ARITMEETILINE JA GEOMEETRILINE JADA 1. Aritmeetilise jada kolmas liige on 2 ja kaheksas liige on 17. Mitu jada liiget tuleb võtta, et nende summa oleks 95? n =10 2. Aritmeetilise jada esimese ja kuuenda liikme vahe on 10, nelja esimese liikme summa on 48. Leia see jada. a1 = 15, d = -2 3. Alustanud liikumist, läbib rong esimese sekundiga 0,3 m ja igas järgnevas sekundis 0,4 m rohkem kui eelmises. Leida 0,6 minutiga läbitud tee. 262,8 m 4. Aritmeetilise jada neljas liige on 9 ja üheksas liige on -6. Mitme liikme summa on 54?
www.andmill2.planet.ee/gmat.html Aritmeetiline ja geomeetriline jada · Aritmeetiline jada an = an 1 + d an = a1 + (n 1)d a + a k +1 a k = k -1 2 a + an 2a + ( n - 1) d Sn = 1 n = 1 n n 2 · Geomeetriline jada an = q . an 1 an = a1 . qn 1 a i = a i -1 a i +1 www.andmill2.planet.ee/gmat.html
docstxt/12341339261429.txt
Aritmeetiline jada Koostas: Margit Nuija Kool: Viljandi Paalalinna Gümnaasium Maakond: Viljandi Õppeaine: matemaatika Töö teema: aritmeetiline jada Klass: IV kooliaste, 11. klass Juhendas: Toomas Rähn Aritmeetilise jada mõiste Def. Aritmeetiliseks jadaks nim. arvujada, mille iga liige (alates teisest) võrdub eelneva liikme ja ühe jääva liidetava summaga. NB! Jääv liidetav (jada vahe) - d Esimene liige - a1 Liikmete arv - n Näide: On antud jada 5, 8, 11, 14, 17, 20. a1 = 5 d=3 n=6 Üldliikme valem Jada definitsioonist järeldub,et a2 = a1 + d a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d
Aritmeetiline jada Koostas: Margit Nuija Kool: Viljandi Paalalinna Gümnaasium Maakond: Viljandi Õppeaine: matemaatika Töö teema: aritmeetiline jada Klass: IV kooliaste, 11. klass Juhendas: Toomas Rähn Aritmeetilise jada mõiste Def. Aritmeetiliseks jadaks nim. arvujada, mille iga liige (alates teisest) võrdub eelneva liikme ja ühe jääva liidetava summaga. NB! Jääv liidetav (jada vahe) - d Esimene liige - a1 Liikmete arv - n Näide: On antud jada 5, 8, 11, 14, 17, 20. a1 = 5 d=3 n=6 Üldliikme valem Jada definitsioonist järeldub,et a2 = a1 + d a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d
Aritmeetiline jada ------------------------------------------------------- Aritmeetilise jada üldliikme valem a n = a1 + n - 1 d ( ) Aritmeetilise jada esimese n-liikme summa valem a + an 2a + ( n - 1) d Sn = 1 n Sn = 1 n 2 2 ------------------------------------------------------- 1. Leia aritmeetilise jada 2; 9; 16; ... kaheteistkümnes liige. Lahendus: Antud on a1 = 2; a2 = 9, millest järeldub, et vahe on d = 9 2 = 7; n = 12. Leiame a12 ( ) Kasutades aritmeetilise jada üldliikme valemit a n = a1 + n - 1 d , saame a12 = 2 + (12 - 1) 7 = 2 + 11 7 = 79 2. Arvuta aritmeetilise jada n-is liige. a) a1 = 2; d = -2; n = 12; a12 = ??? ( )
Iseseisev töö nr 1. Mõõtmistulemuste asendi- ja hajuvuskarakteristikute arvutamine. Histogrammi koostamine. Ülesanne 1. Arvutada ühele suunale tehtud 50 lugemi sekundiosade põhjal mõõtmistulemuste asendi- ja hajuvuskarakteristikud. Koosta mõõtmistulemuste kohta histogramm. Vastavalt tööjuhendile koostame ette antud andmetest variatsioonirea kasutades selleks Excel’is olevat Sort funktsiooni. Järgnevalt leiame valimi aritmeetilise keskmise Average käsuga. Lisaks tuleb leida valimi mood, mediaan, dispersioon ja standardhälve kasutades selleks Excel’i funktsioone. Järgnevalt antud valimile vastavad mainitud suurused: 1. Aritmeetiline keskmine- 37,8 2. Valimi mood- 32,1 3. Valimi mediaan- 37,9 4. Valimi dispersioon- 9,7 5. Valimi standardhälve- 3,1 Lisaks tuleb leida valimile vastavad asendi-ja
Jadad Aritmeetiline jada Aritmeetilise jada üldliikme valem on an = a1 + d(n – 1), kus d on jada vahe ja n jada liikmete arv. Aritmeetilise jada esimese n liikme summa valem on . a1 a n Sn n 2 Teades, et an = a1 + d(n – 1), võime eelnevale valemile anda ka teise kuju: . 2a 1 n 1 d
(7 p-ga) 3. Aednik peab kastma 52 õunapuud, mis asuvad ühes reas 6-meetriste vahedega. Kaevust esimese õunapuuni on 18 m. Kui pika tee läbib aednik õunapuude kastmisel, kui iga korraga kastab aednik ühe õunapuu? (17 784 m) 4. Rong läbib jaamast väljudes esimeses sekundis 0,4 meetrit, iga järgneva sekundi jooksul aga 1,2 meetri võrra eelmisest rohkem. Kui pika tee läbib rong esimese minuti jooksul? (2148 m) 5. Aritmeetilise jada kolmas liige on 2 ja kaheksas liige on 17. Mitu liiget on vaja võtta, et nende summa oleks 95? (10) 6. Aritmeetilise jada viie esimese liikme summa on 20 ja üheksas liige on 13. Leia jada kolm esimest liiget. (1; 2,5;4) 7. Tsentrifuugi pöörlemiskiirust vähendati 0,4 minuti jooksul, kusjuures iga sekundiga tegi ta 9 pööret vähem kui eelmiseega ja viimasel pidurdamis sekundil tegi ta veel 30 pööret. Mitu
JADAD Aritmeetiline jada Olgu antud lineaarfunktsioon y=f(x)=ax+b Aritmeetilised jadad on näiteks: 1,3,5,7...2n-1 Selle aritmeetilise jada üldvalem 7,11,13,15,19...4n+3 Selle aritmeetilise jada üldvalem d=3-1=5-3=7-5=...=2 d-aritmeetilise jada vahe 1+5 3+ 7 Omadus: =3 ; =5 2 2 d=11-7=15-11=19-15=...-4 7 +15 11 +19 Omadus: =11 ; =15 2 2 Üldiselt avaldub aritmeetiline jada: a1 , a2, a3 … an −1, a n , a n+1 , … Üldliige avaldub valemiga: an =a1 + ( n−1 ) × d Avaldan sellest valmist: a1 , d ,n 1=¿ a n−( n−1 ) × d a¿ a n−a d= 1
a1 - esimene liige an - n-es liige ehk üldliige d aritmeetilise jada vahe n liikmete arv Sn - liikmete summa q - geomeetrilise jada tegur Aritmeetiline jada Aritmeetiline jada on jada, mille teisest liikmest alates iga liikme ja talle eelneva liikme vahe on jääv. Aritmeetiline jada on jada, mille iga liige alates teisest on võrdne talle eelneva liikme ja jääva arvu summaga. Arvu mida me juurde liidame nimetame me vaheks. d=0 konstantne jada
Kruviku samm jaotiste arv trumlil null-lugem Katsekeha paksus Tabel 4 Katse nr di, mm d di, mm (d di)2, mm2 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. d= Arvutused koos veaarvutustega Mõõtmistulemuste aritmeetilise keskmise saab arvutada valemiga (1): kus n on mõõtmiste kordade arv. A-tüüpi standardmääramatuseks ua(dk) on aritmeetilise keskmise eksperimentaalne standardhälve (2): Kuna juhuslikud mõõtehälbed on jaotunud normaalselt, siis saab aritmeetilise keskmise A-tüüpi laiendmääramatuse Ua(dk) = kua(dk) leida järgmise valemiga (3): kus katteteguriks k on Studenti tegur tn-1,, mille väärtus on antud juhul 2,3. Usaldatavus on antud juhul 0,95.
JADAD: a1 = jada esimene liige an = jada n-is liige n = näitab mitmes liige arv jadas on < n Z > d = aritmeetilise jada vahe ; d = an an 1 ehk d = a2 a1 q = geomeetlise jada jagatis ; q = an / an 1 ehk a2 / a1 Sn = jada n liikme summa Aritmeetilise jada üldliikme valem: an = a1 + ( n 1)d 2a1 + ( n 1)d a 1 + an Aritmeetilise jada summa : Sn = n või Sn = n 2 2 Aritmeetlilise jada üks liige on oma naabrite arit. keskmine an =(an 1 + an + 1) 2 Geomeetrilise jada üldliikme valem: an = a1×qn 1 a1( qn 1 ) a1( 1 qn ) Geomeetrilise jada summa: Sn = n või Sn = n
Inversiooni tähistatakse erinevates allikates erinevalt: A A A' Lihtlausetest koostatakse kindlate sidesõnade ja loogiliste konstruktsioonide abil liitlauseid: Aritmeetilise liitmise tehtemärki ' + ' sobib kasutada VÕI-tehte ehk disjunktsiooni tehtemärgina sellepärast, et disjunktsioon on "tavalise" " kui palka ei tõsteta või tööaega ei vähendata, siis algab streik " aritmeetilise liitmise analoog loogikas.
an, siis saadakse arvjada (arvude järjend, mis võib koosneda kas lõplikust või lõpmatust hulgast arvudest; selle saab kui seada ritta ükskõik mis arve). 2. Aritmeetiline jada jada, milles teisest liikmest alates on iga liikme ja sellele eelneva liikme vahe konstante (jada, kus iga kahe järjestikuse liikme vahe on võrdne). *Jada nimetatakse hääbuvaks ehk nullile lähenevaks, kui jadas järjest kaugemale minnes selle jada liikmed erinevad arvust 0 kui tahes vähe. 3. Aritmeetilise jada üldliige avaldub kujul an = a1 + d (n 1), kus a 1 on aritmeetilise jada esimene liige, d on jada vahe ning n on liikmete arv jadas. 4. Aritmeetilise jada n esimese liikme summa avaldub kujul Sn = (a1 + an) / 2 · n, kus a1 on aritmeetilise jada esimene liige, an on jada üldliige ning n on liikmete arv jadas. 5. Geomeetriline jada jada, milles teisest liikmest alates on iga liikme ja sellele eelneva liikme jagatis konstantne. *Geomeetriline jada on hääbuv, kui 0 < q < 1. 6
soovi anda talle malelaua 1.ruudu eest ühe nisutera, 2. eest kaks, 3. eest neli iga järgmise eest kaks kor- da rohkem teri kui eelmise eest. Kuigi soov tundus ole- vat tagasihoidlik, ei olnud seda võimalik täita. Miks? Täida tabel aritmeetilise jada kohta Ül.nr. a1 d n an Sn 1 1 2 10 2 3 12 36 3 23 10 5 4 4 25 75 5 -16 20 28 6 8 -17 -80 7 4 7 63 Täida tabel geomeetrilise jada kohta Ül.nr. a1 q n an Sn 1 2 -3 4 2 2 6 32 3 1 3 40 4 0,5 5 -8
intensiivselt ringikujuliste liigutustega. Stöhhiomeetrilises punktis muutus vee värvus kollasest üle oranzi punaseks. Lugesin büretilt tiitrimiseks kulunud soolhappe mahu täpsusega 0,05 cm3 ja sain 2,50ml. Täitsin büreti uuesti 0,1M soolhappelahusega kuni skaala 0 märgini ja kordasin tiitrimist teise koonilisse kolbi. Teise katse tulemuseks sain 2,45ml. Tiitrimiseks kulunud HCL mahtude erinevus jäi vahemiku 0,10.....0,15cm3, seega lugesin tiitrimise õnnestunuks. Arvutasin aritmeetilise keskmise (2,50+2,45)/2=2,475cm3. Tiitrimistulemuste keskmise põhjal arvutasin HCO3- ioonide kontsentratsiooni: CmM,HCO3-=(VHCl*CmM,HCl*1000mmol)/(Vvesi*1dm3*1mol)= (2,475cm3*0,1mol*1000mmol)/ (100cm3*1dm3*1mol)=2,475mmol/dm3 Karbonaatse kareduse arvutamine: KK:CmM,HCO3-/2=2,475mmol/dm3/2=1,238mmol/dm3 Vastus: karbonaatne karedus on 1,238mmol/dm3 B Üldkareduse määramine Pipeteerisin destilleeritud veega loputatud koonilisse kolbi 100 cm3 uuritavat
Kui a > 0, siis parabooli harud avanevad üles, kui a < 0, siis alla. Parabooli sümmeetriatelge nimetatakse parabooli teljeks ja punkti, kus parabool lõikub oma teljega nimetatakse parabooli haripunktiks. Parabooli skitseerimiseks tuleb leida nullkohad ( võrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendid) ja x + x2 haripunkt ( haripunkti abstsissi leiame kas nullkohtade aritmeetilise keskmisena 1 2 b või valemist x h = - ; ordinaadi leidmiseks paneme abstsissi väärtuse funktsiooni 2a 4ac - b 2 avaldisse ning leiame y väärtuse või kasutame valemit y = ). 4a Parabool läbib y-telge punktis (0 ; c)
tõus, sudame, peaaju ja VAHELDUVVOOLUGENERAATOR on seade, mis muudab tarbija juures tagasi vajaliku madalama väärtuseni. Koosneb 2 närvide ülekuumenemine. ELEKTROLÜÜTILINE toime: vere ja vahelduva elektromagnetvälja energiaks. KESKVÄÄRTUS mähisest 1)primaarmähis (vool tuleb sisse) 2)sekundaar mähis koevedeliku lagundamine. BIOLOOGILINE toime: lõhub saadakse voolu hetkväärtuste aritmeetilise keskmisena. Voolu (vool tuleb välja) HETKVÄÄRTUS (i) ja AMPLITUUDVÄÄRTUS normaalseid talitusprotsesse, mõjub kesknärvisüsteemile. keskväärtus poolperioodi kohta väljendub graafiliselt ristküliku (Im). FAASIJUHE juhe, kus on perioodiliselt muutuv pinge KAHJUSTUSED: 1)kohalik- elektritrauma 2)üldine- elektrilöök. kõrgusena, mille alus võrdub poolperioodi pikkusega ja maandatud eseme suhtes
mida korrastatakse ja tdeldakse arvutiga. Nide: Korvpallurite treeninglaagris on 9 meesmngijat, kes pikkuse jrgi (cm) reastuvad jrgmiselt: 182, 183, 187, 189, 195, 195, 199, 201, 210. Sellist kasvavalt (vi kahanevalt) jrjestatud tunnuse vrtuste rida nimetatakse variatsioonireaks. Variatsioonirida iseloomustatakse mitme nitajaga, millest seni on pitud kaks: aritmeetiline keskmine (antud arvude summa jagatis nende koguarvuga) ja mood (tunnuse suurima sagedusega vrtus). Arvutame antud nites aritmeetilise keskmise: (182+183+187+189+195+195+199+201+210) : 9 = 1741 : 9 = 193,4 Saime, et korvpallurite pikkuse aritmeetiline keskmine on 193,4. Moodiks antud pikkuste reas on 195. MEDIAAN Variatsioonirida iseloomustatakse aritmeetilise keskmise ja moodi krval veel mediaaniga (this Me). Mediaan on variatsioonireas tunnuse selline vrtus, millest viksemaid (vi vrdseid) ja suuremaid (vi vrdseid) vrtusi on tpselt hepalju. Kui variatsioonireas on paaritu arv liikmeid nagu korvpallurite nites, siis on
fenoolftaleiin ja metüülpunane Töö käik: Kõigepealt loputan pipetid ja büreti töölahusega. Seejärel valan kindla kontsentratsiooniga NaOH büretti. Pipeti abil mõõdan koonilisse kolbi 10 cm3 HCl-i ning lisan 4 tilka fenoolftaleiini. Järgnevalt tilgutan büretist leelise lahust tilkhaaval hapesse, kuni happe värv muutub. Fikseerin leelise nivoo asukoha ning kordan analoogset katset veel kolm korda. Tulemuste põhjal arvutan nende aritmeetilise keskmise. Kontroll-lahuse tiirimiseks loputan pipetid ja büreti vajaliku töölahusega ning valan HCl-i büretti. Siis mõõda kolbi 10 cm3 NaOH-i ja lisan 4 tilka metüülpunast. Seejärel tilgutan hapet leelise lahusesse, kuni leelise lahuse värv muutub kollasest punaseks. Kirjutan üles leelise nivoo asukoha ning kordan katset veel kaks korda. Saadud tulemustest võtan aritmeetilise keskmise.
Usalduspiirkonna (ã , ã + ) leidmiseks tuleb: 1. Arvutada valimi põhjal punkthinnang ã; 2. Ette anda usaldusnivoo (näiteks 95%; 99%); 3. Leida seosest P(|ã a| < ) = suurus , mis määrabki usalduspiirkonna. Normaaljaotuse keskväärtuse usalduspiirkond suure valimi korral Eeldame, et valimi maht on küllalt suur (n > 30) või standardhälve on eelnevalt teada (näiteks mõõteriista täpsus on teada). Olgu X ~ N(m, ). Leiame keskväärtuse punkthinnangu aritmeetilise keskmise abil: 1n x = xi n i =1 Normaaljaotusega juhusliku suuruse X antud vahemikku sattumise tõenäosuse võime leida Laplace'i funktsiooni abil: P (| X - m |< ) = P (m - < X < m + ) = ( / ) - (- / ) = 2 ( / ) Kui X on normaaljaotusega, siis on ka X normaaljaotusega: P (| X - m |< ) = 2( / ( X )). Normaaljaotuse keskväärtuse usalduspiirkond
lisama, et lahuse kontsentratsioon ei muutuks. Pipetile panime otsa pipetipumba ja mõõtsime selle abil puhtasse koonilisse kolbi 10 cm 3 hapet ja lisasime 3 tilka fenoolftaleiini. Siis tilgutasime büretist leelise lahust happesse, kuni lahuse värvus muutus ühe tilga lisamisel punaseks (neutraliseerus). Lugesime büretis oleva leelise nivoo asukoha ning leidsime happe neutraliseerimiseks kulunud leelise mahu cm 3- tes. Kordasime katset 3 korda ning saadud tulemustest leidsime aritmeetilise keskmise. Arvutasime tiitrimiseks kulunud NaOH lahuse mahu järgi HCl lahuse molaarse kontsentratsiooni. II KATSE Lahuse kontsentratsiooni määramiseks tiitrimisega loputasime kõigepealt soolhappe (HCl) jaoks mõeldud büreti hoolikalt läbi väheste soolhappe lahuse kogustega. Siis täitsime büreti sama soolhappe lahusega kuni 0-märgini. Kontroll-lahuse tiitrimiseks pipeteerisime 10 cm3 kontroll-lahust kolbi, lisasime 3 tilka indikaatorit (metüülpunast)
e 1+ α 2 ⃗ e n= ⃗0 e 2+ …+α n ⃗ ⃗0 nullvektoriks. Kasutades aritmeetilise vektorruumi tehteid, saab, et nullvektori ⃗0=(α 1 , α 2 ,α 3 ,… , α n) komponendid on . Tehtud eelduse tõttu kõik need komponendid ei ole nullid, mis on vastuolu, sest nullvektori kõik komponendid on nullid. Kasutades aritmeetilise vektorruumi tehteid, saame ruumi Rn mistahes vektori
Protseduur Loe_Tab(A, m, n, Aprk) Loeb töölehele piirkonnast Aprk sisse väärtused ja salvestab sellle maatrksis A. Protseduur Loe_Tulp(B, n, Bprk) Loeb töölehe piirkonnast Bprk sisse väärtused ja salvestab need vektoris B. Protseduur Kir_Tab(A, m,n, Aprk) Kirjutab töölehele erinevad massiivid. Protseduur kustuta() Kustutab töölehelt kõik eelnevalt arvutuste tulemusena kuvatud numbrid. Ristkülikmaatriks Protseduur aritm(A(), n, m) Leiab maatriksi iga veeru aritmeetilise keskmise ning lahutab selle vastava veeru elementidest. n Maatriksi ridade arv. m Maatriksi veergude arv. A() Maatriks A. Protseduur maksimum(A(), n, m, max, rn, vn) Leiab absoluutväärtuselt suurima elemendi ja selle asukoha maatriksis. n Maatriksi ridade arv. m Maatriksi veergude arv. max Abimuutuja, mille abil leitakse suurim element igas veerus. A() Maatriks A. rn Rea nr., kus maksimum asub. vn Veeru nr
Loputasime pipeti töölahusega. Pipeti abil mõõtsime koonilisse kolbi 10cm3 hapet. Seejärel lisasime 3 tilka indikaatorit (ff). Lahus jäi värvusetuks. Järgnevalt tilgutasime büretist leelise NaOH( 0,1004 mol /dm 3 ¿ lahust HCl happesse, kuni lahuse värvus muutus ühe tilga leelise lisamisel punaseks. Kordasime katset kolm korda, kuni mõõdetud leelise koguste vahe ei ületanud enam 0,1 cm3. Arvutasime saadud tulemuste aritmeetilise keskmise. 3.2 Kontroll-lahuse kontsentratsiooni määramine tiitrimisega Saime mõõtkolvi, milles oli 250cm3 kontroll-lahust NaOH. Pipetiga mõõtsime koonilisse kolbi 10cm3 kontroll-lahust ja seejärel lisasime kolm tilka indikaatorit (mp). Järgnevalt tilgutasime büretist HCl lahust (Eelmises ülesandes määratud kontsentratsiooniga) samasse kolbi kuni kollane lahus (NaOH) muutus punaseks. Mõõtsime kui palju hapet oli vaja, et kolvis olevat leelist neutraalseks muuta
Igas katses kasutatud happe ruumala: Kasutatud ainete antud konsentratsioonid: HCl ruumalad, mis kulusid kontrolllahuse+indikaatori värvi muutmiseks kolmel katsel: Igas katses kasutatud kontrolllahuse ruumala: Antud kontrolllahuse molaarne kontsentratsioon: Katseandmete töötlus ja tulemuste analüüs Soolhappe tiitrimisel täpse kontsentratsioonigaNaOH lahusega toimub reaktsioon: Katse A osa arvutused: Leian happe neutraliseerimiseks kulunud NaOH ruumala aritmeetilise keskmise: 1) Arvutan tiitrimiseks kulunud NaOH lahuse mahu järgi HCl lahuse molaarne kontsentratsiooni: Katse B osa arvutused: Leian kontrolllahuse+indikaatori värvi muutmiseks kulunud HCl ruumalade aritmeetilise keskmise: 1) Arvutan kontrolllahuse molaarse kontsentratsiooni: 2) Leian mõõtkolvis oleva lahustunud NaOH massi: NaOH molaarmass on: 3) Ning viimaks arvutan katse suhtelise süstemaatilise vea valemi abil: Kokkuvõte
11 12 Ühe klassi õpilaste pikkused (cm). 161, 173, 168, 159, 166, 64, 171, 170, 167, 177, 163, 159, 162, 172, 169, 170, 165, 16, 174, 162, 166, 158, 169, 178, 169, 164, 171. Moodustada sagedustabel jaotades andmed 5 klassiks. 13 Tunnuse keskväärtus on tunnuste aritmeetiline keskmine. Kui objekte on palju, siis on mõistlik kasutada sagedustabelit 14 Aritmeetilise keskmise eelised: 1) kasutab kogu infot 2) on aluseks paljudele teistele näitajatele 15 Aritmeetilise keskmise puudused: 1) kui jaotus on mitmetipuline või U- kujuline, siis ei pruugi aritm. keskmine olla tunnuse kuigi iseloomulik väärtus 2) on tugev abstraktsioon, sellist väärtust ei pruugi tunnusel esineda 16 Koostada pingerida alljärgneva tabeli põhjal
Katsekehi hoitakse enne katse alustamist vähemalt 6 tundi temperatuuril (23±5)ºC. Katsekehadel võetakse 2 mõõdet täpsusega 0,5 mm järgmiste eeskirjade järgi: Kui katsekeha mõõtmed on väiksemad kui 1,5 m, siis võetakse üks mõõde katsekeha poolest pikkusest ja teine mõõde poolest laiusest. Kui katsekeha mõõtmed on suuremad kui 1,5 m, siis võetakse üks täiendav mõõde iga meetri kohta ja tulemus esitatakse aritmeetilise keskmisena. 3.1.2. Katsekeha pikkuse, laiuse ja paksuse määramine Tootest väljalõigatud katsekeha mõõtmed võetakse nihikuga täpsusega 0,1mm. Iga katsekeha mõõde arvutatakse kui aritmeetiline keskmine kolmest mõõtmistulemusest kaks mööda paralleelservi ja kolmas nende keskelt. Mõõtmistulemused esitatakse millimeetrites täpsusega 0,5mm. 3.2. Tiheduse määramine Tihedus määratakse keha massi ja mahu suhtena [kg/m3] valem Valem 3.2.1 abiga.
positiivsus- ja negatiivsuspiirkonna algebraliselt; negatiivsuspiirkon kontrollib, kas funktsioon on d. Funktsiooni paaris või paaritu; kasvamine ja 6) uurib arvutiga ning kirjeldab kahanemine. funktsiooni y = f (x) graafiku Funktsiooni seost funktsioonide y = f (x) + a, ekstreemum. y = f (x + a), y = f (ax), y = a f (x) Astmefunktsioon. graafikutega; Funktsioonide 7) selgitab arvjada, aritmeetilise y = x , y = x2 , ja geomeetrilise jada ning y=x , y=x , 3 -1 hääbuva geomeetrilise jada mõistet; y = x , y = 3 x , y 8) tuletab aritmeetilise ja x geomeetrilise jada esimese n = x-2, y = liikme summa ja hääbuva graafikud ja geomeetrilise jada summa omadused. valemid ning rakendab neid ning Liitfunktsioon. aritmeetilise ja geomeetrilise jada Pöördfunktsioon
2. Seada töökorda bürett lahjema, 0,005 M triloon-B lahusega ning tiitrida nagu punktis B sinise värvuseni. Katseandmed A) Punktis A lahuse värvi muutmiseks kulunud HCl ruumalad kahel katsel: B) Punktis B lahuse värvi muutmiseks kulunud triloon-B ruumalad kahel katsel: C) Pehmendatud veele lisatud triloon-B ruumala: Katseandmete töötlus ja tulemuste analüüs Katse A osa arvutused: Leian uuritava vee värvi muutumiseks kulunud HCl ruumala aritmeetilise keskmise: 1) Arvutan tiitrimistulemuste keskmise põhjal ioonide kontsentratsiooni: 2) Arvutan reaktsioonivõrrandi järgi karbonaatse kareduse: Katse B osa arvutused: Leian uuritava lahuse värvi muutumiseks kulunud triloon-B ruumala aritmeetilise keskmise: 1) Arvutan tiitrimistulemuste keskmise põhjal lahuse üldkareduse: Katse C osa arvutused: 1) Arvutan pehmendatud vee üldkareduse ehk jääk-üldkareduse: Kokkuvõte Vee pehmendamisest Na-kationiitfilriga on kasu
kontsentratsioonist (xb) segus kasutades lineaarset regressiooni (Excelis): 0 Arvutan tundmatu proovi koostise (massprotsentides) eeldusel, et piigi pindala kontsentratsioonist lineaarselt : Bu Kuna masin annab piigi pindala 0,01 pool viimast numbrikohta. : Leian B- ; ; Leian aritmeetilise keskmise A- Studenti tegur, kus ; : Leian B- Leian aritmeetilise keskmise A- Tundmatu proovi koostis: 9,3% Leian suhtelised vead: Leian molaarsed kontsentratsioonid: kg (kontsentratsioonid on alati samad), siis on segus . Eeldan, et ruumalad on liidetavad. Leian ruumalaumurrud:
6,7 cm3 2. 6,6 cm3 3 Triloon-B aritmeetiline keskmine 6,65 cm . Puhverlahuse ruumala ~5 cm3 3) Pipetiga mõõdetud pehmendatud H2O ruumala 100 cm3 Puhver lahuse ruumala ~5 cm3 Kuna indikaatori ET-00 lisamisel muutus vesi kohe sinist värvi seega 0,005 M triloon-B'd ei pea lisama ja vesi on kohe pehme. 5. Katseandmete töötlus ja tulemuste analüüs. 1) HCl aritmeetilise keskmise põhjal arvutada HCO-3 ioonide kontsentratsioon (millimolaarsus mM) valemist : C mM , HCO - = ( ) VHCl cm 3 * C M , HCl ( mol ) *1000( mmol ) 2,55 * 0,1*1000 = = 2,55 mmol 3 3 (
Katseid tehti silikaattellistega. 3. Kasutatud töövahendid Hüdrauliline press survetugevuse leidmiseks Kaal katsekehade massi leidmiseks Joonlaud katsekehade mõõtmete leidmiseks 4. Katse metoodikad 1 Tiheduse määramine Katsetuseks võtsime 6 proovikeha (silikaattellist), mis on 105-110 ºC juures püsiva massini kuivatatud. Proovikeha mass määratakse kaaludes elektroonilise kaalu abil veaga mitte üle 5g. Proovikeha mõõtmed leitakse kolme mõõtmise aritmeetilise keskmisega. Seejärel on võimalik välja arvutada proovikeha ruumala kasutades aritmeetilise keskmisega leitud mõõtmeid. Tihedus arvutatakse igal proovikehal eraldi Valem 4.1.1 abil: m 0= 1000 Valem 4.1.1 V 0 proovikeha tihedus (kg/m3); m kuivatatud proovikeha mass (g); V proovikeha maht (cm3). 2 Veeimavuse määramine
99,7% 3. 100% Antud usaldatavus 95%, D=+-3 ja standarthälve 20 (siis oli antud segadusse ajamiseks ka mingi keskmine). Kui suur peaks olema valim? Valemiga n=z(alfa kahendikku)*standarthälbe ruut/Druuduga. Vastuseks tuli 171 On antud kolme aasta jooksul, esialgne 100, pärast 200. Leida keskmine juurdekasvutempo 1. 10 ühiku 2. 20% 3. 41,4% kasvutempovalemiga 1,41-1=41,4% 4. Mitte ükski neist Esindusviga on oma sisult: 1. Viga mis tekib aritmeetilise keskmise ebatäpsuse tulemusena 2. Kõikide võimalike esindusvigade harmooniline keskmine 3. Väljavõtukogumi ja üldkogumi struktuurid erinevuse tulemusel tekkinud ebatäpsus 4. Ei ükski eelnevatest variantidest Mediaan 1. on korrastamata rea keskmine element (korrastatud) 2. on alati moodist suurem (vb olla ka väiksem) 3. on alati geomeetrilisest keskmisest suurem (kindel seos puudub) 4. normaaljaotuse puhul on moodiga võrdne 5
5. Aegreaga ja selle tasandamise juures Valimivaatluse korral 1. Usalduspiiride laius sõltub väärtuste varieerumisest 2. Suurema valimi kasutamisel usalduspiirid laienevad 3. Valitud usaldatavus ei avalda mõju moodustatava valimi suurusele 4. Keskmine esindusviga ei sõltu valimi suurusest 5. Suurem valimi kasutamine vähendab väärtuste varieerumist üldkogumis Esindusviga on oma sisult: 1. Viga mis tekib aritmeetilise keskmise ebatäpsuse tulemusena 2. Kõikide võimalike esindusvigade harmooniline keskmine 3. Väljavõtukogumi ja üldkogumi struktuurid erinevuse tulemusel tekkinud ebatäpsus 4. Ei ükski eelnevatest variantidest Mediaan 1. on korrastamata rea keskmine element 2. on alati moodist suurem 3. on alati geomeetrilisest keskmisest suurem 4. normaaljaotuse puhul on moodiga võrdne 5. ei ükski Standardhälve 1. leitav dispersiooni ruuduga 2
Keskmise taseme arvutamise juures: moodi võib kasutada ka paarituarvulistes ridades geomeetriline keskmine on kasutatav ainult kvantitatiivsete tunnuste korral avatud äärerühmade puhul võiks kasutada mediaani aritmeetilise keskm asemel kronoloogiline keskmine sobib kasutamiseks ainult aegridade korral Ruutkeskmine annab võrreldes aritmeetilise keskmisega suurema tulemuse geom.keskmine on alati aritmeetilisest keskmisest väiksem Keskmise väärtuse arvutamise juures: kasutatakse kordsete suuruste puhul geomeetrilist keskmist Mediaan: normaaljaotuse puhul on moodiga võrdne Kvartiilkeskmist kasutatakse kui on tegemist: ei ükski antud valikutest Kuupkeskmist kasut kui on tegemist: ei ükski Kronoloogilist keskmist kasutatakse, kui on tegemist: momentreaga ja ajavahemikud on võrdsed
3 V HCl 2=9,35 cm 3 V HCl 3=9,35 cm Igas katses kasutatud kontrolllahuse ruumala: V klahus =10 cm3 =0,01 dm3 Antud kontrolllahuse molaarne kontsentratsioon: C M ,klahus ,tegelik =0,1031 M Katseandmete töötlus ja tulemuste analüüs Soolhappe tiitrimisel täpse kontsentratsioonigaNaOH lahusega toimub reaktsioon: HCl+ NaOH → NaCl+ H 2 O Katse A osa arvutused: Leian happe neutraliseerimiseks kulunud NaOH ruumala aritmeetilise keskmise: 10,7 cm 3 +10,7 cm3 +10,8 cm3 V NaOH = =10,73 cm3 =0,01073 dm3 3 1) Arvutan tiitrimiseks kulunud NaOH lahuse mahu järgi HCl lahuse molaarne kontsentratsiooni: V HCl × C M , HCl=V NaOH × C M , NaOH V NaOH × C M , NaOH C M , HCl= V HCl 0,01073 dm 3 × 0,1002 M C M , HCl= =0,1075 M 0,01 dm 3
CTriloon−B =0,025 M Punktis B lahuse värvi muutmiseks kulunud triloon-B ruumalad kahel katsel: 3 V Triloon− B 1=6,7 cm 3 V Triloon− B 2=6,8 cm C) V Pehmendatud vesi=100 cm 3 V Puhverlahus =5 cm3 CTriloon−B =0,005 M Pehmendatud veele lisatud triloon-B ruumala: V Triloon− B=0,15 cm3 Katseandmete töötlus ja tulemuste analüüs Katse A osa arvutused: Leian uuritava vee värvi muutumiseks kulunud HCl ruumala aritmeetilise keskmise: 2,6 cm3+ 2,55 cm3 V HCl = =2,575 cm3 2 −¿ 1) Arvutan tiitrimistulemuste keskmise põhjal HCO¿3 ioonide kontsentratsiooni: −¿ V HCl ×C M , HCl ×1000 mM , HCO 3 = V Uuritav vesi ×1 C¿ 3 2,575 cm ×0,1 M ×1000 mol mmol
räägitakse faasinihkest ja faasinihkenurgast. 30. Voolu ja pinge keskväärtus Vahelduvvoolu hindamine on võimalik, kui lähtuda mingist keskmisest väärtusest. Siinussuuruste keskmine väärtus perioodi kohta on null, sest üks poolperiood on positiivne, teine, täpselt sama suurte hetkväärtustega, - negatiivne. Seepärast saab keskväärtusest rääkida poolperioodi kohta. Keskväärtus saadakse voolu hetkväärtuste aritmeetilise keskmisena. Voolu keskväärtuste aritmeetilise keskmisena. Voolu keskväärtus poolperioodi kohta väljendub graafiliselt ristküliku kõrgusena, mille alus võrdub poolperioodi pikkusega T/2 ja ristküliku pindala võrdub voolukõvera poolt piiratud pindalaga. 31. Voolu ja pinge efektiivväärtus Vahelduvvoolu efektiivväärtuson võrdne niisuguse alalisvooluga, mis samas takistis sama aja jooksul eraldab vahelduvvooluga võrdse soojushulga. 32. Vektordiagramm Vektordiagramm tuleneb siinuskõvera joonistamise konstruktsioonist. 33
Õiglus lõpliku loomutäiusena on see, mis aitab ühiskonnas säilitada õnne. See on paratamatult vahepealne ja seega võrdne ehk siis see, mis on ebaõiglane on ühtlasi ka ebavõrdne. Võrdselt jaotamise puhul eristab Aristoteles geomeetrilist ja aritmeetilist vastavust. Kui tekivad probleemid ebavõrdsusega, pöördutakse kohtuniku poole, kes taastab võrdsuse, võttes ära osa poolelt, kellel on rohkem ning annab sellele, kellel on vähem ehk tegutseb aritmeetilise vastavuspõhimõtte järgi. Ebaõigluse puhul võib inimene ise käituda ebaõiglaselt või saada ebaõiglase käitumise osaliseks. Ebaõiglast käitumist jaotatakse omakorda seaduserikkumiseks ja võrdsusest mittehoolimiseks. Ebaõiglane tegu on vabatahtlik ja ettekavatsetud ehk tegija teab, kellele ta toiming on suunatud ning millised on selle tagajärjed. Kuid ebaõiglusest osasaamine ei saa olla vabatahtlik, kuna sel juhul on alati olemas keegi, kes on toiminud ebaõiglaselt
Trapetsi kesklõik Töölehe 8.klassile koostas Malve Zimmermann, Tõrva Gümnaasium DEFINITSIOON: Lõiku, mis ühendab trapetsi haarade keskpunkte, nimetatakse trapetsi kesklõiguks. TEOREEM: Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega ja võrdub aluste aritmeetilise keskmisega. b k II a II b k a+b k= 2 S=k·h a Täida tabelid!
9 Muusika 5 5 10 Kunst 5 5 11 Tööõpetus 4 5 12 Kehaline kasvatus 5 5 13 Informaatika 4 5 Arvuta välja õpilase aritmeetilise keskmise I-s ja II-s veerandis eraldi ja võrlde, mille võrra on ta muutunud, juhul kui on teada, et õpeaineid on kokku 13. Arvutuskäik: 1. 4+5+5+5+5+5+5+5+5+5+4+5+4=62 62:13=4,769 Vastus: õpilase I veerandi aritmeetiline keskmine on 4,769. 2. 4+5+5+5+5+4+5+5+5+5+5+5+5=63 63:13=4,846 Vastus: õpilase II veerandi aritmeetiline keskmine on 4,846. 3. 4,846-4,769=0,077 Vastus: õpilase II veerandi aritmeetiline keskmine muutunud paremaks 0,077 võrra.
2. 4,60 ml – C2=4,05 mg/mL 3. 6,55 ml – C3=5,75 mg/mL P.S. Kolmanda proovi titrandi hulk oleks pidanud tulema suurem, kuid juhendaja nõuandel peaksin saama sellegipoolest edasisi arvutusi läbi viia. Siit saan edasi arvutada invertaasi aktiivsuse A10, kus on taandavate suhkrute sisaldus hüdrolüüsireaktsioonil 10. minutil ja A 20, kus on taandavate suhkrute sisaldus hüdrolüüsireaktsioonil 20. minutil. Nende kahe tulemusel arvutan preparaadi aktiivsuse läbi nende aritmeetilise keskmise. 1 C 2−C ¿ A10 = ¿ ×V 1 ×V 2 × 10 3 = (4,05 mg mL −2,44 mg mL ) ×26 ml × 5 ml ×10 3
3mg;C20min=15.1mg. V1-reaktsioonisegu üldmaht. V1=25.5ml V2-ensüümi töölahuse üldmaht. V2=10ml 10³-tegur üleminekuks mikrogrammidele. T-hüdrolüüsi kestus. T10=600, T20=1200 180-glükoosi molekulmass. V3-proovi maht taandavate suhkrute määramiseks. V3=1 ml. V4-ensüümireaktsiooni viidud invertaasi töölahuse maht. V4=0.5ml. L-lahjendusmäär, mida kasutati vedelast ensüümipreparaadist töölahuse valmistamisel. L=40. Invertaasi preparaadi aktiivsus avaldatakse kahe aktiivsuse aritmeetilise keskmisena. Selleks arvutan A10, kus C2 on taandavate suhkrute sisaldus hüdrolüüsi 10 minutil võetud proovis: A10=((8.3-0.8)*25.5*10³*40)/(600*180*1*0.5)=141.7 Ja A20, kus C2 on taandavate suhkrute sisaldus hüdrolüüsi 20 minutil võetud proovis: A20=((15.1-0.8)*25.5*10³*40)/(1200*180*1*0.5)=135.1 Kui töö on läbi viidudkorrektselt, peaksid tulemused kokku langema või erinema teineteisest maksimaalselt 20% võrra. Nende kahe erinevus on 100%-(135.1*100/141.7)=5%.
Carl Friedrich Gauss elas 30 April 1777 23 February 1855. Ta oli Saksa matemaatik ja teadlane. Ta aitas oluliselt kaasa paljudes valdkondades, sealhulgas arvutiteooria, statistika, anals, geomeetria, geodeesia, elektrostaatika, astronoomia ja optika. Ta nitas les eeldusi matemaatikaga tegelemiseks juba varajases nooruses. Kolmandal eluaastal parandas ta isa arvutusi kui viimane arvutas tliste ndalapalga suurust. Koolis avastas ta 9-aastaselt iseseisvalt aritmeetilise jada summa valemi tisarvude 1 kuni 100 liitmiseks. Ta ppis Braunschweigis ja Gttingenis. Kui Gauss oli 14 aastane, esitleti teda Braunschweigi hertsogile, kes poisi andekusest vaimustus ning teda ka pikka aega rahaliselt toetas. likooli ajal 1796 nitas, et sirkli ja joonlaua abil on vimalik konstrueerida korraprast seitseteistnurka. Umbes samal ajal tuletas ta vhimruutudemeetodi. Doktorits testas algebra phiteoreemi. Vhimruutude meetodi
Vasakkaldelistes ridades on keskmistest kõige väiksem mood, sest maksimum on vasakule "nihutatud". Vasakule poole ebasümmeetrilistele ridadele on iseloomulik väiksema väärtusega variantide rohkus. See avaldub sageduste kiires kasvus ja sellele järgnevas aeglases vähenemises. Joonis 6.1. Paremkaldelistes ridades kasvavad variantide sagedused suhteliselt aeglaselt, langevad aga järsult. Joonis 6.2. Lihtsaim võimalus jaotuse asümmeetrilisuse iseloomustamiseks on moodi ja aritmeetilise keskmise erinevus. Ridade asümmeetrilisuse absoluutseks mõõduks (A) kasutatakse aritmeetilise keskmise ja moodi vahet A = x - Mo. Kui hälve on plussmärgiga, siis on rida vasakule poole ebasümmeetriline, kui miinusmärgiga, siis paremale poole. Selle näitarvu kasutamisel tuleb arvestada, et eespool toodud seosed keskmiste vahel kehtivad ainult suhteliselt siledatejaotuste korral ning keerulisema struktuuriga jaotuste korral võib moodi ja
Mediaan võib olla ka selline väärtus, mida reaalsete vastuste hulgas ei esine Kui variatsioonireas on paarisarv elemente, siis mediaani arvutamiseks liidetakse kaks keskmist elementi kokku ning jagatakse kahega. Mediaaniks saab väärtus, mida reaalselt vastuste hulgas ei esine. Samuti võib aritmeetilise keskmise arvutamisel tekkida väärtus, mida reaalselt andmete hulgas ei esine. Mood on aga kõige enam esinenud väärtus, seega on mood alati reaalne väärtus valimi väärtuste hulgast. The correct answer is: Mediaan võib olla ka selline väärtus, mida reaalsete vastuste hulgas ei esine, Keskväärtus võib olla ka selline väärtus, mida reaalsete
Arvu ruut Arvu ruut Näide 1. Arvu 5 ruut on 25, sest 52 = 5 · 5 = 25. Ruutjuur Antud mittenegatiivse arvu a ruutjuureks nimetatakse sellist mitte- negatiivset arvu b, mille ruut võrdub arvuga a. a =b b2 = a ! Negatiivsest arvust ei saa ruutjuurt võtta. Juure korrutis ab= a b Mittenegatiivsete arvude korrutise ruutjuur võrdub tegurite aritmeetilise ruutjuure korrutisega Jagatise ruutjuur a a = b b Positiivsete arvude jagatiste aritmeetiline ruutjuur võrdub nende arvude aritmeetiliste ruutjuurte jagatisega. Ruut võrrand Võrrandit ax²+bx+c=0, milles a, b ja c on antud arvud (a0) ja x on tundmatu, nimetatakse ruutvõrrandiks. ax² + bx + c = 0 a ruutliikme kordaja ax² ruutliige b lineaarliikme kordaja bx lineaarliige c vabaliige Valem. Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mida saab esitada kujul
suured. Juhuslike vigade aritmeetiline keskmine läheneb nullile, kui mõõtmistulemuste arv läheneb lõpmatusele. Geodeetiliste tööde juhendite koostamisel võetakse tavaliselt lubatavaks veaks +/- 2m või +/- 2,5 m, äärmine viga on +/- 3m. Keskmine ruutviga (m) kasutatakse ühe suuruse võrdtäpsete mõõtmise hindamiseks. Krv on eriti tundlik suuremate vigade suhtes. Võrdtäpsete mõõtmiste hindamine hälvete järgi ühe mõõtmise ja kõige tõenäolisema väärtuse aritmeetilise keskmise hindamine hälvete järgi Besseli valemist arvutatud krv-ga. Hälbeks nim. aritmeetilise keskmise L ja iga üksiku mõõtmistulemuse li vahet vi. (vt. valemite lehelt osa nr.4 b-punkti) Mõõtmiste täpsuse hindamine kaksikmõõtmiste järgi kui objekti mõõdetakse kaks korda nim. seda kaksikmõõtmiseks. Nt. nurga mõõtmisel Rp asendis ja Rv asendis. Ligikaudsed ja ümardatud arvud nendeks on mõõtmistulemused. Arvude ümardamisel lähtutakse
annaabi.ee 
