Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Operatsioonianalüüs". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
lahend, 3333, 333333, 6667, optimaalset, ülejääk, simpleksmeetod, sööt, toitaine, väärtustele, 666667, nõudlus, sihifunktsioon, duaalne, sööta, tooraine, juku, miku, piiridesse, ratsioon, karamell, 4500, simplekstabel, toormaterjali, tootma, tükk, esialgse, tootmisressurss, resurssi, kasumile, ratsiooni, koostamiseks, kakaopulber, 4800, 420003. kitsendus x1 x2 0 11 22 0 x2 <= 22 B Ülesanne 2 Firma toodab kahte tüüpi heinapallide kiletajaid K1 ja K2. Kiletaja K2 valmistamine nõuab kaks korda rohkem tööd kui kiletaja K1 valmistamine. Firmal on tööjõudu maksimaalselt 2000 kiletaja tootmiseks. Materjali kogus võimaldab kokku toota mitte rohkem kui 1500 kiletajat. Kiletaja K1 nõudlus ei ületa 1200 masinat. Kiletaja K2 müügimaht ei ole suurem kui 600 masinat. Kui palju erinevat tüüp kiletajaid peab firma tootma, et kasum kujuneks suurimaks, kui kiletaja K1 tootmisest saadav kasum on 90 eurot ja kiletaja K2 tootmisest 105 eurot? 1. Püstitada lineaarse planeerimise ülesanne põhikujul: a) tundmatud x1-kiletaja K1 partiide arv x2-kiletaja K2 partiide arv b) kitsendused
3. kitsendus x1 x2 0 11 22 0 x2 <= 22 B Ülesanne 2 Firma toodab kahte tüüpi heinapallide kiletajaid K1 ja K2. Kiletaja K2 valmistamine nõuab kaks korda rohkem tööd kui kiletaja K1 valmistamine. Firmal on tööjõudu maksimaalselt 2000 kiletaja tootmiseks. Materjali kogus võimaldab kokku toota mitte rohkem kui 1500 kiletajat. Kiletaja K1 nõudlus ei ületa 1200 masinat. Kiletaja K2 müügimaht ei ole suurem kui 600 masinat. Kui palju erinevat tüüp kiletajaid peab firma tootma, et kasum kujuneks suurimaks, kui kiletaja K1 tootmisest saadav kasum on 90 eurot ja kiletaja K2 tootmisest 105 eurot? 1. Püstitada lineaarse planeerimise ülesanne põhikujul: a) tundmatud x1-kiletaja K1 partiide arv x2-kiletaja K2 partiide arv b) kitsendused
1. Püstitada lineaarse planeerimise ülesanne põhikujul: a) tundmatud b) kitsendused c) sihifunktsioon 2. Koostada algsimplekstabel ülesande lahendamiseks simpleksmeetodil. 3. Lahendada ülesanne simpleksmeetodil. 4. Optimaalse lahendi analüüs: a) leida primaarne lahend ning anda tundmatute optimaalsetele väärtustele majanduslik tõlg b) uurida optimaalse lahendi stabiilsust, kui muutub teise toote kasum c2 c) uurida optimaalse lahendi stabiilsust, kui muutub I tootmisressurss b1 d) kirjutada välja duaalne lahend ja tõlgendada saadud lahendit. 5. Koostada esialgse ülesandega duaalne ülesanne. 6. Lahendada duaalne ülesanne M-meetodiga.
Tundmatute mittenegatiivsus: x1<=0, x2<=0, x3<=0, x4<=0 Viin sihifunktsiooni suurused ühele poole: Z-20x1-10x2 -4x3 -8x4 =0 Lisan abitundmatud võrrandi saamiseks: 2x1 + 1x3 + 4x4 + x5 <= 400 4x1 + 2x2 + 4x3 + + x6 <= 200 1x1 + 1x2 + 2x3 + 4x4 + x7 <=100 x2 + + 4x4 +x8 <=80 x1>=0, x2>=0, x3>=0, x4>=0, x5>=0, x6>=0, x7>=0, x8>=0 Kus siis X5 - pärisnaha ülejääk X6 kanga nr 1 ülejääk X7 - kunstinaha ülejääk X8 kanga nr 2 ülejääk Andmed simplekstabelis: x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 Z B Z -20 -10 -4 -8 0 0 0 0 1 0 x5 2 0 1 4 1 0 0 0 0 400
333333333 400 192.85714286 Allowable Decrease 1.0000E+030 1.0000E+030 0.5 2.4285714286 10.333333333 1.0000E+030 1.0000E+030 Allowable Decrease 85 300 112.5 10 9 200 800 400 Ülesanne 1 Firmas valmistatakse 7 toodet: A, B, C, D, E, F ja G, milleks kasutatakse kahte masinat P1 ja P2 ning kolme toormaterjali R1, R2, R3. Nõudlus erinevate toodete järgi on toodud tabelis. Vajaminevad andmed: Ressursi kulu ühe toote valmistamiseks Ressurss A B C D E F R1 0.1 0.3 0.2 0.1 0.2 0.1 R2 0.2 0.1 0.4 0.2 0.2 0.3 R3 0
Milline võiks olla firma päevane tootmisprogramm raadiovastuvõtjate tootmiseks, et nende realiseerimisest saada maksimaalset kasumit, kui kasumit saadakse vastavalt 30 ja 20 eurot raadiovastuvõtja kohta. 1. Määrata kindlaks tundmatud 2. Koostada kitsendused 3. Esitada sihifunktsioon sõnadega ja matemaatiliselt. 4. Lahendada ülesanne graafiliselt. 5. Milline on optimaalne lahend ja sellele vastav sihifunktsiooni väärtus? 1 RV 2 RV Võimsus I tüüpi liin 1 60 II tüüpi liin 1 75 Elektronskeem 10 8 800 x1 <'='60 x2 <'='75 10x1+8x2<'='800 F= 30x1+20x2 -> max x1>'='0, x2>'='0 esimene kitsendus x1<'='60 teine kitsendus x2<'='75
a. Ei, sest tabelis leidub negatiivseid arve b. Ei, sest ülesandel puuduvad lahendid c. Ei, sest mitteühikveerus leidub negatiivseid arve d. Jah, sest sihifunktsiooni reas on null mitteühikveerus ehk x3 veerus e. Jah, sest sihifunktsiooni reas on null mitteühikveerus ehk x2 veerus Tagasiside Õige vastus on: Jah, sest sihifunktsiooni reas on null mitteühikveerus ehk x2 veerus . Küsimus 3 Väär 0,00 punkti 1,00-st Küsimuse tekst LPÜ alternatiivne lahend tähendab, et Vali üks: a. Sihifunktsiooni väärtus on teine, kuid tegevusplaan on sama b. sihifunktsiooni väärtus on sama, kuid tegevusplaan on teine c. optimaalne lahend puudub ning seda asendab alternatiivne lahend Tagasiside Õige vastus on: sihifunktsiooni väärtus on sama, kuid tegevusplaan on teine . Küsimus 4 Õige 1,00 punkti 1,00-st Küsimuse tekst Kas on tegu optimaalse simplekstabeliga? x1 x2 x3 x4 VL
HULGATEOORIA PÕHIMÕISTEID HULK - algmõiste, intuitiivse definitsiooni järgi objektide kogum. George Cantor (1845-1918) - saksa matemaatik, hulgateooria rajaja. Hulgad jaotuvad lõpmatuteks ja lõplikeks. Meie kursuses käsitletakse lõplikke hulki, mõnikord ka lõpmatuid loenduvaid hulki. Hulgateoreetilised operatsioonid Hulkade ühend A B = { x ( x A) V ( x B ) } Hulkade ühisosa (lõige) A B = { x ( x A) & ( x B ) Hulga täiend A = { x ( x I ) & ( x A ) }, kus I on nn. universaalhulk. Hulkade vahe A B = { x ( x A) & ( x B ) } Hulkade sümmeetriline vahe A B = { x (( x A ) & ( x B )) V (( x A ) & ( x B )) } Hulga A astmehulgaks 2A nimetatakse hulga A kõigi alamhulkade hulka. Hulgateoreetiliste operatsioonide omadused Kommutatiivsusseadused A B = B A B = B Assotsiatiivsusseadused A ( B C ) = ( A B ) C A ( B C ) = ( A B )
AIY3310 Diskreetne matemaatika Lühikonspekt Käesolev lühikonspekt katab suure osa aines AIY3310 (endise koodiga LIY3310) loetavast. Samal ajal ei saa seda materjali vaadelda kui antud aine täiskonspekti, mille läbitöötamine garanteeriks hea eksamiresultaadi. Loengutes ja harjutustundides käsitletakse mitmeid probleeme tunduvalt põhjalikumalt. Sellest hoolimata usun, et antud kirjutisest on paljudele tudengitest lugejatele kasu valmistumisel kontrolltööks ja eksamiks. Margus Kruus HULGATEOORIA PÕHIMÕISTEID HULK - algmõiste, intuitiivse definitsiooni järgi objektide kogum. George Cantor (1845-1918) - saksa matemaatik, hulgateooria rajaja. Hulgad jaotuvad lõpmatuteks ja lõplikeks. Meie kursuses käsitletakse lõplikke hulki, mõnikord ka lõpmatuid loenduvaid hulki. Hulgateoreetilised operatsioonid · Hulkade ühend AB={x |(xA)V (xB)} · Hulkade ühisosa (lõige) AB={x |(xA)& (xB) · Hulga täiend A = { x | ( x I ) & ( x A ) }, kus I on nn. universaalhulk. ·
.......... x = n Süsteemi lahendiks nimetatakse suurusi n , mis rahuldavad antud süsteemi. Süsteemi on võimalik kirjutada maatriksite abil: A = (aik) süsteemi maatriks, mis koosneb tundmatute kordajatest, B = (bi) _ vabaliikmete maatriks-veerg, X = (xk) tundmatute maatriks-veerg. Nende maatriksite abil on lineaarse võrrandisüsteemi kuju AX = B. a. Antud võrrandisüsteemil võib leiduda ainult üks lahend, kui m = n ja DA 0. b. Süsteemil puudub lahend, kui võrrandid on vastuolulised. c. Süsteemil on lõpmata palju lahendeid,kui tundmatute arv on suurem võrrandite arvust või võrrandid on lineaarselt sõltuvad s.t. DA = 0. Sel juhul kasutatakse üldlahendit ja erilahendeid. Süsteemide lahendamise meetodid. 1. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine maatrikskujul:
.......... x n =n mis rahuldavad antud süsteemi. Süsteemi on võimalik kirjutada maatriksite abil: A = (aik) süsteemi maatriks, mis koosneb tundmatute kordajatest, B = (bi) _ vabaliikmete maatriks-veerg, X = (xk) tundmatute maatriks-veerg. Nende maatriksite abil on lineaarse võrrandisüsteemi kuju AX = B. a. Antud võrrandisüsteemil võib leiduda ainult üks lahend, kui m = n ja DA 0. b. Süsteemil puudub lahend, kui võrrandid on vastuolulised. c. Süsteemil on lõpmata palju lahendeid,kui tundmatute arv on suurem võrrandite arvust või võrrandid on lineaarselt sõltuvad s.t. DA = 0. Sel juhul kasutatakse üldlahendit ja erilahendeid. Süsteemide lahendamise meetodid. 1. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine maatrikskujul:
.. , An ja b. Uue süsteemi leidmiseks tuleb süsteemi igas reas vasakul pool korrutada vastava järjekorranumbriga tundmatu veerumaatriks esimese tundmatu veerumaatriksiga, seejärel teisega jne. Paremale poole jääb vastava järjekorranumbriga tundmatu veerumaatriksi korrutis vabaliikmete veerumaatriksiga. Märkused. 1) Saame võrrandisüsteemi lahendid, kui projekteerime parema poole b veergude ruumi. 2) Kui parem pool b kuulub veergude ruumi, on Ax = b täpne lahend leitav Gaussi meetodiga. 3) TEOREEM: Normaalvõrrandisüsteemil ATA = ATb on ühene lahend, kui maatriksi A veerud on lineaarselt sõltumatud. 4) Gaussi teisenduste korral vähimruutude lahend muutub, see pole vähimruutude ülesandes lubatud. 4. Kumerad hulgad Def: Hulk QcR2 on kumer, kui kõikide punktipaaride x1,x2 jaoks kogu neid punkte ühendav sirglõik kuulub sellesse hulka. Teoreem: Kumerate hulkade Q1...Qk ühisosa on kumerhulk. Tõestus: =!!!! !
Ülesanne 1. Lahendada transpordiülesanne. 1. Kas transpordiülesanne on kinnine või lahtine? Miks? kinnine pakutav ja nõutav kogus samad 2. Leida transpordiülesande esialgne lubatav lahend: a) loodenurga meetodil; b) Vogeli meetodil 3. Kontrollida lahendi optimaalsust lähtudes Vogeli meetodil saadud lahendist a) leida potentsiaalid b) leida teisendatud transpordikulud. 4. Leida optimaalne lahend lähtudes Vogeli meetodil saadud lahendist. Kirjutada välja lahend. 5. Leida optimaalsed transpordikulud.
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . .
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨ avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsio
a1 = a a0 = 1 a n a n am an © Allar Veelmaa 2014 5 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium LINEAAR- JA RUUTVÕRRANDI LAHENDAMINE 1) Lineaarvõrrandi ax + b = 0 lahendamine b Kui a ≠ 0, siis lahend on x a Kui a = 0, siis on kaks võimalust: a) kui b = 0, siis võrrandi 0 · x = 0 lahendiks sobib iga arv. b) kui b ≠ 0, siis võrrandil 0 · x = b lahendeid ei ole. 2) Ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendamine: Kui a = 1, siis sellist võrrandit nimetatakse taandatud ruutvõrrandiks ja esitatakse kujul x2 + px + q = 0 ning see lahendatakse valemiga p p2
< graafiku abil < analüütiline esitus < nooldiagrammina < sõnaline formuleering Mitte igat funktsiooni ei saa esitada analüütiliselt, valemi abil (vt näide 2.1). Majanduses kasutatava matemaatilise modelleerimise korral püütakse erinevate suuruste vahel valitsevaid seoseid kirjeldada analüütiliselt, valemi abil. ÜLESANDED 2.1 Joonisel 11 on erinevatel graafikutel suuruse x väärtustele seatud vastavusse suuruse y väärtused. Millised graafikud kujutavad funktsionaalset sõltuvust y=f(x) ? Joonis 11 Astendamine. Polünoomid. Kui n on positiivne täisarv, siis xn tähendab, et x on iseendaga korrutatud n korda: xn = x@ x @ x @ ... @ x.
KVANDI EKSAM Lineaarsed planeerimisülesanded: Mõisted: · Matemaatilised meetodid võimaldavad majandusprobleeme formaliseerida ja neid lahendada. Tegelevad optimaalsete lahendite väljatöötamisega · Lineaarne planeerimisülesanne ülesanne leida tundmatutele sellised mittenegatiivsed väärtused mis kajastaksid sihifunktsiooni optimaalset väärtust, rahuldades kõiki kitsendusi. · Lubatav lahend ehk plaan - sellised lahendid, mis rahuldavad kõiki kitsendusi ja tingimussüsteemi mittenegatiivsuse nõuet · Optimaalne lahend tundmatute väärtused, mis muudavad sihifunktsiooni kas maksimaalseks või minimaalseks · Optimaalsuskriteerium juhtimiseesmärgi kvantitatiivne hinnang( sihifunktsioon ) · Optimeerimine vastavalt sihifunktsioonile ja kitsendustele parima lahendi leidmine Max põhikujuline ülesanne:
YMM3731 Matemaatiline analu¨u¨s I 2007/08 ~o.-a. su¨gissemestril 3,5 AP 4 2-0-2 E S Dots. Lembit Pallas TTU¨ Matemaatikainstituut V-404, tel. 6203056 e-post: [email protected] K¨asitletavad teemad on toodud punktide kaupa. Neid punkte tuleb vaadelda ka kui kollokviumide ja eksami teooriak¨ usimusi. 1. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid 2. Funktsioonide liigitamine (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioo- nid, kasvavad ja kahanevad funktsioonid) 3. P¨o¨ordfunktsioon 4. Liitfunktsioon 5. Jada piirv¨aa¨rtus 6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused 8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused 9. Piirv¨a¨artusteoreemid 10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine 11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfunktsioonide pidevus 13. L~oigul
___.___ .. Mathcad 6.0 Plus 2001 2 621.391.2(07) .. : - Mathcad 6.0 Plus. , - , 2001. 189. : , , - - . Mathcad 6.0 Plus. . " - " , . . 2. . 155. .: 14 . .. , . . , . 3 1. 1.1. 1.1.1. -- x(t) = x(t+mT), T -- , m - - , m= 1, 2, .... x(t) - x(t ) = a 0 + (a k cos k1 t + b k sin k1 t ) =a 0 + A k cos(k1t + k ) (1.1) k =1 k =1 1 = 2 -- 1- ; a 0 , a k b k -- T , : t +T t +T t +T 1 2 2 a
c) Võrrandi mõlemat poolt võib korrutada (jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga. Lineaarvõrrand Lineaarvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul ax+b=0, kus a ja b on antud arvud ning x on tundmatu. b ax + b = 0 ax = -b | :a x=- a Kui a0, siis võrrandil on üks lahend. Kui a=0 ja b0, siis lahendid puuduvad. Kui a=b=0, siis on lahendeid lõpmatult. Näiteülesanne 1: Näiteülesanne 2: 2(x - 3) + x + 6 = 3x 17 + 5(x 2) = 5x 2x 6 + x + 6 - 3x = 0 17 + 5x 10 -5x = 0 3x - 3x - 6 + 6 = 0 7=0 0=0 VASTUOLU, seega lahendid puuduvad. SAMASUS, seega lahenditeks on kõik reaalarvud.
1. 1. N n . , m k . N = 20, n = 5, m = 4, k = 2. . . C nk C Nm--nk C 52 C152 5!15!4!16! 5 4 3 15 14 4 P ( A) = = = = = 0,217 . CN m C 204 2!3!2!13!20! 2 20 19 18 17 2. n , k . , m . n = 10, k = 4, m = 2. . . C km C 42 4!2!8! 43 2 P ( A) = m = 2 = = = = 0,133 . Cn C10 2!2!10! 10 9 15 3. . 15% , 25%, 30%. , ( ) . . : A1 ; A2 ; A3 . , ( ) P ( A) = P ( A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 ) = = P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P ( A1 A2 A3 ) = = P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) + P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) + P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) = = 0,85 0,75 0,3 +
EKSAMIKÜSIMUSED 2009 1. Infoedastussüsteemi struktuurskeemid. Üksikute osade: infoallikas, kooder, edastuskanal jne ühtsed kirjeldused. Infoedastuse põhiseadused. (Slaididelt: paragrahv 1) Struktuurskeem: info allikas -> kodeerimine -> edastuskanal -> dekodeerimine -> info tarbija Info allikas edastamisele kuuluvad teatud sõnumid ajalise järjestikuse jadana, siia lisandub ideaalne vaatleja, kes saab sõnumis aru; info allikad on pidevad (elektrilised signaalid) ja diskreetsed (lõplik arv teateid, diskreetsed allikad võivad olla lihtallikad ja kahendallikad); diskreetsed lihtallikad võivad olla mäluta (üksteiele järgnevad sümbolid on teineteisest statistiliselt sõltumatud) või mäluga (sümbolid on stat. sõltuvad); diskreetsel kahendallikal on kaks võimalikku väljundsümbolit null ja üks; Kodeerimine kooder on sobituste kogu; Edastuskanal edastuskanalil on välismõjud; edastuskanal on tehniliste vahendite kogum, toimib teatud reaalses füüsikalises
Ruutfunktsioon Sissejuhatav kordamine 1. Teosta tehted. Vastustes vabane negatiivsetest astendajatest. 3 1 2 3 1 a) 2 a b c 3 Lahendus: ; 1 4 2 s 3 t b) 4 5 3 4 s t Lahendus: . 2. Lihtsusta avaldis. a) xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) Lahendus: xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) = = x2y + 3xy2 + x3 2x2y xy2 + x2y 2xy2 y3 = = x 3 y3 = = (x y)(x2 + xy + y2) b) (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) Lahendus: (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) = 9a2 12a + 4 + 4 9a2 = = 8 12a 3. Lahenda võrrand. a) 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111 Lahendus: 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111; 24x2 + 5x 1 24x2 + 6x
kasumit, mida oleks võimalik saada, kui i-ndat ressurssi oleks ühe ühiku võrra rohkem. Sel juhul duaalset tundmatut yi nimetatakse ka ressursi fiktiivseks hinnaks, s.t. tegemist on maksimaalse hinnaga, mida tootja võiks iga täiendava ressursiühiku eest maksta. Selle hinnaga (või kallimalt) võiks tootja ka ressurssi (toorainet) müüa. Näiteks minimaalselt selle hinnaga on otstarbekas maad välja rentida või maksimaalselt selle hinnaga maad juurde rentida. DÜ lahend võimaldab otsustada, kuidas muutub esialgse ül sihifunktsiooni optimaalne väärtus, kui muuta esialgse ülesande kitsendussüsteemi vabaliikmeid. Esialgse ül igale kitsendusele vastab DÜ-s üks muutuja. I-nda muutuja väärtus duaalse ül lahendis näitab, kui palju vabaliikme bi väikesel muutumisel muutub esialgse ül sihifunktsiooni väärtus (vabaliikme muutumine ühe ühiku kohta). Kui tegemist on tootmisplaani ül-ga, siis DÜ
. . . . . . . . . . . . . . 22 Kontrolltöö teemad 1. Pöördmaatriks ja selle leidmine ridade elementaarteisendustega. Maatriksvõrrandite lahendamine. 2. Maatriksi astaku leidmine. 3. Gauss'i meetod lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks. Süsteemi üld- ja erilahendi leidmine. Eksamiteemad 1. Pöördmaatriksi mõisted. Ruut-, ühik- ja nullmaatriks. Regulaarne ja singulaarne maatriks. 2. Maatriksi astak ja selle leidmine. 3. Lineaarvõrrandisüsteemi mõiste, lahend, süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. 4. Kronecker'i-Capelli teoreemi sõnastus. Cramer'i peajuht. 5. Gaussi meetod lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks. Süsteemi üld- ja erilahend. Homogeenne lineaarvõrran- disüsteem. Triviaalne lahend. PEATÜKK 2. PÖÖRDMAATRIKS. LINEAARVÕRRANDISÜSTEEMID 2.1 Maatriksi pöördmaatriks Antud alapeatükis eeldame, et maatriksid on n-järku ruutmaatriksid kujul
Sellisel juhul tuleb esmalt uurida kui nn "musta kasti".
Optimeerimisülesande kuju: üldkuju (y) või (y)min tingimusel, et y kuulub hulka S, mis on
lubatavate lahendite hulk. Lahendite lubatavus on määratud lisatingimuste ehk kitsendustega.
Lisatingimused võivad olla antud nii võrrandite kui võrratuste kujul
Optimeerimisülesannete olemus: Kui kitsendused moodustavad võrrandisüsteemi m võrrandiga
gj(y1, ..., yn)=0, j = 1, ..., m;
siis, juhul kui m=n, saadakse üks lahend; m>n, lahend puudub; m
kvantitatiivselt, so arvude abil); x soovitavat taset piiravad kitsendused (esineb üks või mitu); x otsustamiseks on vaja alternatiive; x sihtfunktsioone ja kitsendusi väljendatakse kas võrrandite või võrratustena. Võimalikud lahendusmeetodid: x graafiline - kasutatakse lineaarse planeerimise õppimisel, see võimaldab paremini mõista probleemi olemust. Saab kasutada vaid 2 tundmatu korral; x simpleksmeetod - järkjärguliste teisenduste abil otsitakse suurima (väiksema) sihifunktsiooniga lahendit. Lineaarse planeerimise puhul on sihifunktsioon ja kitsendused lineaarsed. 2. Mittelineaarne planeerimine. Majandusprobleemi detailsem ja sügavam analüüs toob sageli välja vajaduse mõned kitsendused või sihifunktsioon esitada mittelineaarselt. Sellist majandusmatemaatika osa nimetatakse mittelineaarseks planeerimiseks. x Tinglik ekstreemum; x Lagrange`i meetod.
Kontrolling ja juhtimisarvestus Kulude liigitamine Harjutused Teema 1.Kulude liigitamine Ülesanne 1.1 Iga järgmise kuu kohta märkida, kas tegemist tootekuluga (t) või perioodikuluga(p): a) veinitehase poolt ostetud viinamarjade maksumus; b) pizzaahjude soetamismaksumuse mahaarvestus (kulum) pizzarestoranis; c) lennukompaniis töötavate lennukimehaanikute palgad; d) turvameeste palgad linna kaubamajas; e) kulud kommunaalteenustele tootmistsehhis; f) tootmisseadmete kulum; g) müügijuhi ametiauto kulum; h) tootmishoone kindlustus; i) tootmisjuhi palk; j) turustusjuhi põhipalk; Ülesanne 1.2 Viguri valmistamise kulu tooteühikule on järgmine: 1 Põhimaterjal 6.0 2 Põhitöötasu 1.2 3 TÜK muutuv osa 0.6 4 TÜK püsiv osa
Mainori Kõrgkool Matemaatika ja statistika Loengukonspekt Silver Toompalu, MSc 2008/2009 1 Matemaatika ja statistika 2008/2009 Sisukord 1 Mudelid majanduses ............................................................................................................. 4 1.1 Mudeli mõiste ......................................................................................................................... 4 1.2 Matemaatilise mudeli struktuur ja sisu ................................................................................... 4 2 Funktsioonid ja nende algebra............................................................................................... 5 2.1 Funktsionaalne sõltuvus ....................................
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL ELEKTRIAJAMITE JA JÕUELEKTROONIKA INSTITUUT ROBOTITEHNIKA ÕPPETOOL MIKROPROTSESSORTEHNIKA TÕNU LEHTLA LEMBIT KULMAR Tallinn 1995 2 T Lehtla, L Kulmar. Mikroprotsessortehnika TTÜ Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut. Tallinn, 1995. 141 lk Toimetanud Juhan Nurme Kujundanud Ann Gornischeff Autorid tänavad TTÜ arvutitehnika instituudi lektorit Toomas Konti ja sama instituudi dotsenti Vladimir Viiest raamatu käsikirjas tehtud paranduste ja täienduste eest. T Lehtla, L Kulmar, 1995 TTÜ elektriajamite ja jõuelektroonika instituut, 1995 Kopli 82, 10412 Tallinn Tel 620 3704, 620 3700. Faks 620 3701 ISBN 9985-69-006-0 TTÜ trükikoda. Koskla 2/9, Tallinn EE0109 Tel 552 106 3 Sisukord Saateks
LTMS.00.022 ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS Loengukursus Tartu Ülikooli loodus- ja täppisteaduste valdkonna üliõpilastele 2019./2020. õppeaasta Toivo Leiger Joonised: Ksenia Niglas Pisitäiendused 2016–20: Märt Põldvere, Natalia Saealle, Indrek Zolk, Urve Kangro 2 Sisukord 1 Reaalarvud 6 1.1 Järjestatud korpused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Korpuse aksioomid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Järjestatud korpus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Täielik järjestatud korpus . . . . . . . . . . . . .
Elektroonika Loengute materjalid: skeemid, diagrammid, teesid. 1 Sisukord 1. Elektroonika ajaloost (arengu etapid, elektroonika osad, elektronlambid, elektronkiiretoru, elektronseadmete montaazi tüübid)............................................................................................... 3 2. Elektroonika passiivsed komponendid.......................................................................................... 14 3. Pooljuhtseadised (dioodid, bipolaartransistorid, väljatransistorid, türistorid)............................... 23 4. Optoelektroonika elemendid, infoesitusseadmed.......................................................................... 42 5. Analoogelektroonika lülitused....................................................................................................... 60 5.1. Elektrisignaali võimend
annaabi.ee 
