Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Arvuhulkade näidiskontrolltöö". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
täisarv, ratsionaalarv, naturaalarv, 1101, hariliku, irratsionaalarv, ratsionaalarvud, arvteljel, kümnendsüsteemi, lihtmurd, irratsionaalarvud, reaalarvud, täisarvud, naturaalarvud, harilikuks, murruks, soorita, tehted, joonestaLeia aste. 1 3 a) (1 + 2i)2 b) (3 - 5i)2 c) (-3i - 4)2 20; 183; 27; tan 45°; e; 0,(8); log 100; 0.03; 2 + 3i; 5 2i; - 3i+4. d) (2 - i 3 )2 e) ( 2 - i 3 )2 f) (1 - i)4 Leia nende arvude seast naturaalarvud, täisarvud, ratsionaalarvud, irratsio- g) (1 + 2i)3 h) (4i - 5)3 i) ( 2 + i 3 )3 naalarvud, kompleksarvud, positiivsed arvud ja negatiivsed arvud. 827. Leia antud kompleksarvu kaaskompleksarv ja vastandkompleksarv. KOMPLEKSARVU GEOMEETRILINE ESITUS. KOMPLEKSARVU
Naturaalarvude hulga saame esitada kujul: N = {1;2;3;...;n-1;n;n+1;...} . 0 1 2 3 4 Naturaalarvude hulga omadusi. · Naturaalarvude hulk N on järjestatud lõpmatu hulk, milles on vähim, kuid pole suurim arvu. · Naturaalarvude hulk N on hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge. · Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. (Kui kaks naturaalarvu liita või korrutada on tulemuseks alati naturaalarv.) · Naturaalarvude hulk ei ole kinnine lahutamise või jagamise suhtes. Naturaalarve, mis jaguvad 2-ga, nimetatakse paarisarvudeks, ülejäänuid paarituteks arvudeks. Ühest suuremat naturaalarvu , mis jagub vaid ühe ja iseendaga nimetatakse algarvuks, kõiki ülejäänud ühest suuremaid arve kordarvudeks. Algarvud on 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 jne. (Hulk on lõpmatu.) Arvud 0 ja 1 ei ole algarvud ega kordarvud. Arvu a teguriteks nimetatakse kõiki neid naturaalarve, millega arv a jagub
Arvuhulgad Arvuhulgad Naturaalarvud N 0, 1, 2, 3, ... , n , ... Negatiivsed täisarvud Positiivsed murrud -4, -100, ... 1/2, 7/9, 18/33, ... Täisarvud Z Negatiivsed murrud -3/4, -17/9, ... Ratsionaalarvud Q Irratsionaalarvud 2, , Reaalarvud R Imaginaararvud - 1, - 5, Kompleksarvud C 2 Naturaalarvud N = {0, 1, 2, ..., n, ...} Naturaalarvude jada on lõpmatu (igale naturaalarvule järgneb veel naturaalarve).
Kompleksarvud Kompleksarvu mõiste: Arve kujul a+ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaarühik, nimetatakse kompleksarvudeks. Kõikide kompleksarvude hulka tähistatakse sümboliga C Kaks kompleksarvu on võrdsed parajasti siis, kui nende imaginaarosad ja reaalosad on vastavalt võrdsed a + bi = c + di <=> a = c ja b = d Kompleksarve a + bi ja a - bi nimetatakse kaaskompleksarvudeks. Näiteks 5+2i ja 5-2i. Kompleksarvu a + bi vastandarvuks nimetatakse kompleksarvu -a bi. Näiteks 7+5i ja -7- 5i. Tehted kompleksarvudega: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (5 -3i)+(2 + 7i) = (5+2) + (-3+7)i = 7 + 4i (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b d)i (5-3i)-(2+7i) = (5-2) +(-3-7)i = 3 - 10i (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i (5-3i)(2+7i) = (52 - (-3)7) + (57 +(-3)2)i = 31 + 29i Kompleksarvude j
Naturaalarvude hulk N N = {0; 1; 2; 3; 4; ...}. Väikseim = 0, suurim puudub. Naturaalarvude hulk on järjestatud hulk ja ta on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes (tulemus ei välju hulgast). * (N1 = {1; 2; 3...}, see märgib naturaalarve alates ühest.) Negatiivsete täisarvude hulk z Z - = {-1; -2; -3...}. Hulk on kinnine liitmise suhtes. Täisarvude hulk Z Z = {0; ±1; ±2; ±3...} z = z N. Hulk on kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes. Murdarvude hulk Harilik murd lihtmurd + liitmurd Kümnendmurd lõplik kümnendmurd + lõpmatu (perioodiline) kümnendmurd + lõpmatu mitteperioodiline murd (viimane ei kuulu ratsionaalarvude hulka). 2 Kui periood algab kohe peale koma, on see puhtperioodiline murd, nt. = 0,(2) 9 5
siis öeldakse, et see arvuhulk on pidev 5. Vastandarv- Naturaalarvu n vastandarvuks nimetatakse sellist arvu -n, mis rahuldab võrdust n + ( -n ) = 0. 6. Täisarvude hulk- · Naturaalarvude hulk on täisarvude hulga osahulk · Z = {....-2; -1; 0; 1; 2; ......} · Jaguneb naturaalarvudeks ja negatiivseteks arvudeks a 7. b Murdarvud- Kui täisarv a jagub täisarvuga b, siis on jagatis täisarv, kui aga ei jagu, siis nimetame saadud arvu murdarvuks ja tähistame sümboliga (reaalarvu, mis ei ole täisarv.) 8. Ratsionaalarvude hulk- Täisarvud koos murdarvudega moodustavad ratsionaalarvude hulga 9. Irratsionaalarv- Lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud 10. Reaalarvude hulk- Irratsionaalarvud koos ratsionaalarvudega moodustavad reaalarvude hulga.
Ratsionaalarvud Ratsionaalarvuks nimetatakse arvu, mis avaldub jagatisena , kus a Ratsionaalarvud on need reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu m ja n ( ) jagatisena nii, et kus on täisarvude hulk, on naturaalarvude hulk (v.a. null) ja on ratsionaalarvude hulk. Igal ratsionaalarvul on ka lõpmatu kümnendarendus ja see on alati perioodiline. Näiteks 2¾ = 11/4 = 2,7500000.... või 2,7499999... ja 0 = 0/1 = 0,00000... on ratsionaalarvud. Ratsionaalarvu vastandarvuks nimetatakse ratsionaalarvu ning pöördarvuks ratsionaalarvu . Kõikide ratsionaalarvude hulk moodustab oma aritmeetiliste tehetega "+" ja "×" korpuse (ratsionaalarvude korpuse), mis on reaalarvude korpuse R alamkorpus ning on kõige kitsam arvukorpus. RATSIONAALARVUDE HULK Q 1. On järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv; 2. On tihe arvuhulk, s.t
nullist. Kui lauses kasutatakse üldisuse kvantorit, siis selle lausega väidetakse midagi kõigi antud liiki objektide kohta ja seetõttu peab neid väiteid tõestama ka üldkujul. Seevastu lause ümberlükkeks piisab ainult ühest kontranäitest. Näide: Eitame lauset: ,,Kõik naturaalarvud on algarvud." 1. Antud juhul P(x) = ,,x on algarv" 2. ¬(x , x on algarv) 3. x , ¬(x on algarv) 4. x , x ei ole algarv Leidub naturaalarv, mis ei ole algarv. Näide: Eitame lauset: ,,Leidub selline reaalarv x, et x2 = 1." 1. Antud juhul P(x) = ,,x2 = 1" 2. ¬(x , x2 = 1) 3. x , ¬(x2 = 1) 4. x , x2 1 Iga reaalarvu x korral x2 1 Näide: Eitame lauset: ,,Iga reaalarvu x korral leidub reaalarv y nii, et x < y." 1. Antud juhul P(x, y) = ,,x < y" 2. ¬(x y , x < y) 3. x y , ¬(x < y) 4. x y , x y
c) Nende astmete korrutis ongi VÜK. VÜK(360; 140; 35) = 23 32 51 71 = 8 9 5 7 = 2520 360 2 140 2 35 5 180 2 70 2 7 7 90 2 35 5 1 45 3 7 7 15 3 1 5 5 1 4) Iga naturaalarvu a ja b korral kehtib võrdus : a b = SÜT(a; b) VÜK(a; b) 11. Ratsionaalarvud. 1) Ratsionaalarvuks nimetatakse sellist arvu, mis avaldub jagatisena. 2) Ratsionaalarvude hulk on tihe, sest iga kahe mittevõrdse ratsionaalarvu vahel leidub veel lõpmata palju ratsionaalarve. 3) Ratsionaalarvude hulk on kinnine kõigi aritmeetiliste tehete suhtes v.a. 0-ga jagamine. 4) Iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. Iga lõpmatu perioodiline kümnendmurd avaldub ratsionaalarvuna.
nende algteguritega, mida esimeses arvus ei ole: VÜK (30;75) = 2 · 3 · 5 · 5 = 150 Täisarvude hulk Iga nullist erineva täisarvu korral nimetatakse arve a ja a teineteise vastandarvudeks: a = -a ja a + (-a) = 0 Täisarvud on arvud ..., -(n+1), -n, -(n-1),...,-3,-2, -1, 0, 1, 2,..., n-1, n, n+1,... Täisarvude hulka tähistatakse tähega Z Täisarvude hulga omadused Täisarvude hulk on lõpmatu Iga täisarvu saame kujutada punktidena arvteljel -2 Täisarvude hulk-1 0 hulk iga on järjestatud 1 kahe erineva 2 täisarvu korral saame öelda, milline nendest on suurem Täisarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise tehete suhtes Ratsionaalarvude hulk Ratsionaalarvuks nimetatakse harilik murdu , kus aZ ja bZ a ning b0 Ratsionaalarvude b hulka tähistatakse tähega Q
MA1 - Reaalarvud. Võrrandid 1. Teemad Arvuhulgad N, Z, Q ja R, nende omadused. Reaalarvude piirkonnad arvteljel. Reaalarvu absoluutväärtus. Protsentülesanded. Astme mõiste üldistamine: täisarvulise ja ratsionaalarvulise astendajaga aste. N- es juur. Tehted astmete ja juurtega. Ratsionaal- ja irratsionaalavaldiste lihtsustamine. Irratsionaalsusest vabanemine. Lineaar-, ruut-, murd- ja juurvõrrandid. Võrrandite koostamine. Lihtsamate tekstülesannete lahendamine. 2. Tarkuseterad 2.1 Arvuhulgad
1. Absoluutväärtus reaalarvuga x määratud mittenegatiivne reaalarv 2. Abstsisstelg x telg 3. Aksioom lause, mida loetakse õigeks ilma põhjenduseta. Aksioomid võetakse aluseks teiste väidete põhjendamisel. 4. Algarv Ühest suurem naturaalarv, mis jagub vaid ühe ja iseendaga. 5. Algebraline murd murd, mille lugejaks ja / või nimetajaks on muutujaid sisaldav avaldis. 6. Algebraline ruutjuur arv, mille ruut on antud arv a. 7. Algkoordinaat antud sirge ja ordinaattelje lõikepunkti ordinaat. 8. Algtegur naturaalarvu algarvuline tegur. 9. Algteguriteks lahutamine naturaalarvu esitamine algarvuliste tegurite korrutisena. 10. Alusnurk võrdhaarse kolmnurga või trapetsi aluse ja haara vaheline nurk. 11. Apoteem 1
Naturaalarvude hulk N N = {0; 1; 2; 3; 4; ...}. Väikseim = 0, suurim puudub. Naturaalarvude hulk on järjestatud hulk ja ta on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes (tulemus ei välju hulgast). * (N1 = {1; 2; 3...}, see märgib naturaalarve alates ühest.) Negatiivsete täisarvude hulk z Z - = {-1; -2; -3...}. Hulk on kinnine liitmise suhtes. Täisarvude hulk Z Z = {0; ±1; ±2; ±3...} z = z N. Hulk on kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes. Murdarvude hulk Harilik murd lihtmurd + liitmurd Kümnendmurd lõplik kümnendmurd + lõpmatu (perioodiline) kümnendmurd + lõpmatu mitteperioodiline murd (viimane ei kuulu ratsionaalarvude hulka). 2 Kui periood algab kohe peale koma, on see puhtperioodiline murd, nt. = 0,(2) 9 5
Reaalarvud Reaaalarvud jagunevad naturaalarvudeks, täisarvudeks, ratsionaalarvudeks ja irratsionaalarvudeks. 1. Naturaalarvudeks nimetatakse positiivseid täisarve. Naturaalarvude hulga tähiseks on N. Naturaalarvudeks on N=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; ...; 100; ...; 1000; ...) jne. Kahe naturaalarvu liitmisel (6+7=13) või korrutamisel (5*6=30) on tulemuseks alati naturaalarv. Kahe naturaalarvu lahutamisel võib olla tulemuseks naturaalarv ehk positiivne täisarv (10-2=2) aga ka negatiivne täisarv (10-100=-90). Kahe naturaalarvu jagamisel võib olla tulemuseks naturaalarv (52:2=26) või kümmnendmurd (1:3=0,333...; 9:6=1,5). 2. Täisarvudeks nimetatakse positiivseid täisarve ja negatiivseid täisarve. Täisarvude hulga tähiseks on Z. Positiivseteks täisarvudeks on Z=(0; 1; 2; 3;...) ning negatiivseteks täisarvudeks on Z=(-1; -2; -3;...). Täisarvud jagunevad paarisarvudeks (-2; 2; -4; 4, -6; 6;..
I. Determinandid 1 Determinandi m~ oiste 1.1 Idee selgitus Algul defineerime esimest j¨ arku determinandi, siis esimest j¨arku determinandi abil teist j¨ arku determinandi, seej¨arel teist j¨arku determinandi abil kolmandat j¨ arku detereminandi jne, n-j¨arku determinandi defineerime (n - 1)-j¨arku determinandi kaudu. Sel- list defineerimisviisi nimetatakse induktiivseks ja vastavat objekti induktiivseks konstruktsiooniks. Eelnevalt on soovitatav tutvuda maatriksi m~oistega (II.1.1). Kooloniga v~ordus A := B t¨ahendab j¨argnevas, et A on defineeri- tud B kaudu. Seda v~ordust kasutame ka samav¨ a¨arsete t¨ ahistuste sissetoomiseks. 1.2 Esimest j¨ arku determinant Arvu a R determinandi |a| ehk esimest j¨ arku determinandi de- fineerime valemiga |a| := det a := a. 1.3 N¨ aide | - 5| = -5
Matemaatika eksami teooria Reaalarvud 1.1. Naturaal-, täis- ja ratsionaalarvud · Naturaalarvude hulk N (ainult positiivsed täisarvud) · Naturaalarvu n vastandarv -n defineeritakse selliselt, et n+(-n)=0 · Naturaalarvud koos oma vastandarvudega moodustavad täisarvude hulga Z (jaguneb pos ja neg) · Iga kahe täisarvu vahe on alati täisarv · Kui arv a ei jagu arv b-ga, siis on tegemist murdarvuga. Kõik täisarvud ja positiivsed ning negatiivsed murdarvud moodustavad kokku ratsionaalarvude hulga Q. Ratsionaalarv on arv, mis avaldub jagatisena a/b, kus a Z, b Z ja b 0. · Iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. 1.2 Irratsionaal- ja reaalarvud · Arv, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, on irratsionaalarv.
Sümboli väärtus ei sõltu asukohast. Sümboli väärtus sõltub asukohast. Edaspidi vaatleme ainult positsioonilisi arvusüsteeme ja nimetame neid lihtsuse mõttes lihtsalt arvusüsteemideks. Kümnendsüsteem Tekkis 5. sajandil Indias. Algselt kasutati numbreid 1- 9. Nulli kohale jäeti tühi koht. Alles hiljem hakati seda kohta märkima punktikese või väikese ringikesega. Positsioonilises kümnendsüsteemis esitub iga naturaalarv üheliste, kümneliste, sajaliste jne. summana. See tähendab: 325 = 3 · 100 + 2 · 10 + 5 · 1 21, 54 = 2 · 10 + 1 · 1 + 5 · 0, 1 + 4 · 0, 01 Kasutades arvu 10 astmeid võib selle summa kirja panna nii: 325 = 3 · 102 + 2 · 101 + 5 · 100 21, 54 = 2 · 101 + 1 · 100 + 5 · 10-1 + 4 · 10-2 Arvu 10 nimetatakse kümnendsüsteemi aluseks. 2 Kahendsüsteem
Naturaalarv - Naturaalarv on sõltuvalt kontekstist kas üks arvudest 1, 2, 3, ... või üks arvudest 0, 1, 2, 3, ...; kõikide naturaalarvude hulka tähistatakse sümboliga N. Naturaalarvude kaks põhilist otstarvet on loendamine ja järjestamine. Täisarv - Täisarv on arv, mis on esitatav naturaalarvude vahena. kasutatakse indeksitena mitmekomponendiliste objektide (maatriksid, vektorid, tensorid etc.) juures ning arvuridade kirjapanekul (summeerimisindeksid). Kõikide täisarvude hulka tähistatakse tavaliselt sümboliga Z. Täisarvude hulgal on defineeritud liitmine, lahutamine ja korrutamine ning lineaarne järjestus. Täisarve ei saa jagada, sest siis pole tulemuseks enam täisarv.
1 1. õppetükk Kontrolltöö I tase 1) Kujuta ühel ja samal arvteljel hulgad A 3; 2 ja B 1; 4 Leia hulgad A B ja A B . 4 2) Arvuta kalkulaatorit kasutamata avaldise 0,2 0,04 2 0, 5
Füüsika I osa eksami kordamisküsimused TEST........................................................................................................................................... 1 DEFINITSIOONID...................................................................................................................13 VALEMID (SEADUSED)........................................................................................................20 TEST Loeng 1 · Arvutüübid: naturaalarv, täisarv, ratsionaalarv, reaalarv, kompleksarv. naturaalarv loendamiseks kasutatavad arvud 0, 1, 2, 3, ... (mõnikord jäetakse 0 naturaalarvude hulgast välja); täisarv kõik naturaalarvud ja nende negatiivsed vastandarvud; ratsionaalarv need reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu m ja n (n0) m/n. Igal ratsionaalarvul on lõpmatu kümnendarendus ja see on alati perioodiline. Nt.
Matemaatika: Arvuhulgad ja
arvuhulkade omadused
Mairo Tammepõld
10ü
Arvuhulgad
● Arvuhulgad jagunevad reaalarvudeks.
● Reaalarvud on
naturaalarvud N=(1;2;3;4;...)
täisarvud Z=(...;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;...)
ratsionaalarvud Q=(...;-12;...;3;...;-4;...;-½;0)
irratsionaalarvud J=(...;π;...;erinevad ruutjuured)
Arvuhulgad
● Murdudega seoses oleme kasutanud veel järgmisi
mõisteid :
harilik murd - ½ (a-lugeja, b-nimetaja)
lihtmurd - (a
Seega nende arvude aritmeetiline keskmine on 4,5. Lahendamiseks sobib ka avaldis (3 + 4 + 5 + 6) : 4. Arvkiir on kiir, mille alguspunktis on märgitud arv 0. Edasi on vabalt valitud ühiklõikude kaugusel järgmised naturaalarvud kasvavas järjekorras. Arvkiirt võime vajaduse korral pikendada kuitahes kaugele. Absoluutväärtus on positiivse arvu ja nulli korral arv ise ning negatiivse arvu absoluutväärtuseks on selle arvu vastandarv. Arvu absoluutväärtus on seda arvu arvteljel kujutava punkti kaugus nullpunktist Arvu kordsed on kõik need arvud, mis antud arvuga jaguvad. Näide. 16 ja 36 on arvu 2 kordsed, sest nad jaguvad 2-ga 16 : 2 = 8 36 : 2 = 18 Kõik mingi arvu kordsed jaguvad selle arvuga. Arvu standarskuju on korrutis, mis koosneb ühe ja kümne vahel olevast tegurist ja kümne mingist astmest. Arvu tegurid - kõik arvud, millega antud arv jagub, on selle arvu tegurid. Arvu tegurid on ühtlasi ka arvu jagajad. Näide 1.
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS I OSA SISUKORD 1. ARVUHULGAD …………………………………………………… 2 2. ARITMEETIKA ……………………………………………….…… 3 2.1 Mõningate arvude kõrgemad astmed ………………………….……. 3 2.2 Hariliku murru põhiomadus ………………………………….…….. 3 2.3 Tehetevahelised seosed ……………………………………….…….. 3 2.4 Tehted harilike murdudega ………………………………….……… 4 2.5 Tehete põhiomadused ……………………………………….……… 5 2.6 Näited tehete kohta positiivsete ja negatiivsete arvudega …….…….. 5 2.7 Näited tehete kohta ratsionaalarvudega ……………………….……. 6 2
lahendades igal juhul üldkujul (1) välja. Kui võrrand on õigesti koostatud, lahendatud ja lahendid analüüsitud ja kontrollitud, selle eest küll lisapunkte ei saa, aga kui võrrandi lahendamisel (või rakendamisel) on vigu, siis saad vähemalt 1 punkti lahendi valemi tundmise eest! Eksamil käib võitlus iga punkti eest! NB! Mina jätan edaspidi ruumi kokkuhoiu mõttes valemi (1) kirjutamata. 270 Olgu I naturaalarv x , siis II on x +1 . Saame võrrandi x ( x +1) = 240 Lahendus: x ( x +1) = 240 x 2 + x - 240 = 0 x = -0,5 ± 0,25 +240 = 0,5 ± 15,5 x1 = -16 või x 2 = 15 Kuna tegemist on naturaalarvudega, siis x1 = -16 ei sobi, x = 15 Kontroll: I arv on 15, II arv on 15+1 =16 15 × 16 = 240 Vastus: need arvud on 15 ja 16
lahendades igal juhul üldkujul (1) välja. Kui võrrand on õigesti koostatud, lahendatud ja lahendid analüüsitud ja kontrollitud, selle eest küll lisapunkte ei saa, aga kui võrrandi lahendamisel (või rakendamisel) on vigu, siis saad vähemalt 1 punkti lahendi valemi tundmise eest! Eksamil käib võitlus iga punkti eest! NB! Mina jätan edaspidi ruumi kokkuhoiu mõttes valemi (1) kirjutamata. 270 Olgu I naturaalarv x , siis II on x 1 . Saame võrrandi x ( x 1) 240 Lahendus: x ( x 1) 240 x 2 x 240 0 x 0,5 0,25 240 = 0,5 15,5 x1 = -16 või x 2 = 15 Kuna tegemist on naturaalarvudega, siis x1 = -16 ei sobi, x = 15 Kontroll: I arv on 15, II arv on 15+1 =16 15 16 = 240 Vastus: need arvud on 15 ja 16
lahendades igal juhul üldkujul (1) välja. Kui võrrand on õigesti koostatud, lahendatud ja lahendid analüüsitud ja kontrollitud, selle eest küll lisapunkte ei saa, aga kui võrrandi lahendamisel (või rakendamisel) on vigu, siis saad vähemalt 1 punkti lahendi valemi tundmise eest! Eksamil käib võitlus iga punkti eest! NB! Mina jätan edaspidi ruumi kokkuhoiu mõttes valemi (1) kirjutamata. 270 Olgu I naturaalarv x , siis II on x 1 . Saame võrrandi x ( x 1) 240 Lahendus: x ( x 1) 240 x 2 x 240 0 x 0,5 0,25 240 = 0,5 15,5 x1 = -16 või x 2 = 15 Kuna tegemist on naturaalarvudega, siis x1 = -16 ei sobi, x = 15 Kontroll: I arv on 15, II arv on 15+1 =16 15 16 = 240 Vastus: need arvud on 15 ja 16
Ruutfunktsioon Sissejuhatav kordamine 1. Teosta tehted. Vastustes vabane negatiivsetest astendajatest. 3 1 2 3 1 a) 2 a b c 3 Lahendus: ; 1 4 2 s 3 t b) 4 5 3 4 s t Lahendus: . 2. Lihtsusta avaldis. a) xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) Lahendus: xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) = = x2y + 3xy2 + x3 2x2y xy2 + x2y 2xy2 y3 = = x 3 y3 = = (x y)(x2 + xy + y2) b) (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) Lahendus: (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) = 9a2 12a + 4 + 4 9a2 = = 8 12a 3. Lahenda võrrand. a) 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111 Lahendus: 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111; 24x2 + 5x 1 24x2 + 6x
4 TAKISTITE VÄRVIKOODID Püsitakistitele on määratud E-sarja standardväärtused: 10; 12; 15; 18; 22; 27; 33; 39; 47; 56; 68 ja 82 kokku 12 takistuse väärtust. Kõik muud takistuste väärtused saadakse standardväärtuste koma koha muutmisega. 5 PRAKTILINE TÖÖ 1: ARVUTUSED KAHENDSÜSTEEMIS Kümnendsüsteem - positsiooniline arvusüsteem, mille alus on 10. Kümnendsüsteemis moodustab kümme ühikut uue kõrgema järgu ühiku. Igat kümnendsüsteemi arvu saab esitada järguühikute kordsete summana: 2083,47 = 2x103 + 0x102 + 8x101 + 3x100 + 4x10-1 + 7x10-2 Kahendsüsteem - positsiooniline arvusüsteem, mille alus on 2. Kahendsüsteemis moodustab kaks ühikut uue kõrgema järgu ühiku. Igat kahendsüsteemi arvu saab esitada järguühikute kordsete summana: 11010112= 1x26 + 1x25 + 0x24 + 1x23 + 0x22 + 1x21+ 1x20= = 64 + 32 + 8 + 2 + 1 = 10510
valemitekujul (predikaatvalem). Predikaatmuutujate kohta tuleb alati eelnevalt täpsustada, milliseid KVANTORID ∀ ∃ väärtusi ta võib omandada ehk milline on predikaadi Kui soovime väita, et predikaat P (x) kehtib oma määramispiirkonna määramispiirkond. kõikide x-ide ( x1 x2 x3 . . . ) korral ehk: Olgux täisarv ja vaatleme ühekohalist predikaati: P ( x1 ) ∧ P ( x2 ) ∧ P ( x3 ) ∧ P ( x4 ) ∧ . . . . = 1 P(x) ≡ (x > 2) ∧ (x < 4) siis kasutame sellise väite kompaktsemaks esitamiseks üldsuse kvantorit: ∀ x = 3 saame tõese predikaatlause (predikaatvalemi):
· Avalda murd naturaalarvuna: 1) 2) 3) 5 51 3 12 + 32 10 20 4,8 5,5 + 22,5 · Arvuta: 1) 2) 3) 1,2 4) 8 0,5 87 - 76 5 2. Lihtmurd ja liigmurd Lihtmurd on murd, mille lugeja on nimetajast väiksem. 1 2 4 Näiteks , , 8 5 7 Lihtmurd on alati väiksem arvust 1 1 5 Näiteks < 1, <1 5 8 Liigmurruks nimetatakse murdu, mille lugeja on võrdne nimetajaga või sellest suurem. 5 9 3 Näiteks ; ; 4 7 3
Lineaarsed võrrandisüsteemid Lineaarne võrrand Definitsioon Lineaarse võrrandi all mõistetakse võrrandit kujul a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b, (1) kus a1 , ... , an ja b on fikseeritud (antud) arvud ning x1 , ... , xn on tundmatud. http://www.hot.ee/habib/MindReader.htm Arvu b nimetatakse vaadeldava võrrandi vabaliikmeks, arve a1 , ... , an aga tema kordajateks. Näide Võrrandis 5 x + 3 y - 2 z = -4 on vabaliikmeks arv 4, kordajateks arvud 5, 3 ja 2 ning tundmatud on tähistatud tähtedega x, y ja z. Lineaarse võrrandi lahend Definitsioon Lineaarse võrrandi (1) lahendiks nimetatakse sellist tundmatute x1 , ... , xn väärtuste komplekti c1 , ... , cn , R, mis asendamisel võrrandi (1) vasakusse poolde muudavad selle samasuseks: a1 c1 + a2 c2 + ... + an cn b. Näide Võrrandi 5 x + 3 y - 2 z = -4 üheks lahendiks on x = 1, y = -1 ja z = 3, kuna antud tun
DETERMINANDI MÕISTE. KAHEREALISE DETERMINANDI Avaldanud esimesest võrrandist x-i ja asendanud saadud tulemuse teise võr- KASUTAMINE VÕRRANDISÜSTEEMIDE LAHENDAMISEL randisse, saame c1 b1 y Paljude sisult erinevate probleemide lahendamine viib ühe ja sama seaduse a1 x b1 y c1 x , kui a1 0. järgi koostatud avaldisteni. Sel juhul on otstarbekas uurida nende avaldiste a1 üldisi omadusi. c b y° a2 ¡¡ 1 1 ±± b2 y c2 a1 korrutame võrrandi pooli a1-ga Üheks selliseks av
Ratsionaalarve saab väljendada kahe täisarvu suhtena ja lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. 1 −5 1 1 Nt 4 ; 1 ; 3 =0,(3); 7 . Lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud moodustavad irratsionaalarvude hulga. Nt. π; e; √2 ; √3 . Ratsionaalarvude ja irratsionaal arvude hulgad moodustavad kokku reaalarvude hulga. Arvtelg ___ lõpmatu sirge, millel on määratud suund, 0-punkt ja pikkusühik. Igale reaalarvule vastab arvteljel üks punkt ja vastupidi. Reaalarvude hulgal on selline omadus, et iga kahe reaalarvu vahel on veel ratsionaalarve ja irratsionaalarve. Reaalarvu absoluutväärtus. Olgu arv x. Selle arvu absoluutväärtus moodul I x I on defineeritud järgmiselt: I x I = x, kui x ≥ 0 I x I = -x, kui x < 0 Nt. I 3 I = 3 ; I -5 I = 5 ; I 0 I = 0 Arvu absoluutväärtus muudab arvteljel selle arvu kaugust 0-punktist. Muutuv suurus ja jääv suurus Muutuv suurus – tal on mitmesugused väärtused.
annaabi.ee 
