Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "VÕRRATUSED". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
võrratus, intervall, nullkohad, avaldis, intervallid, lahendiks, avaldise, reaalarv, muutuja, lineaarvõrratused, jagame, nimetaja, lugejas, ruutvõrratused, ruutvõrratuste, algoritm, avaldist, suvalist, uurime, sulgude, esimesest2. tr. Tallinn, 1984 Litvinenko, V. N. jt Praktikum po reseniju matematitseskih zadats. Moskva, 1984 (vene keeles). 2 VÕRRATUSED Kaks algebralist avaldist, mis on omavahel seotud märkidega >, või < , moodustavad võrratuse. Tundmatuid sisaldava võrratuse korral tekib selle lahendamise probleem. Vaatleme siin vaid ühe tundmatuga võrratusi. Sellise võrratuse lahendiks nimetatakse tundmatu väärtust, mille puhul võrratus on rahuldatud, st mille asetamisel võrratusse tundmatu asemele saame õige arvulise võrratuse. Lahendada võrratus tähendab leida selle kõik lahendid. Kaks, kolm jne võrratust, mis sisaldavad üht ja sama tundmatut, võivad moodustada võrratuste süsteemi. Lahendada võrratuste süsteem tähendab leida nende võrratuste ühise tundmatu kõik sellised väärtused, mis rahuldavad korraga selle süsteemi kõiki võrratusi.
. 23 3.10 Näiteid lineaarvõrrandite ja ruutvõrrandite lahendamisest ning ruutkolmliikmete teguriteks lahutamisest ……………………..….… 24 3.11 Determinandid …………………………………………………..….. 27 3.12 Lineaarvõrrandisüsteem ……………………………………….….… 27 3.13 Näited lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisest ……………..……. 28 3.14 Võrratus ………………………………………………………...…… 31 3.15 Lineaarvõrratus ………………………………………………..…… 31 3.16 Lineaarne võrratussüsteem ……………………………………...….. 32 3.17 Ruutvõrratus …………………………………………………….….. 33 3.18 Kõrgema astme võrratus ……………………………………………. 34 3
Näide 1 Kanname need lahendid x-teljele ning tõmbame läbi punktide 2 ja 3 parabooli, mis avaneb ülespoole. -2 3 x Viirutame teisendusega saadud abivõrratuse positiivsuspiirkonna (x teljest ülalpool oleva piirkonna). Jooniselt leitud abivõrratuse positiivsuspiirkond ongi lähtevõrratuse lahend. Antud võrratuse lahendihulk on X (;2) (3; ) Intervallimeetod Võrratusi kujul ( x x1 )( x x2 )( x x3 ) 0 kus x1 x2 x3 on võrratuse nullkohad, saab lahendada intervallimeetodil. Praktiliselt kujuneb võrratuse lahendamine intervallmeetodil järgmiseks: kanname võrratuse nullkohad (antud juhul x1, x2, x3 ) x teljele, eeldades, et a > 0 (vastasel juhul korrutame lähtevõrratust 1-ga), tõmbame läbi nende punktide joone, alustades paremalt ülalt, kui nullkoha järk on paaritu arv, läbime nullkohta lõigates x- telge, kui nullkoha järk on paarisarv, läbime nullkohta puudutades, võrratuse lahendihulga määrame graafikult
märk vastupidiseks.
Näiteks: Kui 3<7, siis 7>3.
Võrratuse liikmeid võib viia ühelt võrratuse poolelt
teisele, muutes üleviidava liikme märki.
Näiteks: Kui 8>3, siis 8-3>0.
Võrratuse mõlemaid pooli võib korrutada (jagada)
nullist erineva arvuga. Negatiivse arvuga jagades
võrratuse märk muutub! Positiivse arvuga jääb
samaks.
Näiteks: Kui 5<7 |·3, siis 15<21.
Aga 5< 7 |·(-3), siis -15>-21.
Võrratuse lahend
Kui võrratus sisaldab muutujat, siis
saame rääkida võrratuse
lahendamisest.
Võrratuse neid muutuja väärtusi, mille
korral võrratus osutub tõeseks nim.
võrratuse lahendeiks ja kõiki koos
võrratuse lahendihulgaks.
Võrratuse lahendid on
enamasti reaalarvude
piirkonnad.
Reaalarvude piirkondade märkimiseks
kasutatakse järgnevaid sümboleid:
Lõik axb
x[a;b]
Vahemik a
............................................19 Ruutvõrratus........................................................................................................................... 20 Intervallide meetod.................................................................................................................20 Murdvõrratus.......................................................................................................................... 21 Absoluutväärtust sisaldav võrratus.........................................................................................21 III Trigonomeetria...................................................................................................................... 22 Täisnurkse kolmnurga trigonomeetria....................................................................................22 Trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamine.............................................................................23
2. Kui võrrand sisaldab sulge, siis avatakse sulud. 3. Kui võrrand ei sisalda murde ega sulge, viiakse kõik tundmatuga liikmed võrrandi vasakule ning kõik arvud võrrandi paremale poolele. 4. Kui vastavad liikmed on õigele poole viidud, koondatakse võrrandi vasakul ja paremal poolel olevad liikmed (võrrand saab kuju ax = b). 5. Kui võrrand on kujul ax = b, siis jagatakse võrrandi pooled tundmatu ees oleva arvuga (arvuga a). Võrratuse saame siis, kui kirjutame kahe avaldise vahele võrratusmärgi <, >, ≤ , ≥ . 2a + 4 < 16 + 5a Arvvõrratus on võrratus, mille mõlemal pool on arvavaldised. 45 - 3∙6 > 2 + 8 Arvvõrratus on kas tõene või väär. -4 < 2 (tõene), 9 > 0 (väär) Võrratus võib sisaldada ka tundmatuid. 2x - 3,4 > 6 + 5x Tundmatu seda väärtust, mille korral saame antud võrratusest tõese lause, nimetatakse võrratuse lahendiks. 2x > 9; x > 4,5; x = 5 on võrratuse lahend
ja b 0.
· Iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise kümnendmurruna.
1.2 Irratsionaal- ja reaalarvud
· Arv, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, on irratsionaalarv.
· Arvutamisel piirdutakse ligikaudsete väärtustega e lähenditega, nt pii=3,14
· Kuna iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise ja irratsionaal lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna,
siis iga reaalarv avaldub lõpmatu kümnendmurruna.
1.3 Arvuhulkade omadusi
· Arvuhulka nimetatakse järjestatuks, kui iga tema kahe arvu a ja b korral kehtib üks kolmest võimalusest, kas a>b,
a=b või a
Murdvõrrandit EI TOHI muutujaga läbi korrutada! Lahendamiseks viiakse kõik liikmed vasakule poole ning ühisele murrujoonele. Näide: Seejärel võrdustatakse lugeja nulliga, samal ajal väites, et nimetaja ei tohi olla 0. Antud juhul: x2-x-6=0 ja x-3 0 -> x 3 Ruutvõrrandi lahendid on x1 = 3 ja x2 = -2, kuid 3 on võõrlahend, seega murdvõrrandi lahendiks on -2. Juurvõrrand Juurvõrrandiks nimetatakse võrrandit, kus muutuja on juure all. Ei ole juurvõrrand, sest muutuja x ei ole juure all. Juurvõrrandit lahendadakse, viies juurega liikmed ühele poole ja juureta liikmed teisele poole ning seejärel tõstetakse mõlemad pooled ruutu. Näide: Ruututõstmist võib kasutada mitu korda, kui seda on juurtest lahtisaamiseks vaja.
Näide: Kaks ühesugust traktorit teevad sügiskünni ära kuue päevaga. Kui mitme päevaga teeksid sügiskünni ära kolm samasuguse tööviljakusega traktorit? Traktorite arv 2 3 Päevade arv 6 x 26=3x 12 = 3x x=4 Graafikute lugemine: Kui sõltuvus on esitatud graafikuna, siis graafikult saab välja lugeda palju huvitavat infot. Graafik esitatakse põhiliselt kahel teljel: horisontaal- ja vertikaalteljel. Funktsioon: eeskiri, mis seab sõltumatu muutuja igale väärtusele vastavasse sõltuva muutuja ning ühe kindla väärtuse. JRK. NIMI HINNE 1. Mari Maasikas ... Järjekorra number ja nimi on sõltumatud muutused, hinne on sõltuv muutus. Võrdeline sõltuvus: Kaht suurust, mille vastavate väärtuste suhe on jääv nimetatakse võrdeliseks suuruseks. Seda jäävat suhet nim. nende suuruste võrdeteguriks. y = ax Võrdelise suuruse graafik:
© Allar Veelmaa 2014 5 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium LINEAAR- JA RUUTVÕRRANDI LAHENDAMINE 1) Lineaarvõrrandi ax + b = 0 lahendamine b Kui a ≠ 0, siis lahend on x a Kui a = 0, siis on kaks võimalust: a) kui b = 0, siis võrrandi 0 · x = 0 lahendiks sobib iga arv. b) kui b ≠ 0, siis võrrandil 0 · x = b lahendeid ei ole. 2) Ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendamine: Kui a = 1, siis sellist võrrandit nimetatakse taandatud ruutvõrrandiks ja esitatakse kujul x2 + px + q = 0 ning see lahendatakse valemiga p p2 x1;2 q 2 4
ax2 + bx + c > 0 L = ( ; x12) (x12; ) ax2 + bx + c >0 Lahendid puuduvad: L = Ø. C) Kui diskriminant D < 0, siis ruutvõrrandil puuduvad reaalarvulised lahendid. Parabool ei lõika ega puuduta x telge. 2 ax2 + bx + c > 0 Lahendiks sobib iga reaalarv: L = R. ax2 + bx + c > 0 Lahendid puuduvad: L = Ø. Näide 7. Lahendame võrratuse x2 3x + 2 > 0 (< 0; 0; 0). Lahendus. Lahendame võrrandi x2 3x + 2 = 0 ja saame x1 = 1 ja x2 = 2. Parabool y = x2 3x + 2 avaneb ülespoole ja lõikab x telge punktides, kus x = 1 ja x = 2. Jooniselt loeme kõikide võrratuste lahendihulgad. 1. Kui x2 3x + 2 > 0, siis L = ( ; 1) (2; ).
Biruutvõrrand Biruutvõrrandi üldkuju on ax 4 + bx 2 + c = 0 . Lahendamiseks kasutatakse abimuutujat x = y . Saadakse uus võrrand ay 2 + by + c = 0 , mille lahendid on y1 ja y2 . Paigutades y 2 positiivsed väärtused võrdusesse x 2 = y , saame 1) x 2 = y1 , millest x1,2 = ± y1 ; 2) x 2 = y2 , millest x3,4 = ± y2 . 2.6 Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine x 2 + px + q = ( x - x1 ) ( x - x2 ) , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi x 2 + px + q = 0 lahendid). ax 2 + bx + c = a ( x - x1 ) ( x - x2 ) , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi ax 2 + bx + c = 0 lahendid). 2.7 Determinandid Teist järku determinandi väärtuse arvutamise eeskiri: a11 a12 = a11a22 - a12 a21 . a21 a22
Lineaarsete võrratuste süsteemid © T. Lepikult, 2003 Lineaarsete võrratuste süsteemi lahendamine Võrratuste süsteemi lahendamisel tuleb lahendada iga süsteemi kuuluv võrratus eraldi. Süsteemi lahediks on saadud arvuhulkade ühisosa. Näide x > 3 Võrratuste süsteemi x < 6 lahendiks on vahemik (3; 6), kuna vaid sellesse vahemikku kuuluvad arvud rahuldavad mõlemat süsteemi kuuluvat võrratust. Vastuse võib esitada kujul x (3; 6) või 3 < x < 6. Näide 1 Lahendame võrratuste süsteemi 3 x - 1 - 13 - x < 7 x - 11( x + 3) 3 7 3 6 2 x + 7 < 3 x - 5 + 8 + 10 - 3 x 3 7 5 Lahendus
(mitterange võrratuse märgid), siis kõneleme võrratusest. Võrratuse mõlemale poole võib liita või temast lahutada ühe ja sama arvu. Võrratuse mõlemaid pooli võib korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga. Kui see arv on positiivne, siis jääb võrratuse märk samaks, kui negatiivne, siis muutub vastupidiseks. Võrratuse lahenditeks on muutuja need väärtused, mille korral võrratus on tõene. Võrratuse kõik lahendid kokku moodustavad võrratuse lahendihulga. Samu muutujaid sisaldavaid võrratusi nimetatakse samaväärseteks, kui neil on üks ja sama lahendihulk. Võrratuse lahendihulga kirjeldame alati nii graafiliselt kui ka piirkonnana. Ruutvõrratuse lahendamisel leiame kõigepealt ruutvõrrandi nullkohad, siis skitseerime parabooli ja siis leiame graafikult lahendipiirkonna. Determinant
(mitterange võrratuse märgid), siis kõneleme võrratusest. Võrratuse mõlemale poole võib liita või temast lahutada ühe ja sama arvu. Võrratuse mõlemaid pooli võib korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga. Kui see arv on positiivne, siis jääb võrratuse märk samaks, kui negatiivne, siis muutub vastupidiseks. Võrratuse lahenditeks on muutuja need väärtused, mille korral võrratus on tõene. Võrratuse kõik lahendid kokku moodustavad võrratuse lahendihulga. Samu muutujaid sisaldavaid võrratusi nimetatakse samaväärseteks, kui neil on üks ja sama lahendihulk. Võrratuse lahendihulga kirjeldame alati nii graafiliselt kui ka piirkonnana. Ruutvõrratuse lahendamisel leiame kõigepealt ruutvõrrandi nullkohad, siis skitseerime parabooli ja siis leiame graafikult lahendipiirkonna. Determinant
Biruutvõrrandi üldkuju on ax 4 bx 2 c 0 . Lahendamiseks kasutatakse abimuutujat x y . Saadakse uus võrrand ay 2 by c 0 , mille lahendid on y1 ja y2 . Paigutades y 2 positiivsed väärtused võrdusesse x 2 y , saame 1) x 2 y1 , millest x1,2 y1 ; 2) x 2 y2 , millest x3,4 y2 . 2.6 Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine x 2 px q x x1 x x2 , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi x 2 px q 0 lahendid). ax 2 bx c a x x1 x x2 , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi ax 2 bx c 0 lahendid). 2.7 Determinandid Teist järku determinandi väärtuse arvutamise eeskiri: a11 a12 a11a22 a12 a21 . a21 a22
VÕRRANDID Võrrand on muutujaid sisaldav võrdus, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Tundmatu väärtust, mille korral võrrand osutub samasuseks (tõeseks arvvõrduseks), nimetatakse võrrandi lahendiks. Võrrandil võib olla üks või mitu lahendit, kuid neid võib olla ka lõpmata palju või mitte ühtegi. Lahendada võrrand tähendab leida tundmatu kõik need väärtused, mis rahuldavad võrrandit (st tundmatu asendamisel lahendiga muutub võrrand samasuseks). Võrrandi lahendamisel püütakse võrrandit teisendada nii, et iga uus võrrand oleks eelmisega samaväärne. Lubatud teisendused (võrrandi põhiomadused) on järgmised: 1) võrrandi pooli võib vahetada;
2 x +7< 3 x-4 . Arvestame, et mõlemad logaritmitavad on positiivsed, seega saame süsteemi kolmest võrratusest { { { -x <-11 x>11 2 x +7<3 x-4 x >-3,5 x >-3,5 2 x +7> 0 . 4 4 3 x-4>0 x> x> 3 3 Lahendite ühiseks osaks on poollõik x> 11 , mis on ülesande vastuseks. Vastus: x (11 ; ) . Lahendada võrratus: 1¿ log ( x +3) log 2 x 1 a ¿ log 1 x log 1 (10 x-5) 2 2 2 ¿ log 1 ( 2 x-1)>log 1 (x +1) 2 a ¿ log 0,1 (3 x+ 1)< log 0,1 (x-2) 2 2 3 ¿ log ( x -2 )-log ( 27-x)0 3 a ¿ ln ( x-1 )-ln ( x +2,5)> 0
2007. aasta matemaatika riigieksami ülesanded koos lahenduste ja kommentaaridega 2 1. ÜLESANNE (5 punkti) Ülesannete tekstid 1 5x 1 I Antud on avaldis 2 , kus x 0 ja x . x 25 x 2 x 0 5 1) Lihtsustage see avaldis. 3 2) Arvutage avaldise väärtus, kui x 2 . Vastus andke täpsusega 10 2. 2 x 2 (9 x 2 x 0 ) 1 II Antud on avaldis , kus x 0 ja x
Ruutfunktsioon Sissejuhatav kordamine 1. Teosta tehted. Vastustes vabane negatiivsetest astendajatest. 3 1 2 3 1 a) 2 a b c 3 Lahendus: ; 1 4 2 s 3 t b) 4 5 3 4 s t Lahendus: . 2. Lihtsusta avaldis. a) xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) Lahendus: xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) = = x2y + 3xy2 + x3 2x2y xy2 + x2y 2xy2 y3 = = x 3 y3 = = (x y)(x2 + xy + y2) b) (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) Lahendus: (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) = 9a2 12a + 4 + 4 9a2 = = 8 12a 3. Lahenda võrrand. a) 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111 Lahendus: 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111;
1. Kuidas liidetakse harilikke murdusid? Kõigepealt teisendatakse murrud ühenimelisteks. Harilike murdude liitmisel liidetakse murdude lugejad, nimetaja jääb endiseks. (Liigmurrud teisendame segaarvuks juhul, kui vastuseks on liigmurd.) 2. Kuidas korrutada harilikke murdusid? Harilike murdude korrutamisel korrutame lugeja lugejaga ning nimetaja nimetajaga. 3. Kuidas jagada harilikke murdusid? Selleks, et jagada harilikku murdu hariliku murruga tuleb jagatav korrutada jagaja pöördarvuga. 4. Kuidas teisendada segaarv kümnendmurruks? Selleks tuleb segaarv teisendada liigmurruks (nimetaja * täisosa + lugeja) ning seejärel teisendada liigmurd kümnendmurruks (lugeja / nimetaja) 5. Kuidas teisendada kümnendmurd segaarvuks? Täisosa jääb samaks, murdosast saab lugeja ning nimetaja valitakse vastavalt sellele, mitu numbrit on peale koma. 6. Kuidas liita negatiivseid arve? Selleks, et liita kaht negatiivset arvu on vaja: 1) liita nende arvude absoluutväärtused 2) saadud arvu ette
; 1 2; g) [-2/3 ; 0 ) U ( 0 ; 3 ) h) i) ( 1;2 ) U ( 2 ; ) Lisaks õpikust ülesanded: 1121, 1145 4.Funktsioonid ja nende graafikud a) On antud funktsioon f(x) = x3 -4x f (3) Leidke : 1) f(-3) , , f( a) , f( x + a ) - f( a). 2) kas f ( x ) = x3 - 4x on paaritu funktsioon. 1 3) funktsiooni nullkohad, positiivsus ja negatiivsuspiirkonnad. 2 Vastus: 1) -15, 15 a3 -4a , x3 +3ax2 + (3a2 -4)x , 2) f(-x) = -f(x) 3) X+ = (-2; 0) U ( 2; ) X- = ( - ; -2 ) U ( 0 ; 2 ) b) Joonisel on esitatud funktsiooni graafik. Leidke funktsiooni graafikult 1) nullkohad
Ruutvõrrandi lahendamine - b ± b 2 - 4ac Ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendivalem on x = . 2a Võrrandi lahendamiseks asendame lahendivalemisse a, b ja c väärtused. Näide 1. Lahendame ruutvõrrandi 5x2 + 6x + 1 = 0. Selles võrrandis a = 5, b = 6 ja c = 1. Asendame need arvud lahendivalemisse, saame - 6 ± 6 2 - 4 5 1 - 6 ± 36 - 20 - 6 ± 16 - 6 ± 4 x= = = = . 2 5 10 10 10 -6+4 -2 - 6 - 4 - 10 Siit x1 = = = -0,2 ja x2 = = = -1. 10 10 10 10 Näide 2. Lahendame ruutvõrrandi 2x2 + x - 15 = 0.
Tiia Toobal 2008 II osa Pärnu Koidula Gümnaasium Test nr. 1. a 0,5 - 16b 0, 5 1. Leia avaldise - 4b 0, 25 , kui a = 16. a 0, 25 - 4b 0, 25 1) 6 2) -2 3) 4 4) 2 2. Leia antud arvudest suurim ( 2) ( 2) 3, 2 3 1 4, 7 1) 2) 3) 4) 3 4 5
4. Milline on diferentseeruvuse geomeetriline sisu? Diferentseeruvuse geomeetriliseks tähenduseks on pideva joone siledus. Punktis, kus funktsioon ei ole diferentseeruv, esineb tema graafikul murdepunkt. 5. Defineerida hulgas diferentseeruv funktsioon. Kui funktsioon f on diferentseeruv oma määramispiirkonna alamhulga D kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv hulgas D. Olgu f diferentseeruv hulgas D. Siis igale arvule x hulgast D vastab üks kindel reaalarv f′(x). Seega on f′ funktsioon, mis on määratud hulgas D. 6. Panna kirja põhiliste elementaarfunktsioonide ja hüperboolsete trigonomeetriliste funktsioonide tuletised. 7. Defineerida funktsiooni n-järku tuletis. Milline funktsioon on n korda diferentseeruv? Milline funktsioon on lõpmata arv kordi diferentseeruv? Funktsiooni y = f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n − 1 - järku tuletise tuletist ja tähistatakse f(n)
i) Leidke a ja b nii , etsirge 8x+2y+7=0 on puutujaks funktsiooni graafikule punktis P(1;-7,5) . Vastus: a 0,5; b 4 -3- - 4.Funktsioonid ja nende graafikud a) On antud funktsioon f(x) = x3 -4x f (3) Leidke : 1) f(-3) , , f( a) , f( x + a ) - f( a). 2) kas f ( x ) = x3 - 4x on paaritu funktsioon. 1 3) funktsiooni nullkohad, positiivsus ja negatiivsuspiirkonnad. Vastus: 1) -15, 15 a3 -4a , x3 +3ax2 + (3a2 -4)x , 2 2) f(-x) = -f(x) 3 3) X+ = (-2; 0) U ( 2; ) X- = ( - ; -2 ) U ( 0 ; 2 ) b) Joonisel on esitatud funktsiooni graafik. Leidke funktsiooni graafikult 1) nullkohad 2) positiivsus- ja negatiivsuspiirkond 3) kasvamis- ja
Ruutvõrrandid. Ruutvõrrandid esituvad kujul ax2 + bx + c = 0. Ruutvõrrandid jagunevad taandamata ja taandatud ruutvõrranditeks: Taandamata ruutvõrrand Taandatud ruutvõrrand ax2 + bx + c = 0 x2 + px + q = 0 - b ± b 2 - 4ac 2 x1;2 = p p 2a x1;2 = - ± - - q 2 2 Kui ruutvõrrandis ax2 + bx + c = 0 kas b = 0 või c = 0, siis on tegemist mittetäieliku ruutvõrrandiga. Selliseid võrrandeid viisakas inimene ei lahenda eespool toodud lahendivalemiga, sest neid saab lihtsamalt lahendada. Näide 1. Lahendame võrrandid 1) 3x2 + 6x = 0, 2) 0,5x2 23 = 0, 3) 3x2 = 0. 1) Võrrandi 3x2 + 6x = 0 lahendamisel toome x sulgude ette, siis saame x(3x + 6) = 0. Kahe arvu korrutis on
(tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f(a)0 kasutades mõisteid: x = x - a - argumendi muut kohal a y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . Näitasime, et Seega kui tähistame ja f'(a) vahe järgmiselt : Kehtib võrdus Püüame avaldada funktsiooni muutu y argumendi muudu x kaudu. Selleks avaldame kõigepealt võrdusest suhte ja korrutame saadud avaldise x-ga. Saame valemi Valemist näeme, et funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f(a)x ja teine on . Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis x 0. Võrdleme neid suurusi x suhtes. Esiteks, eelduse f(a) 0 põhjal saame : Teiseks kehtib valem : Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui x ja teine liidetav on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus x suhtes
LTMS.00.022 ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS Loengukursus Tartu Ülikooli loodus- ja täppisteaduste valdkonna üliõpilastele 2019./2020. õppeaasta Toivo Leiger Joonised: Ksenia Niglas Pisitäiendused 2016–20: Märt Põldvere, Natalia Saealle, Indrek Zolk, Urve Kangro 2 Sisukord
temast uuesti diferentsiaali arvutada. Niiviisi saame me funktsiooni f teist järku diferentsiaali. Seda tähistatakse d^2 y. Tuletame valemi teist järku diferentsiaali jaoks: ja korrutame saadud avaldise x-ga. Saame valemi Seega d^2 y(x)=f^'' (x)dx^2. Võttes teist järku diferentsiaalist diferentsiaali saame kolmandat järku diferentsiaali d^3 y. Järelikult
2) astmefunktsioon y = x , kus on reaalarv; 3) eksponentfunktsioon y = a x , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, a 1) ; 4) logaritmfunktsioon y = log a x , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, a 1) ; 5) trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x ; 6) arkusfunktsioonid y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arc cot x . Toome sisse liitfunktsiooni mõiste. Kui y on muutuja u funktsioon, s.t. y = f ( u ) ja u omakorda sõltub muutujast x, s.t. u = g ( x ) , siis saame, et y on muutuja x funktsioon: y= f g ( x) . Seda viimast funktsiooni nimetatakse liitfunktsiooniks. Moodustame näiteks ühe liitfunktsiooni. Olgu y = f ( u ) = u ja 3 u = g ( x ) = 2 x - 1 . Siis y = f g ( x) = ( 2 x - 1) .
Loetleda diferentsiaali omadused. 1. d(u + v) = du + dv, 2. d(u − v) = du − dv, 3. d(uv) = vdu + udv, 4. d(Cu) = Cdu, C − konstant, 5. d(u/ v)= (vdu−udv)/ v2 kui v 0. 24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada ja tõestada Fermat’ lemma. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²); 2. iga x ∈ (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²); 2. iga x ∈ (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Sõnastada ja tõestada Fermat’ lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles
23.05.1998 a matemaatika riigieksam Lehe haldamist toetavad Topauto ja meelespea.net Põhivariant 2. rida 1998 aasta matemaatika riigieksami ülesannete lahendused 7 y -1 - 4 x -1 1. (5p) Leidke avaldise väärtus, kui x : y = 3 : 4. 3y -1 - x -1 Lahendus: 7 ( 4( x y 7x - 4y - -1 7 y - 4x -1 y = (x x = xy =
annaabi.ee 
