Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Pindala ja ruumala valemid". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
ümbermõõt, ristkülik, kolmnurk, püramiid, kujundit, rööpkülik, romb, trapets, täisnurkne, pindalade, üleval, risttahukas, kuup, nelinurkne, silinderTasapinnalised kujundid Ruut Diagonaal: Pindala: S = a2 Ümbermõõt: P = 4·a Ruudu kõik küljed on võrdsed ja nurgad täisnurgad. Ristkülik Diagonaal: Pindala: S = a · b Ümbermõõt: P = 2(a + b) Ristkülikuks nimetatakse rööpkülikut, mille kõik nurgad on täisnurgad. Romb + = 180º Pindala: S = a · h Ümbermõõt: P = 4·a Rööpkülik + = 180º Pindala: S = a · h Ümbermõõt: P = 2(a + b) Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed. Kolmnurk + + = 180º Pindala: Ümbermõõt: P = a + b + c Võrdkülgne kolmnurk Kõrgus: Pindala: Ümbermõõt: P = 3 · a Täisnurkne kolmnurk
määral erineda antud valemite omadest. Kõik valemid on kontrollitud ja joonised tehtud Rhinoceros 3DTM -ga. See dokument käsitleb järgmisi geomeetrilisi kujundeid: 1. ELLIPS 14. RISTTAHUKAS 2. KAAR 15. ROMB 3. 4. KAPSEL KERA 16. RUUMILINE SEKTOR (KOOGITÜKK) 17. RUUT 5. KOLMNURK 18. RÖÖPKÜLIK 6. KOONUS 19. RÖÖPTAHUKAS 7
a Ruutvõrrand Ruutkolmliikme tegurdamine Ristkülik 2 a ax 2 + bx = 0 x(ax + b) = 0 x1 = 0, x2 = - ba ax +bx+c=a(x-x1)(x-x2) P = 2 (a + b) x2+px+q=(x-x1)(x-x2) b S = ab
V Sp H A B C Kaldprisma S t 2S p S k Ristlõige Kü lg pindala S k P l V Sp H H l Korrapärane püramiid St S p Sk nar Pr 3a 2 Põhja pindala S p 2 2 4 H C m nam Pm Kü lg pindala S k a 2 2 1
a Ruutvõrrand Ruutkolmliikme tegurdamine Ristkülik 2 a ax 2 + bx = 0 ⇒ x(ax + b) = 0 ⇒ x1 = 0, x2 = − ba ax +bx+c=a(x-x1)(x-x2) P = 2 (a + b)
a S p = a2 S p =a b S p = a2 S k = 4a 2 S k = 2 h ( a + b) S k = 4a h S t = 2S p + S k S t = 2S p + S k S t = 6a 2 V =a b h V = a2 h V = a3 4. Kolmnurkne püstprisma (põhi 5. Korrapärane nelinurkne püramiid (põhi kolmnurk, küljed ristkülikud) ruut, küljed võrdhaarsed kolmnurgad) a h1 Sp = 2 S p = a2 a b S k = 2am S p = , täisnurkne 2 St = S p + Sk S k = (a + b + c) h 1 V = a2 h S t = 2S p + S k 3
Romb Rombi küljed on võrdsed. Rombi diagonaalid on risti. 28.Kolmnurga sisenurkade summa Kolmnurga sisenurkade summa on 180º. 29.Kolmnurga välisnurga omadus Kolmnurga iga välisnurk on võrdne temaga mitte kõrvuti olevate sisenurkade summaga. Kolmnurga välisnurgaks nimetatakse kolmnurga sisenurga kõrvunurka (joonisel nr.4). 30.Kolmnurga kesklõik Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest. Kesklõikudest moodustatud kolmnurga ümbermõõt on pool suure kolmnurga ümbermõõdust. ED = ½ AB ; EF = ½ CB ; DF = ½ AC 31.Trapetsi kesklõik Trapetsi kesklõiguks nimetatakse haarade keskpunkte ühendavat lõiku. Trapetsi kesklõik on AB + DC paralleelne alustega ja on võrdne poolega aluste summast. EF = 2 Trapetsi pindala võrdub kesklõigu ja kõrguse korrutisega : S = k *h .Lõik EF on kesklõik.
otspunkti ringjoonel ja on risti raadiusega on puutuja. antud nurgad =120°, =30° uurida joonisele tekkinud kolmnurka üks teravnurk on antud NB puutujate lõikepunkt on puutepunktidest teine teravnurk =180°-120°=60° võrdsetel kaugustel kolmnurk on täisnurkne, sest tema teravnurgad on kokku 90° raadiuse ja sirge vaheline nurk on täisnurk kuna sirge t läbib raadiuse otspunkti ja on seal raadiusega risti, siis sirge t on puutuja 12.Kolmnurga ümberringjoon - keskpunkt: konstrueerimine kolmnurga kõigi külgede keskristsirged
Kujundi nim. Definitsioon Joonis Ümbermõõt P Pindala S Kolmnurk Hulknurk,millel on P=a+b+c S=ah 3 nurka 2 Täisnurkne Kolmnurk, mille P=a+b+c S=ab kolmnurk üks nurk on 2 täisnurk Võrdhaarne Kolmnurk, mille P=a+2b S=ah kolmnurk kõik küljed on 2 võrdsed Romb Rööpkülik, mille P=4a S=ah kõik küljed on S=d1*d2 võrdsed 2 Rööpkülik Nelinurk, mille P=2*(a+b) S=ah=b*h vastasküljed on paralleelsed
A B = {m; ; 7; ; b } Hulkade A ja B ühisosa A B on hulk, mille moodustavad parajasti kõik sellised elemendid, mis kuuluvad hulka A ja hulka B. Näide 1 Hulkade {1, 2, 3} ja {2, 3, 4} ühisosa on {2, 3}. Hulkliiget nimetatakse lineaaravaldiseks ehk esimese astme hulkliikmeks vaadeldavate muutuja suhtes, kui ühegi liikme aste nende muutujate suhtes ei ole suurem kui üks. Näiteks on hulkliige ax+bx+c lineaaravaldiseks kahe muutuja x ja y suhtes. Hulknurgaks nimetatakse geomeetrilist kujundit, mis on piiratud kinnise murdjoonega (hulknurka nimetatakse korrapäraseks ja kumeraks) ja diagonaaliks nimetatakse lõiku, mis ühendab kaht tippu, mis ei kuulu ühele ja samale küljele. Hüperbooliks (nimetatakse tasandile kuuluvate punktide hulka, mille iga punkti kauguste vahe absoluutväärtus kahest antud punktist, mida nimetatakse fookusteks, on jääv suurus.) Hüperbool on pöördvõrdelise seose y=a/x graafikuks
12. Taandamata ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendivalem - b ± b 2 - 4ac x1;2 = 2a 13. Ruutkolmliikme ax2 + bx + c tegurdamine ax + bx + c = a( x - x1 )( x - x2 ) 2 14. Ruudu ümbermõõt ja pindala P = 4a S = a2 15. Ristküliku ümbermõõt ja pindala P = 2(a + b) S = ab 16. Kolmnurga sisenurkade summa S = 180° 17. Kolmnurga pindala ah S= 2 18
2 ruutvõrrandi x +px+q=0 lahendid. x1=3 x2=10 NB pöördteoreem võimaldab lihtsamaid x1 x2=30 seega vabaliige on 30 ruutvõrrandeid ka peast lahendada x1+x2=13 seega lineaarliikme kordaja on 2 -13 võrrand x -13x+30=0 5.ptk Ringjoon ja korrapärane kolmnurk TAGASI Õpitulemused Näited 1.Ringjoone kaar ja kõõl - kaar: ringjoone osa, Ül.1060 saadakse vähemalt kahe punkti märkimisel Ringjoone punktist on joonestatud kaks ringjoonele; tähistamine: kirjuatatakse raadiusega võrdset kõõlu. Leida kõõlude otspunktide tähised (vajadusel lisatakse veel vaheline nurk.
Ruutfunktsioon Sissejuhatav kordamine 1. Teosta tehted. Vastustes vabane negatiivsetest astendajatest. 3 1 2 3 1 a) 2 a b c 3 Lahendus: ; 1 4 2 s 3 t b) 4 5 3 4 s t Lahendus: . 2. Lihtsusta avaldis. a) xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) Lahendus: xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) = = x2y + 3xy2 + x3 2x2y xy2 + x2y 2xy2 y3 = = x 3 y3 = = (x y)(x2 + xy + y2) b) (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) Lahendus: (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) = 9a2 12a + 4 + 4 9a2 = = 8 12a 3. Lahenda võrrand. a) 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111 Lahendus: 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111; 24x2 + 5x 1 24x2 + 6x
3) kõik ühtevärvi pallid. 3. Leia kõik reaalarvude paarid (x;y), mis rahuldavad võrrandit 2 x +1 = 4 y 2 +1 ja võrratust 2 x 2 y . 4. Kahe positiivse arvu vahe moodustab 1/19 nende kuupide vahest, nend4e korrutis on aga ½ võrra väiksem nende ruutude poolsummast. Leia need arvud. 5. Lahenda võrrand 3sin 9 + 3 = 3 vahemikus (-2; 2). 6. Võrdkülgsesse kolmnurka küljega a on kujundatud teine võrdkülgne kolmnurk, mille tipud asuvad esimese kolmnurga külgedel jaotades need suhtes 1:2. Leia väiksema kolmnurga pindala. 7. Koonusekujulise veiniklaasi kõrgus on h. Mitu protsenti klaasi ruumalast on täidetud, kui klaasi fvalatakse veini poole kõrguseni? 8. Milliste muutuja x Väärtuste korral saavutab funktsioon f ( x ) = 2 8 x - 9 4 x + 12 2 x + 1997 oma suurima ja vähima väärtuse lõigus [-1;1] ? Leia need funktsiooni väärtused. 9
6. Ruudul on ümberringjoon, mille keskpunktiks on diagonaalide lõikepunkt (O) ning raadiuseks pool diagonaali. Romb: Mõiste: Rombiks nimetatakse rööpkülikut, mille lähisküljed on võrdsed. Pindala: S=ah või S=d1·d2 Ümbermõõt: Ü=4a Omadused: -Rombil on kõik rööpküliku omadused -Rombi kõik küljed on võrdsed -Rombi diagonaalid on risti -Rombi diagonaalid poolitavad nurki -Rombi diagonaalid on tema sümmeetriatelgedeks. Rööpkülik: Mõiste: Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed. Pindala: S=ah Ümbermõõt: 2(a+b) Omadused: 1. Vastasküljed on võrdsed 2. Vastasnurgad on võrdsed 3. Iga külje lähisnurkade summa on 180° 4. Rööpküliku diagonal jaotab rööpküliku kaheks võrdseks kolmnurgaks 5. Rööpküliku diagonaalid poolitavad teineteist 6. Rööpküliku diagonaalide ruutude summa on võrdne külgede ruutude summaga. 7
Vastasküljed on paralleelsed ja võrdsed Vastasnurgad on võrdsed Diagonaalid poolitavad teineteist Diagonaal jaotab rööpküliku kaheks pindvõrdseks kolmnurgaks Lähisnurkade summa on 180º ( Diagonaalide ruutude summa on võrdne külgede ruutude summaga: d 12 + d 22 = 2 a 2 + b 2 ) Ümbermõõt. P = 2( a + b ) Pindala: S = ah S = a b sin ROMB On võrdsete külgedega rööpkülik, seega on rombil kõik rööpküliku omadused. Lisaks on rombi diagonaalid risti ja poolitavad rombi nurgad, Rombi kõrgused on pikkuselt võrdsed. 1 Rombi diagonaalide lõikepunkt on siseringjoone keskpunkt r = h 2 d 12 + d 22 = 4a 2 Ümbermõõt: P = 4a Pindala: S = a h S = a 2 sin 1
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VI teema Geomeetria PLANIMEETRIA Tasandilised kujundid ja nendega seotud valemid. Ristkülik d b S ab P 2a b d a2 b2 a a Ruut d S a2 a P 4a d a 2
Taandatud ruutvõrrandi üldkuju on kus p ja q on konstandid. Taandatud ruutvõrrandi lahendid on Viète'i teoreemi järgi peavad lahendid rahuldama samasusi ja 14-23.(Näide 13-22) 24.Funktsiooni väärtus-y-väärtus Argument-x-väärtus Ordinaat-y-väärtus Abstsiss-x-väärtus 25-27.(Näide 23-25) 28. Ruut: (Näide26) S = a² (pindala = alus x alus) P = 4a Ristkülik: S = ab ( pindala = pikem külg x lühem külg) P = 2(a + b) 29. Rööpkülik:paralleelsete vastaskülgedega neli nurk.(Näide 27) S = ah (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Omadused: 1)rööpküliku diagonaal jaotab rööpküliku kaheks võrdseks kolmnurgaks 2)Rööpküliku vastas küljed on võrdsed 3)rööpküliku vastas nurgad on võrdsed 4)rööpküliku lähisnurkade summa on 180' 5)rööpküliku diagonaalid poolitavad teineteist Nelinurga sisenurkade summa on 360' 30. Romb:Rööpkülikud,mille kõik küljed on võrdsed(Näide28)
summa on 180º. Kaks sirget on paralleelsed, kui nad asetsevad samal tasandil ega pikendamisel lõiku. 17. Kolmnurga välisnurk ja selle omadus. Kolmnurga sisenurkade summa. Välisnurk on kolmnurga sisenurga kõrvunurk. Kolmnurga sisenurkade summa on 180 kraadi. 18. Kolmnurga kesklõik, selle omadus. Kolmnurga kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab tema kahe külje keskpunkte. Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga alusega ja tema pikkus võrdub poolega sellest. 19. Rööpkülik, ristkülik, romb, ruut ja nende omadused. Rööpkülik on nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed. Vastasküljed on võrdse pikkusega. Vastasnurgad on võrdsed. Lähisnurkade summa on 180 kraadi. Diagonaalid poolitavad teineteist Ristkülik on nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad. Ristküliku vastasküljed on omavahel paralleelsed. Romb on nelinurkne kujund, mille kõik küljed on võrdsed. Rombiks nimetatakse rööpkülikut, milled küljed on võrdsed.
Ring S=r2 ; P=2r Rööpkülik S=ah ; P=2(a+b) Ruut S=a ; P=4a 2 Romb S=d1*d2/2 = a*h Ristkülik S=a*b ; P=2(a+b) Trapets S=a+b/2*h = k*h ; P=a+b+c+d Kolmnurk S=a*h:2 ; P=a+b+c Täisnurkne kolmnurk S=1/2*ah ; Risttahukas S=2(ab+ac+bc) ; V=abc Viete teoreem: X1+X2 = -p Püstprisma Sk=P*h ; St=Sk+2Sp; V=Sp*h X1*X2 = q Kuup Sp=a ; Sk=4*a 2 2 Silinder Sp=r2 ; St=2r ; Sk=2rh ; V=r2h Kera S=4r2 ; V= 4/3 r3 Koonus Sp=r2 ; Sk=rm ; St=r ; V= 1/3 r2h Korrapärane püramiid Sk=P*h ; St=Sk+2Sp ; V=Sp*h Püramiid Sk=Pm/2 ; St =Sk+Sp ; V=1/3Sp*h · (a+b)(a-b)= a²- b² · (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³
Nürinurkse kolmnurga üks nurk on nürinurk, ülejäänud nurgad on teravnurgad. Täisnurkse kolmnurga üks nurk on täisnurk, ülejäänud kaks teravnurgad. Ühegi kolmnurga nurkade hulgas ei saa olla kahte nürinurka ega kahte täisnurka. Täisnurkse kolmnurga puhul nimetatakse ühte külge hüpotenuusiks ja kahte ülejäänud külge - täisnurga lähiskülgi - kaatetiteks. Mille alusel saab kolmnurki veel liigitada? 1. Kirjuta iga kolmnurga juurde, kas ta on terav-, nüri- või täisnurkne kolmnurk. .............Teravnurkne........................Teravnurkne..........................................täisnurkne .............................................................. 2. Joonesta kolmnurk, mille üks külg 3. Otsusta, kas kolmnurk on terav-, nüri- või on 5,9 cm ning selle lähisnurgad on täisnurkne või ei ole sellist kolmnurka võimalik 25º ja 35º
Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest.Nende ristumiskoht on kolmnurga ümberringjoone 4. Nurgapoolitaja – nurgapoolitajaks nimetatakse tipust lähtuvat kiirt, mis poolitab nurga kaheks võrdseks nurgaks. Nende ristumiskoht on siseringjoone keskpunkt. 5. Hüpotenuus - Hüpotenuus on täisnurga vastaskülg täisnurkses kolmnurgas. 6. Kolmnurga nurkade summa on 180 kraadi. 7. Kolmnurgal on kolm nurka ja kolm külge. 8. Täisnurkne kolmnurk on nurk, mille üks nurk on 90 kraadi ning sellel kolmnurgal on hüpotenuus ja kaatetid. 9. Nürinurkne kolmnurk - Nürinurkne on kolmnurk, mille üks nurk on nürinurk, s.o suurem kui 90°. 10. Tervanurkne kolmnurk - Teravnurkne on kolmnurk, mille kõik nurgad on teravnurgad, s.o väiksemad kui 90o. 11. Võrdhaarne kolmnurk - on kolmnurk, mille kaks külge on võrdse pikkusega. Kahte võrdset külge nimetatakse haaradeks ja kolmandat aluseks
(a+b)(a² -ab +b²) =a³ +b³ Pythagorase joonis: c a b sin=a/c sin=b/c cos=b/c cos=a/c tan=a/b tan=b/a Rööptahukas: Sp=ab, Sk=2(a+b)h, V=Sp*h Koonus: Sp=r , Sk=rm, V=Sph/3=r2h/3 2 Püramiid: V=1/3Sph Ring: C=2r S=r2 Silinder: c=2r, Sk=2rh, St=Sk+2Sp, Sp=r2, V=r 2h=Sp*h Kera: S=4r2, V=4/3r3 Kuup: S=6*a2, V=a3 Kolmnurk: S = a x h : 2, P=a+b+c Trapets: S = (a + a2) : 2 x h, P = a + a2 + c + d Rööpkülik: S=a*h, P=2(a+b) Romb: S=a*h, P=2(a+b) Risttahukas: S=2(ab+ac+bc), V=abc Rööpkülik: S=a*h
PLANIMEETRIA III 1.Leida täisnurkse kolmnurga küljed, kui kolmnurga ümbermõõt on 12 cm ja kaatetite vahe on 1 cm. 2. Arvutada täisnurkse kolmnurga kaatetid, kui täisnurga poolitaja jaotab hüpotenuusi lõikudeks, mille pikkusedon 15 cm ja 20 cm. 3.Täisnurkse kolmnurga kaatetid suhtuvad nagu 5:6 ja hüpotenuus on 122 cm. Arvuta lõigud, milleks kõrgus jaotab hüpotenuusi. 4. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 8 cm ja 6 cm. Täisnurga tipust on tõmmatud ristlõik hüpotenuusile, leia selle pikkus. 5. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 16 cm ja 12 cm
Kolmnurk: S = a x h : 2 (pindala = alus x kõrgus : 2) P=a+b+c Trapets: S = (a + b) : 2 x h (pindala = alus1; + alus2 : 2 x kõrgus) P=a+b+c+d Rööpkülik: S = a x h (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Romb: S = a x h (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Ring: C = 2r ( ringi pikkus = 2 x 3,14 x raadius) S = r² ( pindala = 3, 14 x raadius ruudus) Kera: S = 4 r² V = 4 : 3 r³ Silinder: Sp = r² Sk = rm St = 2Sp + Sk V = 1/3 r²h Koonus: Sp = r² Sk = rm St = Sp + Sk V = 1/3 r²h Kuup: S = 6 x a² V = a³ Risttahukas: S = 2(ab + ac + bc) V = abc Pythagorase teoreem: a² + b² = c² c=c² (täisnurkses kolmnurgas hüpotenuusi (c) ruut võrdub kaatetite (a ja b) ruutude summaga.) Eukleidese teoreem: a² = f x c (kaateti a ruut võrdub tema projektsiooni (f) ja hüpotenuusi korrutisega) b² = g x c (kaateti b ruut võrdub tema projektsiooni (g) ja hüpotenuusi korrutisega) Teoreem kõrgusest: h² = h x g (kõrgus võrdub kaatetite projektsioonide korrutistega)
#y 0,5 cos x #y 2 sin x + " (I) või " 1 , !y 1 +! y 4 arvestades, et 0 x 2 . III Kui plekitahvel keevitatakse toruks mööda pikemat külge, siis saadud silindri kõrgus on võrdne ristküliku pikema küljega ja silindri põhja ümbermõõt on võrdne ristküliku lühema küljega. Ristküliku külgede pikkused on leitavad täisnurkses kolmnurgas kehtivate trigonomeetriliste seoste kaudu. Toru läbimõõdu arvutamiseks on vaja teada ringjoone pikkuse valemit ja toru ruumala leidmiseks silindri ruumala valemit. Lahendused I 1) Funktsioon y 2 sin x on antud lõigul 0; 2 . Funktsiooni y f (x) nullkohad on võrrandi f ( x) 0 lahendid.
1 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK I Joonistel on kuue funktsiooni graafikud. Tee kindlaks, missuguste funktsioonidega on tegemist. 1 2 3 © Allar Veelmaa 2014 2 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK II © Allar Veelmaa 2014 3 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium REAALARVUDE PIIRKONNAD Kuna erinevates õpikutes kasutatakse reaalarvude piirkondade märkimiseks erinevaid tähistusi, siis oleks kasulik teada mõlemat varianti. Nimetus Tingimus Esimene
Teoreem (võrdsuse tunnus KKK). Kui ühe kolmnurga kolm külge on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kolme küljega, siis on need kolmnurgad võrdsed. 10.Teoreemi eeldus - teoreemi osa; ütleb, Ül.605,606 mis on antud või mis on teada; teoreemi Teoreem. Kui nelinurk on rööpkülik, siis üldkuju on p q eeldus on p tema vastasnurgad on võrdsed. Eeldus: nelinurk on rööpkülik NB kasutatakse teoreemi sõnastamisel ja Teoreem. Arv, mille ristsumma jagub 3-ga, tõestamisel jagub ka ise 3-ga. Eeldus: arvu ristsumma jagub 3-ga 11.Teoreemi väide - teoreemi osa; ütleb, Ül.605,606 mida on tarvis tõestada; teoreemi üldkuju Teoreem
Kolmnurk: S = a x h : 2 (pindala = alus x kõrgus : 2) P=a+b+c Trapets: S = (a + b) : 2 x h (pindala = alus1; + alus2 : 2 x kõrgus) P=a+b+c+d Rööpkülik: S = a x h (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Romb: S = a x h (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Ring: C = 2πr ( ringi pikkus = 2 x 3,14 x raadius) S = πr² ( pindala = 3, 14 x raadius ruudus) Kera: S = 4 π r² V = 4 : 3 π r³ Silinder: Sp = π r² Sk = π rm St = 2Sp + Sk V = 1/3 π r²h Koonus: Sp = π r² Sk = π rm St = Sp + Sk V = 1/3 π r²h Kuup: S = 6 x a² V = a³ Risttahukas: S = 2(ab + ac + bc) V = abc Pythagorase teoreem: a² + b² = c² c=√c² (täisnurkses kolmnurgas hüpotenuusi (c) ruut võrdub kaatetite (a ja b) ruutude summaga.) Eukleidese teoreem: a² = f x c (kaateti a ruut võrdub tema projektsiooni (f) ja hüpotenuusi korrutisega) b² = g x c (kaateti b ruut võrdub tema projektsiooni (g) ja hüpotenuusi korrutisega) Teoreem kõrgusest: h² = h x g (kõrgus võrdub kaatetite projektsioonide k
S=a*h/2 a2=b2+c2-2bc*cos a/sin=b/sin=c/sin=2R S=1/2a*b*sin b2=a2+c2-2ac*cos c2=a2+b2 S=1/2*a*c*sin c2=a2+b2-2ab*cos a2=fc / b2=gc S=1/2*b*c*sin Romb h2=fg / ab=hc S=ruutjuur p(p-a)(p-b)(p-c), kus p=ü/2 d12+d22=4a2 c=2R S=pr, kus r on siseringjoone raadius S=ah S=abc/4R, kus R on välisringjoone raadius Trapets S=a2*sin
kolmnurga kaatetitega; 2. ühe kolmnurga teravnurk võrdub teise kolmnurga teravnurgaga; 3. ühe kolmnurga hüpotenuus ja kaatet on võrdelised teise kolmnurga hüpotenuusi ja kaatetiga.) 12. Teoreeme sarnaste kolmnurkade kohta. ( 1. sarnaste kolmnurkade küljed on võrdelised vastavate kõrgustega; 2. sarnaste kolmnurkade ümbermõõdud suhtuvad nagu nende vastavad küljed; 3. sarnaste kolmnurkade pindalad suhtuvad nagu vastavate külgede ruudud.) 13. Täisnurkne kolmnurk. Pythagorase teoreem (a2+b2=c2), Eukleidese teoreem (a2=fc ja b2=gc).Teoreem hüpotenuusile tõmmatud kõrgusest (h2=fg), Thalese teoreem (diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk). 14. Võrdkülgne kolmnurk.(a=b=c) a 3 a2 3 Kõrguse ja pindala avaldamine külje kaudu. h= jaS = 2 4 NELINURGAD
vastaskülgi. Rööpkülikud Rööpkülikute hulka kuuluvad osahulkadena ka rombid ja ristkülikud. Rombide ja ristkülikute hulkade ühisosa on omakorda ruudud. Rööpkülik Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on võrdsed. Kolmnurga ja rööpküliku pindala Rööpküliku ümbermõõt on: p = 2( a + b ) Rööpküliku pindala arvutatakse valemiga: S = ah Ristkülik Ristkülikuks nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed ja võrdsed. Ristküliku ümbermõõt arvutatakse valemiga: p = 2( a + b ) Ristküliku pindala arvutatakse valemiga: S = ab Ruut
kolmnurga kaatetitega; 2. ühe kolmnurga teravnurk võrdub teise kolmnurga teravnurgaga; 3. ühe kolmnurga hüpotenuus ja kaatet on võrdelised teise kolmnurga hüpotenuusi ja kaatetiga.) 12. Teoreeme sarnaste kolmnurkade kohta. ( 1. sarnaste kolmnurkade küljed on võrdelised vastavate kõrgustega; 2. sarnaste kolmnurkade ümbermõõdud suhtuvad nagu nende vastavad küljed; 3. sarnaste kolmnurkade pindalad suhtuvad nagu vastavate külgede ruudud.) 13. Täisnurkne kolmnurk. Pythagorase teoreem (a2+b2=c2), Eukleidese teoreem (a2=fc ja b2=gc).Teoreem hüpotenuusile tõmmatud kõrgusest (h2=fg), Thalese teoreem (diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk). 14. Võrdkülgne kolmnurk.(a=b=c) a 3 a2 3 Kõrguse ja pindala avaldamine külje kaudu. h jaS 2 4 NELINURGAD
annaabi.ee 
