õhus oleva veeauru rõhu suhe samal temperatuuril oleva küllastatud veeauruga kastepunkt temperatuur, mille juures olev õhus olev niiskus muutub küllastavaks udu Niiskuse defitsiit õhku küllastava veeauru rõhu ja veeauru osarõhu vahe Psühromeetriline meetod põhiline praktikas (kergesti trantsporditav, lihtne kasutada ja suhteliselt täpne) võrdeline seos psühromeeter Identsed valge batistriide statsionaarseteks ja aspiratsiooni Juus-hüdromeetriline meetod puhas rasvavaba juuksekarv pikenemine/ lühenemine piirviga 5... 10% Kastepunkti meetod teised õhuniiskuse karakteristikud metallpeegel, jahutamine palju miinuseid Click to edit Master text styles Second level Third level Fourth level Fifth level
tõmbejõud. Päikesesüsteemi püsivuse tagab pidev liikumine. Samast lähtub ka aatomi planetaarmudel, oletades, et elektronide liikumine tuuma ümber teeb aatomi püsivaks. Vastuolu tekib siin elektrodünaamika seadustega kiirendusega (ringliikumine on kiirendusega liikumine) liikuv elektron kiirgab elektromagnetlaineid, seega peaks elektron kaotama pidevalt energiat ja langema tuuma. 5)Mis on statsionaarsed olekud? Aatomi energia võib omada teatud kindlaid väärtusi neind nimetatakse statsionaarseteks olekuteks.Selles olekus aatom valgust ei kiirga. Kiirgab valgust siis,kui ta läheb suurema energiaga olekust väiksema energiaga olekusse. 8) E1=-13,55eV E2=-3,38eV E3=-1,51eV E4=-0,84eV h=6,63x10astmel-34 J/s c=3x10astmel8 m/s hf=Ex-Ey hf2=E4-E2 hf2=-0,84eV-(-3.38eV)=2,54 hf2=2,54eV=4,064x10astmel-19J f2=4,064x10astmel-19J / 6,63x10astmel-34J/s=0,61x10astmel15Hz f=c =3x10astmel8/0,61x10astmel15=4,9x10astmel-7m --> see on nähtav valgus.
hetkest) sõltuv pidev funktsioon S(t) = Ae^it Investeeringu tulevikuväärtuse keskmine kasvutempo Tk on määratud valemiga Tk = (S(t+∆t)-S(t)) / ∆t Milliseid funktsiooni punkte Punkte x ϵ X, kus f´ (x)=0, nimetatakse nimetatakse funktsiooni funktsiooni y=f(x) kriitilisteks ja statsionaarseteks statsionaarseteks punktideks. punktideks? Funktsiooni statsionaarseid punkte ja neid punkte, kus funktsiooni tuletis on lõpmatu või ei eksisteeri, nimetatakse funktsiooni y=f(x) kriitilisteks punktideks. Kirjeldada marginaaltoodangu Marginaaltoodangu kahanemise seadus. kahanemise seadust. Kuidas see Tootmise kasvades lisatoodang, mida
Tegelikul arvutamisel vahepealne muutuja u eraldatakse mõttes. N: y=(3x2+1)2 y=f(u)=u2, u=g(x)=3x2+1 16.Joone puutuja võrrand antud punktis: Joone puutuja võrrand punktis ( ) Antud juhul ja Funktsiooni tuletis y`=(x2)` = 2x ja f`(x0) = 2x0 = 2x0 = 2·( ) Asendades viimast võrrandisse (1) saame otsitava puutuja võrrandit y=-x- 17.Milliseid punkte nimetatakse funktsiooni statsionaarseteks punktideks, kriitilisteks punktideks, maksimum ja miinimumpunktideks. Joonis: Lokaalsed maksimumid ja miinimumid. Kolm statsionaarset punkti (a) lokaalne miinimum (b)lokaalne maksimum (c) lokaalne ekstreemum puudub Punkti a nim. funktsiooni y=f(x) statsionaarseks punktiks kui f`(a)=0 Punkte kus ei eksisteeri funktsiooni nim. selle funktsiooni kriitilisteks punktideks. 18.Nimetage funktsiooni ekstreemumi olemasolu tarvilik ja piisav tingimus.
y= -3 + 2(x-3) Normaali võrrand: y-y0 =-(1/f´(x0))*(x-x0) ülesannet lahendan samamoodi nagu puutuja leidmisel, meil on juba kõik andmed siis lihtsalt penen saadud andmed valemisse ..... 68.L'Hospitali reegel 69.Kuidas on funktsiooni tuletis seotud funktsiooni kasvamise ja kahanemisega? Tuletise abil me same leida funktsiooni kasvamise ja kahanemise Näiteks: 70.Mida nimetatakse funktsiooni statsionaarseteks punktideks ja mida kriitilisteks punktideks? punkte x X, kus f `(x) = 0, nimetatakse funktsiooni statsionaarseteks punktideks (punktid max ja min) funktsiooni statsionaarseid punkte ja punkte, kus funktsiooni tuletis lõpmatu või ei eksisteeri, nimetatakse funktsiooni y = f(x) kriitilisteks punktideks 71.Kirjeldage funktsiooni monotoonsuse piirkondade leidmist 72.Kirjeldage funktsiooni lokaalsete ekstreemumite leidmist.
ainult punkt- ja kaarelastsuse valemit. 4. Mida näitab funktsiooni elastsus? Funktsiooni elastsus näitab ligikaudu mitme protsendi võrra muutub funktsiooni väärtus, kui argumendi x väärtus muutub ühe protsendi võrra. 5. Seleta investeeringu tulevikuväärtuse mõistet Olevikus liitintressiga investeeritud rahasumma väärtus tulevikus. Teooriaküsimused nr. 4 1. Milliseid funktsiooni punkte nimetatakse funktsiooni kriitilisteks ja statsionaarseteks punktideks? Statsionaarsed punktid: Punkte x E X, kus f'(x)=0, nimetatakse funktsiooni y=f(x) statsionaarseteks punktideks. Kriitilised punktid: Funktsiooni statsionaarseid punkte ja neid punkte, kus funktsiooni tuletis on lõpmatu või ei eksisteeri, nimetatakse funktsiooni y=f(x) kriitilisteks punktideks. 2. Kirjeldada marginaaltoodangu kahanemise seadust. Kuidas see on seotud funktsiooni teist järku tuletisega?
vedeliku murdumisnäitaja. 4. Kuidas valgus tekib, valgusekvant ja spektraalseeria? Valgus tekib aatomites, kui elektron siirdub kaugemalt orbiidilt aatomile lähemale, kiirates üleliigse energia footoniteks. Valgusekvant- ehk footon, üksik energiahulk mis aatomis kiirgub valgusena. 5. Bohri postulaadid? 1. Elektron saab aatomi sees viibida ainult kindlatel teatud orbiitidel. Neid nim statsionaarseteks. 2. Elektron saab energiat juurde võtta ainult teatud kindlate portsionite kaupa. Juurdevõetud eneria diskreetsuse postulaat. [ergastumine] 3. Ergastatud olekus ei põsi aatom kaua vaid kiirgab saadud energia valgusena. Neid portse nim footoniteks. 6. Mis tingimusel on valguse täielik peegeldus? Piirdenurk, valem, joonis? 7. Kuidas joonestada läätse läbitavate valguskiirte käiku, joonis konstrueerida. Millised kiired on kasutusel?
kaarelastuse valemit. 4. Mida näitab funktsiooni elastsus? Funktsiooni elastsus näitab ligikaudu mitme protsendi võrra muutub funktsiooni väärtus, kui argumendi x väärtus muutub ühe protsendi võrra. 5. Seleta investeeringu tulevikuväärtuse mõistet. Olevikus liitintressiga investeeritud rahasumma väärtus tulevikus. TEOORIAKÜSIMUSED nr 4 1. Milliseid funktsiooni punkte nimetatakse funktsiooni kriitilisteks ja statsionaarseteks punktideks? Statsionaarsed punktid: Punkte x e X, kus f´(x)=0, nimetatakse funktsiooni y=f(x) statsionaarseteks punktideks. Kriitilised punktid: Funktsiooni statsionaarseid punkte ja neid punkte, kus funktsiooni tuletis on lõpmatu või ei eksisteeri, nimetatakse funktsiooni y=f(x) kriitilisteks punktideks. 2. Kirjelda marginaaltoodangu kahanemise seadust. Kuidas see on seotud funktsiooni teist järku tuletisega?
kasvamisel selles vahemikus kasvavad ka vastavad y väärtused ja kahanevaks, kui x väärtuste kasvamisel selles vahemikus vastavad y väärtused kahanevad. 6. Maksimum- ja miinimumpunktid (üldnimetusega ekstreemumpunktid), samuti funktsiooni väärtus neis punktides. Ekstreemumi tarvilik tingimus pideva ja diferentseeruva funktsiooni korral f `(x) = 0 (selliseid punkte nimetatakse statsionaarseteks punktideks). Piisavaks tingimuseks on kas f `(x) märgimuutus punktis või kasutata teist (või kõrgemat järku) tuletist: f `'< 0 maksimumpunkt, f `'> 0 miinimumpunkt. Kui funktsiooni teine tuletis statsionaarses punktis võrdub nulliga, ei saa sellest järeldada ekstreemumi leidumist või mitte. Siis tuleb edasi tuletist leida kuni esmakordselt tuletis erineb nullist kui see juhtub paarisarvulise tuletise järgu korral on tegemist ekstreemumiga (liik nagu
17. Mida näitab funktsiooni elastsus? Funktsiooni elastsus näitab ligikaudselt mitme % võrra muutub funktsiooni väärtus, kui argumendi x väärtus suureneb ühe % võrra. Mida tähendab, et nõudlusfunktsiooni elastsus on -2? Hinna muutus ühe protsendi võrra vähendab nõudlust 2% võrra. 18. Seleta investeeringu tulevikuväärtuse mõistet. Olevikus liitintressiga investeeritud rahasumma väärtus tulevikus. 19. Milliseid funktsiooni punkte nimetatakse funktsiooni kriitilisteks ja statsionaarseteks punktideks? Punkte x X, kus f `(x) = 0 , nimetatakse funktsiooni y = f(x) statsionaarseteks punktideks. Funktsiooni statsionaarseid punkte ja neid punkte, kus funktsiooni tuletis on lõpmatu või ei eksisteeri, nimetatakse funktsiooni y = f(x) kriitilisteks punktideks. 20. Kirjeldada marginaaltoodangu kahanemise seadust. Kuidas see on seotud funktsiooni teist järku tuletisega? Marginaaltoodangu kahanemise seadus: Tootmise
suuruse võrra: y / x = f `(x) + a , kus a 0 kui x 0 y = f `(x)* x + a*x Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks dy nimetatakse avaldist dy = f `(x)* x 22. Funktsiooni n-järku diferentsiaal- funktsiooni n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni (n 1 )-järku diferentsiaali diferentsiaali. 23. Funktsiooni statsionaarne punkt- punkte x X, kus f `(x) = 0 , nimetatakse funktsiooni y = f(x) statsionaarseteks punktideks. 24. Funktsiooni kriitiline punkt- funktsiooni statsionaarseid punkte ja punkte, kus funktsiooni tuletis on lõpmatu või ei eksisteeri, nimetatakse funktsiooni y = f(x) kriitilisteks punktideks. 25. Funktsiooni lokaalne ekstreemum- öeldakse, et funktsioonil f on punktis a lokaalne maksimum ( miinimum ), kui leidub niisugune punkti a ümbrus , kus f (x) <= f(a) maksimum f (x) >= f(a) miinimum Lokaalse maksimumi ja miinimumi ühine nimetus on lokaalne ekstreemum. 26
Geomet.tähendus graafiku puutuja ordinaadi muut 10. Mida näitab funktsiooni elastsus? Mida tähendab, et nõudlusfunktsiooni elastsus on -2? Funktisooni elastsus - näitab ligikaudselt mitme protsenti võrra muutub funktsiooni väärtus, kui argumendi x väärtus muutub ühe protsendi võrra. Hinna muutus ühe protsendi võrra vähendab nõudlust 2% võrra 11. Milliseid funktsiooni punkte nimetatakse funktsiooni kriitilisteks ja statsionaarseteks punktideks? Stats määramispiirkonnas olevaid punkte, mille funktsiooni tuletis on Krit stats + punktid kus funktsiooni tuletis on lõpmatu või ei eksisteeri 12. Mis on funktsiooni kasvamis- ja kahanemispiirkond, monotoonse kasvamise ja kahanemise piirkond? Kuidas neid leida? Kasvamispiirkond - kõik need argumendi x väärtused, mis on võrratuse y 0 lahendid Kahanemispiirkond - kõik need argumendi x väärtused, mis on võrratuse
Lahendades võrratuse y < 0 , saame 1 < x < 3 . 1 y = x 3 - 2 x 2 + 3x - 2 Seega funktsioon 3 kasvab vahemikes - < x < 1 ja 3 < x < + ning kahaneb vahemikus 1 < x < 3 6. Maksimum- ja miinimumpunktid (üldnimetusega ekstreemumpunktid), samuti funktsiooni väärtus neis punktides. Ekstreemumi tarvilik tingimus pideva ja diferentseeruva funktsiooni korral f `(x) = 0 (selliseid punkte nimetatakse statsionaarseteks punktideks). Piisavaks tingimuseks on kas f `(x) märgimuutus punktis või kasutata teist (või kõrgemat järku) tuletist: f `'< 0 maksimumpunkt, f `'> 0 miinimumpunkt. Kui funktsiooni teine tuletis statsionaarses punktis võrdub nulliga, ei saa sellest järeldada ekstreemumi leidumist või mitte. Siis tuleb edasi tuletist leida kuni esmakordselt tuletis erineb nullist kui see juhtub paarisarvulise tuletise järgu korral on tegemist ekstreemumiga (liik nagu
punktid, kus f (x) = 0 ei moodusta vahemikke, 5. kahanev vahemikus A f (x) 0 iga x A korral ja punktid, kus f (x) = 0 ei moodusta vahemikke, Järeldusi teoreemist: Kui f (x) > 0, siis on funktsioon y = f (x) kasvav vahemikus A. . Kui f (x) < 0, siis on funktsioon y = f (x) kahanev vahemikus A. 4 Statsionaarsed ja kriitilised punktid Punkte x X , kus f ' ( x) = 0 , nimetatakse funktsiooni y = f (x) statsionaarseteks punktideks. Funktsiooni statsionaarseid punkte ja neid punkte, kus funktsiooni tuletis puudub, nimetatakse funktsiooni y = f (x) kriitilisteks punktideks. Kui vahemikus A = (a; b) punktid x1 < x2 < ...< xn on funktsiooni ainukesed kriitilised punktid, siis vahemikes (a; x1), (x1; x2) , ..., (xn ; b) säilitab funktsiooni tuletis märki. 5 Näide Leida funktsiooni y = |x2 4| monotoonsuse (kasvamis- ja
1) erilahendid avaldatavad kujul: i - Ek t stk (q, t ) = k (q )e h . Olekuid, millele vastavad funktsioonid on esitatavad valemiga (28.4) (ajaline sõltuvus puhtperioodilise kompleksse funktsiooni kujul), nimetatakse statsionaarseteks olekuteks. Statsionaarsetes olekutes ei sõltu tõenäosusjaotus ajast, kuna st(k ) (q, t ) = (q ) . 2 2 Statsionaarsed olekud on energia omaolekud, kuna H^ st(k ) = E k st(k ) . Schröningeri võrrandi H = p2 2m ( )
laengukandjaid tekitada kas valguse või soojuse toimel. Vabade laengukandjate tekitamist soodustavad lisandained pooljuhtides. Alfakiirgus kujutab endast osakeste voogu. Alfaosake koosneb kahest prootonist ja kahest neutronist, st. on samasuguse ehitusega nagu heeliumi aatomi tuum. Beetakiirgus kujutab endast kiirelt liikuvate elektronide voogu. Bohri aatomimudel tugineb postulaatidele. Aatomis tiirlevad elektronid ümber tuuma ringorbiitidel ilma energiat kiirgamata. Neid orbiite nimetatakse statsionaarseteks orbiitideks. Elektroni üleminekul ühelt statsionaarselt orbiidilt teisele aatom kiirgab või neelab kindla sagedusega elektromagnetilist kiirgust. Kiiratud või neelatud footoni energia on määratud täisarvuga n, mida nimetatakse peakvantarvuks. Coulomb'i seadus: Kaks punktlaengut q1 ja q2 mõjutavad teineteist jõuga, mis on võrdeline nende laengute korrutisega ja pöördvõrdeline laengutevahelise kauguse r ruuduga: F = kq1q2/r2, kus k on SI süsteemi ühikute korral 9 . 10 9 N. m2/C 2.
Punkte, kus või puudub ja või puudub, nim. kahe muutuja funktsiooni kriitilisteks punktideks. Lokaalse ekstreemumi olemasoluks tarviklik tingimus: Kui kahe muutuja funktsioonil z=f(x,y) on puntis M0 lokaalne ekstreemum, siis punk M0 on selle kahe muutuja funktsiooni kriitiline punkt. Niisuguseid kriitilisi punkte, kus mõlemad osatuletised võrduvad 0-ga, st. punkte, mis on võrrandisüsteemi lahenditeks. Selliseid punkte nim. kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) statsionaarseteks punktideks. Piisavad tingimused kahe muutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi olemasoluks: Olgu M0 kahe muutuja funktsioon z=f(x,y) statsionaarne punkt. 1. Kui AB-C2>0 ja A<0, siis on kahe muutuja funktsoonil statsionaarses punktis M0 lokaalne maksimum. 2. Kui AB-C2>0 ja A>0, siis on kahe muutuja funktsoonil statsionaarses punktis M0 lokaalne miinimum. 3. Kui AB-C2<0, siis kahe muutuja funktsoonil statsionaarses punktis M0 lokaalset ekstreemumit ei ole. 4
1) galvaanielement; 2) akud; 3) kütuseelemendid; Galvaanielemente (patareisid) kasutatakse kantavates või väikese võimsusega tarvitites. Neid toodetakse pingetele 1...100V ja mahtuvusele 0.1..100W/h. Parimad tehnilised näitajad on liitium tionüülkloriid elementidel (Li - SOCl 2 - väike mass, suur mahtuvus jne.). Galvaanielementides sisalduvad kemikaalid on tavaliselt keskkonnaohtlikud. Akud jagatakse mõõtude järgi kantavateks ja kohtkindlates (statsionaarseteks). Kantavad akud on tavaliselt pingega 6 V ja 12 V ning mahtuvusega 10..200 A/h. Kasutatakse autode starterite toiteks, elektritõstukites, elektrikärudes jne. Kohtkindlad akud on tavaliselt pingega 24...220V, mahtuvusega 20A/h...10kA/h. Kasutatakse reeglina reservtoiteallikatena avariivalgustuse toites ja pidevtoite seadmetes. ElVar 3. Toiteallikad.RT.hor.2006 doc Leht: 11 / 26
Seega tõepoolest, ekstreemum punktis peab olema y'(x)=0 või ei eksisteeri üldse. Definitsioon 3 Punkte, kus y' (x)=0 või ei eksisteeri nimetatakse kriitilisteks punktideks või statsionaarseteks punktideks. Seega b-a=h; c=a+9h; 0<9<1; b- Kui n=2k on paarisarv, siis xn /n!= x2k /n!>0, kui xx1 Eeldame, et f(n)(x) on pidev punkti x1 ümbruses, siis
Alfakiirgus kujutab endast osakeste voogu. Alfaosake koosneb kahest prootonist ja kahest neutronist, st. on samasuguse ehitusega nagu heeliumi aatomi tuum. Amorfseteks aineteks nimetatakse tahkeid aineid, millel puudub kristallstruktuur. Neil on vedelikele sarnane omadus voolata. Beetakiirgus kujutab endast kiirelt liikuvate elektronide voogu. Bohri aatomimudel tugineb postulaatidele. Aatomis tiirlevad elektronid ümber tuuma ringorbiitidel ilma energiat kiirgamata. Neid orbiite nimetatakse statsionaarseteks orbiitideks. Elektroni üleminekul ühelt statsionaarselt orbiidilt teisele aatom kiirgab või neelab kindla sagedusega elektromagnetilist kiirgust. Kiiratud või neelatud footoni energia on määratud täisarvuga n, mida nimetatakse peakvantarvuks. Coulomb'i seadus: Kaks punktlaengut q1 ja q2 mõjutavad teineteist jõuga, mis on võrdeline nende laengute korrutisega ja pöördvõrdeline laengutevahelise kauguse r ruuduga: F = kq1q2/r2, kus k on SI süsteemi ühikute korral 9 . 10 9 N. m2/C 2.
> x1>x2; f(x2)-f(x1)<0=>f(x2)
( x, y ) U ( Q) f ( x, y ) < f ( x 2 , y 2 ) , ( x, y ) ( x2 , y 2 ) Funktsiooni miinimume ja maksimume nimetatakse funktsiooni ekstreemumiteks. Teoreem 14.1. Mitme muutuja funktsioonid saavad ekstreemumid olla vaid nendes punktides, kus selle funktsiooni esimest järku osatuletised on nullid või ei eksisteeri. Vastavaid punkte nimetatakse kriitilisteks või statsionaarseteks punktideks. Tõestus. Vaatleme kahe muutuja funktsiooni z = f ( x, y ) . Sellel funktsioonil saab olla ekstreemum punktis P vaid siis kui ka ühe muutuja funtksioonidel g ( x ) = f ( x, y 0 ) ja h( y ) = f ( x 0 , y ) on ekstreemumid punktides x0 ja y 0 vastavalt. Kuid g ( x ) saab omada punktis x0 ekstreemumit vaid siis kui g ( x 0 ) on null või ei eksisteeri. Analoogselt h( y 0 ) on null või f f ei eksisteeri. Kuid g ( x ) = ja h ( y ) = .
suuruse võrra: y / x = f `(x) + a , kus a 0 kui x 0 y = f `(x)* x + a*x Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks dy nimetatakse avaldist dy = f `(x)* x 22. Funktsiooni n-järku diferentsiaal - funktsiooni n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni (n 1 )-järku diferentsiaali diferentsiaali. 23. Funktsiooni statsionaarne punkt - punkte x X, kus f `(x) = 0 , nimetatakse funktsiooni y = f(x) statsionaarseteks punktideks. 24. Funktsiooni kriitiline punkt - funktsiooni statsionaarseid punkte ja punkte, kus funktsiooni tuletis on lõpmatu või ei eksisteeri, nimetatakse funktsiooni y = f(x) kriitilisteks punktideks. 25. Funktsiooni lokaalne ekstreemum - öeldakse, et funktsioonil f on punktis a lokaalne maksimum ( miinimum ), kui leidub niisugune punkti a ümbrus , kus f (x) <= f(a) maksimum f (x) >= f(a) miinimum Lokaalse maksimumi ja miinimumi ühine nimetus on lokaalne ekstreemum. 26
Seega y = f (x) on selles ümbruses. Järelikult x < x1 f ( x) < f ( x1 ) x > x1 f ( x) > f ( x1 ) See tähendab, et (26.1), (26.2) ei ole täidetud ja x1 ei saa olla ekstreemum. Analoogselt, kui y ' ( x 2 ) < 0 y = f ( x) kahanev ja x 2 ei ole ekstreemum. Seega tõepoolest, ekstreemum punktis peab olema y ' ( x) = 0 või ei eksisteeri üldse. Definitsioon 3 Punkte, kus y ' ( x) = 0 või ei eksisteeri nimetatakse kriitilisteks punktideks või statsionaarseteks punktideks. © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 34 Ekstreemumi piisavad tingimused (tõestusega). Teoreem 1 (ekstreemumi piisavad tingimused I) Olgu x1 funktsiooni y = f (x) kriitiline punkt. Kui läbides seda punkti x kasvamise suunas tuletise y ' ( x) märk: 1) - + x1 on minimaalne; 2) + - x1 on maksimaalne; 3) märk ei muutu x1 ei ole ekstreemum. Tõestus: Olgu tuletise märgi muutus - +
Seega y = f (x) on selles ümbruses. Järelikult x < x1 f ( x) < f ( x1 ) x > x1 f ( x) > f ( x1 ) See tähendab, et (26.1), (26.2) ei ole täidetud ja x1 ei saa olla ekstreemum. Analoogselt, kui y ' ( x 2 ) < 0 y = f ( x) kahanev ja x 2 ei ole ekstreemum. Seega tõepoolest, ekstreemum punktis peab olema y ' ( x) = 0 või ei eksisteeri üldse. Definitsioon 3 Punkte, kus y ' ( x) = 0 või ei eksisteeri nimetatakse kriitilisteks punktideks või statsionaarseteks punktideks. © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 34 Ekstreemumi piisavad tingimused (tõestusega). Teoreem 1 (ekstreemumi piisavad tingimused I) Olgu x1 funktsiooni y = f (x) kriitiline punkt. Kui läbides seda punkti x kasvamise suunas tuletise y ' ( x) märk: 1) - + x1 on minimaalne; 2) + - x1 on maksimaalne; 3) märk ei muutu x1 ei ole ekstreemum. Tõestus: Olgu tuletise märgi muutus - +
=0 rajajoontega Гk. Et iga y-teljega paralleelset sirglõiku, mis eraldab kaht normaalset piirkonda, läbitakse 𝜕𝑦 { 𝜕𝑧 lahenditeks. Selliseid punkte nimetatakse kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) statsionaarseteks võrduse ∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝑃𝑘 ) ∆𝑠𝑘 = ∑𝐷1 𝑓(𝑃𝑘 ) ∆𝑠𝑘 +∑𝐷2 𝑓(𝑃𝑘 ) ∆𝑠𝑘 mõlemalt poolt leiame piirväärtuse piirprotsessis
· Modify olulisemate modifitseerimiskäskude tarvis ning kaks joonisepiirkonna ja rippmenüü vahel: 7 · Standard joonise avamine, sulgemine, printimine, koordinaatsüsteemide muutmine, vaatesuundade valimine jne.; · Object Properties kihtide, värvuste, joonetüüpide jne. jälgimine ja muutmine. Joonis 3. Ikoonilatid on oma asukoha järgi jaotatavad statsionaarseteks (ekraani suvalises ääres) ja ujuvateks (otse graafilisel ekraanil, kusjuures ikoonilati nimetus on nähtav sinisel ribal). Ikoonilatti saab hõlpsasti uude asendisse nihutada selleks tuleb viia kursor ikoonilati otsale või sinisele ribale ja, hoides hiire vasakut klahvi all, lohistada ikoonilatt uude asendisse. Joonis 4. Joonis 5. Ikoonilatte on tegelikult enam kui eespoolkirjeldatud neli. Ikoonilattide aktiveerimiseks
usteemi z =0 x (6.30) z =0 y lahenditeks. Selliseid punkte nimetatakse kahe muutuja funktsiooni z = f (x, y) statsionaarseteks punktideks. Olgu P0 kahe muutuja funktsiooni z = f (x, y) statsionaarne punkt. Ar- vutame teist j¨arku osatuletiste v¨a¨artused punktis P0 ja t¨ahistame 2z 2z 2z A= , B= ja C = . x2 P0 xy P0 y 2 P0 Teoreem 2. (Piisavad tingimused kahe muutuja funktsiooni lokaalseks ekstreemumiks)
annaabi.ee 
