Maatriksite liitmisel, maatriksi korrutamisel arvuga ja maatriksite omavahelisel korrutamisel kehtivad järgmised omadused: 1)A+B=B+A; 2)(A+B)+C=A+(B+C); 3)A+ =A; 4)A+(-A)=; 5)1·A=A; 6)a·=; 7) 0·A=; 8)(a+b)·A=a·A+b·A; 9)a(A+B)=a·A+a·B; 10)a(b·A)=b(a·A); 11)a(b·A)=(a·b)A; 12)(a·A)·B=A(a·B)=a(A·B); 13)A·=·A=; 14)E·A=A·E=A; 15)A·BB·A(üldjuhul); 16)(A+B)·C=A·C+B·C; 17)C(A+B)= C·A+C·B; 18)A(B·C)=(AB)·C; 19)-A=(-1)·A; 20)A-B=A+(-1)·B. Ruutmaatriksit nim diagonaal maatriksisks kui selle maatriksi kõik väljas pool peadiagonaali painknevad elemendid on võrdsed nulliga . Sellist diagonaalimaatriksit mille kõik peadiagonaali elemendid on võrdsed nim skalaarmaatriksiks; S()= ·E; S()·I=(·E)= T=·ET=·T. Ruutmaatriksit mille determinant |A|0 nim regulaarseks maatriksiks. Ruutmaatriksit mille determinant on samaselt 0(|A|=0) nim singulaarseks maatriksiks. Regulaarne maatriks on regulaarse
loetakse võrseks maatriksi A ja maatriksi (-1)*B summa Def. 7 (m x k) järku maatriksi A ja (k x n) järku maatriksi B korrutiseks nimetame (m x n) järku maatriksi A*B, mille i-nda rea ja j-nda veeru ühine elment Cij saadakse maatriksi A i-nda rea ja maatriksi B j-nda veeru kõigi vastavate elementide korrutamisel ja saadud tulemuste liitmisel Mõiste 1: Nullmaatriksiks nimetakse maatriksit, mille kõik elemendid on võrdsed nulliga. =(0) Mõiste 2: Ühikmaatriksiks nimetatakse ruutmaatriksit, mille kõik peadiagonaali elemendid on võrdsed arvuga 1 ja kõik ülejäänud elemendid on võrdsed 0-ga Mõiste 3: Diagonaalmaatriksiks nimetakse ruutmaatriksit, kui selle maatriksi kõik väljaspool peadiagonaali paiknevad elemendid on võrdsed 0-ga Mõiste 4: Skalaarmaatriksiks nimetatakse sellist diagonaalmaatriksit, mille kõik peadiagonaali elemendid on võrdsed Mõiste 5: Maatrikseid nimetatakse 0-teguriteks, kui 0 maatriksist erinevaid maatrikseid A
maatriksi A ja maatriksi (-1)*B summa 7. Def. 7 (m x k) järku maatriksi A ja (k x n) järku maatriksi B korrutiseks nimetame (m x n) järku maatriksi A*B, mille i-nda rea ja j-nda veeru ühine elment Cij saadakse maatriksi A i-nda rea ja maatriksi B j-nda veeru kõigi vastavate elementide korrutamisel ja saadud tulemuste liitmisel 8. Mõiste 1: Nullmaatriksiks nimetakse maatriksit, mille kõik elemendid on võrdsed nulliga. =(0) 9. Mõiste 2: Ühikmaatriksiks nimetatakse ruutmaatriksit, mille kõik peadiagonaali elemendid on võrdsed arvuga 1 ja kõik ülejäänud elemendid on võrdsed 0-ga. 10. Mõiste 3: Diagonaalmaatriksiks nimetakse ruutmaatriksit, kui selle maatriksi kõik väljaspool peadiagonaali paiknevad elemendid on võrdsed 0-ga 11. Mõiste 4: Skalaarmaatriksiks nimetatakse sellist diagonaalmaatriksit, mille kõik peadiagonaali elemendid on võrdsed 12
järku maatriksit, mis loetakse võrdseks maatriksi A ja maatriksi (-1)*B summaga. A-B=A+(-1)B Def7: maatriksite korrutiseks nimetakase maatriksit, mille i- nda rea ja j-nda veeru ühine element saadakse maatriksi A i-nda rea ja j-nda veeru kõigi vastavate elementide korrutamisel ja saadud tulemuste liitmisel. Maatriksite korral korrutis üldjuhul sõltub tegurite järjekorrast. Maatriksite, mille kõik elemendid on võrdsed nulliga, nimetatakse nullmaatriksiks. Tähis oomega. Ruutmaatriksit, mille kõik peadiagonaali elemendid on võrdsed ühega ning ülejäänud elemendid on võrdsed nulliga, nimetatakse ühikmaatriksiks. Tähis E. Ruutmaatriksit nimetatakse diagonaalmaatriksiks, kui selle maatriksi kõik väljaspool peadiagonaali paiknevad elemandeid on võrdsed nulliga. Sellist diagonaalmaatriksit, mille kõik peadiagonaali piknevad elemendid on võrdsed nimetatakse skalaarmaatriksiks. Ruutmaatriksit nimetatakse involutiivseks maatriksiks, kui on
elemendi akj alamdeterminant. Analoogselt mis tahes veerunumbrite j ja k korral . Omadus 10. Kui A ja B on ühte ja sama järku ruutmaatriksid, siis det( AB) = (det A) (det B) 4. Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri. Regulaarse ja singulaarse maatriksi mõisted. Maatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksit B, mille korral AB = BA = E, kus E on sobivat järku ühikmaatriks. Ruutmaatriksit A, mille determinant ei võrdu nulliga, nimetatakse regulaarseks. Vastandjuhul nimetatakse ruutmaatriksit A singulaarseks. Pöördmaatriksi elementide 1 ~ leidmise eeskiri: A -1 = A. det A 5. Skalaarkorrutise definitsioon vektorruumis. Vektori pikkuse definitsioon. Vektorite vahelise nurga definitsioon. Vektorite ristseisu tunnus. Skalaarkorrutiseks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele vektorile paneb vastavusse
Def 7: (m×k) maatriksi A ja (k×n) maatriksi B korrutiseks nimetatakse m×n järku maatriksi AB, millest i'nda rea ja j'nda veeru ühine element cij saadakse maatriksi A i'nda rea ja maatriksi B j'nda veeru kõigi vastavate elementide korrutamisel ja saadud elementide liitmisel. Maatriksi korrutis sõltub tegurite järjekorrast. BAAB 1. Maatriksi, mille kõik elemendid on võrdsed nulliga nimetatakse nullmaatriksiga. =0 A+=A 2. Ruutmaatriksit, mille kõik peadiagonaali elemendid on võrdsed ühega ja ülejäänud võrdsed nulliga nimetatakse ühikmaatriksiks E. EA=AAE=A Maatriksite liitmisel, nende korrutamisel arvuga ja nende omavahelisel korrutamisel kehtivad omadused: · A+B = B+A (liitmise kommutatiivsus) · (A+B)+C = A+(B+C) liitmise assotsiatiivsus · A+ = A · A+(-A) = · 1A= A · A= · 0A = · (a+ b ) A= aA + bA · a (A+B) = aA + aB · a( b A) = b (a A)
võnkumise võrrandit nimetatakse harmoonilise võnkumise võrrandiks: x = A sin · Lõik- Lõik ehk sirglõik on sirge kaht punkti A ja B ühendav osa, punktid A ja B kaasa arvatud. Seda lõiku tähistatakse AB.[1] Punkte A ja B nimetatakse lõigu otspunktideks. Jordani maatriks- Jordani maatriksiks nimetatakse blokk- diagonaalset maatriksit, mis koosneb Jordani kastidest. Jordani kastiks nimetatakse ruutmaatriksit, mille kõik peadiagonaali elemendid on võrdsed, vahetult peadiagonaali kohal asuvad elemendid on ühed, ent ülejäänud elemendid on nullid. · Lemma- Lemma ehk abiteoreem on teoreem, millel pole küll iseseisvat tähtsust, kuid mis osutub vajalikuks vaadeldava matemaatilise teooria mõne teise teoreemi sõnastamisel. · Fundamentaaljada- Fundamentaaljadaks ehk Cauchy jadaks nimetatakse jada vn, mille elemendid teineteisele indeksi n kasvades lõputult lähenevad
maatriksite korrutamine ei ole kommutatiivne, s.t. leiduvad sellised maatriksid A ja B, et AB BA ; 2. maatriksite korrutamine on assotsiatiivne, s.t. A (BC)= (AB) C alati, kui vaadeldavad maatriksid on korrutatavad; 3. liitmine ja korrutamine on seotud distributiivsusega, s.t. A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC BC alati, kui antud tehted on teostatavad; 4. kui eksisteerib maatriksite korrutis AB, siis a(AB)=(aA)B=A(aB) iga a korral. m-ndat järku ühikmaatriksiks nimetatakse m-ndat järku ruutmaatriksit. 9. Transponeeritud maatriks. Sümmeetriline maatriks. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Maatriksi A = (aij ) R m×n transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit AT = (bij ) R n×m , mille veeruvektoriteks on parajasti maatriksi A, s.t. b ji = aij iga i ja j võimaliku väärtuse korral. Ruutmaatriksit A nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks, kui AT = A . Maatriksi A ridade elementaarteisenduseks nimetatakse üleminekut maatriksilt A
.. 0 0 1 ... 0 En = R n× n ... ... ... ... 0 0 ... 1 Maatriksid Ruutmaatriksid m = n Peadiagonaal Diagonaalmaatriksid, Ühikmaatriksid det A = a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 - - a13a22a31 - a11a23a32 - a12 a21a33 A R 3×3 det A = a11a22 - a12a21 A R 2×2 Ruutmaatriksi determinant Determinant on ruutmaatriksit iseloomustav arv Pöördmaatriks AA-1 = A-1 A = E det A 0 Ruutmaatriks on regulaarne, kui Regulaarse ruutmaatriksi pöördmaatriks on sama järku ruutmaatriks. Maatriksi ja tema pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks. Pöördmaatriksit võib leida, kui: -transponeerida maatriks
ristuvad elemendid moodustavad kõrvaldiagonaali. 2. Kui m = 1, siis nimetatakse maatriksit maatriks-reaks ehk üherealiseks maatriksiks; näiteks A = ( 3 5 2,6 7 ). 3. Kui n = 1, siis nimetatakse maatriksit maatriks-veeruks ehk üheveeruliseks maatriksiks; näiteks 4,5 2,3 3,2 12 A= . Viimast kahte maatriksit nimetatakse ka vektoriteks. 4. Ruutmaatriksit, mille elemendid paiknevad peadiagonaali suhtes sümmeetriliselt, nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks; 1 4 7 4 2 5 7 5 9 näiteks A = . 5. Kui maatriksis A vahetada omavahel vastavad read ja veerud, siis saadud maatriksit nimetatakse transponeeritud maatriksiks ja tähistatakse AT või A´; näiteks
maatriksi korrutiseks maatriksiga (kirjutatakse ) nimetatakse niisugust maatriksit , millel on rida ja veergu Korrutamise omadused: 1) Kui = , siis = ning = ; 2) ; 3) ( + ) = + ; 4) () = (). 5) () = () = (). lineaarsete tehete: + = + KOMMUTATIIVSUS ( + ) + = + ( + ) - ASSOTSIATIIVSUS (A + B) = aA + aB - DISTRIBUTIIVSUS ( + ) = + - DISTRIBUTIIVSUS 1= 0=0 Ruutmaatriksit, mille peadiagonaali elementideks on ühed ja kõik ülejäänud elemendid nullid, nimetatakse ühikmaatriksiks ja tähistatakse E: 3. Esimest, teist ja kolmandat järku determinandid. 4. Maatriksi elemendi miinor. Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide teooria põhivalem. Elemendi aij alamdeterminandiks ehk algebraliseks täiendiks nimetatakse arvu Aij = (-1) i+j Mij. Analoogiliselt arendusega (5
n = p Kaaskompleksarv: Jägamine: Kaks kompleksarvu 1 x1 iy1 ja 2 x2 iy1 , mis Sümmeetriline maatriks: z1/z2 = (r1/r2)*(cos(1-2) + i sin(1-2)) Ruutmaatriksit A nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks, erinevad ainult imaginaarosa märgi poolest. kui AT A. Astendamine: Kompleksarv võrdub nulliga siis, kui x 0 ja iy 0, kus n = rn (cos n + sin n) x reaalosa yi immaginaarosa Juurimine:
alati, kui vaadeldavad maatriksid on korrutatavad; 3) liitmine ja korrutamine on seotud distributiivsusega, s.t. A ( B + C ) = AB + AC , ( A + B ) C = AC + BC alati, kui antud tehted on teostatavad; 4) kui eksisteerib maatriksite korrutis AB, siis a ( AB ) = ( aA ) B = A ( aB ) iga a korral. Def. 2. m-ndat järku ühikmaatriksiks nimetatakse m-ndat järku ruutmaatriksit 1 0 K 0 0 1 K 0 Em = = diag ( 1; 1; ... ; 1) Rm× m . M M O M 0 0 K 1 9. Transponeeritud maatriks. Sümmeetriline maatriks
Korrutamine Am·n·Bn·p=Cm·p, Reaalarve, milledest maatriks koosneb, nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksiks nimetatakse ¨umarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on ristatavad read ja veerud. Maatriksit, mille ridade arv on v~ordne veergude arvuga, s.t. m = n, nimetatakse ruutmaatriksiks. Maatriksit, mille ridade arv erineb veergude arvust, s.t. m 6= n, nimetatakse ristk¨ulikmaatriksiks. Ruutmaatriksit m~o~otmetega (n, n) nimetatakse ka n-j¨arku maatriksiks. nimetame (m, n)-maatriksit nullmaatriksiks, kui selle maatriksi k~oik elemendid on nullid. Maatriksi A transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit, mis saadakse maatriksi A ridade ja veergude ¨aravahetamisel. Maatriksi A transponeeritud maatriksi t¨ahiseks on AT. Pöördmaatriks esineb ainult maatriksil mille ridade arv = veergude arvuga Determinant-
4,5 2,3 - 3,2 12 üheveeruliseks maatriksiks; näiteks A = . Viimast kahte maatriksit nimetatakse ka vektoriteks. 4. Ruutmaatriksit, mille elemendid paiknevad peadiagonaali suhtes sümmeetriliselt, nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks; 1 4 7 4 - 2 5 7 5 9 näiteks A = . 5. Kui maatriksis A vahetada omavahel vastavad read ja veerud, siis saadud maatriksit nimetatakse transponeeritud maatriksiks ja tähistatakse AT või A´; näiteks
4,5 2,3 üheveeruliseks maatriksiks; näiteks A = - 3,2 . 12 Viimast kahte maatriksit nimetatakse ka vektoriteks. 4. Ruutmaatriksit, mille elemendid paiknevad peadiagonaali suhtes sümmeetriliselt, nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks; 1 4 7 näiteks A = 4 -2 5 . 7 5 9 5. Kui maatriksis A vahetada omavahel vastavad read ja veerud, siis saadud maatriksit nimetatakse transponeeritud maatriksiks ja tähistatakse AT või A´; näiteks
tasanditel 3 Arvutamise valem koordinaatides Kolmele vektoritele ehitatud rööptahukas Maatriks Maatriksiks nimetatakse ümarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on eristatavad read ja veerud. Maatriksit, milles on m rida ja n veergu, nimetatakse täpsemalt (m, n)-maatriksiks. Maatriksi mõõtmed Arvupaari (m, n) nimetatakse selle maatriksi mõõtmeteks. Maatriksi järk Ruutmaatriksit mõõtmetega (n, n) nimetatakse ka n-järku maatriksiks. Kui on ruutmaatiks, siis näitab mitu rida ja veergu maatriksil on. Näiteks kolmandat järku ruutmaatriksil on 3 rida ja 3 veergu. Maatriksi elemendid Reaalarve, milledest maatriks koosneb, nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksite elemente tähistatakse vastavate väikeste ladina tähtedega, mis võivad olla varustatud ka indeksitega: a, b, c.. Maatriksi ja maatriksite hulga tähistused Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte
A M M O M M M O M 0 0 K A 0 0 K 1 Analoogselt tõestatakse võrdus BA = E . Ongi näidatud, et B = A-1 . Sellega on teoreem tõestatud. Def. 2. Ruutmaatriksit A, mille determinant ei võrdu nulliga, nimetatakse regulaarseks. Vastandjuhul nimetatakse ruutmaatriksit A singulaarseks. Teoreemi 2 kohaselt leidub pöördmaatriks ainult regulaarsetel ruutmaatriksitel. 5.Skalaarkorrutise definitsioon vektorruumis. Vektori pikkuse definitsioon. Vektorite vahelise nurga definitsioon. Vektorite ristseisu tunnus. Afiinses ruumis pole võimalik arvutada nn. meetrilisi suurusi: vektori pikkust, punktide vahelist kaugust, vektorite vahelist nurka jne
määravad baasimiinori. Esimesed r rea- ja veeruvektorit moodustavad baasid vastavalt maatriksi rea- ja veeruvektorite hulgas. 14 PÖÖRDMAATRIKS DEFINITSIOON 1. Kui maatriksi A jaoks eksisteerib selline maatriks A-1, mille puhul on rahuldatud tingimused A A-1 = A-1 A = E, (A) siis neid maatrikseid nimetatakse teineteise PÖÖRDMAATRIKSITEKS. DEFINITSIOON 2. Ruutmaatriksit, mille determinant on nullist erinev, nimetatakse REGULAARSEKS. JÄRELDUS. Maatriks Am×n on regulaarne, kui m = n ja |An×n | 0. LAUSE. Pöördmaatriks leidub ainult regulaarmaatriksil. 1) PÖÖRDMAATRIKSI LEIDMINE ALAMDETERMINANTIDE ABIL An×n = || ai j || A-1n×n = | An×n |-1 || A j i ||, (B) kus Ai j on elemendile ai j vastav alamdeterminant ja rea elementidele vastavad alamdeterminandid moodustavad valemis (B) uue maatriksi
määravad baasimiinori. Esimesed r rea- ja veeruvektorit moodustavad baasid vastavalt maatriksi rea- ja veeruvektorite hulgas. 14 PÖÖRDMAATRIKS DEFINITSIOON 1. Kui maatriksi A jaoks eksisteerib selline maatriks A-1, mille puhul on rahuldatud tingimused A A-1 = A-1 A = E, (A) siis neid maatrikseid nimetatakse teineteise PÖÖRDMAATRIKSITEKS. DEFINITSIOON 2. Ruutmaatriksit, mille determinant on nullist erinev, nimetatakse REGULAARSEKS. JÄRELDUS. Maatriks Am×n on regulaarne, kui m = n ja |An×n | 0. LAUSE. Pöördmaatriks leidub ainult regulaarmaatriksil. 1) PÖÖRDMAATRIKSI LEIDMINE ALAMDETERMINANTIDE ABIL An×n = || ai j || A-1n×n = | An×n |-1 || A j i ||, (B) kus Ai j on elemendile ai j vastav alamdeterminant ja rea elementidele vastavad alamdeterminandid moodustavad valemis (B) uue maatriksi
GEOINFOSÜSTEEMID Eksamiteemad Generaliseerimine Joonte lihtsustamine – osade punktide eemaldamine joontelt. Joonte silumine - punktide lisamine joontele nende kumeraks muutmiseks. Filtreerimine kui generaliseerimise ja analüüsi vahend Filtreid ehk liikuvaid aknaid kasutatakse rasterpõhise andmekäsitluse puhul. Liikuv aken kujutab endast ruutmaatriksit (tavaliselt 3x3 maatriks), mis liikudes mööda kaardikihti genereerib uue kaardikihi mõõdukas silumine, kõik väärtused on ühesugused, summa on 1 nõrk silumine, maatriksi keskel on suurem väärtus kui servadel, summa 1 konaruste võimendamine. Maatriksi keskel on ühest suurem arv ning servadel negatiivsed väärtused. Sellise aknaga liikumine põhjustab konaruste võimendumist. Trigonaalne ebakorrapärane võrgustik
1 7 A= , B = (1 -2 3 ) , C = 4 , D = (10) (1.3) 2 5 -1 on vastavalt (2, 2)-maatriks ehk teist j¨arku maatriks, (1, 3)-maatriks, (3, 1)- maatriks ja (1, 1)-maatriks ehk esimest j¨arku maatriks. Maatriksite B ja C kohta ¨oeldakse ka, et nad on vastavalt u ¨herealine ja u ¨heveeruline maatriks. Definitsioon 1.5. Ruutmaatriksit 1 0 0... 0 0 1 0... 0 E = 0 0 1... 0 .............. 0 0 0... 1 nimetatakse u¨hikmaatriksiks. N¨aiteks 1 0 0
1 7 A= , B = (1 −2 3 ) , C = 4 , D = (10) (1.3) 2 5 −1 on vastavalt (2, 2)-maatriks ehk teist j¨arku maatriks, (1, 3)-maatriks, (3, 1)- maatriks ja (1, 1)-maatriks ehk esimest j¨arku maatriks. Maatriksite B ja C kohta ¨oeldakse ka, et nad on vastavalt u ¨herealine ja u ¨heveeruline maatriks. Definitsioon 1.5. Ruutmaatriksit 1 0 0... 0 0 1 0... 0 E = 0 0 1... 0 .............. 0 0 0... 1 nimetatakse u¨hikmaatriksiks. N¨aiteks
4 1 8 1 1 ! 13 11 11!6 Mittestabiilse süsteemi korral: Kasutusele tuleb Crameri valem. X1=x1(maatriks)/kogumaatriks Crameri valemit ei kasuta ükski arvutiprogramm, sest see võib anda väga suure vea. Gaussi meetodis saab arvutusvigade vähendamiseks valida juhtelemendiks maksimaalse absoluutväärtusega arvu (antud veerus kui ka kogu süsteemis). Gaussi meetodiga saab leida ka pöördmaatriksit. Pöördmaatriks on olemas vaid regulaarsel maatriksil. Def: Ruutmaatriksit A nim regulaarseks kui selle determinant ei võrdu 0ga ja singulaarseks kui võrdub 0. Def: Regulaarse maatriksi A pöördmaatriks A-1 peab rahuldama võrrandit A*A-1=A-1*A=E, kus E on vastavat järku ühikmaatriks. Lahendskeem: (A!E)- >Gaussi teisend->(E!A-1). N: 248 -2 0 2 468 2. Leontjevi staatiline mudel 1 2 lõpptoodang y kogutoodang x 1 100=x11 160=x12 240 500
nullitegur nullitegur Korrutades aga teises j¨arjekorras, saame 1 0 0 1 1·0+0·0 1·1+0·0 0 1 = = = 02 × 2 0 0 0 0 0·0+0·0 0·1+0·0 0 0 ¨ Uhtlasi veendusime veelkord maatrikskorrutise mittekommutatiiv- suses. II. Maatriksarvutus 9 3.5 ¨ Uhikmaatriks Ruutmaatriksit, mille peadiagonaalil on u ¨hed ning mujal nullid, nimetame u ¨ hikmaatriksiks ehk u ¨ hikuks ehk u ¨heks ning t¨ahistame 1 0 ... 0 0 1 . . . 0 I := . . . := (Iij ) := (ij ) .. .. . . ... 0 0 ... 1
Maatriksid on võrdsed oma vahel , kui on võrdsed kõik vastavad elemendid antud matriksites, s.t. A = B , kui aij = bij , i = 1,...,n , j = 1,...,m . Definitsioon 2. Maatriksit, millel ridade arv on võrdne veergude arvuga (m = n ), nimetatakse ruutmaatriksiks. Maatriksi elemendid, mis asuvad diagonaalil maatriksi vasakupoolse ülemisest nurgast paremapoolse alumisenurgani, moodustavad maatriksi peadiagonaali. Definitsioon 3. Ruutmaatriksit, mille peadiagonaali kõik elemendid on ,,1", aga kõik ülejäänud elemendid on ,,0", nimetatakse ühikmaatriksiks. Tavaliselt seda tähistatakse E (või I ) tähega. Näide 2: 1 0 0 = 0 1 0 0 0 1 E3x3 on 3 järku ühikmaatriks, 1 0 0 0 1 0 = 0 0 1 E n -järku ühikmaatriks.
Maatriksid on võrdsed oma vahel , kui on võrdsed kõik vastavad elemendid antud matriksites, s.t. A = B , kui aij = bij , i = 1,...,n , j = 1,...,m . Definitsioon 2. Maatriksit, millel ridade arv on võrdne veergude arvuga (m = n ), nimetatakse ruutmaatriksiks. Maatriksi elemendid, mis asuvad diagonaalil maatriksi vasakupoolse ülemisest nurgast paremapoolse alumisenurgani, moodustavad maatriksi peadiagonaali. Definitsioon 3. Ruutmaatriksit, mille peadiagonaali kõik elemendid on ,,1", aga kõik ülejäänud elemendid on ,,0", nimetatakse ühikmaatriksiks. Tavaliselt seda tähistatakse E (või I ) tähega. Näide 2: 1 0 0 = 0 1 0 0 0 1 E3x3 on 3 järku ühikmaatriks, -1- Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina
omadus A kuulub Kmxn => EmA = AEn = A) 4. liitmine ja korrutamine on seotud distributiivsusega: A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC 5. kui eksisteerib maatriksite korrutis AB, siis a(AB) = (aA)B = A(aB), a R 8. Maatriksite transponeerimine. Transponeerimise omadused. Maatriksi A = ||aij|| Rmxn transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit AT = ||bji|| Rnxm, mille veeruvektoriteks on parajasti maatriksi A reavektorid, st bji = aij iga i ja j võimaliku väärtuse korral Ruutmaatriksit A nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks, kui A T = A Maatriksite transponeerimise omadused 1. (AT)T = A iga maatriksi A korral 2. (A + B)T = AT + BT iga A, B Rmxn korral 3. (cA)T = cAT iga c R ja maatriksi A korral 4. (AB)T = BTAT iga A Rmxn ja B Rnxp korral 9. Lineaarne võrrandisüsteem, selle lahend ja maatrikskuju. K - mingi korpus; a1, ...,an K, b - fkseeritud arvud; x1, ..., xn - tundmatud skalaarid; ai - kordajad; b - vabaliige
Vastandmaatriks - nimetatakse maatriksit, mille elementideks on maatriksi A elementide vastandarvud. Maatriksi A vastandmaatriksi tähiseks on -A. Transponeeritud maatriks Maatriksi A transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit, mis saadakse maatriksi A ridade ja veergude äravahetamisel. Maatriksi A transponeeritud maatriksi tähiseks on AT. m×n-maatriksi A transponeeritud maatriks AT on n×m-maatriks , kus Omadused: Sümmeetriliseks maatriks - nimetatakse ruutmaatriksit A, mis langeb kokku oma transponeeritud maatriksiga: Sümmeetrilise maatriksi A = (aij) kõikide elementide puhul kehtib seega . Näiteks järgmine 3×3-maatriks on sümmeetriline: Kaldsümmeetriline maatriks on selline ruutmaatriks, mille transponeeritud maatriks ühtib selle vastandmaatriksiga, mille korral kehtib võrdus AT = -A Tehted maatriksitega. Maatriksite võrdsus - Me nimetame maatriksit A võrdseks maatriksiga B, kui neil maatriksitel
. . . .. . .. .. .. .. . an1 an2 an3 ... ann Definitsioon 2.1 Öeldakse, et arvud a11 , a22 , a33 , . . . , ann asuvad maatriksi A peadia- gonaalil ning elemendid a1n , a2,n-1 , a3,n-2 , . . . , an1 asuvad kõrvaldia- gonaalil. Definitsioon 2.2 Ruutmaatriksit I nimetatakse (n-järku) ühikmaatriksiks, kui tema peadiagonaali elemendid võrduvad ühega ja kõik teised elemendid võr- duvad nulliga: 1 0 ··· 0 0 1 ··· 0 I= .
Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Maatriksid 64 3 1 8 0 5 27 2 26 D' @ ' 2 4 3 2 11 28 8 54 Programmis MS Excel leiab maatriksite korrutise funktsioon MMULT (terminist matrix multiplication). Olgu meil näiteks kaks ruutmaatriksit 4 1 1 2 A' B' . 3 5 9 6 Leiame nende korrutised AB ja BA: 13 14 10 11 AB ' BA ' .
annaabi.ee 
