B( x) · Kasutame murru nulliga võrdumise tunnust: murru väärtus võrdub 0-ga, kui tema lugeja võrdub 0-ga A( x) A( x) 0 0 B( x) B( x) 0 A( x) Võrrandi viimine kujule 0 B( x) Kõik liikmed tuleb kirjutada ühisele murrujoonele Tuletan meelde murdude liitmise ja lahutamise eeskirja! Murrud tuleb teisendada ühenimelisteks. Algebraliste murdude liitmine ja lahutamine 1. Et leida murdude ühist nimetajat, tegurdan kõikide murdude nimetajad ja leian siis nende vähima ühiskordse. 2. Leian kõikidele murdudele laiendajad (tegurid, mis antud murru nimetajast on puudu võrreldes ühise nimetajaga). 3. Nimetajasse kirjutan leitud ühise nimetaja. Lugejasse kirjutan esialgsete lugejate ja leitud laiendajate korrutiste summa/vahe. A( x)
- Tegurdamine Avaldise muutmine korrutiseks. 1.Teguri toomine sulgude ette. 2. Valemite kasutamine. ( (a+b2) = a2 + 2ab +b2 / (a + b)((a b) = a2 - b2 3. Ruutkolmliikme tegurdamine. ( ax2 +bx+c = a(x-x1)(x-x2) ) 4. Rühmitamisvõte. - Avaldise teisendamine tähendab avaldise võimalikult lihtsa või meile sobiva kuju andmine. - Võrdust, mille poolteks on võrdsed avaldised nim. samasuseks. Näide: 2. Arvulise murru taandamine - Taandamine-murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva avaldisega * tegurdatakse murru lugeja ja nimetaja; * taandatakse arvulised tegurid * taandatakse muutujat sisaldavad võrdsed tegurid. Näide: 3. Korrutamine ja jagamine Korrutamine- algebraliste murdude korrutis võrdub murruga, mille lugejaks on antud murdude lugejate korrutis ja nimetajaks murdude nimetajate korrutis. 1. Tegurdamine 2. Viime ühisele murrujoonele 3
IV ruutkolmliikme tegurdamine st. lahenda vastav ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 b b 2 4ac lahendivalemiga x1; 2 2a ja pane lahendid vastandarvudena sulgudesse - ax 2 + bx + c = a( x - x1 )(x - x 2 ) V kui muud ei saa, pane hulkliikmele lihtsalt sulud ümber (kui on + või – märke) 2 – a = ( 2 – a) TAANDAMINE- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühiste teguritega. Nendeks võivad olla üksikud täisarvud, üksikud tähed, sulgavaldised. Taandada saab ainult siis, kui hulkliige on tegurdatud st. kõik liitmised ja lahutamised on „peidetud” sulgude sisse ja siis läheb maha terve sulg korraga, mitte sealt seest üksikute liikmete haaval KORRUTAMINE- JAGAMINE 1) tegurda lugejad ja nimetajad 2) jagamiseks pööra tagumine murd ringi 3) kirjuta kõik ühele murrujoonele 4) taanda LIITMINE – LAHUTAMINE
III rühmitamine IV ruutkolmliikme tegurdamine st. lahenda vastav ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 b b 2 4ac lahendivalemiga x1; 2 2a ja pane lahendid vastandarvudena sulgudesse - ax 2 + bx + c = a( x - x1 )(x - x 2 ) V kui muud ei saa, pane hulkliikmele lihtsalt sulud ümber (kui on + või märke) 2 a = ( 2 a) TAANDAMINE- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühiste teguritega. Nendeks võivad olla üksikud täisarvud, üksikud tähed, sulgavaldised. Taandada saab ainult siis, kui hulkliige on tegurdatud st. kõik liitmised ja lahutamised on ,,peidetud" sulgude sisse ja siis läheb maha terve sulg korraga, mitte sealt seest üksikute liikmete haaval KORRUTAMINE- JAGAMINE 1) tegurda lugejad ja nimetajad 2) jagamiseks pööra tagumine murd ringi 3) kirjuta kõik ühele murrujoonele 4) taanda LIITMINE LAHUTAMINE
Murd- ja juurvõrrand © T. Lepikult, 2010 Murdvõrrandi definitsioon Murdvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles muutuja esineb murru nimetajas. Murdvõrrandit saab samasusteisenduste abil teisendada kujule f ( x) 0 g ( x) Murdvõrrandi lahendamiseks lahendatakse võrrand f ( x) 0, mis on esialgse võrrandi järeldus (lahendite arv võib olla kasvanud). Et muutuja x lubatavad väärtused on kitsendatud tingimusega g ( x) 0, siis tuleb lahendamisel alati kontrollida, kas saadud muutuja väärtused on esialgse võrrandi lahendeiks või mitte. algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Murdvõrrandi lahendamine
Tähistame (2х – 1)2 = t. t2 – 25t + 144 = 0 kust t1 = 9 и t2 = 16. (2х – 1)2 = 9 või (2х – 1)2 = 16. 2х – 1 = ±3 või 2х – 1 = ±4. Esimesest võrrandist : х = 2 и х = -1, teisest võrrandist: х = 2,5 и х = -1,5. Vastus: -1,5; -1; 2; 2,5. MURDVÕRRAND Murdvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles tundmatu on murru nimetajas. Murdvõrrandi lahendamiseks viiakse kõik võrrandi liikmed ühele poole võrdusmärki ja leitakse ühine nimetaja. Seejärel kasutatakse murru nulliga võrdumise tunnust: Murd võrdub nulliga siis ja ainult siis, kui lugeja on null ja nimetaja ei ole null. Näide 21 Lahendame võrrandi Murru väärtus on null, kui lugeja on null ja nimetaja nullist erinev, seega peavad üheaegselt olema täidetud tingimused 2x – 3 = 0, millest x = 1,5 ning x + 2 ¹ 0, ehk x ¹ –2. Murru nimetaja nulliga mittevõrdumist tuleb kontrollida selleks, et lahendite hulgast välja
a-n = 1/an a0 = 1 a1 = a 2. Lihtsustamine Abivalemid (a+b)2 = a2+2ab+b2 (a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3 (a-b)2 = a2-2ab+b2 a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2) a2-b2 = (a+b)(a-b) a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2) (a+b)3 = a3+a2b+ab2+b3 (b-a) = -(a-b) 3. Võrrandid ja võrrandisüsteemid Lineaarvõrrand Muutujaga liikmed ühele, vabaliikmed teisele poole. Näide: 2(x+2) + 3 = 5x -2 -> 2x + 4 + 3 = 5x 1 -> -3x = -9|:(-3) -> x=3 Ruutvõrrand Erinevad lahendusvõtted: ax2 +bx+c=0 1) Klassikaline lahendivalem 2) Taandatud võrrandi lahendivalem x2+px+q=0 (ruutliikme kordaja peab olema a=1) 3) Viete'i teoreem
4.ptk Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteem 8.klass Õpitulemused Näited 1.Kahe tundmatuga lineaarvõrrand - Ül.908 normaalkuju ax+by=c, esimese tundmatuga lineaarliige ax, teise teise | 12 tundmatuga lineaarliige by ja vabaliige c; tähed a,b ja c tähistavad arve, need on laiendajad on 12;4;2;3 võrrandi kordajad; kahe tundmatuga võrrandil on samad põhiomadused, mis 48x-4(2x-5)=2(y+2)-3(2x-3y) ühe tundmatuga võrrandil 48x-8x+20=2y+4-6x+9y 48x-8x-2y+6x-9y=4-20 NB kaks kahe tundmatuga lineaarvõrrandit 46x-11y=-16 normaalkuju moodustavad lineaarvõrrandisüsteemi 2.Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi Ül.901 normaaalkuju - võrrand üldkujul ax+by=c 3x-5(3y-4)=-3(x-2)+6
Murdvõrrandid Võrrandid, mis sisaldavad tundmatut murru nimetajas, on murdvõrrandid. Murdvõrrandite lahendamiseks peab kõigepealt oskama lihtsustada murde sisaldavaid avaldisi. 2x - 3 = 0. Näide 1. Lahendame võrrandi x+2 Murru väärtus on null, kui lugeja on null ja nimetaja nullist erinev, seega peavad üheaegselt olema täidetud tingimused 2x 3 = 0, millest x = 1,5 ning x + 2 = 0, ehk x = 2. Murru nimetaja nulliga mittevõrdumist tuleb kontrollida selleks, et lahendite hulgast välja eraldada need, mille korral nii lugeja kui ka nimetaja on üheaegselt nulliga võrdsed. Vastus: x = 1,5. 4 1 + 2 = 1. Näide 2. Lahendame võrrandi x+2 x -4
Näide 1 Lahendame võrratuste süsteemi 3 x - 1 - 13 - x < 7 x - 11( x + 3) 3 7 3 6 2 x + 7 < 3 x - 5 + 8 + 10 - 3 x 3 7 5 Lahendus Süsteemi lahendamiseks tuleb leida eraldi kummagi võrratuse lahendihulk ja siis nende hulkade ühisosa. Näide 1 (2) Esimese võrratuse lahendamisel viime kõik murrud vasakule poole võrratusmärki ja läheme üle ühisele murrujoonele: 3 x - 1 13 - x 7 x 11( x + 3) - < - 3 7 3 6 3x - 1 13 - x 7 x 11( x + 3) - - + <0 3 7 3 6 14(3 x - 1) - 6(13 - x) - 14 7 x + 7 11( x + 3) <0 42 42 x - 14 - 78 + 6 x - 98 x + 77 x + 21
a c ac b d bd Näide x y 3x z ( x y ) (3x z ) . 3a y 5 x 5 x (3a y ) algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Algebraliste murdude korrutamine ja jagamine Kahe murru jagatiseks on murd, mille lugejaks on jagatava lugeja korrutis jagaja nimetajaga, ja nimetajaks on jagatava nimetaja korrutis jagaja lugejaga: a c ad : b d bc Näide 5 x x 2 25 (5 x)( x 7) : 2 x 2 x 35 x 7 2 ( x 2 x 35)( x 25) 2 (5 x)( x 7) 1
Lahendus: Leiame nullkohad ruutvõrrandi järgi. Saame 2 t 2 5t 7 0; 5 5 2 4 2 7 5 25 56 5 9 t ; 22 4 4 59 t1 3,5; 4 59 t2 1. 4 Võrduse ax2 + bx + c = a(x x1)(x x2) järgi saame tulemuseks, et 2t2 5t 7 = 2(t 3,5)(t + 1). Ratsionaalavaldised ja murdvõrrandid Murru taandamine 1. Taanda järgnevad murrud. 6a a) 4 Lahendus: 6 b) 2a Lahendus: ab 2 c) ab Lahendus: 3a 2 b 3 d) 2b 2 Lahendus: 16x 3 y 5 e) 12x 3 y 4 Lahendus: 24m 5 n 6 p f) 18m 6 n 5 p 2 Lahendus: 2. Taanda järgnevad murrud. 3a 2 b 3 a) 6ab 3ab Lahendus: Selle murru nimetaja on hulkliige (kaksliige). Et murru taandamine saaks võimalikuks, tegurdame nimetaja. Saame 3ab 3b b) 6b 6ab
20 50 100 100 21 1197 ⋅100 57 6) 1,197: = = . 100 1000 ⋅ 21 10 57 Vastus. . 10 7 Näide 3. Leida x, kui 4 3 15 3 − 1 = 5,625. (5,5 + x) : 21 7 3 8 Lahendus. Esimese tehtega arvutame tundmatut x sisaldava murru väärtuse. Teises tehtes leiame selle murru nimetaja väärtuse. Nimetajas on jagatis, mille jagatava 5,5+x väärtuse arvutame kolmanda tehtega. Neljanda tehtega saame tundmatu x väärtuse. 4 3 15 3 3 5 1) = 1 + 5, 625 = 1 + 5 = 7; (5,5 + x) : 21 37 8 8 8 4 49 7 2) (5,5 + x ) : 21 73 = 3 : 7 = = ; 15 15 ⋅ 7 15
Kodune ülesanne Murdvõrrandi koostamine ja lahendamine Minu ülesanne: Üks suusataja läbis 20 km pikkuse distantsi 20 min kiiremini kui teine. Leia mõlema suusataja kiirus, kui esimese kiirus on 2 km/h suurem kui teisel. Lahenduskäik: Kuna „esimene“ ja „teine“ võivad ülesande lahendamisel ja lahenduse selgitamisel segadusse ajada, siis olgu esimese suusataja nimi Mati ja teise suusataja nimi Kati. Ülesandes antud andmete kohta koostasin tabeli. Järgenvalt selgitan, miks on tabelis andmed just nii kujutatud:
1. Kuidas liidetakse harilikke murdusid? Kõigepealt teisendatakse murrud ühenimelisteks. Harilike murdude liitmisel liidetakse murdude lugejad, nimetaja jääb endiseks. (Liigmurrud teisendame segaarvuks juhul, kui vastuseks on liigmurd.) 2. Kuidas korrutada harilikke murdusid? Harilike murdude korrutamisel korrutame lugeja lugejaga ning nimetaja nimetajaga. 3. Kuidas jagada harilikke murdusid? Selleks, et jagada harilikku murdu hariliku murruga tuleb jagatav korrutada jagaja pöördarvuga. 4. Kuidas teisendada segaarv kümnendmurruks? Selleks tuleb segaarv teisendada liigmurruks (nimetaja * täisosa + lugeja) ning seejärel teisendada liigmurd kümnendmurruks (lugeja / nimetaja) 5. Kuidas teisendada kümnendmurd segaarvuks? Täisosa jääb samaks, murdosast saab lugeja ning nimetaja valitakse vastavalt sellele, mitu
ax 2 + bx + c = a ( x - x1 )( x - x 2 ) , kus x1 ja x 2 on a b + a b = ab ( a+ b ) ruutvõrrandi ax + bx + c = 0 lahendid. 2 a- a = ( a) 2 - a = a ( a -1 ) 2.6 Võrrandid Lineaarvõrrand Murdvõrrand - võrrand, milles tundmatu ax + b = 0 esineb murru nimetajas. b Murru väärtus on null siis ja ainult siis, kui x = - , kui a 0 ; a murru lugeja on null ja nimetaja ei ole null. lahend puudub, kui a = 0 ja b 0 ;
milles a, b ja c on antud arvud ( ) ja x on tundmatu. MURDVÕRRAND JA VÕRRATUS Võrrandit, milles tundmatu asub ka murru nimetajas, nimetatakse murdvõrrandiks. Murdvõrrandi lahendamisel: 1) viime võrrandi kõik liikmed ühele poole võrdusmärki 2) viime kõik murud ühisele nimetajale 3) kasutame murru nulliga võrdumise tingimust: murd = 0 kui tema lugeja = 0 ja nimetaja ≠ 0 Murdvõrratus on võrratus, mis sisaldab muutujat murru nimetajas. JUURVÕRRAND JA VÕRRATUS Juurvõrrand on võrrand, milles muutuja esineb juuritavas. Näiteks ja on juurvõrrandid. Juurvõrrandi lahendamiseks tuleb muutujaga liikmed vabastada juurtest. Selleks astendatakse võrrandi mõlemat poolt juurijaga võrdse arvuga. Kui võrrandis on ainult üks juur, siis tuleb see jätta üksi võrrandi ühele poolele.
Lineaarvõrrandi lahendamine. Ruutvõrrandi lahendamine Lineaarvõrrand Ühe tundmatuga lineaarvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul ax + b = 0, kus a 0 ja b on antud arvud ja tähega x on tähistatud tundmatut. Seejuures nimetatakse korrutist ax lineaarliikmeks ja b vabaliikmeks. Näiteks on lineaarvõrrandid vabaliige lineaarliige 2 x 3 0, (tundmatu on tähistatud tähega x) 5 z 0, (tundmatu on tähistatud tähega z, vabaliige b = 0) Lineaarvõrrandid ei ole: 2 x 2 3 0, (kuna tundmatu on ruutu tõstetud) 2 3 5, (kuna tundmatut seoses ei esine) algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Lineaarvõrrandi lahendamine Lineaarvõrrandi ax + b = 0 ainsaks lahendiks on b x . a Nä
............................................................... 9 Ruutjuur................................................................................................................................9 Arvu n-es juur.....................................................................................................................10 Tehted juurtega...................................................................................................................10 Murru nimetaja vabastamine irratsionaalarvust................................................................. 10 Ratsionaalarvulise astendajaga aste........................................................................................11 Tehted astmete ja juurtega......................................................................................................11 Irratsionaalavaldise teisendamine...........................................................................................11
sealt vastuse lugemist. Vastuseks on lõik x2 4 0 4. 1p. Ruutvõrratuse lahendamine, mille lahendamine eeldab parabooli joonistamist ja sealt vastuse lugemist. Kuigi nullkohad puuduvad on võrratuse lahendiks kõik reaalarvud. 3 3x 2 1 5x 1 5. 3p. Teisendad võrratust, lahendad intervallmeetodil. Märgid joonisele õige piirkonna. Annad vastuse. Veaks oli nimetaja 5x+1 kadumine. Vastuseks on 2 vahemikku x 1 2 x x 3 3 x 8x 5 x 6 x 66 6. 4p. A. Lahendad esimese võrratuse. Avad sulud, lihtsustad, saad lineaarvõrratuse. Joonis ei ole vajalik x 8x x 8x 0 9x 0 B. Millal ? Sõltub sellest kas x on mittepositiivne või mittenegatiivne arv.
Ruutvõrrandi lahendamine - b ± b 2 - 4ac Ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendivalem on x = . 2a Võrrandi lahendamiseks asendame lahendivalemisse a, b ja c väärtused. Näide 1. Lahendame ruutvõrrandi 5x2 + 6x + 1 = 0. Selles võrrandis a = 5, b = 6 ja c = 1. Asendame need arvud lahendivalemisse, saame - 6 ± 6 2 - 4 5 1 - 6 ± 36 - 20 - 6 ± 16 - 6 ± 4 x= = = = . 2 5 10 10 10 -6+4 -2 - 6 - 4 - 10 Siit x1 = = = -0,2 ja x2 = = = -1. 10 10 10 10 Näide 2. Lahendame ruutvõrrandi 2x2 + x - 15 = 0.
- b ± b 2 - 4ac 2 x1;2 = p p 2a x1;2 = - ± - - q 2 2 Kui ruutvõrrandis ax2 + bx + c = 0 kas b = 0 või c = 0, siis on tegemist mittetäieliku ruutvõrrandiga. Selliseid võrrandeid viisakas inimene ei lahenda eespool toodud lahendivalemiga, sest neid saab lihtsamalt lahendada. Näide 1. Lahendame võrrandid 1) 3x2 + 6x = 0, 2) 0,5x2 23 = 0, 3) 3x2 = 0. 1) Võrrandi 3x2 + 6x = 0 lahendamisel toome x sulgude ette, siis saame x(3x + 6) = 0. Kahe arvu korrutis on null parajasti siis, kui vähemalt üks arvudest on null, seega kas x = 0 või 3x + 6 = 0, millest x = 2. Vastus: x1 = 0, x2 = 2. 2) Kui 0,5x2 23 = 0, siis 0,5x2 = 23, millest x2 = 46. Järelikult x1 = - 46 ja x 2 = 46 . 3) Seda tüüpi võrrandi lahenditeks on alati 0 ja 0.
Kuna selles võrrandsüsteemis vastandarve ei esine, võime me laiendada ühte võrrandit, et tekiks vastandarvud. 2 x + 3 y = -4 2 x + 3 y = -4 (-2) - 4 x - 6 y = 8 Tekkisid vastandarvud. 5 x + 6 y = -7 5 x + 6 y = -7 5 x + 6 y = -7 2. Liidame võrrandid. Edasi toimime nagu kirjalikus liitmises, kuna võrrandsüsteemis esines vastandarve, võime -6y ning 6y näiliselt maha tõmmata. - 4 x - 6 y = 8 5 x + 6 y = -7 x + 0 =1 Alles jääb x=1 3. Kuna meil on üks tundmatu nüüd teada, saame selle teada ka teise tundmatu. Selleks valime kummagi võrrandi võrrandsüsteemist. 2x+3y=-4 3y=-4-2x Asendame nüüd x-i tema väärtusega 3y=-4-2 3y=-6 y=-6 |:3 y=-2 x = 1 y = -2 Vastuseks on
Poollõik a x < b. x[a;b[ või x[a;b) Lõpmatu poollõik xb x[b;[ või x [b;) Lõpmatu poollõik xa x ]-;a] või x(-;a ] Lõpmatu vahemik x>b x]b;[ või x(b;) Lõpmatu vahemik x murrud ehk perioodilised kümnendmurrud) irratsionaalarvude hulk (mitteperioodilised kümnendmurrud nt. 2; 3; ; e ) reaalarvude hulk = U Märgid "sisaldub" üks hulk sisaldub teises "kuulub" element kuulub hulka "või" "ja" "nii, et" nt. ={m/n m n } "ühisosa" ehk "ja" "ühend" ehk "või" "välja arvatud" Võrratuste lahendamine Lineaarvõrratus Näiteks: Graafiliselt: x+9>4x x+9-4x>0 x-4x>-9 -3x+9>0
t. n< m. Sellise murru saab lahutada teatud arvu lihtsamate, nn osamurdude summaks. Olgu Q( x ) = 0 lahendid erinevad ja reaalsed Q( x ) = c0 ( x - c1 )( x - c2 ) ( x - cm ) , siis sellise Q ( x ) puhul P( x ) A1 A2 A = + + m = Q( x ) x - c1 x - c2 x - cm A1 ( x - c2 ) ( x - cm ) + A2 ( x - c1 )( x - c3 ) ( x - cm ) + + Am ( x - c1 ) ( x - cm -1 ) ( x - c1 )( x - c2 ) ( x - cm ) Selleks, et leida kordajad A1 , A2 , , Am viime murrud ühisele nimetajale. Kirjutame välja lineaarse võrrandisüsteemi, milles on m võrrandit ja m tundmatut, mida lahendades saame A1 , , Am . Kaks võimalust, kas anda x-le m erinevat väärtust või koostada iga x erineva astme (0 kuni m-1) kordajatest võrrand. Kui nimetaja tegurid on lineaarsed ja esimeses astmes, saame lahutada murru kaheks osamurruks. Näide 1: 2 x -1 A B = + , kus A ja B on konstandid ( x -1)( x - 2) x -1 x - 2
lim1/n=0 Piirväärtus n (tõkestamatul kasvamisel) läheneb nullile. n Piirväärtuste arvutamine 1) lim 1/n=0 n 2) lim ±n=± n 3) lim c=c n 4) lim(an±bn)=liman±limbn n n n 5) lim(an x bn)=liman x limbn n n n 6) lim(an÷bn)=liman÷limbn , kui limbn =/ 0 n n n n Murdude piirväärtuste arvutamisel võib esineda kolm juhtumit: A) murru lugeja ja nimetaja on ühe ja sama astme avaldised B) lugeja aste on väiksem, kui nimetaja aste, siis murru piirväärtus on 0 C) lugeja aste on suurem, kui nimetaja aste, siis murru piirväärtus on Funktsioonid y=ax , kus a-tõus ,,a" iseloomustab, millise nurga sirge moodustab, mida suurem on a seda suurem on x-telje ja sirge vaheline nurk. Kui a on positiivne, siis on tõusev sirge I ja III veerandi suunaline. Kui a on negatiivne, siis on II ja IV veerandi suunaline langev sirge. Funktsionaalsed seosed:
19 1 Võrratuse lahendiks on kõik arvud, mis on väiksem või võrdne kui . 19 1 Vastus: x (- ; 19 ]. 2 Näide 4. Lahendada võrratus <0 25 - x Lahendus Murdvavaldis on negatiivne siis, kui lugeja ja nimetaja on erimärgilised. Kuna lugejas on positiivne väärtus, siis nimetaja peab olema negatiivne: 25 x < 0, - x < - 25 x > 25. Vastus: x (25; ). Ülesandeid Lahendada lineaarvõrratused: 2 1) 4x ( 8x 7 ) < 1 2) 7(2y -3) 4(5y 7) 1 3) 0
Olgu Q( x ) = 0 lahendid erinevad ja reaalsed Q( x ) = c0 ( x - c1 )( x - c2 ) ( x - cm ) , siis sellise Q ( x ) puhul P( x ) A1 A2 A = + + m = Q( x ) x - c1 x - c2 x - cm A1 ( x - c2 ) ( x - cm ) + A2 ( x - c1 )( x - c3 ) ( x - cm ) + + Am ( x - c1 ) ( x - cm -1 ) ( x - c1 )( x - c2 ) ( x - cm ) Selleks, et leida kordajad A1 , A2 , , Am viime murrud ühisele nimetajale. 5 Kirjutame välja lineaarse võrrandisüsteemi, milles on m võrrandit ja m tundmatut, mida lahendades saame A1 , , Am . Kaks võimalust, kas anda x-le m erinevat väärtust või koostada iga x erineva astme (0 kuni m-1) kordajatest võrrand. Kui nimetaja tegurid on lineaarsed ja esimeses astmes, saame lahutada murru kaheks osamurruks. Näide 1: 2 x -1 A B = +
V kursus EKSPONENT- JA LOGARITMFUNKTSIOONID NING -VÕRRANDID EKSPONENTFUNKTSIOON Eksponentfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis esitub valemina kujul y=ax kus a on positiivne ühest erinev reaalarv ning muutuja x on reaalarv. Uuri eksponentfunktsioonide omadusi graafiku põhjal avades faili lingil: http://www.allarveelmaa.com/ematerjalid/eksponent.pdf Saime teada, et eksponentfunktsiooni korral 1) positiivsusvahemik ühtib määramispiirkonnaga; 2) puuduvad nullkohad; 3) graafik läbib punkti (0;1); 4) funktsioon on kasvav, kui a ¿ 1 ja kahanev, kui 0
8. Leia arv, mis on x -st 40% väiksem: x 0,4 x 0,6 x 9. Leia 3 järjestikust täisarvu: NB! I arv on x , II arv on x 1 , III arv on x 2 Vastus: arvud on x; x 1; x 2 10. Leia 3 järjestikust paarisarvu: x; x 2; x4 11. Leia 3 järjestikust arvu, mis jaguvad 7-ga: x; x 7 ; x 14 Loomulikult on need kõige lihtsamad seosed, aga põhiliselt neid kasutades saamegi võrrandid. NB! Neid põhiseoseid kasutatakse kõikide võrrandite koostamisel, mitte ainult ruutvõrrandite puhul. 269 Olgu arv x , siis tema ruut on x 2 x x 2 30 Lahendus: x 2 x 30 0 2 x =-p p q (1) 2 2 x = -0,5 0,25 30
8. Leia arv, mis on x -st 40% väiksem: x 0,4 x 0,6 x 9. Leia 3 järjestikust täisarvu: NB! I arv on x , II arv on x 1 , III arv on x 2 Vastus: arvud on x; x 1; x 2 10. Leia 3 järjestikust paarisarvu: x; x 2; x4 11. Leia 3 järjestikust arvu, mis jaguvad 7-ga: x; x 7 ; x 14 Loomulikult on need kõige lihtsamad seosed, aga põhiliselt neid kasutades saamegi võrrandid. NB! Neid põhiseoseid kasutatakse kõikide võrrandite koostamisel, mitte ainult ruutvõrrandite puhul. 269 Olgu arv x , siis tema ruut on x 2 x x 2 30 Lahendus: x 2 x 30 0 2 x =-p p q (1) 2 2 x = -0,5 0,25 30
8. Leia arv, mis on x -st 40% väiksem: x - 0,4 x = 0,6 x 9. Leia 3 järjestikust täisarvu: NB! I arv on x , II arv on x +1 , III arv on x + 2 Vastus: arvud on x; x +1 ; x + 2 10. Leia 3 järjestikust paarisarvu: x; x +2; x +4 11. Leia 3 järjestikust arvu, mis jaguvad 7-ga: x; x + 7 ; x +14 Loomulikult on need kõige lihtsamad seosed, aga põhiliselt neid kasutades saamegi võrrandid. NB! Neid põhiseoseid kasutatakse kõikide võrrandite koostamisel, mitte ainult ruutvõrrandite puhul. 269 Olgu arv x , siis tema ruut on x 2 x + x 2 = 30 Lahendus: x 2 + x - 30 = 0 2 x =-p± p - q (1) 2 2 x = -0,5 ± 0,25 +30
... 4 MÄÄRAMATUSTE LAHENDAMISEST 1. DEFINITSIOON.Täisratsionaalseks funktsiooniks e. POLÜNOOMIKS nimetatakse funktsiooni Pn (x) = a0xn + a1xn - 1 + a2xn - 2 + ... + an-1x + an. Polünoomide jagatist nimetatakse MURDRATSIONAALSEKS funktsiooniks. f(x) = Pn(x)/Qm(x): 0/0: lugejal ja nimetajal on ühine tegur x a, ülesande lihtsustamiseks jagada lugeja ja nimetaja sellega läbi. /: ülesande lihtsustamiseks võtta x kõrgeim aste sulgude ette nii lugejas kui nimetajas. 2. f(x) sisaldab IRRATSIONAALSUSI: ülesande lihtsustamiseks kaotada olemasolevad irratsionaalsused, kasutades algebra põhivalemeid. 3. OLULISI PIIRVÄÄRTUSI lim (sin x)/x = 1, x0 lim (1+(1/x))x = e 2,71... x 5 TULETISTE ARVUTAMINE DEFINITSIOON
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
