väike funktsiooni muut kohal A. T.3. (Weierstrasi teor.) Kinnises tõkestatud piirkonnas D pidev fun w=f(P) on tõkestatud (st. Leidub m ja M nii, et mf(P)M iga PD korral) T.4. (Weierstrasi teor) Kinnises tõkestatud piirkonnas D pideval funil w=f(P) on olemas ekstremaalsed väärtused. T.5. Kinnises tõkestatud sidusas piirkonnas pidev fun. w=f(P) omab iga väärtust oma ekstremaalsete väärtuste vahel. Def.9 Suurust F'(a) nim funi z=f(x,y) osatuletiseks muutuja x järgi kohal A=(a,b) ja tähist. f'x(a,b)=f'x(A)=limh-0{[f(a+h,b)- f(a,b)]/h} Def.9' Suurust G'(b) nim funi z=f(x,y) osatuletiseks muutuja y järgi kohal A=(a,b) ja tähist. f'y(a,b)=f'y(A)= limh-0{[f(a,b+k)- f(a,b)]/h} Def.10 Öeldakse, et fun z=f(x,y) on diferentseeruv kohal P=(x,y) kui tema muudul f on kuju f=Ah+Bk+ T.6. Kui fun on diferentseeruv kohal P=(x,y) siis on ta pidev sellel kohal. T.7
P P0 Kui funktsioon on pidev oma määramispiirkonna igas punktis, siis öeldakse et antud funktsioon on pidev. Kõik elementaarfunktsioonid on pidevad. Funktsiooni määramispiirkonna punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse antud funktsiooni katkevuspunktiks. Mitme muutuja funktsiooni diferentseerimine Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Olgu antud funktsioon w = f ( x, y , z ,...) . Funktsiooni f osatuletiseks muutuja x järgi nim. ühe muutuja funktsiooni tuletist, mis saadakse funktsiooni f ülejäänud muutujate lugemisel konstantideks. f ( x, y , z,...) Seda tähistatakse: wx = f x ( x, y , z ,...) = . x Funktsiooni osatuletise leidmiseks antud punktis leitakse kõigepealt antud funktsiooni osatuletis ning seejärel omistatakse osatuletise
· funktsioon z=f(x,y) on määratud punkti N0(x0;y0) ümbruse kõigis punktides, kuid · puudub piirväärtus · funktsioon on määratud N0(x0;y0) ümbruse kõigis punktides, piirväärtus on olemas, kuid 6. Kahe muutuja funktsiooni osatuletis. Funktsiooni z=f(x,y) osatuletiseks x järgi nim. vastava osamuudu xz ja muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile. Funktsiooni z=f(x,y) osatuletist x järgi tähistatakse sümbolitega: z'x , f'x(x,y) , . Seega definitsiooni kohaselt: Analoogiliselt defineeritakse funktsiooni z=f(x,y) osatuletis y järgi funktsiooni osamuudu yz ja muudu y suhte piirväärtusena y lähenemisel nullile.
konstantne, siis muutub z joonel PS ainult sõltuvalt argumendi x muutumisest. Andes sõltumatule muutujale x muudu x , saab z muudu, mida nimetatakse z osamuuduks x järgi ja tähistatakse sümboliga x z (joonisel lõik SS): xz = f(x+x,y) f(x,y). Andes nüüd argumendile x muudu x ja argumendile y muudu y 3. Kahe muutuja funktsiooni osatuletiste mõiste ja geomeetriline interpretatsioon (joonis). Funktsiooni z = f(x,y) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu xz ja muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile. 4. Kahe muutuja funktsiooni sümboliga dz või df . täisdiferentsiaali avaldis f f dz = dx + dy . Täis diferentsiaali (tuletamiseta) ja täisdiferentsiaali x y kasutamine ligikaudsetes arvutustes kasutamine ligikaudses arvutustes: (valem)
x, y + y ) f (x, y) 44. kahe muutuja funktsiooni piirväärtus- arvu A nimetatakse funktsiooni f (x, y ) piirväärtuseks punkti P lähenemisel punktile P0 , kui iga arvu > 0 korral leidub arv r > 0 , et kõigi võrratust | PP0 | < r (vektori pikkus) rahuldavate punktide P puhul kehtib võrratus | f (x, y) A | < ja kirjutatakse lim f ( x, y) = A , x x0 ja y y0 45. mitme muutuja funktsiooni osatuletis- funktsiooni z = f(x, y, u,...) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu x z ja muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile: z ` x = lim x z / x kui x 0 Osatuletis y järgi: z ` y = lim y z / y kui y 0 46. mitme muutuja funktsiooni lokaalne ekstreemum- öeldakse, et funktsioonil z = ( x, y ) on punktis P0 (x0 , y0 ) lokaalne ekstreemum, kui tal on selles punktis lokaalne maksimum või miinimum. 47. harilik diferentsiaalvõrrand- võrrand, mis seob otsitavat funktsiooni y = y(x) tema tuletistega y' , ..
täidetud kolm tingimust 1. Leidub f(A); 2. Leidub lim PA f(P); 3. lim PA f(P)=f(A) Funkts-i u=f(P) nim pidevaks piirkonnas C Rn, kui see funkts on pidev piirkonna igas punktis Funkts-i u=f(x1,...,xn) täismuuduks punktis A(a1,...an) nim avaldist u=f(a1+x1,...,an+xn)-f(a1,...,an). Tähistades x=(x1,..,xn), saame kirjutada u=f(A+x)-f(A). Funktisooni pidevuse tingimus punktis A: limx0u=0 Kui eksist piirväärtus limxi0xiu/xi, siis nim seda funkt-i u=f(x1,...,xn) osatuletiseks punktis P(x1,...,xn) muutuja xi (1in) järgi ja tähistatakse f(x1,...,xn)/xi, st f(x1,...,xn)/xi=limxi0xiu/xi . Osatuletise võtmisel mitme muutuja funktsioonist f muutuja xi järgi võetakse selle muutuja järgi tavaline tuletis, kusjuures teisi muutujaid käsitletakse kui konstante. Funkts-i f(x,y) nim diferentseeruvaks punktis A(a,b), kui argumendi muudule (x,y) vastav funktsiooni muut on f=f/x(a,b)x+ f/y(a,b)y+(x,y), kus (x,y) on
hulgal D on määratud kahe muutuja funktsioon z = f (x, y) Sõltumatud ehk argumendid x,y Sõltuv muutuja - z 26. Mis on kahe muutuja funktsiooni määramispiirkond, muutumispiirkond, graafik? Määramispiirkond x ja y ühisosa Muutumispiirkond - Z={z|z=f(x,y); (x;y)D} Graafik määramispiirkonnas olev pind ruumis 27. Defineerida kahe muutuja funktsiooni osatuletised. Funktsiooni z = f (x, y, u, ...) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu xz ja argumendi x muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile 28. Mis on mitme muutuja funktsiooni gradient? Missuguses suunas kasvab mitme muutuja funktsioon kõige kiiremini? Gradient - vektor funktsiooni määramispiirkonna mingis punktis, mille koordinaatideks on vastava osatuletise väärtused selles punktis Mingis punktis leitud gradientvektori suund näitab funktsiooni kiireima
liitfunktsioonid on ka pidevad. f(x,y)=arctan x/y- Pidev välja arvatud kui y=0 6. Osatuletised (definitsioon, tähistused). Geomeetriline ja füüsikaline tõlgendus. Kuidas leida osatuletisi? DEF: Tuletist, mis arvutatakse mitme muutuja funktsioonist z=f(x1;....xn) fikseeritud muutuja xi järgi, käsitledes teisi muutujaid kui konstante, nimetatakse selle funktsiooni i-ndaks osatuletiseks ja tähistatakse zi= fi(x1;....xn), i=1,2,...n Füüsikaline tõlgendus: Geomeetriline tõlgendus: Kuidas leida vaata Mitme muutuja funktsioonid lk 4 7. Ekstreemumid(lokaalse maksimumi ja miinimumi definitsioon) DEF: Funktsionil z=f(P)=f(x1;....xn) on määramispiirkonna sisepunktis A(a1....,an) lokaalne maksimum, kui punkti A küllalt lähedases ümbruses on f(A) ¿ f(P) ja lokaalne miinimum, kui f(A) ¿ f(P).
toob kaasa funktsiooni f(x,y) väärtuste tõkestamatu lähenemise arvule A Kahe muutuja Funktsiooni z=f(x,y) nimetatakse pidevaks punktis (x 0, y0), kui ta on selles funktsiooni pidevus punktis määratud ning funktsiooni väärtus punktis (x 0, y0) võrdub tema piirväärtusega lähenemisel sellele punktile Esimest järku Funktsiooni z=f(x,y) esimest järku osatuletiseks argumendi x järgi osatuletis f ( x+ x , y )-f (x , y) nimetatakse piirväärtust z'x= lim x 0 x Liitfunktsiooni du dx du dy
Liitfunktsiooni arvutamise valem: { g [ f ( x ) ] } =g ' [ f ( x ) ] f ' (x) 15. Loetleda diferentsiaali omadused. 16. Defineerida n-muutuja funktsiooni osatuletis. Kuidas seda tähistatakse? f (a 1, . .. , ai−1, xi ,ai+1, . .. , an)−f (a 1, . .. , ai−1, ai , ai+ 1,. . . , an) Järgmist piirväärtust lim xi xi−ai nimetatakse funktsiooni f osatuletiseks muutuja xi suhtes argumentide väärtustel a1,…an ∂f ∂ tähistatakse f ' xi ( a1 ,… . an ) või (a1 , …. an) või f (a 1 ,… . an ) ∂ xi ∂ xi 17. Defineerida n-muutuja funktsiooni teist järku osatuletised. Mis on segatuletis? Sõnastada lause segatuletiste võrdusest. Kui võtta funktsioonist f(x1, . .
Olgu antud mitmemuutuja funktsioon z=f(P) määramispiirkonnaga D. Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis A kui AD; eksisteerib piirväärtus lim f ( P ) ; lim f ( P ) = f ( A) PA PA Funktsiooni f nimetatakse pidevaks piirkonnas G kui ta on pidev selle piirkonna kõigis punktides. Pideva kahemuutuja funktsiooni graafik on pidev pind, st pind mis ei oma katkevuspunkte ega katkevusjooni. 4. Funktsiooni osatuletised Funktsiooni z = f(x, y) osatuletiseks x-i järgi z/x nim piirväärtust limx0(f(x+x,y)-f(x,y))/x=z/x. Osatuletis muutuja y järgi on z/y vastavalt piirväärtus limy0(f(x,y+y)/y=z/y. Osatuletist tähistatakse ka: z/x=f(x,y)/x=f/x=f 'x=fx=z'x=zx. Mitme muutuja funktsiooni osatuletise leidmiseks mingi muutuja järgi tuleb funktsiooni diferentseerida selle muutuja järgi kui ühe muutuja funktsiooni, vaadeldes ülejäänud muutujaid konstantidena. Funktsiooni z=f(x,y) teist järku osatuletised defineeritakse selle funktsiooni esimest
Kiirus funktsiooni tuletis mingil kohal näitab selle funktsiooni väärtuse muutumise kiirust funktsiooni argumendi muutumisel funktsiooni tuletis on funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile. Kiirendus funktsiooni teist järku tuletis näitab funktsiooni muutumise kiirendust argumendi muutumisel. 34. Mitme muutuja funktsiooni osatuletiste ja täisdiferentsiaali mõiste. Funktsiooni z=f(x,y) osatuletiseks argumendi x järgi nim vastava osamuudu xz ja muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile. Funktsiooni z=f(x,y) osatuletist argumendi x järgi tähistatakse sümbolitega: Analoogselt, kui x on konstantne ja y saab lubatava muudu y, siis saame vaadeldava funktsiooni osamuudu argumendi y järgi. Leidugu funktsioonil z=f(x,y) osatuletised z'x ja z'y ja olgu need pidevad funktsioonid määramispiirkonna punktis (x,y)
z=f(x;y) ja kirjutatakse: z=f(x;y) (x;y) E D ehk z=f(P) P E D x, y - sõltumatud muutujad ehk argumendid z- sõltuv muutuja 6. Mis on kahe muutuja funktsiooni määramispiirkond, muutumispiirkond, graafik? D määramispiirkond Z = { z|z = f(x;y); (x;y) E D} - muutumispiirkond Funktsiooni graafik kolmedimentsiooniline. Teooriaküsimused nr. 8 1. Defineerida kahe muutuja funktsiooni osatuletised. Funktsiooni z=f(x;y;u,...) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu xz ja argumendi x muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) osamuut x järgi: osamuut: xz = f(x + x, y) - f(x;y) Kahe muutuja funktsiooni x=f(x,y) osamuut y järgi: yz=f(x;y+y) - f(x,y) Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) täismuut: z= f(x+x; y+y) - f(x;y) 2. Mis on mitme muutuja funktsiooni gradient? Gradientvektor on vektor funktsiooni määramispiirkonna mingis punktis, mille koordinaatideks
z=f(x;y) (x;y) e D ehk z=f(P) Pe D x, y - sõltumatud muutujad ehk argumendid z- sõltuv muutuja 6. Mis on kahe muutuja funktsiooni määramispiirkond, muutumispiirkond, graafik? D -määramispiirkond Z = { z|z = f(x;y); (x;y) e D} - muutumispiirkond Funktsiooni graafik kolmedimentsiooniline. TEOORIAKÜSIMUSED nr 8 1. Defineerida kahe muutuja funktsiooni osatuletised. Funktsiooni z=f(x;y;u,...) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu xz ja argumendi x muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile: = = Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) osamuut x järgi: osamuut: xz = f(x + x, y) - f(x;y) Kahe muutuja funktsiooni x=f(x,y) osamuut y järgi: yz=f(x;y+y) - f(x,y) Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) täismuut: z= f(x+x; y+y) - f(x;y) 2. Mis on mitme muutuja funktsiooni gradient?
on määratud punktis (x0;y0). Nivoojoon (nivoopind)- Funktsiooni z=f(x;y) nivoojooneks nimetame punktihulka, mis rahuldab nivoojoone võrrandit z=C. Enamikel funktsioonidel on lõpmata palju erinevaid nivoojooni. Kui meil on kahe muutuja funktsioon, siis saame nivoojoone, kui muutujaid on 3 või enam , siis on tegemist nivoopinnaga. Osatuletis, selle geomeetriline tähendus- Funktsiooni z=f(x;y) esimest järku osatuletiseks x järgi f ( x + x; y ) - f ( x; y ) ' z nimetatakse piirväärtust lim x 0 x ja tähistatakse z x , , f x ( x; y ) või z x . x
Sõltumatud muutujad ehk argumendid x, y ; Sõltuv muutuja z 42. Mis on kahe muutuja funktsiooni määramispiirkond, muutumispiirkond, graafik? Kahe muutuja funktsiooni määramispiirkonda kujutab teatud punktide hulk tasandil. Lihtsamatel juhtudel koosneb kahe muutuja funktsiooni määramispiirkond joontega piiratud tasapinna osadest. 43. Defineerida kahe muutuja funktsiooni osatuletised. Funktsiooni z=f(x,y, u, ...) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu z ja argumendi x muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile: Funktsiooni z = f(x,y, u, ..) osatuletis y järgi: 44. Mis on mitme muutuja funktsiooni gradient? Gradientvektor on vektor funktsiooni määramispiirkonna mingis punktis, mille koordinaatideks on vastava osatuletise väärtused selles punktis. Gradientvektori pikkus näitab muutumise maksimaalset kiirust. grad z(P ) = (z' 45
z=f(x;y)on määratud punktis (x0;y0). Argumentide väärtuspaaride hulka, mille korral funktsioon on määratud nimetakse selle funktsiooni määramispiirkonnaks. Nivoojoon(Nivoopind) Funktsiooni z=f(x;y) nivoojooneks nimetakse punktihulka, mis rahuldab võrranditx=C. Enamikul funktsioonidel on lõpmata palju nivoojooni.3 muutuja funktsiooni puhul muutub nivoojoon nivoopinnaks. Osatuletis, selle geomeetriline tähendus Def: Funktsiooni z = f(x;y) esimest järku osatuletiseks x järgi nimetatakse piirväärtust f ( x + x; y ) - f ( x; y ) lim x 0 x z ' x , z
.., xn) nimetatakse selle funktsiooni osatuletistest koosnevad vektorit (grad f) Kui eksisteerib piirväärtus lim ((xj)-->0) (xj)u / xj ,siis seda piirväärtust (P) = (f/x1(P), f/x2(P), ..., f/xn(P)). Hamiltoni operaatoriks ehk nablaoperaatoriks nimetatakse operaatorit := (/x1, nimetatakse funktsiooni u = f (x1 , . . . , xn ) osatuletiseks punktis P(x1,...,xn) muutuja xj (j 1,...,n) järgi ja tähistatakse fxj (P) /x2, ...., /xn). Seega grad f = f. f(x1,...,xn) / xj := lim (xj0) (xj u) / xj .Osatuletise võtmisel mitme muutuja funktsioonist f muutuja xj järgi võetakse selle
.., x n ) osamuut xi järgi saadakse andes sellele muutujale muudu xi ja jättes ülejäänud muutujad konstantseks. u = f ( x1 ,..., xi -1 , xi + xi , xi +1 ,..., x n ) - f ( x1 ,..., xi -1 , xi , xi +1 ,..., x n ) Def. 3.1. Funktsiooni z = f ( x, y ) osatuletist x järgi nimetatakse funktsiooni tuletist tingimusel, et y = const . z z f ( x + x , y ) - f ( x, y ) (3.1) = z x = lim x = lim x x 0 x x 0 x Selle funktsiooni osatuletiseks y järgi on tuletis z yz f ( x, y + y ) - f ( x, y ) (3.2) = z y = lim = lim y y 0 y y 0 y n-muutuja funktsiooni u = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) osatuletiseks x k suhtes on tuletis tingimusel, et kõik muutujad on konstantsed, välja arvatud x k . z z = lim k (3.3) x k x k 0 x k k = 1,2,..., n z
14) Mitmemuutuja funktsiooni osatuletise mõiste. Osatuletis kui funktsioon. Osatuletise mõiste: Olgu antud m-muutuja funktsioon z= (x1, x2, ..., xm) ja olgu A= (a1, a2, ...,am) punkt funktsiooni määramispiirkonnas. Piirväärtust lim (a1, a2, ...,ai-1, xi,...,am) - (a1, a2, ...,ai-1, ai,...,am) xiai xi-ai nim funktsiooni osatuletiseks argumendi xi järgi punktis A ja tähistatakse ´xi (A) või z ( A ) või z (A) xi xi Osatuletis kui funktsioon. Eksisteerigu funktsioonil lõplik osatuletis muutuja xi järgi mingi piirkonna D kõigis punktides. See täh et igale punktile P piirkonnast D saab vastavusse seada ühe kinlda reaalarvu ´xi(P). Siis on osatuletis `xi piirkonnas D määratud funktsioon.
14) Mitmemuutuja funktsiooni osatuletise mõiste. Osatuletis kui funktsioon. Osatuletise mõiste: Olgu antud m-muutuja funktsioon z= (x1, x2, ..., xm) ja olgu A= (a1, a2, ...,am) punkt funktsiooni määramispiirkonnas. Piirväärtust lim (a1, a2, ...,ai-1, xi,...,am) - (a1, a2, ...,ai-1, ai,...,am) xiai xi-ai nim funktsiooni osatuletiseks argumendi xi järgi punktis A ja tähistatakse ´xi (A) või z ( A ) või z (A) xi xi Osatuletis kui funktsioon. Eksisteerigu funktsioonil lõplik osatuletis muutuja xi järgi mingi piirkonna D kõigis punktides. See täh et igale punktile P piirkonnast D saab vastavusse seada ühe kinlda reaalarvu ´xi(P). Siis on osatuletis `xi piirkonnas D määratud funktsioon.
aramispiirkonnas. Piirv¨a¨ artust f (a1 , a2 , . . . , ai-1 , xi , ai+1 , . . . , am ) - f (a1 , a2 , . . . , ai-1 , ai , ai+1 , . . . , am ) lim xi ai xi - ai (6.10) nimetatakse funktsiooni f osatuletiseks argumendi xi j¨ argi punktis A ja t¨ahistatakse f fxi (A) v~oi (A) v~oi f (A) . xi xi Osatuletis kui funktsioon. Eksisteerigu funktsioonil f l~oplik osatuletis muu- tuja xi j¨argi mingi piirkonna D k~oigis punktides. See t¨ahendab et igale punktile
x + x, y + y ) f (x, y) 44. kahe muutuja funktsiooni piirväärtus - arvu A nimetatakse funktsiooni f (x, y ) piirväärtuseks punkti P lähenemisel punktile P0 , kui iga arvu > 0 korral leidub arv r > 0 , et kõigi võrratust | PP0 | < r (vektori pikkus) rahuldavate punktide P puhul kehtib võrratus | f (x, y) A | < ja kirjutatakse lim f ( x, y) = A , x x0 ja y y0 45. mitme muutuja funktsiooni osatuletis - funktsiooni z = f(x, y, u,...) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu x z ja muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile: z ` x = lim x z / x kui x 0 Osatuletis y järgi: z ` y = lim y z / y kui y 0 46. mitme muutuja funktsiooni lokaalne ekstreemum - öeldakse, et funktsioonil z = ( x, y ) on punktis P0 (x0 , y0 ) lokaalne ekstreemum, kui tal on selles punktis lokaalne maksimum või miinimum. 5 47
P A 3. ei kehti võrdus lim f (P ) = f ( A) . P A 2 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 5. Mitme muutuja funktsiooni osatuletis Olgu antud funktsioon z = f ( x1 ,..., x m ) . Olgu argumendi xi (1 i m ) muut xi . Def. Funktsiooni z = f ( x1 ,..., x m ) osatuletiseks muutuja xi (1 i m ) järgi punktis P( x1 ,..., x m ) nimetatakse piirväärtust f ( x1 ,..., xi -1 , xi + xi , xi +1 ,..., x m ) - f ( x1 ,..., x m ) f xi := lim . xi 0 x i f z Tähistus: f xi = f xi (P ) = z xi = =
Seda võrdust nimetame parsevali võrduseks.Lause: Funktsiooni f Fourier’ rida koondub 1 𝑖𝑘𝜋𝑥 −𝑖𝑘𝜋𝑡 𝑙 𝑘𝜋 𝜋 ∆xi→0 ∆∆xiu ∆xi , siis nimetatakse seda piirväärtust funktsiooni u = f(x1, . . . , xn) (esimest järku) osatuletiseks punktis keskmiselt funktsiooniks f parajasti siis kui kehtib Parsevali võrdus. Tõepoolest, ‖𝑓 − 𝑆𝑛 ‖22 = 〈𝑓, 𝑓〉 − ∑𝑛𝑘=0 𝑎𝑘2 . 𝑓(𝑥)~ 2𝑙 ∑𝑘∈𝑍 𝑒 𝑙 ∫−𝑙 𝑓(𝑡)𝑒 𝑙 𝑑𝑡. Tähistame 𝜔 ≔ 𝑘 ja ∆𝜔𝑘 ≔ 𝜔𝑘 − 𝜔𝑘−1 = 𝑙 ∶.
Fikseerime kahe muutuja funktsiooni z = f (x, y) m¨a¨aramispiirkonnas u ¨he punkti P (x, y). J¨attes muutuja y konstantseks, muudame muutujat x suuruse x v~orra ja leiame funktsiooni osamuudu x j¨argi x z. Definitsioon 1. Piirv¨a¨artust z x z f (x + x, y) - f (x, y) = lim = lim (6.6) x x0 x x0 x nimetatakse kahe muutuja funktsiooni f (x, y) osatuletiseks x j¨argi. f Osatuletist x j¨argi t¨ahistatakse veel zx , fx (x, y), . x J¨attes muutuja x konstantseks, muudame muutujat y suuruse y v~orra ja leiame funktsiooni osamuudu y j¨argi y z. Definitsioon 1. Piirv¨a¨artust z y z f (x, y + y) - f (x, y) = lim = lim (6.7)
annaabi.ee 
