Surutud varraste stabiilsus (0)

194
Tugevusanalüüsi alused ⎯    13. SURUTUD VARRASTE  STABIILSUS
13. SURUTUD VARRASTE STABIILSUS
13.1. Konstruktsiooni tasakaal
Tasakaalus konstruktsioon  = konstruktsiooni
Tasakaaluseisund = süsteem (ja
tasakaalutingimused on täidetud (konstruktsioonil on
kõik selle osad) seisab paigal (või
tasakaaluks piisav tugevus ja jäikus)
liigub ühtlaselt sirgjooneliselt)
NB! Kõik tasakaaluseisundid ei ole usaldatavad
Juhuslik häiring = väike jõud, mis tekitab varda tühise hälbe tasakaaluasendist
Lähtvalt süsteemi käitumisest juhusliku häiringu FH toimel eristatakse kolme
võimalikku tasakaaluseisundit (Joon. 13.1):
Stabiilne seisund =
Indiferentne seisund =
Labiilne seisund =
häiringu lõppedes
häiringu lõppedes jääb
häiringu toimel
taastub süsteemi algne
süsteem uude
süsteem kaotab
tasakaaluasend (tekkinud
tasakaaluasendisse
tasakaalu (tekib kohe
hälve kaob)
(tekkinud hälve jääb püsima)
progresseeruv hälve)
Stabiilne süsteem
Indiferentne süsteem
Labiilne süsteem
Kuul naaseb algasendisse
Kuul jääb uude
tasakaaluasendisse
Kuul kaotab kohe tasakaalu
F2 = FCR > F1
F3 > F2
F
F
F
F
F
F
F
1 
1 
1 
2
2
2
3
F3
FH 
FH
FH
F3
Varras naaseb alasendisse
Varras jääb uude
Varras kaotab kohe tasakaalu
tasakaaluasendisse
(avarii ja purunemine )
Joonis 13.1
Surutud varda tasakaaluseisund sõltub koormuse väärtusest:
•  väike koormus ⎯ stabiilne seisund;
•  kriitiline koormus (eelmisest suurem) ⎯ indiferentne seisund;
•  suur koormus (üle kriitilise ) ⎯ labiilne seisund.
Kriitiline jõud = suurim telgkoormus FCR, mille korral varras püsib (indiferentses)
tasakaalus (koormus, mille tühisel ületamisel varras kaotab tasakaalu)
Priit Põdra, 2004
195
Tugevusanalüüsi alused ⎯    13. SURUTUD VARRASTE STABIILSUS
Stabiilsus = koormatud konstruktsiooni
Nõtke (nähtus) = varda (lubamatult)
võime  vabaneda juhuslikest (väikestest)
suur läbipaine kriitilisest suurema
tasakaaluasendi hälvetest
telgkoormuse F3 > FCR toimel
kus: [S]
Nõtke nõutav 
N  ⎯ ülesandes nõtke nõutav
(ehk
[ ]
F
S
CR
varutegur ;
normatiivne ) varutegur:
N
[F]
[F]   ⎯ vardale lubatav teljesihiline
survekoormus, [N];
FCR   ⎯ vardale arvutatud kriitiline koormus (mille korral tekib nõtke), [N].
Surutud varda nõtkearvutus = surutud varda stabiilsuse analüüs
13.2. Sirge varda kriitiline survekoormus
PROBLEEM:
Teada on varda tugevustingimust rahuldav lubatav koormus;
Vaja on arvutada kriitiline survekoormus.
Varda stabiilsustingimus avaldub
F
kriitilise koormuse ja nõtke nõutava
Varda stabiilsustingimus:
CR
F ≤
varuteguri kaudu.
[S]N
Varda kriitilise survekoormuse väärtus sõltub ka varda toestusest
Varraste stabiilsusülesande lahendus pärineb  Euler ’ilt.
Euler’i ülesanne (1744) = saleda ümarvarda kriitilise
Sale varras =
teljesihilise survekoormuse arvutus (kui koormuse siht ei
suhteliselt pikk ja
muutu)
peenike varras
13.2.1. Liigendkinnitustega varras
Sirgele ja mõlemast otsast liigendiga  (šarniirselt) toetatud ümarvardale mõjub kriitilise
väärtusega suruv telgkoormus FCR (Joon. 13.2).
Vastavalt  Euleri  algoritmile mõjugu siis vardale (antud peatasandis) ka põiksuunaline
juhuslik häiring FH:
•  tekib väike ja püsiv läbipaine (kui läbipaine häiringu kadudes püsib, kuid ei
suurene, ongi rakendatud koormus kriitilise väärtusega FCR);
•   vardas mõjuvad sisejõud: pikijõud N ja paindemoment  M;
•  varda iga ristlõike paindemoment M sõltub sealselt
M = F v ;
läbipaindest v:
CR
Priit Põdra, 2004
196
Tugevusanalüüsi alused ⎯    13. SURUTUD VARRASTE STABIILSUS
•  varda läbipaine omakorda on seotud paindemomendiga läbi varda elastse
joone differentsiaalvõrrandi:
Eelnevast :
Varda elastse joone diferentsiaal-
M
ϕ′ = ′ =
võrrand:
v
− EI
Koormatud sale varras
Juhuslik häiring
Nõtkunud varras
x
x
x
Lõige
FCR
FCR
FCR
FCR
F
l
H
v
Lõige
M
x
N
y
y
y
Joonis 13.2
•  viies kaks eelnevat avaldist  kokku, saadakse oluline seos:
milles:
Nõtkunud varda
F v
2
v ′
F
differentsiaalvõrrand:
v
CR
′ = −
 ehk 
+ k v = 0 ,
2 =
EI
k
CR ;
EI
•  nõtke differentsiaalvõrrandi lahendiks on:   v = C sin kx + C cos kx ,
1
2
kus: C1, C2
⎯ integreerimiskonstandid;
•  integreerimiskonstandid avaldatakse
⎧x = 0
piiritingimustest:
 
kui ⎨
 
siis
   
   
v = 0 ;
⎩ x = l
⎧C sin k0 + C cos k0 = 0
⎧C = 0
⎨ 1
2
       
2
ehk
⎨
⎩ C sin kl + C cos kl = 0
C sin kl = 0
1
2
⎩ 1
•  C1 ≠ 0 (kuna see  vastaks sirgele vardale), järelikult: sin kl = 0  ehk    kl = nπ ;
Surutud liigenditega
⎛π
kus:  n  ⎯ meelevaldne
n ⎞
varda elastse joone
v = C sin
täisarv (n = 1,
1
⎜
x⎟
võrrand:
⎝ l
⎠
2, 3, …).
•  elastne joon on sinusoidi osa (mille kuju määrab n väärtus):
n
Elastse joone kuju
n
Elastse joone kuju
0
sirge
2
sinusoidi täisperiood
1
sinusoidi poolperiood
3
sinusoidi poolteistperioodi jne.
Priit Põdra, 2004
197
Tugevusanalüüsi alused ⎯    13. SURUTUD VARRASTE STABIILSUS
kus nüüd: n   ⎯ sinusoidi (elastse joone) poolperioodide arv.
•
F
  parameetri k algavaldise kaudu saab seose: l
CR = nπ ;
EI
•  kahe liigendiga tala elastne joon on sinusoidi poolperiood (n = 1):
2
π EI
Surutud kahe liigendiga varda kriitiline telgkoormus: F
CR
2
l
Iga kahe liigendi vahel on surutud varda elastne joon sinusoidi ühe poolperioodi
kujuga. Suurem liigendtugede hulk suurendab surutud varda kriitilise (ja ka
lubatavat) telgkoormuse väärtust (Joon. 13.3):
n =  1
n = 2
n = 4
F
(2)
(4)
CR
F
F
CR
CR
4
l/
Sinusoidi
2
1 poolperiood
l/
4
l
l/
4
2
l/
Sinusoidi
l/
2 poolperioodi
4
l/
Sinusoidi
4 poolperioodi
2
π EI
2
4π EI
2
16π EI
F
(2)
F
(4)
F
CR
2
l
CR
2
l
CR
2
l
FCR ⎯ varda kriitiline koormus, [N];
I  ⎯ varda ristlõike inertsimoment antud
l      ⎯ varda pikkus, [m];
peatasandis, [m4].
E     ⎯ varda materjali  elastsusmoodul , [Pa];
Joonis 13.3
13.2.2. Jäiga kinnitusega varras
Sirgele ja otsast konsoolselt kinnitatud ümarvardale mõjub kriitilise väärtusega suruv
telgkoormus FCR (Joon. 13.4).
Vastavalt Euler’i algoritmile mõjugu siis vardale (antud peatasandis) ka
põiksuunaline juhuslik häiring FH:
•  tekib väike ja püsiv läbipaine (kui läbipaine häiringu kadudes püsib, kuid ei
suurene, ongi rakendatud koormuse väärtus kriitiline FCR);
•  vardas mõjuvad sisejõud: pikijõud N ja paindemoment M;
•  varda iga ristlõike paindemomendi  M väärtus on
M = −F
CR ( f − v)
sõltuvuses selle läbipaindest v:
•  varda läbipaine omakorda sõltub paindemomendist läbi varda elastse
joone differentsiaalvõrrandi, millest saadakse avaldis :
Priit Põdra, 2004
198
Tugevusanalüüsi alused ⎯    13. SURUTUD VARRASTE STABIILSUS
Nõtkunud varda
F
v ′ = CR ( f − v)  ehk
v ′ + k 2v = k 2 f ,
differentsiaalvõrrand:
EI
Koormatud sale varras
Juhuslik häiring
Nõtkunud varras
x
x
x
Lõige
FCR
FCR
f FCR
FCR
FH
v
Lõige
l
N
M
x
y
y
y
Joonis 13.4
•  selle nõtkunud varda differentsiaalvõrrandi lahenditeks on:
ƒ  üldlahend:   v = C sin kx + C cos kx  ja erilahend :   v
1
1
2
2 = f,
ƒ  kokku komplekslahend:
v = C sin kx + C cos kx + f ,
1
2
kus: C1, C2
⎯ integreerimiskonstandid;
•  integreerimiskonstandid avaldatakse
⎧v = 0
piiritingimustest:
  
kui x =
⎨
  
siis
  
0
⎩ϕ = 0
⎧C sin k0 + C cos k0 + f = 0
⎪ 1
2
⎪⎧C = − f
2
⎨dv
       ehk
⎨
⎪
= C k cosk0 − C k sin k0 = 0
⎪C =
⎩
1
2
0
dx
⎩ 1
•  konsoolse surutud varda läbipainde avaldis: v = f (1− coskx) ;
•  suurima läbipainde f arvutamiseks tuuakse kolmas piiritingimus:
kui x = l, siis v = f :    f = f (1− cos kl)      ehk 
   cos kl = 0 ,
kuna suurim läbipaine f ≠ 0 (see vastaks sirgele vardale);
•  suurima läbipainde f väärtus on määramatu
n
kl =
( suvaline väike väärtus) ning tekib seos:
2
Surutud konsoolse
⎛
kus:  n  ⎯ meelevaldne
n x
π ⎞
varda elastse joone
v = f ⎜1− cos
⎟ ,
paaritu arv
võrrand:
⎝
l
2 ⎠
(n = 1, 3, 5,…).
•  elastne joon on koosinusoidi osa (mille kuju määrab väärtus n):
F
nπ
•  parameetri k algavaldise kaudu saab seose:
CR
l
EI
2
•  konsoolse varda elastne joon on koosinusoidi veerandperiood (n = 1):
Priit Põdra, 2004
199
Tugevusanalüüsi alused ⎯    13. SURUTUD VARRASTE STABIILSUS
2
π EI
Surutud konsoolse varda kriitiline koormus:
F
CR
2
4l
13.2.3. Kahe jäiga kinnitusega varras
Sirgele ja mõlemast otsast jäigalt kinnitatud ümarvardale mõjub kriitilise väärtusega
suruv telgkoormus FCR (Joon. 13.5).
Vastavalt Euler’i algoritmile mõjugu siis vardale (antud peatasandis) ka
põiksuunaline juhuslik häiring FH:
•  tekib väike ja püsiv läbipaine (kui läbipaine häiringu kadudes püsib, kuid ei
suurene, ongi rakendatud koormus väärtuselt kriitiline FCR);
•  vardas mõjuvad sisejõud: pikijõud N (ei arvestata) ja paindemoment M;
•  varda ristlõigetes mõjuva paindemomendi M
M = F v
CR
M
−
väärtus sõltub läbipaindest v:
•  varda läbipaine omakorda sõltub paindemomendist (läbi varda elastse joone
differentsiaalvõrrandi):
Nõtkunud varda
M
F
′ =
2
M
v ′ + k v =
differentsiaalvõrrand:
v
CR
−
v   ehk
EI
EI
EI
Koormatud sirge varras
Juhuslik häiring
Nõtkunud varras
x
x
x
Lõige
FCR
FCR
FCR
FCR
M
v
Lõige
FH
l
N
M
x
y
y
y
Joonis 13.5
•  nõtke differentsiaalvõrrandi lahenditeks on:
M
ƒ  üldlahend:   v = C sin kx + C cos kx  ja erilahend:    v =
1
1
2
2
k 2 EI
M
ƒ  kokku komplekslahend:
v = C sin kx + C cos kx +
1
2
k 2 EI
kus: C1, C2
⎯ integreerimiskonstandid;
Priit Põdra, 2004
200
Tugevusanalüüsi alused ⎯    13. SURUTUD VARRASTE STABIILSUS
•  integreerimiskonstandid avaldatakse
⎧v = 0
piiritingimustest:
  
kui x =
⎨
  
siis
  
0
⎩ϕ = 0
⎧
M
⎪C sin k0 + C cos k0 +
= 0
⎧
M
1
2
2
⎪C = −
⎨
k EI
       ehk ⎨ 2
2
k EI ;
⎪dv = C k cos k0 − C k sin k0 = 0
⎪⎩C = 0
⎩
1
2
1
dx
•  sellise surutud varda läbipainde avaldis:
v = M (1− cos kx) ;
k 2 EI
•  parameetri k arvutamiseks tuuakse kolmas piiritingimus:
kui x = l, siis v = 0 :     0 = M (1− cos kl)      ehk       1− cos kl = 0 ,
k 2 EI
kuna toereaktsioon  M ≠ 0 (see vastaks sirgele vardale);
•  toereaktsiooni M väärtus on määramatu ning tekib seos:
kl = nπ ;
Jäigalt kinnitatud surutud varda
M
⎛
n x
π ⎞
v =
⎜1 − cos
⎟ ;
elastse joone võrrand:
n2π 2 EI ⎝
l ⎠
kus: n
⎯ meelevaldne täisarv (n = 1, 2, 3, …).
•  elastne joon on koosinusoidi osa (mille kuju määrab n väärtus):
F
•  parameetri k algavaldise kaudu saab seose: l
CR = nπ ;
EI
•  jäigalt kinnitatud varda elastne joon on koosinusoidi poolperiood (n = 2).
2
4π EI
Jäigalt kinnitatud surutud varda kriitiline koormus:
F
CR
2
l
13.2.4. Jäiga kinnituse ja liigendiga varras
Sirgele, ühest otsast jäigalt ning teisest otsast liigendiga kinnitatud ümarvardale mõjub
kriitilise väärtusega suruv  telgkoormus FCR (Joon. 13.6).
Vastavalt Euler’i algoritmile mõjugu siis vardale (antud peatasandis) ka
põiksuunaline juhuslik häiring FH:
•  tekib väike ja püsiv läbipaine (kui läbipaine häiringu kadudes püsib, kuid ei
suurene, ongi rakendatud koormus oma väärtuselt kriitiline FCR);
•  liigendis tekib põiksuunaline toereaktsioon Fy
•  vardas mõjuvad sisejõud: pikijõud N ja põikjõud Q (neid ei arvestata) ning
paindemoment M;
•  iga ristlõike paindemoment M on sõltuvuses M = F v−F − ;
CR
y (l
x)
selle koha läbipaindest v:
•  varda läbipaine omakorda sõltub paindemomendist läbi varda elastse
joone differentsiaalvõrrandi:
Priit Põdra, 2004
201
Tugevusanalüüsi alused ⎯    13. SURUTUD VARRASTE STABIILSUS
Nõtkunud varda
F
F
CR
2
y
differentsiaalvõrrand:
  v ′ = F
− −
 ehk  v ′ + k v =
(l − x) ;
y (l
x)
v
EI
EI
Koormatud sale varras
Juhuslik häiring
Nõtkunud varras
x
x
x
Lõige
FCR
FCR
FCR
FCR
Fy
FH
l
v
Lõige
Q
x
M
N
y
y
y
Joonis 13.6
•  nõtke differentsiaalvõrrandi lahenditeks on:
ƒ  üldlahend:  v = C sin kx + C cos kx
1
1
2
F
F
ja erilahend:  v
y
2
(l − x)
y
(l − x)
k 2EI
FCR
F
ƒ  kokku komplekslahend:
v = C sin kx + C cos kx
y
1
2
(l − x)
FCR
kus: C1, C2
⎯ integreerimiskonstandid;
•  integreerimiskonstandid avaldatakse
⎧v = 0
piiritingimustest:
  
kui x =
⎨
  
siis
  
0
⎩ϕ = 0
⎧
F
⎧
F
C sin k0 + C cos k0 +
y
l
C = −
y l
1
2
( −0)= 0
⎪⎪
F
⎪⎪ 2
F
⎨
CR
       ehk ⎨
CR
⎪dv
F
F
= C k cos k0 − C k sin k0 − y = 0
⎪C = y
⎪
1
⎩
1
2
dx
F
⎪
kF
CR
⎩
CR
•  sellise surutud varda läbipainde
Fy ⎛ 1
⎞
avaldis on:
v =
⎜ sin kx − l coskx + l − x⎟ ;
FCR ⎝ k
⎠
•  parameetri k arvutamiseks tuuakse kolmas piiritingimus:
1
kui x = l, siis v = 0 :    
sin kl − l cos kl + l − l = 0   ehk    kl = tan kl ,
k
kuna Fy ≠ 0 (see vastaks sirgele vardale),
•  väärtuste proovimise teel on saadud: kl = 4.4934 :
Priit Põdra, 2004
202
Tugevusanalüüsi alused ⎯    13. SURUTUD VARRASTE STABIILSUS
F
•  parameetri k algavaldise kaudu saab seose:
CR
l
= 4.4934 ;
EI
2
Jäiga kinnituse ja liigendiga surutud varda
19
20
EI
π EI
F =
kriitiline koormus:
CR
2
l
( 7.
0 l)2
13.2.5. Varda nõtkepikkus
Eelpool toodud varraste nõtke analüüsist lähtuvalt (Joon. 13.7) saab varda kriitilise
survekoormuse valemi üldkuju avaldada nn. varda nõtkepikkuse kauda.
kus:  lE  ⎯ varda nõtkepikkus
Surutud varda kriitiline
2
π EI
F =
(ehk efektiivne pikkus),
koormus (Euleri valem):
CR
2
lE
[m];
Nõtkepikkus = nõtkunud varda elastse joone (sinusoidi) ühe
l = µl ,
poolperioodi pikkus
E
kus:
µ   ⎯ varda pikkuse redutseerimistegur;
l    ⎯ varda tegelik pikkus, [m].
Kaks šarniiri
Kolm šarniiri
Jäik  kinnitus
Kaks jäika
Jäik ja šarniir
F
F
CR
FCR
CR
FCR
FCR
5l
7l
 = 0.
l
l E
l
 = 0.
 = 
 = 
5l
l E
l E
5l E
0.
 = 0.
l E
µ = 1
µ = 0.5
µ = 2
µ = 0.5
µ = 0.7
2
π EI
2
π EI
2
π EI
2
π EI
2
π EI
F
F
F
F
F
CR
2
l
CR
( .05l)2
CR
(2l)2
CR
( .05l)2
CR
( .07l)2
Joonis 13.7
13.2.6. Euleri valemi kehtivuspiir
Sirgele ümarvardale mõjub kriitilise väärtusega suruv telgkoormus FCR:
N
F
•  varda ristlõigete punktides mõjub survepinge : σ
CR
A
A
Priit Põdra, 2004
203
Tugevusanalüüsi alused ⎯    13. SURUTUD VARRASTE STABIILSUS
2
•
EI
  Euleri valemi järgi saab varda kriitilise koormuse väärtuse:   F =
CR
2
lE
kus:  i   ⎯ varda ristlõike
Varda saledus :
A
l
λ = l
E
inertsiraadius  (antud
(antud peatasandis)
E
I
i
peatasandis), [m];
2
Varda kriitiline survepinge saleduse kaudu (antud peatasandis): σ
E
CR
2
•  Euler’i lahendid kehtivad vaid selliste elastsete
deformatsioonide korral, mis on koormusega lineaarselt seotud
≤ σ ;
CR
P
(ehk juhtudel kus materjali elastsusmooduli E saab lugeda konstandiks):
kus: σP
⎯ materjali proportsionaalsuspiir, [Pa];
•  Euler’i valem kehtib, kui varda tegelik saledus ei ole väiksem Euleri
piirsaledusest:
Euleri piirsaledus :
π E
E
Euleri valemi
λ ≥ λ = π
(kui σ
E
E
CR = σP)
kehtivuspiir:
P
P
Euler’i piirsaledus on materjali parameeter :
Materjal
Piirsaledus λE
Harilikud konstruktsiooniterased
100
Paremad terased
90
Legeeritud tearsed
50
Malm
80
Puit
100
13.3. Saleda varda arvutused nõtkele
13.3.1. Nõtketegur
PROBLEEM:
Euler’i valemitega saab kontrollida antud mõõtmetega posti stabiilsust;
Dimensioneerimisülesande puhul ei pruugi Euler’i valemite kehtivus olla tagatud
(Varda tegelik saledus sõltub ristlõikest, mis omakorda ongi otsitav).
Sirgele ümarvardale mõjub suruv telgkoormus F:
F
•  koormus F peab rahuldama stabiilsustingimust:
CR
F ≤ [ ;
S]N
Priit Põdra, 2004
204
Tugevusanalüüsi alused ⎯    13. SURUTUD VARRASTE STABIILSUS
kus:  N    ⎯ varda sisejõud (N =
Stabiilsustingimus
N
σ CR
σ =
≤
= σ ,
F), [N];
pingete kaudu:
A
[S] [ ]N
N
A    ⎯ varda ristlõike
pindala, [m2];
σCR ⎯ varda kriitiline nõtkepinge, [Pa];
[S]N ⎯ ülesande nõutav (ehk normatiivne) nõtke varutegur;
[σ]N ⎯ lubatav pinge nõtkel, [Pa];
•  nõtke varutegur soovitatakse võtta vähemalt:
ƒ  tüsedatele varastele (λ = 0):
[S]N = 1.7;
ƒ  saledatele varrastele (λ > λE):
[S]N = 3.5;
•  nõtke varutegur [S]N soovitatakse alati ette näha suurem, kui nõutav
tugevusvarutegur [S] ([S]N > [S]), kuna nõtke puhul on ohtlikud ka mitmed tugevuse
seisukohalt vähemtähtsad mõjurid:
- detaili materjali defektid ;
- kinnituskonstruktsioonide valmistamistäpsus ja tolerantsid ;
- koormuse ekstsentrilisus ja kiivsus detaili telje suhtes, jne.;
•  vardale on tugevusanalüüsiks määratletud lubatav survepinge:
[σ ]
lim
= [ ,
S]
kus:
[σ] ⎯ lubatav pinge, [Pa];
σlim ⎯ materjali piirpinge , [Pa];
  [S] ⎯ ülesande nõutav (ehk normatiivne) tugevuse varutegur.
•  kui tugevuse ja nõtke varutegurid eeldada
CR
lim
võrdseteks ([S]N = [S]), siis:
[σ]N [σ]
Vardale lubatav
kus:  ϕ   ⎯ nõtketegur ehk lubatava
[σ ] =ϕ ,
N
[σ ]
pinge nõtkel:
survepinge vähenemise
tegur;
•  sitketele materjalidele
•  rabedatele meterjalidele
CR
ϕ =
CR
ϕ =
(teoreetiliselt):
(teoreetiliselt):
R
Y
m
kus:  σY
⎯  sitke materjali voolavuspiir  ReL või ReH, [Pa];
Rm
⎯ rabeda materjali tõmbetugevus, [Pa];
•  nõtketeguri ϕ väärtused:
ƒ  muutuvad piirides 0  λ
2
E , kehtib Euler’i valem
E
( pinged  on materjali proportsionaalsuspiirist väiksemad):
CR
2
•  keskmise saleduse korral, s.t. kui  60 ≤ λ ≤ λ ,
E
2
= a − λ
b + λ
c
võib kasutada Jassinski-Tetmajer’i valemit:
CR
(koeffitsiendid a, b ja c sõltuvad materjalist ning on leitavad kirjandusest ⎯ harilikule
terasele: a = 310 MPa; b = 1.14 MPa; okaspuidule: a = 29.3 MPa; b = 0.194 MPa);
•  väikese saleduse korral, s.t. kui  λ  [σ]N = 1.1MPa;
•  nüüd valitakse ristlõike välisläbimõõduks oluliselt suurem väärtus: D = 40 mm
ning kontrollitakse põiktala stabiilsust:
ƒ  põiktala ristlõike inertsiraadius on:  i = 0.32D = 0.32 ⋅ 40 = 12.8mm
l
µ
1⋅ 5
2
ƒ  põiktala saledus tuleb:  λ =
3
195 ≈ 195 ;
i
8
12 ⋅10−3
ƒ  kuna Euler’i piirsaledus terasele on λE = 100, siis selle ristlõike puhul on
Euler’i tingimus täidetud, s.t. λ = 195 > λE = 100;
ƒ  selle ristlõike lubatav survepinge arvutatakse:
[σ ]
2
2
π E
π ⋅200⋅109
CR
6
⋅
≈
N
[S]
2
λ S
⋅
N
[ ]
9
12
10 Pa
2MPa
1
1952 4
n
ƒ  selle ristlõike tegelik survepinge arvutatakse:
N
1630 ⋅ 4
6
σ =
⋅
≈
A
π ⋅ 04
0
2 ⋅ (1− 8
0 2 )
60
3
10 Pa
6
3 MPa
ƒ  kontrollides stabiilsustingimuse kehtivust selgub , et see kehtib, s.t.
valitud põiktala on stabiilne: σ = 3.6MPa võiks ilmselt ka väiksema välisläbimõõduga toru;
•  nüüd valitakse ristlõike välisläbimõõduks väiksem väärtus: D = 30 mm ning
kontrollitakse põiktala stabiilsust:
ƒ  põiktala ristlõike inertsiraadius on:  i = 0.32D = 0.32 ⋅ 30 = 9.6mm
l
µ
1⋅ 5
2
ƒ  põiktala saledus tuleb:  λ =
4
260 ≈ 260 ;
i
6
9 ⋅10−3
ƒ  kuna Euleri piirsaledus terasele on λE = 100, siis selle ristlõike puhul on
Euleri tingimus täidetud, s.t. λ = 260 > λE = 100;
ƒ  selle ristlõike lubatav survepinge arvutatakse:
[σ ]
2
2
π E
π ⋅ 200⋅109
CR
6
⋅
≈
N
[S]
2
λ S
⋅
N
[ ]
30
7
10 Pa
MP
3
7
a
2602 4
n
ƒ  selle ristlõike tegelik survepinge arvutatakse:
N
1630 ⋅ 4
6
σ =
⋅
≈
A
π ⋅ 03
0
2 ⋅ (1− 8
0 2 )
40
6
10 Pa
4
6 MPa
ƒ  kontrollides stabiilsustingimuse kehtivust selgub, et see kehtib, s.t.
valitud põiktala on stabiilne: σ = 6.4 MPa kontrollima peaks ka väiksema ristlõikega toru sobivust;
•  nüüd valitakse ristlõike välisläbimõõduks: D = 28mm (kuna valitavate väärtuste
samm oli ette antud 2 mm) ning kontrollitakse põiktala stabiilsust:
ƒ  põiktala ristlõike inertsiraadius on:
i = 0.32D = 0.32 ⋅ 28 = 8.96 ≈ 9.0mm ;
Priit Põdra, 2004
210
Tugevusanalüüsi alused ⎯    13. SURUTUD VARRASTE STABIILSUS
l
µ
1⋅ 5
2
ƒ  põiktala saledus tuleb:  λ =
7
277 ≈ 278;
i
9 ⋅10−3
ƒ  kuna Euler’i piirsaledus terasele on λE = 100, siis selle ristlõike puhul on
Euleri tingimus täidetud, s.t. λ = 278 > λE = 100;
ƒ  selle ristlõike lubatav survepinge arvutatakse:
[σ ]
2
2
π E
π ⋅200⋅109
CR
6
⋅
≈
N
[S]
2
λ S
⋅
N
[ ]
38
6
10 Pa
.3MPa
6
2782 4
n
ƒ  selle ristlõike tegelik survepinge arvutatakse:
N
1630 ⋅ 4
6
σ =
⋅
≈
A
π ⋅ 028
0
2 ⋅ (1− 8
0 2 )
35
7
10 Pa
.4MPa
7
ƒ  kontrollides stabiilsustingimuse kehtivust selgub, et see ei kehti, s.t.
valitud põiktala ei ole stabiilne: σ = 7.4MPa > [σ]N = 6.3MPa;
•  järelikult on sobivaks  toru välisläbimõõduks D = 30mm ning toru siseläbimõõt
tuleb d = 0.8⋅30 = 24mm;
Stabiilsuskontroll
•  nüüd kontrollitakse lõpliku ristlõike: D = 30mm ja d = 24mm stabiilsust:
ƒ   põiktala valitud ristlõike tegelik inertsiraadius on:
I
4π ( 4
4
D − d )
1
2
2
1
2
2
i =
D + d =
≈
A
64π ( 2
2
D − d )
30
24
9.60 9.6mm
4
4
l
µ
1⋅ 5
2
ƒ  põiktala tegelik saledus tuleb:  λ =
4
260 ≈ 261 ;
i
6
9 ⋅10−3
ƒ  kuna Euleri piirsaledus terasele on λE = 100, siis ristlõike puhul on
Euler’i tingimus täidetud, s.t. λ = 261 > λE = 100;
ƒ  valitud põiktalale kriitiline survepinge tuleb Euleri valemiga:
2
2
π E π ⋅ 200⋅109
9
28 ⋅106 Pa ≈
MPa
28
CR
2
2612
ƒ  valitud põiktala tegelik survepinge arvutatakse:
N
4N
1630 ⋅ 4
σ =
A
π (
⋅
≈
2
2
D − d ) π ⋅ (
6
03
0
2 − 024
0
2 )
40
6
10 Pa
.4MPa
6
28
ƒ  tegelik nõtke varutegur tuleb: S = CR =
= 37
4
≈ 3
4 > S
= ;
N
[ ] 4
4
6
N
Stabiilsustingimus on täidetud
Vastus: Tõsteseadme põikvardaks sobib terastoru , mille välis- ja siseläbimõõdud
vastavalt on: D = 30mm ja d = 24mm. Tegelik nõtke varutegur SN = 4.3 on
nõutavast varutegurist suurem.
Priit Põdra, 2004

Document Outline

• 13. SURUTUD VARRASTE STABIILSUS
  • 13.1. Konstruktsiooni tasakaal
  • 13.2. Sirge varda kriitiline survekoormus
    • 13.2.1. Liigendkinnitusega varras
    • 13.2.2. Jäiga kinnitusega varras
    • 13.2.3. Kahe jäiga kinnitusega varras
    • 13.2.4. Jäiga kinnituse ja liigendiga varras
    • 13.2.5. Varda nõtkepikkus
    • 13.2.6. Euleri valemi kehtivuspiir
  • 13.3. Saleda varda arvutused nõtkele
    • 13.3.1. Nõtketegur
    • 13.3.2. Stabiilsustingimus
    • 13.3.3. Stabiilsusülesanded. Näide
      • 13.3.3.1. Stabiilsuskontroll
      • 13.3.3.2. Dimensioneerimine
      • 13.3.3.3. Lubatava survekoormuse arvutamine
      • 13.3.3.4. Näide. Tõsteseadme põikvarda dimensioneerimine