Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Diskreetne matemaatika Hulgad l moodle vastused.". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
loetelu, osahulk, osahulkade, universaalhulk, tehte, täiend, seaduspära, loenduv, ühisosa, korrutamine, nähtub, regulaarne, seaduspärasus, venni, liitmine, osalise, hulgaelemendid, avaldised, tükkiosalise äratuntavat, seaduspära. regulaarset Küsimus 6 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Kuidas nimetatakse mingi hulga kõikide osahulkade hulka ? ( sisesta ühesõnaline vastus ) Vastus: astmehulk Küsimus 7 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 A ja B on hulgad. a ja b on hulgaelemendid. Millised järgnevad avaldised on seljuhul ebakorrektsed? Vali üks või enam: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Küsimus 8 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Mitu tükki saab igat elementi hulgas sisalduda? (sisesta arv) Vastus: 1 Küsimus 9 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 sisesta lahtrisse õige sõna: Kui 2 hulka on samaaegselt teineteise osahulkadeks, siis need hulgad on võrdsed
Õige Hindepunkte 1,00/1,00 vali õige: tühi hulk on iga hulga osahulgaks. Küsimus 4 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Vali kõik viisid / vahendid, mida kasutatakse hulkade esitamiseks: Valige üks või mitu: numbriline kümnendesitus Venni diagramm koos hulgaelementidega hulgaelementide osaline loetelu, millest nähtub mingi regulaarne seaduspärasus hulgaelementide täielik loetelu tõeväärtustabel tõeväärtust omava lause kaudu, mis on tõene iga hulgaelemendi korral loogikaavaldis
Correct Mark 1 out of 1 Select one or more: loogikaavaldis numbriline kümnendesitus tõeväärtust omava lause kaudu, mis on tõene iga hulgaelemendi korral hulgaelementide täielik loetelu hulgaelementide osaline loetelu, millest nähtub mingi regulaarne seaduspärasus Hasse diagramm Venni dagramm koos hulgaelementidega tõeväärtustabel Question 15 Hulgaelementide loetelut esitatakse Correct
Milliseid tehteid asendavad hulgaaritmeetilised asendusseosed? Hulgaaritmeetilised asendusseosed võimaldavad asendada hulgatehteid hulkade vahe ja hulkade sümmetriline vahe tehete täiend, ühend ja ühisosa abil. Milline on hulgaaritmeetiliste tehete prioriteedijärjestus? Millal see oluliseks osutub? Täiend,ühisosa,ühend,vahe,sümmeetriline vahe. Oluliseks, kui vaja tehete järjekord paika panna ja puuduvad sulud. Mille poolest erinevad teineteisega duaalsed hulgaavaldised? Duaalsed avaldised esinevad alati paaridena, kus mõlemad avaldised on teineteise suhtes duaalsed. Kui hulgaavaldises asendada ühisosa ühendiga,ühend ühisosaga, tühjad hulgad universaalhulgaga ja universaalhulgad tühja hulgaga, saame algse avaldise suhtes duaalse kuju. Mis on hulgaavaldise Cantori normaalkuju? Hulgaavaldise Cantori normaalkuju CNK on ühendite ühisosa või ühisosade ühend. Milline on Cantori minimaalne normaalkuju? Milline on täielik normaalkuju?
nähtava seaduspärasusega ning valemina, mis kehtib iga hulgalemendi korral. Hulgad on võrdsed, kui nad koosnevad täpselt samadest hulgaelementidest. Hulga osahulgaks nimetetakse seda hulka, mis täielikult sisaldub teise hulga sees. Kaks hulka on üksteise osahulkadeks, kui nad on võrdsed. Venni diagramm on hulkade illustratiivne esitusviis. Universaalhulk on hulk ning tema täiend. Hulga täiend on kõik hulgaelemendid, mis ei kuulu sellesse hulka. Tühi hulk on hulk, kus pole ühtegi hulgaelementi. Tühi hulk on iga hulga osahulgaks. Iga hulk on universaalhulga osahulgaks. Astmehulk on hulga kõikide osahulkade hulk. Astmehulgaks n-elemendilisele hulgale on 2^n. Lõplik hulk on hulk, kus on teatud arv hulgalemente. Lõpmatu hulk on hulk, kus on lõptmatu arv hulgaelemente. Loenduv hulk on hulk, mille igale elemendile saav vastavusse seada nat.
10. Millist liiki sisendid on multipleksoril? Multipleksoril on juhtsisendid ja andmesisendid. 11. Kuidas on omavahel seotud multipleksori juhtsisendite ja andmesisendite arv? N-multipleksoril on n juhtsisendit ja andmesisendit. 12. Milline on lihtsaim multipleksor? Kui palju sisendeid tal on? Lihtsaim multipleksor on 1 multipleksor, millel on 1 juhtsisend ja andmesisendit. 13. Millise loogikaavaldiste teisendusmeetodiga on multipleksorskeemide koostamine seotud? Funktsioonide avaldised saab multipleksorskeemina realiseerimiseks sobivale kujule teisendada Shannoni disjunktiivse arendusega. 14. Mis on loogikafunktsioonide skeem? Loogikafunktsioonide skeem on loogikafunktsiooni esitus üle loogikaelementide. 15. Mis on iseloomulik mingis konkreetses süsteemis esitatud loogikaavaldisele? Igasuguse esituse korral on võimalik välja lugeda, milleks loogikafunktsioon suvalise argumentvektori korral ennast arvutab. 16. Milline loogikafunktsioonide süsteem on täielik
võimalikust arvust hulkadest Täielik Cantori normaalkuju: CNK, kus igas ühisosa- või ühenditehtes osalevad operandidena kõik avaldises leiduvad hulgad Tühi hulk: hulk, millesse ei kuulu ühtki elementi Universaalhulk: hulk, kuhu kuuluvad kõik antud tingimustel võimalikud elemendid Venni diagramm: hulkade illustratiivse graafilise esitamise moodus, diagrammil näidatakse hulki ringjoontena, mille sees võivad näidatud olla ka hulgaelemendid Võimsus: lõpliku hulga võimsus on elementide arv selles hulgas Arvusüsteemid Arvusüsteemi alus: järguväärtuste arv Järgu kaal: arvujärgu väärtus, saadakse alust arvujärgu indeksiga astendades Olulised järgud: intervalli olulised järgud on tema vektorite need 2ndjärgud, mille väärtus on kõigil vektoritel kogu intervalli ulatuses konstantne Tüvenumbrid: numbrid kõrgeimast mittenullilisest numbrist madalaima mittenullilise numbrini Loogikaalgebra
Hulk A on hulga B osahulk 𝐴⊂𝐵 kui hulga A iga element on samal ajal ka hulga B elemendiks : ∀𝑥(𝑥∈𝐴→𝑥∈𝐵). Iga hulk on iseenda osahulgaks 𝐴⊂𝐴. Kui 2 hulka on teineteise osahulkadeks, siis on nad võrdsed: (𝐴⊂𝐵∧𝐵⊂𝐴)↔𝐴≡𝐵. Venni diagramme kasutatakse hulkade illustratiivseks graafiliseks esitamiseks, kus hulki esitatakse ringjoontega, mille sees võivad olla näidatud hulgaelemendid. 2 hulka – 4 pk ; 3 hulka – 8 pk ; 4 hulka – 16 pk. Universaalhulga I mood. elemendid, mis kuuluvad vaadeldavasse hulka ja elemendid, mis ei kuulu vaadeldavasse hulka. Universaalhulk võeti kasutusele hulka mittekuuluvate elementide esitamiseks. Hulka A mittekuuluvad elemendid mood. hulga A täiendi 𝐴̅. Tühi hulk on elementideta hulk. Tühi hulk ∅ on iga hulga osahulgaks ∀𝐴(∅⊂𝐴). Mingi hulga A astmehulgaks 2𝐴 ehk 𝑃(𝐴) nim selle hulga kõikide osahulkade hulka
Hulk A on hulga B osahulk 𝐴 ⊂ 𝐵 kui hulga A iga element on samal ajal ka hulga B elemendiks : ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵). Iga hulk on iseenda osahulgaks 𝐴 ⊂ 𝐴. Kui 2 hulka on teineteise osahulkadeks, siis on nad võrdsed: (𝐴 ⊂ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊂ 𝐴) ↔ 𝐴 ≡ 𝐵. Venni diagramme kasutatakse hulkade illustratiivseks graafiliseks esitamiseks, kus hulki esitatakse ringjoontega, mille sees võivad olla näidatud hulgaelemendid. 2 hulka – 4 pk ; 3 hulka – 8 pk ; 4 hulka – 16 pk. Universaalhulga I mood. elemendid, mis kuuluvad vaadeldavasse hulka ja elemendid, mis ei kuulu vaadeldavasse hulka. Universaalhulk võeti kasutusele hulka mittekuuluvate elementide esitamiseks. Hulka A mittekuuluvad elemendid mood. hulga A täiendi 𝐴̅. Tühi hulk on elementideta hulk. Tühi hulk ∅ on iga hulga osahulgaks ∀𝐴(∅ ⊂ 𝐴). Mingi hulga A astmehulgaks 2 𝐴 ehk 𝑃(𝐴) nim selle hulga kõikide osahulkade hulka
Lahendus. Paar (1, 1) kuulub seostesse 1, 3, 4 ja 6. Paar (1, 2) kuulub seostesse 1 ja 6. Paar (2, 1) kuulub seostesse 2, 5 ja 6. Paar (1, -1) kuulub seostesse 2, 3 ja 6. Paar (2, 2) kuulub seostesse 1, 3 ja 4. Kui palju erinevaid seoseid saab olla hulgal, milles on elementi? N^2 Seoste esitusviise Seoseid võib esitada väga mitmel viisil. i. Kui hulgad ja on lõplikud ja ei sisalda väga palju elemente, siis võib seost määrata lihtsalt temasse kuuluvate elemendipaaride loetelu teel (vt näiteid 1 ja 2). Seost võib kujutada ka tabelina. Seos 1 näites 1 esitub tabelina järgmiselt: A 2 2 3 3 B 2 3 1 5 ii. Kui otsekorrutist × kujutada ristkülikuna, siis seost hulkade ja vahel võime kujutada ükskõik millise kujundina selle ristküliku sees. . iii. Maatriksesitus. Olgu = {1, . . . , } ja = {1, . . . , } ning × . Seame seosele vastavusse maatriksi = (), kus = 1, kui ( , ) ja =
. . , 49} on kõigi 50-st väiksemate positiivsete paaritute arvude hulk ning Y = {2, 4, 6, . . . } on kõigi positiivsete paarisarvude hulk. · Antud kirjaviisis mõttepunktid (kolm punkti) tähendavad seda, et jätka loendust ,,samal viisil". · Hulga elementide loendi esitamise asemel võib hulga määrata ka temasse kuulumise tingimuse abil. · Sellistel juhtudel kasutame kirjeldusviisi A = {x : p(x)} või A = {x | p(x)}, kus p(x) tähistab tingimust või tingimuste loetelu, mida vaadeldavasse hulka kuuluvad elemendid x peavad rahuldama. o Näiteks, kui uurime võrrandi reaalarvulisi lahendeid, siis: · A={x (x-1)( x+2)(x +3)=0 } on kõigi selliste reaalarvude x hulk, mis rahuldavad võrrandit ( x-1)(x+2)(x +3)=0 ehk A on selle võrrandi reaalarvuliste lahendite hulk. Me oleks võinud ka kirjutada, et A = {1, -2, -3} Tähtsamad arvuhulgad · Naturaalarvude hulk = {1, 2, 3, . . . }; · Täisarvude hulk = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . };
Tingimused 1. Välistatud kolmanda seadus. Iga lause on kas tõene või väär. 2. Mittevasturääkivuse seadus. Ükski lause pole korraga tõene ja väär. Lausearvutuse valemid on parajasti need, mida saab koostada alltoodud reeglite järgi: 1. Iga lausemuutuja on lausearvutuse valem. 2. Kui F on lausearvutuse valem, siis ka F on lausearvutuse valem. 3. Kui F ja G on lausearvutuse valemid, siis ka (F&G), (FVG),(F->G) ja (F<->G) on lausearvutuse valemid. Osavalem : Kõiki antud valemi konstrueerimise käigus tekkinud valemeid nimetatakse selle valemi osavalemiteks ehk alamvalemiteks, konstrueerimise viimasel sammul kasutatud suhet aga peatehteks. Kokkulepped sulgude kohta: 1. Tehete prioriteet kõrgemast madalamani on , &, V, ->, <->. 2. Vasakassotsiatiivsus: kui mitme liikme konjuktsioonis või disjunktsioonis sooritatakse. tehteid vasakult paremale, siis võib tehete järjekorda täpsustavatest sulgudest l
. . ." N = { 0, 1, 2, 3, ...} Hulk koosneb hulgaelementidest. ( Hulk sisaldab elemente ) HULKADE VÕRDSUS : Hulgad on võrdsed , kui nad koosnevad samadest elementidest: Hulga esitamine Hulka tähistatakse suurtähtedega: A B C D {1 3 5} = {5 1 3} Hulka esitatakse: Hulgaelemendid ei ole hulgas üksteise suhtes kuidagi järjestatud. — tema elementide täieliku loeteluna loogsulgude vahel: Hulgas ei ole korduvaid elemente. { a, e, i, o, u, õ, ä, ö, ü } või {a e i o u õ ä ö ü} Igat hulgaelementi on hulgas "üks eksemplar" : { 1 3 3 5 5 5 } = { 1 3 5 } ( komast võib loobuda, kui iga hulgaelement esitub üksiku tähemärgi abil ) Hulgaelemendi e V tähistatakse: e ∈ V
( ) 0 1 00 R= 0 0 10 0 0 01 0 1 00 Relatsiooni astme maatriks Relatsiooni astme maatriksi saab leida järjestikuse korrutamise teel: 1 R =R Rn+1 =Rn ∘R GRAAFID 33. Graafi definitsioon. Tipud, servad. Multigraaf. Täisgraaf, nullgraaf, täiendgraaf. Kaalutud graaf. Intsidentsus. Naabertipud. Graafi naabrusmaatriks. Alamgraaf. Regulaarne graaf. [2] Graaf, tipud, servad o Graaf on punktide hulk (tavaliselt lõplik), kus mõned punktid on ühendatud joontega. o DEF. Graaf on paar G = (V,E), kus V on mittetühi hulk ning E hulk, mille elementideks on hulga V kaheelemendilised alamhulgad. Hulga V elemente nimetatakse graafi tippudeks, hulga E elemente aga servadeks. Ülaltoodud graafi puhul näiteks on V = {A,B,C,D,E} Ja E = {{A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {C,E}}.
b. Boole'i maatriks: olgu R relatsioon hulkade X = {x1, x2, ..., xm} ja Y = {y1, y2, ..., yn} vahel. Seame relatsioonile R vastavusse m×n-maatriksi, kus maatriski element . Nt, jaguvusrelatsioon. c. Graaf: Relatsioone lõpliku hulga X elementide vahel saab kujutada suunatud graafi abil. Kujutame hulga X elemente graafi tippudena ja joonistame tipust x tippu y kaare, kui kehtib xRy. Nt, jaguvusrelatsioon d. Avaldis: algebralised avaldised, nt võrratused. 22) Hulgal X määratud relatsiooni R nimetatakse a. refleksiivseks, kui iga x X korral (x, x) R. Nt samasusrelatsioon. Maatriksil on peadiagonaalis kõik ühed, graafis on iga tipu juures silmus. b. antirefleksiivseks, kui iga x X korral (x, x) R. Nt relatsioon . Maatriksi peadiagonaal koosneb nullidest, graafis ei ole ühegi tipu juures silmust. c. sümmeetriliseks, kui (x, y) R korral alati (y, x) R. Nt relatsioonid = ja .
tuletatav S0}. Grammatikate hierarhia: 0-tüüpi (L0) .. ei lisakitsendusi 1-tüüpi (L1) .. kontekstist sõltuv iga produktsiooni vasak pool on lühem kui parem pool välja arvatud S -> e 2-tüüpi (L2) .. kontekstivaba iga produktsioon kujul A w A kuulub N, w kuulub V* 3-tüüpi (L3) .. paremlineaarsed keeled kõik produktsioonid kujul A bC või A b A,C kuulub N, b kuulub L3 on alamhulgaks L2 on alamhulgaks L1 jne. 9. Regulaarsed avaldised ja hulgad. Regulaarne hulk tähestikus : · tühihulk · {e} tühjast sõnast koosnev hulk · {a} kuulub - ühest terminaalist koosnev hulk · hulk P ühend Q, P lõige Q, Q*, kus P ja Q on regulaarsed hulgad Regulaarne avaldis regulaarset hulka tähistav lühendkirjapilt, mis on määratud AINULT järgnevate rekursiivsete reeglitega: · o tähistus tühjale hulgale · e tähistus tühjast sõnast koosnevale hulgale {e}
*Lõpliku hulga kardinaalarv on selle hulga elementide arv, lõpmatute hulkade puhul kasutatakse aga eritähiseid: 0 tähistab loenduvat võimsust, 1 aga tähistab kontiinumvõimsust. (loendamatu) *Võrdvõimsad hulgad- Kui kahes hulgas on ühepalju elemente ning nende elementide vahel saab luua üksühese vastavuse, on need kaks hulka võrdvõimsad. (Tähistatakse |A|=|B|) *Loenduv hulk- Kui hulk on sama võimsusega nagu naturaalarvude hulk N, peetakse teda üldiselt loenduvaks. Loenduv hulk võib seega olla ka lõpmatu. *Loendamatu hulk- Kui hulk on sama võimsusega nagu reaalarvude hulk IR, peetakse teda loendamatuks. Tänu komakohtadele pole elemente lihtsalt võimalik ammendavalt loetleda. Kontiinumhüpotees- Kontiinumhüpotees on hüpotees, mille arendajaks oli George Cantor (aastal 1877) ning see puudutab lõpmatute hulkade võimalikke suurusi. *Hüpoteesis eristatakse nö. ,,väiksema võimsusega lõpmatut hulka", milleks on
Matemaatika 1. klassile ÕPETAJARAAMAT I osa Kaja Belials Matemaatika 1. klassile ÕPETAJARAAMAT I osa Retsenseerinud Kalju Kaasik Toimetanud Esta Erit Keeletoimetaja Kaire Luide Kujundanud Anne Linnamägi ISBN 9985-2-0849-8 © AS BIT, 2003 Müügiesindused: TALLINN 10133, Pikk 68 tel 6 275 401, faks 6 411 340 TARTU 51003, Tiigi 6 tel/faks (07) 420 637, tel (07) 427 156 PÄRNU 80011, Kuninga 18 tel/faks (044) 42 278 JÕHVI 41532, Rakvere 30 tel/faks (033) 70 108 www.avita.ee [email protected] Lugupeetud õpetajad Käesolev õpetajaraamat püüab teile abiks olla ja nõu anda, kui ka- sutate Kaja Belialsi koostatud tööraamatut I klassile ning ülesanne- te kogumikke „Arvuta” ja „Iseseisvad tööd”. Tundide näitlikustamiseks saab kasutada õpetajaraamatu juurde kuuluvat pildikomplekti. Raamatu lk 38–40 võib paljun
¨ TALLINNA TEHNIKAULIKOOL MATEMAATIKAINSTITUUT Peeter Puusemp TOPOLOOGILISED RUUMID Loengukonspekt Tallinn 2003 SISUKORD Eess˜ona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 TOPOLOOGILINE RUUM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1 Topoloogilise ruumi definitsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Topoloogilise ruumi baas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Kinnised hulgad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 ¨ 1.4 Ulesandeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 ¨ 2 UMBRUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1 Punkti u ¨mbruste s¨ usteem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Topoloogia m¨a¨aramine u ¨mbruste s¨
võimalik öelda, kumb neist on eelnev, kumb järgnev. Tehted hulkadega: * Hulkade A ja B ühendiks ehk summaks nimetatakse hulka, mille moodustavad kõik kas hulka A, hulka B või mõlemasse kuuluvad elemendid. Hulkade A ja B ühendit tähistatakse * Hulkade A ja B ühisosaks ehk korrutiseks nimetatakse hulka, mille moodustavad kõik üheaegselt nii hulka A kui ka hulka B kuuluvad elemendid. Hulkade A ja B ühisosa tähistatakse * Hulkade A ja B vaheks nimetatakse kõigi selliste elementide hulka, mis kuuluvad hulka A, kuid ei kuulu hulka B. Hulkade A ja B vahet tähistatakse AB, * Hulkade A ja B sümmeetriliseks vaheks nimetatakse kõigi selliste elementide hulka, mis kuuluvad hulka A, kuid mitte hulka B, või kuuluvad hulka B, kuid mitte hulka A. Hulkade A ja B sümmeetrilist vahet tähistatakse Arvuhulgad: N = - naturaalarvude hulk). Z = täisarvude hulk. Q = ratsionaalarvude hulk. I
HULGATEOORIA PÕHIMÕISTEID HULK - algmõiste, intuitiivse definitsiooni järgi objektide kogum. George Cantor (1845-1918) - saksa matemaatik, hulgateooria rajaja. Hulgad jaotuvad lõpmatuteks ja lõplikeks. Meie kursuses käsitletakse lõplikke hulki, mõnikord ka lõpmatuid loenduvaid hulki. Hulgateoreetilised operatsioonid Hulkade ühend A B = { x ( x A) V ( x B ) } Hulkade ühisosa (lõige) A B = { x ( x A) & ( x B ) Hulga täiend A = { x ( x I ) & ( x A ) }, kus I on nn. universaalhulk. Hulkade vahe A B = { x ( x A) & ( x B ) } Hulkade sümmeetriline vahe A B = { x (( x A ) & ( x B )) V (( x A ) & ( x B )) } Hulga A astmehulgaks 2A nimetatakse hulga A kõigi alamhulkade hulka. Hulgateoreetiliste operatsioonide omadused Kommutatiivsusseadused A B = B A B = B Assotsiatiivsusseadused A ( B C ) = ( A B ) C
kasu valmistumisel kontrolltööks ja eksamiks. Margus Kruus HULGATEOORIA PÕHIMÕISTEID HULK - algmõiste, intuitiivse definitsiooni järgi objektide kogum. George Cantor (1845-1918) - saksa matemaatik, hulgateooria rajaja. Hulgad jaotuvad lõpmatuteks ja lõplikeks. Meie kursuses käsitletakse lõplikke hulki, mõnikord ka lõpmatuid loenduvaid hulki. Hulgateoreetilised operatsioonid · Hulkade ühend AB={x |(xA)V (xB)} · Hulkade ühisosa (lõige) AB={x |(xA)& (xB) · Hulga täiend A = { x | ( x I ) & ( x A ) }, kus I on nn. universaalhulk. · Hulkade vahe AB={x |(xA)& (xB)} · Hulkade sümmeetriline vahe A B = { x | (( x A ) & ( x B )) V (( x A ) & ( x B )) } Hulga A astmehulgaks 2A nimetatakse hulga A kõigi alamhulkade hulka. Hulgateoreetiliste operatsioonide omadused · Kommutatiivsusseadused AB=B A B = B · Assotsiatiivsusseadused A(BC)=(AB)C 1 A(BC)=(AB)C · Distributiivsusseadused A(BC)=(AB)(AC)
liikmesfunktsioonide kooskõla. Siinkohal on oluline märkida, et mitte alati ei kasutata ära hägusloogikasüsteemide semantilisi tõlgendusvõimalusi (s.o. lingvistilised märgendid võivad kanda minimaalset infot väljendavaid nimetusi nagu "liikmesfunktsioon 1", "liikmesfunktsioon 2"). Kujutlegem ette hägusat hulka, mis on tähistatud märgendiga "noor" ja mille alus paikneb vahemikus [30, 40]. Semantiline kooskõla sõltub sellest, milline on muutuja universaalhulk X, näiteks kui X = [30, 100], on kõik korras, kuid juhul kui X = [0, 40], on raske rääkida tükelduse semantilisest mõtestatusest. Samamoodi on oluline hulkade järjestus, näiteks kui hägus hulk, mis vastab lingvistilisele märgendile "vana", asetseb vasakul lingvistilise märgendile "noor" vastavast liikmesfunktsioonist on ilmselgelt tegu valesti moodustatud tükeldusega. 1. 4 Tehted hägusate hulkadega 9 1
eestikeelsete loogikamaterjalidega. Näib, et väljend formaalne loogika on eesti keeles tänapäeval ebamäärase tähendusega. Allpool Kasutatakse seda väljendit ainult laiemas tähenduses: nii, et see vastandub informaalsele või dialektilisele loogikale. Semantiline kolmnurk Rääkida saab nii füüsilise maailma objektidest, mõtlemisse kuuluvatest objektidest (nt mõistetest) kui ka sõnadest, kusjuures see loetelu pole ammendav. Tuleb vahet teha keele tavaehk argikasutuse ja keele ekspertkasutuse vahel. Argikasutaja tugineb naiivsele maailmapildile (folk theory) ja Kasutab sõnu, järgides mingi sotsiaalse rühma tavasid. Ekspertkasutaja keel on oskuskeel, mis püüdleb mitmemõttelisuse vältimisele ning taotleb suuremat täpsust ja selgust, Kasutades oskussõnu ning ranget defineerimist ja liigitamist. Väljaspool erialakonteksti on keele ekspertkasutaja jätkuvalt argikasutaja rollis
eestikeelsete loogikamaterjalidega. Näib, et väljend formaalne loogika on eesti keeles tänapäeval ebamäärase tähendusega. Allpool Kasutatakse seda väljendit ainult laiemas tähenduses: nii, et see vastandub informaalsele või dialektilisele loogikale. Semantiline kolmnurk Rääkida saab nii füüsilise maailma objektidest, mõtlemisse kuuluvatest objektidest (nt mõistetest) kui ka sõnadest, kusjuures see loetelu pole ammendav. Tuleb vahet teha keele tava- ehk argikasutuse ja keele ekspertkasutuse vahel. Argikasutaja tugineb naiivsele maailmapildile (folk theory) ja Kasutab sõnu, järgides mingi sotsiaalse rühma tavasid. Ekspertkasutaja keel on oskuskeel, mis püüdleb mitmemõttelisuse vältimisele ning taotleb suuremat täpsust ja selgust, Kasutades oskussõnu ning ranget defineerimist ja liigitamist. Väljaspool erialakonteksti on keele ekspertkasutaja jätkuvalt argikasutaja rollis
Analüütiliselt: AB + BC = AC. 2) RÖÖPKÜLIKU REEGEL: kahe vektori liitmiseks tuleb nad viia ühisesse alguspunkti ja lugeda summavektoriks nende vektorite poolt määratud rööpküliku selle diagonaaliga antud vektor, millel on liidetavatega ühine alguspunkt. MÄRKUS. Sõnastatud reeglid on samaväärsed. OMADUSED 1) Kommutatiivsus: a + b = b + a. 2) Assotsiatiivsus: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c. 3) Nullvektori omadus: a + 0 = a. VEKTORI KORRUTAMINE ARVUGA: R × V V: (, a) a: 1) korrutisvektori pikkus: a = a , 2) korrutisvektori siht: a || a, 3) korrutisvektori suund: a a, kui > 0, a a, kui < 0. MÄRKUS. Vektori korrutamisel arvuga saadakse esialgsega kollineaarne vektor. Muutuda võivad vektori pikkus ja suund. OMADUSED 1) Assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes: (a) = ()a. 2) Distributiivsus arvude liitmise suhtes: ( + )a = a + a. 3) Distributiivsus vektorite liitmise suhtes: (a + b) = a + b. 4) Arvu "üks" omadus: 1 a = a
Analüütiliselt: AB + BC = AC. 2) RÖÖPKÜLIKU REEGEL: kahe vektori liitmiseks tuleb nad viia ühisesse alguspunkti ja lugeda summavektoriks nende vektorite poolt määratud rööpküliku selle diagonaaliga antud vektor, millel on liidetavatega ühine alguspunkt. MÄRKUS. Sõnastatud reeglid on samaväärsed. OMADUSED 1) Kommutatiivsus: a + b = b + a. 2) Assotsiatiivsus: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c. 3) Nullvektori omadus: a + 0 = a. VEKTORI KORRUTAMINE ARVUGA: R × V V: (, a) a: 1) korrutisvektori pikkus: a = a , 2) korrutisvektori siht: a || a, 3) korrutisvektori suund: a a, kui > 0, a a, kui < 0. MÄRKUS. Vektori korrutamisel arvuga saadakse esialgsega kollineaarne vektor. Muutuda võivad vektori pikkus ja suund. OMADUSED 1) Assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes: (a) = ()a. 2) Distributiivsus arvude liitmise suhtes: ( + )a = a + a. 3) Distributiivsus vektorite liitmise suhtes: (a + b) = a + b. 4) Arvu "üks" omadus: 1 a = a
valede reeglite ja strateegia sobitamisest tulenevate vigade põhjuseks on algoritmi vale kasutus Veatüüpidest selgema ülevaate saamiseks võib need ka lihtsalt Iiitmis- ja lahutamisvigadeks jagada. Liitmisvead: Algteadmiste puudulikkusest tulenevad vead (liitmine, lahutamine 20 piires). Järgületusvead Algoritmi vale kasutamine: arvutamine vasakult paremale või valede järkude omavahelliitmine Tehte komponentide valesti üksteise alla märkimine Nullivead Hooletusvead Lahutamisvead: Laenamisvead Nullivead 2 Algoritmi vale kasutamine (lahutatakse valest järgust) Puudulikest algteadmistest tulenevad vead Hooletusvead See uurimissuund võimaldab selgitada veaohtlikud kohad, elementaaroskused, mille omandamine
Loogika aine ja ajalugu: sissejuhatus T.Tamme, T.Tammeti ja R.Prangi loogikaõpikule "Mõtlemisest tõestamiseni" Tanel Tammet Department of Computer Sciences, University of Göteborg and Chalmers University of Technology, 41296 Göteborg, Sweden email: [email protected] Puhta loogika eesmärk on olla õige kõigis võimalikes maailmades, mitte ainult selles veider-segases vaevarikkas maailmas, kuhu juhus meid on heitnud. Loogik peab eneses alal hoidma teatud annuse jumalikkust: ta ei tohi alanduda selleni, et teha järeldusi enese ümber nähtust. B.Russell
korrutada või jagada murru lugejat ja nimetajat ühe ja sama nullist erineva arvuga. Hektar on mittesüsteemne pindalaühik. Tähis ha. 1 ha = 0,01 km² = 10000 m² Hulkade A ja B ühendiks nimetatakse hulka, millesse kuuluvad kõik hulga A elemendid ja hulgast B veel need, mis hulka A ei kuulu. Hulkade ühendit tähistatakse märgiga . Näide 1: A = { m;;7}. B = { ; ; 7; b} A B = {m; ; 7; ; b } Hulkade A ja B ühisosa A B on hulk, mille moodustavad parajasti kõik sellised elemendid, mis kuuluvad hulka A ja hulka B. Näide 1 Hulkade {1, 2, 3} ja {2, 3, 4} ühisosa on {2, 3}. Hulkliiget nimetatakse lineaaravaldiseks ehk esimese astme hulkliikmeks vaadeldavate muutuja suhtes, kui ühegi liikme aste nende muutujate suhtes ei ole suurem kui üks. Näiteks on hulkliige ax+bx+c lineaaravaldiseks kahe muutuja x ja y suhtes. Hulknurgaks nimetatakse geomeetrilist kujundit, mis on piiratud kinnise murdjoonega
fikseerimiseks. Peamised piirajad on ( ) - ümarsulud -- käsutatakse avaldise osade ning parameetrite ja argumentide piiritlemiseks Sqr ((a + b)/(c + d)), Function NatS2 ( n1,n2) 11 " -jutumärgid - käsutatakse stringkonstantide esitamisel "Pindala" Eraldajad on mõeldud keelekonstruktsiooni elementide teineteisest eraldamiseks. Peamised eraldajad on koolon - lausete eraldaja S = 0: n = O kõma - eraldab loetelu elemente RuutVrd a, b, c, x1, x2 punkt - eraldab arvudes murdosa täisosast 345.72 tühik - käsutatakse seal, kus ei ole teist eraldajat Sub Superi, End Sub, If tulu<=500 Then ... Keelekonstruktsioonide kirjeldamisel käsutatakse edaspidi kokkuleppeid, mis võimaldavad näidata kompaktselt ja ühemõtteliselt lausete ja nende elementide esitusviise. Võtmesõnad, tehtesümbolid, piirajad ja eraldajad moodustavad tavaliselt
mis kuulub terminaalide tähestikku ja on produtseeritav lähtesümbolist). DEF: Sõnede hulk L on KV keel, kui leidub KV grammatika G, nii et L=L(G). DEF: KV-grammatika G on ühene, kui iga sõne x ∈ L(G) korral leidub ainult 1 tuletuspuu (1 vasaktuletus). DEF: KV-keel L on ühene, kui kui leidub ühene KV-grammatika G , nii et L = L(G). Teoreem: Olgu L1 ja L2 ühesed keeled. Kui L1 ∩ L2 = ∅, siis on keel L1 ∪ L2 samuti ühene. T: Oletame, et L1-l ja L2-l on ühisosa. Keeled L2 = {anbncm | n,m > 0} ja L3 = {ambncn | n, m > 0} on ühesed, grammatikad on {S→AB, A→aAb, A→ab, B →cB, B →c} ja {S →AB, A→aA, A→a, B →bBc, B →bc}. Keel L = {anbncm | n,m > 0} ∪ {ambncn | n,m > 0} on mitmene, sest saab mitu tuletuspuud teha. 9 KV grammatika Chomsky normaalkuju. DEF: KV gramaatika G = (N,Σ,P,S) on Chomsky normaalkujul, kui tema produktsioonid on ühel kujudest: A→BC; A→a(terminaal); S(lähtesümbol)→ε.
1_fl_i-v L1. SISSEJUHATUS Mõtlemine on käsiteldav kui igasugune aktiivne vaimne protsess. Tulemuslikku mõtlemist iseloomustab abstraheerimine, analüüs ja süntees. Mõtlemisvahendite põhjal võib seda jaotada · kaemuslik-motoorne, · kujundlik · sõnalis-loogiline (verbaal-loogiline). Sõnalis-loogiline mõtlemine tugineb mõistetele. Verbaalne mõtlemine avaldub inimese oskuses ... · opereerida mõistetega, neid võrrelda ja analüüsida; · püstitada hüpoteese, formuleerida kontseptsioone ja teooriaid; · seletada olemasolevaid teadmisi; · saada uusi teadmisi olemasolevate põhjal. Ratsionaalne mõtlemine on järjekindel ja reeglipärane (ehk loogiline) mõtlemine. See võib olla korrigeeritud kogemusega, mille allikaks peetakse tegelikkust. Eesmärgiks on sageli tegelikkusega kohanemine. Irratsionaalne mõtlemine võib ol
annaabi.ee 
