u v u v = u v cos = x 1 x 2 + y1 y 2 · Kahe vektori skalaarkorrutis, nurk kahe vektori vahel cos = u v uv · Kahe punkti vaheline kaugus tasandil d = AB = ( x 2 - x 1 ) 2 + ( y 2 - y1 ) 2 , kui A ( x 1 ; y1 ), B( x 2 ; y 2 ) Sirge tasandil
vektorit: gradF ( ⃗x )=¿) Gradiendi tähistamiseks kasutatakse ka sümbolit ⃗ ∇ (või ∇), mis kannab nime nabla. 20. Milline vektorväli on potentsiaalne? Mis on vektorvälja potentsiaal? Vektorvälja ⃗f nimetatakse potentsiaalseks ehk konservatiivseks, kui leidub skalaarväli F nii, et ⃗f = gradF. Seejuures nimetatakse skaalarvälja F vektorvälja ⃗f potentsiaaliks. 21. Defineerida skalaarkorrutis ja vektorvälja divergents. Vektorite x⃗ = (x1, . . . , xn) ja ⃗y = (y1, . . . , yn) skalaarkorrutiseks nimetatakse järgmist arvu: ⃗x · ⃗y = x1y1 + . . . + xnyn. Vektorvälja ⃗f divergentsiks kohal ⃗x nimetatakse järgmist skalaari: ∂ ∂ ¿ ⃗f ( ⃗x )= ⃗ ∇ ∙ ⃗f ( ⃗x )= f 1 ( ⃗x ) +…+ f ( ⃗x ) ∂x 1 ∂ xn n 22
1. Kompleksarv kui reaalarvude paar. Tehted kompleksarvudega. Tehete omadused. Kompleksarvu algebraline kuju. Tuletatavad tehted ja nende omadused. Kompleksarvuks nimetatakse reaalarvude paari (x,y). C = {(x;y) | x, y R} Tehted kompleksarvudega: z1 = (x1; y1) C; z2 = (x2; y2) C 1. liitmine: z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2) 2. korrutamine: z1 * z2 = (x1x2 - y1y2; x1y2 + x2y1) Kompleksarvudega tehete omadused 1. liitmine on kommutatiivne, st z1 + z2 = z2 + z1 z1, z2 C korral 2. liitmine on assotsiatiivne, st (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) z1, z2, z3 C korral 3. liitmise suhtes leidub nullelement (reaalarv 0, 0 + z = z + 0 = z z C korral), st leidub C, nii et z + = + z = z z korral; = (0; 0) = 0 4. igal kompleksarvul z = (x; y) = x + yi leidub (liitmise suhtes) vastandarv, st selline arv w C, et z + w = w + z = 0; w = -z 5. korrutamine on kommutatiivne, st z1z2 = z2z1 z1, z2 C korral 6. korrutamine on assotsiatiiv...
keha on antud kohavektori sõltuvus ajast. Erijuhud: ühtlane sirgjooneline liikumine, ühtlane ringliikumine, ühtlaselt kiirenev sirgjooneline liikumine. Pöörlemine on liikumine, mille puhul kaks kehaga seotud punkti ning neid punkte läbiv sirge on liikumatud. Jäiga keha pöörlemisest tingitud kineetiline energia on võrdeline keha inertsimomendi ja nurkkiiruse ruuduga 4. VEKTORID JA SKALAARID. VEKTORITE LIITMINE, LAHUTAMINE, KORRUTAMINE SKALAARIGA, SKALAARKORRUTIS, VEKTORKORRUTIS. PROJEKTSIOONID JA NENDE SEOS MOODULIGA. Suurusi, mille määramikseks piisab ainult arvväärtusest, nimetatakse skalaarideks. Skalaarid on näiteks aeg, mass, töö jne. Suurusi, mida iseloomustab arvväärtus ja suund ning mille liitmine toimub kas rööpküliku või hulknurga reegli järgi, nimetatakse vektoriteks. Vektorid on näiteks kiirus, nihe, jõud. Vektorite eristamiseks skalaaridest märgitakse nende tähise kohale nooleke.
Ajas tagasiliikumist ei esine. 4) Mehaanilise energia jäävuse seadus? Suletud konservatiivse süsteemi energia on jääv ( kuid see energia võib minna üle ühest liigsit teise; kineetilisest potentsiaalseks või vastupidi. Seejuures on energia muundumise mõõduks töö,mis mõõdab nii kineetilise energia kasvu kui ka potentsiaalse kahanemist) Wk+Wp=0 W=0. kehtib vaid tsentraalsete väljas 5) Vektorite skalaarkorrutis? Vektorite skalaarkorrutamisel korrutatakse iga vektori vastav element teise vektori vastava elemendiga ning saadud tulemused summeeritakse 6) Tsentraalne väli ? Tsentraalseks nim välja kus vektorite pikenduse lõikuvad ühes punkti nn tsentraalpunktis. Tsentraalsetest väljadest võib näitena tuua elektrivälja punktlaengu ümber , gravitatsiooniväli punktmassi (ainepunkti) ümber. Ka homogeenne väli võib olla tsentraalne
4 km läände, 8.7 km põhja ja 2.1 km üles. Kui kaugel on ta lähtepunktist? D = 6i + 3 j - k 5. Antud on kaks vektorit: . Leida vektori F = 2 D - E pikkus. E = 4i - 5 j + 8k 6. Antud on kaks vektorit. Esimese vektori pikkus on 4.00 ja ta on suunatud 53.0° x- teljest vastupäeva. Teise vektori pikkus on 5.00 ja ta on suunatud 130.0° x-teljest vastupäeva. Leida nende vektorite skalaarkorrutis. A = 2i + 3 j + k 7. Antud on kaks vektorit: . Leida nurk nende vektorite vahel. B = -4i + 2 j - k 8. Antud on kaks vektorit. Esimese vektori pikkus on 6 ja ta on suunatud piki x-telge. Teise vektori pikkus on 4, ta asub xy-tasandil ja moodustab x-teljega nurga 30° (vastupäeva). Leida nende vektorite vektorkorrutis. SIRGLIIKUMINE 9
1.*** Mida uurib klassikaline füüsika ja millistest osadest ta koosneb? Mis on täiendusprintsiip? Mis on mudel füüsikas? Tooge kaks näidet kursusest. Uurib aine ja välja omadusi ja liikumise seadusi. Klassikaline füüsika koosneb staatikast, kinemaatikast ja dünaamikast. Niels Henrik David Bohr (1885 1962, Taani, Nobeli preemia 1922): Ükski uus teooria ei saa tekkida täiesti tühjale kohale. Vana teooria on uue teooria piirjuhtum. Nii on omavahel seotud erinevad valdkonnad. Puudub kindel piir valdkondade vahel. Mudel on keha või nähtuse kirjeldamise lihtsustatud vahend, mis on varustatud matemaatilise tõlgendusega. näiteks: punktmass, ideaalse gaasi mudel, absoluutselt elastne keha, ainepunkt. 2.Mis on mateeria ja millised on tema osad? Mis on ruum ja aeg? Mida tähendab aja ja ruumi homogeensus? Loetlege vastastikmõjud tugevuse kahanemise järjekorras. ...
Kuidas konstrueeritakse ühikvektor ja miks see on vajalik? Vektori projektsioon teljel on skalaar. Teades nurka vektori ja telje vahel ning projektsiooni pikkust, saame arvutada vektori tõelise pikkuse koosinusfunktsiooni kaudu. Ühikvektor saadakse, kui võetakse vektoriga ühtiva suunaga vektor, mille moodul on võrdne ühega. Ühikvektori konstrueerimine on tihti vajalik tegevus, et valmistada hetkel vaja mineva suunaga vektorit. 4. Mis on vektorite skalaarkorrutis? Tooge kursusest kaks näidet. On kommutatiivne Näiteks : A=F*s*cos, =F*v*cos 5. Mis on vektorite vektorkorrutis? Joonis ja kaks näidet kursusest. A A BAsin=|[BA]| [AB] ABsin=|[AB]| [BA] B B N: N=F*v (peaasi et valemis oleks kaks vektoriaalset suurust), pöördliikumisel tangentsiaalkiirendus on nurkkiiruse ja raadiuse vektorite vektorkorrutis. 6. Mis on taustsüsteem
Skalaarid ja vektorid: Suurused, mille määramiseks piisab ainult arvväärtusest nimetatakse skalaarideks. (aeg, mass, inertsmoment). Suurused, mida iseloomustab arvväärtus (moodul) ja suund nimetatakse vektoriteks. (Kiirus, jõud, moment). Tähistatakse sümboli kohal oleva noolega F(noolega) . Tehted nendega: Korrutamine skalaariga - a*Fnoolega =aF(mõlemad noolega) Liitmine - Fnoolega = F1noolega + F2noolega. Skalaarne korrutamine: Kahevektori skalaarkorrutis on skalaar, mis on võrdne nende vektorite moodulite ja nendevahelise nurga cos korrutisega. (V1V2) = v1*v2*cosa, kusjuures v1*v2=v2*v1. Vektoriaalse korrutamise tulemuseks on aga vektor, mis on võrdne vektorite moodulite ja nendevahelise nurga sinusega, siht on risti tasandiga, milles asuvad korrutatavad vektorid ja suund on määratud parema käe kruvi reegliga. [v1*v2]=v1*v2*sina. Ühtlane sirgjooneline liikumine: ühtlane liikumine on keha või masspunkti sirgjooneline liikumine, mille p...
8. (∑ )= ∑ ( )+ ∑, ; ( , ) ( , ) Juhuslike suuruste X ja Y lineaarne korrelatsioonikordaja ( , )= Omadused: 1. corr(X,Y) = corr(Y,X) 2. corr(X,X) = 1 3. -1 ≤ corr(X,Y) ≤ 1 4. Olgu a>0 ja b∈R. Siis corr(aX+b,Y) = corr(X,Y) Kovariatsiooni ja korrelatsiooni geomeetriline interpretatsioon. Skalaarkorrutis: < ⃗, ⃗ > = | ⃗|| ⃗| os( ) . < ⃗, ⃗ >; | ⃗|| ⃗|; os( ) 26. Tõestada, et lineaarse korrelatsioonikordaja puhul kehtib seos: corr( X , Y ) 1. Olgu X0 = X – E(X) ja Y0 = Y – E(Y). Lähtume triviaalsest seosest (Y0 – λX0)2 ≥ 0 ⩝λ∈R. Seega E(Y0 – λX0)2 ≥ 0 =>
ülesannet. 11. Mis on vektori projektsioon teljel ja miks seda on vaja? Vektori projektsioon teljel on skalaar. Teades nurka vektori ja telje vahel ning projektsiooni pikkust, saame arvutada vektori tõelise pikkuse cos kaudu. 12. Kuidas konstrueeritakse ühikvektor ja miks see on vajalik? Ühikvektor saadakse kui võetakse vektoriga ühtiva suunaga vektor ja mille moodul on võrdne ühega. On tihti vajaminev tegevus, et valmistada hetkel vajaliku suunaga vektorit. 13. Mis on vektorite skalaarkorrutis? Tooge kursusest kaks näidet. skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektoritevahelise nurga koosinuse korrutist N: A=F*s*cos, x=v*cos*t 14. Mis on vektorite vektorkorrutis? Joonis ja kaks näidet kursusest. tehe kahe kolmemõõtmelises ruumis asuva vektori vahel. Tulemuseks on vektor, mis on risti mõlema korrutatud vektoriga. N: A=F*s, N=F*v, (peaasi et valemis oleks kaks vektoriaalset suurust) 15. Mis on taustsüsteem
a b s.t. . c d Näide. Vektorid koordinaatidega (3; 5) ja (6; 10) on kollineaarsed, samuti on kolline- aarsed vektorid (2; 0) ja (3; 0), kuid (3; 4) ja (5; 6) ei ole kollineaarsed. © Allar Veelmaa 2014 24 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium VEKTORITE SKALAARKORRUTIS Vektorite a ja b skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite vahelise nurga koosinuse korrutist. a b a b cos Vektorite skalaarkorrutist saab rakendada näiteks töö arvutamisel füüsikas, kui kehale
Vektorid on suurused, mida iseloomustab koordinaatide ruumis siht, suund ja pikkus. Füüsikas iseloomustab vektorit veel ka ühik. Vektorid on nt • kiirus • kiirendus • samuti kõik kiiruse ja kiirenduse kaudu avalduvad suurused nagu jõud=ma • impulss=mv • impulssmoment=pxr • jõumoment=Fxr • elektriväja tugevus 117. Kuidas väljedada ortogonaalsust matemaatiliselt? vektora*vektorb=abcosalfa=0. välj, et vastavate suunavektorite skalaarkorrutis null. (ristiolevate vektorite tunnus). Seega ortogonaalsed teljed oleksid nagu kõik üksteisega risti, kuigi neid võib olla rohkem kui kolm. 118. Miks kasutavad köielkõndijad pikka ritva? See aitab paremini tasakaalu hoida. Sest pikem latt o raskem ja selle tasakaalust väljaviimiseks kulub ka rohkem jõudu. p=mv, F=mv/t=p/t. 119. Jõudu def kui: energiavälja muutumise kiirus. ühik: Üks njuuton (N) on jõud, mis annab massile üks kg kiirenduse üks m s-2. 120
cov ( X ,Y ) corr ( X , Y )= σxσ y Omadused: 1. corr(X,Y) = corr(Y,X) 2. corr(X,X) = 1 3. -1 ≤ corr(X,Y) ≤ 1 4. Olgu a>0 ja b∈R. Siis corr(aX+b,Y) = corr(X,Y) Kovariatsiooni ja korrelatsiooni geomeetriline interpretatsioon. Skalaarkorrutis: ¿ ⃗x , ⃗y >¿|⃗x||⃗y|cos ( α ) . Kovariatsioon < ⃗x , ⃗y> ; σ x σ y |⃗x||⃗y|; korrelatsioonikordaja cos ( α ) corr ( X , Y ) 1. 25. Tõestada, et lineaarse korrelatsioonikordaja puhul kehtib seos: Olgu X0 = X – E(X) ja Y0 = Y – E(Y). Lähtume triviaalsest seosest (Y 0 – λX0)2 ≥ 0 ⩝λ∈R
Jäik keha millel arvestatavad deformatsioonid puuduvad. Masspunktiks nimetatakse keha, mille mõõtmed võime arvestamatta jätta võrreldes kaugusega teiste kehadeni. 1) a + b summa 2) a - b vahe 3) a jab korrutis a *b =a * b * sin 4) a * b = a * b * cos skalaarkorrutis Taustsüsteemi, milles kehtib Newtoni I seadus, nimetatakse inertsiaalseks. Iga taustsüsteemi, mis liigub inertsiaalse suhtes ühtlaselt ja sirgjooneliselt, nimetatakse samuti inertsiaalseks. Üleminek ühelt inertsiaalsest süsteemist teise on võimalik Galilei teisenduste abil. Olgu keha asukoht määratud mistahes kordinaatidega: x;y;z. Aeg kulgeb mõlemas süsteemis ühtemoodi.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 13.5 Eukleidiline vektorruum Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 13.6 Skalaarkorrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 13.7 Vektorkorrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 13.8 Segakorrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Kontrolltöö teemad 1. Vektorite skalaarkorrutis ja selle omadused, nurk kahe vektori vahel. 2. Vektorkorrutis, segakorrutis. Nende omadused. Eksamiteemad 1. Seotud vektorid, vabavektorid. Vektori projektsioonivektor ja projektsioon vektori sihile. Eukleidiline vektorruum Rn , tema loomulik baas, vektori pikkus ruumis Rn . 2. Skalaarkorrutise mõiste. Skalaarkorrutise omadused. Skalaarkorrutise arvutamine koordinaat- kujul. Vektorite ristseisu tingimus. Kahe vektori vahelise nurga leidmine.
Erijuhul, kui tegemist on (𝑛+1)! 𝜕𝑥 𝑚 ,𝜑𝑚 〉 〈𝜑𝑚 ,𝜑𝑚〉 7. Skalaarkorrutis, norm ja kaugus. Aritmeetiline punktiruum ja vektorruum. Aritmeetiliseks punktiruumiks 𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝑓𝑥 (𝑥 + 𝜃∆𝑥, 𝑦 + 𝜃∆𝑦)∆𝑥 + 𝑓𝑦 (𝑥 + 𝜃∆𝑥, 𝑦 + 𝜃∆𝑦)∆𝑦. ortonormeeritud süsteemiga {𝜑𝑘 (𝑥)} (𝑘 ∈ 𝑁0), omandab valem kuju 𝑐𝑘 = 〈𝑓, 𝜑𝑘 〉 (𝑘 ∈ 𝑁0). Def
x-koordinaadi väärtustega ajahetkel t=0. Jõudude puudumisel või nende summa võrdumisel nulliga liigub keha ühtlaselt (muutumatu kiirusega). b) Kui jõud on konstantne (raskusjõud: , hõõrdejõud: ), on võrrandi lahendiks polünoom . Konstantse jõu korral keha kiirus kasvab või kahaneb ühtlaselt (muutumatu kiirendusega). Loeng 4 · Töö valemid: skalaarkorrutis ja joonintegraal. , kus ning tähistab vektorite vahelist nurka. Sirgliikumise ning muutumatu jõu korral saab tööd arvutada vektorite skalaarkorrutisena: . Kõverjoonelisel liikumisel või muutuva jõu korral kehtib töö valem lõpmata väikesel nihkel . Pikema liikumise korral tuleb töö leidmiseks võtta integraal:
täisarv on paaris või sammul 2 korda, massiivis) sorteerimine, kuhjaga paaritu Parallelsed ja jagatud Vektorite sisestamine, sorteerimine, timsort algoritmid väljastamine, liitmine, lahutamine ja skalaarkorrutis O(n2) O(n3) O(2n) O(n!) Ruutkeerukus Kuupkeerukus Eksponentsiaalne Faktoriaalne • Andmehulga kasvamisel 10 korda Enamasti 3 tsüklit • Kui N=10 on aeg 1000, suureneb tööaeg 100 korda. üksteise sees, mis • Suurendades N-i 20
, mille summa annab vektori A. (joon.5.). Vektori projektsioon teljel. Vektori projektsioon on skalaar. Kui suund punktis 1` punkti 2` ühtib suunaga n , loetakse projektsioon positiivseks, vastasel juhul on projektsioon negatiivne (joon.6.) Tähistatakse: vektori A projektsiooni suunal n tähistatakse An. Ühikvektor. Igale vektorile A võib seada vastavusse ühikvektori Aühik , mille suund ühtib vektori A suunaga ning moodul on võrdne ühega. Vektorite skalaarkorrutis. Töö avaldise võib esitada jõuvektori ja nihkevektori skalaarkorrutisena. Kahe vektori A ja B skalarkorruti-seks nim. skalaari, mis on võrdne nende vektorite moodulite ja nen-devahelise nurga koosinuse korrutisega. Vektorkorrutis. a*b= c , I al * l bl * sin = l cl, = a b §6.Mõõtühikute süsteemid SI ja CGS. Eksisteerib mitu süs., mis erinevad põhiühikute valiku poolest. Süsteeme, mille aluseks on pikkuse, massi ja aja ühikud, nim. absoluutseteks
Maatriksite A ja B korrutamisel tuleb leida maatriksi A reavektorite skalaarkorrutised maatriksi B veeruvektoritega. Seepärast tutvume algul rea- ja veeruvektorite skalaarkorrutisega. Kui on antud reavektor A ja veeruvektor B b11 A ' (a11 a12 a13 ) B ' b21 b31 siis nende vektorite skalaarkorrutis on A B ' a11 b11 % a12 b21 % a13 b31 Skalaarkorrutise leidmisel korrutatakse reavektori elemendid vastavate elementidega veeruvektorist ja saadud korrutised liidetakse. Näiteks MAJANDUSMATEMAATIKA I Maatriksid 63 12 1
30 < x, y >=< y, x > iga x, y ∈ X korral; 40 < cx, y >=< x, cy >= c· < x, y > iga c ∈ R ja x, y ∈ X korral; 0 5 < x + y, z >=< x, z > + < y, z > iga x, y, z ∈ X korral. Siis saab ruumis X defineerida normi ja meetrika v˜orduste- ga √ √ x = < x, x >, d(x, y) = x − y = < x − y, x − y >, mis omakorda tekitavad hulgal X topoloogia. N¨aide 2.5 Aritmeetilises ruumis Rn defineeritakse tavali- selt skalaarkorrutis v˜ordusega < x, y >= x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn , kus x = (x1 ; ...; xn ), y = (y1 ; ...; yn ), 20 ¨ 2 UMBRUSED ja vaadeldakse sellega tekitatud topoloogiat. Saadud topoloo- gia langeb juhul n = 1 kokku n¨aites 2.1 kirjeldatud topoloo- giaga. Kui ei ole ¨oeldud teisiti, siis vaadeldes n¨aidetes 2.1-2.5
Esmalt arvutame selle punkti kiirusvektori v kui kohavektori esimese ajalise tuletise, kasutades liitfunktsiooni tuletise arvutamise eeskirja: ( r r r r ) v (t ) = r& (t ) = ωr − i sin(ωt ) + j cos(ωt ) . r r (2.13) Et vektori v skalaarkorrutis vektoriga r võrdub nulliga (kontrollida iseseisvalt!), siis on ka tõestatud, et kiirusvektor on pöördliikumisel trajektoori raadiusega risti. Kiirusvektori tuletis aja järgi annab kiirendusvektori: ( ) r r r r a (t ) = −rω 2 i cos(ωt ) + j sin(ωt ) = −ω 2 r . (2.14) Et suurus ω on positiivne, siis viimasest valemist järeldub, et ühtlasel pöördliikumisel on
1. LOENG Sissejuhatus Lausearvutus: Teoreemid sõnastatakse tavaliselt kujul: ,,Kui A, siis B". Teoreemi osa A, mis on seotud sõnaga kui, nimetatakse teoreemi eelduseks, ja osa, mis on seotud sõnaga siis, väiteks. Näide: Kui kaks vektorit on risti, siis nende vektorite skalaarkorrutis on null. Näide: Kui nurgad on kõrvunurgad, siis nende summa on 180o. Teoreemi tõestamine tähendab selle näitamist, et eeldusest A järeldub väide B. Tõestamisel lähtutakse aksioomidest ja varem tõestatud teoreemidest. Vahetades teoreemis ,,Kui A, siis B" eelduse ja väite, saame lause ,,Kui B, siis A". Seda lauset nimetatakse antud lause pöördlauseks. Kui lause kehtib, siis selle lause pöördlause ei pruugi kehtida.
- mis on loomulik, sest vektor s1 = (1; 1) on gradiendi suunaline. Teoreem 2. Gradient on risti nivoojoone puutujaga. T~oestus. Kahe muutuja funktsiooni z = f (x, y) graafiku nivoojoone pro- jektsioon xy-tasandil on f (x, y) = c. Nivoojoone puutuja suunaline vektor f 1 on - s = 1; - x = (fy , -fx ) ja gradiendi ning puutuja suunalise vek- fy fy tori skalaarkorrutis grad z · - s = fx fy - fy fx = 0, st gradient on nivoojoone puutujaga risti. J¨areldusest 1 saame n¨ uu ¨d. J¨areldus 3. Funtksiooni tuletis nivoojoone puutuja suunas v~ordub nul- liga. Eelmise punkti n¨aites 1 antud vektor -s2 on nivoojoone puutuja suunaline, seega on loomulik, et tuletis selle vektori suunas v~ordub nulliga. 6.12 Kahe muutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemu- mid ¨
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
