Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Matemaatilise analüüsi teisendamise valemid". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
3ab2, astendamine, juurimine, abivalemid, teguriteksx9 4 x3 r) m n a mn a Näide: 3 4 x 12 x s) a n m n am Näide: x 2 3 3 x2 m t) a n n a m , kui a 0, m Z , n N 3 Näide: x 4 4 x 3 2) Korrutamise abivalemid a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 b) (a – b)2 = a2 - 2ab + b2 c) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 d) (a – b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 3) Hulkliikme lahutamine teguriteks a) Ühise teguri sulgude ette toomine Näide: 6a 2b 12a 3b 4 18a 4b3 6a 2b 1 2ab3 3a 2b 2 b) Valemite kasutamine (1) a2 – b2 = (a – b)(a + b) Näide: 4 x 2 9 2 x 3 2 x 3 (2) a3 + b3 = (a + b)( a2 - ab + b2)
Valemid a1 = a (ab)n = an bn a0 = 1 a n =an (an)m = anm an . am = an+m a-n = an an an-m am 1) ax2+bx=0 = x(ax+b) = x1=0 ja x2= -b Taandamata Ruutvõrrand 2) ax +bx+c=0 = x1,2= -b + b2-4ac = a(x-x1)(x-x2) 2 Taandatud Ruutvõrrand 3) x +px+q = x1,2= -p + p2-q = (x-x1)(x-x2) 2 Viete i teoreem x1+x2=-p X1 . x2= q Tegurdamine 2 2 (a+b)(a-b) = a -b 2 Ax +bx = x(ax+b) (a+b)2 = (a+b) . (a+b) = a2+2ab+b2 Ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2) (a-b)2 = (a-b) . (a-b) = a2-2ab+b2 A3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2) (a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b2
Hulkliikmete korrutamine Tehted Arvu ruutjuur Funktsioonide graafikud Ring (a+b)2 =a2+2ab+b2 astmetega a, kui a > 0 Võrdeline seos : y=ax d (a-b)2=a2-2ab+b2 (a : b)n=an : bn a>0 d = 2r r= a = a = - a, kui a p 0 2 2 (a-b)(a+b)=a2-b2 (ab)n=an bn 0, kui a = 0 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd anam=an
an · am = an+m (ab)n = an bn = b bn a -n b n an : am = an-m (an )m = anm = b a Korrutamise abivalemid (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 , (a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 b3 , a2 - b2 = (a + b)(a - b), a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ab + b2 ). Ruutkolmliikme lahutamine tegureiks Kui v~orrand ax2 + bx + c = 0 on lahenduv ja lahendid on -b ± b2 - 4ac x1,2 = ,
Hulkliikmete korrutamine Tehted Arvu ruutjuur Funktsioonide graafikud Ring (a+b)2 =a2+2ab+b2 astmetega ⎧a, kui a > 0 Võrdeline seos : y=ax d (a-b)2=a2-2ab+b2 (a : b)n=an : bn ⎪ a>0 d = 2r r= a = a = ⎨ - a, kui a p 0 2 2 (a-b)(a+b)=a2-b2 (ab)n=an bn ⎪0, kui a = 0 (a+b)(c+d)=ac+ad
a2K43 a n tegurit , n 1 , kus 1 on naturaalarvude hulk alates arvust 1: 1 = { 1; 2; 3; 4; ...} . Astendaja 0 defineeritakse võrdusega a = 1 , milles a 0 . 0 Negatiivse astendaja korral sisaldab astendamine ka jagamise: 1 a -n = n a , kui ja n või kui a > 0 ja n , kus on täisarvude hulk ja on ratsionaalarvude hulk: a = , kus a , b ja b 0 = { ±1; ± 2; ± 3; ...} b . , Murrulise astendaja korral sisaldab astendamine juurimise:
Naturaalarvude hulk ei ole lahutamise ega jagamise tehete suhtes kinnine Naturaalarvud Paaris- ja paaritu arvud arvuga 2 jaguvuse alusel Algarvud ja kordarvud - arvude jaguvuse alusel Algarv ühest suuremat naturaalarvu, mis jagub vaid ühe ja iseendaga Kordarvud kõiki ülejäänud ühest suuremaid naturaalarve NB! Arvud 0 ja 1 ei ole ei algarvud ega kordarvud Arvu a teguriteks nimetatakse kõiki neid naturaalarve, millega arv a jagub. Arvu iga tegur on kas selle arvu algarvuline tegur ehk algtegur või on võrdne arvu algtegurite korrutisega. Antud arvude suurimaks ühisteguriks (SÜT) nimetatakse suurimat arvu, millega jaguvad kõik antud arvud. Arvu esitamist algarvuliste tegurite korrutisena nimetatakse algteguriteks lahutamiseks. Arvude suurimat ühistegurit kasutatakse näiteks murru taandamisel lugeja ja nimetaja ühise
1) Võrdsete alustega astme korrutamine. *Võrdsete alustega astme korrutamisel astendajad liidetakse. am x an = a m+n 2)Võrdsete alustega astme jagamine. *Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse. am : an = a m-n 3) Korrutise astendamine. *Korrutise astendamisel võib astendada iga tegur eraldi ja siis saadud tulemus korrutada. ( a x b )m am x bm 4) Jagatise astendamine. *Jagatise astendamisel võib astendada eraldi jagatava ja jagaja ja seejärel jagada üks tulemus teisega. ( a x b ) m am : bm 5) Astme astendamine, *Astme astendamisel astendajad korrutatakse. ( a m ) n = a mxn 6) Hulkliikme korrutamine üksliikmega. *Hulkliikme korrutamisel üksliikmega tuleb hulkliige iga liige läbi korrutada selle üksliikmega. ( a + b + c ) x d = ad + bd + cd 7) Hulkliikme jagamine üksliikmega.
Valemid, teoreemid, seosed, tunnused, tingimused MATEMAATIKA EKSAMIL XI KLASSIS 1) a2-b2 = (a+b)(a-b) 2) a3 + b3=(a+b)(a2-ab+b2) 3) a3 - b3=(a-b)(a2+ab+b2) 4) (a+b)3 =a3+3a2b+3ab2+b3 5) (a-b)3 =a3-3a2b+3ab2-b3 −b ± √ b2−4 ac 2 6) a) lahenda ax + bx+c =0 2a b) tegurda : ax2 + bx+c= a( x− x1 )( x−x 2) c) tegurda ax3 + bx2+ax+b= x2(ax+b)+ax+b = (ax+b)(x2+1) 7) lim an bn lim an lim bn n n n 8) lim an bn lim an lim bn n n n 9) lim anbn lim an lim bn n n n an 10) lim lim an lim bn n bn n n 11) Korrutise tuletise sõnastus ja valem (u * v ) ´ = Korrutise tuletis võrdub esimese teguri tu
Abivalemid RUUTUDE VAHE: (a+b) (a-b) = a +ab-ab+b =a2-b2 2 2 (a+b) (a-b) = a2-b2 NÄIDE: 16-a 2 = 4 2 -a 2 = (4+a) (4-a) SUMMA RUUT: (a+b) = (a+b) (a+b) = a +ab+ba+b2 = a2+2ab+b2 2 2 (a+b)2 = a2+2ab+b2 NÄIDE: (7x+4y) 2 = (7x) 2 +2(7x)(4y)+(4y) 2 = 49x 2 +56xy+16y 2 VAHE RUUT: (a-b) = (a-b) (a-b) = a -ab-ba+b2 = a2-2ab+b2 2 2 (a-b)2 = a2-2ab+b2 NÄIDE: (3a-b) 2 = (3a) 2 -2(3a)b+b 2 = 9a 2 -6ab+b 2 KUUPIDE SUMMA: (a+b) (a - ab+b ) = a - a b+ab2+ba2- ab2+b3 = a3+ b3 2 2 3 2 (a+b) (a2- ab+b2) = a3+ b NÄIDE: (a+3)(a 2 -3a+9) = a 3 +3 3 = a 3 +27 KUUPIDE VAHE: (a-b) (a +ab+b ) = a +a b+ab2-
Summa ruudu valem (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 Vahe ruudu valem (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (a - b)2 = (a - b)(a - b) = a2 - ab - ba + b2 = a2 - 2ab + b2 Kuupide summa valem (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3 (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 - a2b + ab2 + ba2 - ab2 + b3 = a3 + b3 Kuupide vahe valem (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3 (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 - ba2 - ab2 - b3 = a3 - b3 Summa kuubi valem (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b)3 = (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Vahe kuubi valem (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 (a - b)3 = (a - b)(a - b)2 = (a - b)(a2 - 2ab + b2) = a3 - 2a2b + ab2 - a2b + 2ab2 - b3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Matemaatika 11. klassi praktikumi töö 1. Kirjalik arvutamine m Tehted astmetega (a:b)n = an : bn Tehted juurtega a n n am (ab)n = an * bn a b a b an am = an+m n m a n m a a a an : am = an-m b b n m n*m (a ) = a
Valemid (a-b)(a+b) = a2 - b2 - Ruutude vahe valem (a+b)2 = a2+ 2ab + b2 - Summa ruudu valem (a-b)2 = a2 2ab + b2 - Vahe ruudu valem a2 + ab + b2 - summa mittetäielik ruut a2 ab + b2 - vahe mittetäielik ruut (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 - summa kuubi valem (a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 - vahe kuubi valem a3 + b3 = (a+b)(a2 ab + b2) - Kuupide summa valem a3 - b3 = (a-b)(a2 +ab + b2) - kuupide vahe valem
2. Milline murd on kmnendmurd? Too nide . * Kmnendmurd on komaga arv . nt : 2,14 ; 76,76 ; 16,36 3. Mida nimetatakse murru taandamiseks? * Hariliku murru taandamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja jagamist he ja sama nullist erineva arvuga 4. Astmete korrutamine. Too nide. * he ja sama alusega astmete korrutamisel me liidame astendajad ja siis astendame astme alust. nt : a(astmes n) * a(astmes m) = a (astmes n+m) 3(astmes4)* 3 (ruudus) = 3(astmes 6) = 729 5. Astemete astendamine. Too nide. * Astmete astendamisel antendajad korrutame ja siis astendame. nt: (a astmes n) astmes m = a astmes mn ; (2 astmes -3) astmes 4 = 2 astmes -12 6. Astmete jagamine. * Sama alusega astmete jagamisel me lahutame astendajad ja siis astendame astme alust. 7.Negatiivne astendaja. Too nide . * Negatiivse astendajaga aste thendab murdu , mille lugejaks on arv ks ja nimetajaks sama aste positiivne astendaja. nt: a ( astmes -m) = 1 / a(astmes m) 2(astmes -3) = 1 / 2(astmes 3 ) = 1 / 8 (PS
10 2.11 Ülesanded ……………………………………………………….….. 11 3. ALGEBRA …………………………………………………….……. 12 3.1 Astmed ……………………………………………………………… 12 3.2 Juured ………………………………………………………………. 14 3.3 Näited astendamisest ja juurimisest ………………………………… 15 3.4 Korrutamise abivalemid …………………………………………….. 17 3.5 Hulkliikme lahutamine teguriteks …………………………………... 17 3.6 Näited algebraliste avaldiste teisendamisest ………………………… 18 3.7 Lineaarvõrrand ……………………………………………………… 22 3.8 Ruutvõrrand ……………………………………………………...… 23 3.9 Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine …………………………….. 23 3
Väga tähtsad matemaatika valemid 1. (A + b) (a - b) = a2 - b2 2. (A + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ca) 3. (A ± b) 2 = a2 + b2 ± 2ab 4. (A + b + c + d) 2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2 (ab + ac + ad + bc + bd + cd) 5. (A ± b) 3 = a3 ± b3 ± 3AB (± b) 6. (A ± b) (a2 + b2 m ab) = a3 ± b3 7. (A + b + c) (a2 + b2 + c2-ab - bc - ca) = a3 + b3 + c3 - 3abc = 1 / 2 (a + b + c) [(a - b) 2 + (b - c) 2 + (c - a) 2] 8.when + b + c = 0, a3 + b3 + c3 = 3abc 9. (X + a) (x + b) (x + c) = x3 + (a + b + c) x2 + (ab + bc + ac) x + abc 10. (X - a) (x - b) (x - c) = x3 - (a + b + c) x2 + (ab + bc + ac) x - abc 11.a4 + a2b2 + b4 = (a2 + ab + b2) (a2 - ab + b2) 12.a4 + b4 = (a2 - 2ab + b2) (a2 + 2ab + b2) 13.an + bn = (a + b) (n-1 - n-2 b + n-3 b2 - n-4 b3 + ... ... .. + b n-1) (Kehtib ainult siis, kui n on paaritu) 14.an - miljard = (a - b) (n-1 + n-2 b + n-3 b2 + n-4 b3 + ... ... ... + b n-1) {Kus n N) 15. (A ± b) 2n on alati posi
Negatiivsete arvudega teostatavate tehete a n an eeskirjad 5. = b bn 1. a + (-b) = -b + (-a) = -(a + b) 2. a + b = b + (-a) = b a , kui b a Abivalemid ja tegurdamine 3. a + b = b + (-a) = - (a b), kui b ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 a ( a - b) 2 ( a + b) 3 = a 2 - 2ab + b 2 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 4. a + a = a + (-a) = 0 ( a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 5
Matemaatika konspekt I LIITMISVÕTE {2x + 3y = 12 {x -3y = -3 3x = 9 | : 3 x=3 3 3y = -3 -3y = -6 | :(-3) y=2 K: ... V: x = 3 y=2 ASENDUSVÕTE {y -2x = 1 => y = 1 + 2x {3x + y = 9 => 3x + 1 + 2x = 9 3x + 2x = 8 5x = 8 | : 5 x = 1,6 y = 1 + 2 x 1,6 y = 4,2 K: ... V: x = 1,6 y = 4,2 * ax2 + bx + c = 0 x1,2 = -b ± b2 -4 a c ---------------- 2xa * (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 * (a b)(a + b) = a2 b2 * (a + b)3 = a3 3a2b + 3ab2 + b3
Korrutamise abivalemid (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b ) a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) a 3 - b 3 = ( a - b)( a 2 + ab + b 2 ) (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 Näiteid · Lahutada tegureiks : 1. 6z 7 3z 5 = 3 z 5 (2z2 -1) 2. 5a (a + b ) 2b ( a + b) = (a + b)( 5a 2b) 3. 2a ( x +y) x y = 2a ( x +y) (x + y ) = ( x + y)(2a -1) 4
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 a3 ± b3 = 4) ül 477-505 (paaritud) ( a ± b ) ( a 2 ab + b 2 ) 4. 06. 09. 06 Kordamine Korrutamise abivalemid. Õpilase individuaalne töö KÜL: 4) 500, 21 (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + + 3ab2 ± b3
Põhikooli matemaatika abi Tasapinnalised kujundid Ruut Diagonaal: Pindala: S = a2 Ümbermõõt: P = 4·a Ruudu kõik küljed on võrdsed ja nurgad täisnurgad. Ristkülik Diagonaal: Pindala: S = a · b Ümbermõõt: P = 2(a + b) Ristkülikuks nimetatakse rööpkülikut, mille kõik nurgad on täisnurgad. Romb + = 180º Pindala: S = a · h Ümbermõõt: P = 4·a Rööpkülik + = 180º Pindala: S = a · h Ümbermõõt: P = 2(a + b) Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed. Kolmnurk + + = 180º Pindala: Ümbermõõt: P = a + b + c Võrdkülgne kolmnurk Kõrgus: Pindala: Ümbermõõt: P = 3 · a Täisnurkne kolmnurk
ja tegurite arv on n (astendaja): a n = a14 a2K43 a n , 1, n tegurit kus 1 on naturaalarvude hulk alates arvust 1: 1 = { 1; 2; 3; 4; ...} . Astendaja 0 defineeritakse võrdusega a 0 = 1 , milles a 0 . Negatiivse astendaja korral sisaldab astendamine ka jagamise: 1 a - n = n , kui a 0 ja n või kui a > 0 ja n , a kus on täisarvude hulk ja on ratsionaalarvude hulk: a = { ±1; ± 2; ± 3; ...} , = , kus a , b ja b 0 . b Murrulise astendaja korral sisaldab astendamine juurimise:
z1z2; (z1 + z2)z3 = z1z3 + z2z3 z1, z2, z3 C korral Kompleksarvu algebraline kuju: z = (x; y) = (x; 0) + (0; y) = (x;0) + (y; 0)(0; 1) = x + yi; C = {x + yi | x, y R} Tuletatavad tehted: 1. vahe: z1 - z2 = z1 + (-1)*z2 2. jagatis: z1/z2 = z1 * z2-1, kui z2 0 Kompleksarvude vallas säiluvad reaalarvude vallast tuntud tehetega seotud omadused. 2. Kompleksarvu trigonomeetriline kuju. Tehted trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvudega. Moivre'i valem. Kompleksarvude juurimine (Tõestusega). r - arvu z moodul |z|; - arvu z argument; i - imaginaarühik r = sqrt(x2 + y2); cos = x/r; sin = y/r z = x + yi = r(x/r + yi/r) = r(cos + isin) Kompleksarvu z 0 avaldist nurga ja arvu r abil nimetatakse tema trigonomeetriliseks kujuks. Tehted trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvudega: z1 = x1 + y1i = r1(cos1 + isin1); z2 = x2 + y2i = r2(cos2 + isin2) 1. korrutamine: z1z2 = r1r2(cos1cos2 + icos1sin2 + isin1cos2 - sin1sin2) = r1r2(cos(1+2) + isin(1+2)) 2
a n a14 a2K43 a n ¥ , 1, n tegurit kus ¥ 1 on naturaalarvude hulk alates arvust 1: ¥ 1 1; 2; 3; 4; ... . Astendaja 0 defineeritakse võrdusega a 0 1 , milles a 0 . Negatiivse astendaja korral sisaldab astendamine ka jagamise: 1 a n n , kui a 0 ja n ¢ või kui a 0 ja n ¤ , a kus ¢ on täisarvude hulk ja ¤ on ratsionaalarvude hulk: a ¢ 1; 2; 3; ... , ¤ , kus a ¢ , b ¢ ja b 0 . b
[C f ( x)] = C lim f ( x) x a x a x lim 1 1 + = e ; x R x x lim sin x =1 x 0 x x lim r r 1 + = e x x lim tan x =1 x 0 x lim Kui funktsioon y = f(x) on pidev kohal x=a, siis f ( x) = f (a) x a Tegurdamine: 1. Sulgude ette toomine 2. Korrutamise abivalemid a2 b2 = (a + b)(a - b) a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ab + b2) 3. Rühmitamine 4. Ruutkolmliikme tegurdamine ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)
= b d bd 4. Harilike murdude jagamine a c ad : = b d bc 5. Astmete korrutamine am an = am+n 6. Astmete jagamine am : an = am-n 7. Astme astendamine (a m )n = a mn 8. Korrutise astendamine (a b )n = a n b n 9. Jagatise astendamine n an a = n b b 10
1.Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. Lineaarse võrrandi all mõistetakse võrrandit kujul a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b , (1) kus a1 , a2 , ... , an ja b on fikseeritud arvud ning x1 , x2 , ... , xn on tundmatud. Arvu b nimetatakse vaadeldava võrrandi vabaliikmeks, arve a1 , a2 , ... , an aga tema kordajateks. Def. 1. Võrrandi (1) lahendiks nimetatakse selliseid tundmatute x1 , x2 , ... , xn väärtusi c1 , c2 , ... , cn R , et pärast nende paigutamist võrrandi (1) vasakusse poolde tundmatute asemele kehtiks võrdus a1c1 + a2c2 + ... + ancn = b . Võrrandi (1) lahend on n arvust c1 , c2 , ... , cn koosnev järjestatud lõplik jada. Seega saab teda vaadelda aritmeetilise vektorina
Hulkliikme tegurdamine 1) ühisteguri sulgude ette toomine 8y2 4y = 4y (2y 1) 2 5 4 18u v 27uv = 9uv4 (2uv 3) x2 2x = x (x + 2) 2) valemite abil a2 b2 = (a + b) (a b) a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 a3 ± b3 = (a ± b) (a2 ab + b2) 4a2 9b2 = (2a + 3b) (2a 3b) 4m2 20mn + 25n2 = (2m 5n)2 27x3 + 8 = (3x + 2) (9x2 6x + 4) 3) rühmitamisvõte ay + az + by + bz = a (y + z) + b (y + z) = = (y + z) (a + b) x3 3x2 3x + 9 = x2 (x 3) 3 (x 3) = = (x 3) (x2 3) 4) erinevate võtete kombineerimine NB! Kõigepealt toome võimaluse korral ühisteguri sulgude ette, seejärel vaatame, kas saab tegurdada veel mõne teise võttega. 5x2 + 10x + 5 = 5 (x2 + 2x + 1) = = 5 (x + 1)2 m3n mn3 = mn (m2 n2) = = mn (m + n) (m n)
...................................................................................................7 Protsentarvutus......................................................................................................................... 7 Ratsionaalavaldise lihtsustamine..............................................................................................7 Tegurdamine e. korrutiseks teisendamine............................................................................ 8 Astendamine............................................................................................................................. 8 Naturaalarvuline astendaja................................................................................................... 8 Tehted astmetega.................................................................................................................. 8 Negatiivse täisarvulise astendajaga aste.....................................................
3. Korruta järgnevad avaldised. a2 b2 m2 n2 a) 2m 2n a b Lahendus: 3ab b) 2x y 4x 4xy y 2 2 Lahendus: 3a 2b 2x 2 y c) x2y 4b 2 9a 2 Lahendus: ab ac ab ac d) bd cd cd bd Lahendus: Ratsionaalavaldised ja murdvõrrandid Murdude jagamine ja astendamine 1. Jaga. 3 3 a) : 5 10 Lahendus: 4 b) 2 : 5 Lahendus: ab c c) : c b2 Lahendus: ab c ab b 2 ab 3 : 2 c b2 cc c 2a 2 b 3 4ab 2 d) : m 2 n mn 2 Lahendus: 3a 2 e) 6a 3 : 4c Lahendus: a m n a 2 f) : 2b 2 4b Lahendus: g) a b 2 : ab 2 2a 2a
Püstprisma sin 0 1 2 3 1 2 tan tan 2 = Ruumala: V = S p h 2 2 1 - tan 2 2 Külgpindala: S k = PH sin cos 1 3 2 1 0 tan = Täispindala: S t = S k + 2 S p 2 1 + cos 2 2 2 1 - cos Korrapärane püramiid sin = ± 1 t
siis z1 r1 ( cos 1 + i sin 1 ) r = = 1 cos ( 1 - 2 ) + i sin ( 1 - 2 ) z2 r2 ( cos 2 + i sin 2 ) r2 ehk z1 r1 = cos ( 1 - 2 ) + i sin ( 1 - 2 ) z2 r2 . 1. Astendamine. positiivse täisarvu n korral r ( cos + i sin ) = r n ( cos n + i sin n ) n . Kui valemis (1) võtta r = 1 , siis saame: ( cos + i sin ) n
12. Vähimat naturaalarvu n, mille korral kehtib võrdus An+k = An Ak = Ak = nimetatakse impotentsuse astmeks. 13. Ruutmaatriksi A, mis rahuldab tingimust A2 = A nimetatakse idempotentseks. 14. Ruutmaatriksi A nimetatakse involutiivseks, kui ta rahuldab tingimust A-1 = A. |A-1| = |A| 1/|A| = |A| = |A2| E=A2 |A| = +/- 1 A2k = E A2k+1 =A Pöördmaatriksi leidmine, maatriksi astendamine ja maatriksi transponeermise omadusi: · A A-1= A-1 A = E · (A-1)-1 = A · (AT)T = A · A1 = A A0 = E · Au + Am = Au+m · (A-1)T = (AT)-1 · (Ap)T = (AT)p · (Ap)-1 = (A-1)p · (A B)-1 = B-1 A-1 · p = T = · (Au)m = Aum · (a A)T = a AT · E1 = E-1 = ET = Eu = E · (A +/- B)T = AT +/- BT · (A B)T = BT = AT 15
annaabi.ee 
