an1 L ann an1 L ann an1 L ann an1 L ann Analoogne väide kehtib determinandi D veergude jaoks. Omadus 6. Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingi rea arvudele liita mingi arvu kordsed teise rea arvud. Analoogne väide kehtib determinandi veergude jaoks. Tõestus. Olgu 1 , 2 , ... , n determinandi D reavektorid. Tähistagu D^ determinanti, mis on saadud determinandist D tema k-nda rea arvudele arvu c kordsete l-nda rea arvude liitmisel. Siis eelmiste omaduste põhjal 1 1 1 1 M M M M k + c l k c l l
Omadus 6. Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingi rea arvudele liita mingi arvu kordsed teise rea arvud. Omadus 7. (Determinandi arendis rea või veeru järgi) Determinandi D mis tahes reanumbri i korral kehtib (arendis i-nda rea järgi) ja mis tahes veerunumbri j korral kehtib (arendis j-nda veeru järgi), kus ja Mij on determinant, mis tekib determinandist D i-nda rea ja j-nda veeru kõrvaldamisel. Omadus 8. Kui determinandi mingis reas või veerus on kõik arvud nullid, siis determinandi väärtus võrdub nulliga. Omadus 9. Ruutmaatriksi A = ( aij ) R n×n determinandi A = D mis tahes reanumbrite i ja k korral kehtib võrdus kus Akj on determinandi elemendi akj alamdeterminant. Analoogselt mis tahes veerunumbrite j ja k korral
x1 = g ( w) dy y dx1 y dx 2 y y=f(x 1;x2;w), kus = × + × + c) y=f(x 1;x2;u;v) x 2 = h( w) dw x1 dw x 2 dw w x1 = g (u; v) 10)mis on Crameri valem? Crameri reegel- Kui võrdse otsitavate ja võrrandite x2 = h(u; v) arvuga lineaarvõrrandite süsteemi maatriks A on regulaarne (D A0), siis on süsteemil üks lahend xj=Dj/DA (j=1,2,...,n) tingimus n=m Dj saadakse süsteemi determinandist D j-nda veeru a11a12 . .d1. .a1n - Aj 1 a21a22 . .d 2 . .a2n asendamisel vabaliikmete veeruga. xj = = Kui r=n siis on täidetud A A.............. an1an 2. .d n . .ann Crameri peajuhu tingimused *m=n *D ei=0-ga ning seega on süsgteemil üks lahend, mis
tingimus selleks, et determinandi väärtus oleks samane nulliga. Crameri peajuhtum Determinandi abiga saab lahendada l.v.s, kus tundmatuid ja võrrandeid on sama palju. · Moodustame tundmatute ees olevatest kordajatest n- järku determinandi. · D 0, siis räägitakse Crameri peajuhtumist. · Crameri peajuhul on l.v.s üheselt määratud lahend, mis avaldub valemiga xn = Dn/D Determinant Dk tuletatakse süsteemi determinandist D k-nda veeru kinni katmisel ja selle asendamisel vabaliikmete veeruga, kusjuures ülejäänud veerud jäävad oma endistele kohtadele. D = 0, siis selleks, et l.v.s oleks lahend ka sellisel juhul, peavad kehtima tingimused D 1 = D2 = ...=Dn, sellisel juhul on l.v.s rohkem kui üks lahend. Determinanti on võimalik arendada tema suvalise rea/veeru järgi. Kompleks arvutus i2 = -1 = a + bi a-kompleksarvu reaalosa
§ ¨a2 x b2 y c2 , kordajatest. Seda determinanti nimetatakse võrrandisüsteemi determinandiks kus a1, b1, c1, a2, b2 ja c2 on antud arvud ja x ning y on tundmatud. ja tähistatakse tähega D. Murru lugejas olevate determinantide elemendid on aga saadud süsteemi determinandist vastava tundmatu kordajate asendamisel a 2 ab b 2 ab u v u v u 2 v 2 d) e) f) vabaliikmetega. Neid determinante tähistatakse lühidalt tähtedega Dx ja Dy. a 2 ab b 2 a b u v u v u 3 v 3
3) a11a22a33 + (-1)(1, 3, 2)a11a23a32 + (-1)(2, 1, 3)a12a21a33 + (-1)(2, 3, 1)a12a23a31 + (-1)(3, 1, 2) a13a21a32 + (-1)(3, 2, 1)a13a22a31 = a11a22a33 - a11a23a32 - a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 + a13a22a31 Sarruss'i reegel - skeem kolmandat järku determinandi leidmiseks 14. Crameri valemid ja nende tõestus juhul n = 2. x1 = D1/D; x2 = D2/D; ...; xn = Dn/D, kus Dj on determinant, mis tekib determinandist D, kui seal j veerg asendada vabaliikmete veeruga b 1, b2, ..., bn Nõuded: võrrandite arv = tundmatute arv; D 0 a11x1 + a12x2 = b1 ja a21x1 + a22x2 = b2 Tundmatu x1 leidmiseks lahutatakse arvu a22 kordsest esimesest võrrandist arvu a12 kordne teine võrrand ja saadakse (a11a22 - a12a21)x1 = b1a22 - b2a12 => x1 = (b1a22 - b2a12) / (a11a22 - a12a21) Tundmatu x2 leidmiseks lahutatakse arvu a11 kordsest teisest võrrandist arvu
determinant selle teguriga. Kui determinandis on kahe rea (veeru) elemendid omavahel võrdelised, siis võrdub determinant nulliga. Determinant, milles ühel pool peadiagonaali asuvad ainult nullid, on võrdne peadiagonaali elementide korrutisega 14. Determinandi elemendi minoor ja alamdeterminant,determinandi arendis k-nda rea (veergu) järgi. Determindi aij elemendi minoor on-kui kõrvldame determinandist i-nda rea ja j-nda veergu ja tähistame Mij.alam determinant on- kui determindi aij ongi tema minoor Mij,mis võetakse ,,+" märgiga kui i+j on paaris arv,ja ,,-,, märgiga kui i+j on paaritu arv ja ähistatakse Aij.dterminandi arendis on-rea(veergu)elementide ja alamdeterminantide korrutis.rea(veergu) arendis on võrdne determinandi väärtusega. 15. Determinandi väärtuste arvutamine põhiomaduste järgi.
= (bji ), mille veergudeks on parajasti maatriksi A vastavad read 3. Determinandi mõiste, järk, tähistused. Miinor, alamdeterminant. determinant ruutmaatriksile algoritmiga vastavusse seatud arv. Igale ruutmaatriksile saab vastavusse seada ühe reaalarvu, mis leitakse ühe ja sama algoritmi järgi ruutmaatriksi elementide abil. determinandi järk ruutmaatriksi A järk Tähistus detA või |A| determinandi elemendi miinor tekib siis, kui antud determinandist eemaldada rida ja veerg, kus antud element paikneb. n-järku determinandi mingi elemendi aij miinoriks Mij nimetatakse sellist (n-1)-järku determinanti, mis tekib, kui antud determinandist eemaldada rida ja veerg, kus paikneb vaadeldav element. determinandi elemendi alamdeterminant (miinori algebraline täiend) tekib siis, kui miinoriga korrutada (-1) astmes elemendi indeksite summa.
abil kolmandat jne.), saame suuremaid determinante arvutada nende miinorite ehk alamdeterminantide summana. 8. Maatriksi ja determinantide korrutis on võrdne nende maatrikskorrutise determinandiga olenemata maatriksite järjekorrast . Miinorid ja alamdeterminandid. Elemendi aik miinoriks nimetatakse determinanti, mis saadakse antud maatriksist või determinandist i-nda rea ja k-nda veeru ärajätmisel. Miinorit tähistatakse Mik. Elemendi aik alamdeterminandiks nimetatakse selle elemendi miinorit, kui indeksite summa i+k on paarisarv ja miinorit märgiga -, kui indeksite summa on paaritu arv. Alamdeterminanti tähistatakse Dik . Dik = (-1)i+kMik.Miinor Maatriksi A elemendi aik miinoriks Mik nimetatakse antud maatriksist i-nda rea ja k-nda veeru ärajätmisel saadud maatriksi determinanti. Algebraline täiend
või X*A=B lahendus: : X = B*A-1 7. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. Lahend teostab Gaussi või Crameri meetodi abil, näiteks: 8. Süsteemi lahendamine Crameri valemitega. 9. Maatriksi miinor. Maatriksi astak. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Maatriksi rea juhtelement. Kronecker-Capelli teoreem Miinor - Mij nimetatakse determinandi , mille saame maatriksi A determinandist i-nda rea ja j-inda veeru eemaldamisel Igale nullmaatriksist erinevale maatriksile pannakse vastavusse sellega üheselt määratud naturaalarv maatriksi astak. Leiame maatriksi astakut maatriksi elementaarteisenduste abil. Maatriksi astak ei muutu, kui maatriksile rakendada järgmisi teisendusi (maatrikselementaarteisendused): 1. maatriksi kahe rea ( või veeru ) ümberpaigutamine. 2. maatriksi ühe rea ( või veeru ) kõigi elementide
3. Determinandi mõiste, järk, tähistused. Miinor, alamdeterminant. Igale ruutmaatriksile saab vastavusse seada ühe reaalarvu, mis leaitakse ühe ja sama algoritmi järgi ruutmaatriksi elementide abil. Saadud arvu nim selle ruutmaatriksi determinandiks. Täh | A|. Ruutmaatriksi A järku nim ka determinandi järguks. n-järku determinandi mingi elemendi aij miinoriks Mij nim sellist (n-1)-järku determinanti, mis tekib, kui antud determinandist eemaldada rida ja veerg, kus paikneb vaadeldav element. n-järku determinandi mingi elemendi aij alamdeterminandiks nim arvu Aij=(-1)i+j Mij kus Mij on vaadeldava elemendi aij miinor. 4. Teist- ja kolmandat järku determinantide arvutuseeskirjad. Teist järku ruutmaatriksi korral leitakse determinandi väärtus avaldisega: Nt: Kolmandat järku ruutmaatriksi det arvutatakse sedasi: Nt:
on kõik elemendid nullid (lause 6). Siis võrdub determinant PEADIAGONAALI ELEMENTIDE KORRUTISEGA: | A | = a11 a22 . . . ann , kui akl = 0, k > l (või k < l). 2) DETERMINANDI ARENDAMINE REA (VEERU) JÄRGI. Sel viisil saab alandada arvutatavate determinantide järku ühe võrra. DEFINITSIOON 1. Determinandi |A| = | ai j |, i, j = 1, 2, . . . , n elemendile akl vastavaks MIINORIKS Mkl nimetatakse (n 1)-järku determinanti, mis saadakse antud determinandist, jättes välja tema k-nda rea ja l-nda veeru. DEFINITSIOON 2. Avaldist Akl = (1)k+l Mkl nimetatakse determinandi | A | elemendile akl vastavaks ALAMDETERMINANDIKS. TEOREEM. Iga determinant on esitatav kujul, mida nimetatakse tema arendiseks k-nda rea järgi : | A | = ak 1 Ak 1 + ak 2 Ak 2 + . . . + ak n Ak n , k = 1, 2,. . . , n (A) või kujul, mida nimetatakse tema arendiseks l-nda veeru järgi: | A | = a1 l A 1 l + a 2 l A 2 l + . .
determinandi märk muutub vastupidiseks. 7. Kui determinandi ühe rea elemente korrutada nullist erineva arvuga k, siis determinandi väärtus suureneb k korda. 8 .Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingi rea elementidele liita teise rea vastavad elemendid, mida on eelnevalt korrutatud nullist erineva arvuga. Miinorid ja alamdeterminandid. Elemendi aik miinoriks nimetatakse determinanti, mis saadakse antud maatriksist või determinandist i-nda rea ja k-nda veeru ärajätmisel. Miinorit tähistatakse Mik. Elemendi aik alamdeterminandiks nimetatakse selle elemendi miinorit, kui indeksite summa i+k on paarisarv ja miinorit märgiga -, kui indeksite summa on paaritu arv. Alamdeterminanti tähistatakse Dik . Dik = (-1)i+kMik. Kõrgemat järku determinantide arvutamine. Kõrgemat järku determinantideks loetakse determinante alates IV järgust ja nende arvutamisel on võimalik kasutada determinandi
on kõik elemendid nullid (lause 6). Siis võrdub determinant PEADIAGONAALI ELEMENTIDE KORRUTISEGA: | A | = a11 a22 . . . ann , kui akl = 0, k > l (või k < l). 2) DETERMINANDI ARENDAMINE REA (VEERU) JÄRGI. Sel viisil saab alandada arvutatavate determinantide järku ühe võrra. DEFINITSIOON 1. Determinandi |A| = | ai j |, i, j = 1, 2, . . . , n elemendile akl vastavaks MIINORIKS Mkl nimetatakse (n 1)-järku determinanti, mis saadakse antud determinandist, jättes välja tema k-nda rea ja l-nda veeru. DEFINITSIOON 2. Avaldist Akl = (1)k+l Mkl nimetatakse determinandi | A | elemendile akl vastavaks ALAMDETERMINANDIKS. TEOREEM. Iga determinant on esitatav kujul, mida nimetatakse tema arendiseks k-nda rea järgi : | A | = ak 1 Ak 1 + ak 2 Ak 2 + . . . + ak n Ak n , k = 1, 2,. . . , n (A) või kujul, mida nimetatakse tema arendiseks l-nda veeru järgi: | A | = a1 l A 1 l + a 2 l A 2 l + . .
determinandi märk muutub vastupidiseks. 7. Kui determinandi ühe rea elemente korrutada nullist erineva arvuga k, siis determinandi väärtus suureneb k korda. 8 .Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingi rea elementidele liita teise rea vastavad elemendid, mida on eelnevalt korrutatud nullist erineva arvuga. Miinorid ja alamdeterminandid. Elemendi aik miinoriks nimetatakse determinanti, mis saadakse antud maatriksist või determinandist i-nda rea ja k-nda veeru ärajätmisel. Miinorit tähistatakse Mik. Elemendi aik alamdeterminandiks nimetatakse selle elemendi miinorit, kui indeksite summa i+k on paarisarv ja miinorit märgiga -, kui indeksite summa on paaritu arv. Alamdeterminanti tähistatakse Dik . Dik = (-1)i+kMik. Kõrgemat järku determinantide arvutamine. Kõrgemat järku determinantideks loetakse determinante alates IV järgust ja nende arvutamisel on võimalik kasutada determinandi
~ maatriksiga A = Ai j iga element on astmes i+j selle elemendi alam det. -1 1 ~ d) kirjuta välja pöördmaatriks A = ×A DA 10. Graameri reegel. Kui võrdse otsitavate ja võrrandite arvuga lineaarvõrrandite süsteemi maatriks A on regulaarne (DA0), siis on süsteemil üks lahend xj=Dj/DA (j=1,2,...,n) tingimus n=m Dj saadakse süsteemi determinandist D j-nda veeru asendamisel vabaliikmete veeruga. a11a12 . .d1. .a1n - Aj 1 a21a22 . .d 2 . .a2n xj = = A A.............. an1an 2. .d n . .ann 11. Tuletise mõiste ja sisuline tähendus, muutumise määr ja tuletis, tuletis ja kõvera kallak (st tõus või langus) Kui kohal x on f-ni y=f(x) muudu ja argumendi muudu jagatisel olemas piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile, siis nim seda piirväärtust antud f-ni tuletiseks kohal x ja tähistatakse f´(x)
Maatriksid ja determinandid 1. Maatriksi m~oiste. Tehted ja nende omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. Permutatsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3. Determinandi m~oiste. Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4. Laplace'i teoreem. Determinandi arendamine rea ja veeru j¨argi . . . 34 5. Teoreem maatriksite korrutise determinandist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6. P¨o¨ordmaatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 II. Vektorruum u ¨le reaalarvude 7. Vektorruumi m~oiste. Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 8. Vektorruumi alamruum. Lineaarkate - alamruumi oluline n¨aide . . 53 9
Maatriksid ja determinandid 1. Maatriksi m˜oiste. Tehted ja nende omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. Permutatsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3. Determinandi m˜oiste. Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4. Laplace’i teoreem. Determinandi arendamine rea ja veeru j¨argi . . . 34 5. Teoreem maatriksite korrutise determinandist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6. P¨o¨ordmaatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 II. Vektorruum u ¨le reaalarvude 7. Vektorruumi m˜oiste. Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 8. Vektorruumi alamruum. Lineaarkate − alamruumi oluline n¨aide . . 53 9
Siis avaldub determinant kahe determinandi summana. Esimeses determinandis on vaadeldavas reas (veerus) esimesed liidetavad ja teise determinandi vaadeldavas reas (veerus) on teised liidetavad. Ülejäänud read (veerud) on endised. Tõestus. Determinandi definitsiooni põhjal Omadus 6. Detrminant ei muutu, kui determinandi ühe reaga (veeruga) liita mistahes arvuga korrutatud teine rida (veerg). Tõestus. Olgu determinant saadud determinandist tema k-nda rea elementidele arvu c kordsete m-nda rea elementide liitmisel. Siis omaduse 5, omaduse 2 ja omaduse 4 kohaselt
fikseeritud ridade i1...im toetuv m-järku miinor ja teiseks teguriks on tema algebraline täiend, summaga st |X|= , kus summa tuleb võtta üle kõigi miinorite Mm, mis toetuvad ridadele i1, i2, . . . , im. *Valemit |X| = xk1Xk1 + xk2Xk2 + · · · + xknXkn nim. determinandi |X| arendiseks k-nda rea järgi.. *Valemit |X| = x1kX1k + x2kX2k + ··· + xnkXnk nim. determinandi |X| arendiseks k-nda veeru järgi. TEOREEM MAATRIKSITE KORRUTAMISE DETERMINANDIST: *Sama järku ruutmaatriksite korrutise determinant võrdub nende maatriksite determinantide korrutisega X,Y Mat(n,n) => |XY|=|X||Y| *kehtivad valemid: |XYT|=|X||Y| ja |XTY| =|X||Y| PÖÖRDMAATRIKS: Pöördmaatriks Me nimetame n-järku maatriksi A pöördmaatriksiks sellist n-järku maatriksit X, mis rahuldab kahte maatriks võrrandit: AX=E ja XA = E Regulaarne (Singulaarne) maatriks - Me nimetame n-järku maatriksit Y regulaarseks (singulaarseks), kui |Y| 0, (|Y |= 0). OMADUSED:
Teine normaalkuju (2NF) Def. Tabel on teisel normaalkujul kui ta on esimesel normaalkujul ja iga mitte- võtme veerg on täielikult funktsionaalselt sõltuv primaarvõtmest (st. et ta on funktsionaalselt sõltuv kogu primaarvõtmest aga mitte mõnest selle osast). Tegevused: Kui leitakse veerud, mis sõltuvad funktsionaalselt ainult mõnest primaarvõtmesse kuuluvast veerust, siis eraldatakse funktsionaalselt sõltuvad veerud teise tabelisse, lisades sinna ka koopia nende determinandist. Tabeli teisele normaalkujule viimisel tuleb vaadata vaid neid tabeleid, milles primaarvõti on liitvõti. Tabel on [Celcko, 1999] sõnul teisel normaalkujul kui kehtib mistahes järgmistest reeglitest: - Primaarvõti sisaldab ainult ühte veergu - on lihtvõti. - Tabelil pole ühtegi mitte-võtmeveergu. - Iga mitte-võtme veerg sõltub funktsionaalselt kogu primaarvõtmest ja mitte mõnest selle alamosast. Kolmas normaalkuju (3NF) Def1
. . . . . . . . an1 an2 . . . ann an1 an2 . . . ann Determinandi det A ridade ja veergude all m~oeldakse maatriksi A ustkriipse | · | nimetame determinandi m¨arkideks. ridu ja veerge. P¨ I. Determinandid 3 1.8 Miinor ja alamdeterminant Maatriksi A = (aij ) elemendi aij miinoriks Mij nimetatakse de- terminanti, mille saame maatriksi A determinandist i-nda rea ja j- inda veeru eemaldamisel. Elemendi aij alamdeterminandiks ehk al- aiendiks nimetatakse arvu Aij := (-1)i+j Mij . Suurust gebraliseks t¨ (-1)i+j nimetame elemendi aij ja alamdeterminandi Aij m¨ argi- teguriks. 1.9 Determinandi (induktiivne) definitsioon arku determinandi (n - 1)-j¨arku determinantide Defineerime n-j¨ kaudu arendusvalemiga a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n det A := . .. ..
Kõrgemat järku maatriksitest determinantide leidmine on järk-järgult taandatav madalamat järku determinantide arvutamisele, s.t III järku determinandi saame II järku determinantide kaudu, IV järku determinandi saame III järku determinantide kaudu jne. Nii on suvalist järku determinandi leidmine taandatav II järku determinantide leidmisele. Elemendi aij miinor Mij on (n - 1) järku determinant, mis saadakse determinandist * aij * i-nda rea ja j-nda veeru kõrvaldamisel. Seega elemendile aij vastava miinori saame, kui kõrvaldame rea ja veeru, mille ristumiskohas asub element aij. Näiteks III järku determinandi * A * miinori M11 leidmiseks kõrvaldatakse 1. rida ja 1. veerg. Järele jäänud elementidest moodustatud determinant ongi miinor M11 : Elemendile a12 vastava miinori M12 leidmiseks kõrvaldatakse 1. rida ja 2. veerg. Järele jäänud elementidest moodustatakse miinor M12 :
. . ai1 ai2 ··· ain = · ai1 ai2 ··· ain . (1.11) .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . an1 an2 ··· ann an1 an2 ··· ann Omadus 1.6 Kui determinandi mõne rea (või veeru) elemendid esinevad kahe lii- detava summana, siis ka determinant ise avaldub kahe determinan- di summana. Need determinandid saadakse antud determinandist üks kord ühe, teine kord teise liidetava rea (või veeru) kustutamisel. 13 PEATÜKK 1. MAATRIKSID JA DETERMINANDID Omadus 1.7 Determinandi väärtus ei muutu, kui ühe rea (või veeru) elementidele liita ühe ja sama teguriga korrutatud teise rea (või veeru) elemendid. 14 Peatükk 2
annaabi.ee 
