Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Matemaatika". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
nõgus, kumer, asümptoot, võrduma, korrutiseks, määramispiirkond, katkevuskohad, nullkohad, kumerus, nõgusus, graafik, käänukoht, käänukohad, algv, asümptoodid, muutuja, positiivsuspiirkond, negatiivsuspiirkond, ekstreemumkohad, ekstreemumpunktid, käänupunkt, kumeraksesmaspäev, 3. veebruar 2014. a 1. Määramispiirkond 7. Kasvamis ja X kahanemisvahemiku 2. Kas funktsioon on paaris- d X või ja X paaritu? 8. Käänukohad Xk 3. Perioodilisus 9. Kumerus- ja 4. Nullkohad Xo nõgususvahemikud X ja X 5. Positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad 10. Asümptoodid X ja X + - 11. Toetudes andmetele 6. Ekstreemumkohad skitseerime graafiku Xe Funktsiooni määramispiirkonnaks on kõikide selliste muutuja x väärtuste hulk, mille korral saab funktsiooni väärtust y arvutada Tavaliselt reaalarvude hulk Erandid:
1. Mis on funktsioon? Mis on sõltumatu muutuja, sõltuv muutuja? Kui hulga X igale elemendile x on seatud vastavusse kindel element y hulgast Y. sõltumatu muutuja ehk argument, sõltuv muutuja ehk funktsiooni väärtus 2. Mis on funktsiooni määramispiirkond muutumispiirkond? Mis on funktsiooni loomulik määramispiirkond? Määramispiirkond - argumendi x selliste väärtuste hulk, mille korral on võimalik funktsiooni f(x) väärtust välja arvutada. Muutumispiirkond - muutumispiirkonna Y all mõeldakse funktsiooni kõikvõimalike väärtuste hulka. loomulik määramispiirkond - Argumendi väärtuste hulk, mille korral funktsiooni määrav eeskiri on rakendatav. 3. Millised on funktsiooni põhilised esitusviisid? Graafikuna, tabelina, analüütiline 4. Mis on funktsiooni graafik?
Teooriaküsimused nr. 1 1) Mis on funktsioon? Mis on sõltumatu muutuja, sõltuv muutuja? Eeskirja, mis seab sõltumatu muutuja igale väärtusele vastavusse sõltuva muutuja mingi ühe kindla väärtuse, nimetatakse funktsiooniks. Sõltuv muutuja - Valemis muutuja, mille väärtus sõltub ühest või enamast teisest muutujast. Sõltumatu muutuja - Valemis iga muutuja, mille väärtus ei sõltu ühestki teisest muutujast. 2. Mis on funktsiooni määramispiirkond muutumispiirkond? Mis on funktsiooni loomulik määramispiirkond? Funktsiooni määramispiirkond - valemina antud funktsiooni argumendi x selliste väärtuste hulk, mille korral on võimalik funktsiooni f(x) väärtust välja arvutada. Funktsiooni muutumispiirkond - muutuja y kõigi väärtuste hulk. Funktsiooni loomulik määramispiirkond argumendi väärtuse hulk, mille korral funktsiooni määrav eeskiri on rakendatav- 3. Millised on funktsiooni põhilised esitusviisid?
on kujul dy=f'(x)dx siis dy/dx=f'(x). Seega võrdub funktsiooni tuletis funktsiooni diferentsiaali ja argumendi jagatisega. Joone puutuja ja normaal Normaalik punktis M0 nimetakse sirget, mis läbib punkti M0 ja on risti puutujaga. Puutuja tõus k=tana on võrdne funktsiooni y tuletisega argumendi väärtusel x0 Funktsiooni uurimine Funktsiooni uurimise all mõistetakse, et tuleb leida kõik või osad järgnevatest funktsiooni iseloomustavatest suurustest (punktid, piirkonnad jne). 1. Määramispiirkond (so nende x väärtuste hulk, millas funktsiooni avaldis on arvutatav). 2. Nullkohad, so graafiku lõikepunktid x teljega (f(x)=0). 3. Graafiku sümmeetrilisus koordinaattelgede ja nullpunkti suhtes: f(-x) = f(x) paarisfunktsioon, sümmeetriline y telje suhtes; f(-x) = -f(x) paaritu funktsioon, sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes; 4. Positiivsus- ja negatiivsuspiirkond: f(x) > 0 - positiivsuspiirkond;
ja neid punkte, kus funktsiooni tuletis puudub, nimetatakse funktsiooni y = f (x) kriitilisteks punktideks. Kui vahemikus A = (a; b) punktid x1 < x2 < ...< xn on funktsiooni ainukesed kriitilised punktid, siis vahemikes (a; x1), (x1; x2) , ..., (xn ; b) säilitab funktsiooni tuletis märki. 5 Näide Leida funktsiooni y = |x2 4| monotoonsuse (kasvamis- ja kahanemis-) piirkonnad. Funktsiooni määramispiirkond: X = (-; + ) x 2 - 4, kui x -2; 2 x, kui x -2; y = - ( x 2 - 4), kui - 2 < x < 2 y ' = - 2 x, kui - 2 < x < 2 x 2 - 4, kui x 2. 2 x, kui x 2. Kriitilised punktid: statsionaarne punkt: y '= 0 y ei eksisteeri, kui x = ±2. x = 0. Näeme, et punktides 2 ja -2 ei ole funktsioon y´ pidev ja
TEOORIAKÜSIMUSED nr 1 1. Mis on funktsioon? Mis on sõltumatu muutuja? Mis on sõltuv muutuja? Funktsioon on eeskiri, mis määrab seose, kus igale elemendile hulgast X on vastavusse seatud üks elemented hulgast Y. Sõltumatu muutuja on x ehk argument. Sõltuv muutuja on y. 2. Mis on funktsiooni määramispiirkond, muutumispiirkond? Mis on funktsiooni loomulik määramispiirkond? Hulka X nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks. Hulka f(X)={ y e Y: leidub x e X, nii et f(x)=y} nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks. Hulk Y. Funktsiooni loomulik määramispiirkond on argumendi väärtuste hulk, mille korral funktsiooni määrav eeskiri on rakendatav. 3. Millised on funktsiooni põhilised esitusviisid? Põhilised esitusviisid: valemi abil, graafiku alusel, tabeli abil. 4
x-10 F-niks nim. vastavust, mille järgi sõltumatu muutuja igale väärtusele seatakse vastavusse sõltuva muutuja mingi kindel väärtus. +x 1 Näited: ja 7. Defineerige 2 konkreetset operaatorit! ():= x gx - liitmisoperaator - korrutamisoperaator 8. Mis on funktsiooni f(x) määramispiirkond, muutumispiirkond. Esitage 2 näidet. Määramispiirkond on muutuja x kõigi selliste väärtuste hulk, mille korral f-ni väärtust saab f ( x) arvutada. (x väärtuste hulk) Muutumispiirkonnaks nimetatakse argumendi x väärtustele vastavaid f-ni f(x) väärtuste hulka. (y väärtuste hulk) 1 Näited: f(x) := x-1 x0 sest murrujoone alune avaldis ei tohi olla 0 Määramispiirkond on siis: Muutumispiirkond on kogu reaalarvude hulk.
1) Funktsiooni määramispiirkonnaks (X) nim. argumendi (x) väärtuste hulka, mille korral funktsiooni (y) väärtust saab leida. 2) Funktsiooni muutumispiirkonnaks (Y) nim. funktsiooni väärtuste hulka. 3) Funktsiooni nullkohtadeks (Fo) nim. Argumendi väärtuste hulka, mille korral funktsiooni väärtus on 0. Leidmine: tuleb panna 0-ga võrduma ehk funktsioon (y) asendatakse 0-ga. 4) Funktsiooni positiivsuspiirkonnaks (F+) nim. argumendi x väärtuste hulka, mille korral funktsiooni y väärtused on positiivsed. Leidmine: võrratus+intervallimeetod 5) Funktsiooni negatiivsuspiirkonnaks (F-) nim. Argumendi x väärtuste hulka, mille korral funktsiooni y väärtused on negatiivsed. Leidmine: võrratus+intervallimeetod 6) Funktsiooni kasvamisvahemikuks nim
Mis on funktsiooni loomulik määramispiirkonnaks. määramispiirkond? Määramispiirkonnale vastavat funktsiooni väärtuste hulka nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks. Kui määramispiirkonda ei ole antud, siis määramispiirkonnaks on funktsiooni loomulik määramispiirkond (kõik lubatavad x-i väärtused). Millised on funktsiooni põhilised - valemi abil, kus näidatakse milliseid esitusviisid? tehteid ja millises järjekorras tuleb argumendi väärtustega sooritada - graafiku abil, funktsiooni y=f(x) graafiku all mõistame järgmist punktide (x, f(x)) / x
Elementi x nimetatakse sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks, elementi y sõltuvaks muutujaks ehk (elemendi x) kujutiseks. Sõltumatu muutuja - algebra: Valemis iga muutuja, mille väärtus ei sõltu ühestki teisest muutujast. statistika: Muutuja, mida eksperimentide seeria käigus muudetakse. Sõltuv muutuja - algebra: Valemis muutuja, mille väärtus sõltub ühest või enamast teisest muutujast. statistika: Mõõdetav suurus, mis näitab kohtlemise efektiivsust. 2. Mis on funktsiooni määramispiirkond? Hulka X nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks, määramispiirkond on funktsiooni argumendi nende väärtuste hulk, mille korral funktsiooni väärtus on defineeritud. Funktsiooni f sisendväärtuste hulka X nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. Muutumispiirkond? Hulga X elementide x kujutiste hulka nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks, muutumispiirkond on funktsiooni väärtuste hulk ehk selle määramispiirkonna kujutis. Eeskirja kohaselt
...................6 4. Funktsiooni mõiste, funktsiooni esitusviisid. .............................................................................. 6 5. Funktsioonide liigitus (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioonid, monotoonsed funktsioonid, tõkestatud funktsioonid). Tuua näiteid. .............................................. 7 6. Elementaarsed põhifunktsioonid, nende määramispiirkonnad, põhiomadused ja graafikud. .....7 7. Liitfunktsiooni mõiste, liitfunktsiooni määramispiirkond. Tuua näiteid. ....................................7 8. Pöördfunktsiooni mõiste; pöördfunktsiooni määramis- ja muutumispiirkond. Tuua näiteid. .....7 9. Muutuva suuruse piirväärtus, tõkestamatult kasvav ja tõkestamatult kahanev suurus. ...............8 10. Funktsiooni piirväärtus. Funktsiooni vasak- ja parempoolne piirväärtus. .................................9 11. Tõkestamatult kasvav funktsioon, tõkestamatult vähenev funktsioon. ................................... 10 12
1 1 1 (k1*k2=-1) on tema tõus k 2 = - = - ja normaali võrrand on y - y0 = - ( x - x0 ) k1 f ( x0 ) f ( x0 ) Funktsiooni uurimine- Funktsiooni uurimise all mõistetakse, et tuleb leida kõik või osad järgnevatest funktsiooni iseloomustavatest suurustest (punktid, piirkonnad jne). 1. Määramispiirkond (so nende x väärtuste hulk, millas funktsiooni avaldis on arvutatav). 2. Nullkohad, so graafiku lõikepunktid x teljega (f(x)=0). 3. Graafiku sümmeetrilisus koordinaattelgede ja nullpunkti suhtes: f(-x) = f(x) paarisfunktsioon, sümmeetriline y telje suhtes; f(-x) = -f(x) paaritu funktsioon, sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes; 4. Positiivsus- ja negatiivsuspiirkond: f(x) > 0 - positiivsuspiirkond;
Matemaatika põhimõisted ja - definitsioonid 1. Funktsioon- kui muutuva suuruse x igale väärtusele, mis kuulub tema muutumispiirkonda, vastab teise suuruse y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on x funktsioon. 2. Elementaarne põhifunktsioon- elementaarseteks põhifunktsioonideks nim. järgmisi analüütiliselt antud funktsioone: konstantne funktsioon y = c; astmefunktsioon y = xa ; eksponentfunktsioon y = ax , kus a on ühest erinev pos. arv; logaritmfunktsioon ; trigonomeetrilised funktsioonid; arkusfunktsioonid; 3. Elementaarfunktsioon- funktsioon, mis saadakse põhielementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise tulemusena. 4. Tõkestatud funktsioon- funktsiooni f(x) nim. tõkestatuks piirkonnas A, kui leidub selline reaalarv k, nii et | f(x) | <= k iga x A korral. 5. Perioodiline funktsioon- funktsiooni f(x) nim. perioodiliseks, kui leidub selline nullist erinev reaalarv , nii et f( x + ) =
Seega peame kasutusele võtma vähemalt teise astme ehk ruutpolünoomid. Funktsiooni f(x) ruutlähend punkti x=a ümbruses ruutfunktsioon , mis rahuldab järgmisi tingimusi: Otsime meid huvitavat polünoomi järgmisel kujul: kus on konstantsed kordajad. Nende kordajate määramiseks arvutame kõigepealt tuletised kuni järguni n: Pannes neis avalidstes ja valemis muutuja x võrduma a-ga saame Kasutades tingimusi tuletame järgmised valemid kordajate jaoks: Seega saame valemi: b. Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? Kui a=0, siis nimetatakse Taylori polünoomi ka McLaurini polünoomiks. Seega on funktsiooni f(x) McLaurini polünoom järgmine: 29. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga. Tõestada vastav teoreem. a
Edasi vaatleme juhtu, kui M m. Funktsioon võib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas lõigu [a, b] otspunktis või olemasolu kontrollida ka teise tuletise märgi abil. Joonisel 4.2 toodud juhul 1 on funktsiooni graafik miinimumpunkti vahemikus (a, b). ümbruses nõgus, (ülespoole kaarduv) ja juhul 2 on graafik maksimumpunkti ümbruses kumer (allapoole kaarduv). Funktsioon f(x) peab vähemalt ühe oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima või vähima väärtuse) saavutama Graafik on nõgus, kui funktsiooni teine tuletis on positiivne, ja kumer, kui teine tuletis on negatiivne. vahemikus (a, b) asuvas punktis. Tähistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a, b) asuv absoluutne ekstreemum on 31.Nõgusa ja kumera joone definitsioonid
Olgu funktsiooni f kriitiline punkt x1 selline, et f(x1) = 0. 1)Kui f(x1) < 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne maksimum. 2)Kui aga f(x1) > 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne miinimum. Kui funktsioonil eksisteerivad esimest ja teist järku tuletised kriitilises punktis, siis saab lokaalsete ekstreemumite olemasolu kontrollida ka teise tuletise märgi abil. Joonisel 4.2 toodud juhul 1 on funktsiooni graafik miinimumpunkti ümbruses nõgus, (ülespoole kaarduv) ja juhul 2 on graafik maksimumpunkti ümbruses kumer (allapoole kaarduv). Graafik on nõgus, kui funktsiooni teine tuletis on positiivne, ja kumer, kui teine tuletis on negatiivne. 31.Nõgusa ja kumera joone definitsioonid. Öeldakse, et joon y = f(x) on nõgus, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus suureneb. Öeldakse, et joon y = f(x) on kumer, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb. Kospekti joonisel (lk 93) 4
Suuruse miinus lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (-,-M), kus M > 0. Tõkestatud hulgad. Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a, b) nii, et A (a, b). Tõkestatud hulgad on näiteks kõik lõplikud vahemikud (a, b), lõigud [a, b] ja poollõigud [a, b), (a, b]. 2. Jääv ja muutuv suurus. Suuruse muutumispiirkond. Funktsiooni definitsioon. Funktsiooni argument, sõltuv muutuja, määramispiirkond ja väärtuste hulk. Funktsiooni esitamine tabelina ja analüütiliselt. Funktsiooni graafiku mõiste. Graafiku omadused. Jäävad ja muutuvad suurused. Suurust, mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. Suurust, mille arvuline väärtus ei muutu, nimetatakse jäävaks suuruseks. Muutumispiirkonna mõiste. Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks. Funktsiooni mõiste
sellele eelneva liikme jagatis ja ei tohi võrduda ühega ning n on liikmete arv jadas. 8. Hääbuva geomeetrilise jada summa avaldub kujul S = a 1 / (1 q), kus a 1 on geomeetrilise jada esimene liige, q on alates teisest liikmest liikme ja sellele eelneva liikme jagatis ning n on liikmete arv jadas. 9. Funktsioon vastavus (eeskiri), mis seab sõltumatu muutuja x igale väärtusele hulgast X vastavusse sõltuva muutuja y ühe kindla väärtuse hulgast Y. 10. Funktsiooni määramispiirkond X sõltumatu muutuja ehk argumendi x väärtuste hulk. *Näide: funktsiooni f (x) määramispiirkond on R {0}. Funktsiooni muutumispiirkond Y sõltumatu muutuja y väärtuste ehk funktsiooni väärtuste hulk. *Näide: funktsiooni f (x) = x(2) muutumispiirkond on kõigi mittenegatiivsete reaalarvude hulk. 11. Funktsiooni nullkohad argumendi väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on 0, nimetatakse nullkohtadeks. Funktsiooni nullkohtade leidmiseks tuleb määrata need x
P n ( x )=21 C 2+32 C3 ( x-a ) + 43 C4 ( x-a ) + ...+¿ +n ( n-1 ) C n ( x-a )n-2 P' ' 'n ( x )=321 C3 + 432 C 4 ( x-a ) +...+ ¿ +n ( n-1 ) (n-2) Cn ( x-a)n-3 P(n)n ( x )=n ( n-1 )( n-2 )...21 Cn 2 3 4 n Pannes neis avalidstes ja valemis P n ( x )=C 0+ C1 ( x-a ) +C 2 ( x-a ) + C3 ( x-a) +C 4 ( x -a) +...++C n ( x-a) muutuja x võrduma a-ga saame ' (a ) ' ' (a ) ' ' ' ( a) (n) Pn ( a )=C 0 , Pn =1 ! C1 , P n =2! C2 , P n =3 ! C 2 , Pn ( a )=n ! C n Kasutadestingimusi Pn ( a )=f ( a ) , P'n( a)=f ' (a ) , P(n) ( ) (n) ( a ) tuletame järgmised valemid kordajate C0 , C1 , Cn n a =f jaoks: (n )
1. 2. 3. 4. 5. · Algebralised tehted funktsioonidega Kui on antud kaks ühise määramispiirkonnaga funktsiooni ja siis kehtivad järgmised seosed: 1. 2. 3. 4. Summa, vahe ja korrutise määramispiirkonnaks on X, jagatise puhul aga kus · Liitfunktsiooniks nimetame funktsiooni mis saadakse mitme funktsiooni järjest rakendamisel. · Liitfunktsiooni määramispiirkond - on määratud ainult sellistel x väärtustel, mille korral asub funktsiooni g määramispiirkonnas. Järelikul on määramispiirkond järgmine · Elementaarfunktsioonid funktsioonid mis saadakse põhielementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise tulemusena. Põhilised elementaarfunktsioonid on nt: jne. · Polünoomfunktsioon n astme polünoom on defineeritud avaldisega
i.2. Kui aga f``(x1) > 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne miinimum e.ii. Piisavate tingimuste põhjendused: 9. Nõgusa ja kumera joone definitsioonid. Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga. Selles seose põhjendus. Joone käänupunkti definitsioon. Käänupunkti tarvilik tingimus koos põhjendusega. Käänupunkti piisav tingimus koos põhjendusega. a. Öeldakse, et joon y=f(x) on nõgus, kui liikudes vasakult paremale selle puutuja tõus suureneb b. Öeldakse, et joon y=f(x) on kumer, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb. c. Nõgususe seos kumeruse ja teist järku tuletise märgiga c.i. Kui f''(x) > 0 iga x(a,b) korral, siis on joon y=f(x) nõgus vahemikus (a,b) c.ii. Kui f''(x) < 0 iga x(a,b) korral, siis on joon y=f(x) kumer vahemikus (a,b) d. Selle seose põhjendus:
Biruutvõrrand Biruutvõrrandi üldkuju on ax 4 + bx 2 + c = 0 . Lahendamiseks kasutatakse abimuutujat x = y . Saadakse uus võrrand ay 2 + by + c = 0 , mille lahendid on y1 ja y2 . Paigutades y 2 positiivsed väärtused võrdusesse x 2 = y , saame 1) x 2 = y1 , millest x1,2 = ± y1 ; 2) x 2 = y2 , millest x3,4 = ± y2 . 2.6 Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine x 2 + px + q = ( x - x1 ) ( x - x2 ) , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi x 2 + px + q = 0 lahendid). ax 2 + bx + c = a ( x - x1 ) ( x - x2 ) , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi ax 2 + bx + c = 0 lahendid). 2.7 Determinandid Teist järku determinandi väärtuse arvutamise eeskiri: a11 a12 = a11a22 - a12 a21 . a21 a22
plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2) Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus II. Olgu funktsiooni f kriitiline punkt x1 selline, et f(x1) = 0. Kui f(x1) < 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne maksimum. Kui aga f(x1) > 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne miinimum. Joone kumerus ja nõgusus. Vaatleme joont võrrandiga y = f(x) ehk funktsiooni y = f(x) graafikut tasandil xy-teljestikus. Eeldame, et funktsioon f on kõikjal diferentseeruv. Viimane on vajalik selleks, et joonel y = f(x) oleks igas punktis puutuja. Öeldakse, et joon y = f(x) on nõgus, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus suureneb. Öeldakse, et joon y = f(x) on kumer, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb. Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga
Mittekasvavaid ja mittekahanevaid muutuvaid suurusi nimetatakse monotoonseteks suurusteks. Kasvavaid ja kahanevaid muutuvaid suurusi nimetatakse rangelt monotoonseteks suurusteks. Def. Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui leidub niisugune konstant M > 0 , et kõik muutuva suuruse väärtused, alates mingist väärtusest, täidavad x M tingimust - M x M , s.t. 3. Funktsiooni definitsioon, funktsiooni määramispiirkond ja muutumispiirkond. Kasvav ja kahanev funktsioon. Funktsiooni esitusviise. Funktsioonide liike. Def. Kui muutuja x igale väärtusele piirkonnas X vastab muutuja y kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X. Argumendi x muutumispiirkonda X nimetatakse funktsiooni y määramispiirkonnaks. Funktsiooni väärtused, mis vastavad kõigile argumendi väärtustele piirkonnas X, moodustavad funktsiooni muutumispiirkonna.
Kui lim () = definitsioon. omavaheline seos. Logaritmfunktsioon ja tema parameetri t muutumispiirkond on lõik [T, T], siis Arvtelje mõiste määramispiirkond, väärtuste hulk ning graafik. Funktsioonil f on piirväärtus - kohal a, kui suvalises piirprotsessis xa, x = (t) mis rahuldab tingimust xa, funktsiooni väärtus f(x) läheneb miinus
D 2 arvu ja nii, et kehtib võrratus < . Kui funktsiooni f võrratuse märk ei muutu, st f() < (), siis on f kasvav hulgas D. Kui aga funktsiooni f rakendamisel argumentidele võrratuse märk muutub vastupidiseks, st f() > (), siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsioonigraafik tõuseb, kahanemispiirkonnas langeb. Astmefunktsioon y = , kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Määramispiirkond: Eksponentfunktsioon y = , kus astmealus a on konstantne ja rahuldab võrratust a>0. Lisaks sellele eeldame veel, a 1, sest muidu oleks see konstantne funktsioon. X=R, Y = (0,). Graafik on juhtudel a > 1 (kasvav) ja 0 < a < 1 (kahanev). Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sinx, X = R, Y = (-1,1), graafik perioodiline perioodiga 2, paaritu funktsioon y = cosx, X = R, Y = (-1,1), graafik perioodiline perioodiga 2, paarisfunktsioon
Biruutvõrrandi üldkuju on ax 4 bx 2 c 0 . Lahendamiseks kasutatakse abimuutujat x y . Saadakse uus võrrand ay 2 by c 0 , mille lahendid on y1 ja y2 . Paigutades y 2 positiivsed väärtused võrdusesse x 2 y , saame 1) x 2 y1 , millest x1,2 y1 ; 2) x 2 y2 , millest x3,4 y2 . 2.6 Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine x 2 px q x x1 x x2 , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi x 2 px q 0 lahendid). ax 2 bx c a x x1 x x2 , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi ax 2 bx c 0 lahendid). 2.7 Determinandid Teist järku determinandi väärtuse arvutamise eeskiri: a11 a12 a11a22 a12 a21 . a21 a22
Def. Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas X, kui selles piirkonnas suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus. Def. Funktsiooni f nimetatakse kahanevaks ehk rangelt kahanevaks piirkonnas X, kui selles piirkonnas suuremale argumendi väärtusele vastab väiksem funktsiooni väärtus. Def. Astmefunktsioon on funktsioon kujul y= , kus a on nullist erinev konstantse astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Def. Eksponentfunktsioon on funktsioon kujul y= , kus astme alus a on konstantne ja a>0 ja a1. Määramispiirkond X= ja väärtuste hulk Y=(0,). Def.Trigonomeetrilised funktsioonid on funktsioonid kujul y=sinx,y=cosx,y=tanx ja y=cotx radiaanides antud argumendiga x. Määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: 4. Def
Def. Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas X, kui selles piirkonnas suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus. Def. Funktsiooni f nimetatakse kahanevaks ehk rangelt kahanevaks piirkonnas X, kui selles piirkonnas suuremale argumendi väärtusele vastab väiksem funktsiooni väärtus. Def. Astmefunktsioon on funktsioon kujul y= , kus a on nullist erinev konstantse astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Def. Eksponentfunktsioon on funktsioon kujul y= , kus astme alus a on konstantne ja a>0 ja a1. Määramispiirkond X= ja väärtuste hulk Y=(0,). Def.Trigonomeetrilised funktsioonid on funktsioonid kujul y=sinx,y=cosx,y=tanx ja y=cotx radiaanides antud argumendiga x. Määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: 4. Def
(A + B) = aA + aB - DISTRIBUTIIVSUS ( + ) = + - DISTRIBUTIIVSUS 1= 0=0 Transponeeritud maatriks (AT) nimetatakse maatriksit, milles on võrreldes maatrksiga A read ja veerud välja vahetatud. 2. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks. Kui maatriksil on rida veergu ning maatriksil on rida ja veergu, siis maatriksi korrutiseks maatriksiga (kirjutatakse ) nimetatakse niisugust maatriksit , millel on rida ja veergu Korrutamise omadused: 1) Kui = , siis = ning = ; 2) ; 3) ( + ) = + ; 4) () = (). 5) () = () = (). lineaarsete tehete: + = + KOMMUTATIIVSUS ( + ) + = + ( + ) - ASSOTSIATIIVSUS (A + B) = aA + aB - DISTRIBUTIIVSUS ( + ) = + - DISTRIBUTIIVSUS 1= 0=0 Ruutmaatriksit, mille peadiagonaali elementideks on ühed ja kõik ülejäänud
hulgad (näide). Hulk koosneb elementidest, kusjuures elemendid ei kordu ja nende järjestus ei ole kindlaks määratud. Järjestatud hulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi kohta võimalik öelda, kumb neist on eelnev, kumb järgnev. Tehted hulkadega: * Hulkade A ja B ühendiks ehk summaks nimetatakse hulka, mille moodustavad kõik kas hulka A, hulka B või mõlemasse kuuluvad elemendid. Hulkade A ja B ühendit tähistatakse * Hulkade A ja B ühisosaks ehk korrutiseks nimetatakse hulka, mille moodustavad kõik üheaegselt nii hulka A kui ka hulka B kuuluvad elemendid. Hulkade A ja B ühisosa tähistatakse * Hulkade A ja B vaheks nimetatakse kõigi selliste elementide hulka, mis kuuluvad hulka A, kuid ei kuulu hulka B. Hulkade A ja B vahet tähistatakse AB, * Hulkade A ja B sümmeetriliseks vaheks nimetatakse kõigi selliste elementide hulka, mis kuuluvad hulka A, kuid mitte hulka B, või kuuluvad hulka B, kuid mitte hulka A. Hulkade A
d.v. Suuruse miinus lõpmatuks ümbruseks nim suvalist vahemikku (-M;-), kus M>0. Arv x kuulub minus lõpmatuse ümbrusesse kui x<-M. e. Tõkestatud hulga definitsioon Reaalarvudest koosnevat hulka A nim tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a,b) nii, et A(a,b) 2. Jääv ja muutuv suurus. Suuruse muutumispiirkond. Funktsiooni definitsioon. Funktsiooni argument, sõltuv muutuja, määramispiirkond ja väärtuste hulk. Funktsiooni esitamine tabelina ja analüütiliselt. Funktsiooni graafiku mõiste. Graafiku omadused. a. Jääv ja muutuv suurus a.i. Muutujaks ehk muutuvaks suuruseks nim suurust, mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi. a.ii. Jäävaks suuruseks nim suurust, mille arvuline väärtus ei muutu. b. Suuruse muutumispiirkond Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulka nim selle suuruse
Funktsiooni tuletis kahaneb aga juhul kui teine tuletis on negatiivne. Seevastu miinimupunkti läbides puutuja tõus suureneb, seega tuletis kasvab. Tuletis kasvab aga juhul kui teine tuletis on positiivne. Järelikult kehtib järgmine väide: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus II. Olgu f ` (x1) = 0. Kui f ` '(x1) < 0 siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne maksimum. Kui aga f ` `(x1) > 0 siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne miinimum. 33. Joone kumerus ja nõgusus. Käänupunktid: Joone kumerus ja nõgusus. Vaatleme joont võrrandiga y = f(x) ehk funktsiooni y = f(x) graafikut tasandil xy - teljestikus. Eeldame et funktsioon f on kõikjal diferentseeruv. Viimane on vajalik selleks et joonel y = f(x) oleks igas punktis puutuja. Öeldakse et joon y = f(x) on nõgus kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus suureneb. Öeldakse et joon y = f(x) on kumer kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb
annaabi.ee 
