1.1 VÕRRAND. VÕRDUS. SAMASUS Kui kaks avaldist ühendatakse võrdusmärgiga, saadakse võrdus. Näiteks on võrdused 5 + 3x = 33,5; 2 3 = 6 ; (a + b)(a b) = a2 b2; 3- 1= 2. Võrdust, mis on tõene muutujate kõigi lubatavate väärtuste korral, nimetatakse samasuseks. Ka tõene arvvõrdus on samasus. Näiteks on samasused 1 + 2 = 3; (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Võrrandiks nimetatakse muutujaid sisaldavat võrdust, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Võrrandi lahendamiseks nimetatakse tundmatu(te) selliseid väärtusi, mille asendamisel võrrandisse saame tõese arvvõrduse ehk samasuse. Võrrandil võib olla üks või mitu lahendit, kuid neid võib olla ka lõpmata palju või mitte ühtegi
2.peatükk 1. Tegurdamine - - Tegurdamine Avaldise muutmine korrutiseks. 1.Teguri toomine sulgude ette. 2. Valemite kasutamine. ( (a+b2) = a2 + 2ab +b2 / (a + b)((a b) = a2 - b2 3. Ruutkolmliikme tegurdamine. ( ax2 +bx+c = a(x-x1)(x-x2) ) 4. Rühmitamisvõte. - Avaldise teisendamine tähendab avaldise võimalikult lihtsa või meile sobiva kuju andmine. - Võrdust, mille poolteks on võrdsed avaldised nim. samasuseks. Näide: 2. Arvulise murru taandamine - Taandamine-murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva avaldisega * tegurdatakse murru lugeja ja nimetaja; * taandatakse arvulised tegurid * taandatakse muutujat sisaldavad võrdsed tegurid. Näide: 3. Korrutamine ja jagamine Korrutamine- algebraliste murdude korrutis võrdub murruga, mille lugejaks on antud murdude lugejate korrutis ja nimetajaks murdude nimetajate korrutis. 1. Tegurdamine 2
1. Ratsionaalarvud on need reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu jagatisena. 2. Irratsionaalarvudeks nimetatakse mitteperioodilisi lõpmatuid kümnendmurde. 3. Reaalarvu absoluutväärtuseks nimetatakse mittenegatiivset reaalarvu, mis rahuldab tingimusi |x| = x,kui x0 ja |x| = -x,kui x< 0. 4. Reaalarvude hulk koosneb kõikidest ratsionaal- ja irratsionaalarvudest. 5. 6. Samasuseks nimetatakse matemaatikas tõest arvvõrdust sisaldavat võrdust, mis osutub tõeseks muutuja kõigi lubatud väärtuste korral. 7. Võrrand on võrdus, mis sisaldab ühte või mitut muutujat, mida vaadeldakse tundmatute suurustena. 8. Determinant on lineaaralgebras funktsioon, mis seab igale ruutmaatriksile vastavusse skalaari, ning on üks olulisemaid matemaatilisi konstruktsioone lineaarvõrrandsüsteemi uurimisel. 9. Juurvõrrand on võrrand, milles muutuja esineb juuritavas
selle maatriksi. Sellist maatriksit nim adjengeeritud maatriksiks. Pöördmaatriksiks nim maatriksit 3. Lineaarsed võrrandisüsteemid Tundmatuid x1; x2; x3, ..., xn esimeses astmes sisaldavaid võrrandeid nim lineaarseteks. Korrastatud süsteem: Võrrandisüsteemi tundmatute kordajatest moodustnud maatriksit nim süsteemimaatriksiks. Maatriks A, millele on lisatud vabaliikmete veerg, nim süsteemi laiendatud maatriksiks. Iga tundmatute komplekti X, mis muudab samasuseks kõik võrrandid lineaarses võrrandisüsteemis nim lineaarseks võrrandisüsteemi lahendiks. Süsteemi lahend ei tarvitse olla üheselt määratud, ta võib sõltuda teatud arvust parameetritest. Selliseid nim süsteemi üldlahenditeks. Lahendid, mis saadakse parameetrie fikseerimise teel nim süsteemi erilahenditeks. 4. Kronecker-Capelli teoreem Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis kui süsteemi maatriksi astak võrdub laiendatud maatriksi astakuga. Rank A=rank A/B; r=r' 5
muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Näited Ruutvõrrand: x2 2x 1 0 Trigonomeetriline võrrand: sin t cos 2t 1 Eksponentvõrrand x suhtes: e 2 x e 2 x 2a 1 lineaarne võrrand a suhtes: Juurvõrrand x ja y suhtes: x y x 2 2 xy Logaritmvõrrand: log u (2u u 2 ) 3 Võrrandi lahend Tundmatu (muutuja, otsitava) väärtust, mille korral võrrand osutub samasuseks, nimetatakse võrrandi lahendiks ehk juureks. Näide Võrrandi 2x 3 0 3 lahendiks on x , 2 kuna, asendades võrrandis sümboli x arvuga 3/2, saame samasuse : 3 23 2 3 3 3 3 0. 2 2 Võrrandi lahendite arv Võrrandil võib olla üks või mitu lahendit, kuid neid võib olla ka lõpmata palju või mitte ühtegi. Näited Võrrandil 10 x
htm Arvu b nimetatakse vaadeldava võrrandi vabaliikmeks, arve a1 , ... , an aga tema kordajateks. Näide Võrrandis 5 x + 3 y - 2 z = -4 on vabaliikmeks arv 4, kordajateks arvud 5, 3 ja 2 ning tundmatud on tähistatud tähtedega x, y ja z. Lineaarse võrrandi lahend Definitsioon Lineaarse võrrandi (1) lahendiks nimetatakse sellist tundmatute x1 , ... , xn väärtuste komplekti c1 , ... , cn , R, mis asendamisel võrrandi (1) vasakusse poolde muudavad selle samasuseks: a1 c1 + a2 c2 + ... + an cn b. Näide Võrrandi 5 x + 3 y - 2 z = -4 üheks lahendiks on x = 1, y = -1 ja z = 3, kuna antud tundmatute väärtuste asendamisel võrrandisse saame samasuse: 5·1 + 3 ·(-1) - 2 ·3 -4 Lineaarse võrrandi lahend Võrrandi (1) lahendit c1 , ... , cn võib vaadelda ka reavektorina c1 ; c2 ; ... ; cn või veeruvektorina c1 c2
VÕRRANDID Võrrand on muutujaid sisaldav võrdus, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Tundmatu väärtust, mille korral võrrand osutub samasuseks (tõeseks arvvõrduseks), nimetatakse võrrandi lahendiks. Võrrandil võib olla üks või mitu lahendit, kuid neid võib olla ka lõpmata palju või mitte ühtegi. Lahendada võrrand tähendab leida tundmatu kõik need väärtused, mis rahuldavad võrrandit (st tundmatu asendamisel lahendiga muutub võrrand samasuseks). Võrrandi lahendamisel püütakse võrrandit teisendada nii, et iga uus võrrand oleks eelmisega samaväärne. Lubatud teisendused (võrrandi põhiomadused) on järgmised: 1) võrrandi pooli võib vahetada; 2) võrrandi mõlemale poolele võib liita või mõlemast poolest lahutada ühe ja sama arvu või muutujat sisaldava avaldise (mis omab mõtet võrrandi kogu määramis- piirkonnas), see annab sisuliselt teisenduse, mida tuntakse kui võrrandi liikmete
2. Kõrgemat järku tuletised. Funktsiooni teist järku tuletiseks ehk teiseks tuletiseks nimetatakse tema tuletise tuletist ja seda tähistatakse sümboliga y või f ( x ) : y = ( y ) = f ( x ) 3. Ilmutamata funktsiooni mõiste. Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine ühe näite põhjal. Kui mingis vahemikus ( a, b ) määratud funktsioon y = f ( x ) on selline, et võrrand F ( x, y ) = 0 muutub samasuseks, kui selles võrrandis y asendada avaldisega f ( x ) , siis funktsioon y = f ( x ) on võrrandiga F ( x, y ) = 0 määratud ilmutamata funktsioon. Olgu antud argumendi x ilmutamata funktsioon y järgmise võrrandiga: 2x y = y - y - x = 0. Diferentseerime seda x järgi: 6 y y - y - 2 x = 0, millest
Irratsionaalavaldisi (juuravaldisi), mis erinevad üksteisest ainult juuremärgi ees olevate kordajate poolest (või ei erine üldse), nimetatakse sarnasteks. Summat, mille liidetavate hulgas on sarnaseid juuravaldisi, saab koondada. Võrrandid ja võrratused Võrduse moodustavad kaks avaldist, mis on ühendatud võrdusmärgiga. Võrdust, mis on tõene tundmatu mistahes võimalike väärtuste korral, nimetatakse samasuseks. Võrrandiks nimetatakse muutujaid sisaldavat võrdust, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Võrrandi lahendamise eesmärgiks on leida kõik tundmatu väärtused, mille asendamisel võrrandisse tundmatu kohale võrrandi mõlemad pooled võrdsustuvad. Kahte võrrandit nimetatakse samaväärseteks ehk ekvivalentseteks, kui neil on kõik lahendid ühesed või lahendid puuduvad.
Irratsionaalavaldisi (juuravaldisi), mis erinevad üksteisest ainult juuremärgi ees olevate kordajate poolest (või ei erine üldse), nimetatakse sarnasteks. Summat, mille liidetavate hulgas on sarnaseid juuravaldisi, saab koondada. Võrrandid ja võrratused Võrduse moodustavad kaks avaldist, mis on ühendatud võrdusmärgiga. Võrdust, mis on tõene tundmatu mistahes võimalike väärtuste korral, nimetatakse samasuseks. Võrrandiks nimetatakse muutujaid sisaldavat võrdust, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Võrrandi lahendamise eesmärgiks on leida kõik tundmatu väärtused, mille asendamisel võrrandisse tundmatu kohale võrrandi mõlemad pooled võrdsustuvad. Kahte võrrandit nimetatakse samaväärseteks ehk ekvivalentseteks, kui neil on kõik lahendid ühesed või lahendid puuduvad.
Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Näiteks y = - x. Funktsiooni y = f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand F(x, y) = 0 , kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. Näiteks - sin y + y = 0. Kui me asendame muutuja y funktsiooni f(x) ilmutatud avaldisega võrrandis (1.4), siis muutub see võrrand samasuseks F(x, f(x)) 0. Seda on illustreeritud allpool toodud näites. Ilmutamata kujul antud funktsiooni ilmutamiseks tuleb lahendada võrrand (1.4) muutuja y suhtes. Kui sellel võrrandil on mitu lahendit, siis defineerib ta mitu funktsiooni. Näide. Vaatleme võrrandit + = 1 . (1.5) Kui me lahendame selle võrrandi y suhtes, saame kaks funktsiooni: y = - ja y= . Seega määrab võrrand (1.5) ilmutamata kujul kaks erinevat funktsiooni.
kujul. Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Näiteks y = − x. Funktsiooni y = f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand F(x, y) = 0 , kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. Näiteks − sin y + y = 0. Kui me asendame muutuja y funktsiooni f(x) ilmutatud avaldisega võrrandis (1.4), siis muutub see võrrand samasuseks F(x, f(x)) ≡ 0. Seda on illustreeritud allpool toodud näites. Ilmutamata kujul antud funktsiooni ilmutamiseks tuleb lahendada võrrand (1.4) muutuja y suhtes. Kui sellel võrrandil on mitu lahendit, siis defineerib ta mitu funktsiooni. Näide. Vaatleme võrrandit + = 1 . (1.5) Kui me lahendame selle võrrandi y suhtes, saame kaks funktsiooni: y = − ja y = . Seega määrab võrrand (1.5) ilmutamata kujul kaks erinevat funktsiooni
(1.1) F(x, y(), y'(), ...)=0 Kui otsitav funktsioon y sõltub ainult ühest muutujast, siis seda nim harilikuks diferentsiaalvõrrandiks. Kui otsitav funktsioon sõltub mitmest muutujast, siis on tegemist osatuletistega diferentsiaalvõrranditega. Kõrgema järguga tuletis dif.võr määrab ära selle võrrandi järgu. Esimest järku dif võrrand on (1.2) Def 1.2 N-järku dif.võr (1.1) üldlahendiks nim n-parameetrilist lähtuvat funktsioonide parve või peret, mis muudab võrrandi samasuseks sõltumata parameetrite väärtustest. (1.3) Dif.võr lahendamist nim selle võrrandi integreerimiseks ja selle lahendid integraaliks, lahendi graafikut nim integraaljooneks. Kui n-järku võrrandile lisada n-algtingimust: (1.4) Siis saame algväärtuseks ülesande (1.1). esimest järku algväärtus ülesanne koosneb võrranditest ja ühest algtingimusest. (1.5) Def 1.3 Võrrandi (1.1) lahendit, mis rahuldab ka algtingimusi (1.4) nim selle võrrandi erilahendiks.
kujul. Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Näiteks y = x2 - x. Funktsiooni y = f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand F(x, y) = 0 kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. Näiteks x2 - sin y + y = 0. Kui me asendame muutuja y funktsiooni f(x) ilmutatud avaldisega võrrandis , siis muutub see võrrand samasuseks F(x, f(x)) 0 Ilmutamata kujul antud funktsiooni ilmutamiseks tuleb lahendada võrrand muutuja y suhtes. Kui sellel võrrandil on mitu lahendit, siis defineerib ta mitu funktsiooni. Parameetriliselt antud joon. Olgu lõigul [T1, T2] antud kaks funktsiooni x = (t) ja y = (t). Kirjutame need funktsioonid Üles sÜsteemina x = (t) y = (t) , t [T1, T2] See süsteem maarab iga t [T1, T2] korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega (x, y) = ((t), (t))
. . , m; j = 1, 2, . . . , n. Maatriksit A, millele on lisatud nn VABALIIKMETE VEERG Bm×1 = (b1, . . . , bm )T, nimetatakse süsteemi (1) LAIENDATUD MAATRIKSIKS A|B. See on vastavalt parameetritega m×(n + 1). Kui tähistada tundmatute veergu Xn×1 = (x1, x2, . . . , xn )T, siis saab süsteemi (1) esitada MAATRIKSKUJUL AX = B. (2) DEFINITSIOON 3. Iga tundmatute komplekti X, mis muudab samasuseks kõik võrrandid süsteemis (1) või maatriksvõrrandi (2), nimetatakse LINEAARSE VÕRRANDISÜSTEEMI LAHENDIKS. MÄRKUS. Süsteemi lahend ei tarvitse olla üheselt määratud ja võib sõltuda teatud arvust parameetritest. Selliseid lahendeid nimetatakse SÜSTEEMI ÜLDLAHENDITEKS. Lahendeid, mis saadakse üldlahendist parameetrite fikseerimise teel, nimetatakse SÜSTEEMI ERILAHEN- DITEKS. DEFINITSIOON 4. Kui süsteemil on lahend olemas, siis nimetatakse
. . , m; j = 1, 2, . . . , n. Maatriksit A, millele on lisatud nn VABALIIKMETE VEERG Bm×1 = (b1, . . . , bm )T, nimetatakse süsteemi (1) LAIENDATUD MAATRIKSIKS A|B. See on vastavalt parameetritega m×(n + 1). Kui tähistada tundmatute veergu Xn×1 = (x1, x2, . . . , xn )T, siis saab süsteemi (1) esitada MAATRIKSKUJUL AX = B. (2) DEFINITSIOON 3. Iga tundmatute komplekti X, mis muudab samasuseks kõik võrrandid süsteemis (1) või maatriksvõrrandi (2), nimetatakse LINEAARSE VÕRRANDISÜSTEEMI LAHENDIKS. MÄRKUS. Süsteemi lahend ei tarvitse olla üheselt määratud ja võib sõltuda teatud arvust parameetritest. Selliseid lahendeid nimetatakse SÜSTEEMI ÜLDLAHENDITEKS. Lahendeid, mis saadakse üldlahendist parameetrite fikseerimise teel, nimetatakse SÜSTEEMI ERILAHEN- DITEKS. DEFINITSIOON 4. Kui süsteemil on lahend olemas, siis nimetatakse
määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud muutub võrrand samasuseks. F(x, f(x))=0. sisu jooksev punkt P(x,f(x)) ühele ja samale punktile AP=(a,b). Kehtib b=f(a), y= , kus astme alus a on konstantne ja rahuldab väärtust Ilmutatamta kujul antud funktsiooni ilmutamiseks tuleb lahendada Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises mis tähendab, et graafiku piirpunkt A asub funktsiooni graafikul, st graafik a>0
ning anname tulemusele algebralise murru, võimalusel täisavaldise kuju. Murru nimetaja vabastatakse irratsionaalsusest. Võrrandid ja võrrandisüsteemid 3.1 Võrdus, samasus, võrrand. Lineaar- ja ruutvõrrandid · Kui kaks avaldist ühendatakse võrdusmärgiga, saadakse võrdus. · Võrdust, mis on tõene muutujate kõigi lubatavate väärtuste korral, nimetatakse samasuseks. Ka tõene arvvõrdus on samasus. · Võrrandiks nimetatakse muutujaid sisaldavat võrdust, milles üks või mitu muutujat loetakse otsitavaks e tundmatuks. · Võrrandi lahenditeks nimetatakse tundmatute selliseid väärtusi, mille asendamisel võrrandisse saame tõese arvvõrduse. · Võrrandi f(x)=g(x) määramispiirkonnaks nimetatakse tundmatu x nende väärtuste hulka, mille korral nii avaldise
demiourgos valmistas maailma hinge. (35a-b) Selleks olevat ta võtnud “materjali” ühelt poolt jagamatust ning alati samana püsivast olemusest (ideed), ja teiselt poolt sellest, mis kehades on allutatud pidevale jagunemisele (meeleliselt tajutava maailma loomus), ning nendest kahest moodustanud segu, mis kujutas endast midagi keskmist, vahepealset kahe esimese alge vahel. Esimest alget nimetatakse antud juhul “samasuseks” (tauton), teist “teisitisuseks” (heteron), kolmandat aga vahepealseks olemuseks, mis on osavõtus kummastki esimesena nimetatust. Need kolm liidab demiourgos seejärel jõuga kokku üheks “materjaliks”, millest ta asub looma kosmose hinge. Sellestsamast luuakse seejärel ka ülejäänud elusolendite, teiste hulgas ka inimeste, hinged. Jõudu peab demiourgos seejuures kasutama aga sellepärast, et alged, millest ta kosmose hinge looma asub, on teineteise suhtes vastandlikud
Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid a.i. Funktsiooni y=f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Y=f(x) a.ii. Funktsiooni y=f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab c ja y läbisegi. F(x,y)=0 a.iii. Kui asendada muutuja y unktsioonis f(x) ilmutatud avaldisega,siis muutub võrrand samasuseks. F(x, f(x))=0. Ilmutatamta kujul antud funktsiooni ilmutamiseks tuleb lahendada võrrand muutuja y suhtes. Kui võrrandil on mitu lahendit, siis defineerib ta mitu funktsiooni. b. Parameetriliselt antud joone mõiste Olgu lõigul [T, T] antud kaks funktsiooni x=(t) ja y=(t). Süsteem määrab iga t[T, T] korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega (x,y)=()
P( x)dx =>I järku dv (E) v määramiseks; as v tuletis dif suhetega v'=dv7dx- > dv= Q(x)e Q(x)e P( x)dx dx+C y = e P ( x ) dx =dx; Int: v= -P ( x ) dx ( Q(x)e P ( x ) dx dx+C) 45.Teist järku DV Def. *üldkuju: F(x,y,y',y'')=0 *normaalkuju: y''=f(x,y,y'). *def lahend on mingisugune f-n, mis muudab võrrandi samasuseks, y=f(x) 1MF; üldlah y=y(x,C1,C2), C1,C2 IR sõltub kahest suvalisest konstandist ; erilah- konstantide fikseerimise teel; fikseerimine: algtingimus abil: y 0=y(x0), y0'=y'(x0) (Cauchy ül); Lahendi olemasolu ja ainsuse teoreem: f(x,y,y') fy(x,y,y'), fy'(x,y,y') => pidev piirkonnas D=> y''=f(x,y,y'), y(x 0)=y=, y'(x0)=y0'=> on ainus lah, mis rahuldab algtingimusi vähemalt punkti M 0(x0,y0) mingis ümbruses; erilah geom. tõlgendus =>Joonis! Int joonte parv on üldlah geom. tõlgendus ja
Absoluutväärtuselt suured ja väikesed arvud esitatakse sageli nn. standardkujul a · 10k , kus kZ ja 1a<10. Näit.: · 26,4 = 2,64 10 · 3742,6 = 3,7426 103 · 0,0000245 = 2,45 10-5 II Võrrandid ja võrratused Võrrandid Kui kaks avaldist ühendatakse võrdusmärgiga, saadakse võrdus. Näiteks: 9+4=15-2 Võrdust, mis on tõene muutujate kõigi lubatavate väärtuste korral, nimetatakse samasuseks. Ka tõene arvvõrratus on samasus. Näiteks: (x + 2)² = x² + 4x + 4 12 Võrrandiks nimetatakse muutujaid sisaldavat võrdust, milles üks või mitu muutujat nimetatakse otsitava(te)ks ehk tundmatu(te)ks. Näiteks: x+6=7 Võrrandi lahenditeks nimetatakse tundmatu(te) selliseid väärtusi, mille asendamisel võrrandisse saame tõese arvvõrduse ehk samasuse.
usteemi lahendiks, kui 1) j¨arjendi elementide arv v~ ordub s¨ usteemi tundmatute arvuga, 2) j¨arjendi elementide asendamine (loomulikus j¨ arjestuses) s¨ us- teemi mis tahes v~orrandisse tundmatute asemele muudab selle v~orrandi samasuseks. 1 2 IV. Lineaarv~ orrandisu ¨ steemid 1.3 Lahenduvusega seotud m~ oisteid S¨usteemi nimetatakse koosk~olaliseks, kui tal leidub v¨ahemalt u ¨ks ¨ lahend. Oeldakse, et s¨
sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. N¨aiteks y = x2 - x. Funktsiooni y = f (x) ilmutamata kujuks on v~orrand, mis sisaldab x ja y l¨abisegi, st v~orrand F (x, y) = 0 , (1.4) kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. N¨aiteks x2 - sin y + y = 0. Kui me asendame muutuja y funktsiooni f (x) ilmutatud avaldisega v~orrandis (1.4), siis muutub see v~orrand samasuseks F (x, f (x)) 0. Seda on illustreeritud allpooltoodud n¨aites. Ilmutamata kujul antud funktsiooni ilmutamiseks tuleb lahendada v~orrand (1.4) muutuja y suhtes. Kui sellel v~orrandil on mitu lahendit, siis defineerib ta mitu funktsiooni. 19 N¨ aide. Vaatleme v~orrandit x2 + y 2 = 1 . (1.5)
sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. N¨aiteks y = x2 - x. Funktsiooni y = f (x) ilmutamata kujuks on v~orrand, mis sisaldab x ja y l¨ abisegi, st v~orrand F (x, y) = 0 , (1.4) kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. N¨aiteks x2 - sin y + y = 0. Kui me asendame muutuja y funktsiooni f (x) ilmutatud avaldisega v~orrandis (1.4), siis muutub see v~orrand samasuseks F (x, f (x)) 0. Seda on illustreeritud allpooltoodud n¨aites. Ilmutamata kujul antud funktsiooni ilmutamiseks tuleb lahendada v~orrand (1.4) muutuja y suhtes. Kui sellel v~orrandil on mitu lahendit, siis defineerib ta mitu funktsiooni. 19 N¨ aide. Vaatleme v~orrandit x2 + y 2 = 1 . (1.5)
ühe või mitme muutuja funktsioon ning see võrrand seob otsitavat funktsiooni ja tema tuletisi sõltumatute muutujatega. Definitsioon 8.2 Harilikuks diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse diferentsiaalvõr- randit, kus otsitav funktsioon y = y(x) sõltub ainult ühest argumendist x. Definitsioon 8.3 Diferentsiaalvõrrandi lahendiks nimetatakse sellist funktsiooni y = y(x), mille asetamine võrrandisse muudab võrrandi samasuseks sõltu- matu muutuja x suhtes. 78 8.4. Definitsioon 8.4 Diferentsiaalvõrrandi üldlahendiks nimetatakse diferentsiaalvõrrandi lahendit, mis sisaldab suvalist konstanti C. 8.3 Esimest järku diferentsiaalvõrrandid Definitsioon 8.5 Esimest järku diferentsiaalvõrrandiks nimetakse diferentsiaalvõr- randit kujul
ilmsemaks, kui vaatame Jungi mõistet Loome ehk Olemine. ,,Loome ei asu mitte Pleromas, vaid iseendas. Pleroma on Loome algus ja lõpp. Pleroma läbistab seda, nii nagu päikesevalgus läbistab tervet õhukihti. Kuigi Pleroma läbistab Loomet tingimata üleni, ei ole Loome selles siiski osaline, nii nagu üleni läbipaistev keha ei muutu heledamaks ega tumedamaks valguse tõttu, mis teda läbistab." (JUNG 2004:342) Nüüd näeme nii suurt kontseptsioonide sarnasust, et seda saab lausa samasuseks pidada: Kõige algallikaks on Tao-Pleroma (täiuslik mitteolemine), millest tuleneb Loome ehk kõik olev. Oluline aspekt on veel see, et taoism paistab olevat esmakordne näide (teadaolevast) religiooniloost, kus eitatakse kõiksuse loomist isikulise jumala poolt ning väidetakse, et jumala(te)le eelnes ürgprintsiip nimega tao. ,,Oli olemas midagi mitteeristunut, kuid siiski täielikku, mis eksisteeris enne taevast ja maad." (TANG YI- JIE 1991:63)
annaabi.ee 
