Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, 10.Funktsiooni piirväärtuste omadused, mis on seotud aritmeetiliste muutuja, määramispiirkond ja väärtuste hulk. Arkusfunktsioonid ja nende seosed trigonomeetriliste tehetega. Liitfunktsiooni piirväärtuse valem. Funktsiooni esitamine tabelina ja analüütiliselt. kui tema väärstustest on moodustunud järjestatud hulk, funktsioonide ahenditega. Funktsiooni graafiku mõiste. Graafiku omadused
1. Norm ja kaugus (meetrika). Ümbrused. ε-ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed ümbrused. Lõpmatuse ümbrused. Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi elemendile u,v ∈V seab vastavusse skalaari d(u,v) ∈R, kusjuures on täidetud järgmised tingimused: 1 ∀u,v∈V d(u,v) ≥ 0; d(u,v) = 0⇔v = u 2 ∀u,v∈V d(u,v) = d(v,u) 3 ∀u,v,w∈V d(u,v) ≤ d(u,w) +d(w,v) Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈ V seab vastavusse skalaari ||u|| ∈ R, kusjuures on täidetud järgmised tingimused: 1)∀u ∈ V ||u|| ≥ 0; ||u|| = 0 ⇔ u = 0, 2)∀u ∈ V, α ∈ R ||αu|| = |α| ||u||, 3)∀u, v ∈ V ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v|| Punkti ümbrusest võib mõelda kui niisugusest seda punkti sisaldavast hulgast, kus ükskõik mis suunas saab punktist õige pisut eemalduda ilma sellest hulgast väljumata. Punkti ε-ümbrus Hulka Uε(a) := {x ∈ V|d(a, x) < ε, ε > 0} nimetat
Piirväärtus
Punkti ümbrus
Punkti a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku, millesse see
punkt kuulub.
Punkti a ümbruseks raadiusega > 0, nimetatakse arvtelje
vahemikku arvust a - kuni a + .
a- a a+
x
Ehk arv x kuulub arvu a ümbrusesse raadiusega , kui
a-
LIISI KINK 1 MATEMAATILINE ANALÜÜS I Vähendatud programm Selle programmi järgi saab ette valmistada teooria kontrolltööde A (so lihtsamateks) variantideks. Esimese kontrolltöö materjal hõlmab lõike 1 17 ja teise kontrolltöö materjal hõlmab lõike 18 - 33. Igas kontrolltöös on 4 küsimust, millest üks on valitud jämedas kirjas (bold face) bold face olevate teemade hulgast (see on kõige olulisem materjal), 2 küsimust on valitud ülejäänud teemadest ja viimase 4-nda küsimuse all on võimalik kirjutada omal valikul 1/4-1/2 lk teksti antud programmi ulatuses. Programm järgib otseselt Jaan Janno konspekti. Kontrolltöödes ei küsita konspektis esitat
leidub arvu a ümbrus, mis kuulub hulka X*Arv a on hulga X rajapunkt, kui arvu a Osajada- iga jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmatu hulga jada igas ümbruses leidub nii hulga X punkt, kui ka neid punkte, mis ei kuulu hulka X elementide väljajätmisel, nim selle jada osajadaks 4. Funktsiooni mõiste. Määramispiirkond. Muutumispiirkond. Funktsiooni graafik. 14. Tõestada jada piirväärtuse aritmeetiliste tehetega seotud omadused. Funktsiooni mõiste: Kui hulga X igale elemendile x on mingi eeskirja abil 15. Tõestada jada piirväärtuse omadused vastavusse seatud üks kindel element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on V:1)Konstantse jada piirväärtuseks on see constant, sest Xn=c -> Xn->c defineeritud funktsioon f ja kirjutatakse y=f(x). Tõestus: Määramispiirkond. Hulka X nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks
Piirprotsessi x a erijuhtudel x a- ja x a+ läheneb f(x) erinevatele arvudele. Funktsiooni piirväärtuse olemasolu ja ühepoolsete piirväärtuste võrdsuse seose teoreem Piirväärtus eksisteerib siis ja ainult siis, kui eksisteerivad võrdsed ühepoolsed piirväärtused ja . Peale selle, piirväärtuse olemasolu korral kehtib valem 10. Funktsiooni piirväärtuste omadused, mis on seotud aritmeetiliste tehetega. Liitfunktsiooni piirväärtuse valem. · · · · · Liitfunktsiooni arvutamise reegel: Olgu antud kaks funktsiooni y=f(x) ja z=g(y). Kui , siis kehtib valem · Sõnastada teoreem lõpmatult kasvava ja kahaneva funktsiooni omavahelisest seosest · Tõkestatud funktsiooni definitsioon. · Sõnastada teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud funktsiooni korrutisest. 12
x->a , kus xa, läheneb funktsiooni graafiku jooksev punkt P =(x,f(x)) punktile A =(a,b ). Teoreem funktsiooni pv olemasolu ja ühepoolsete pv võrdsuse omavahelise seose kohta. Piirväärtus lim f(x) eksisteerib siis ja ainult siis, kui eksisteerivad võrdsed ühepoolsed piirväärtused lim f(x) ja lim f(x). Peale selle, piirväärtuse lim f(x) olemasolu korral kehtib valem lim f(x)=lim f(x)=lim f(x) 10. Funktsiooni piirväärtuste omadused, mis on seotud aritmeetiliste tehetega: Liitfunktsiooni piirväärtuse valem : lim g[f(x)]=lim g(y) 11. Vaatleme muutujat x sõltuvat funktsiooni (x) piirprotsessis x->a. Def. Funktsioon (x) on lõpmatult kahanev ehk lõpmatult väike piirprotsessis x->a, kui lim (x)->0. Def. Funktsioon (x) on lõpmatult kasvav piirprotsessis x->a, kui lim |(x)|->. Kehtivad ka x->a , x->a , x-> ja x->- korral. Teoreem lõpmatult kasvava ja kahaneva funktsiooni omavahelisest seosest.
x->a , kus xa, läheneb funktsiooni graafiku jooksev punkt P =(x,f(x)) punktile A =(a,b ). Teoreem funktsiooni pv olemasolu ja ühepoolsete pv võrdsuse omavahelise seose kohta. Piirväärtus lim f(x) eksisteerib siis ja ainult siis, kui eksisteerivad võrdsed ühepoolsed piirväärtused lim f(x) ja lim f(x). Peale selle, piirväärtuse lim f(x) olemasolu korral kehtib valem lim f(x)=lim f(x)=lim f(x) 10. Funktsiooni piirväärtuste omadused, mis on seotud aritmeetiliste tehetega: Liitfunktsiooni piirväärtuse valem : lim g[f(x)]=lim g(y) 11. Vaatleme muutujat x sõltuvat funktsiooni (x) piirprotsessis x->a. Def. Funktsioon (x) on lõpmatult kahanev ehk lõpmatult väike piirprotsessis x->a, kui lim (x)->0. Def. Funktsioon (x) on lõpmatult kasvav piirprotsessis x->a, kui lim |(x)|->. Kehtivad ka x->a , x->a , x-> ja x->- korral. Teoreem lõpmatult kasvava ja kahaneva funktsiooni omavahelisest seosest.
Teemad: 5. Öeldakse, et { xn} on Cauchy jada ehk fundamentaaljada, kui iga > 0 korral leidub C N, 1. Norm ja kaugus (meetrika). Ümbrused. -ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed et iga naturaalarvu n > C ja naturaalarvu p korral kehtib võrratus |xn+p - xn| < . ümbrused. Lõpmatuse ümbrused. Lause. Jada { xn} koondub parajasti siis, kui ta on Cauchy jada. 2. Funktsiooni mõiste. Reaalmuutuja ühene funktsioon. Määramispiirkond, muutumispiirkond. Jada kuhjumispunktiks nim. arvu, mille igas ümbruseson lõpmata palju vaadeldava jada Paaris ja paaritud funktsioonid. Perioodilised ja antiperioodilised funktsioonid. liikmeid. Pöördfunktsioon. Monotoonsed funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Lause. Arv a on jada { xn} kuhjumispunkt pa
.............7 8. Pöördfunktsiooni mõiste; pöördfunktsiooni määramis- ja muutumispiirkond. Tuua näiteid. .....7 9. Muutuva suuruse piirväärtus, tõkestamatult kasvav ja tõkestamatult kahanev suurus. ...............8 10. Funktsiooni piirväärtus. Funktsiooni vasak- ja parempoolne piirväärtus. .................................9 11. Tõkestamatult kasvav funktsioon, tõkestamatult vähenev funktsioon. ................................... 10 12. Funktsiooni piirväärtuse aritmeetiliste tehetega seotud omadused. ........................................ 10 13. Funktsiooni pidevus antud punktis, funktsiooni ühepoolne pidevus, piirkonnas pidev funktsioon. Tuua näiteid. ............................................................................................................... 11 14. Katkev funktsioon, esimest liiki katkevus, esimest liiki katkevuspunktide jaotus, teist liiki ..11 katkevuspunktid. Tuua näiteid. ..........................................................................
1* Normi ka kauguse Def. 1o puudu ||f||∞ = sup|f(x)|(x∈X) 5*(Jada definitsioon. Koonduvad jadad , jada piirväärtus. Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈V Koonduva jada piirväärtuse omadused + tõestus) piirväärtuse ühesuse tõestus.jada Jadaks nimetatakse funktsiooni, mille määramispiirkonnaks on naturaalarvude hulk N seab vastavusse skalaari ¿∨u∨¿ ∈ R , kusjuures on täidetud
Piirprotsessi x → a erijuhtudel x → a− ja x → a+ läheneb f(x) erinevatele arvudele. Funktsiooni piirväärtuse olemasolu ja ühepoolsete piirväärtuste võrdsuse seose teoreem Piirväärtus eksisteerib siis ja ainult siis, kui eksisteerivad võrdsed ühepoolsed piirväärtused ja . Peale selle, piirväärtuse olemasolu korral kehtib valem 10. Funktsiooni piirväärtuste omadused, mis on seotud aritmeetiliste tehetega. Liitfunktsiooni piirväärtuse valem. Liitfunktsiooni arvutamise reegel: Olgu antud kaks funktsiooni y=f(x) ja z=g(y). Kui , siis kehtib valem Sõnastada teoreem lõpmatult kasvava ja kahaneva funktsiooni omavahelisest seosest Tõkestatud funktsiooni definitsioon. Sõnastada teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud funktsiooni korrutisest. 12
Sõnastada teoreem funktsiooni piirväärtuse olemasolu ja ühepoolsete piirväärtuste võrdsuse omavahelise seose kohta. Piirväärtus lim xa f(x) eksisteerib siis ja ainult siis, kui eksisteerivad võrdsed ühepoolsed piirväärtused lim xa- f(x) ja lim xa+ f(x). Peale selle, piirväärtuse lim xa f(x) olemasolu korral kehtib valem: lim xa f(x) = lim xa- f(x) = lim xa+ f(x). 10. Funktsiooni piirväärtuste omadused, mis on seotud aritmeetiliste tehetega. 1. lim xa [f(x) + g(x)] = lim xa f(x) + lim xa g(x), 2. lim xa [f(x)g(x)] = lim xa f(x) lim xa g(x), 3. lim xa f(x) g(x)=lim xa f(x) lim xa g(x) kui lim xa g(x)ei võrdu 0. 4. lim xa [Cf(x)] = lim xa C lim xa f(x) = C lim xa f(x), C - konstant, 5. lim xa [f(x) - g(x)] = lim xa [f(x) + (-1)g(x)] = lim xa f(x) + lim xa [(-1)g(x)] = lim xa f(x) + (-1) lim xa g(x) = lim xa f(x) - lim xa g(x). Liitfunktsiooni piirväärtuse valem. Olgu antud kaks funktsiooni y = f(x) ja z = g(y)
1.Tõkestatud hulgad (näide). Tõkestamata hulgad (näide). Tõkestatud hulgad. Definitsioon Reaalarvudest koosnevat hulka nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline positiivne arv nii, et iga korral kehtib võrratus . Hulk on tõkestatud, kui kõik selle hulga elemendid kuuluvad nulli ümbrusesse Näide: Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik vahemik (a;b) nii et AC(a;b) Tõkestamata hulgad. Näide: Näiteks lõpmatu vahemik (-, a) vahemik ja [a; ) lõpmatu poollõik. 2. Reaalarvu ümbrus. Arvtelg. Reaalarvu a absoluutväärtus (näiteks lihtsustage ). Absoluutväärtuse omadused. Tingimuse esitamine arvteljel. Reaalarvu a vasakpoolne ja parempoolne ümbrused. Reaalarvu a ümbrus nimetatakse suvalist vahemiku (a , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a , a + ) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st . Arvtelg on sirge
§ 1 REAALARVUD JA FUNKTSIOONID 1. Reaalarvu mõiste Tähistame sümboliga N kõigi naturaalarvude hulga, st N = {1, 2, 3,...} ja sümboliga Z kõigi täisarvude hulga, st Z = {...,3,2,1, 0, 1, 2, 3,...}. p Ratsionaalarvudeks nimetatakse arve kujul q , kus p ja q on täisarvud, q 0. Kõigi ratsionaalarvude hulga tähistame sümboliga Q. Ratsionaalarvudeks on parajasti need arvud, mis on esitatavad lõplike või lõpmatute perioodiliste kümnendmurdudena. Arve, mis on esitatavad lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdudena, nimetatakse irratsionaalarvudeks. Kõik ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud moodustavad reaalarvude hulga. Kõigi reaalarvude hulga tähistame sümboliga R. Iga lõplikku kümnendmurdu a= , 12 ...n saab esitada lõpmatu kümnendmurruna kahel viisil: a = , 12 ...n 00... või a = , 12 ...(n -1)99... .
Esimese kollokviumi (teooriatöö) kordamisküsimused 1. Tõkestatud hulga mõiste. Ülalt/alt tõkestatud hulga mõiste. Tuua näide. Definitsioon: Hulka X nimetatakse tõkestatud hulgaks, kui X on ülalt ja alt tõkestatud. Definitsioon :Kui leidub niisugune reaalarv M, et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x ≤ M, siis öeldakse, et hulk X on ülalt tõkestatud, kusjuures arvu M nimetatakse hulga X ülemiseks tõkkeks. Definitsioon :Kui leidub niisugune reaalarv m, et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x≥m, siis öeldakse, et hulk X on alt tõkestatud, kusjuures arvu m nimetata
Vaatleme piirprotsesse: 1. x a, x > a lähenemine paremalt, s.o. parempoolne piirväärtus. Tähistame: lim xa+ f(x) või f(a+). 2. x a, x < a lähenemine vasakult, s.o. vasakpoolne piirväärtus. Tähistame: lim xa- f(x) või f(a-). NB! Definitsioonis 1 tingimus 0 < x - a< omandab vastavalt kuju 0 < (x - a)< (parempoolse piirväärtuse korral) või 0 < (a - x)< (vasakpoolse piirväärtuse korral). Teoreem . Kui eksisteerivad ühepoolsed piirväärtused f(a+) ja f(a-), siis nn kahepoolne piirväärtus lim xa f(x) = A eksisteerib parajasti siis, kui f(a+) = f(a-)= A. Ühepoolsed piirväärtused on ka lim x f(x) ja lim x - f(x). Definitsioon 3. Arvu A nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks protsessis x (x ), kui iga arvu > 0 korral leidub arv K > 0, nii et f( x) - A | < , alati, kui x > K ( x < -K). Kirjutame lim x f(x) = A ( lim x - f(x) = A).
Matemaatiline analüüs (vähendatud programm) KT nr. 1 Igas kontrolltöös on 4 küsimust, millest üks on valitud jämedas kirjas (bold face) olevate teemade hulgast (see on kõige olulisem materjal), 2 küsimust on valitud ülejäänud teemadest ja viimase 4-nda küsimuse all on võimalik kirjutada omal valikul 1/4-1/2 lk teksti antud programmi ulatuses. 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. Öeldu põhjal saab reaalarvud samast
( . .) Teoreem 2.3. Piirväärtus lim/xa/ f(x) eksisteerib() siis ja ainult siis, kui eksisteerivad võrdsed() ühepoolsed piirväärtused lim/xa-/f(x) ja lim/xa+/f(x). Peale selle, piirväärtuse lim/xa/f(x) olemasolu korral( ) kehtib valem: limf(x)= limf(x) = limf(x) . xa xa- xa+ 10. Funktsiooni piirvaartuste omadused(), mis on seotud aritmeetiliste tehetega. ( , ) Paneme kõigepealt kirja järgmised aritmeetiliste tehetega seotud omadused: 1. lim[f(x) + g(x)] = limf(x) + lim g(x) , xa xa xa 2. lim[f(x)g(x)] = limf(x) *lim g(x) , xa xa xa 3. limf(x)g(x)=limf(x)*limg(x), kui limg(x) = 0 . xa xa xa xa Otseste järeldustena( ) omadustest 1 ja 2 saame me tuletada veel kaks omadust: 4. lim[Cf(x)] = limC limf(x) = C limf(x) , C - konstant ,
2.4 FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUS. FUNKTSIOONI PIDEVUS Vaatleme funktsioone, mis on määratud valemiga y = f(x). Selliseid funktsioone võib liigitada nende määramispiirkonna järgi. Funktsioonid, mis on määratud kogu reaalarvude hulgas. Need on funktsioonid, mille väärtusi on võimalik arvutada argumendi x iga väärtuse korral. Sellised funktsioonid on lineaarfunktsioon y = ax + b, ruutfunktsioon y = ax 2 + bx + c , aga ka naturaalarvulise astendajaga astmefunktsioon y = x n . Kõigile neile on ühine see, et funktsioonide graafikud on pidevad jooned ja kogu graafiku saab joonestada ilma pliiatsit paberilt tõstmata pideva joonega. Öeldakse, et vaadeldavad funktsioonid on pidevad kogu arvteljel. Funktsioonid, mille määramispiirkond koosneb arvtelje ühest osast. Leidub funktsioone, mis on määratud vaid arvtelje ühel osal: poolsirgel, vahemikus või lõigul. Nende funktsioonide väärtusi saab arvutada kas argumendi x teatavast väärtusest alates või argumendi x tea
¿ f ( x )=¿ lim f ( x )=L x →a b. Teoreem : Piirväärtus f ¿ on olemas parajasti siis, kui lim ¿ lim ¿ x→a x→ a 8. Piirväärtuste tehetega seotus omadused: a. Eeldame, et kõik paremal pool olevad piirväärtused eksisteerivad. i. Kui c on konstant, siis lim[cf(x)] = c[lim f(x)] s. t ii. lim[f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x) iii. lim[f(x) ∙ g(x)] = lim f(x) ∙ lim g(x) iv. lim f(x)/g(x)= lim f(x)/lim g(x), eeldusel et lim g(x) ≠ 0 v. Iga konstandi c korral lim c = c
Arvtelg sirge, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Reaalarvu absoluutväärtus - nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Absoluutväärtuste omadused: |-a|=|a| |ab|=|a||b| |a+b||a|+|b| |a-b|| |a|-|b| | Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused - Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - , a], kus > 0. Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku [a, a+), kus > 0. Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M,), kus M > 0. Suuruse miinus lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (-,-M), kus M > 0. Tõkestatud hulgad - Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a, b) nii, et A (a, b). Jääv suurus suurus, mille arvuline väärtus ei muutu. Muutuv suurus suurus, mis võib omandada erin
Muutuvat suurust nim lõpmatult kasvavaks, kui lim||=. Lõpmatult kahanevate ja kasvavate suuruste vahel eksisteerib lihtne seos.Nimelt on nad teineteise pöördarvud. Teoreem lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos : Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus on lõpmatult kasvav. Tõkestatud suuruse def. : *0 10. Funktsiooni piirväärtuste omadused, mis on seotud aritmeetiliste tehetega. Liitfunktsiooni piirväärtuse valem: 11. Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine: 1. Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus , siis nimetatakse suurusi ja sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks. 2. Kui = 1, siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks lõpmatult kahanevateks suurusteks märkides seda kujul ~ . 3. Kui = 0, siis nimetatakse suurust kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks suhtes. Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine:
Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a I FUNKTSIOONID Tõkestatud hulgad Ülalt ja alt tõkestatud hulgad Olgu X mingi reaalarvude hulk. Definitsioon: Kui leidub niisugune reaalarv M , et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x M , siis öeldakse, et hulk X on ülalt tõkestatud, kusjuures arvu M nimetatakse hulga X ülemiseks tõkkeks. Ülalt tõkestatud hulga X elemendid paiknevad seega lõpmatus poollõigus (- , M ] . Definitsioon: Kui leidub niisugune reaalarv m , et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x m , siis öeldakse, et hulk X on alt tõkestatud, kusjuures arvu m nimetatakse hulga X alumiseks tõkkeks. Alt tõkestatud hulga X elemendid paiknevad seega lõpmatus poolllõigus [m, ) .
ja y = arccot x. Elementaarfunktsiooni definitsioon: Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Näiteid elementaarfunktsioonide kohta: elementaarfunktsioon y = 5+7 tan x- ex? cos x on moodustatud põhilistest elementaarfunktsioonidest y = 5, y = 7, y = tan x, y = ex ja y = cos x lõpliku arvu aritmeetiliste tehetega. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon: Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid. n- astme polünoom on defineeritud avaldisega P(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + an-1xn-1 + anxn , kus a0, a1, a2, . . . , an-1, an on konstandid ja an = 0. Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis R(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + an-1xn-1 + anxn b0 + b1x + b2x2 + . . . + bm-1xm-1 + bmxm .? 6
· Funktsiooni piirväärtuse olemasolu teoreem/ Funkts ühepoolsete piirväärtuste võrdsuse omavaheline seos Piirväärtus limxa f(x) eksisteerib siis ja ainult siis, kui eksisteerivad võrdsed ühepoolsed piirväärtused limxa f(x) ja limxa+ f(x). Peale selle kehtib piirväärtuse limxa f(x) olemasolu korral valem 11) · Funktsiooni piirväärtuste omadused, mis on seotud aritmeetiliste tehetega 1 2 3 4 5 · Liitfunktsiooni piiväärtuste valem Olgu antud kaks funktsiooni y=f(x) ja z=g(v). Kui limxa f(x)=b, siis kehtib valem 12) 13) · Lõpmatult kahanevad ja kasvavad suurused kui funktsioonid Lõpmatult kahanev ehk lõpmatult väike piirprotsessis xa, kui lim xa a(x)0 : l õpmatult kasvav piirprotsessis xa , kui lim xa |a(x)|
· Funktsiooni piirväärtuse olemasolu teoreem/ Funkts ühepoolsete piirväärtuste võrdsuse omavaheline seos Piirväärtus limxa f(x) eksisteerib siis ja ainult siis, kui eksisteerivad võrdsed ühepoolsed piirväärtused limxa f(x) ja limxa+ f(x). Peale selle kehtib piirväärtuse limxa f(x) olemasolu korral valem 11) · Funktsiooni piirväärtuste omadused, mis on seotud aritmeetiliste tehetega 1 2 3 4 5 · Liitfunktsiooni piiväärtuste valem Olgu antud kaks funktsiooni y=f(x) ja z=g(v). Kui limxa f(x)=b, siis kehtib valem 12) 13) · Lõpmatult kahanevad ja kasvavad suurused kui funktsioonid Lõpmatult kahanev ehk lõpmatult väike piirprotsessis xa, kui lim xa a(x)0 : l õpmatult kasvav piirprotsessis xa , kui lim xa |a(x)|
Kui funktsioon f rahuldab nimetatud tingimust vaid oma määramispiirkonna mingil osahulgal, siis saab rääkida üksnes selle funktsiooni vastava lahendi pöördfunktsioonist. Kui funktsiooni f tuletis f' on kohal x nullist erinev, siis pöördfunktsiooni f-1 tuletis kohal y=f(x) saab avaldada kujul ( f -1 )' ( y ) = f '1( x ) = f ' ( f 1-1 ( y ) ) 4. Funkts. Piirväärtus. Ühepoolsed piirväärtused. Funktsiooni piirv. Def: Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a kui suvalises piirprotsessis xa, mis rahuldab tingimust x a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Funktsiooni piirväärtuse kirjutusviis on: lim(xa) f(x) = b või f(x) b kui xa. Mõiste "piirväärtus kohal a asemel võib kasutada ka samaväärseid väljendeid "piirväartus punktis a"või "piirvärtus argumendi lähenemisel värtusele a". Kui lim(xa) f(x) = b siis viies argumendi x küllalt lähedale arvule a saame me muuta
1. Norm ja kaugus (meetrika). Ümbrused. ε-ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed Lõpmata väikeseid (suuri) suurusi α(x) ja β(x) piirprotsessis x → a nimetatakse ekvivalentseteks ümbrused. Lõpmatuse ümbrused selles piirprotsessis, kui Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈ V seab vastavusse skalaari || 8. Funktsiooni pidevus punktis. Uhepoolne pidevus. Katkevuspunktide liigid. u|| ∈ R, kusjuures on taidetud järgmised tingimused: Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks punktis a, kui on taidetud kolm tingimust: 1 ∀u ∈ V ||u|| >= 0; ||u||= 0 ⇔ u = Θ 1) ∃f(a); 2) ∃ limx→a f(x); 3) limx→a f(x) = f(a). Tahistatakse f(x) ∈ C(a) 2 ∀u ∈ V, α ∈ R ||αu|| = |α|||u||
Millistel tingimustel on sirge y = b joone y = f(x) horisontaalasümptoot? (lk 13) Sirge x = a on joone y = f(x) vertikaalasümptoot, kui piirprotsessis x → a − või x → a + funktsiooni väärtus f(x) läheneb kas pluss või miinus lõpmatusele. Sirge y = b on joone y = f(x) horisontaalasümptoot, kui piirprotsessis x → −∞ või x → ∞ funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b 16. Loetleda funktsiooni piirväärtuste omadused, mis on seotud aritmeetiliste tehetega. (lk 14) 1. limx→a [f(x) + g(x)] = limx→a f(x) + limx→a g(x), 2. limx→a [f(x)g(x)] = limx→a f(x) limx→a g(x), 3. limx→a f(x)/ g(x) = limx→a f(x) /limx→a g(x) kui limx→a g(x) ei võrdu 0 . 17. Defineerida lõpmatult kahanev suurus ja lõpmatult kasvav suurus. (lk 14) Funktsiooni f(x) nimetatakse lõpmatult kahanevaks ehk lõpmatult väikeseks suuruseks protsessis x → a, kui limx→a f(x) = 0
Matemaatilise analüüsi (I) I osaeksami teooriaküsimused (Tallinnas õppivatele kaugõppijatele) 1. Ratsionaalarvud, irratsionaalarvud, reaalarvud. Reaalarvu absoluutväärtus ehk moodul. Positiivseid ja negatiivseid täis- ning murdarve koos arvuga null nimetatakse ratsionaalarvudeks. Lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdudena esitatavaid arve nimetatakse irratsionaalarvudeks. Kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud koos moodustavad reaalarvude hulga. x Reaalarvu absoluutväärtuseks ehk mooduliks x nimetatakse mittenegatiivset reaalarvu, mis rahuldab tingimusi x = x, kui x 0, x = -1, kui x < 0. x x. Kehtib seos 2. Muutuv suurus ehk muutuja, jääv suurus ehk konstant. Muutuva suuruse muutumispiirkond. Mõisted: vahemik, lõik, poollõik. Kasvav ja kahanev muutuv suurus, monotoonne suurus. Tõkestatud muutuv suurus. Suurust, mis omandab mitmesuguseid väärtusi, nimetatakse muutuvaks
X; muutumispiirkond Y Näited: 2. Funktsiooni graafik (definitsioon, piltlik esitus). Definitsioon: funktsiooni graafik= {(x,f(x)): x∈X} Piltlikult: 3. Pöördfunktsioon (definitsioon). Näiteid. Kuidas leida pöördfunktsioone? Definitsioon: funktsiooni kujul f(x)-1 nimetatakse pöördfunktsiooniks Leidmine: 4. Põhilised elementaarfunktsioonid. Nende omadused (määramis- ja muutumispiirkonnad) ja graafikud. 5. Funktsiooni piirväärtus (definitsioon, tähistus). Graafiline esitus (ülesanne lk 7). Millal piirväärtus ei eksisteeri? Definitsioon: Arvu L nimetatakse funtsiooni piirväärtuseks kohal a, kui iga ε>0 puhul leidub niisugune arv δ>0, et iga x≠a puhul, mis rahuldab värratus |x-a|< δ, kehtib värratus |f(x)-L|< ε Piirväärtus ei eksisteeri: 1. Parem-ja vasakpoolsed piirväärtused eksiteerivad kuid ei võrdu 2
Näide 2. Olgu hulk X mingi kooli õpilaste hulk ja hulk Y õpilaste vanuste (aastates) hulk. Hulgal X on määratud funktsioon, sest igale õpilasele vastab üks kindel vanus. Seevastu hulgal Y ei ole määratud funktsioon, sest ühevanuseid õpilasi on koolis mitu. Kui on antud hulga Y element (vanus), siis ei saa me üheselt määrata, missuguse õpilasega on tegemist. 9. Põhilised elementaarfunktsioonid. Nende omadused (määramis-ja muutumispiirkonnad) ja graafikud. 10. Funktsiooni piirväärtus (definitsioon, tähistus). Graafiline esitus. Arvu L nimetatakse funktsiooni f(x) piirväärtuseks kohal a, kui iga ε > 0 puhul leidub niisugune arv δ > 0, et iga x 6= a puhul, mis rahuldab võrratust |x−a| < δ, kehtib võrratus |f(x)−L| < ε. Üldine tähistus: lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑥→𝑎 11. Kolm erinevat juhtumit, mille korral piirväärtus on L (𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝑳) 𝒙→𝒂 12
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
