ta asub arvsirgel neist vasakul. Kahest negatiivsest arvust on suurem see, mille absoluutväärtus on väiksem. Näited -4 > -6, sest | -4 | = 4 < 6 = | -6 | ; -0,5 < 0, sest iga negatiivne arv on nullist väiksem; -1000 < 10, sest iga negatiivne arv on väiksem igast positiivsest arvust. algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Tehted negatiivsete ja erimärgiliste arvudega (I) Tähistagu sümbolid a ja b positiivseid reaalarve ( a > 0 ja b > 0). Siis sooritatakse aritmeetilised tehted nendega järgnevate eeskirjade kohaselt. Reegel Näide 1. (a) (b) a b, kui a b. (10) (3) 10 3 7 2. (a) (b) (b a), kui a b. (1) (8) (8 1) 7 3. (a) (b) (a b). (2) (7) (2 7) 9 4. (a) (b) (a) (b) (a b). (9) (4) (9 4) 36 5. (a) (b) (a) (b) a b
Q N Z Et iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise ja irratsionaalarv lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, siis võime öelda, et iga reaalarv avaldub lõpmatu kümnendmurruna. Igale reaalarvule vastab üks punkt arvsirgel ja vastupidi. Kahest reaalarvust loetakse suuremaks see, millele vastav punktarvsirgel asub teisega võrreldes positiivses suunas. Nullist suuremaid reaalarve nimetatakse positiivseteks, nullist väiksemaid negatiivseteks. Iga nullist erineva reaalarvu a korral nimetatakse reaalarve a ja a teineteise vastandarvudeks ning a ja 1 teineteise pöördarvudeks. A Reaalarvude hulga omadusi: · Reaalarvude hulk R on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv. · Reaalarvude hulk R on pidev arvuhulk, s.t. need arvud katavad kogu arvtelje.
(5-3i)(2+7i) = (52 - (-3)7) + (57 +(-3)2)i = 31 + 29i Kompleksarvude jagamisel laiendame jagatavat ja jagajat jagaja kaaskompleksarvuga (4 + 3i ) (4 + 3i )(5 - 2i ) 26 + 7i 26 7 ( 4 + 3i ) : (5 + 2i ) = = = = + i (5 + 2i ) (5 + 2i )(5 - 2i ) 29 29 29 Kompleksarvu geomeetriline esitus: Kompleksarve ei ole võimalik kujutada ühel teljel nii nagu reaalarve, kuna omab nii reaal- kui ka imaginaarosa (mõlemad reaalarvud). Seega kujutame siis teljestikus (x;y). Nimetame teljestikule vastavat tasandit komplekstasandiks. Telgi vastavalt: Reaaltelg ja (x-telg) Imaginaartelg (y-telg) Kompleksarvu moodul: Kompleksarvule vastava punkti kaugust komplekstasandi nullpunktis nimetame kompleksarvu mooduliks. Punktile P vastava kompleksarvu moodul z = 2 2 + 32 = 13 Ehk üldkujul: kompleksarvu a+bi moodul on z = a2 + b2
milles on eristatavad read ja veerud. Maatriksit, milles on m rida ja n veergu, nimetatakse täpsemalt (m, n)-maatriksiks. Maatriksi mõõtmed Arvupaari (m, n) nimetatakse selle maatriksi mõõtmeteks. Maatriksi järk Ruutmaatriksit mõõtmetega (n, n) nimetatakse ka n-järku maatriksiks. Kui on ruutmaatiks, siis näitab mitu rida ja veergu maatriksil on. Näiteks kolmandat järku ruutmaatriksil on 3 rida ja 3 veergu. Maatriksi elemendid Reaalarve, milledest maatriks koosneb, nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksite elemente tähistatakse vastavate väikeste ladina tähtedega, mis võivad olla varustatud ka indeksitega: a, b, c.. Maatriksi ja maatriksite hulga tähistused Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega A, B, . . . , X, Y, Z. Kõigi (kõikvõimalike mõõtmetega) maatriksite hulka tähistame Mat abil ning kõigi (m, n)-maatriksite hulka tähistame Mat(m, n) abil. Maatriksite liigid:
Tehted maatriksitega: Liitmine [aij]+-[bij]=[aij+-bij], Skalaariga korrutamine k[aij]=[kaij], Korrutamine Am·n·Bn·p=Cm·p, Reaalarve, milledest maatriks koosneb, nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksiks nimetatakse ¨umarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on ristatavad read ja veerud. Maatriksit, mille ridade arv on v~ordne veergude arvuga, s.t. m = n, nimetatakse ruutmaatriksiks. Maatriksit, mille ridade arv erineb veergude arvust, s.t. m 6= n, nimetatakse ristk¨ulikmaatriksiks. Ruutmaatriksit m~o~otmetega (n, n) nimetatakse ka n-j¨arku maatriksiks
abil. 1. Igast mittenegatiivsest arvust saab leida n-nda juure. See juur on alati mittenegatiivne. 1 1 0; Näited 5 32 2 0; 3 0 0 0; 1 1. 2. Negatiivsel arvul ei ole paarisarvulise juurijaga juurt. Näited paarisarv 4 16, 1 - selliseid reaalarve ei ole. paaritu arv 3 8 2. algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Juure omadused (II) 3. Igal negatiivsel arvul on paarituarvulise juurija korral parajasti üks juur, mis on samuti negatiivne. Näited 5 32 2 0; 3 0,001 0,1 0; 103
Uuritakse, mis ülesande lahendamine taandub teisele ülesandele Uuritakse lahendumist, poollahendumist, kreatiivseid hulki jne jne Uuritakse lõpmatuse struktuuri, mis on kirjeldamatult keeruline Uuritakse lahendumise struktuuri, mis on kirjeldamatult keeruline Uuritakse loogikaklasside lahendumise taandumist muudele ülesannetele Kuidas lahendamatust näidata (plaan): Näitame, et algoritme on sama palju, kui täisarve (lihtne) Näitame, et probleeme on vähemalt sama palju, kui reaalarve (veidi keerulisem) Näitame, et reaalarve on lõpmatult rohkem kui täisarve (Cantori üks teoreeme) Cantori teoreem ütleb üldisemalt, et mingi hulga H kõigi alamhulkade hulk on suurema võimsusega kui see hulk H. Poollahenduvus Olgu ülesandeks tuvastada, kas täisarv X kuulub mingisse lõpmatusse täisarvude alamhulka H. Mõne H jaoks on ülesanne lahenduv: näiteks, kui H on paarisarvude hulk, kui H on algarvude hulk jne,
Arvuta, kui mitme protsendi võrra on arv 24 x= väiksem arvust 32: = 25 Leiame nende arvude vahe:24 x 32-24=8 96 32 - 100% 8-x% 32 100 8 100 = x= = 25 8 x 32 Teeme ülesanded. Arvtelje erinevad piirkonnad Reaalarve võime kujutada punktidena arvteljel. Reaalarvude hulga pidevuse tõttu vastab arvtelje igale punktile parajasti üks reaalarv. Seega võime öelda, et reaalarvude hulk ja arvtelje punktide hulk on üksüheses vastavuses. Valime arvteljelt kaks suvalist reaalarvu a ja b nii, et oleks a < b. Need arvud jaotavad arvtelje kolmeks osaks e piirkonnaks. x x Sellised piirkonnadb kujunevad endast
· C-sümbolid a,b,c,d jne. C-sümbol tähistab vaadeldava hulga mingit kindlat elementi. · Funktsionaalsümbolid f,g,h jne. Need tähistavad vaadeldaval hulgal määratud f-oone. Pannes mitmesugused väiteid kirja pvalemiga, võivad väidete tüübist sõltumatud sümbolid, nagu ltehtemärgid, kvantorid, sulud ja indiviidmuutujad, esineda ükskõik millistes valemites, olgu siis tegemist valemitega, mis puudutavad naturaal-,reaalarve, vektoreid, alamhulki või muid objekte. Seevastu C-,funktsionaal- ja predikaatsümbolid võivad teooriati erineda. Tihtipeale fikseeritakse need kolm sübmolite klassi eelnevalt ning lubatakse valemites kasutada ainult sümboleid, mis kuuluvad kindlasmääratud klassidesse. Kolmikut =< ; ; >, kus C on Csümbolite, F funktsionaalsümbolite ja P predikaatsümbolite hulk, nim signatuuriks. Signatuuri interpretatsioonid (algebralised süsteemid, mudelid).
teostada ei saa, füüsika üldjuhul nendega ei tegele), • - järjestatavad omadused (saab omistada järjenumbri, rangelt võttes ei saa ka füüsikaliste suuruste abil kirjeldada, matemaatilisi mudeleid rakendada ei anna), Füüsikalised objektid ja suurused • - kvantitatiivsed diskreetsed omadused (täpsed arvud, võimalikud ainult kindlad väärtused, kirjeldab füüsikaline suurus) • - kvantitatiivsed pidevad omadused (lõpmatu arv täpseid reaalarve, kirjeldab pidev füüsikaline suurus). • Füüsikalisteks suurusteks nimetatakse looduse üldisi mudeleid, mis kirjeldavad füüsikaliste objektide kvantitatiivseid omadusi. Füüsikalised objektid ja suurused • Füüsikalised suurused: • - skalaarsed (esitatav vaid ühe mõõtarvu ja mõõtühikuga, arvuline väärtus, suund puudub) Füüsikalised objektid ja suurused • - vektoriaalsed (ruumilist suunda ja sihti
3. Lahendubus Eksammatemaatilises Eksammõttes Eksam- EksamInfot on piisavalt: meil on olemas kõik vajalikud aksioomid / programm / täpne ülesanne ja juhuslikkust ei ole Positiivsete täisarvude, positiivsete/negatiivsete ja murdarvude võimsuse Eksamvõrdlemine Eksamja Eksamtõestamine. Reaalarvude Eksamsuurem Eksamvõimsus Eksamkui Eksamtäisarvude Eksamvõimsus (Cantori Eksamteoreem): tõestuse idee. – Vastavusse pannes on reaalarve rohkem kui täisarve, ehkki murdarve saab vastavusse panna täisarvudega Mis on peatumisprobleem, selle lahendamatuse tõestuse idee. - Olgu ülesandeks tuvastada, kas täisarv X kuulub mingisse lõpmatusse täisarvude alamhulka H. paneme X-le vastava programmi käima ja kui ta peatub, siis loomulikult teame, et ta kuulub hulka H. Kui ta aga ei peatu, siis meil ei ole kindlat viisi aru saada, et ta ei kuulu hulka H. Peatumisprobleem on poollahenduv.
Ratsionaalarvude hulk Q · on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim, kui ka suurim arv · on tihe arvuhulk, kuid ka need arvud ei kata kogu arvtelge · on hulk, mis on kinnine liitmise, korrutamise, lahutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes Reaalarvude hulk R · on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim, kui ka suurim arv · on tihe arvuhulk, iga kahe reaalarvu vahel paikneb alati veel reaalarve · on pidev, s.t need arvud katavad kogu arvtelje · on hulk, mis on kinnine liitmise, korrutamise, lahutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Ruutjuur mittenegatiivsest reaalarvust on alati reaalarv. 1.4 Põhitehted reaalarvudega ja nende omadused · Kommutatiivsus e vahetuvus: a+b=b+a, ab=ba · Assotsiatiivsus e ühenduvus: a+(b+c)=(a+b)+c, a(bc)=(ab)c · Korrutamise distributiivsus e jaotuvus liitmise suhtes: a(b+c)=ab+ac
leidub, on lõpmatult väike! Intuitiivne seletus lahendamatusele Saab näidata, et erinevaid probleeme on lõpmatult rohkem, kui erinevaid algoritme. Kuna probleeme on lõpmatult rohkem kui algoritme, siis iga probleemi jaoks lihtsalt “ei jätku” lahendavat algoritmi. Kuidas seda näidata (plaan): Näitame, et algoritme on sama palju, kui täisarve (lihtne) Näitame, et probleeme on vähemalt sama palju, kui reaalarve (veidi keerulisem) Näitame, et reaalarve on lõpmatult rohkem kui täisarve (Cantori üks teoreeme) Loeng 14 Tehisintellektinduse “suur eesmärk” ehk „strong AI“ on päriselt intelligentse masina ehitamine: riistvara + tarkvara Tehisintellektinduse “filosoofiline eesmärk” on saada paremini aru mõistuse (sh inimese ja loomade) funktsioneerimise põhimõtetest üldse.
MAATRIKS: Maatriks nimetatakse ümarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on eristatavad read ja veerud. Maatriksi mõõtmed Maatriksit, milles on m rida ja n veergu nimetatakse täpsemalt (m,n)- maatriksiks ning arvupaari (m,n) selle maatriksi mõõtmeteks. Maatriksi järk Omadus, mis esineb ainult ruutmaatriksil: Näiteks Mat(n,n) nim. n-järku maatriksiks. Maatriksi elemendid nimetatakse reaalarve, milledest maatriks koosneb. Maatriksi ja maatriksite hulga tähistused Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega: A, B,....X, Y, Z. Maatriksite elemente tähistatakse vastavate väikeste ladina tähtedega, mis võivad olla varustatud ka indeksitega: a, b, c, jne. Kõigi (kõikvõimalike mõõtmetega) maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat abil ning kõigi (m, n)-maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat(m, n) abil.
Kõigi reaalarvude hulga tähistame sümboliga R. Iga lõplikku kümnendmurdu a= , 12 ...n saab esitada lõpmatu kümnendmurruna kahel viisil: a = , 12 ...n 00... või a = , 12 ...(n -1)99... . Edaspidi välistame kümnendmurru esitamise kujul, mis lõpeb numbriga 9 perioodis. See eeldus võimaldab hõlpsamini defineerida reaalarvude võrdlemise eeskirjad. Seega reaalarvudeks nimetame kõiki lõpmatuid kümnendmurde, mis ei lõpe numbriga 9 perioodis. Reaalarvude võrdlemine Reaalarve a = , 12 ...n ... ja b = , 1 2 ...n ... nimetame võrdseteks, kui a = b, i = i , i = 1,2, .... Ütleme, et reaalarv a on suurem kui reaalarv b (ehk b on väiksem kui a), kui a > b või leidub k 1, nii et a = b, 1 = 1, ..., k -1 = k -1 , k > k. Reaalarv a on määratud, kui on teada eeskiri tema täiskoha ja iga kümnendkoha leidmiseks. Praktikas kasutatakse irratsionaalarvude asemel nende ratsionaalarvulisi lähendeid. 2. Reaalarvude hulga ülemine ja alumine raja
Kuna probleeme on lõpmatult rohkem kui algoritme, siis iga probleemi jaoks lihtsalt ei jätku lahendavat algoritmi. Probleeme ei saa olla rohkem kui täisarve (st on sama palju või vähem): Iga Pythoni programm on string (aga iga string ei ole Pythoni programm). Iga string koosneb järjestikustest baitidest, iga bait vahemikus 0-255. Iga string vastab ühele täisarvule. St Pythoni programme ei saa olla rohkem kui täisarve. Probleeme on sama palju kui reaalarve: Reaalarv on arv, kus koma järel võib olla kuitahes palju komakohti. Kahendsüsteemis reaalarvul on iga number kas 0 või 1.“yes“ või „no“ lahendus: Iga kahendsüsteemis reaalarv alla ühe vastab ühele probleemile, seega võib neid olla lõpmatult. Positiivsete+negatiivsete täisarvude hulk (N) on kaks korda suurem kui positiivsete täisarvude hulk (Z) ???? Hulgad on sama võimsad: Kui saad panna üksühesesse vastavusse. Igale A elemendile
Arengulugu imaginaarajas arvutuste tegemiseks. Et kirjeldada seda, kuidas kvantteooria kujundab aega ja ruumi, on kasulik tuua sisse imaginaaraja mõiste. Imaginaarne aeg see kõlab muidugi ilmeliselt, kuid on tegelikult täpselt defineeritud matemaatiline mõiste : imaginaararvudes Arengulugu reaalajas mõõdetav aeg. Tavalisi reaalarve nagu 1, 2, - 3, 5 jne. võime kujutleda kui punkte sirgel, mis kulgeb vasakult paremale ja millel nulli kujutis asetseb keskel, positiivsed reaalarvud on sellest paremal, negatiivsed vasakul. Täpselt samuti võib imaginaararve kujutleda püstsirge punktidena: null jällegi keskel, positiivsed imaginaararvud nullist ülalpool, negatiivsed allpool (joon. 2.8). Joon. 2. 8
ka vastupidi. Pigem on nad ühe ja sama teooria erinevad väljendusvormid, seejuures kumbki sobivam teatavate erinevate arvutuste tegemiseks. Et kirjeldada seda, kuidas kvantteooria kujundab aega ja ruumi, on kasulik tuua sisse imaginaaraja mõiste. Imaginaarne aeg see kõlab muidugi ilmeliselt, kuid on tegelikult Arengulugu reaalajas täpselt defineeritud matemaatiline mõiste : imaginaararvudes mõõdetav aeg. Tavalisi reaalarve nagu 1, 2, - 3, 5 jne. võime kujutleda kui punkte sirgel, mis kulgeb vasakult paremale ja millel nulli kujutis asetseb keskel, positiivsed reaalarvud on sellest paremal, negatiivsed vasakul. Täpselt samuti võib imaginaararve kujutleda püstsirge punktidena: null jällegi keskel, positiivsed Joon. 2. 8 imaginaararvud nullist ülalpool, negatiivsed allpool (joon. 2.8)
Nullgraaf o DEF: Nullgraafiks nimetatakse graafi, milles pole ühtegi serva. Täiendgraaf o DEF: Graafi G täiendgraafiks nimetatakse graafi G’, millel on sama tippude hulk nagu graafil G, aga servaga on ühendatud parajasti need tipud, mille vahel graafis G serv puudub. Kaalutud graaf o DEF: Rakendustes on sageli vaja graafe, mille igale servale (või tipule) on vastavusse seatud üks reaalarv. Sellist graafi nimetatakse kaalutud graafiks ning vastavaid reaalarve kaaludeks. Intsidentsus o Kui tipp v kuulub servale e, siis ütleme, et tipp v ja serv e on intsidentsed. o Iga serv on intsidentne täpselt kahe tipuga, serva otstipuga. Kui serv e ühendab tippe u ja v, siis märgime seda ka tähisega e = {u,v} või e = uv. Naabertipud o DEF: Naabertipud on need tipud, mis on servaga ühendatud. Graafi naabrusmaatriks 31 o Olgu G = (V, E) graaf tippude hulgaga V = {v1, …, vn}.
vaheline kaugus d (P, Q ) valemiga d (P, Q ) = (x - y i ) , siis nimetatakse seda ruumi 2 i i =1 m-mõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks ja tähistatakse R m . Süsteemi P = ( x1 ,..., x m ) nimetatakse ruumi R m punktiks ning reaalarve xi (1 i m ) punkti P koordinaatideks. Fikseerime punkti A = ( x1 ,..., x m ) R m ja reaalarvu r > 0 . { } Def. Hulka B( A, r ) = P R m : d (P, A) < r nimetatakse lahtiseks keraks ruumis R m . Def. Hulka B ( A, r ) = {P R m : d (P, A) r} nimetatakse kinniseks keraks ruumis R m .
(substr "abcde" 3 6) annab tulemuseks "cde" Lausega (strcase sõne tunnus) teisendatakse sõne suur- või väiketäheliseks: tunnuse ole- masolul väiketäheliseks, puudumisel (või kui see on nil) aga suurtäheliseks). Näiteks (strcase "Üüratu Lõpp" T) annab tulemuseks "üüratu lõpp" (strcase "Üüratu Lõpp") annab tulemuseks "ÜÜRATU LÕPP" Järgnevalt käsitletakse mõningaid tüübiteisendusi: täis- ja reaalarve sõnedeks ja vastupidi (täisarvu ja reaalarvu omavahelisi teisendamisi käsitleti juba varasemalt (vt. lk. 41). Lause (itoa täisarv) teisendab täisarvu sõneks. Näiteks (itoa 33) annab tulemuseks "33" (itoa 17) annab tulemuseks "17" Lausega (rtos reaalarv kirjapilt täpsus) teisendatakse reaalarve sõnedeks. Täisarvulised parameetrid "kirjapilt" ja "täpsus" on seotud vastavalt käsu `UNITS dialoogakna loendi-
Arvupaari (m, n) nimetatakse selle maatriksi m~ o~ otmeteks. Definitsioon 1.3. Maatriksit, millel on ridade ja veergude arv v~ordne, s.o. m=n, nimetatakse ruutmaatriksiks. Maatriksit, millel ridade ja veer- gude arv on erinev, s.o. m = n, nimetatakse ristk¨ ulikmaatriksiks. Ruut- maatriksit m~ o~ otmetega (n, n) nimetatakse ka n-j¨ arku maatriksiks. Definitsioon 1.4. Reaalarve, millest maatriks koosneb, nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksi kirjapanekuks t¨ahistame tema elemente v¨aikese p~ohit¨ahega, n¨aiteks t¨ahega a, mis on varustatud kahe indeksiga. Neist esimene u ¨tleb mitmendas reas ja teine mitmendas veerus see element maatriksis asub. N¨aiteks (m, n)-maatriks n¨aeb v¨alja j¨argmine a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n
Näiteks , , . 4 1 6 Kokkuvõttes ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ. Arvu, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, nimetatakse irratsionaalarvuks. Näiteks 3 , 4 + 2 . Kõigi irratsionaalarvude hulga tähis on I. Kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud koos moodustavad reaalarvude hulga ℝ . Seega ℚ ∪ I. = ℝ . Reaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise (v.a. jagamine nulliga) suhtes. Reaalarve saab kujutada arvtelje punktidena. Arvtelg on lõpmatu sirge, millel on valitud nullpunkt, positiivne suund ja pikkusühik. Kõigi reaalarvude ja arvtelje kõigi punktide vahel on üksühene vastavus. Reaalarvude hulga omadus: iga kahe suvalise reaalarvu vahel leidub nii ratsionaal- kui ka irratsionaalarve. 2 2. ARITMEETIKA 2.1 Mõningate arvude kõrgemad astmed
Arvupaari (m, n) nimetatakse selle maatriksi m˜ o˜ otmeteks. Definitsioon 1.3. Maatriksit, millel on ridade ja veergude arv v˜ordne, s.o. m=n, nimetatakse ruutmaatriksiks. Maatriksit, millel ridade ja veer- gude arv on erinev, s.o. m = n, nimetatakse ristk¨ ulikmaatriksiks. Ruut- maatriksit m˜ o˜ otmetega (n, n) nimetatakse ka n-j¨ arku maatriksiks. Definitsioon 1.4. Reaalarve, millest maatriks koosneb, nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksi kirjapanekuks t¨ahistame tema elemente v¨aikese p˜ohit¨ahega, n¨aiteks t¨ahega a, mis on varustatud kahe indeksiga. Neist esimene u ¨tleb mitmendas reas ja teine mitmendas veerus see element maatriksis asub. N¨aiteks (m, n)-maatriks n¨aeb v¨alja j¨argmine a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n
sama arvu, mis enne. Samamoodi on üks isemoodi, sest korrutades ükskõik mis arvu ühega jääb see arv samaks ning ühe kõik astmed on tema endaga võrdsed. Ajalooliselt on mainimist väärt arvuks kindlasti ka , mis näitas, et ratsionaalarvu- dest pole maailma kirjeldamiseks sugugi küllalt [lk 87]. Miks mitte välja tuua ka imaginaararvu , mille abil laiendasime reaalarve komp- leksarvudele [lk 89] või iluideaaliks loetud kuldlõike arvu [lk 135]. Käesolevas peatükis räägime aga pikemalt kahest teisest põnevast ja kuulsast arvust, millest ei saa üle ega ümber ka koolimatemaatikas. Tutvustame tegelasi: ja e. Arv seostub kõigile meile ilmselt ringjoonega. Nii alustamegi arvuga tutvumist väikese mõtisklusega ringjoonest
ülesandele .Uuritakse lahendumis, poollahendumist, kreatiivseid hulki jne jne .Uuritakse lõpmatuse struktuuri, mis on kirjeldamatult keeruline .Uuritakse lahendumise struktuuri, mis on kirjeldamatult keeruline .Uuritakse loogikaklasside lahendumise taandumist muudele ülesannetele ..... ITK 2007, Kalev Pihl Sissejuhatus informaatikasse 25 Intuitiivne selgitus lahendamatusele •Selleks näitame: .Algoritme on sama palju, kui täisarve .Probleeme on sama palju reaalarve .Reaalarve on rohkem kui täisarve ITK 2007, Kalev Pihl Sissejuhatus informaatikasse 26 Kui palju on algoritme? •Iga algoritmi saab realiseerida mingis programmeerimiskeeles –valime näiteks C •Iga C programm on sisuliselt string •String omakorda on teatud kahendarv, mis teisendatult on kümnendsüsteemi täisarv •Iga täisarv loomulikult ei presenteeri üht algoritmi, küll aga vastupidi •Saab näidata, et probleemide hulk on samas suurusjärgus reaalarvude hulgaga
Analoogselt alumise täisosaga saab ka tõestada, et igal reaalarvul on olemas üheselt määratud ülemine täisosa. Järeldus 1.24 inf 1 n | n ∈ N = 0. Tõestus. Archimedese printsiibi kohaselt saab iga ε > 0 jaoks leida niisuguse n ∈ N, et 1 n > ε ehk n < ε. Seega inf n1 | n ∈ N = 0. 1 Lihtne on veenduda, et iga kahe reaalarvu vahel leidub veel reaalarve (selgitada!)z. Te- gelikult kehtib järgmine tugevam väide, mis ütleb, et nii ratsionaalarvud kui ka irratsionaal- arvud paiknevad reaalarvude hulgas R tihedalt. Teoreem 1.25 Olgu a ja b niisugused reaalarvud, et a < b. (a) Leidub selline ratsionaalarv r, et a < r < b. (b) Leidub niisugune irratsionaalarv ρ, et a < ρ < b. 1 Tõestus. (a) Kuna a < b, siis b−a
divisionis). Liigituse alus (criterion, ld fundamentum divisionis) on tunnus (tunnused), mida ühed liigid omavad ja teised mitte. Alaliigitus on liigituse liikmete edasiliigitamine alaliikideks, kusjuures liike käsitletakse sooterminitena alaliikide suhtes. 17 Taksonoomilise liigituse erijuhtum on dihhotoomiline liigitus, mille käigus jagatakse termin mingi tunnuse alusel kaheks vasturääkivaks terminiks. Liigitus võib olla mitmeastmeline. Nt reaalarve saab liigitada irratsionaalarvudeks ning ratsionaalarvudeks, ratsionaalarve omakorda murdarvudeks ja täisarvudeks, täisarve omakorda naturaalarvudeks ning mittenaturaalarvudeks (kusjuures täisarvude jaotus on kahe-tähenduslik, sest arv null liigitatakse mõnikord naturaalarvude hulka, mõnikord mitte). Liigitada saab ka mittetaksonoomiliselt. Tuntuim mittetaksonoomiline liigitus on mereoloogiline liigitus. Mereoloogilise liigituse korral liigitatakse tavaliselt koguterminit ning
ühed liigid omavad ja teised mitte. Alaliigitus on liigituse liikmete edasiliigitamine alaliikideks, kusjuures liike käsitletakse sooterminitena alaliikide suhtes. 17 Taksonoomilise liigituse erijuhtum on dihhotoomiline liigitus, mille käigus jagatakse termin mingi tunnuse alusel kaheks vasturääkivaks terminiks. Liigitus võib olla mitmeastmeline. Nt reaalarve saab liigitada irratsionaalarvudeks ning ratsionaalarvudeks, ratsionaalarve omakorda murdarvudeks ja täisarvudeks, täisarve omakorda naturaalarvudeks ning mittenaturaalarvudeks (kusjuures täisarvude jaotus on kahe-tähenduslik, sest arv null liigitatakse mõnikord naturaalarvude hulka, mõnikord mitte). Liigitada saab ka mittetaksonoomiliselt. Tuntuim mittetaksonoomiline liigitus on mereoloogiline liigitus. Mereoloogilise liigituse korral liigitatakse tavaliselt koguterminit ning
annaabi.ee 
