Tallinn 2012
Autorideklaratsioon
Kinnitan, et käesolev töö on minu töö tulemus ja seda ei ole minu ega kellegi teise poolt
varem esitatud.
Peeter Sikk
121055IASB
Sisukord
Ülesande püstitus
1. Klaviatuuril sisestatakse reaalarv vahemiksu 0-1.
2. Moodustatakse reaalarvuline massiiv A elementidega
·
·
·
......
Kuni massiivi A elementide arv L kas vastab tingimustele || või (kui see tingimus ei
ole rahuldatud) L=15;
3. Ekraanile väljastatakse massiivi A elementide arv L ning elemendid koos oma
indeksiga.
Algoritm
Programmikood
#include
//lesanne
// 1. klaviatuurilt sisestatakse tippude arv N(1<=N<=10) ja nende koordinaatide
reaalarvulised massiivid X ja Y
// 2. ekraanile vljastatakse antud hulknurga klgede pikkuste reaalarvuline
massiiv L.
#include
Variant R-26
Rekursioon
Koostada algoritm ja sellele vastav programm (C- või Java-keeles),
mille abil:
1. klaviatuurilt sisestatakse reaalarvulised X (X<1) ja (0<<1);
2. rekursiivse funktsiooni abil moodustatakse reaalarvuline massiiv A
elementidega
A0 = 1,
A1 = X2/2!,
A2 = X4/4!,
. . .
kuni massiivi A elementide arv L kas vastab tingimusele AL AL 1 või
(kui see tingimus ei ole rahuldatud) L = 15;
3. faili F väljastatakse massiivi A elementide arv L ning elemendid
koos indeksitega.
Programmi kood C keeles
#include
See oli võrdeline sõltuvus. Füüsikalised objektid jagunevad veel kolme rühma: nimelised omadused, kvantitatiivsed diskreetsed omadused ja kvantitatiivsed pidevad omadused. Nimelised omadused tuleb edasi anda sõnades ja neid ei ole võimalik järjekorda panna. Kvantitatiivsed diskreetsed omadustel on kindlad arvud, millel on omakorda täpne väärtus. Näiteks saan lugeda mitu sportlast käib minu trennis. Kvantitatiivsed pidevad omadustel on täpne reaalarvuline väärtus, mis võib olla lõputu (nt pii väärtus). Füüsikalisi suurusi saab jagada kaheks: skalaarsed ja vektoriaalsed suurused. Skalaarsetel suurustel on arvuline väärtus, kuid neil puudub suund. Näiteks aeg, mida iga inimene kasutab iga päev. Vektoriaalsed suurused aga omavad kindlat suunda. Näiteks kiirus. Ma näen iga päev kuidas autod kiirendavad linnas kuid ma ei saa öelda kuhu ta sõidab.
Kõik algandmed on reaalarvulised ning sisestatakse klaviatuurilt. Tulemused kuvatakse (väljastatakse ekraanile) tabeli kujul, mille veergudeks on vastavalt argumendi ja funktsiooni väärtused, st kujul: Argument | Funktsioon X1 | Y1 X2 | Y2 jne NB! Funktsiooni väärtus kuvatakse ainult siis, kui see eksisteerib, st on lõplik reaalarvuline. Vastasel juhul, st kui funktsiooni väärtus kas ei ole määratud (on lõpmatu) või on kompleksarvuline, funktsiooni väärtuse asemele väljastatakse sõnaline vastus `puudub' või `kompleksarvuline' (viimasel juhul ei ole muidugi keelatud väljastada vastus kujul: reaalosa + i imaginaarosa). Matrikli 3 viimast numbrit on 071 -> Meetod 0 ja kuna funktsiooni 71 ei ole siis funktsioon 21. Tabulleerimise meetod(0
Ülesande püstitus
Vastavalt oma matrikli viimasele numbrile valitakse ülesande variant. Koostada tuleb
C-keelne programm.
Tingimused:
1) failist F1 sisestatakse kirjed struktuuriga:
Nimi - string
Vanus naturaalarvuline
Palk reaalarvuline
2) faili F2 väljastatakse keskmisest madalama vanusega kirjed;
3) faili F3 väljastatakse keskmiset suurema palgaga kirjed.
Programmikood
#include
1-q a1 Hääbuva geomeetrilise jada summa: S n = 1-q Piirväärtuse arvutamise valemid. Olgu lim f ( x) = A , lim g ( x ) = B ja k olgu x a x a reaalarvuline konstant. Siis kehtivad järgmised valemid. lim k = k lim x = a lim kf ( x ) = kA x a x a x a lim[ f ( x) + g ( x)] = A + B lim lim[ f ( x) - g ( x)] = A - B x a x a xa
z1z2 = r1r2(cos(fi1 + fi2) + isin(fi1 + fi2));z1/z2 = r1/r2 (cos(fi1 - fi2) + isin(fi1 - fi2)). Juurimine Def. Kompl z n-juureks nim iga kompl w, mille korral wn = z. Teo1.2. Igal nullist erineval kompleksarvul on n erinevat n-juurt .Tões. Olgu z ei= 0, siis saab esitada z = r(cosA + isinA). Tahame leida w = p(cosfi + isinfi) nii, et wn = z, st pn(cos(nA) + isin(nA)) = r(cosfi + isinfi):Kompl'd on võrdsed siis, kui 1) p n = r, st p = nRjr (reaalarvuline juur) ja 2) nA = fi + 2kPi., st A = Fi+2kPi/n , k Z. Arvestame ka seda, et osa juuri langevad omavahel kokku, st ws = wt, kui As = At + 2kPi, k Z. Nii saame, et erinevaid juuri on täpselt n: nRjz = nRJr(cos(fi + 2kPi/n) + isin( fi + 2kPi/ n)); k = 0; 1;.. ; n - 1: Tehted kompleksarvudega algebralisel ja trigonomeetrilisel kujul. Kompleksarvude juurimine ja juurte graafiline kujutamine. Piirkondade kujutamine komplekstasandil. Vektorruum Vektorruumi mõiste
lim =1 n 0 x tan x lim =1 n 0 x ln (1 + x ) lim =1 n 0 x · Funktsiooni piirväärtuse arvutamine, kui x a, a R Olgu lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B ja k reaalarvuline konstant, siis kehtivad järgmised valemid: x a x a ( 1) lim x a k =k ( 2) lim x a x=a ( 3) lim x a kf = kA ( 4) lim x a [ f ( x ) + g( x ) ] = A + B ( 5) lim x a [ f ( x ) - g( x ) ] = A - B ( 6) lim x a [ f ( x ) g( x ) ] = A B f ( x) A ( 7 ) lim x a g ( x ) = , kus B 0 B
z1z2 = r1r2(cos(fi1 + fi2) + isin(fi1 + fi2));z1/z2 = r1/r2 (cos(fi1 - fi2) + isin(fi1 - fi2)). Juurimine Def. Kompl z n-juureks nim iga kompl w, mille korral wn = z. Teo1.2. Igal nullist erineval kompleksarvul on n erinevat n-juurt .Tões. Olgu z ei= 0, siis saab esitada z = r(cosA + isinA). Tahame leida w = p(cosfi + isinfi) nii, et wn = z, st pn(cos(nA) + isin(nA)) = r(cosfi + isinfi):Kompl'd on võrdsed siis, kui 1) pn = r, st p = nRjr (reaalarvuline juur) ja 2) nA = fi + 2kPi., st A = Fi+2kPi/n , k Z. Arvestame ka seda, et osa juuri langevad omavahel kokku, st ws = wt, kui As = At + 2kPi, k Z. Nii saame, et erinevaid juuri on täpselt n: nRjz = nRJr(cos(fi + 2kPi/n) + isin( fi + 2kPi/ n)); k = 0; 1;.. ; n - 1: Vektorkorrutis Ruumis E3 x ja y korrutiseks nim XxY mille korral on täidetud järgm tingimusd 1)Xristi XxY ja YristiXxY 2)|XxY|=|X| |Y|sina 3)X,Y XxY mood paremakäe kogumiku. Omadused 1)XxY=-YxX 2)XxY=¤óx||y kollineaarsed 3
c) leidke m väärtused , mille korral f(x) graafik lõikab y-telge selle positiivses osas, d) leidke m väärtused , mille korral f(x) graafik puudutab x-telge, e) leidke m väärtus , mille korral f(x) ekstreemum asub kohal x = 10 , leidke see väärtus, f x 0 f) leidke m väärtused , mille korral võrrandil x on ainult üks reaalarvuline lahend. Vastus: a) ; 4 0; ; c) m p 0 ; d ) m 1 või m 4 ; e) m 12 ; maksimaalne väärtus on 88. 4 x f x log 2 2. On antud funktsioon x 1 a) leida f(x) määramispiirkond, - 11 - -
d) leidke m väärtused , mille korral f(x) graafik puudutab x-telge, e) leidke m väärtus , mille korral f(x) ekstreemum asub kohal x = 10 , leidke see väärtus, f x 0 x f) leidke m väärtused , mille korral võrrandil on ainult üks reaalarvuline lahend. ; 4 0; ; c) m p 0 ; d ) m 1 või m 4 ; e) m 12 ; Vastus: a) maksimaalne väärtus on 88. 4 x f x log 2 x 1 2. On antud funktsioon a) leida f(x) määramispiirkond, b) antud joone lõikepunkt x-teljega ,
nullist erinevad maatriksid, mille korrutis on nullmaatriks: lühidalt AB=0, A 0, B 0. NB! Arvude hulgas on selline olukord võimatu. MÄRKUS 3. Ühikmaatriks E etendab maatriksite hulgas ÜHIKU osa, st Em×m Am×n = Am×n , Am×n En×n = Am×n . Lühidalt EA = AE = A. 10 RUUTMAATRIKSI DETERMINANT Olgu antud n-järku ruutmaatriks An×n = || ai j ||. Temale seatakse vasta- vusse reaalarvuline parameeter, mida nimetatakse n-ndat JÄRKU DETERMINANDIKS ja mis on sobivalt valitud märgiga kõikvõimalike niisuguste n teguri korrutiste summa, kus tegurid on valitud maatriksi erinevatest ridadest ja erinevatest veergudest. Tähistades maatriksi A determinandi | A |, võib eelöeldu kirja panna järgmiselt: A |A| = (-1) a1 i a2 j . . . an k , (i, j,...,k) kus (i, j,...,k) on n-elemendiline permutatsioon arvudest 1, 2, . . . ,n ja
nullist erinevad maatriksid, mille korrutis on nullmaatriks: lühidalt AB=0, A 0, B 0. NB! Arvude hulgas on selline olukord võimatu. MÄRKUS 3. Ühikmaatriks E etendab maatriksite hulgas ÜHIKU osa, st Em×m Am×n = Am×n , Am×n En×n = Am×n . Lühidalt EA = AE = A. 10 RUUTMAATRIKSI DETERMINANT Olgu antud n-järku ruutmaatriks An×n = || ai j ||. Temale seatakse vasta- vusse reaalarvuline parameeter, mida nimetatakse n-ndat JÄRKU DETERMINANDIKS ja mis on sobivalt valitud märgiga kõikvõimalike niisuguste n teguri korrutiste summa, kus tegurid on valitud maatriksi erinevatest ridadest ja erinevatest veergudest. Tähistades maatriksi A determinandi | A |, võib eelöeldu kirja panna järgmiselt: A |A| = (-1) a1 i a2 j . . . an k , (i, j,...,k) kus (i, j,...,k) on n-elemendiline permutatsioon arvudest 1, 2, . . . ,n ja
võrdsetes ajavahemikes võrdsed kaared. Ühtlaseks sirgjooneliseks liikumiseks nim liikumist, kus keha sooritab mistahes võrdsetes ajavahemikes võrdsed nihked. Ühtlaselt muutuvaks sirgjooneliseks liikumiseks nim liikumist, mille korral keha kiirus muutub mistahes võrdsetes ajavahemikes võrdse suuruse võrra. Vektor on matemaatiline suurus, mida iseloomustavad: 1. siht 2. suund sellel sihil. 3. reaalarvuline väärtus arvväärtus e moodul e vektori pikkus. Vektori projektsioon sirgel võrdub vektori alg- ja lõpppunkti koordinaatide vahega. (skalaarne suurus) 2 Dünaamika ja staatika 1N on jõud, mis annab kehale massiga 1kg kiirenduse 1m/s 2. Archimedese seadus kehale mõjuv üleslükkejõud võrdub välja tõrjutud vedelikule mõjuva raskusjõuga.
· Olgu x1,x2,...,xm reaalarvulised muutuvad suurused. Suurustest x1,x2,...,xm moodustatud järjestatud süsteemi P = (x1,x2,...,xm) nim. m-mõõtmeliseks muutuvaks suuruseks ehk m-mõõtmeliseks muutujaks. (Komponente x1,x2,...,xm nim suuruse P koordinaatideks). · Olgu antud m-mõõtmeline muutuv suurus P = (x1,x2,...,xm) muutujapiirkonnaga D ja reaalarvuline muutuja z. M-muutuja funktsiooniks nim. kujutist, mis seab suuruse P igale väärtusele tema muutujapiirkonnast D vastavusse suuruse z ühe kindla väärtuse. 5) Mitmemuutuja funktsiooni graafik. Kahemuutuja funktsiooni graafiku geomeetriline tähendus ja omadusi. · Olgu z = (x1, x2, . . . , xm) m-muutuja funktsioon määramispiirkonnaga D. Selle funktsiooni graafikuks nim. järgmist ruumi Rm+1 alamhulka: = {(x1, x2, . . . , xm, (x1, x2, . .
Kuna d(uv) = uv + C integraalide tabeli valemi 1 p~ohjal, siis uv + C = vdu + udv. Konstandi C v~oib sellest valemist v¨alja j¨atta, sest m~olemad m¨a¨aramata integraalid udv ja vdu sisaldavad juba m¨a¨aramata konstante. Viies vdu v~orduse teisele poolele saame udv = uv - vdu Saadud avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime. Ositi integreerimise valemit kasutades saab avaldada integraale xn sin(ax)dx, xn cos(ax)dx, xneaxdx, (lnx)ndx, kus n on positiivne t¨aisarv ja a on reaalarvuline konstant. Samuti saab seda v~otet kasutades leida integraale arkusfunktsioonidest. 36. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted . 37. Töö arvutamine sirgjoonelisel liikumisel muutuvas jõuväljas. Tuletada vastav valem. 38. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine. Tuletada vastav valem. 39. Määratud integraali omadused (sh omadused 3 6 koos põhjendustega). Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega. 40
· Olgu x1,x2,...,xm reaalarvulised muutuvad suurused. Suurustest x1,x2,...,xm moodustatud järjestatud süsteemi P = (x1,x2,...,xm) nim. m-mõõtmeliseks muutuvaks suuruseks ehk m-mõõtmeliseks muutujaks. (Komponente x1,x2,...,xm nim suuruse P koordinaatideks). · Olgu antud m-mõõtmeline muutuv suurus P = (x1,x2,...,xm) muutujapiirkonnaga D ja reaalarvuline muutuja z. M-muutuja funktsiooniks nim. kujutist, mis seab suuruse P igale väärtusele tema muutujapiirkonnast D vastavusse suuruse z ühe kindla väärtuse. 5) Mitmemuutuja funktsiooni graafik. Kahemuutuja funktsiooni graafiku geomeetriline tähendus ja omadusi. · Olgu z = (x1, x2, . . . , xm) m-muutuja funktsioon määramispiirkonnaga D. Selle funktsiooni graafikuks nim. järgmist ruumi Rm+1 alamhulka: = {(x1, x2, . . . , xm, (x1, x2, . .
kirjutatakse kujul y = f(x). x sõltumatu muutuja / argument, y sõltuv muutuja Mitme muutuja funktsioon sõltuv muutuja y sõltub korraga mitmest sõltumatust muutujast x (funktsiooni väärtus sõltub mitmest argumendist). Kui üksteisest sõltumatute muutujate x1 , x2 , ..., xn väärtuste igale komplektile (x1 , x2 , ..., xn ) mingist piirkonnast D vastab parajasti üks muutuja w reaalarvuline väärtus, siis öeldakse, et muutuja w on argumentidest x1, x2, ..., xn sõltuv n-muutuja funktsioon, mis on määratud piirkonnas D ja tähistatakse kujul w = f(x1, x2, ..., xn) n = 2 => kahe muutuja funktsioon z = f (x, y), n = 3 => kolme muutuja funktsioon w = f (x, y, z) jne. Kolme või enama muutuja funktsiooni ei ole võimalik graafiliselt kujutada kolmemõõtmelises ruumis. Elementaarfunktsioonid funktsioonid, mida saab moodustada
Näiteks (/ 100 2) annab tulemuseks 50 (/ 100 2.0) annab tulemuseks 50.0 (/ 100 20.0 2) annab tulemuseks 2.5 (/ 100 20 2) annab tulemuseks 2 (/ 7 0) väljastab veateate error: divide by zero Paneme tähele, et vaadeldud nelja aritmeetilise tehte sooritamisel on tulemus täisarvuline vaid siis, kui kõik argumendid on täisarvulised, vastasel juhul on tulemus reaalarvuline. Eriti tuleb seda silmas pidada jagamise korral, kus täisarvude jagamisel jäetakse murdosa lihtsalt ära (vt. ülalpool näidetest). Liitmis- ja lahutamislausetel on erijuhud ühe võrra suurendamine ja vähendamine. Lause (1+ arv) suurendab arvu ühe võrra, lause (1 arv) vähendab teda ühe võrra. Näiteks (1+ 5) annab tulemuseks 6 (1+ 17.5) annab tulemuseks 16.5 (1 5) annab tulemuseks 4 (1 17
m-m~o~ otmelise muutuva suuruse P = (x1 , x2 , . . . , xm ) v~oimalikeks v¨a¨ artusteks on ruumi Rm punktid. Muutuva suuruse P = (x1 , x2 , . . . , xm ) k~oigist v~oimalikest v¨a¨ artustest moodus- tatud ruumi Rm alamhulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks. Mitmemuutuja funktsiooni m~ oiste. Olgu antud m-m~o~ otmeline muutuv suurus P = (x1 , x2 , . . . , xm ) muutumispiirkonnaga D ja reaalarvuline muutuv suurus z. m-muutuja funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse P igale v¨a¨ artusele tema muutumispiirkonnast D vastavusse suuruse z u ¨he kindla v¨a¨ artuse. Muutujat P nimetatakse seejuures s~ oltumatuks muutujaks ehk argu- mendiks, muutujat z s~ oltuvaks muutujaks ja hulka D m¨ a¨ aramispiirkonnaks. 5) Mitmemuutuja funktsiooni graafik. Kahemuutuja funktsiooni graafiku geomeetriline
uv + C =ʃ vdu +ʃ udv. Konstandi C võib sellest valemist välja jätta, sest mõlemad määramata integraalid ʃudv ja ʃvdu sisaldavad juba määramata konstante. Viies ʃvdu võrduse teisele poolele saame ʃudv = uv − ʃvdu Saadud avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime. Ositi integreerimise valemit kasutades saab avaldada integraale ʃ xn sin(ax)dx, ʃ xn cos(ax)dx, ʃ xneaxdx, ʃ (lnx)ndx, kus n on positiivne täisarv ja a on reaalarvuline konstant. Samuti saab seda võtet kasutades leida integraale arkusfunktsioonidest. 36. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted . Integraalsumma mõiste. Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a, b]. Jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga ∆xi , st ∆xi = xi − xi−1. Valime igal osalõigul [xi−1, xi ] ühe punkti pi .
graafiku puutuja tõus sellel kohal. Füüsikas on nihke tuletiseks aja järgi hetkkiirus, kiiruse tuletiseks omakorda kiirendus. Integraal määramata integraaliks nimetatakse funktsiooni algfunktsiooni leidmist ehk tuletise pöördfunktsiooni. Määratud integraal on arvuliselt võrdne xy-tasandil funktsiooni f(x) graafiku, x-telje ning vertikaalsete sirgetega x=a ja x=b piiratud pindalaga, kui f(x) reaalarvuline muutuja x on pidev ja funktsioon on tõkestatud lõigus [a, b] Newtoni-Leibnizi valem: Olgu funktsioon f(x) lõigus [a, b] integreeruv ja leidugu tal selles lõigus algfunktsioon F(x). Siis . Arve a ja b nimetatakse vastavalt integraali alumiseks ja ülemiseks rajaks. Lõiku [a; b] nimetatakse integreerimislõiguks. Näide. Loeng 2 · Taustkeha ja kohavektor.
Kuna käesolevas kursuses on kõik vaadeldavad arvud reaalarvud, siis tähendab sõna arv järgnevas alati reaalarvu. ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 21 1.5 Reaalarvude korpuse omadused 1.5.1 n-astme juur positiivsest reaalarvust. Irratsionaalarvud Teatavasti ei ole positiivsetel arvudel üldjuhul ratsionaalse väärtusega ruutjuurt. Seevastu, nagu selgub järgmisest lausest, eksisteerib reaalarvuline ruutjuur igast mittenegatiivsest ar- vust. Lause 1.20 Iga mittenegatiivse reaalarvu b ja iga naturaalarvu n korral leidub üheselt määra- tud mittenegatiivne reaalarv x omadusega xn = b. Tõestus. Kõigepealt märgime, et kui leidub selline arv x ∈ R, et xn = b, siis on see üheselt määratud, sest seostest 0 6 x1 < x2 järeldub võrratus xn1 < xn2 (põhjendada!)z. Väide kehtib ilmselt juhul b = 0, siis x = 0, seega võime piirduda juhuga b > 0. A. Vaatleme esiteks juhtu b > 1
ringsagedusest . Välisjõu mingil kindlal sagedusel muutub amplituud väga suureks, sest välisjõud toimib süsteemi omavõnkumistega samas taktis (lükkab igal võnkel takka). Sellist olukorda nimetatakse resonantsiks. Resonants tekib välisjõu ringsagedusel r = (0 2- 2 2) 1/2 , mida nimetatakse resonantssageduseks. Kompleksarve à = a + i b, kus imaginaarühik i = (- 1) ½, kasutatakse füüsikas selleks, et: 1) kiiresti tuletada üks reaalarvuline suurus teise põhjal, s.t. minna liikumise kiirendamiseks ajutiselt arvude imaginaarsesse (mittereaalsesse) piirkonda; 2) esitada omavahel seotud kujul (kompleksselt) kaks suurust, mis mõlemad kirjeldavad ühte ja sedasama loodusnähtust (üks suurus on siis vastava kompleksarvu reaal- ja teine imaginaarosa). Kompleksmeetod võnkumiste või lainete kirjeldamiseks esitab perioodiliselt muutuva suuruse eksponent-
13.9 ¨ noomi xn - a juured Polu unoomi xn -a k~oigi kompleksarvuliste juurte hulka t¨ Pol¨ ahistatakse n a. 13.10 n a arvutamine Teoreem 10. Olgu a = |a|ei . Siis +2k n a= n |a|ei n , k = 0, 1, . . . , n - 1 kus n unoomi xn - |a| ainus reaalarvuline juur. |a| on pol¨ T~ oestus. Analoogiline u ¨hejuurte valemi t~ oestusega. 13.11 N¨ aide Et i = 1ei 2 , siis +2k 2 ei n i= n , k = 0, 1, . . . , n - 1 V~ otame n = 3. Saame +2k
ringsagedusest . Välisjõu mingil kindlal sagedusel muutub amplituud väga suureks, sest välisjõud toimib süsteemi omavõnkumistega samas taktis (lükkab igal võnkel takka). Sellist olukorda nimetatakse resonantsiks. Resonants tekib välisjõu ringsagedusel r = (0 2- 2 2) 1/2 , mida nimetatakse resonantssageduseks. Kompleksarve à = a + i b, kus imaginaarühik i = (- 1) ½, kasutatakse füüsikas selleks, et: 1) kiiresti tuletada üks reaalarvuline suurus teise põhjal, s.t. minna liikumise kiirendamiseks ajutiselt arvude imaginaarsesse (mittereaalsesse) piirkonda; 2) esitada omavahel seotud kujul (kompleksselt) kaks suurust, mis mõlemad kirjeldavad ühte ja sedasama loodusnähtust (üks suurus on siis vastava kompleksarvu reaal- ja teine imaginaarosa). Kompleksmeetod võnkumiste või lainete kirjeldamiseks esitab perioodiliselt muutuva suuruse eksponent-
ringsagedusest . Välisjõu mingil kindlal sagedusel muutub amplituud väga suureks, sest välisjõud toimib süsteemi omavõnkumistega samas taktis (lükkab igal võnkel takka). Sellist olukorda nimetatakse resonantsiks. Resonants tekib välisjõu ringsagedusel r = (0 2- 2 2) 1/2 , mida nimetatakse resonantssageduseks. Kompleksarve à = a + i b, kus imaginaarühik i = (- 1) ½, kasutatakse füüsikas selleks, et: 1) kiiresti tuletada üks reaalarvuline suurus teise põhjal, s.t. minna liikumise kiirendamiseks ajutiselt arvude imaginaarsesse (mittereaalsesse) piirkonda; 2) esitada omavahel seotud kujul (kompleksselt) kaks suurust, mis mõlemad kirjeldavad ühte ja sedasama loodusnähtust (üks suurus on siis vastava kompleksarvu reaal- ja teine imaginaarosa). Kompleksmeetod võnkumiste või lainete kirjeldamiseks esitab perioodiliselt muutuva suuruse eksponent-
Selgub, et iga kahe muutujaga lineaarne võrrand (mõlema muutuja aste on üks) kirjeldabki täpselt ühte sirget tasandil ja vastupidi ka: kui meile on antud üks sirge tasandil, võime kirjeldada teda kahe muutujaga lineaarse võrrandi abil. Kõikvõimalikud sirged tasandil oskame kergesti joonistada, kõikvõimalikud kahe muutujaga lineaarvõrrandid on aga antud järgmise kujuga: . Siin on lihtsalt suvalised reaalarvulised kordajad ning reaalarvuline vabaliige. See seos on päris kihvt! Meil on ühelt poolt midagi geomeetrilist, joon, mida võime pliiatsi või pastakaga paberile vedada, ning teiselt poolt kuivana näiv võrrand ja ometigi kirjeldavad mõlemad sama matemaatilist objekti! 185 Ka praktilisema poole pealt on see seos vägagi kasulik, kuna võimaldab tingimusi
udv = uv - vdu . (5.6) Saadud avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime. Ositi integreerimise valemit kasutades saab avaldada integraale n n n ax x sin(ax)dx , x cos(ax)dx , x e dx , (ln x)n dx , kus n on positiivne t¨aisarv ja a on reaalarvuline konstant. Samuti saab seda v~otet kasutades leida integraale arkusfunktsioonidest. N¨aited. 1. Avaldame x cos 2x dx. V~otame u = x ja dv = sin 2x dx. Siis on avaldatav integraal kujul udv. Ositi integreerimise valemi (5.6) ka- sutamiseks peame me avaldama ka suurused du ja v, mis asuvad selle valemi paremal poolel. Kuna u = x, siis du = dx.
raalid udv ja vdu sisaldavad juba m¨a¨aramata konstante. Viies vdu v~orduse teisele poolele saame udv = uv - vdu . (5.6) Saadud avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime. Ositi integreerimise valemit kasutades saab avaldada integraale xn sin(ax)dx , xn cos(ax)dx , xn eax dx , (ln x)n dx , kus n on positiivne t¨aisarv ja a on reaalarvuline konstant. Samuti saab seda v~otet kasutades leida integraale arkusfunktsioonidest. N¨ aited. 1. Avaldame x cos 2x dx. V~otame u = x ja dv = cos 2x dx. Siis on avaldatav integraal kujul udv. Ositi integreerimise valemi (5.6) ka- sutamiseks peame me avaldama ka suurused du ja v, mis asuvad selle valemi paremal poolel. Kuna u = x, siis du = dx.
u ¨ mbrus (a - ; a + ), et kui x (a - ; a + ), siis f (x) (b - ; b + ). Kirjutatakse sel puhul lim f (x) = b. xa Piirprotsessis x on funktsiooni piirv¨a¨artuse definitsioon sisuliselt jada piirv¨aa¨rtuse definitsiooni kordus. Ainsaks erinevuseks on see, et jada 3 piirv¨aa¨rtuse puhul on n t¨aisarvuline muutuja, aga funktsiooni piirv¨a¨artuse korral on x reaalarvuline muutuja. Definitsioon 2.2. Reaalarvu b nimetatakse funktsiooni f (x) piirv¨a¨artuseks piirprotsessis x , kui > 0 korral niisugune N > 0, et kui x > N , siis |f (x) - b| < . T¨ahistatakse lim f (x) = b. x Definitsioon 2.3. Reaalarvu b nimetatakse funktsiooni f (x) piirv¨a¨artuseks piirprotsessis x -, kui > 0 korral niisugune N > 0, et kui x < -N , siis |f (x) - b| < . T¨ahistatakse
Mõlemad lainefunktsioonid ehk ψ´(r,t) ja Nψ(r,t) kirjeldavad füüsikalist olekut, mis on tegelikult üks ja sama. Teades seda, et |ψ´|2=|ψ|2 ja ( = kus arv A on lihtsalt selle integraali väärtus, saame leida normeerimisteguri N järgmiselt: ( = = ( = ehk |N|2A=1. Kuid N võib olla reaalarvuline ja seega saame: = See näitab seda, et näiteks Schrödingeri võrrandi lahend ( mida me hiljem vaatame palju täpsemalt ) - lainefunktsioon üldse - on tegelikult määratud konstantse faasiteisenduste täpsuseni ehk mitte üheselt, sest kehtib järgmine faasiteisendus: |ψ´|2=(ψ´)*ψ´=e-iαψ*eiαψ=ψ*ψ=|ψ|2, kus α on suvaline reaalarv. Summaarne tõenäosus on alati võrdne ühega
annaabi.ee 
