Statistika teadus, mis käsitleb arvandmete Objekt-tunnustabel tabel, kus uuritava kogumist, töötlemist ja analüüsimist. andmed on esitatud. Matemaatiline statistika matemaatika haru, Pidev tunnus võib omandada kõiki mis uurib statistiliste andmete põhjal järelduste reaalarvulisi väärtusi mingist piirkonnast (nt tegemise meetodeid. kaal, kasv, aeg ja temp). Üldkogum kas looduse või ühiskonna Diskreetne tunnus võib omandada vaid nähtus või objektide hulk, mille kohta soovime üksteisest eraldatud väärtusi. Saadakse teha teaduslikult põhjendatud järeldusi. tavaliselt loendamisel (nt perekonnaliikmete Valim mõõtmiseks võetud üldkoogumi osa. arv, õpilaste arv klassis)
Selleks, et valim annaks üldkogumi kohta objektiivset ja usaldatavat informatsiooni, tuleb valimi liikmed valida juhuslikult. Juhuslikkuse printsiibi rakendamiseks on mitmeid võimalusi, näiteks loosimine, arvude genereerimine arvutil, valimine iga teatud fikseeritud sammu tagant (näiteks iga 10.) jne. 2. Mille poolest erinevad diskreetsed ja pidevad tunnused? Too mõlema kohta näiteid! Pidev tunnus võib omandada kõiki reaalarvulisi väärtusi mingist piirkonnast, omab lõpmata palju võimalikke väärtsui (pikkus, kaal, aeg, temperatuur, jne.). Diskreetne tunnus võib omandada vaid üksikuid üksteisest eraldatud väärtusi, tavaliselt suhteliselt vähe võimalikke väärtusi. Need leitakse tavaliselt loendamise teel (õpilaste arv klassis, perekonnaliikmete arv, jne.). Diskreetse suuruse võimalikud väärtused erinevad üksteisest mingi lõpliku arvu võrra. 3
Vajalik on selleks, et saada võimalikult esinduslik valim ning seeläbi tõepärasemad järeldused üldkogumi kohta. Comment: Question 2 Mille poolest erinevad diskreetsed ja pidevad tunnused? Too mõlema kohta näiteid! Complete Mark 5.0 out of 5.0 Pidev tunnus võib omandada kõiki reaalarvulisi väärtusi mingist piirkonnast ehk mõõtmise käigus võidakse saada kõiki väärtusi, mis on seotud pideva skaalaga. Pidev arvtunnus saadakse enamasti füüsikalise mõõtmise tulemusena. Pidevad tunnused on näiteks inimese vanus, kasv, kaal, õhutemperatuur jms. Diskreetsed tunnused on tunnused, mis saavad omandada väärtusi ainult
kinganumber, rahvaarv ja riigi pindala. Mittearvulised tunnused(ei ole arvulised) on näiteks sugu, rahvus, haridus, juuste värv, perekonnaseis jne. Mittearvulised tunnused jagunevad a) nominaalseteks tunnusteks; b) järjestustunnusteks. Diskreetne tunnus võib omandada vaid üksteisest eraldatud väärtusi. Diskreetse tunnuse väärtused saadakse tavaliselt loendamise teel, näiteks elanike arv majas, õpilaste arv klassis vms. Pidev tunnus võib omandada kõiki reaalarvulisi väärtusi mingist piirkonnast. Näiteks kaal, kasv, aeg ja temperatuur on pidevad tunnused. Variatsioonrida korrastatud andmete rida, kasvavas järjekorras. Sagedustabel näitab, mitmel korral antud tunnus saab antud väärtuse. Jaotustabel näitab tunnuse väärtuse suhtelist esinemissagedust.
Kvartiilid- tunnuse väärtused variatsioonireas, mis jagavad variatsioonirea neljaks ligikaudseks võrdseks osaks Dispersioon- hälvete ruutude keskväärtus Standardhälve-iseloomustab tunnuse hajuvust. Mida suurem see on, seda suurem on hajuvus. Keskmine hälve- hälvete aritmeetiline keskmine Variatsioonireakordaja- standardhälbe ja keskväärtuse suhe. Esitatakse tavaliselt protsentides. 4)Tunnused a) arvtunnused ehk kvantitatiivsed tunnused Pidev- võib omandada kõiki reaalarvulisi väärtusi mingist piirkonnast. Diskreetne- tunnus võib omandada vaid üksteisest eraldatud väärtusi. Diskreetse tunnuse väärtused saadakse tavaliselt loendamise teel b) mittearvulised ehk kvalitatiivsed tunnused Järjestustunnus- tunnus, mille väärtusi saab sisu põhjal järjestada Näiteks küsimusele antud hinnangvastused (meeldib, olen ükskõikne, ei meeldi), hinded (väga hea, hea, keskpärane, puudulik).
aritmeetiliste ruutjuurte jagatisega. Ruut võrrand Võrrandit ax²+bx+c=0, milles a, b ja c on antud arvud (a0) ja x on tundmatu, nimetatakse ruutvõrrandiks. ax² + bx + c = 0 a ruutliikme kordaja ax² ruutliige b lineaarliikme kordaja bx lineaarliige c vabaliige Valem. Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mida saab esitada kujul . Seejuures tähistavad a, b ja c reaalarvulisi kordajaid. Ruutvõrrandi lahendamiseks saab kasutada valemit . Kui a=1, on tegemist taandatud ruutvõrrandiga, kuid ka sellisel juhul on võimalik lahendeid leida üldise ruutvõrrandi lahendivalemi abil. Diskrimnant Ruutvõrrandil on alati kaks lahendit, see on tagatud valemis sisalduva ruutjuurega. Erijuhtudel võivad lahendid kattuda (kokku langeda). Ruutvõrrandil võivad ka reaalarvulised lahendid puududa
aega ja raha saab kokku hoida, aga tulemused võivad ikkagi tulla vajaliku täpsusegaJUHUSLIK VALIM-saame, kui koostame üldkogumist mingi nimekirja ja võtame sealt juhuslikult välja uuritavad objektidKÕIKNE VALIM-kui valim langeb kokku üldkogumigaARVTUNNUS- kvantitatiivne tunnus; tunnus mille väärtuseks on arvudMITTEARVULISED- kvalitatiivsed tunnused, tunnus mille väärtuseks ei ole arvudPIDEV TUNNUS-võib omandada kõiki reaalarvulisi väärtusi mingist piirkonnast(KAAL, KASV)DISKREETNE TUNNUS-võib omandada vais üksteisest eraldatud väärtusi(pereliikmete arv)JÄRJESTUSTUNNUS-väärtusi saab sisu põhjal järjestada(meeldib ei meeldi)NOMINAALTUNNUS-neid ei ole mõtet väärtuse järgi järjestada(rahvus, silmade värv)BINAARNE TUNNUS-on ainult 2 teineteist välistavat väärtust(susgu)KODEERIMINE-tunnuste väärtuste hulga teisendamine, milles igale tunnuse esialgsele väärtusele seatakse
The conditions B > A and H, C > 0 have to be true. The function value y will be calculated in the following points while x B : A A+H A + 2H A + 3H ... 3 Function Funktsiooni graafik 4 Joonis 1. Funktsiooni graafik punkti (0;17) ümber Joonis 2. Funktsiooni graafiku üldkuju Programmi selgitus Antud programm leiab iseseisvalt ühe ette antud funktsiooni reaalarvulisi lahendeid 5 kasutaja valitud vahemikus ning kasutaja poolt valitud sammuga ja väljastab saadud tulemused ekraanil. Esiteks kuvab programm kasutajale ette antud funktsiooni. Siis palub kasutajal sisestada eraldi algväärtuse A, sammu H ning lõppväärtuse B. Programm salvestab talle antud väärtused ning hakkab alates ette antud x-i väärtusest A iga sammu H tagant funktsiooni väärtust arvutama
Järjestustunnus tunnus, mille väärtusi saab sisu põhjal järjestada, nt matemaatika kt hinne, skaala küsitluses. Nominaaltunnus tunnus, millel on rohkem kui kaks erinevat väärtust, kuid ei leidu ühtegi sisulist järjestust, mis haaraks kõik tunnuse väärtused, nt rahvus, silmade värv. Binaarne tunnus ainult kaks teineteist välistavat tunnust, nt sugu. Pidev tunnus võib omandada kõiki reaalarvulisi väärtusi mingist piirkonnast, nt kaal, kasv, aeg, temperatuur. Diskreetne tunnus - tunnus võib omandada vaid üksteisest eraldatud väärtusi, väärtused saadakse tavaliselt loendamise teel, nt elanike arv majas, õpilaste arv klassis vms. Statistiline rida juhuslikus, elementide mõõtmise vm järjekorras väärtused, saame arvude rea x1,x2,x3, ... , xn. Variatsioonrida katse korduval sooritamisel saadud tulemuste esitamine mittekahaneva või mittekasvava järjendina
Näide 3. Lahendame võrrandi x x-2 Sellise kujuga võrrandeid tuleb sageli ette tekstülesannete lahendamisel. Ka siin leiame ühise Nimetaja ja lihtsustame avaldist: 4 4 4( x - 2) - 4 4 x - 8 - 4 4 x - 12 - = = = x x-2 x ( x - 2) x ( x - 2) x ( x - 2) . Võrde põhiomaduse järgi saame nüüd 4 x - 12 = 2, x ( x - 2) millest 2x(x2)=4x12 ehk 2x2 8x + 12 = 0, x2 4x + 6 = 0. Sellel võrrandil reaalarvulisi lahendeid ei ole, seega puuduvad lahendid ka murdvõrrandil. 1 Kõrgema astme võrrandid Lahendivalemid on tuletatud ka kolmanda ja neljanda astme võrrandite jaoks, kuid need on küllalt keerulised. Tihti on aga võimalik kõrgema astme võrrandeid lahendada korrutiseks teisendamise abimuutuja kasutamise või mõne muu võttega. Tutvume mõningate selliste
objektid valitakse välja täiesti juhuslikult üldkogumi kõigi objektide hulgast. Planeeritud valim valimisse kuuluvad objektid määratakse katseplaani järgi. Kõikne valim, valim langeb ühte üldkogumiga. Valim peab olema:*küllalt arvukas *igal üldkogumi objektil peab olema võrdne võimalus valimisse sattuda. Objekt-tunnustabel saab kasutada:* andmed õpilaste kohta* riigiakadeemiasse sisseastumiskatsed. Arvulised tunnused:*Pidev tunnus võib omandada kõiki reaalarvulisi väärtusi mingist piirkonnast (kasv, kaal, aeg, temperatuur).*Diskreetse tunnuse väärtused on täisarvulised. Need leitakse tavaliselt loendamise teel (perekonnaliikmete arv, õpilaste arv). Mittearvulised tunnused:*Järjestustunnuse (ei meeldi, olen ükskõikne, meeldib)*Binaarseks tunnuseks(mees/naine) *Nominaaltunnuseks (rahvus, silmade värv, kutseala). Kodeerimiseks nimetatakse tunnuse väärtushulga teisendamist,
1. Statistiline kogum – uuritav kogum, mille kohta tahetakse järeldusi teha 2. Arvtunnus – arvuline tunnus – tunnus, mille väärtuseks on arvud, nt inimese pikkus, palga suurus. Jaguneb pidevateks ja diskreetseteks. 3. Mittearvuline (nominaal) tunnus – tunnus, mille väärtuseks ei ole arvud, nt rahvus, silmade värv 4. Pidev tunnus – tunnus, mis võib saada kõiki reaalarvulisi väärtusi mingist piirkonnast, nt kehakaal, temperatuur. 5. Diskreetne tunnus – tunnus, mis võib saada vaid üksikuid eraldiseisvaid (tavaliselt täisarvulisi) väärtusi. Nt seemnete arv viljapeas, tähtede arv sõnas, lehekülgede arv raamatus. 6. Statistiline rida – uuritava kogumi objektide mõõtmisel saadav vaadeldava tunnuse väärtuste rida. (andmed ajalises/mõõtmise järjekorras, kõige varasem ees) 7
FUNKTSIOON Järgnevas on muutuv suurus selline suurus, mis võib omandada mitmesuguseid reaalarvulisi väärtusi. Nende väärtuste hulka nimetatakse muutuva suuruse muutumispiirkonnaks. Funktsioon f on eeskiri, mis seab ühe muutuva suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast X vastavusse teise muutuva suuruse y kindla väärtuse selle muutumispiirkonnast Y. Arvu x nimetatakse funktsiooni f argumendiks ehk sõltumatuks muutujaks ja hulka X funktsiooni f määramispiirkonnaks, arvu y nimetatakse funktsiooni
Näide Lahendame võrrandi x 4 3x 2 4 0. Lahendus Teeme asenduse x2 = y, saame y 2 3 y 4 0. Tekkinud abivõrrandi lahendame taandatud ruutvõrrandi lahendivalemi abil: 2 3 3 y1, 2 4 2 2 y1 1 y2 4 algusesse Näide Seosest x2 = y leiame, et y = 4 korral x1 = 2 x2 = -2 y = -1 reaalarvulisi lahendeid ei anna Ruutvõrrandi ja biruutvõrrandi puhul tuleb saadud lahendeid kontrollida täpselt samuti nagu lineaarvõrrandi korral. algusesse
Nt hinnang (meeldib, ei meeldi jne). Nominaaltunnused ei ole väärtuse järgi mõtet järjestada. Nt rahvus, silmade värv, kutseala. 8. Mis on diskreetsed, mis pidevad arvtunnused? Too näiteid. Diskreetsed võib omandada vaid üksteisest eraldatud väärtusi. Selle väärtused saadakse tavaliselt loedamise teel. (Nt pereliikmete arv, õpilaste arv klassis). Pidevad võib omandada kõiki reaalarvulisi väärtusi mingist piirkonnast. (Nt kaal, kasv, aeg). 9. Mis on kodeerimine? Tunnuste väärtuse hulga teisendamine, milles igale tunnuse esialgsele väärtusele seatakse vastavusse uus väärtus kood. 10. Mis on andmekirjeldus? Miks on see vajalik? Andmekirjeldus sisaldab:*tunnuste nimesid ehk identifikaatoreid;*tunnuste tüüpe;*kodeerimiseeskirju;*arvuliste (kvantitatiivsete) tunnuste korral ka mõõtühikuid
Kummas klassis tehti töö paremini? Et võrrelda erineva mahuga kogumeid, on otstarbekas kasutada sageduste asemel suhtelisi sagedusi. f f W= ; W(%)= W = *100% N N 3 W(%)= * 100% = 0,11 ~ 11% 28 x 2 3 4 5 Wa 11% 25% 36% 28% 100% Wb 9% 23% 41% 27% 100% W1 + W2 + W3 + ... + Wn = 100% Tunnused Arvuline: Pidev tunnus: nimetatakse tunnust, mis võib saada kõiki reaalarvulisi väärtusi mingist piirkonnast. Diskreetne tunnus: nimetatakse tunnust, mis võib saada vaid teatud üksikuid väärtusi tavaliselt täisarvulisi. 02) Ühe klassi õpilaste pikkuse variatsioonirida on järgmine: 156, 158, 159, 160, 160, 162, 163, 163, 163, 165, 165, 165, 166, 166, 167, 167, 167, 167, 168, 168, 168, 169, 170, 171, 171, 172, 173, 173, 173, 174, 174, 176, 184. N=33. Kui kogumi tunnus on pidev või diskreetse tunnuse liikmeid on väga palju ei esitata sagedustabelis
Hinnang valimi põhjal üldkogumi kohta tehtud järeldus. Tunnused iseloomulik omadus, mille poolest nähtused üksteisega sarnanevad või üksteisest erinevad. Tunnuseks nimetatakse üldkogumisse kuuluvate objektide mingit arvulist või kvalitatiivselt kirjeldatavat näitajat, mida on põhimõtteliselt võimalik mõõta. Kvantitatiivsed tunnused (arvtunnused) tunnused, mille väärtusteks on arvud. Arvtunnused jaotatakse: · Pidev tunnus võib omandada kõiki reaalarvulisi väärtusi mingist piirkonnast (nt. kaal, kasv, aeg, temperatuur) · Diskreetne tunnus võib omandada vaid üksteisest eraldatud väärtusi. Saadakse tavaliselt loendamise teel (nt. perekonnaliikmete arv, õpilaste arv klassis). Kvalitatiivsed tunnused (mittearvtunnused) tunnused, mille väärtusteks ei ole arvud. Mittearvulised tunnused jaotatakse: · Järjestustunnus tunnus, mille väärtusi saab sisu põhjal järjestada. Näiteks
ringi keskpunkti, samuti sellise sirglõigu pikkust. Diameeter on raadiusest 2 korda pikem. Ruutjuurealust avaldist (b² - 4ac) nimetatakse ruutvõrrandi ax² + bx + c = 0 diskriminandiks ja tähistatakse tähega D. Näide 1 Kui D > 0, siis on ruutvõrrandil 2 reaalarvulist lahendit. Näide 2 Kui D = 0, siis on ruutvõrrandil 2 ühtivat (võrdset) reaalarvulist lahendit. Näide 3 Kui D < 0, siis ruutvõrrandil ei ole reaalarvulisi lahendeid. Eratosthenese sõel meetod algarvude leidmiseks. Selgitus : Kirjutame välja arvud 1-st n-ni: 1, 2, 3, 4, ..., n. Kriipsutame maha arvu 1, mis ei ole algarv. Edasi võtame arvu 2 ja kriipsutame maha kõik tema kordsed: 4, 6, 8 jne. Pärast seda on esimene allesjäänud arv 3. Kriipsutame maha kõik arvu 3 kordsed: 6, 9, 12 jne. Järgmine allesjäänud arv on 5, kriipsutame maha kõik arvu 5 kordsed jne. Kui oleme niiviisi kõik
Tunnus on iseloomulik omadus, mille poolest nähtused üksteisega sarnanevad või üksteisest erinevad. 1. arvulised ehk kvantitatiivsed: Pidev tunnus võib omada kõiki reaalarvulisi väärtusi Diskreetne tunnus saavad omada väärtusi ainult kindlate vahemike järel 2. mittearvulised ehk kvalitatiivsed: Järjestustunnus loogiliselt järjestatavad (haridustasemed) Nominaaltunnus - vastusevariantide jaoks ei leidu sisulist järjestust (rahvus) Binaarne tunnus tunnus, millel on ainult kaks võimalikku väärtust (sugu) Kogumi maht (liikmete arv) Moodustatavate rühmade arv 40 60 68
· Kahe rea asukoha vahetamine · Rea korrutamine mis tahes nullist erineva arvuga · Ühele reale minig nullist erineva arvuga korrutatud sama maatriksi mõne teise rea liitmine. Süsteemi laiendatud maatriks tuleb teisendada treppkujule, mille abil saab otsustada süsteemi lahendavuse ja lahendite arvu üle ning leida ka kõik esialgse süsteemi lahendid. Üldlahend sisaldab tundmatut C, mis võib omandada mis tahes reaalarvulisi väärtusi. Andes C-le mingi väärtuse, nt C=1, siis saame süsteemi ühe lahendi, mida nim erilahendiks. 8. Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju. Maatrikskujul antud võrrandisüsteemi lahendamisest. Tundmatute maatriks Ja vabaliikmete maatriks A on kordajate ehk süsteemimaatriks. AX=B X=A-1B Nt: 9. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine Gaussi meetodiga.
Selle võrrandi lahendid on 1 ja 3. Murdvõrrandi puhul tuleb teha lahendite kontroll ! Kontrollimine näitab, et mõlemad lahendid sobivad. Näide 23 Lahendame võrrandi Sellise kujuga võrrandeid tuleb sageli ette tekstülesannete lahendamisel. Ka siin leiame ühise Nimetaja ja lihtsustame avaldist: . Võrde põhiomaduse järgi saame nüüd millest 2x(x–2)=4x–12 ehk 2x2 –8x + 12 = 0, x2 – 4x + 6 = 0. Sellel võrrandil reaalarvulisi lahendeid ei ole, seega puuduvad lahendid ka murdvõrrandil. Näide 24 Lahendame võrrandi Lihtsustame võrduse vasakut ja paremat poolt: , Lahendame nüüd võrrandi Nüüd Ruutvõrrandi –t2 + 42t – 80 = 0 lahendid on 40 ja 2. Lahenditeks ei saa olla (–7) ja 7. Mõningate murdvõrrandite puhul tuleb kasutada asjaolu, et näiteks x – 1 =–(1 +x) vms. Näide 25 Lahendame võrrandi
Need kohad on nullkohad, sest neis kohtades sin x=0. · Suurim väärtus on 1 ja vähim -1. 5.10 Funktsioon y=cos x Koosinusfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2. · Vähim väärtus -1, suurim 1. Kõik need väärtused korduvad iga 2 järel. · Koosinusfunktsiooni nullkohad avalduvad kujul: 5.11 Funktsioon y= tan x Funktsioon on perioodiline perioodiga . · Puudub vähim ja suurim väärtus, st tanfunktsioon saab kõikvõimalikke reaalarvulisi väärtusi · Nullkohad korduvad iga järel ja esituvad kujul x=n 5.12 Ringjoone kaare pikkus Olgu vaadeldava kaare l raadius r ja kaarele vastav kesknurk x radiaani. Et kesknurgale 1 rad vastab kaare pikkus r, siis kesknurgale x rad vastab x korda pikem kaar xr. l=xr 5.13 Sektori pindala Ringi sektoriks nimetatakse ringi osa, mida piiravad selle ringi kaks raadiust. Ühe ja sama ringi korrale on sektori pindala võrdeline vastava kesknurga suurusega
tegemist on mittelahenduva e vasturääkiva võrrandisüsteemiga, kui lahendid puuduvad. Lahendite arv: lahendid puuduvad, kui maatriksi reas ainsaks nullist erinevaks arvuks on vabaliige kui lahenduvas süsteemi tundmatud on n ja astmelisele kujule viidud maatriksi juhtelemendid on k, siis kui n = k on süsteemil ainult üks lahend k < n aga on süsteemil lõpmata palju lahendeid Üldlahend sisaldab tundmatut C, mis võib omandada mis tahes reaalarvulisi väärtusi. Erilahendi korral on C-le antud konkreetne arvuline väärtus. 8. Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju. Maatrikskujul antud võrrandisüsteemi lahendamisest. maatrikskuju: AX = B. võrrand, kus maatriks ise on otsitavaks. süsteemil on üks lahend, kui süsteemi maatriksil A leidub pöördmaatriks A-1 (detA on nullist erinev) ja võrrandeid ja tundmatuid on ühepalju (m = n). lahend avaldub: X = A-1B näiteks: Crameri valemid: 9
järgi. Kompleksarve aga ei saa järjestada suuruse järgi. Näiteks ei saa määrata, kumb kompleksarv on suurem kas 2 + 3i või 3 + 2i. Teema alguses selgitasime, et mitte igal ruutvõrrandil pole reaalarvulisi lahendeid. 1pr.k.imaginaire - kujutletav. Nimetuse imaginaire võttis tarvitusele prantsuse matemaatik Nad on olemas vaid siis, kui võrrandi ax2 + bx + c = 0 diskriminant on kas positiivne Rene Descartes 1637.a. või null (s.t. D = b2 - 4ac 0). Esimesel juhul on võrrandil kaks erinevat reaalarvulist 2Sõna "kompleksne" tähendab eesti keeles "liitne"; selle nimetuse andis arvudele
4)Mitmemõõtmelise muutuva suuruse ja mitmemuutuja funktsiooni mõisted. Mitmem~ o~ otmelised muutuvad suurused. Olgu x1 , x2 , . . . , xm reaalarvulised muutuvad suurused. Suurustest x1 , x2 , . . . , xm moodustatud j¨arjestatud s¨ usteemi P = (x1 , x2 , . . . , xm ) nimetatakse m-m~ o~otmeliseks muutuvaks suuruseks ehk m- m~o~ otmeliseks muutujaks. m-m~ o~otmelise muutuva suuruse P = (x1 , x2 , . . . , xm ) reaalarvulisi kompo- nente x1 , x2 , . . . , xm nimetatakse suuruse P koordinaatideks. Kuna muutujate x1 , x2 , . . . , xm v~oimalikeks v¨a¨ artusteks on reaalarvud, siis m-m~o~ otmelise muutuva suuruse P = (x1 , x2 , . . . , xm ) v~oimalikeks v¨a¨ artusteks on ruumi Rm punktid. Muutuva suuruse P = (x1 , x2 , . . . , xm ) k~oigist v~oimalikest v¨a¨ artustest moodus-
lim 1+ = e. (4.5) x x Lause 4.2 Kehtib valem n lim n = 1. (4.6) n 44 4.6. Tähtsad piirväärtused 4.6 Pidevad funktsioonid Vaatleme reaalarvulisi funktsioone y = f (x), x X R. Definitsioon 4.12 Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis a, kui lim f (x) = f (a). (4.7) xa Vastasel korral nimetatakse funktsiooni katkevaks punktis a. Märkus 4.5 Selleks, et funktsioon oleks pidev punktis a, peavad olema täidetud järgmised kolm tingimust: 1. funktsioonil on olemas kindel väärtus f (a); 2
OHMI SEADUS - Leia mitme amprilist kaitset me peaksime kasutama, kui minu veeboleri võimsus on 3000W.Kasuta voolutugevuse arvutamise valemit I=P/U. Ümarada vastus ülespoole täisarvuni. Tavaliselt peaks pinge olema 220V RUUTVÕRRAND - ax2+bx+c=0 on ruutvõrrand. Sisestatakse ruutvõrrandi kordajad (a,b,c). Algoritm leiab väärtused x1-le ja x2-le ehk ruutvõrrandi reaalarvulised lahendid. Arvestada tuleb kindlasti sellega, et alati ei ole ruutvõrrandil reaalarvulisi lahendeid. o a – ruutliige (a ≠ 0) o b – lineaarliige o c – vabaliige INTRESS - sul on pangas 2000€ ja pank maksab iga aasta inressi 2%. Leia oma lõppsumma 5 aasta pärast. REDELI PIKKUS - kasutaja sisestab vajaliku kõrguse ning sinu programm leiab vajaliku redeli pikkuse. Arvesta, et redeli alumine ja ülemine pulk asuvad 15cm kaugusel ning pulkade vahekaugus on 25cm. Tsüklid TÄRNID - Genereeri 100 tärni kümnes veerus
m¨ a¨ aramispiirkonnaks ja hulka f (X) = {y| x X y = f (x)} Y funktsiooni f muutumispiirkonnaks. Elementi x nimetatakse funktsiooni f argumendiks ehk s~ oltumatuks muutujaks ja elementi y s~ oltuvaks muutujaks. Kasutatakse ka t¨ahistust y = y(x) r~ohutamaks fakti, et suurus y on suuruse x funkt- argnevalt piirdume juhuga X R ja Y R. Muutuvaks suuruseks nimetatakse sioon. J¨ suurust, mis v~oib omandada mitmesuguseid reaalarvulisi v¨a¨artusi. Nende v¨a¨artuste hulka nimetatakse muutuva suuruse muutumispiirkonnaks. Definitsioon 2. Kui hulga X R igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y R, siis ¨ oeldakse, et hulgal X on m¨a¨aratud (¨ uhene) u ¨he (reaal-)muutuja (reaalsete v¨a¨ artustega) funktsioon f. Arvupaaride hulka {(x, y)| x X y = f (x)} nimetatakse funktsiooni f graafikuks. Anal¨
. } on kõigi positiivsete paarisarvude hulk. · Antud kirjaviisis mõttepunktid (kolm punkti) tähendavad seda, et jätka loendust ,,samal viisil". · Hulga elementide loendi esitamise asemel võib hulga määrata ka temasse kuulumise tingimuse abil. · Sellistel juhtudel kasutame kirjeldusviisi A = {x : p(x)} või A = {x | p(x)}, kus p(x) tähistab tingimust või tingimuste loetelu, mida vaadeldavasse hulka kuuluvad elemendid x peavad rahuldama. o Näiteks, kui uurime võrrandi reaalarvulisi lahendeid, siis: · A={x (x-1)( x+2)(x +3)=0 } on kõigi selliste reaalarvude x hulk, mis rahuldavad võrrandit ( x-1)(x+2)(x +3)=0 ehk A on selle võrrandi reaalarvuliste lahendite hulk. Me oleks võinud ka kirjutada, et A = {1, -2, -3} Tähtsamad arvuhulgad · Naturaalarvude hulk = {1, 2, 3, . . . }; · Täisarvude hulk = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . }; · Ratsionaalarvude hulk = {qq=m n , m Z , n N } ; · Reaalarvude hulk ; · Irratsionaalarvude hulk ;
Käsu- nupuga Purge kustutakse vasakpoolsest loetelust kõik need materjalid, mida ei ole omistatud ühelegi objektile. Käsunupp Delete annab võimaluse materjali kustutamiseks. Käsunuppude Save..., Save As..., ja Save As... abil toimub materjali salvestamine mingisse kausta. Käsunupp Open... käivitab materjalifailide (laiendiga .mli) otsimise dialoogakna. Materjalide loomisel ja modifitseerimisel on erinevate materjalitüüpide puhul kasutusel rida materjaliomadusi (enamik neist omab reaalarvulisi väärtusi nullist üheni): · Color/Pattern materjali (hajuv) põhivärvus; · Ambient materjali varju värvus; · Reflection materjali peegeldusvärvus; · Roughness materjali karedus/hiilgus; · Transparency materjali läbipaistvus; · Refraction materjali peegelduvus (vaid kujutisetüübi Photo Raytrace puhul); · First Color, Second Color, Third Color, Fourth Color materjali neli osavärvust;
Ilm Päevade arv Vihmane 6 Päikseline 22 Vahepealne 2 70 Valemina Teine levinud viis on funktsiooni esitamine valemina. Näiteks on seeläbi defineeri- tud enamik reaalarvulisi funktsioone. Lihtne näide on ruutfunktsioon: . Algoritmina funktsioon Funktsioone võib esitada ka algoritmiliselt ning eriti osutub see oluliseks just asja-ajamisel arvutitega. Järgmisel lehel näitame, kuidas algoritmina kirja panna faktoriaal ehk esimese arvu korrutis [lk 382]. Sõnaliselt Vahel on kõige lihtsam funktsioone esitada hoopis verbaalselt. Näiteks võiksime
Sõltuvalt tunnuse väärtuse iseloomust jaotuvad tunnused: o arvulisteks ehk kvantitatiivseteks ja o mittearvulisteks ehk kvalitatiivseteks. Kvantitatiivne tunnus numbriliselt väljendatud tulemus. Näiteks on kvantitatiivsed tunnused inimese pikkus, kehakaal, tema keskmine palk, elanike arv riigis jpt numbriliselt mõõdetud tunnused. Arvulised tunnused jaotatakse omakorda pidevateks või diskreetseteks. Pidev tunnus võib omandada kõiki reaalarvulisi väärtusi mingist piirkonnast ehk mõõtmise käigus võidakse saada kõiki väärtusi, mis on seotud pideva skaalaga. Pidev arvtunnus saadakse enamasti füüsikalise mõõtmise tulemusena. Pidevad tunnused on näiteks inimese vanus, kasv, kaal, õhutemperatuur jms. Diskreetsed tunnused on tunnused, mis saavad omandada väärtusi ainult kindlate vahemike järel ehk on piiratud väärtusvaruga näitajad (laste arv perekonnas,
Sisestamiskäsku kirjutades on süntaksi järgi võimalik kasutada kas koma või semikoolonit. Seda,
mis toimub ühe või teise eraldaja kasutamise korral, on õpetlik endal järele proovida.
VÄLJUNDI VORMISTAMINE
Mis on väljundi vormistamine?
Tihti on vaja vormistada väljastatav informatsioon mingisugusele nõutud kujule. Kõige
tavalisem on andmete esitamine tabelina. Põhjuseks on tabelina esitatud andmete parem
loetavus. Sageli soovitakse näha reaalarvulisi andmeid ühesuguse hulga kohtadega pärast koma
jne. Selleks on paljudes programmeerimiskeeltes väljastamisprotseduurile lisatud juba
spetsiaalsed vormistamise vahendid.
Väljundi vormistamise võimalused keeles Pascal
Väljastusprotseduurile 'Write' etteantud avaldise võib kirja panna ka järgmise süntaksi järgi:
semikoolonit. Seda, mis toimub ühe või teise eraldaja kasutamise korral, on
õpetlik endal järele proovida.
Väljundi vormistamine
Mis on väljundi vormistamine?
Tihti on vaja vormistada väljastatav informatsioon mingisugusele nõutud
kujule. Kõige tavalisem on andmete esitamine tabelina. Põhjuseks on tabelina
38 / 115
esitatud andmete parem loetavus. Sageli soovitakse näha reaalarvulisi
andmeid ühesuguse hulga kohtadega pärast koma jne. Selleks on paljudes
programmeerimiskeeltes väljastamisprotseduurile lisatud juba spetsiaalsed
vormistamise vahendid.
Väljundi vormistamise võimalused keeles Pascal
Väljastusprotseduurile 'Write' etteantud avaldise võib kirja panna ka järgmise
süntaksi järgi:
annaabi.ee 
