Korrapärane hulknurk- hulknurk, mille kõik küljed ja nurgad on võrdsed Ristkülik- nelnurk, mille kõik nurgad on täisnurgad ja vastasküljed on võrdsed j paralleelsed Ruut- võrdsete külgede ja nurkadega nelinurk Rööpkülik-Võrdsete ja paralleelsete vastaskülgedega nelinurk Romb- Rööpkülik, mille kõik küljed on võrdsed Trapets- nelinurk, millel on kaks paralleelset ja kaks mitteparalleelset vastaskülge Ringjoon- antud punktist jääval kaugusel asetsevate punktide hulk Ring-ringjoonega piiratud tasandiosa, koos seda piirava ringjoonega Tühihulk- hulk, milles pole ühtegi elementi Osahulk-hulk, mille kõik elemendid on ka teise hulga elemendid Hulkade ühend- kõigi elementide hulk, mis kuuluvad vähemalt ühte kahest hulgast Hulkade ühisosa- kahe hulga kõigi ühiste elementide hulk Kõõl- sirglõik, mis ühendab ringjoone kahte punkti Kesknurk- ringoone kekskpunktis tõmmatud kahe raadiuse vaheline nurk Piirdenurk- ringjoone punktist tõmmatud kahe kõõlu vaheline punkt
Ring 1. Ring ehk kinnine ring on ringjoone poolt piiratud tasandi osa. 2. Ring sisaldab kõiki punkte, mis on kas ringjoonel või ringjoone sees. 3. Ringi keskpunktiks nimetatakse seda piirava ringjoone kõikidest punktidest võrdsel kaugusel olevat fikseeritud punkti, mis asub ringiga (ja ringjoonega) samal tasandil. 4. Ringi raadiuseks nimetatakse ringi keskpunkti kaugust ringjoonest (ringi keskpunkti kaugus ringjoone mis tahes punktist), samuti ringi keskpunkti ringjoone ükskõik millise punktiga ühendavat sirglõiku. 5. Ringi diameetriks nimetatakse niisugust sirglõiku, mis ühendab kaht ringjoone punkti ja läbib ringi keskpunkti, samuti sellise sirglõigu pikkust. Diameeter on raadiusest 2 korda pikem. 6
Ringjoon Ringjoone kõik punktid asetsevad ühel ja samal kaugusel ringjoone keskpunktist. Ringjoone pikkus on tema diameetrist (3,14) korda suurem. Ringjoone pikkuse arvutamise valemid: 1) Arvutame ringjoone pikkuse, kui tema diameeter d = 10 cm. Valem: C = d. C 10 ; C 31,4 cm 2) Arvutame ringjoone pikkuse, kui tema raadius r = 8 cm. Valem: C = 2r. C 2 3,14 8; C 50,24 cm. Ring Ring on rinjoonega piiratud tasandi osa koos seda piirava ringjoonega. Ringi pindala Selleks, et arvutada ringi pindala, tuleb korrutada raadiuse ruuduga. Valem: S = r²
nimetatakse ringiks. Sektoriks nimetatakse ringi osa, mida piiravad ringi kaks raadiust ja nende otspunktide vahel asetsev ringjoone kaar Nurka, mille tipp asetseb ringi keskpunktis (haaradeks on ringi raadiused), nimetatakse kesknurgaks.(nurk AOC) Nurka, mille tipp asetseb ringjoonel ja haaradeks on kõõlud (ringjoone lõikajad), nimetatakse piirdenurgaks.(nurkABC) Piirdenurk võrdub poolega samale kaarele toetuvast kesknurgast. Ringjoone lõikajaks nimetatakse sirget, millel on ringjoonega kaks ühist punkti. Ringjoone puutujal on ringjoonega üks ühine punkt .Puutuja on risti puutepunkti joonestatud raadiusega. Kui väljaspool ringjoont võetud punktist joonestada puutujad, siis selle punkti kaugused puutepunktidest on võrdsed. Ringjoone pikkus C = 2r = d Ringjoone kaare pikkus l, mis vastab kesknurgale (kraadides), avaldub valemina r l= 180 o d 2 Ringi pindala S = r 2 = 4
nimetatakse ringiks. Sektoriks nimetatakse ringi osa, mida piiravad ringi kaks raadiust ja nende otspunktide vahel asetsev ringjoone kaar Nurka, mille tipp asetseb ringi keskpunktis (haaradeks on ringi raadiused), nimetatakse kesknurgaks.(nurk AOC) Nurka, mille tipp asetseb ringjoonel ja haaradeks on kõõlud (ringjoone lõikajad), nimetatakse piirdenurgaks.(nurkABC) Piirdenurk võrdub poolega samale kaarele toetuvast kesknurgast. Ringjoone lõikajaks nimetatakse sirget, millel on ringjoonega kaks ühist punkti. Ringjoone puutujal on ringjoonega üks ühine punkt .Puutuja on risti puutepunkti joonestatud raadiusega. Kui väljaspool ringjoont võetud punktist joonestada puutujad, siis selle punkti kaugused puutepunktidest on võrdsed. Ringjoone pikkus C 2r d Ringjoone kaare pikkus l, mis vastab kesknurgale (kraadides), avaldub valemina r l 180 o d 2 Ringi pindala S r 2 4
piirdenurgaks. Kõõlude teiste otspunktide vahelise kaare BC kohta öeldakse, et piirdenurk toetub sellele kaarele. TEOPiirdenurk on pool temaga samale kaarele toetuvast kesknurgast. TTKõik ühele ja samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed. Poolringjoonele (või diameetrile) toetuv piirdenurk on täisnurk. Kaks täisnurkset kolmnurka on võrdsed, kui ühe kolmnurga hüpotenuus ja kaatet on vastavalt võrdsed teise kolmnurga hüpotenuusi ja kaatetiga. Sirget, millel on ringjoonega ainult üks ühine punkt, nimetatakse ringjoone puutujaks. Puutuja ja ringjoone ühist punkti nimetatakse puutepunktiks. TEORingjoone puutuja on risti puutepunkti tõmmatud raadiusega. TEOKui sirge läbib raadiuse otspunkti ringjoonel ja on risti raadiusega, siis see sirge on ringjoone puutuja TT Sirge on ringjoone puutuja parajasti siis, kui see sirge läbib raadiuse otspunkti ja on risti raadiusega TT Puutujate lõikepunkt M on puutepunktidest P ja Q võrdsetel kaugustel: MP=MQ
Rööpkülik ehk rööpnelinurk on nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed ning võrdsed. Rombiks nim. nelinurka , mille küljed on võrdsed nurgad, aga mitte. Ringjoon on tasandi antud punktist mingil kindlal positiivsel kaugusel olevate selle tasandi punktide hulk. Diameetriks nim. lõiku, mis läbib kekspunkti ja ühendab ringjoone kaht punkti. Raadius on matemaatiline lõik, mis ühendab ringjoone või sfääri punkti keskpunktiga Ringi moodustab ringjoone sees olev tasandi osa koos ringjoonega. Nelinurk on hulknurk, millel on on neli külge, neli tippu ja neli nurka Sirgnurgaks nim. nurka mille haarad moodustavad sirge. Kõrvunurkadeks nimetatakse kaht nurka, millel üks haar on ühine ja mille teised haarad moodustavad sirge. Kaht nurka nimetatakse tippnurkadeks, kui ühe nurga haarad on teise nurga haarade pikendused üle nende ühise tipu. Lõikuvateks sirgeteks nim. neid sirgeid, millel on 1 ühine punkt.
Kera, selle pindalad ja ruumala. Keraks nimetatakse pöördkeha,m is tekib ringi (või poolringi) pöörlemisel ümber diameetri.' Kera pinda nimetatakse SFÄÄRIKS. Kera lõiget keskpunkti läbiva tasandiga nimetatakse SUURRINGIKS. Sfääri mistahes punkti kaugust kera keskpunktist nimetatakse kera RAADIUSEKS. 2. Mõningad mõisted, mis on seotud kera, ringi ja ringjoonega: Ringjoone puutuja sirge, mis puutub ringjoont (kera pinda) ainult ühes kohas ja on risti ringi (kera) raadiusega Kaare pikkus ringjoone või sfääri kahe punkti vaheline kaugus, mis arvutatakse järgmise valemiga L=x·R kus x on kesknurk radiaanides ja R on ringi või ringjoone raadius. Kui kesknurk on antud kraadides (kraadides nurk), siis teisendatakse see radiaanidesse valemiga (Vaata
2) Arvuta rombi diagonaalide pikkused. 3) Arvuta nurk tipu K juures. 4) Koosta tippe L ja M läbiva sirge s võrrand. 5) Arvuta sirge s ja sirge x + y = 10,3 lõikepunkt. ÜL. 4 Antud on parabool y = x2 ja ringjoon, mille keskpunkt asetseb koordinaatide alguspunktis ning mis läbib punkti (2; 2 ). 1) Joonesta antud ringjoon koordinaatteljestikus ja koosta selle ringjoone võrrand. 2) Arvuta ringjoone ja parabooli lõikepunktide koordinaadid. 3) Joonesta ringjoonega samas teljestikus parabool. 4) Arvuta ringjoone ja parabooli lõikepunktide kaugused punktidest, kus ringjoon lõikab y-telge. ÜL.5 Tasandil on antud 4 sirget. Esimene neist on antud võrrandiga y = x + 3. Teine on paralleelne esimesega ja läbib punkti P(2; -1). Kolmas on risti esimesega ja läbib punkti Q(-3; -1). Neljas on paralleelne y-teljega ja läbib punkti R(6; 3). Kolmas sirge lõikab esimest sirget punktis A ja teist punktis B. Neljas
3. Vastasnurgad on võrdsed. 4. Lähisnurkade summa on 180 kraadi. 5. Diagonaalid poolitavad teineteist 6. Diagonaalide lõikepunkt on rööpküliku sümmeetriakeskpunkt 7. S=ah RING 1. Ring ehk kinnine ring on ringjoone poolt piiratud tasandi osa. 2. Ring sisaldab kõiki punkte, mis on kas ringjoonel või ringjoone sees. 3. Ringi keskpunktiks nimetatakse seda piirava ringjoone kõikidest punktidest võrdsel kaugusel olevat fikseeritud punkti, mis asub ringiga (ja ringjoonega) samal tasandil. 4. Ringi raadiuseks nimetatakse ringi keskpunkti kaugust ringjoonest (ringi keskpunkti kaugust ringjoone mis tahes punktist), samuti ringi keskpunkti ringjoone ükskõik millise punktiga ühendavat sirglõiku. 5. Ringi diameetriks nimetatakse niisugust sirglõiku, mis ühendab kaht ringjoone punkti ja läbib ringi keskpunkti, samuti sellise sirglõigu pikkust. Diameeter on raadiusest 2 korda pikem. 6
21.Rombiks nimetatakse rööpkülikut, mille lähisküljed on võrdsed. 22.Trapetsiks nimetatakse nelinurka, mille kaks vastaskülge on paralleelsed (nimetatakse alusteks), kuid teised küljed ei ole paralleelsed (nimetatakse haaradeks) 23.Diagonaal on nelinurga vastastippe ühendav lõik. 24.Ringjoone kõik punktid asuvad ühel ja samal tasandil ning on ringjoone keskpunktist samal kaugusel. 25.Ringi moodustab ringjoone sees olev tasandi osa koos ringjoonega. 26.Raadius on matemaatiline lõik, mis ühendab rongjoone punkti keskpunktiga. 27.Diameetriks nimetatakse sirglõiku, mis ühendab kaht ringjoone punkti ja läbib ringi keskpunkti. 28.Algarvuks nimetatakse arvu, millel on ainult kaks jagajat. 29.Kordarv on arv, millel on vähemalt kolm jagajat. 30.Kõik arvud, millega antud arv jagub, on selle arvu tegurid. 31.Arvu kordsed on kõik need arvud, mis antud arvuga jaguvad. 32.Vastandarvud on arvud, mis erinevad ainult märgi poolest. 33
Täielik ruutvõttand on ruutvõrrand, kus on olemas ruutliige, lineaarliige, vabaliige ja a ei võrdu 0-ga. 1Mis on mitetäielik ruutvõrrnad? Kui puudub lineaarliige või vabaliige või mõlemad. 1Mis on taandatud ruutvõrrand? Taandatud ruutvõrrand on ruutvõrrand, mille ruutliikme kordaja on võrdne 1-ga, a=1 1Sõnasta taandatud ruutvõrrandi lahendite omadused. Viete'i valemid 1Mis on ringjoone puutuja? Ringjoone puutujaks nimetatakse sirget, millel on ringjoonega üks ühine punkt ehk puutepunkt, mis asub alati väljaspool ringjoont. Puutuja on alati risti raadiusega.
.. Ülesannete lahendamisel kasutatakse ligikaudset väärtust 3,14. Näide 1 Arvuta ringjoone pikkus, kui diameeter d = 10 cm. d=10cm Kasutame valemit C = d C 3,14 10 cm = 31,4 cm Vastus: Ringjoone pikkus on ligikaudu 31,4 cm. Näide 2 Arvuta ringjoone pikkus, kui r=8cm tema raadius on r = 8 cm. Kasutame valemit C = 2 r C 2 3,14 8 cm = 50,24 cm Vastus: Ringjoone pikkus on ligikaudu 50,24 cm. Ring Ring on ringjoonega piiratud tasandi osa koos seda piirava joonega Ringjoone raadius ja diameeter on r ühtlasi ka ringi raadius ja diameeter. d Ringi pindala Jaotades ringi suureks hulgaks osadeks ja ühendades lahtilõigatud osad kujundiks mis sarnaneb ristkülikuga, selgub et .... r 0,5 C ..
Kolmnurga kõrgus. Lõiku, mis ühendab kolmnurga tipu vastaskülje keskpunktiga, nimetatakse kolmnurga mediaaniks. Kolmnurgal on kolm mediaani. Kõik mediaanid lõikuvad ühes punktis, mida nimetatakse mediaanide lõikepunktiks. Kolmnurga kõrguseks nimetatakse kolmnurga tipust selle tipu vastasküljele või selle pikendusele tõmmatud ristlõiku ja samuti selle ristlõigu pikkust. 22. Ringjoon, ring. Ringjoon on punktide hulk, mille kaugused ringjoone keskpunktist on võrdsed. Ring on ringjoonega piiratud tasandi osa. 23. Kesknurk, ringjoone kaar, kõõl. Kesknurk on nurk, mille tipp asetseb ringjoone keskpunktis ja haaradeks on raadiused. Lõiku, mis ühendab ringjoone kahte punkti nimetatakse kõõluks. Ringjoone kaar… --------------------------- 24. Piirdenurk, selle omadus. Thalese teoreem, Pythagorase teoreem. Nurka, mille tipp asetseb ringjoonel ja haaradeks on kõõlud nimetatakse piirdenurgaks. Thalese teoreem – Diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurkne!
1. ARVU AJALOOST Arvu väärtuse arvutamisega on tegelenud paljud matemaatikud läbi aegade. Näiteks sai Aryabhata I lähisväärtuse 3,1416 VI sajandi alguses, kasutades selleks ühikringjoonesse kujundatud korrapärase 384-nurga ümbermõõtu. Tuli välja, et arv tekib ka ülesannetes, millel pole ringjoonega ega hulknurkadega midagi ühist. Prantsuse loodusteadlane G. L. Leclerc de Buffon avaldas 1777. aastal arvutamiseks võtte, mida nimetatakse Buffoni ülesandeks. Selle valemi põhjal on saadud 3408 viskega 3,1415929. Peale Ludolph van Ceuleni arvutusi leidis inglane Abraham Sharp 1699. aastal arvule 72 õiget kohta. Prantslane T. F. de Lagny andis 1719. aastal 127 õiget kohta, hiljem selgus, et 113. koha
välisnurga omadust (kolmnurga välisnurk võrdub temaga mitte kõrvu olevate sisenurkade summaga), välisnurk on kesknurk ja vastavad sisenurgad on piirdenurgad kui võrdhaarse kolmnurga alusnurgad; järelikult kesknurk on võrdne kahe piirdenurgaga ja vastupidi, piirdenurk on võrdne poolega kesknurgast NB kõik ühele ja samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed 6.Kesknurga ja piirdenurga võrdlemine (sarnasused ja erinevused) - sarnasused: seotud ringjoonega; erinevused: tipp asetseb erinevas kohas, kesknurgal ringjoone keskpunktis, piirdenurgal ringjoonel; haarad on erinevad, kesknurgal raadiused, piirdenurgal kõõlud NB samale kaarele toetumisel on kesknurk kaks korda suurem 7.Thalese teoreem - poolringjoonele (või Ül.1086 diameetrile) toetuv piirdenurk on täisnurk; Leida jooniselt tähtedega märgitud nurkade vaata suurused. 2.joonis
Ringjoon Ringjoone kõik punktid asetsevad ühel ja samal kaugusel ringjoone keskpunktist. Ringjoone pikkus on tema diameetrist (3,14) korda suurem. Ringjoone pikkuse arvutamise valemid: 1) Arvutame ringjoone pikkuse, kui tema diameeter d = 10 cm. Valem: C = d. C 10 ; C 31,4 cm 2) Arvutame ringjoone pikkuse, kui tema raadius r = 8 cm. Valem: C = 2r. C 2 3,14 8; C 50,24 cm. Ring Ring on rinjoonega piiratud tasandi osa koos seda piirava ringjoonega. Ringi pindala Selleks, et arvutada ringi pindala, tuleb korrutada raadiuse ruuduga. Valem: S = r² Ruut Ümbermõõt: P = 4 a Pindala: S = a² (vastus alati .. cm² !) Ristkülik - Ümbermõõt: P = 2 (a+b) Pindala: S = a b Kolmnurk Iga kolmnurkade nurkade summa on 180° Ümbermõõt: P = kl + lm + km (küljed). Pindala: Täisnurkse kolmnurga pindala võrdub kaatetite poole korrutisega: S ABC = a b : 2. Seadused:
kolmnurgaks. · Kolmnurga sise- ja ümberringjoon Kolmnurga siseringjooneks nimetatakse ringjoont, mis puutub ringjoone külgi. Tema keskpunkt asub külgedest ühekaugusel, see tähendab et ristlõigud keskpunktist iga küljeni on võrdsed. Kolmnurga ümberringjooneks nimetatakse ringjoont, mille keskpunkt on tippudest ühekaugusel. Seega läbib see ringjoon kõiki tippe. · Ringjoone lõikaja ja puutuja Ringjoone lõikajaks nim siget, millel on ringjoonega kaks ühist punkti. Lõikaja piirsirget, millele läheneb lõikaja, kui üht lõikepunkti ringjoone kaart mööda teisele lähendada, nim ringjoone puutujaks.
Põiknurgad-asuvad ühel ja samal sirgel aga mitte kõrvuti(Näide34) 35.Kesknurk on ringjoone kahe raadiuse vaheline nurk. Ringjoone punktist tõmmatud kahe kõõlu vahelist nurka nim.piirdenurgaks.(Näide 35) Kõik ühele ja samale kaarele ulatatavad piirdenurgad on võrdsed Piirdenurk on pool temaga samale kaarele toetavast kesknurgast 36. Ringjoone pikkuse saab arvutada valemiga: C=2· ·r Ringi pindala saame arvutada valemiga S = · r2 37.sirgel millel on ringjoonega ainult üks ühine punkt nim.puutujaks.(Näide36) 38. Hulknurka, millel on võrdsed küljed ja võrdsed nurgad, nimetatakse korrapäraseks hulknurgaks.(Näide37) Korrapärase hulknurga ümbermõõt võrdub külgede arvu n ja küljepikkuse a korrutisega P=an P1/P2=K Korrapärase hulknurga pindala võrdub poole ümbermõõdu ja apoteemi korrutisega S1/S2=K2 Sisenurkade summa (n-2)+180' 39.Täisnurkse kolmnurga kaatetite ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga A2+B2=C2 40
võrdsetel kaugustel. Ringjoone pikkus arvutatakse valemiga: p = 2r Kaar Kaar on ringjoone B pikkus punktist A punkti B. Kõõl B Kõõl ühendab kaht mitte kõrvutiasuvat punkti ringjoonel. A Raadius ja diameeter Ringjoone raadius on sirglõik, mis ühendab ringi keskpunkti ringjoonega. Ringi diameeter on ringi keskpunkti läbiv kõõl. Diameeter on kahe raadiuse pikkune. d = 2r Ring Ringjoon koos ringi sees oleva tasandiga moodustavad ringi. Ringi pindala saab arvutada valemiga: Ringi ümbermõõduks on ringjoone pikkus. S = r 2 p = 2r
ringjoone kaareks. 35. Ringjoone kl. * Ringi kl on ringlik , mis hendab kaht ringjoone punkti. 36. Ringi sektor. * Mingit osa ringist nimetatakse ringi sektoriks. (Tisprde suurus on 380kraadi). 37. Piirdenurk. * Nurga ringjoone hise otspunktiga klude vahel nimetatakse piirdenurgaks. 38. Teoreem piirdenurgast. * Piirdenurk on pool samale kaarele toetuvast kesknurgast. 39.Ringjoone puutuja. Tee joonis. * Ringjoone puutujaks nimetatakse sirget , millel on ks ja ainult ks hine punkt ringjoonega. 40 .Kolmnurga mberringjoone keskpunkt. * Ringjoont, mis lbib kolmnurga tippe nimetatakse kolmnurga mberringjooneks. 41. Kolmnurga siseringjoone keskpunkt . * Ringjoont, mille keskpunktiks on kolmnurga nurgapoolitajate likepunkt ja raadiuseks selle punkti kaugus kolmnurga kljest , nimetatakse kolmnurga sirgjooneks. 42. Korraprane hulknurk. * Hulknurka millel on vrdsed kljed ja vrdsed nurgad, nimetatakse korrapraseks hulknurgaks. 43. Korraprase hulknurga mberringjoon.
laiuse muutumine aparaadi pöörlemisel lakkab. Suundtuleaparaadid. Valgustusaparaadist 5-7 m kaugusele seatakse tasapinnaline ekraan. Ekraani pind peab olema ketasläätse optilise teljega risti. Ekraanile kantakse ringjoon, mille keskpunktiks on ekraani pinna ja läätse optilise telje ristumispunkt. Ringjoone raadius r arvutatakse valemiga. Valgusallika püstsihis nihutamisega ja läätse liigutamisega aparaadis viiakse valguslaigu keskpunkt kokku ringi keskpunktiga, valguslaigu piiijoon aga ringjoonega. Pärast valgusallika fokuseerimist seatakse õigesse asendisse peegeldi. Peegeldi on õiges asendis, kui selle optiline telg langeb ühte läätse optilise teljega ning valgusallikas paikneb peegeldi fookuses. Rr = l*b/2f L ekraanikaugus laatsest (mm) b- valgusallika hõõk ja laius (mm) 4 Veeteede navigatsiooniseadmed
a) 180°; b) 180°(n-2); c) (n+2)180°; d) 90°; e) 360°. Ringjoonel ja selle puutujal on ühiseid punkte a) 1; b) 2; c) lõpmata palju; d) 0; e) vähemalt 3. Ringjoont, mis läbib kolmnurga kõiki tippe nimetatakse kolmnurga a) siseringjooneks; b) kõõluks; c)sektoriks; d) ümberringjooneks; e) kaareks. Ringjoont, mis puudutab kolmnurga kõiki külgi nimetatakse kolmnurga a) tipuks; b) haaraks; c) siseringjooneks; d) ümberringjooneks; e) küljepoolitajaks Sirget, millel on ringjoonega kaks ühist punkti nimetatakse selle ringjoone a) lõikajaks; b) sektoriks; c) puutujaks; d) pindalaks; e) pikkuseks. Ringjoone diameetrile toetuv piirdenurk on a) nürinurk; b) teravnurk; c) sirgnurk; d) täisnurk; e) nelinurk. Prisma põhjade vahelist kaugust nimetatakse a) põhjaks; b) tipuks; c) pinnalaotuseks; d) põhiservaks; e) kõrguseks. Prisma ruumala on samasuguse põhjaga ning sama kõrge püramiidi ruumalast
OA ja OB ning kaar AB eraldavad ringist osa, mida nimetatakse ringi sektoriks. 37.Piirdenurk Piirdenurgaks nimetatakse nurka, mille tipp asetseb ringjoonel ja haarad lõikavad ringjoont. Samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed. Piirdenurk võrdub poolega samale kaarele toetuvast kesknurgast. 38.Teoreem piirdenurgast Ringjoone diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk. ABC on piirdenurk. 39.Ringjoone puutuja Ringjoone puutujaks nimetatakse sirget millel on ringjoonega üks ühine punkt. Puutepunkti tõmmatud raadius on risti puutujaga. Lõik A on ringjoone puutuja. 40.Kolmnurga ümberringjoone keskpunkt Kolmnurga kõigi külgede keskristsirged lõikuvad ühes punktis, mis ongi kolmnurga ümberringjoone keskpunkt. 41.Kolmnurga siseringjoone keskpunkt Kolmnurga siseringjoone keskpunktiks on nurgapoolitajate lõikepunkt. 42.Korrapärane hulknurk Kumerat hulknurka, millel on võrdsed küljed ja võrdsed nurgad, nimetatakse korrapäraseks hulknurgaks
Töö koosneb kolmest peatükist. Esimeses peatükis saab ülevaate ajaloolisest arengust: isikud, kes arvutada püüdsid ning olemasolu teistes valdkondades. Teises peatükis on räägitud päevast: kus, millal ja kuidas seda tähistatakse. Kolmas peatükk põhineb uurimusel. Seal analüüsitakse põhikooli matemaatika õpikuid. 1. PI AJALOOLINE ARENG Arv tähistab ringjoone pikkuse ja selle diameetri suhet, kuid see kerkib sageli esile ka sellistes küsimustes, mis pole ringjoonega näiliselt üldse seotud. Inglise matemaatik, rahvuselt prantslane Augustus De Morgan on XIX sajandil kirjutanud:" Imeline arv 3,14159..., mis ronib sisse uksest, aknast ja katusest." Aegade jooksul on -l olnud erinevaid nimesid ning tähistusi ja olgugi, et on tegelikult arv, on seda ikka tähistatud kas sõna või siis mõne abstraktse sümboli abil. Esimene teadaolev tõend selle kohta, et oli endast inimestele märku andnud, leiti nn. Ahmese papüüruselt, mis pärineb umbes 1650
matemaatikaraamatute lugemist enne, kui oli saanud 13. aastaseks. Siiski oli ta alati enda võimetes kindel ning hakkas väga kiirelt välja töötama isiklikke matemaatilisi teooriaid ja alustas kooniliste kujundite uurimisega. Oma töös ei konsulteerinud ta kellegagi, seega ei ole üllatav, et ta pidas oma ideid originaalseteks. Olles 13-aastane saatis Ampére oma esimese uurimuse Académie de Lyoni. Antud uurimus pidi pakkuma võimaluse konstrueerida joon, mis oleks sama pikk suvalise ringjoonega. Tema meetod kasutas lõpmata väikeseid arve, kuid kuna ta polnud õppinud algebrat, jäi töö avaldamata. Peale artikli kirjutamist sai Ampére aru, et peab matemaatika ning eelkõige diferentsiaalalrvutused endale paremini selgeks tegema. Olles selgeks saanud diferentsiaal- ning integraalarvutused, hakkas Ampére uurima Euleri ning Bernoulli töid. 1788. Aastal hakkas ta tõsiselt uurima Lagrange ,,Mecanique analytiquet", mille lugemine andis talle uue tulisuse. Ta kordas kõiki
välisnurga omadust (kolmnurga välisnurk võrdub temaga mitte kõrvu olevate sisenurkade summaga), välisnurk on kesknurk ja vastavad sisenurgad on piirdenurgad kui võrdhaarse kolmnurga alusnurgad; järelikult kesknurk on võrdne kahe piirdenurgaga ja vastupidi, piirdenurk on võrdne poolega kesknurgast NB kõik ühele ja samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed 6.Kesknurga ja piirdenurga võrdlemine (sarnasused ja erinevused) - sarnasused: seotud ringjoonega; erinevused: tipp asetseb erinevas kohas, kesknurgal ringjoone keskpunktis, piirdenurgal ringjoonel; haarad on erinevad, kesknurgal raadiused, piirdenurgal kõõlud NB samale kaarele toetumisel on kesknurk kaks korda suurem 7.Thalese teoreem - poolringjoonele (või Ül.1086 diameetrile) toetuv piirdenurk on täisnurk; Leida jooniselt tähtedega märgitud nurkade vaata suurused. 2.joonis
Gorgode tunnusteks peeti lõustaks virildunud näojooni, madusid juuste asemel ja õudset möirgamist. Igaüks, kes neid vaatas, muutus otsekohe kiviks. Perseus tappis Medusa ja tõi selle pea Polydektesele. Kerberos Allmaailma väravat valvav kolme pea ja draakonisabaga koer Kuldlõige Kuldlõige esineb ka kõige laialdasemalt kaustatavas ja kõige pühamas geomeetrilises kontruktsioonis nimega vesica piscis, mis sõnasõnalises tõlkes tähendab kalapõit. Tegemist on kahe lõikuva ringjoonega, kusjuures kummagi keskpunkt asub teise ringjoonel. Kuldlõige tähendab lõigu sellist jaotamist kaheks osaks, et suurem osa oleks kogu lõigu ja selle väiksema osa keskmine võrdeline. Sireen Linnu keha ja inimese enamasti naise peaga kurjad deemonid. Neil olid üliinimlikud teadmised ja võime muuta ilma. Nad hurmasid oma kauni lauluga möödasõitvaid laevnikke, kes seetõttu sõitsid karidele ja hukkusid. Sireenid elasid saarel keset merd ning pole teada,
Pöördarvudeks nimetatakse kahte arvu, mille korrutis võrdub 1-ga. Antud nullist erineva arvu pöördarvuks nimetatakse arvu 1 ja antud arvu jagatist. Pöördvõrdelises seoses on kaks muutujat, kui nende korrutis on konstantne ehk muutumatu. Püströöptahukas on püstprisma, mille põhitahkudeks on rööpkülikud. Ratsionaalarvud on kõik täisarvud ning positiivsed ja negatiivsed murdarvud. Reaalarvu saab esitada kümnendmurdude abil nn. lõpmatu kümnendarenduse kujul. Ring on ringjoonega piiratud kujund. Ringi raadiuseks nimetatakse ringjoone mis tahes punkti keskpunktiga ühendavat lõiku. Ringi sektoriks nimetatakse kahte osa, mille on ringi keskele tõmmatud raadius kaheks osaks jaganud. Ringjooneks nimetatakse niisuguste punktide hulka, mis asuvad võrdsel kaugusel ühest punktist. Rombiks nimetatakse nelinurka, mille kõik küljed on võrdsed. Ruutjuure võtmine on kahega astendamise pöördtehe. Igal mittenegatiivsel reaalarvul on üks aritmeetiline ruutjuur.
nullkoht ja vähim väärtus -8 on kohal x = 4. Kas õpilased saavad aru: · et miinimumpunkti koordinaadid on (4;-8); · seega parabool avaneb ülespoole; · kui üks nullkohtadest on kohal 6, siis teine on kohal 2 (sest parabooli telg on x = 4). Nüüd on olemas vajalik info kordajate leidmiseks. Iga võtte omandamiseks tuleb lahendada teatud arv ülesandeid, kuid neid tulebki erinevalt esitada sõnastada. Ringjoonega on tegeldud põhikoolis planimeetria ülesandeid lahendades. Tuletage meelde ringjoone definitsioon ja näidake ringjoone võrrandi saamist koordinaatteljestikus. Valem võib õpilastel meelest minna, kuid tekkinud pilt peaks jääma silmade ette. Kindlasti tasub toonitada, et me kasutame jälle Pythagorase teoreemi. Kitsas kursuses piirdutakse põhivalemi rakendamisega, st koostatakse ringjoone võrrand etteantud keskpunkti ja raadiuse järgi. Laias
Mõõteriista valimiseks ja mõõteriista õigeks kasutamiseks on neid tingmärke tarvis teada. Mõõteriista numbrilauale kirjutatakse mõõteriista liik või liiki tähistav täht. Skeemidel tähistatakse mõõteriistu tähega, mida ümbritseb ring või kastike. Numbrilauale märgitakse mõõteriistaga mõõta lubatud voolu liik (alalis, vahelduvvool), mõõteriista süsteem, täpsusklass (täpsusklassi tähistavad numbrid ümbritsetakse mõnikord ringjoonega). 20.Mõõteriistade vead, täpsusklass. Omatarve. · Suhtviga Suhtviga on mõõteriista suhteline viga. · Taandviga Taandviga näitab, kui suure osa moodustab viga normeerivast väärtusest xnorm. Enamasti on selleks mõõteriista skaala maksimaalne väärtus. · Digitaalse mõõteriista viga d = ±(0,5% reading + 2 digits) See oli näide valemist absoluutse vea leidmiseks digitaalse mõõteriista korral. Tegelikkuses võivad arvud erineda valemis tooduist
U (A, r) = {B || B Rm , |BA| < r} . Kinniseks m-m~o~ otmeliseks keraks keskpunktiga A = (a1 , a2 , . . . , am ) ja raa- diusega r 0 nimetatakse hulka U (A, r) = {B || B Rm , |BA| r} . ¨ Uhem~ o~otmeline lahtine kera keskpunktiga a ja raadiusega r on vahemik (a - r, a + r). Vastav kinnine kera on l~oik [a - r, a + r]. Kahem~o~ otmeline lahtine kera on ring ilma ringjooneta ja kinnine kera on ring koos ringjoonega. Kolmem~o~otmeline lahtine kera on kera ilma sf¨a¨ arita ja kinnine kera on kera koos sf¨ a¨ariga. Hulga sise- ja rajapunktid. Olgu G ruumi Rm alamhulk. Punkti A nimetatakse hulga G sisepunktiks, kui leidub punkti A u ¨mbrus, mille k~oik punktid kuuluvad hulka G. Punkti A nimetatakse hulga G rajapunktiks, kui tema suvalises u ¨mbruses leidub punkte, mis kuuluvad hulka G ja punkte, mis ei kuulu hulka G.
c. Silindrilised, koonilised, tasandilised ehk asimutaalsed, pseudosilindrilised, pseudokoonilised, polükoonilised, pseudoasimutaalsed, kokkuleppelised. 54. Millised on silindrilise projektsiooni omadused? a. Moondevaba on suurringi kaar b. Erimõõtkava suureneb risti moondevabast joonest. c. MAAILMA PÕHIJOONIS ON RISTKÜLIK d. Normaalaspekti puhul (ekvaator moonevaba, poolused ringjoonega ja paraleelid ühe pikkused, meridiaanid ühepikkused ja risti ekvaatoriga, erinevus vaid paralleelide omavahelises kauguses) e. Põikaspekti puhul (ainult telgmeridiaan on sirge, teised meridiaanid koonduvad pooluste suunas sümmeetriliselt, ekvaator sirge, üldjoonis ristkülikukujuline) f. Kaldaspekti puhul (selgeid tunnuseid ei ole, meridiaanid ja paralleelid kõverad, üldjoonis ristkülik) 55
selle jõu sihi ning suuna joonisel 4.52b. Selle juurde märgime tema suuruse T. Eespool me juba ju märkasime, et tasakaalu puhul on ühe ja sama nööri kõikides osades ühesugune tõmbejõud. Sellest siis ka sama märge T. Kolmandaks, nuki kui sideme reaktsioonjõud N 4 . Kuna siin on tegemist kahe kokkupuutuva pinnaga, millest alumine osutub punktiks, siis reaktsioonjõud on risti ülemisega, s.t. ta on risti ringjoonega. Teiste sõnadega, reaktsioonjõud on risti ringjoone puutujaga, mis on tõmmatud puutepunktis. Ning muidugi on selle suund just selline, nagu joonisel 4.52b on näha, sest nukk hoiab ketast üleval, mitte ei tõmba alla. Jõudude skeem selle ülesande jaoks ongi valmis. Näide 6. Süsteem koosneb kolmest kehast: L-kujulisest vardast 1 ehk ABC (joonis 4.53), täisnurksest prismast 2 ja silindrist 3. Teha kõigi kolme keha jaoks jõudude skeem, kui kõik need kehad on rasked.
lõikepunkti ( 0; 0 ) nimetatakse ellipsi keskpunktiks. Ellipsi kui joone kuju sõltub ainult arvude a ja c valikust. Definitsioon. Arvu e := c/a nimetatakse ellipsi ekstsentrilisuseks. Kuna a > c > 0, siis näeme, et mistahes ellipsi ekstsentrilisus kuulub vahemikku (0, 1). Leiame ekstsentrilisus ellipsi pooltelgede a ja b kaudu: Kui e=0, siis 1 0 , ehk tegemist on ringjoonega. Mida väiksem e, seda rohkem ellips on lähedane ringjoonele. Omadus 3 (ellipsi optiline omadus): Vaatleme suvalist punkti P ellipsil. Konstrueerime selles F2. Lõik PF1 moodustab puutujaga nurga ja lõik PF2 moodustab puutujaga nurga . Kehtib punktis ellipsi puutuja. Lisaks tõmbame sirglõigud punktist P mõlemasse fookusesse F1 ja omadus = . ·
Tähis tG 8.3 Ümarus Lühend RON (ISO 12181). Tähis tK 23 8.4 Tasapinnalisus Lühend PLN (ISO 12781). Tähis tE 8.5 Silindrilisus Lühend CYL (ISO 12180). Tähis tZ 8.6 Joone- ja pinnaprofiil Jooneprofiil On joone hälve teoreetilisest täpsest joonest, mis on piiratud ringjoonega diameetriga tLP. Tähis tLP Pinnaprofiil Tähis tFP 9 LÄHTED Põhimõisted Lähe, baaspind datum, teoreetiliselt täpne geomeetriline omadus nagu telg, tasapind, sirgjoon jne, mille suhtes tolereerimine toimub. Lähteid võib olla vajadusel mitu, siis on tegemist lähtesüsteemiga. Lähte asukoht, datum feature - tegelik koht (nt äär, pind.ava jne), millega määratletakse lähet.
Miks mitte välja tuua ka imaginaararvu , mille abil laiendasime reaalarve komp- leksarvudele [lk 89] või iluideaaliks loetud kuldlõike arvu [lk 135]. Käesolevas peatükis räägime aga pikemalt kahest teisest põnevast ja kuulsast arvust, millest ei saa üle ega ümber ka koolimatemaatikas. Tutvustame tegelasi: ja e. Arv seostub kõigile meile ilmselt ringjoonega. Nii alustamegi arvuga tutvumist väikese mõtisklusega ringjoonest. Kuidas mõelda ringjoonest? Ringjoon on ilus matemaatiline objekt, millele ei ole muidugi raske leida ka päris- maailmas vastet. Nii nagu igapäevaelus kohtame ringikujulisi objekte väga erine- vates olukordades, saab ringjoonest ka matemaatiliselt mitut moodi mõelda. 96
ja igale tasandi punktile vastavad selle koordinaadid ehk u ¨ks reaalarvude j¨arjestatud paar. Piirkonnaks nimetatakse (x, y)-tasandi punktide alamhulka. Tasandilisi piirkondi hakkame t¨ahistama s¨ umboliga D. N¨aiteks piirkond D = {(x, y)| x2 + y 2 1} on tasandi niisuguste punktide hulk, mis asuvad koorinaatide alguspunk- tist mitte kaugemal kui u ¨ks u¨hik ehk u¨hikulise raadiusega ring koos seda u ¨ mbritseva ringjoonega. Piirkonda piiravat joont nimetatakse piirkonna rajajooneks ja rajajoone punkte piirkonna rajapunktideks. Rajajoonel mitte asuvaid punkte nimeta- takse piirkonna sisepuntideks. Piirkonsa nimetatakse kinniseks, kui see sisaldab k~oiki oma rajapunkte, st sisaldab rajajoont. Piirkonda nimetatakse lahtiseks, kui see ei sisalda u ¨htegi rajapunkti. Edaspidi kujutame joonistel kinnise piirkonna rajajoont pideva joonega
L 2 r 2 r L L L Joonelemendist võetud joonintegraal piki mingit kõverat võrdub selle kõvera pikkusega, s.t. antud juhul dl L . Järelikult saame magnetilise induktsiooni vektori tsirkulatsiooni L arvutamiseks mööda lõpmata pikka vooluga sirgjuhet ümbritseva ringjoont valemi C B ( L ) B dl 0 I , L võrdudes ringjoonega ümbritsetud voolu ja konstandi 0 korrutisega. Saadud tulemust on võimalik üldistada ja suvalise kujuga kinnise kõvera jaoks, mis võib ümbritseda ka mitut voolu, ka ei tarvitse tegu olla ilmtingimata sirgvooludega. Sel juhul tuleb muidugi arvestada, et enam ei kehti sümmeetria nagu ühe lõpmata pika sirgvoolu ja seda ümbritseva ringjoone korral. Nimetatud üldistus kannab koguvoolu seaduse nime. Koguvoolu seadus
Lainepikkus l on sellepärast lühem, et ka t ( kvandi laine periood ) on lühem. See tähendab seda, et mida kaugemale sooritatakse aja rännak, seda aeglasem on liikumiskiirus. Plancki konstandi h avaldistest: järelduvad h dimensioonid: nendeks on AEG * ENERGIA ( ehk J * s ) ning IMPULSIMOMENT ( ehk ( kg*m/s )*m. Seega on h tegelik väärtus järgmine: sest L ( impulsimoment ) on seotud ringliikumisega ringjoonega c järgmiselt. Raadiuse r ja ringjoone c suhe on järgmine: ja seega impulsimoment on Kuid arvestades seoseid saame impulsimomendi seose 2 piiga: Plancki konstant on sisuliselt impulsimomendi jäävuse seadus. Selline on h füüsikaline sisu. Seega on ka määramatuse seosed impulsimomendi jäävuse seadused ja nad on üksteisega seotud ja võrdsed: Põhjus, et miks keha energia vähenemisel ajas kaugemale liigutakse, tulenebki
annaabi.ee 
