KOKKUVÕTE: TEHTED VEKTORITEGA On antud vektorid a = (x1; y1) ja b = (x2; y2 ) , siis Vektorite summa a + b = (x1 + x2; y1 + y2 ) Vektorite vahe a - b = (x1 - x2; y1 - y2 ) Vektori korrutis arvuga k a = (k x1; k y1) x1 y Vektorite kollineaarsus = 1 x2 y2 Vektori pikkus a = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 Vektorite skalaarkorrutis a b = x1 x2 + y1 y2 a b Nurk vektorite vahel = arccos a b Märkus. Sümbol arccos a tähendab seda, et leiame vähima mittenegatiivse nurga x, mille koosinus on a. Ülesannete lahendamisel leiame nurga tavaliselt arvuti abil, ...
12. klassis. Esimene kursus kannab pealkirja ,,Vektor tasandil. Joone võrrand" nii laias kui kitsas matemaatikas, kuid erinevused sisus on olulised. Kitsas matemaatikas peab kolmanda kursuse lõpetaja oskama selgitada vektori mõistet ja selle koordinaate; liitma ja lahutama vektoreid ning korrutama vektoreid arvuga nii geomeetriliselt kui ka koordinaatkujul; arvutama vektori pikkust; leidma vektorite skalaarkorrutist ning tundma vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tunnuseid. Õpilane koostab sirge võrrandi, kui sirge on määratud punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga või kahe punktiga ning määrab sirgete vastastikuse asendi ja leiab vajadusel nende lõikepunkti. Õpilane tunneb ja joonestab sirgeid, paraboole ja ringjooni nende võrrandite järgi ning koostab ringjoone võrrandi keskpunkti ja raadiuse järgi. Samuti peab õpilane oskama leida joonte lõikepunkte, kui üks
defineerimine affiinses ruumis võimaldab seal hakata teostama mõõtmisi: dAB=|x|=(x·x) ja cos=(x·y)/( x 2·y 2) ja xy=x·y. Kolmemõõtmelist afiinset ruumi A3 milles on defineeritud vektorite skalaar korrutis mis rahuldab tingimusi 1'-5' nimetatakse kolmemõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks E3 1º-4º, 1*-5*, , 1'-5'. Kõik reepri vektorid on paarikaupa risti ja kõigi reepri vektorite pikkus on 1 ühik, öeldakse ka et sel korral on valitud ristbaas e ristreeper, nim ristkoordinaatideks. Skalaarkorrutist ja areaalkorrutist seob järgmine võrdus ab = a2·b 2-(a·b) 2 Lagrance seos. Kahele vektorile x ja y seame vastavusse uue vektori millist nimetatakse lähtevektorite vektorkorrutiseks ja märgime üles sümboliga x×y. Om:1y×x=-x×y; 2y=x x×x=0; 3(x×y)×z=x×z+y×z; 4 (·x)×y=x×(·y)= ·(x×y). Ruumi kolmele vektorile seatakse vastavusse üks arv millist nim nende vektorite segakorrutiseks ja tähist sümbolitega (x×y)·z
1. Vektorite ja vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit × , mis on määratud võrdusega: a a aa aa × = 2 3 ;- 1 3 ; 1 2 . Vektorkorrutis × on risti mõlema teguriga ja . bb bb bb 2 3 1 3 1 2 Vektorkorrutise × pikkus × on arvuliselt võrdne vektoritele ja ehitatud rööpküliku pindalaga. Kolmemõõtmelise eukleidilise ruumi vektorite , ja segakorrutiseks nimetatakse vektorite ja vektorkorrutise × skalaarkorrutist vektoriga , s.t. arvu ( × ) . Vektorite ja vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit × , mis on risti vektoritega ja , mille pikkus ühtib vektoritele ja ehitatud rööpküliku pindalaga ning mille suund on antud kruvireegliga. 7. Sirge parameetrilised ja kanoonilised võrrandid. Kolmemõõtmelise ruumi tasandi võrrand, tasandi normaalvektor. x1 = c1 + s1t Parameetriline: x = c + s t Kanooniline: x1 - c1 = x 2 - c 2 = ..
cA = c A = (cij ) R , kus cij = caij kõigi indeksite i ja j võimalike väärtuste korral. Maatriksi korrutamiseks arvuga c tuleb tema kõik elemendid läbi korrutada selle arvuga. 8. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks Maatriksi mille reavektoriteks on 1 , 2 ,..., m , korrutiseks maatriksiga mille veeruvektorid on 1 , 2 ,..., p , nimetatakse maatriksit kus i j tähistab vektorite i ja j skalaarkorrutist. Maatriksite korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel on järgmised: 1. maatriksite korrutamine ei ole kommutatiivne, s.t. leiduvad sellised maatriksid A ja B, et AB BA ; 2. maatriksite korrutamine on assotsiatiivne, s.t. A (BC)= (AB) C alati, kui vaadeldavad maatriksid on korrutatavad; 3. liitmine ja korrutamine on seotud distributiivsusega, s.t. A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC BC alati, kui antud tehted on teostatavad; 4
või . 8) Maatriksite korrutamine ja selle omadused. mn np Maatriksite A R ja B R korrutise leidmiseks esitatakse vastavalt 1 reavektorite ja veeruvektorite kujul ( A= 2 ja 12n )korrutise leidmiseks kasutatakse m skalaarkorrutist. mn T Transponeerimine m=i A=aij R (A read on A veergudes) transp-d maatriks on A T =bij Rmn . bij= aij iga i ja j korral AB T T ¿
. Omadused: · Vektorite skalaarkorrutis võrdub 0-ga, kui üks teguritest võrdub nulliga või vektorid on omavahel risti. . · Vektorite skalaarkorrutis on kommutatiivne. . · Vektorite skalaarkorrutis on assotsiatiivne skalaariga korrutamise suhtes. . · Skalaariga korrutamise on distributiivne. . · Vektori sklaarruuduks nim vektori skalaarkorrutist iseendaga. . . Kahe vektori vektorkorrutiseks nim vektorit, mis rahuldab järgmisi tingimusi a) b) c) Moodul võrdub vektoritele ehitatud rööpküliku pindalaga. Omadused: · Vektorkorrutis on antikommutatiivne · Vektorkorrutis on assotsiatiivne arvulise teguri suhtes · Vektorkorrutis on distriutiivne · 2. Maatriksid
Maatriksi veeruvektorid on aritm.vektorid ) , Maatriksi lineaar tehete orrel kehtivad vektorruumide lin.tehete omadused,kui ja A=aij B=bij abc A+B=B+A, (A+B)+C=A+(B+C), A+==A, vastand maatriks B , nii et A+B=B+A=, (a+b)A=aA+bA, a(A+B)=aA+aB, (ab)B=A*(bB), 1A=A 7. Maatriksite korrutamine ja transponeerimine. Maatriksite ja korrutise leidmiseks esitatakse vastavalt reavektorite ja veeruvektorite kujul ( A= ja )korrutise leidmiseks kasutatakse skalaarkorrutist. Transponeerimine m=i A=aij (A read on veergudes) transp-d maatriks on =bij . bij= aij iga i ja j korral Reeglid , , 8. Elementaarteisendused maatriksi ridadega ja veergudega.ühik maatriksi leidmine maatriksi elementaarteisenduste abil. Kasutatakse üleminekul maatriksi A B le,teisendades ridu ja veergu kindlate reeglite abil. Maatriksi ridade elementaarteisendamieks nim. Üleminekut maatriksilt A maatriksile
AB = A B = m× p , M M O M m 1 m 2 K m p kus i j tähistab vektorite i ja j skalaarkorrutist. Maatriksite korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel on järgmised: 1) maatriksite korrutamine ei ole kommutatiivne, s.t. leiduvad sellised maatriksid A ja B, et AB BA ; 2) maatriksite korrutamine on assotsiatiivne, s.t. A ( BC ) = ( AB ) C (1) alati, kui vaadeldavad maatriksid on korrutatavad; 3) liitmine ja korrutamine on seotud distributiivsusega, s.t.
1° 0 iga V korral; 2° = 0 parajasti siis, kui = (nullvektor) 3° = iga , V korral (kommutatiivsus); 4° c ( ) = ( c ) = ( c ) iga c ja , V korral (homogeensus); 5° ( + ) = ( ) + ( ) , ( + ) = ( ) + ( ) iga , , V korral (distributiivsus). Näide 1. Aritmeetilises vektorruumis V = Rn vaadeldakse tavaliselt II peatükis § 2 määratud skalaarkorrutist: = ( a1; a2 ; ... ; an ) ( b1; b2 ; ... ; bn ) = n . (1) = aibi = a1b1 + a2b2 + ... + anbn . i =1 Selliselt defineeritud korrutise jaoks on täidetud definitsioonis 1 esitatud nõuded 1° - 5° . Näide 2
2 2 2 Y1 Z1 X Z1 X Y1 25. Vektorkorrutise moodul axb = + 1 + 1 Y2 Z2 X2 Z2 X2 Y2 26. Kahe vektori a ja b vektorkorrutise skalaarkorrutist kolmanda vektoriga c nimetatakse vektorite a,b,c segakorrutiseks. V = ( a x b ) c 27. Vektorite komplanaarsuse tingimus ( a x b ) c = 0 X1 Y1 Z1 28. Segakorrutis koordinaatides ( a x b ) c = X 2 Y2 Z2 X3 Y3 Z3 Sirge võrrand ruumis. 29. Sirge parameetriline võrrand. x = xA + tl ; y = yA + tm ; z = zA +tn . 30
i j k x1 y1 z1 axb = x1 y1 z1 a b c =x 2 y2 z2 x2 y2 z2 x3 y3 z3 19. Kolme vektori segakorrutis (mõiste, avaldis koordinaatides, rakendused). Kolme vektrori a, b ja c segakorrutiseks nim kahe esimese vektori a ja b vektorkorrutise a*b skalaarkorrutist vektoriga c, st arvu (a*b)c. Kolme vektori segakorrutist kasutatakse nt ruumalade arvutamisel. Nimelt osutub, et kolmele, ühest punktist vljuvale vektorile ehitatud rööptahuka ruumala V on võrdne nende vektorite segakorrutise absoluutväärtusega. 20. Vektorite kollineaarsuse, ristseisu ja komplanaarsuse tunnused. Kollineaarsuse tunnused: · Vektorite vastavate koordinaatide korrutised on võrdsed. · Vektorkorrutis on 0 ja kumbki vektor ei ole 0-vektor.
2 2 2 Y1 Z1 X Z1 X Y1 25. Vektorkorrutise moodul axb = + 1 + 1 Y2 Z2 X2 Z2 X2 Y2 26. Kahe vektori a ja b vektorkorrutise skalaarkorrutist kolmanda vektoriga c nimetatakse vektorite a,b,c segakorrutiseks. V = ( a x b ) c 27. Vektorite komplanaarsuse tingimus ( a x b ) c = 0 X1 Y1 Z1 28. Segakorrutis koordinaatides ( a x b ) c = X 2 Y2 Z2 X3 Y3 Z3 Sirge võrrand ruumis. 29. Sirge parameetriline võrrand. x = xA + tl ; y = yA + tm ; z = zA +tn . 30
' ' grad z = ( z x ; z y ) . Kehtib analoogselt ka kolme ja enama sõltumatu muutuja korral. Konkreetses punktis saame gradiendiks arvvektori, mis näitab funktsiooni kõige kiirema kasvu suunda(mis suunas liikudes jõuame nn. paremale nivoojoonele), gradient on risti nivoojoonega. Funktsiooni tuletis ühikvektori suunas- Funktsiooni z = f(x, y) tuletiseks ühikvektori r0=(a;b)suunas nimetatakse selle ühikvektori ja gradiendi skalaarkorrutist: r0 grad z = a z x + b z y . ' ' Kehtib ka kolme ja enama muutuja korral. r0*grad z*cos = r0*grad z. Kui avaldise väärtus on nullist väiksem, siis cos <0 ja <90° ning see tähendab, et funktsiooni väärtus kahaneb r 0 suunas, skalaarkorrutis väiksem nullist. Kui avaldise väärtus on suurem nullist, siis cos >0 ja >90° ning see
defineerime skalaarkorrutise: Definitsioon. Skalaarkorrutiseks vektorruumis nimetatakse reeglit, mis igale kahele vektorile seab vastavusse parajasti ühe reaalarvu, mida tähistatakse ja nimetatakse vektorite ja skalaarkorrutiseks, kui on täidetud järgmised omadused 2. parajasti siis, kui ; Näited: 1) aritmeetilises vektorruumis kahe vektori = (x1; x2; ...; xn) ja = (y1; y2; ...; yn) skalaarkorrutist saab defineerida, näiteks, järgmiselt: 2) kahemõõtmelises aritmeetilises vektorruumis kahe vektori = (x1; x2) ja = (y1; y2) skalaarkorrutist saab defineerida, näiteks, järgmiselt: aga näiteks, avaldised skalaarkorrutist ei määra. 3) 2 2-maatriksite hulgas võib skalaarkorrutise defineerida järgmise valemiga: Olgu Siis määrab skalaarkorrutise. Definitsioon
z(x+x;y+y) = z(x;y) +z z(x;y) +dz = z(x;y) + z x ( x; y )x +z y ( x; y )y Gradiendi mõite ja tema tähendus Diferentseeruva funktsiooni gradiendiks nimetakse vektorit gradz=(Z´x;Z´y) Kehtib sama moodi ka kolme ja enama muutuja korral. Gradieniks saab arvvektori, mis näitab funktsiooni kiireima kasvu suuna, gradient on risti nivoojoonega. Funktsiooni tuletis ühikvektori suunas Funktsiooni Z=f(x,y) tuletiseks ühikvektori r0=(a,b) suunas nimetatakse selle ühikvektori ja gradiendi skalaarkorrutist grad* r0 z=a* Z´x + b* Z´y Osatuletise kasutamine kahe muutuja funktsiooni ekstreemumite uurimisel Teoreem: Kui funktsioonil z = f(x, y) on x = x0 ja y = y0 puhul ekstreemum, siis z esimest järku osatuletised selles punktis võrduvad nulliga või puuduvad. See (5) oli (analoogselt ühe muutuja funktsiooniga) ekstreemumi tarvilik tingimus, võib juhtuda, et see on täidetud, kuid punkt ei ole ekstreemumpunkt. Näiteks :z = x2- y2 punktis (0;0).
Vektori korrutamine skalaariga: a x1 , y1 , z1 . KAHE VEKTORI SKALAARKORRUTIS Olgu antud vektorid a , b. Definitsioon. Vektorite a ja b skalaarkorrutiseks nimetatakse arvu, mis võrdub nende vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega: a b a b cos . Et leida skalaarkorrutist koordinaatkujul, leiame ühikvektorite skalaarkorrutised. 3 Skalaarkorrutise omadused: kommutatiivsus: ab b a ab a pra b ab b prb a b a b a cos 2 a b cos
· Skalaarkorrutis on distributiivne vektorite liitmise suhtes, st 6.13 Skalaarkorrutiste avaldamine vektorite koordinaatide kaudu Kahe vektori skalaarkorrutis on võrdne nende vektorite samanimeliste koordinaatide korrutiste summaga. Koordinaatteljestikus oleva ühikvektori koordinaatideks on vektori ja x-telje positiivse suuna vahelise nurga cos ja sin 6.14 Kahe vektori skalaarkorrutiste rakendusi Koosinusteoreemi saab tõestada vektorite skalaarkorrutist kasutades Joone võrrand 7.1 Sirge võrrand Sirge võrrand peaks arvatavasti olema võrrand, mis sisaldab sirge mis tahes punkti koordinaate x ja y kui muutujaid. · Läbi kahe punkti saab joonestada vaid ühe sirge. Tähendab, kui on antud kaks punkti oma koordinaatidega, peaksima saama koostada sirge võrrandi. · Sirge sihivektor. Iga vektorit, mis on paralleelne vaadeldava sirgega või asub sellel sirgel, nimetatakse sirge sihivektoriks
b = |a||b|, kui a risti b . Avaldis koordinaatides: i j k x1 y1 z1 axb = x1 y1 z1 a b c =x 2 y2 z2 x2 y2 z2 x3 y3 z3 18. Kolme vektori segakorrutis (mõiste, omadused, avaldis koordinaatides). Kolme vektori segakorrutis nim. vektor a skalaarkorrutist vektorkorrutisega bx c Omadused: 1) On arvuline suurus 2) On 0, kui vektorid on komplanaarsed 3) Vôrdub vektoritele ehitatud rööptahuka ruumalaga. Avaldis koordinaatides: (vaata üles puule). 19. Vektorite kollineaarsuse, ristseisu ja komplanaarsuse tunnused. Vektorite kollineaarsuse tunnus: 1) Vektorite vastavate koordinaatide korrutised on vôrdsed 2) Vektorkorrutis on 0 ja kumbki vektor ei ole 0-vektor 3) Skalaarkorrutis vôrdub vektorite pikkuste korrutisega. Vektorite ristseisu tunnus:
R korral c × (a +b) = (c × a) + (c × b) ja (a +b) × c = (a × c) + (b × c) iga kolme vektori a, b ja c korral. avaldis koordinaatides: vektorkorrutist saab esitada ka kolmandat järku determinandina: 19. Kolme vektori segakorrutis (mõiste, avaldis koordinaatides, rakendused). Kolme vektori a, b ja c segakorrutiseks nimetatakse kahe esimese vektori a ja b vektorkorrutise a × b skalaarkorrutist vektoriga c, st arvu (a × b)c Avaldis koordinaatides: omadused: Determinantide omadustest tulenevalt: kolm nullvektorist erinevat vektorit a = ( x1 ; y1 ; z1 ), b = ( x2 ; y2 ; z2 ) ja c = ( x3 ; y3 ; z3 ) on komplanaarsed parajasti siis, kui nende segakorrutis on null, st rakendus: kolme vektori segakorrutist kasutatakse ruumalade arvutamisel. kolmele ühest punktist väljuvale vektorile ehitatud rööptahuka ruumala V on võrdne nende vektorite
Tähis on wij . Neist võib edasi arvutada kõrgemat järku osatuletisi. Tähis on wij ...k . Schwarz´i teoreem pidevate funktsioonide segatuletised on võrdsed fxy=fyx Tuletis antud suunas. Granient Definitsioon: kui ühikvektori tähis n-mõõtmelises ruumis on l0, siis defineeritakse funktsiooni w` w = f (P ) tuletis vektori l0 suunas kui vektori l0 ja gradientvektori grad w skalaarkorrutist: l` w` = l0 gradw l` Järeldus: Geomeetriliselt on tuletis antud suunas gradientvektori projektsioon sellele w` diferentseerimissuunale. = | gradw | cos , (l0 gradw) l` Iseloomustab: funktsiooni muutumise kiirust määramispiirkonna punkti P liikumisel vektori l0 suunas. Märkus: Gradientvektor on funktsiooni nivoopinna normaaliks ja iseloomustab funktsiooni kiireima muutumise sihti
3. vektorite ja vaheline nurk ; cos() = (*) / (||||*||||) 4. ristseis ehk ortogonaalsus 5. ortonormaalne baas 26. Vektori pikkus ja selle omadused (tõestustega). vektori pikkus |||| = sqrt(*) Eksisterib skalaarkorrutise 1. omaduse põhjal. Pikkuse omadused: 1. |||| >= 0; |||| = 0 <=> = (2. omadus) 2. ||c|| = |c|*|||| (Tõestus: ||c|| = sqrt((c)*(c)) = sqrt(c2(*)) = |c|*||||) 3. Cauchy-Bunjakovski võrratus: |*| <= |||| * |||| ,V; (Tõestus: xR; vaatame skalaarkorrutist (+x)*(+x) > 0 x => * + *(x) + (x)* + (x)*(x) >= 0 x => * + 2x(*) + x2(*) >= 0 x => y = ax2 + bx + c >= 0 x. Kuna = või = korral võrratus kehtib, siis võib eeldada, et , st a = * > 0. b2 - 4ac <= 0 => 4(*)2 - 4(*)(*) <= 0 => (*)2 <= (*)(*) <= 0 => |*| <= |||| * ||||) 4. kolmnurga omadus: ||+|| <= |||| + |||| (Tõestus: ||+||2 = (+) * (+) = * + * + * + * = ||||2 + 2 + ||||2 <= ||||2 + 2|||| * |||| + ||||2 = (|||| + ||||)2 => ||+|| <= |||| + ||||) 27. Punktide vaheline kaugus
Veeretakistusmomendi töö? 274. Millise valemiga arvutatakse momendi M z tööd juhul, kui see on muutuv suurus? Kui see on konstantne suurus? 275. Millega võrdub vedru elastsusjõud? 276. Mis on vedru jäikustegur? 277. Mida nimetatakse jõu võimsuseks? Valem. Kas see on skalaarne või vektoriaalne suurus? Jõu võimsus on skalaarne suurus, mis väljendab jõu ja läbitud teepikkuse skalaarkorrutist. N=Fscos 278. Kuidas arvutada jõu võimsust? 279. Mida nimetatakse konservatiivseks jõuks? 280. Mida nimetatakse dissipatiivseks jõuks? 281. Milliseid konservatiivseid jõudusid te teate? 282. Milliseid dissipatiivseid jõudusid te teate? 283. Mille poolest erinevad konservatiivsed jõud teistest jõududest? 284. Mis on ekvipotentsiaalpind? 285. Mis on potentsiaalne energia (selgitada oma sõnadega)? 286
Veeretakistusmomendi töö? 274. Millise valemiga arvutatakse momendi M z tööd juhul, kui see on muutuv suurus? Kui see on konstantne suurus? 275. Millega võrdub vedru elastsusjõud? 276. Mis on vedru jäikustegur? 277. Mida nimetatakse jõu võimsuseks? Valem. Kas see on skalaarne või vektoriaalne suurus? Jõu võimsus on skalaarne suurus, mis väljendab jõu ja läbitud teepikkuse skalaarkorrutist. N=Fscos 278. Kuidas arvutada jõu võimsust? 279. Mida nimetatakse konservatiivseks jõuks? 280. Mida nimetatakse dissipatiivseks jõuks? 281. Milliseid konservatiivseid jõudusid te teate? 282. Milliseid dissipatiivseid jõudusid te teate? 283. Mille poolest erinevad konservatiivsed jõud teistest jõududest? 284. Mis on ekvipotentsiaalpind? 285. Mis on potentsiaalne energia (selgitada oma sõnadega)? 286
Absoluutselt mitteelastsete kehade põrkeks nimetatakse sellist põrget, kus kehad liiguvad pärast põrget ühesuguse kiirusega, moodustades uue keha. Sellise põrke puhul kehtib ainult impulsi jäävuse seadus. Reaktiivliikumiseks nimetatakse liikumist, mille põhjustab kehast eemale paiskuv keha osa. Reaktiivliikumise kiirust vk saab hinnata, kui on teada keha mass mk, keha osa mass mk0 ja keha osa kiirus vk0; vk=-mko/mk*vk0 Vektorite skalaarkorrutist saab rakendada näiteks töö arvutamisel füüsikas, kui kehale mõjub jõud F ning selle jõu mõjul teeb keha nihke s, siis jõu F mõjul tehtud töö leitakse valemiga A = F*s*cosα ,kus α on nurk vektorite F ja s vahel. 15. MUUTUVA JÕU TÖÖ. TEINE KOSMILINE KIIRUS. VÕIMSUS Muutuva jõu töö: Muutuva jõu korral leitakse töö jõu graafiku ala pindala kaudu, teljestikus F-s. Teine kosmiline kiirus on vajalik planeedi külgetõmbejõu piirkonnast lahkumiseks
10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium VEKTORITE SKALAARKORRUTIS Vektorite a ja b skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite vahelise nurga koosinuse korrutist. a b a b cos Vektorite skalaarkorrutist saab rakendada näiteks töö arvutamisel füüsikas, kui kehale mõjub jõud F ning selle jõu mõjul teeb keha nihke s , siis jõu F mõjul tehtud töö leitakse valemiga A = F s cos , kus on nurk vektorite F ja s vahel.
Seda samaväärsust tuleks matemaatiliselt tões- tada, aga siinkohal piirdume siiski ainult nende kahe viisi tutvustamisega. Skalaarkorrutis läbi koordinaatide Üks viis skalaarkorrutise defineerimiseks on koordinaatide põhine: kahe vektori skalaarkorrutise saame, kui esmalt korrutame kahe vektori vastavad koordinaadid ning seejärel liidame kõik saadud korrutised omavahel kokku. 144 Tähistades skalaarkorrutist silmapaistva punktiga, võime kirjutada näiteks: . Huvitav on märgata, et nii defineeritud korrutustehte tulemuseks on reaalarv. Ei ole sugugi lihtne kohe aru saada, miks selline üsna lihtne definitsioon võiks sama- vektor aegselt ka huvitav või kasulik olla. Teatavat lootust annab juba teadmine, et võime
annaabi.ee 
