Sündmused. Kindel A = {1, 3, 5} ja sündmus B = {1, 2, 3}, perekonnas on sündmus (tähistatakse K) - sündmus, siis A B = AB = {1, 3}.Sündmusi, mis teatud tingimuste korral alati mille korrutiseks on võimatu toimub.Kindlateks sündmusteks on sündmus, nimetatakse üksteist kooliaasta algus 1. septembril, välistavateks.Kui A = igahommikune päikesetõus, vesi on {1, 3, 5} ja B = {2, 4, 6}, siis AB ämbris vedelas olekus kui temperatuur = , siis öeldakse on 10 kraadi. Võimatu sündmused A ja B on sündmus (tähistatakse V) - sündmus, teineteist välistavad.
2. Teineteist välistavate sündmuste summa, korrutis ja vahe. Sündmuste A ja B summaks elementaarsündmuste hulgas nimetatakse sündmust, mis toimub parajasti siis, kui toimub kas sündmus A või sündmus B või mõlemad. Sündmuste A ja B summat tähistatakse sümboliga A U B. N 1. Olgu täringu viskel sündmus A = {1, 3, 5} ja sündmus B = {1, 2, 3}, siis A U B = A + B = {1, 2, 3, 5}. Sündmuste A ja B korrutiseks elementaarsündmuste hulgas nimetatakse sündmust, mis toimub parajasti siis, kui toimuvad üheaegselt nii sündmus A kui ka sündmus B. Sündmuste A ja B korrutist tähistatakse sümboliga A B. N 2. Olgu täringu viskel sündmus A = {1, 3, 5} ja sündmus B = {1, 2, 3}, siis A B = AB = {1, 3}. Sündmusi, mille korrutiseks on võimatu sündmus, nimetatakse üksteist välistavateks. Kui A = {1, 3, 5} ja B = {2, 4, 6}, siis AB = Ø , siis öeldakse sündmused A ja B on teineteist välistavad.
Sündmuste summaks nimetatakse sündmust (sündmuste ühend), ehk sündmus A sisaldab kõiki neid elementaarsündmusi, mis kuuluvad vähemalt ühte Ai sündmustest . Seega toimub sündmus A parajasti siis kui toimub vähemalt üks Ai sündmustest (i=1, 2, ..., n). A= A 1 ∩ A 2 ∩… ∩ A n Sündmuste korrutiseks nimetatakse sündmust (sündmuste ühisosa), ehk sündmus A sisaldab neid ja ainult neid elementaarsündmusi, mis kuuluvad Ai kõigisse sündmustesse . Sündmus A toimub sel juhul parajasti siis, kui toimuvad Ai kõik sündmused . 10. Mida näitab sündmuse tõenäosus, milliseid omadusi me tõenäosuselt eeldame?
korral üks tingimata toimub. Juhuslikud sündmused: *vastastikku välistuvad sündmused- ei sisalda samu elementaarsündmusi *vastastikku mittevälistuvad sündmused- sisaldavad samu elementaarsündmusi *sündmuste sisalduvus- kui toimub A, toimub ka B *vastansündmus- kõik elementaarsündmused, mis ei sisaldu sündmuses Tõenäosus iseloomustab sündmuse esinemissagedust katsetes. Tõenäousese määramisviisid: klassikalised(kombinatoorne, geomeetriline, statistiline), mtteklassikalised(subjektiivne,intersubjektiivne) Juhuslikuks suuruseks nim suurust, mis järjekordse katse tulemusel omandab mingi mittennustatava väärtuse mingist võimalikust väärtuste hulgast. Diskreetne juhuslik suurus: võimalike väärtuste hulk on lõplik Pidev juhuslik suurus: võimelike väärtuste hulk on kontiinum Jaotusfunktsioon on tõenäosus, et juhusliku suuruse väärtus ei ületa funktsiooni argumenti
Pearsoni 2 test: 2- test on üks levinumaid teste jaotushüpoteeside kontrollimisel. Testis kasutatav teststatistik iseloomustab erinevust hüpoteetilise ja empiirilise jaotuse vahel histogrammi vahemikele vastavate hüpoteetilise ja empiirilise sageduse kaudu. Kolmogorovi-Smirnovi test: Hüpoteesipaari {H0: F(x,) = F0(x,), H1: F(x,) F0(x,)} kontrollimine Kolmogorovi-Smirnovi testi abil kasutab erinevust hüpoteetilise ja empiirilise jaotusfunktsiooni vahel ning põhineb asjaolu, et nullhüpoteesi H0: F(x,) = F0(x,) tõesuse korral statistik on N puhul jaotunud Kolmogorovi jaotusseaduse järgi (kui jaotuse parameetrid on teada ja F0(x) täpselt fikseeritud). Korrelatsioon-Korrelatsioon (korrelatsioonikordaja, korrelatsioonitegur, korrelatsioonikoefitsient) on levinuim arvkarakteristik iseloomustamaks kahe sõltuva juhusliku suuruse X ja Y vahelist (lineaarset) seost.
pidev juhuslik suurus: võimalike väärtuste hulk on pidev (nt mõõtetulemused pidevalt skaalalt)
Juhusliku suuruse omadused määrab (täielikult) tema jaotusseadus:
jaotusfunktsioon - tõenäosus, et juhuslik suurus väärtus ei ületa funktsiooni argumenti x: F(x) = P (X
Üldjuhul tähistatakse X. Diskreetne juhuslik suurus on juhuslik suurus, mille väärtuste hulk on lõplik või loenduv. Praktiliselt vaatleme ainult selliseid DJS, mille võimalikud väärtused on 0, 1, 2, ... või alamhulk eelnevast. DJS jaotusseadus on eeskiri, mis seob juhusliku suuruse väärtused ja nende tõenäosused: pi=P(X=xi).( esitatud valemina, tabelina, arvupaaridena või graafikuna). keskväärtus - EX = E(X). kus xi tähistab diskreetse juhusliku suuruse x väärtust ja p i selle tõenäosust. Keskväärtus on juhusest sõltumatu suurus, mis paikneb väikseima ja suurima väärtuse vahel dispersioon, - Dispersioon on hälbe ruudu keskväärtus. DX = D(X) = E(X-EX) 2= standardhälve - Standardhälve on ruutjuur dispersioonist 7. Jaotusfunktsioon. - Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on funktsioon, mis seob väärtusega x vastavusse tõenäosuse, et Xx. Tähistame F-ga
Sündmuste vahelised seosed on nagu vastavate hulkade vahelised seosed. 1. AB, sündmus B järeldub sündmusest A ehk sündmus A sisaldub sündmuses B. Näiteks: A = (2) ja B = (2;4;6), siis AB. 2. A = B, kui AB ja BA. 3. AB = C, sündmuste A ja B summaks ehk ühendiks nimetatakse sündmust C, mis toimub siis, kui toimub vähemalt üks sündmustest A või B. Näiteks: A = (2;5) ja B = (1;3;5). Siis C = ( 1;2;3;5) 4. AB = C, sündmuste A ja B korrutiseks ehk ühisosaks nimetatakse sündmust, mis toimub siis, kui toimuvad mõlemad sündmused A ja B. Eelmise näite põhjal C = (5) 5. A B = C, sündmuste A ja B vaheks nimetatakse sündmust C, mi toimub siis, kui sündmus A toimub ja sündmus B ei toimu. 6. A, vastandsündmuseks nimetatakse kindla sündmuse ja juhusliku sündmuse A vahet. 7. AB = , kui sündmuste A ja B korrutiseks on võimatu sündmus,
rohkem Seega P(A)=2/3 Sündmuse B tõenäosus, tingimusel et sündmus A toimus on 0.96 ehk P(B|A)=0.96 (see on tinglik tõenäosus) P(A B)= 2/3*0.96 · Sündust A nimetame sõltumatuks sündmusest B, kui sündmuse A tinglik tõenäosus tingimusel B võrdub sündmuse A tingimatu tõenäosusega. P(A|B)=P(A). Geomeetriline tõenäosus D d Sd P(A)= SD Geomeetriline tõenäosus üldistab tõenäosuse klassikalist definitsiooni juhule kus võrdvõimalike elementaarsündmuste arv ei ole lõplik (näiteks punktide arv 2D piirkonnas). Tõenäosus, et tabatakse teatud alampiirkonda on soodsate võimaluste arv ja kogu võimaliku viskepiirkonna tabamine kogu võimaluste arv 3 Ülesanne 1: Partii koosneb 30 detailist, mille hulgas on 4 praakdetaili. Vatuvõtmisel
P( Ai B ) P( Ai ) P( B / Ai )
P( Ai / B) = =
P( B) P( A1 ) P( B / A1 ) + P( A2 ) P( B / A2 ) + ... + P( An ) P( B / An )
P( Ai B ) P( Ai ) P( B / Ai )
Erijuhul kui n=2 saame P( Ai / B) = =
P( B) P( A1 ) P( B / A1 ) + P( A2 ) P( B / A2 )
i=1,2
7. Juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni definitsioon. Selle omadused (tõestustega).
Kogu reaalarvude hulga R määratud funktsiooni F(x)=P(X
Sündmuse A x B korrutis on sündmus, mille toimumine seisneb mõlema (A ja B) toimumises. Sündmuse sagedus on sooritatud (n) katsete ja katseseeriate (m) arvu vahejagatis Sündmuse tõenäosus on juhuslik sündmuse konstant, mille ümber grupeerub selle sündmuse sageduse katsete arvu suurenedes (m- soodsate sündmuste arv, n- võrdvõimalike sündmuste arv) 3. Juhusliku suuruse keskväärtus ( EX ). Keskväärtuse punkthinnang (aritmeetiline keskmine x ). Diskreetse ja pideva juhusliku suuruse mood ja mediaan. Juhusliku suuruse keskväärtus grupeeritud juhuslike suuruse võimalikud väärtused. Juhuslike võrdvõimalike sündmuste arvu (N) soodsate sündmuste protsendilise tõenäosuse korrutis E(X) = n * p p=1q Võrdvõimalike sündmuste sageduse tiheduse ( ) korrutise summa ... * Keskväärtuse punkthinnang ( ) e arit
Juhusliku suuruse X jaotusfunktsioon, selle
5. Tingliku tõenäosuse mõiste. Sündmuste korrutise omadused (tõestustega). Kogu reaalarvude hulgal R
tõenäosuse leidmine (tõenäosuste korrutamise lause). määratud funktsiooni F(x) = P(X
Liitmislause: on selge, et A+B = AB + BA + AB ja (AB)AB = ∅; (BA)AB = ∅; (AB)(BA) = ∅. A = AB + AB ja B = (BA) + AB. Seega P(AB) = P(A) – P(AB); P(BA) = P(B) – P(AB). 20 põhjal same, et P(A+B) = P(AB) + P(AB) + P(BA) = P(AB) + P(A) – P(AB) + P(B) – P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) 2) AB = ∅ => P(A+B) = P(A) + P(B); P(∑i=1∞Ai) = ∑i=1∞P(Ai) P(A+B)= P(A)+P(B)-P(AB) 4. Tõenäosuse klassiklaline ja geomeetriline interpretatsioon. Nende põhimõtteline erinevus. Klassikaline – kasutatakse juhul, kui | Ω | < ∞; rakendamine põhineb kombinatoorikal. P(A) = , kus |Ω| = n ja k on sündmuse A toimumise suhtes soodsate elementaarsündmuste hulk. Geomeetriline – Ω on loenduv või kontiiniumi võimsusega. Olgu ΩA ⊂ Ω – sündmuse A suhtes soodne elementaarsündmuste ruum. Olgu mõõt μ(l,l2,l3) ( ) P(A) = ( )
.., An, siis küsime tõenäosust, et
toimus i-s sündmus A1. Bayesi valem. P(Ai/B)=(P(Ai)P(B/Ai))/ P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+...+ P(An)P(B/An), i=1,2,...,n Tõestus!!!
P(AiB)=P(B)P(Ai/B). Fikseerime i ja leiame P(Ai/B)=P(AiB)/P(B)= P(Ai)P(B/Ai)/( P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+...+ P(An)P(B/An).
Erijuhul, kui n=2 saame P(Ai/B)= P(AiB)/P(B)=P(Ai)P(B/Ai)/ P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+...+ P(An)P(B/An), i=1,2.
7. Juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni definitsioon. Selle omadused (tõestustega).
Kogu reaalarvude hulga R maaratud funktsiooni F(x)=P(X
5. Mittearvuline tunnus järjestustunnus, nominaaltunnus. Järjestustunnus mittearvuline tunnus, mille väärtused on järjestatavad (Krafti klass, puistu Orlovi boniteet). Nominaaltunnus mittearvuline tunnus, mille väärtused pole järjestatavad. 6. Juhuslik suurus ehk juhuslik muutuja suurus või muutuja, mille väärtus enne mõõtmist või katset ei ole teada. 7. Kuidas on defineeritud jaotusfunktsioon? Jaotusfunktsiooni skitseerimine, graafikult lugemine (kvantiil, kvartiil, mediaan, täiendkvantiil). · Juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooni väärtus argumendi x kohal on sellest väiksemate väärtuste esinemise suhteline sagedus (tõenäosus) F(x) = P(X < x). · 0 F(x) 1 ehk jaotusfunktsiooni piirväärtused on 0 ja 1. · F(x) on mittekahanev ja pidev. · P(a < X b) = F(b) F(a) 8. Mis on juhusliku suuruse p-kvantiil? Mis on juhusliku suuruse q-täiendkvantiil?
20. Juhusliku suuruse jaotusseadus, Selle esitusviisid; tõenäosusfunktsioon, jaotusfunktsioon(integraalne jaotusseadus) tihedusfunktsioon(diferentsiaalne jaotusseadus) PILT! Juhusliku suuruse jaotusseadus iseloomustab täielikult juhuslikku suurust tõenäosuslikult vaatekohalt. Jaotusseadus võimaldab leida juhusliku suurusega seotud iga sündmuse tõenäosust. Jaotusseaduse põhikujudeks on teatavasti jaotustabel diskreetse juhusliku suuruse puhul ja jaotusfunktsioon (jaotustihedus) pideva juhusliku suuruse korral. Jaotusseadus-eeskiri, mis seab igale juhuslikule suuruse väärtusele vastavusse tema tõenäosuse. Juhusliku suuruse (tõenäosusfunktsioon) jaotusseadus on eeskiri, mis seob juhusliku suuruse võimalikud väärtused ja nende tõenäosused pi=P(X=xi). Näiteks: Diskreetne ühtlane jaotus on defineeritud oma tõenäosusfunktsiooni kaudu: P(X=i)=1/k, i=1,...,k. Täringuviske
Lihtsustamise põhilised printsiibid. Kui kahe objekti (süsteemi) vahel on võimalik tuvastada pisemgi sarnasus, siis on nendel objektidel originaali mudeli vahekord: ühte objektidest võime käsitleda originaalina, teist aga mudelina. Objektide A ja B sarnasust tähistatakse A~B. Mudel peegeldab objekti alati lihtsustatult. Mudelid on kas materiaalsed või abstraktsed. Mudelites nagu süsteemideski, võib üheks muutujas olla aeg. Sellest tulenevalt on mudelid pideva ajaga või diskreetse ajaga. Ulatuslikult kasutatakse matemaatilisi mudeleid. Põhilised lihtsustamise printsiibid: muutujate agregeerimine, ekvivalenteerimine, sõltuvuste lihtsustamine, süsteemi dekomponeerimine 7. Protsessid. Determineeritud protsesside klassifitseerimine ja kirjeldamisviisid. Protsessid on üldjuhul olekud ja operaatorid ehk ajas muutuvad suurused, vektorid ja sündmused. Determineeritud protsess on protsess , mille tulevikku on võimalik täpselt prognoosida, vaja on vaid teada
summaga.. Harmooniline keskmine – tuleb kasutada siis kui tunnuse väärtuse mõõtühik väljendub eri mõõtühikute suhtena( nt km/h) ning kaaluks keskväärtuses osalemiseks on murru lugeja(kiiruse puhul kaugus). Kasutamise vajadust tuleb kaaluda ka kõigi suhtarvudest keskmiste leidmise korral (nt keskmine saagikus, jms). Kronoloogiline keskmine – kasutatakse momentridade korral kui momentidevahelised ajalõigud on võrdsed(nt kuupäevad). Geomeetriline keskmine – kordsete suuruste keskmine. Ruutjuure all korrutatakse x’d ja ruutjuurel on n peal arv(nt aastate arv). Kasutatakse siis, kui tunnuse väärtuseks on kordarvud, millest iga järgnev näitab seda, mitu korda on ta eelmisest suurem. Ruutkeskmine – rakenduslik tähtsus on suur dispersioonanalüüsis, korrelatsioonikordajate leidmisel ja muudes statistliste protseduurides. 6. Mediaan – korrastatud statistilise rea keskliige, millest mõlemale poole
P(V) = 0. 4. Sündmuse A ja tema vastandsündmuse A tõenäosuste summa on 1, st. P(A) + P( A ) = 1. N ä i d e 2. Eelmises näites leidsime paarisarvu silmade tuleku tõenäosuse täringu viskel, P(A) = 0,5. Et paaritu arvu silmade tulek täringu viskel on sündmuse A vastandsündmus A , siis selle tõenäosus P(A) =1- P(A) =1- 0,5 = 0,5. 8. Sündmuste korrutis, vahe ja summa. sündmust, mis seisneb nii sündmuse A kui ka sündmuse B toimumises, nimetatakse sündmuste A ja B korrutiseks. Ühisosa peab olema. N ä i d e 2. Kaardipakist, milles on 36 kaarti, võetakse juhuslikult üks kaart. Olgu sündmuseks A risti saamine ja sündmuseks B pildi saamine. Leiame sündmuste A ja B korrutise tõenäosuse. Et sündmus AB tähendab ristimastist pildi saamist, siis soodsaid juhte on 3: ristisoldat, ristiemand ja ristikuningas. Otsitav tõenäosus P (AB) = 3 /36=0,08. Kahte sündmust, mis ei saa katse tulemusena toimuda (st ei saa esineda üheaegselt) nim
Sellisel juhul on multimodaalne kogum. Multimodaalsus näitab mittehomogeensust. Multimodaalse kogumi korral võib esineda tausttunnus, mille alusel jaotades saame unimodaalsed osakogumid, mis on homogeensed. Valem: Harmooniline keskmine on pöördväärtuste aritmeetilise keskmise pöördväärtus. Valem: Keskmise kasvutempo arvutamisel TULEB kasutada geomeetrilist keskmist. Saab leida vaid intervallskaala korral ja positiivsetest arvudest. Valem: Kaalutud geomeetriline keskmine valem – 3. VARIATSIOON - NÄITARVUD JA JAOTUSE KUJU NÄITARVUD Variatsioonamplituud ehk haare on rea kõige suurema liikme ja kõige väiksema liikme arvväärtuste vahe. Ei anna varieerumisest täielikku pilti, sest sõltub ainult kahest äärmisest väärtusest Keskmine absoluuthälve - Dispersioon - Hälvete ruutude aritmeetiline keskmine on dispersion. Puudus - ühikuks on tunnuse X ühik ruudus. Standardhälve - ruutjuur dispersioonist
Seega P(∅) = P(∅+∅) = P(∅) + P(∅) => P(∅) = 0. Liitmislause: on selge, et A+B = AB + BA + AB ja (AB)AB = ∅; (BA)AB = ∅; (AB)(BA) = ∅. A = AB + AB ja B = (BA) + AB. Seega P(AB) = P(A) – P(AB); P(BA) = P(B) – P(AB). 20 põhjal same, et P(A+B) = P(AB) + P(AB) + P(BA) = P(AB) + P(A) – P(AB) + P(B) – P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) 3. Tõenäosuse klassiklaline ja geomeetriline interpretatsioon. Nende põhimõtteline erinevus Klassikaline – kasutatakse juhul, kui | Ω | < ∞; rakendamine põhineb kombinatoorikal. k P(A) = , kus |Ω| = n ja k on sündmuse A toimumise suhtes n soodsate elementaarsündmuste hulk. Geomeetriline – Ω on loenduv või kontiiniumi võimsusega. Olgu ΩA ⊂ Ω – sündmuse A suhtes soodne elementaarsündmuste ruum. Olgu mõõt μ(l,l2,l3)
5. Mittearvuline tunnus järjestustunnus, nominaaltunnus. Järjestustunnusmittearvuline tunnus, mille väärtused on järjestatavad (Krafti klass, puistu Orlovi boniteet). Nominaaltunnusmittearvuline tunnus, mille väärtused pole järjestatavad. 6. Mis on juhuslik suurus? Juhuslikuks suurust nimetatakse, mis sõltub juhuslikest sündmustest ja mille väärtust pole seetõttu võimalik enne sündmuse toimumist kindlalt ennustada. 7. Kuidas on defineeritud jaotusfunktsioon? Jaotusfunktsiooni skitseerimine, graafikult lugemine (kvantiil, kvartiil, mediaan, täiendkvantiil). 8. Mis on juhusliku suuruse p-kvantiil? Juhusliku suuruse X p-kvantiiliks (ingl. k. percentile) nimetatakse niisugust väärtust p, mille korral Mis on juhusliku suuruse q-täiendkvantiil? 9. Mis on tihedusfunktsioon? Tihedusfunktsioon juhusliku suuruse tõenäosuse tihedus, mis avaldub jaotusfunktsiooni tuletisena. 10. Normaaljaotuse skitseerimine (tihedus- ja jaotusfunktsioon). Graafikult lugemine
b = |a||b|, kui a risti b . Avaldis koordinaatides: i j k x1 y1 z1 axb = x1 y1 z1 a b c =x 2 y2 z2 x2 y2 z2 x3 y3 z3 18. Kolme vektori segakorrutis (mõiste, omadused, avaldis koordinaatides). Kolme vektori segakorrutis nim. vektor a skalaarkorrutist vektorkorrutisega bx c Omadused: 1) On arvuline suurus 2) On 0, kui vektorid on komplanaarsed 3) Vôrdub vektoritele ehitatud rööptahuka ruumalaga. Avaldis koordinaatides: (vaata üles puule). 19. Vektorite kollineaarsuse, ristseisu ja komplanaarsuse tunnused. Vektorite kollineaarsuse tunnus: 1) Vektorite vastavate koordinaatide korrutised on vôrdsed 2) Vektorkorrutis on 0 ja kumbki vektor ei ole 0-vektor 3) Skalaarkorrutis vôrdub vektorite pikkuste korrutisega.
nimetatakse sündmust, mis toimub parajasti siis, kui toimub kas sündmus A või sündmus B või mõlemad. Sündmuste A ja B summat tähistatakse sümboliga A U B. Näide 1. Olgu täringu viskel sündmus A = {1, 3 5} ja sündmus B = {1, 2 3}, siis A U B = , , A + B = {1, 2 3, 5}. , Sündmuste korrutis Sündmuste A ja B korrutiseks elementaarsündmuste hulgas nimetatakse sündmust, mis toimub parajasti siis, kui toimuvad üheaegselt nii sündmus A kui ka sündmus B. Sündmuste A ja B korrutist tähistatakse sümboliga A B. Näide 2. Olgu täringu viskel sündmus A = {1, 3 5} ja sündmus B = {1, 2 3}, siis A B = , , AB = {1, 3}. Sündmusi, mille korrutiseks on võimatu sündmus, nimetatakse üksteist välistavateks.
.................................................................................. 16 3.3. Ekse ................................................................................................................................... 17 3.4. Aritmeetilise keskmise standardhälve ja Atüüpi määramatus ......................................... 18 3.5. Usaldusnivoo leidmine histogrammi alusel....................................................................... 19 4. Jaotusfunktsioonid. jaotusfunktsiooni hüpoteesi kontrollimine ................................................ 20 4.1. Normaaljaotus.................................................................................................................... 20 4.2. Ühtlane jaotus .................................................................................................................... 20 4.3. Kolmnurkjaotus ................................................................................................................
2) korrutis (ühisosa): sisaldab kõik el.s., mis sisalduvad korraga kõigis korrutatavatessündmustes Tõenäosus: iseloomustab esinemissagedust katsetes, on sündmuse mõõduks, arv nullist üheni Omadused: 1) Normeeriusaksioom (0-1) 2)Liitmisaksioom (summa P=sündmuste P summa) 3)tinglik tõenäosus Valemid: P(tühihulk)=o, P(el.s.ruum)=1, summa ja korrutise tõenäosus, erijuhud, vastandsündmuse P. Määramisviisid: A)klassikalised (kombinatoorne, geomeetriline, statistiline) B) mitteklassikalised (subjektiivne/intersubjektiivne, kuuluvusfunkts väärtus..) Juh. Su suurus, mis järjekordse katse tulemusel omandab mingi mitteennustatava väärtuse mingist võimalikust väärtuste hulgast. Liigid: diskreetne ( võimalike väärtuste hulk lõplik/loenduv, , tingimused: mittenegatiivsus, normeeritus) ja pidev (kontiinum) Jaotusseadus- määrab täielikult juh. Su. Omadused (2 kuju: jaotusfunktsioon ja jaotustihedus)
Juhuslikku suurust, millel võib olla lõplik või loenduv arv väärtusi, nimetatakse diskreetseks juhuslikuks suuruseks. Diskreetne juhuslik suurus on määratud, kui on teada tema võimalikud väärtused ja nende väärtuste ilmumise tõenäosused, st. kui on antud jaotustabel. Korrastatud mõõtetulemused on väärtused suuruse järgi, mis on aluseks jaotusseadusele ja jaotusfunktsioonile F(x). Jaotusseadus - väärtus xk ja temale vastav tõenäosus pk=ni /ni (või teiste sõnadega - Diskreetse juhusliku suuruse jaotusseaduseks nimetatakse vastavust tema kõikide võimalike väärtuste x1, x2, ... ja nende tõenäosuste p1, p2, ... vahel. Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon F(x) määrab tõenäosuse selleks, et juhuslik suurus on väiksem tõkkest x, s.t. F(x) = P(X < x). Jaotusfunktsioon on juhusliku suuruse universaalne iseloomustaja, mis kirjeldab võimalike väärtuste tõenäosuste jaotust. Tõenäosuste tihedusfunktsioon f(x) on esimene differentsiaal jaotusfunktsioonist.
13. Väljavõttelise vaatluse korral vaadeldakse valimit. 14. Kas on õige väide "Korraga saab võrrelda ainult kaht objekti omavahel" tõsi 15. Ankeetküsitluse korral põhjustab halvasti sõnastatud küsimus süstemaatilise vea. Statistilise kogumi keskmised - Test 2 1. Määra ära, millised keskmised on asendikeskmised ja millised mahukeskmised a. 1. Kvartiil - asendikeskmine b. Mood - asendikeskmine c. geomeetriline keskmine - mahukeskmine d. mediaan - asendikeskmine e. aritmeetiline keskmine mahukeskmine 2. Kõige tüüpilisem väärtus arvukogumis on selle arvukogumi mood 3. Kui arvukogumi aritmeetiline keskmine on väiksem kui mediaan, siis (Vali üks) a. d. esinevad üksikud ekstremaalselt väikesed väärtused 4. Arvukogumis on 10 arvu ja nende aritmeetiline keskmine on 17. Igat arvu suurendatakse 1 võrra. Uue arvukogumi aritmeetiline keskmine on .
· Sündmus, juhuslik suurus.
o Sündmus- mingi fakt, mingi juhtum, mis võib toimuda, aga võib ka mitte
toimuda. Kindel sündmus (toimub kindlasti), võimatu sündmus (ei toimu
kindlasti), juhuslik sündmus (võib toimuda, aga võib ka mitte toimuda).
o Juhuslik suurus on mingi arv. Diskreetne e mittepidev (1,2,3), mittediskreetne
e pidev (2
2.15 Aritmeetiline jada Aritmeetiline jada on arvude jada, milles iga liikme ja temale eelneva liikme vahe on kontantne. Jada vahe: d = an - an -1 = an +1 - an . Üldliige: an = a1 + ( n - 1) d . a1 + an 2a + ( n - 1) d Esimese n liikme summa: S n = n või S n = 1 n. 2 2 2.16 Geomeetriline jada Geomeetiline jada on arvude jada, milles iga liikme ja temale eelneva liikme jagatis on kontantne. an a Jada tegur: q = = n +1 . an -1 an n -1 Üldliige: an = a1q . a1 ( q n - 1) an q - a1 Esimese n liikme summa: S n = ehk S n = ( q 1) . q -1 q -1 2
statistiliselt sõltumatud) või mäluga (sümbolid on stat. sõltuvad); diskreetsel kahendallikal on kaks võimalikku väljundsümbolit null ja üks; Kodeerimine kooder on sobituste kogu; Edastuskanal edastuskanalil on välismõjud; edastuskanal on tehniliste vahendite kogum, toimib teatud reaalses füüsikalises keskkonnas, kus on mürad ja häired; edastuskanalid võivad samuti olla pidevad ja diskreetsed; pidev kanal on primaarne ning ta kutsub oma omadustega esile diskreetse kanali; edastuskanali sisendis moodustatakse vajalikud kanalisignaalid; Dekodeerimine kasutatakse ära kodeerimisel tekkinud lisaväärtused; Info tarbija on passiivne, tagada tuleb usaldusväärsus; Kirjeldused: Infoallika ja edastuskanali kirjeldused käituvad ühtsetes ühikutes. Infoallika teated esinevad mingi juhuslikkusega. Kanali läbilaskevõime on kanali väljundis saadava info hulga ülemine piir ajaühikus. Infoallikat iseloomustavad: infoallika entroopia, infotekke kiirus
*Elimineerimismeetodi valem avaldub üldkujul järgmiselt: *Elimineerimismeetodil on rakendusi ka arvuteoorias: näiteks võimaldab ta meil lahendada ülesannet kujul: Kui palju on arve 1-2500, mis ei oma 2500'ga ühiseid tegureid? (e. on relatiivselt algarvulised 2500 suhtes). *Vahetevahel on elimineerimismeetodit kirjanduses nimetatud ka Grassmanni valemiks (ka DM I kursuse raames). [8]. Korratused ja subfaktoriaalid. *Korratus on püsipunktideta permutatsioon. Püsipunktideta permutatsiooni puhul ei jää pärast elementide ümberjärjestamist ükski element oma endisele kohale. (Nt. hulk[3] korratused on {312,231}). *Muuseas nimetatakse n-korratuste arvu dn ka arvu n subfaktoriaaliks, ning seda tähistatakse sümboliga !n. *Mingi arvu korratuste arvu dn on võimalik leida mitme keeruka valemi abil, ent neist kõige optimaalsem on tegelikult järgmine: dn = n! = *Valemis leitakse esmalt avaldisest korratuste ligikaudne arv. Et aga tulemus pole
2.15 Aritmeetiline jada Aritmeetiline jada on arvude jada, milles iga liikme ja temale eelneva liikme vahe on kontantne. Jada vahe: d an an 1 an 1 an . Üldliige: an a1 n 1 d . a a 2a n 1 d Esimese n liikme summa: Sn 1 n n või S n 1 n. 2 2 2.16 Geomeetriline jada Geomeetiline jada on arvude jada, milles iga liikme ja temale eelneva liikme jagatis on kontantne. an a Jada tegur: q n 1 . an 1 an Üldliige: an a1q n 1 . a1 q n 1 an q a1 Esimese n liikme summa: S n ehk S n q 1 . q 1 q 1 2
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
