Saame võrrandi: 2x = 3(70 x). 2x = 210 3x; 2x + 3x = 210; 5x = 210; x = 42. Kontroll: Kui üks arv on 42 ja kahe arvu summa on 70, siis teine arv on 70 42 = 28. Ühe arvu kahekordne st 2 * 42 = 84 peab võrduma teise arvu kolmekordsega ehk teise arvu kolmekordne on 3 * 28 = 84. Vastab ülesande tingimustele. Vastus: Arvud on 42 ja 28. 4. Viisnurgal on kahesuguse pikkusega külgi, mis erinevad 4 cm võrra. Viisnurga ümbermõõt on 118 cm2. Leia viisnurga külgede pikkused, kui lühemaid külgi on 3. Lahendus: Olgu viisnurga lühema külje pikkus x cm ja pikema külje pikkus x + 4 cm. Viisnurga ümbermõõt on 118 cm2, kusjuures lühemaid külgi on 3. Saame võrrandi: 3x + 2(x + 4) = 118. 3x + 2x + 8 = 118; 5x = 110; x = 22. Kontroll: Viisnurga lühema külje pikkus on 22 cm ja pikema külje pikkus 22 + 4 = 26 cm.
PLANIMEETRIA III 1.Leida täisnurkse kolmnurga küljed, kui kolmnurga ümbermõõt on 12 cm ja kaatetite vahe on 1 cm. 2. Arvutada täisnurkse kolmnurga kaatetid, kui täisnurga poolitaja jaotab hüpotenuusi lõikudeks, mille pikkusedon 15 cm ja 20 cm. 3.Täisnurkse kolmnurga kaatetid suhtuvad nagu 5:6 ja hüpotenuus on 122 cm. Arvuta lõigud, milleks kõrgus jaotab hüpotenuusi. 4. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 8 cm ja 6 cm. Täisnurga tipust on tõmmatud ristlõik hüpotenuusile, leia selle pikkus. 5. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 16 cm ja 12 cm
x 24 Saame kaatetid AB = 10 + 6 =16 (cm), ja D x AC = 6 + 24 = 30 (cm). Leiame pindala 6 A 6 F x C ab 16 30 S 2 2 240 cm 2 . Vastus. Kolmnurga pindala on 240 cm². 2) Võrdhaarse trapetsi diagonaal on risti haaraga. Arvutage trapetsi pindala, kui trapetsi haar on 15 cm ja diagonaal 20 cm. Lahendus. b D C 15 20 15 h x x A a B E 3 Leiame külje a = AB (hüpotenuus) täisnurksest kolmnurgast ABD Pythagorase teoreemi abil a 20 2 15 2 25cm .
tõstan y paremale, arvu 2 vasakule 6-2=y vahetan pooled y=6-2 y=4 Vastus. Murru lugeja on 3 ja nimetaja on 4. 26.Tekstülesanne (ristkülik või rööpkülik) - Ül.966 ümbermõõdu valem P=2(a+b); kasutada rööpkülik; teada on ümbermõõt ja külgede vahet x-y; lahendada kahe lähiskülgede vahe; leida küljed tundmatuga võrrandisüsteem sobiva KOOSTAMINE KONTROLL lahendus- võtte abil üks külg x (cm) 28 cm teine külg y (cm) 16 cm ümbermõõt 2(x+y) 2(28cm+16cm)=88cm (88 cm)
Leia need arvud. 5. Lahenda võrrand 3sin 9 + 3 = 3 vahemikus (-2; 2). 6. Võrdkülgsesse kolmnurka küljega a on kujundatud teine võrdkülgne kolmnurk, mille tipud asuvad esimese kolmnurga külgedel jaotades need suhtes 1:2. Leia väiksema kolmnurga pindala. 7. Koonusekujulise veiniklaasi kõrgus on h. Mitu protsenti klaasi ruumalast on täidetud, kui klaasi fvalatakse veini poole kõrguseni? 8. Milliste muutuja x Väärtuste korral saavutab funktsioon f ( x ) = 2 8 x - 9 4 x + 12 2 x + 1997 oma suurima ja vähima väärtuse lõigus [-1;1] ? Leia need funktsiooni väärtused. 9. Koonuse põhja pindala ja telglõike pindala on võrdsed. Avalda koonuse ruumala, kui moodustaja on m. 10. Kauba hinda alandati 10% võrra. Mitme protsendi võrra tuleb uut hinda veel alandada, et kogu hinnaalandus oleks 28%? 11
Ruutfunktsioon - Sissejuhatus ruutfunktsiooni Praeguseks momendiks peaksid tundma niisuguseid seosei muutujate x ja y vahel, nagu a võrdeline seos y = ax, pöördvõrdeline seos y ning lineaarseos ehk lineaarfunktsioon y = x ax + b. Kordame neid seoseid. Edasi vaatame ülesandeid. 1. Joonesta võrdelise seose y = 1,5x graafik ja leia selle abil muutuja y väärtused, kui x 2; 1; 0; 1; 2; 3 . Lahendus: Kõigepealt joonestame graafiku. Teame, et sirge joonestamiseks piisab kahest punktist. Võtame x = 0. Sel juhul on y = 1,5 . 0 = 0. Saime punkti (0; 0). Olgu nüüd x = 2, siis y = 1,5 . 2 = 3. Teine punkt on (2; 3). Kanname punktid koordinaatteljestikku ja ühendame. Vaatame ainult kahte punkti, kui x = 2 ja x = 3. Ülejäänud punkid jäävad iseseisvaks tööks.
lahendades igal juhul üldkujul (1) välja. Kui võrrand on õigesti koostatud, lahendatud ja lahendid analüüsitud ja kontrollitud, selle eest küll lisapunkte ei saa, aga kui võrrandi lahendamisel (või rakendamisel) on vigu, siis saad vähemalt 1 punkti lahendi valemi tundmise eest! Eksamil käib võitlus iga punkti eest! NB! Mina jätan edaspidi ruumi kokkuhoiu mõttes valemi (1) kirjutamata. 270 Olgu I naturaalarv x , siis II on x +1 . Saame võrrandi x ( x +1) = 240 Lahendus: x ( x +1) = 240 x 2 + x - 240 = 0 x = -0,5 ± 0,25 +240 = 0,5 ± 15,5 x1 = -16 või x 2 = 15 Kuna tegemist on naturaalarvudega, siis x1 = -16 ei sobi, x = 15 Kontroll: I arv on 15, II arv on 15+1 =16 15 × 16 = 240 Vastus: need arvud on 15 ja 16
lahendades igal juhul üldkujul (1) välja. Kui võrrand on õigesti koostatud, lahendatud ja lahendid analüüsitud ja kontrollitud, selle eest küll lisapunkte ei saa, aga kui võrrandi lahendamisel (või rakendamisel) on vigu, siis saad vähemalt 1 punkti lahendi valemi tundmise eest! Eksamil käib võitlus iga punkti eest! NB! Mina jätan edaspidi ruumi kokkuhoiu mõttes valemi (1) kirjutamata. 270 Olgu I naturaalarv x , siis II on x 1 . Saame võrrandi x ( x 1) 240 Lahendus: x ( x 1) 240 x 2 x 240 0 x 0,5 0,25 240 = 0,5 15,5 x1 = -16 või x 2 = 15 Kuna tegemist on naturaalarvudega, siis x1 = -16 ei sobi, x = 15 Kontroll: I arv on 15, II arv on 15+1 =16 15 16 = 240 Vastus: need arvud on 15 ja 16
lahendades igal juhul üldkujul (1) välja. Kui võrrand on õigesti koostatud, lahendatud ja lahendid analüüsitud ja kontrollitud, selle eest küll lisapunkte ei saa, aga kui võrrandi lahendamisel (või rakendamisel) on vigu, siis saad vähemalt 1 punkti lahendi valemi tundmise eest! Eksamil käib võitlus iga punkti eest! NB! Mina jätan edaspidi ruumi kokkuhoiu mõttes valemi (1) kirjutamata. 270 Olgu I naturaalarv x , siis II on x 1 . Saame võrrandi x ( x 1) 240 Lahendus: x ( x 1) 240 x 2 x 240 0 x 0,5 0,25 240 = 0,5 15,5 x1 = -16 või x 2 = 15 Kuna tegemist on naturaalarvudega, siis x1 = -16 ei sobi, x = 15 Kontroll: I arv on 15, II arv on 15+1 =16 15 16 = 240 Vastus: need arvud on 15 ja 16
suurus=kaar kraadides:2 või samale kaarele Kui suur on kaar, millele toetub piirdenurk toetuv kesknurk:2; kõik samale kaarele 80°? toetuvad piirdenurgad (tipp asub erinevalt) on 2 80°=160° võrdsed vaata lk.177 NB piirdenurga 90° kohta kehtib Thalese teoreem 4.Piirdenurga omadus - teoreem: piirdenurk Ül.1078 on pool temaga samale kaarele toetuvast 1.joonis kesknurgast; tõestus tuleb esitada kolmes antud: piirdenurk kui võrdhaarse kolmnurga osas vastavalt sellele, kas ringi keskpunkt on alusnurk 70°, leida nurgad n,p,q,r o piirdenurga ühel haaral, piirdenurga sees või n=70 võrdhaarse kolmnurga alusnurk o o o väljaspool p=180 -70 2=40 võrdhaarse kolmnurga tipunurk
GEOMEETRIA Eksam 9.klass 1. (1996) Võrdhaarse kolmnurga haar on 1,3 dm ja alusele tõmmatud kõrgus 0,5 dm. Arvuta kolmnurga ümbermõõt. 2. (1996) Täisnurkse trapetsi teravnurk on 71° ning alused 35 cm ja 28 cm. Arvuta trapetsi pindala. 3. (1997) Ristküliku diagonaal on 25 cm ja ta moodustab ristküliku ühe küljega nurga 650. Arvuta ristküliku ümbermõõt. 4. (1997) Ristküliku diagonaal on 15 cm ja ta moodustab ristküliku ühe küljega nurga 350. Arvuta ristküliku pindala. 5. (1997) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 2,4 cm ja 3,2 cm. Arvuta kolmnurga ümbermõõt ja pindala. 6. (1997) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on 1,5 dm ja kaatet 1,2 dm. Arvuta kolmnurga ümbermõõt ja pindala. 7. (1998) Kahe sarnase ristküliku ümbermõõdud on 54 cm ja 10,8 cm. Suurema ristküliku üks külg on 10 cm
Ülesanne 1 Aksioom (kreeka keeles axima 'see, mis on vääriline') tähendab üldkeeles väidet, mille tõesuses pole kahtlust. Algarvuks nimetatakse ühest suuremat naturaalarvu, mis jagub vaid arvuga 1 ja iseendaga. Algarvude hulk on lõpmatu. Sajast väiksemad algarvud ((100) = 25) on 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ja 97. Kaksikuteks nimetatakse selliseid algarve, mille vahe on 2, näiteks 101 ja 103 või 1 000 000 007 ja 1 000 000 009. Ei ole teada, kas kaksikuid on lõpmata palju. Aritmeetiliseks keskmiseks nimetatakse arvu, mis saadakse antud arvude summa jagamisel liidetavate arvuga. Näide 1.
NB vaja selleks, et õppiks tundma mõisteid haarad moodustavad sirge. Murdjooneks nimetatakse järjestikku ühendatud lõike, mis ei asu ühel sirgel. 7.Algmõiste - mõiste, mida ei defineerita; punkt, sirge, tasand, ruum, arv, suurus, vaja teiste mõistete defineerimisel hulk 8.Aksioom - väide, mis loetakse tõeseks 1)arv 0 on vähim naturaalarv ilma põhjendamata 2)igale naturaalarvule järgneb vahetult ainult üks naturaalarv 3)kaht erinevat punkti läbib ainult üks sirge NB nendele tuginetakse teoreemide 4)igale kahele erinevale punktile A ja B tõestamisel vastab üks kindel positiivne arv-punktide A
Tehetes reaalarvudega kehtivad omadused: 1) Kommutatiivsus: a + b = b + a ; ab = ba 2) Assotsiatiivsus: a + (b + c) = (a + b) + c 3) Distributiivsus: a (b + c) = ab + ac * Rooma numbrid I =1; X=10; C=100; M=1000; V=5; L=50; D=500 Rooma numbrid moodustavad mittepositsioonilise arvusüsteemi. Kasutatakse seitset numbrit. Enam kui kolm korda üht märki ei kirjutata. Kui väiksema väärtusega number asub suurema järel, siis numbrite väärtused liidetakse, nt VIII=8. Vastupidisel juhul lahutatakse, nt. IX=9, MIM=1999 Reaalarvu absoluutväärtus | | - absoluutväärtuse märgid. Nt. |-5| = 5 ; |5| = 5 Arvteljel tähendab arvu absoluutväärtus sellele arvule vastava punkti kaugust arvtelje nullpunktist. 6 Reaalarvude piirkonnad
#y 0,5 cos x #y 2 sin x + " (I) või " 1 , !y 1 +! y 4 arvestades, et 0 x 2 . III Kui plekitahvel keevitatakse toruks mööda pikemat külge, siis saadud silindri kõrgus on võrdne ristküliku pikema küljega ja silindri põhja ümbermõõt on võrdne ristküliku lühema küljega. Ristküliku külgede pikkused on leitavad täisnurkses kolmnurgas kehtivate trigonomeetriliste seoste kaudu. Toru läbimõõdu arvutamiseks on vaja teada ringjoone pikkuse valemit ja toru ruumala leidmiseks silindri ruumala valemit. Lahendused I 1) Funktsioon y 2 sin x on antud lõigul 0; 2 . Funktsiooni y f (x) nullkohad on võrrandi f ( x) 0 lahendid.
7. Kui ärimees võtaks 15%-lise laenu, siis tuleb tal laenu protsendi katteks tasuda 6000 eurot. Tal õnnestus laen kaubelda 5% võrra odavamaks. Kui suur on nüüd laenuprotsent? 8. Kolme arvu summa on 217. Need arvud on mingi geomeetrilise jada kolm järjestikust liiget ja teatava aritmeetilise jada teine, üheksas ja 44-es liige. Mitu esimest liiget tuleb võtta sellest aritmeetilisest jadast, et nende summa oleks 820? 9. Võrdhaarse trapetsi lühem alus on 4 dm ja haar 5 dm ning teravnurk 45o. Trapets pöörleb ümber oma pikema aluse. Leidke pöördkeha ruumala ja täispindala. 2x 10. Uurige f-ni y = (X, Xo, X+; X-; X , X , Xe) ja skitseerige graafik. 1- x2 11. Rombi diagonaalid suhtuvad nagu 3:4 ja ta ümbermõõt on 6 m. Arvutage diagonaalide pikkused ja nurk lühema diagonaali kõrguse vahel. Vastused. 1
Sp r2 H Sk r m 1 1 V Sp H r2 H r 3 3 Kera S 4 R 2 4 V R3 R 3 NÄITEÜLESANDED. 1) Püramiidi põhjaks on võrdhaarne kolmnurk, mille alus on 4 cm ja haar 8 cm. Kõik külgtahud moodustavad püramiidi põhjaga kahetahulised nurgad 60o. Leidke püramiidi külgpindala. Lahendus. C Tähistame püramiidi kõrguse H = OC. Külgtahu, mille aluseks on 4 cm apoteem on BC ja külgtahu, mille aluseks on 8 cm apoteem on AC. Kolmnurgad AOC ja BOC on võrdsed KNK (külg- H
1 4 2 4 1 6 2 1 2 3 2. 1 2 3 1 4 3 4 1 3 2 3 2 4 1 2 1 4 2 4 1 6 2 1 2 3 3. 4. Ruut on jaotatud 9-ks väikeseks ruuduks, neist 4 on träniga, mille kogupindala 36 cm². Seega on on ühe ruudu pindala 36 : 4 = 9 cm² ning selle külg 3 cm. Tärniga tähistatud ruutude ümbermõõt on seega 10 · 3 = 30cm 5. 1) 1 = 3 -3 : 3- 3 : 3 6) 6 = 3 · 3 · 3 : 3- 3 2) 2 = 3 · 3 : 3- 3 : 3 7) 7 = 3 · 3- 3 + 3 : 3 3) 3 = 3 + 3 + 3- 3- 3 8) 8 = 3 + 3 + 3- 3 : 3 4) 4 = 3 · 3 : 3 + 3 : 3 9) 9 = 3 + 3 + 3 + 3 -3 5) 5= 3 + 3 : 3 + 3 : 3 10) 10 = 3 + 3 + 3 + 3 : 3 6. 1) 19 · 88 2) 89 · 11 3) 200 · 6 7. See arv on 4,6 8. 2²² 9.
r – siseringi raadius R – ümberringi raadius 27. Korrapärase hulknurga sisenurkade summa, ümbermõõdu ja pindala leidmine. n=6 α =(6-2)180° : 6 4×180° 720° 720° : 6 = 120° Vastus: α =120° n=6 a = 8 cm P = na = 6 × 8 = 48 (cm) Vastus : P = 48 cm. Jaotame n-nurga n võrdseks kolmnurgaks, mille alus on a ja kõrgus r. Iga sellise kolmnurga pindala on ar:2 ja n korda suurema hulknurga pindala : S = nar : 2 S = Pr : 2 S = pr, kus P = na on n-nurga ümbermõõt ja p = P : 2 on pool ümbermõõtu r - hulknurga apoteem (siseringjoone raadius) 28. Kolmnurga ümber- ja siseringjoone leidmine. Hulknurga küljed on ümberringjoone kõõlud. - Kõõlhulknurk Siseringjoon puudutab hulknurga külgi. - Puutujahulknurk O-keskpunkt, R-ümberringjoone raadius, r-siseringjoone raadius. 29. Kõõl- ja puutuja hulknurk, apoteem. Hulknurga küljed on ümberringjoone kõõlud (Kõõlhulknurk).
16b2 = = a2 - 24ab + 16b2. 6. Arvuta avaldise (m - 2n)2 - m(m - 8n) väärtus, kui m = 7,3 ja n = 0,2. Lahendus: (m - 2n)2 - m(m - 8n) = m2 - 4mn + 4n2 - m2 + 8mn = 4n2 + 4mn = 4n(n + m). Paneme avaldisse arvud asemele, saame: 4n(n + m) = 4 . 0,2(0,2 + 7,3) = 0,8 . 7,5 = 6. Vastus: Avaldise (m - 2n)2 - m(m - 8n) väärtus on 6. 7. Martin pani 2003 aasta alguses panka 18000 krooni kaheks aastaks hoiule. Pank lisab kummagi aasta lõpul juurde 12% selleks ajaks hoiul olevast summast. Kui suure summa saab Martin kätte 2004. aasta lõpul? Lahendus: Esimesel aastal lisandub Martini arvele 12% ehk 0,12 . 18000 = 2160 krooni. Aasta lõpuks on tal 18000 + 2160 = 20160 krooni. Teisel aastal lisandub Martini arvele veel 12% ehk 0,12 . 20160 = 2419,2 krooni. Teise aasta lõpuks on 20160 + 2419,2 = 22579,2 krooni. Vastus: 2004 aasta lõpus on Martini hoiusumma kasvanud 22579,2 kroonile. 8. Ettevõtja Roman peab muretsema endale auto. Ta tahab teada, millist autot osta, kui
1. Ristkülik Mõiste: Ristkülik on nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad. Pindala: S=ab Ümbermõõt: Ü=2(a+b) Omadused: 1. Ristkülikul on kõik rööpküliku omadused. 2. Kõik nurgad on täisnurgad 3. Diagonaalid on võrdsed 4. Ristkülikul on ümberringjoon, mille keskpunktiks on diagonaalide lõikepunkt (O) ning raadiuseks pool diagonaali. 5. Ristkülikul on kaks sümmeetriatelge ja sümmeetriakeskpunkt. Ruut: Mõiste: Ruutu võib defineerida, kui a) ristkülikut, mille lähisküljed on võrdsed b) rombi, mille üks nurk on täisnurk c) rööpkülikut, mille lähisküljedon võrdsed ja üks nurk on täisnurk.
Võrrandid ja võrrandisüsteemid Võrrandite koostamine ja lahendamine 1. Arvu ja tema vastandarvu korrutis on 9. Leia need arvud. Lahendus: Tähistame otsitava arvu tähega x. Vastandarv on siis x ja nende arvude korrutis x . (x) = x2. Saame võrrandi x2 = 9. Selle teisendamisel saame x2 9 = 0; (x + 3) (x 3) = 0; x + 3 = 0 või x 3 = 0 x = 3 või x = 3. Otsitav arv võib olla 3 või 3. Kui otsitav arv x = 3, siis ta vastandarv x = 3. Kui otsitav arv x = 3, siis ta vastandarv x = (3) = 3. Vastus: 3 ja 3 2. Pool otsitava arvu ruudust võrdub 7-ga. Kui suur on otsitav arv? Lahendus: 1 2 Kui otsitava arvu tähistame tähega x, siis pool otsitava arvu ruudust on x . 2 Ülesande põhjal v
VASTUS: 2400 m (Esimese ja kolmanda peatuse vahele jääb 2 vahet. 600: 2 = 300 m on üks vahe. 9 peatusel on 8 vahet. 8 * 300m = 2400m) 6. Peres on vähem kui 10 last ja nende seas on nii poisse kui tüdrukuid. Igal tüdrukul on õdesid ja vendi ühepalju. Igal poisil on vendi poole vähem kui õdesid. Mitu poissi ja mitu tüdrukut on selles peres? VASTUS: 3 poissi ja 4 tüdrukut 7. Jaanus avas raamatu ja märkas, et avatud kohas on lehekülgede numbrite summa 21. Leia nende lehekülgede numbrite korrutis. VASTUS: 110 (leheküljed olid 10 ja 11, sest 10 + 11 = 21; 10 * 11 = 110) 8. Õpetaja kirjutas tahvlile arvud 1246, 3874, 4683, 4874, 8462. Reet pidi oma vihikusse kirjutama nende seast arvu, mis on paarisarv, mille kõik numbrid on erinevad ja milles sajaliste number on kaks korda suurem üheliste omast ning kümneliste number on suurem kui tuhandeliste number. Mis arvu Reet kirjutas? VASTUS: 3874 9
Mitu päeva kestis matk? 81. Veepaak täitub ühe kraani kaudu 10 minutit kauem kui teise kraani kaudu. Kui avada mõlemad kraanidkorraga, siis täitub paak 12 minutiga. Kui palju aega kulub paagi täitmiseks ainult teise kraani kaudu? 82. Tööline pidi valmistama 60 detalili. Kui ta oleks tunnis valmistanud 2 detaili rohkem, siis oleks ta tööga valmis saanud 1 tund varem. Kui palju aega kulus töölisel detailide valmistamiseks? 83. Kahe järjestikuse naturaalarvu ruutude summa on 85. Leia need arvud. 84. 4,5m² köögi seintest kaetakse ruudukujuliste glasuurplaatidega, mille serva pikkus on 15 cm. Mitu krooni maksab seinte katmine plaatidega, kui üks plaat maksab 1.80 krooni? 85. Leia kaks arvu, mille summa on 22 ja vahe on 10. 86. Kahe arvu summa on 79. Kui üht arvu vähendada 14 võrra ja teist suurendada 8 võrra, siis esimese ja teise arvu vahe on 7. Leia need arvud. 87
Ülejäänud rahast ehk 93 750 kroonist lisas auto ostuks kogutud 3 2 93750 2 rahale s.o. 93750 = = 62500 krooni. Järgi jäi nüüd 93 750 62 500 = 31 250 krooni. 3 3 Vastus: Võidetud rahast jäi järgi 31 250 krooni. 1 5. Võrdkülgse kolmnurga ümbermõõt on 10 cm. Kui pikk on kolmnurga külg? 5 Lahendus: 1 Võrdkülgsel kolmnuegal on kõik küljed ühepikkused. Kui selle kolmnurga ümbermõõt on 10 cm, siis külje 5 pikkus on 1 51 51 51 6 2
Ülejäänud rahast ehk 93 750 kroonist lisas auto ostuks kogutud 3 2 93750 2 rahale s.o. 93750 = = 62500 krooni. Järgi jäi nüüd 93 750 62 500 = 31 250 krooni. 3 3 Vastus: Võidetud rahast jäi järgi 31 250 krooni. 1 5. Võrdkülgse kolmnurga ümbermõõt on 10 cm. Kui pikk on kolmnurga külg? 5 Lahendus: 1 Võrdkülgsel kolmnuegal on kõik küljed ühepikkused. Kui selle kolmnurga ümbermõõt on 10 cm, siis külje 5 pikkus on 1 51 51 51 6 2
a) 180°; b) 90°; c) 100°; d) 200°; e) 1°. Kui üks kõrvunurkadest on 50°, siis teine on a) 40°; b) 50°; c) 100°; d) 360°; e) 130°. Kui üks tippnurkadest on 50°, siis teine on a) 50°; b) 60°; c) 130°; d) 90°; e) 40°. Kui täisnurkse kolmnurga üks teravnurk on 50°, siis teine teravnurk on a) 50°; b) 60°; c) 130°; d) 90°; e) 40°. Kui kolmnurga kaks sisenurka on 40° ja 70°, siis kolmas nurk on a) 90°; b) 40°; c) 70°; d) 360°; e) 180°. Kui võrdhaarse kolmnurga tipunurk on 20°, siis alusnurk on a)140°; b) 80°; c) 160°; d) 100°; e) 170°. Kui võrdhaarse kolmnurga alusnurk on 80°, siis tipunurk on a) 100°; b) 60°; c) 140°; d) 20°; e) 50°. Kui kolmnurga ümbermõõt on 50dm, siis kesklõikudest moodustatud kolmnurga ümbermõõt on a) 2,5m; b) 50cm; c) 25cm; d) 100dm; e) 50m. Kui kolmnurga üks külg on 20cm, siis sellele küljele vastav kesklõik on a) 4m; b) 40cm; c) 30cm; d) 4dm; e) 1dm.
1 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK I Joonistel on kuue funktsiooni graafikud. Tee kindlaks, missuguste funktsioonidega on tegemist. 1 2 3 © Allar Veelmaa 2014 2 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK II © Allar Veelmaa 2014 3 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium REAALARVUDE PIIRKONNAD Kuna erinevates õpikutes kasutatakse reaalarvude piirkondade märkimiseks erinevaid tähistusi, siis oleks kasulik teada mõlemat varianti. Nimetus Tingimus Esimene
Koos preemiaga, mis oli 2000 krooni, maksti puuraugu eest 11900 krooni. Leidke puuraugu sügavus. Vastus 9m k) Vaatleme kõiki kolmekohalisi arve, mis jagamisel kolmega annavad jäägi kaks 1) Kirjutage välja 3 esimest ja 3 viimast sellist arvu. 2) Leidke kõikide selliste arvude summa 3) Järgnevalt leidke kõigi kolmekohaliste arvude summa 4) Mitu protsenti punktis 2) leitud summa moodustab punktis 3) leitud summast. Vastus: 1) 101;104; 107 ja 992; 995; 998 2) 164850 3) 494550 4) ligikaudu 33% 9. Sõnalised ekstreemumülesanded a) Traadiga, mille pikkus on 800m, tuleb viierealiselt piirata ristkülikukujuline maatükk. Leida ristküliku mõõtmed nii, et maatüki pindala oleks suurim. Vastus. 40m, 40m b) Silindri telglõike ümbermõõt on 6dm. Milline on selle silindri suurim ruumala? Vastus. dm
Kolmnurki liigitatakse külgede järgi erikülgseteks (isekülgseteks), võrdhaarseteks ja võrdkülgseteks kolmnurkadeks. Erikülgse kolmnurga kõik küljed on erineva pikkusega. Võrdhaarses kolmnurgas on kaks võrdse pikkusega külge, mida nimetatakse haaradeks. Kolmandat külge nimetatakse aluseks. Aluse lähisnurki nimetatakse alusnurkadeks ja haarade vahelist nurka tipunurgaks. Võrdkülgse kolmnurga kõik küljed on võrdse pikkusega. Kirjuta joonisele juurde, kus asuvad võrdhaarse kolmnurga alusnurgad ja tipunurk ning haarad. Võrdkülgne kolmnurk on võrdhaarse kolmnurga erijuht. 1. Kas leidub selliseid kolmnurki, mis on * võrdhaarsed ja nürinurksed ....ei................ * võrdhaarsed ja täisnurksed .......ei............. * erikülgsed ja nürinurksed .................ja........ * võrdkülgsed ja nürinurksed ..................... * võrdkülgsed ja täisnurksed ..................... 3
d b V= 6 m S= 4 10 10 b maksumus=hindV Algandmed: b, h, d, L - mõõtmed (cm), materjali hind (Kr/m3) Tulemid: V - ruumala (m3), S - täispindala (m2), maksumus (Kr) Vaheandmed: A - ristlõike pindala (cm2), P - ristlõike ümbermõõt (cm) , S=2A+PL d 2 - 8 d +h)-d+ 2 3 2A+PL 2 m S= 4 m 10 us=hindV mus (Kr) mõõt (cm) Ülesande püstitus Detailike - valemites aadressid Hind 500 Maksumus Err:509 b 40 V = AL , S=2A+PL h 80 d 2 d 0 A=bh-
DETERMINANDI MÕISTE. KAHEREALISE DETERMINANDI Avaldanud esimesest võrrandist x-i ja asendanud saadud tulemuse teise võr- KASUTAMINE VÕRRANDISÜSTEEMIDE LAHENDAMISEL randisse, saame c1 b1 y Paljude sisult erinevate probleemide lahendamine viib ühe ja sama seaduse a1 x b1 y c1 x , kui a1 0. järgi koostatud avaldisteni. Sel juhul on otstarbekas uurida nende avaldiste a1 üldisi omadusi. c b y° a2 ¡¡ 1 1 ±± b2 y c2 a1 korrutame võrrandi pooli a1-ga Üheks selliseks av
Kui kaugel on kehad teineteisest kümnenda sekundi lõpuks? ( 11 dm ) 32. Linnadest A ja B, mis asuvad teineteisest 140 km kaugusel, väljuvad üheaegselt teineteisele vastu kaks jalgratturit. Esimene neist läbib esimeses tunnis 10 km ja igas järgnevas aga 2 km võrra rohkem kui eelmises. Teine jalgrattur läbib igas tunnis ühtlaselt 14 km. Leia mitme tunni möödudes nad kohtuvad? (5h) 33. Lahenda võrrand (x+2)+(x+4)+......+(x+24)=228 (x=6) 34. Millise muutuja x väärtuse korral moodustavad arvud x ; 1 ja x aritmeetilise jada? ( x=1) 35. Kolmnurga küljed on aritmeetilise jada järjestikused liikmed. Kolmnurga ümbermõõt on 15.Leia kolmnurga küljed teades, et nende väärtused on täisarvud.(5;5;5 või 4;5;6 või 3;5;7 ) 36. Millise x väärtuse korral moodustavad arvud logx;log(x+6) ja log(2x+7) aritmeetilise jada? 37. Müüriladujatele maksti torni ehitusel esimese meetri ladumise eest 1000 krooni iga järgmise
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
