsioonid ? pidevad funktsioonid ? pööratavad funktsioonid ? nulli säilitavad funktsioonid ? määramatust säilitavad funktsioonid ? lineaarsed funktsioonid ? Küsimus 9 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Millise loogikatehtega on võimalik funktsiooni tõeväärtustabeli abil äratunda selle funktsiooni lineaarsust ? Vali üks: lahutamine summa mooduliga 2 jagamine implikatsioon konjunktsioon inversioon ekvivalents disjunktsioon Küsimus 10 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Kui loogikafunktsiooni normaalkujulises avaldises ei leidu mitte ühtegi inversiooni, siis selline funktsioon on alati . . . ( vali kõik õiged ) Vali üks või enam: nulli säilitav ? ühte säilitav ? pööratav ? - VALE monotoonne ? lineaarne ? - VALE Küsimus 11 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 kas järgmine väide on õige või vale ?
13 1 1 0 1 - 14 1 1 1 0 0 15 1 1 1 1 0 1.3 Tähistusi tähistatav tähistus inversioon x disjunktsioon v konjunktsioon & või " " lihtimplikant AX (X=1..n) DNK disjunktiivne normaalkuju KNK konjunktiivne normaalkuju täielik disjunktiivne / konjunktiivne TDNK/TKNK normaalkuju minimaalne disjunktiivne /
EI; NING EI; VÕI EI; Välistav VÕI; Samaväärsus e. ekvivalentsus Kahe arvumendi loogikafunktsioonid f-i nr. Funktsiooni nimetus Argumentide Funktsiooni Funkts. Loogika kombinatsiooni X1 selgitus Matemaatiline elemendi tähis 0011 esitus X2 0101 f1 Konjunktsioon e. 0001 Väljundis on 1, f1=X1*X2 X1 -> & ->y loogikaline kui kõikkides f1=x1x2 korrutamine e. sidendites on 1 f1=x1^x2 X2-> NING f7 Düjunktsioon e. 0111 Väljundis on f7=x1+x2 X1 ->1 ->y loogiline liitmine e. signaal 1 kui
Kehtestatav 3. Milline traditsioonilise loogika põhireegel ei ole otseselt ega kaudselt kasutusel klassikalise loogika põhialuste fikseerimisel: Küllaldase aluse seadus 4. Kuidas jagunevad küsimused vastuste hulga alusel? Õiged ja ebaõiged. 5. Atributiivse lihtväitena termin on alati piiritletud, kui ta esineb… Eitava väite predikaadina 6. Disjunktsioonitehte eitus on … Selle operandide eituste konjunktsioon. 7. Traditsioonilisele arutlusele „üldiselt üksikule“ vastab klassikalises loogikas … Üldisuskvantori eemaldamine. 8. Olgu antud süllogism: „Kui kana ei mune, siis ta ei kaaguta. Kana kaagutab, seega ta muneb.“ Millise süllogismi moodusega on tegu? Kehtiv modus tollens 9. Milline allpool toodud operaatoritest on aleetilises loogikas üks kahest peamisest operaatorist? Võimalikkuse operaator 10.Milline järgnevatest väidetest on väär?
Harva on ta üle ühe tunni võrra Päikesest ees või rohkem kui ühe tunni võrra järel. Enne päikesetõusu või pärast päikeseloojangut paistab Merkuur nii madalal, et tema kiirgus peab läbima 10 korda paksema Maa atmosfääri kihi kui juhul, kui ta paistaks otse pea kohal. Näiv suurus on 515 sekundit. Alumises konjunktsioonis on see umbes 10 sekundit (1/180 Kuu näivast suurusest), ülemises konjunktsioonis umbes 4,5 sekundit (1/380 Kuu näivast suurusest). Kui alumine konjunktsioon toimub kahest orbiidisõlmest ühe lähedal (keskmiselt iga 7 aasta tagant, näiteks 15. novembril 1999 ja 7. mail 2003), saab teda tugeva päikesefiltriga varustatud teleskoobist näha musta viilukesena Päikese eest möödumas. Järgmised korrad on 8. november 2006 ja 9. mai 2016. Heledus Merkuur on Päikesesüsteemi tumedaim planeet: ta peegeldab päikesevalgusest ainult 56%. Planeedi pind on tumedam isegi basaldist. Visuaalne geomeetriline albeedo on 0,10. Tähesuurus on 1,9
Omavahel saab võrrelda ainult võrdsete pikkustega vektoreid. Loogikafunktsioonid ja loogikaavaldised 1. Mis on loogikaalgebra? Loogikaalgebra on Boole’i algebra erijuht, kus alushulgaks on kaheelemendiline hulk {0,1}. 2. Millest loogikaalgebra koosneb? Loogikaalgebra koosneb loogikaväärtuste hulgast {0,1}, millele on defineeritud 3 elementaarset loogikatehet: unaarne tehe inversioon (¯) ja binaarsed tehted konjunktsioon (∧) ja disjunktsioon (∨). 3. Mis on loogikamuutuja? Muutuja x on loogikamuutuja, kui ta saab omandada üksnes väärtusi {0 1} 4. Kuidas nimetatakse numbrimärkidega 0 ja 1 esitatud loogikaväärtusi? Konstant. 5. Mis on loogikaavaldis? Loogikaavaldise definitsioon. Loogikaavaldis on loogikamuutujatest, konstantidest ja tehtemärke sisaldav kooslus, mis muutujate väärtustamisel omandab samuti väärtuse 0 või 1. 6
üldistused nagu ka loodusteaduse väited 1 Kui mõõdetaks paberile joonestatud kolmnurga sisenurgad ning leitaks, et nende summa ei võrdu 180o-ga, siis Ayeri arvates a Õige! on tegemist mõõtmisveaga või pole tegemist eukleidilise kolmnurgaga 2. Mida arvaks Ayer näiteks väitest Kodanik B ei viibi enam hullumajas eelduse korral, et kodanik B polegi hullumajas viibinud? b Õige! Taoline väide on tegelikult kahe väite konjunktsioon: Kodanik B viibis (hiljuti) hullumajas ja Kodanik B nüüd enam ei viibi hullumajas. Konjunktsioon tervikuna on väär. 1 Millel põhineb väite (propositsiooni) 7+5=12 tõesus? a ? Sümboliline väljend 7+5 tähenda sedasama mida sümbol 12 2 Kumb teguviis on Ayeri arvates irratsionaalne? a Õige! Nõuda tõestust seal, kus on saavutatav vaid tõenäosus Millisel järgneval väitel on faktiline sisu? 1
Finish review Question 1 Millise loogikatehte osalusel esitub loogikafunktsiooni tuletis ? Correct Mark 1 out of 1 Select one: summa mooduliga 2 implikatsioon konjunktsioon disjunktsioon ekvivalents Question 2 Osaliselt määratud loogikafunktsioonile MDNK leidmisel McCluskey' meetodiga lisatakse Correct määramatuspiirkond selle funktsiooni 1de piirkonnale mille tulemusel
Correct äratunda selle funktsiooni lineaarsust ? Mark 1.00 out of 1.00 Select one: implikatsioon disjunktsioon konjunktsioon summa mooduliga 2 lahutamine ekvivalents jagamine inversioon Question 10 Kui loogikafunktsiooni normaalkujulises avaldises ei leidu mitte ühtegi
loogikaväidetele tähendus ja kontrollida tõesustingimusi. Konjunktsioon - &, tähendus sarnane inimkeele sõnaga ja. Loob lausete vahele rinnastava seose. Konjunktsiooni tõeväärtus sõltub selle osalausete tõeväärtustest. Konjunktsioonil on osalausete samadel tõeväärtustel alati sama tõeväärtus. Inimkeelse ja puhul on oluline ajaline järjestus, põhjuslikkus jm seosed, aga konjunktsioon kõigest ühendab lauseid/väiteid. Loogiline eitus ¬, muudab väite tähenduse vastupidiseks. Disjunktsioon v, mis saab olla nii kaasav (tähendus: ja/või) kui ka välistav (kas üks või teine, aga mitte mõlemad). Tähenduselt lähedane inimkeele sõnale või. Implikatsioon , sarnane inimkeele tingimuslausega kui... siis. PREDIKAATARVUTUS: Predikaat seos, tunnus vms, mis kehtib argumentide kohta. Argument - subjekt
4) konnektiivlaiendina (siduv laiend), nt ka, samuti, eelkõige, veel, hoopis, küll, just, kas või, juba, nt Just see ongi põhiküsimus – see viitab tähendusseosele kontekstiga; 5) intensiivistava üldlaiendina, nt no, ometi, jah, vaat. Nt Vaat see on alles uudis. Sageli võib üks ja seesama sõna esineda lauses paralleelselt nii iseseisva (võimalik küsimustada) kui modaaladverbina (küsimust esitada raske). Sidesõna ehk konjunktsioon on muutumatu sõna, mille ainsaks süntaktiliseks funktsiooniks on siduda lauses moodustajaid, seejuures viimaste vormi mõjustamata. Sidesõnu on kõikides keeltes vähe. Eesti keeles on neid paar- kümmend: ja, ning, ega, ehk, või, aga, kuid, ent, vaid, et, kui, kuna, sest, kuni, kuigi, ehkki, nagu, arhailised saati, elik ning liitsõnalised justkui, otsekui. Nt Alguses lõi Jumal taeva ja maa. See on hea raamat, aga too teine on huvitavam. Jüri on noorem kui Mari
Tuglas. Rahvusvahelised sõnaliikide nimetused 1.substantiiv nimisõna 2. adjektiiv omadussõna 3. numeraal arvsõna 4. pronoomen asesõna 5. verb- tegusõna 6. adverb määrsõna 7. konjunktsioon sidesõna 8. interjektsioon hüüdsõna 9. prepositsioon eessõna 10. postpositsioon MORFEEM Morfeem on väikseim keeleüksus millel on tähendus, morfeemid on: kõik sõnajuured ehk tüved aga ka liited, tunnused ja lõpud. SÕNAJUUR Sõnatüvi millele ei ole liidetud tunnuseid. Liitsõna peab olema kaks juurt.
x1 x 2 x 3 x 4 (1) x1 x 2 x3 x 4 (0) x1 x 2 x 3 x 4 (1) x1 x 2 x3 x 4 (1) x1 x 2 x 3 x 4 (0) 7. Shannoni disjunktsioon kahe muutujaga f(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = x1 x 2 x1 x3 x 4 x 2 x3 x 4 = x 1 x 2 (0 0 1 x3 x 4 0 x3 x 4 ) x1 x 2 (1 1 0 x3 x 4 1 x3 x 4 ) x1 x 2 (0 1 1 x3 x 4 1 x3 x 4 ) x1 x 2 (1 0 0 x3 x 4 0 x3 x 4 ) = x 1 x 2 (1 x3 x 4 ) x1 x 2 ( x3 x 4 ) x1 x 2 ( x3 x 4 x3 x 4 ) x1 x 2 (0) 8. MDNK-le Shannoni konjunktsioon kahe muutuja järgi [ f(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = x1 x 2 x1 x3 x 4 x 2 x3 x 4 = x 1 x 2 (1 1 0 x3 x 4 1 x3 x 4 ) ] [ & x1 x 2 (0 0 1 x3 x 4 0 x3 x 4 ) ] & [x 1 x2 (1 0 0 x x 0 x x ) ] 3 4 3 4 & [x 1 x2 (0 1 1 x x 1 x x ) ] = [ x 3 4 3 4 1 x 2 ( x3 x 4 )] & [x 1 x2 ( x x )]
A r __ __ inversioon A täiend A __ __ A A = A A = I konjunktsioon ühisosa u t idempotentsus: u disjunktsioon ühend A A = A A A = A
x1 x3 (1 x2 1 0 x4 0 x2 1 1 x4 ) x1 x3 (0 x2 0 0 x4 1 x2 1 1 x4 ) = = x1 x3 ( x2 x4 ) x1 x3 (0) x1 x3 ( x2 x4 ) x1 x3 ( x2 x4 ) 7. Shannoni disjunktsioon ühe muutujaga x 2 f(x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = x1 x2 x1 x3 x4 x1 x2 x3 x3 x4 = x2 ( x1 0 x1 x3 x4 x1 1 x3 x3 x4 ) x2 ( x1 1 x1 x3 x4 x1 0 x3 x3 x4 ) = x2 ( x1 x3 x4 x1 x3 x3 x4 ) x2 ( x1 x1 x3 x4 x3 x4 ) 8. MDNK-le Shannoni konjunktsioon kahe muutuja järgi f(x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = x1 x2 x1 x3 x4 x1 x2 x3 x3 x4 = [ ][ = x 1 x2 (1 0 1 x3 x4 0 1 x3 x3 x4 ) x1 x2 (1 1 1 x3 x4 0 0 x3 x3 x4 ) ] [ x x (0 0 0 x x 1 1 x x x ) ] [ x x 1 2 3 4 3 3 4 1 2 (0 1 0 x3 x4 1 0 x3 x x )] =
Reed - Mulleri POLÜNOOM x 3 x4 x 1 x2 00 Ü Loogikaavaldise erikuju, mis sisaldab ainult loogikatehteid : 01 11 10 summa mooduliga 2 : T 00 1 1 T konjunktsioon : & konstant 1 : 1 01 1 . . . . ja kus sulud on lahtikorrutatud (ehk sulge enam pole) 11 1 1 1...
tehtemärk tehte nimi ja selgitus O — väljas on soe ¯¯ loogiline eitus e. inversioon V — vihma sajab P — väljas on pime ∧ loogiline korrutamine e. konjunktsioon e. JA-tehe R — päikesevarjutus kestab ( aritmeetilise korrutamise analoog loogikas ) L — päike on loojunud ∨ loogiline liitmine e. disjunktsioon e. VÕI-tehe M — Ferrari on kiirem kui McLaren ( aritmeetilise liitmise analoog loogikas )
EESTI KEEL Häälikuõigekiri Häälduse järgi kirjutatakse: HÄÄLIKU PIKKUSE ÕIGEKIRI · Hääliku pikkuse põhireegel lähtub hääldusest: Lühike häälik kirjutatakse ühe (nt ehe, asi), pikk ja ülipikk kahe tähega (nt tsehhid - tsehhe, kassid kasse). · Sageli tekib õigekirjaviga valest hääldusest. Tuleb hääldada õigesti (st jälgida hoolega, et hääldatakse ühe tähega kirjutatut lühidalt ja kahetähelist pikalt), jätta meelde kriitiliste sõnade õigekeelsus: samet, amet, komisjon, talitama, kuni, karikatuur; varrukas, kummardama, intelligentne, kolleeg, grammofon, barrikaad, paralleelne, annulleerima, terrass; ümarik - ümmargune, samuti - sammuti (aeglaselt), ballett baleriin. · ERAND! Viimane häälik mõnes ühesilbilises sõnas kirjutatakse hääldust arvestamata ühe tähega, nt: asesõnades: mul, sul, tal, kel, mil, sel, tol, ma, sa, ta, me, te, nad, mu, su, ...
W VALE! Matemaatika tõed (nt Pyhtagorase teoreem) pärinevad mõistusest enesest, kogemuse abil võib neid vaid illustreerida Õige! Matemaatika tõed (nt Pythagorase teoreem) on kogemusel põhinevad üldistused nagu ka loodusteaduse väited 4. Mida arvaks Ayer näiteks väitest Kodanik B ei viibi enam hullumajas eelduse korral, et kodanik B polegi hullumajas viibinud? X Õige! Taoline väide on tegelikult kahe väite konjunktsioon: Kodanik B viibis (hiljuti) hullumajas ja Kodanik B nüüd enam ei viibi hullumajas. Konjunktsioon tervikuna on väär. VALE! Analoogsed väited näitavad, et välistatud kolmanda seadus ei kehti, sest tõsi pole ka, et kodanik B viibib veel hullumajas. 5. Milline väide on kooskõlas empirismiga? Y Õige! Ükski kogemusel põhinev väide ei saa olla paratamatu ja kindel VALE! Mõni kogemusel põhinev väide saab olla paratamatu ja kindel 6
x1 x2 f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Tabelis on kirjeldatud järgnevad funktsioonid: · f0 - konstant "0" · f1 - konjunktsioon, loogiline korrutamine, "ja"-funktsioon, x1& x2 ehk x1· x2 ehk x1x2 · f2 - implikatsiooni eitus x1 x2 · f3 - argumendi x1 väärtus · f4 - pöördimplikatsiooni eitus x2 x1 · f5 - argumendi x2 väärtus · f6 - argumentide summa mooduliga 2, (x1 + x2 )mod2 ehk x1 x2 · f7 - disjunktsioon, loogiline liitmine, "või"-funktsioon, x1 x2 ehk x1 + x2 · f8 - Pierce'i nool, Pierce'i funktsioon, "või-ei"-funktsioon, x1 x2 ehk x1 | x2
x1 x2 f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Tabelis on kirjeldatud järgnevad funktsioonid: f0 - konstant "0" f1 - konjunktsioon, loogiline korrutamine, "ja"-funktsioon, x1& x2 ehk x1 x2 ehk x1x2 f2 - implikatsiooni eitus x1 x2 f3 - argumendi x1 väärtus f4 - pöördimplikatsiooni eitus x2 x1 f5 - argumendi x2 väärtus f6 - argumentide summa mooduliga 2, (x1 + x2 )mod2 ehk x1 x2 f7 - disjunktsioon, loogiline liitmine, "või"-funktsioon, x1 x2 ehk x1 + x2 f8 - Pierce'i nool, Pierce'i funktsioon, "või-ei"-funktsioon, x1 x2 ehk x1 x2 f9 -
Episteemilised modaalsed laused väljendavad teadmiste astet. (on tõestatud, et…; on ümberlükatud, et…; on lahendamatu, et…) Intensionaalne loogika uurib veendumust väljendavaid lauseid. 37. DEONTILISE LOOGIKA PÕHIIDEED. Deontilised modaalsed laused väljendavad norme. Mingisuguse käitumise iseloomulik omadus on toiming. Üksiktoiming on tegu. - Toimingu p eitus on ¬p. Toimingu ¬p sooritab agent siis, kui ta tegu ei soorita. - Toimingute p ja q konjunktsioon on toiming p & q, mille agent sooritab parajasti siis, kui ta sooritab mõlemad antud toimingud. - Toimingute p ja q disjunktsioon on toiming p ∨ q, mille agent sooritab parajasti siis, kui ta sooritab vähemalt ühe antud toimingu. - Toimingute p ja q implikatsioon on toiming p → q, mille agent sooritab parajasti siis, kui pole nii, et ta sooritab esimese ja ei soorita teist toimingut.
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
