Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Matemaatika funktsioonid". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
joonesta, graafik, määramispiirkond, nullkohad, kasvamis, kahanemisvahemikudFUNKTSIOONID. 1. (1997 A) Leidke funktsiooni y = 4x3 3x2 maksimum- ja miinimumkoht ning kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 2 2. (1997 B) Leidke funktsiooni y 2 x määramispiirkond, maksimum- ja x 1 miinimumpunkt ning kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 3. Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f(x) ja funktsiooni y = ex graafikud. Leidke a) Ruutfunktsiooni y = f(x) määrav valem; b) Punkti A koordinaadid; c) Funktsiooni y = f(x) nullkohad ja haripunkti koordinaadid; d) Funktsiooni y = ex väärtus kohal, mis vastab funktsiooni y = f(x) absoluutväärtuselt vähimale nullkohale; e) Antud funktsioonide ühine positiivsuspiirkond. 4
X Xe X X 2. Leia antud graafikul kujutatud funktsiooni määramis-, muutumis-, kasvamis-, kahanemispiirkond, nullkohad, ekstreemumkohad, ekstreemumi liik, negatiivsus- ja positiivsuspiirkond. X Y X0 X X Xe X
X X Xe X X 2. Leia antud graafikul kujutatud funktsiooni määramis-, muutumis-, kasvamis-, kahanemispiirkond, nullkohad, ekstreemumkohad, ekstreemumi liik, negatiivsus- ja positiivsuspiirkond. X Y X0 X X Xe X
-1- - 1.Leia funktsiooni määramispiirkond. 3 x 3 x y y b) y 17 15 x 2 x log( 1 x ) 2 a) 4x 8 c)
k) Vaatleme kõiki kolmekohalisi arve, mis jagamisel kolmega annavad jäägi kaks 1) Kirjutage välja 3 esimest ja 3 viimast sellist arvu. 2) Leidke kõikide selliste arvude summa 3) Järgnevalt leidke kõigi kolmekohaliste arvude summa 4) Mitu protsenti punktis 2) leitud summa moodustab punktis 3) leitud summast. Vastus: 1) 101;104; 107 ja 992; 995; 998 2) 164850 3) 494550 4) ligikaudu 33% 3.Leia funktsiooni määramispiirkond. 3 x 3 x y y 4x 8 y 17 15 x 2 x 2 log( 1 x ) a) b) c)
Vasak pool on võrdne parema poolega. Vastus: x1 = 2 ja x2 = 3 Ruutfunktsioon - Sissejuhatus ruutfunktsiooni Praeguseks momendiks peaksid tundma niisuguseid seosei muutujate x ja y vahel, nagu a võrdeline seos y = ax, pöördvõrdeline seos y ning lineaarseos ehk lineaarfunktsioon y = x ax + b. Kordame neid seoseid. Edasi vaatame ülesandeid. 1. Joonesta võrdelise seose y = 1,5x graafik ja leia selle abil muutuja y väärtused, kui x 2; 1; 0; 1; 2; 3 . Lahendus: Kõigepealt joonestame graafiku. Teame, et sirge joonestamiseks piisab kahest punktist. Võtame x = 0. Sel juhul on y = 1,5 . 0 = 0. Saime punkti (0; 0). Olgu nüüd x = 2, siis y = 1,5 . 2 = 3. Teine punkt on (2; 3). Kanname punktid koordinaatteljestikku ja ühendame. Vaatame ainult kahte punkti, kui x = 2 ja x = 3
4. Leia funktsiooni f(x) väärtus, kui x = 10 cos 4 2. On antud funktsioon y =x 3 -5x 2 . Leia selle funktsiooni 2.1. nullkohad; 2.2. positiivsus- ja negatiivsusvahemikud; 2.3. ekstreemumkohad, nende liik ning ekstreemumpunktid; 2.4. kasvamis- ja kahanemisvahemikud; 2.5. skitseeri selle funktsiooni graafik; 2.6. graafikule puutuja punktis, mille abstsiss on 5. 3. Antud on funktsioonid f(x) = sin2x ja g(x) = sinx. 3.1. lahenda võrrand f(x) = g(x) lõigul [0;2] ; 3.2. joonesta ühes ja samas teljestikus funktsioonide f(x) ja g(x) graafikud lõigus [0;2] ; 3.3. leia joonise abil x väärtused, mille korral f(x) < g(x) 4. Kalju äärne maatükk tuleb jagada ristkülikukujuliselt kahte võrdsesse ossa nii et nende pindala oleks maksimaalne. Leia maatükkide mõõtmed, kui traadi pikkus on 600 m. 5. Antud on funktsioonid f(x) = 3 x ja g(x) = 2 5.1. Skitseeri ühes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud; 5.2
1 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK I Joonistel on kuue funktsiooni graafikud. Tee kindlaks, missuguste funktsioonidega on tegemist. 1 2 3 © Allar Veelmaa 2014 2 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK II © Allar Veelmaa 2014 3
3)y=(x+1)sinx-x cos x 4)y=2tanx lnx 5)y=xsinx 6) y=cos 2x- sin2x 3 - 2x + x 2 7)y=tanx cosx 8) y = 9) y=sin2x x 2 x -1 2. Leia funktsiooni y= kasvamis ja kahanemispiirkonnad ja 1 - 3x ekstreemumpunktid. Määra ka nende liik. 3. Leia parabooli haripunkti koordinaadid y= 7x2+4x. 4. Leia joone y=(x+1) (x-1) (x-2) puutuja punktis , mille abstsiss on -3. x 5. Leia joone y= puutuja, mis on x -1 2 1) paralleelne sirgega x+y =5 2) risti sirgega 8x-3y=1 6. Punkti liikumisel on läbitud tee ja aja vaheline seos s=4t3-3t2+5t+8.Leia 1)algkiirus
25. Kolmnurga tipud A(1; 1), B(2; 3), C(5; -1). Konrolli ka skolmnurk on täisnurkne. Leia pindala. 26. Rong läbis esimeses sekundis peale liikuma hakkamist 0,4 meetrit, igas järgmises sekundis aga 0,5 meetrit rohkem kui eelmises. Leia rondi poolt 1,2 minutiga läbitud tee pikkus. 27. Merevesi sisaldan 5% soola. Kui palju magedat vett tuleb lisada 60 kg mereveele, et saada segu, mis sisaldab 4% soola? 28. Leia funktsiooni y = 2x³ + 3x² -2 kasvamis- ja kahanemisvahemikud. Joonesta graafik. 29. Trapetsi alused on a ja (a + 3 +1) ning nurgad pikema aluse juures 30º ja 45º. Leia pindala. 30. Lahenda võrrand 4 x 3 4 x - 2 x -2 32 x - 0,75 = 0 31. Jüri ja Mari vanused on mõlemad algarvud. Kui lahutame Jüri vanusest 2 ja liidame Mari vanusele 2 on saadud arvude korrutis on 4 võrra suurem, kui vastupidi toimides. Kui vanad on Jüri ja Mari? sin 4 - cos 4 + cos 2 32. Tõesta samasus = cos 2
5 6 3. ÜLESANNE (10 punkti) Ülesannete tekstid I Antud on funktsioon y x 3 5 x 2 3 x 7 . 1) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 2) Arvutage funktsiooni vähim väärtus lõigul 2; 4 . II Antud on funktsioon y x 3 5x 2 3x 7 . 1) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 2) Arvutage funktsiooni suurim väärtus lõigul 2; 4 . III Antud on funktsioon y x 3 3 x 2 2 . 1) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 2) Arvutage funktsiooni suurim väärtus lõigul 1; 4 . Vastused 1 1
2 x + y b 4 b2 - 4 12. - 2 : 2 b + 3 b + 3b b + 8b + 15 x + 6x + 5 2 16 13. + x - 5 x +5 x +3 2 2y + 6 y +1 14. - 2 : 2 y - 4 y - 16 y - 3 y - 4 15. Kolmnurga tippudeks on punktid (-6; 3); (2; -3) ja (4; 6). Joonesta antud kolmnurk koordinaatteljestikus. Joonesta mediaanid ja leia jooniselt mediaanide lõikepunkti koordinaadid. 16. Joonesta funktsioon y = -2x + 4 graafik. Kirjuta välja graafiku ning koordinaattelgede lõikepunktide koordinaadid. Leia punkt, mille ordinaat on 6. 17. Joonesta funktsiooni y = x 2 -1 graafik. Leia lõikepunktid koordinaattelgedega ja punk, mille abstsiss on -2. 18. Joonesta ühes ja samas teljestikus lineaarfunktsiooni y = x + 2 ja ruutfunktsiooni
1) Vektori v =(a;9) alguspunkt asetseb antud parabooli haripunktis. Leidke parameetri a väärtused a1 ja a2, mille korral vektori v lõpppunkt asetseb samuti sellel paraboolil. 2) Leidke vektorite v1 =(a1;9) ja ja v 2 =(a2;9) vahelise nurga suurus, võttes a1 ja a2 väärtused eelmisest punktist. 6. Joonisel on antud ruutf-ni y = f(x) ja funktsiooni y = ex graafikud. Leidke: 1) ruutfunktsiooni y = f(x) määrav valem; tema nullkohad ja haripunkti koordinaadid; 2) punkti A koordinaadid, kus y = ex lõikab y-telge; 3) funktsiooni y = ex väärtus kohal, mis vastab f-ni y = f(x) absoluutväärtuselt vähimale nullkohale; 4) antud f-de ühine positiivsuspiirkond; 5) puutuja võrrand funktsioonile f(x) kohal, kus ta lõikab y-telge. Joonista see puutuja f(x) graafikule. 7. Kui ärimees võtaks 15%-lise laenu, siis tuleb tal laenu protsendi katteks
ja neid punkte, kus funktsiooni tuletis puudub, nimetatakse funktsiooni y = f (x) kriitilisteks punktideks. Kui vahemikus A = (a; b) punktid x1 < x2 < ...< xn on funktsiooni ainukesed kriitilised punktid, siis vahemikes (a; x1), (x1; x2) , ..., (xn ; b) säilitab funktsiooni tuletis märki. 5 Näide Leida funktsiooni y = |x2 4| monotoonsuse (kasvamis- ja kahanemis-) piirkonnad. Funktsiooni määramispiirkond: X = (-; + ) x 2 - 4, kui x -2; 2 x, kui x -2; y = - ( x 2 - 4), kui - 2 < x < 2 y ' = - 2 x, kui - 2 < x < 2 x 2 - 4, kui x 2. 2 x, kui x 2. Kriitilised punktid: statsionaarne punkt: y '= 0 y ei eksisteeri, kui x = ±2. x = 0. Näeme, et punktides 2 ja -2 ei ole funktsioon y´ pidev ja
3 2) Leidke vahemikus ; 2 2 a) funktsiooni f x nullkohad; b) vahemikud, kus funktsioon f x on positiivne ja kus see on negatiivne; c) funktsiooni f x kasvamis- ja kahanemisvahemikud; d) funktsiooni f x maksimumpunkt. 3 3) Skitseerige funktsiooni f x graafik vahemikus ; . 2 2 2 sin x 1 11. (24.05.2000, II, 20 punkti). On antud funktsioon f x , x 0; . sin x 1) Selgitage, kas funktsioon f x on määratud lõigul x 0; . 2) Leidke vahemikus 0; a) funktsiooni f x nullkohad;
Tõusu ja 51. Kaldnurkse kolmnurga lahendamine algordinaadiga määratud sirge võrrand Vt. Punkt 31,32,33 Y - y1 = k ( X - x1 ) 52. Funktsioonid 53. Võrdeline sõltuvus y = kx + b y = ax , kus x 0 ja a 0 43. Kahe punktiga määratud sirge võrrand Graafik on sirge: X - x1 Y - y1 -läbib kooridnaatide alguspunkti = x 2 - x1 y 2 - y1 -kui võrdetegur a>0, siis sirge asub I,III 44. Sirge võrrandi koostamine telglüikude abil veerandis x y -kui võrdetegur a<0, siis sirge asub II, IV + =1 veerandis
1) 2) 3) 4) 3 4 5 2 3 1- log 3 6 - log 4 0 ,125 3. Arvuta avaldise 27 -4 väärtus. 1) 0 2) 7,875 3) 7,875 4) 3,875 4. On antud perioodilise funktsiooni y = f ( x ) graafik, on teada, et funktsiooni periood T = 4, leia f (10) . 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 5. Leia kõigi täisarvude summa, mis jäävad lõigule [-5;7] ja kuuluvad funktsiooni y = 2 - log 2 ( 2 + 4 x - x 2 ) määramispiirkonda. 1) 7 2) 4 3) 5 4) 13 6. Leia funktsiooni suurima ja vähima väärtuse korrutis. 1) -2,25 2) 2,25 3) -2,125 4) 2,125 y = f ( x)
...........................................................................36 Kahe sirge lõikepunkti koordinaadid......................................................................................37 Kahe sirge vaheline nurk........................................................................................................ 38 Ringjoonevõrrand................................................................................................................... 38 Ruutfunktsiooni graafik, selle joonestamine.......................................................................... 39 Pöördvõrdelise sõltuvuse graafik............................................................................................39 4 I Reaalarvud ja avaldised Arvuhulgad Naturaalarvude hulk N N = {0; 1; 2; 3; 4; ...}
Y 3 0 2 12 y -0 = 0 y = 0 Asendame y = 0 võrrandisse x + 2y + 3 = 0 x + 2 0 + 3 = 0 x = -3 Sirged lõikuvad punktis A(-3 ; 0) 14. Leida sirgete lõikepunkti koordinaadid ning nurk sirgete vahel, kui sirged on: x 5 = 0 ja y 2 = 0. Joonesta mõlemad sirged (ül. 13) ühisel joonisel, tähista lõkepunkt L, nurk sirgete vahel ja kontrolli, kas lahendasid õigesti ül. 13. x -5 = 0 x = 5 y -2 = 0 y = 2 lõikepunkti koordinaadid on (5 ; 2) Sirge x 5 = 0 sihivektor: s1 = 0 i + 1 j s2 Sirge y 2 = 0 sihivektor: s 2 = 1 i + 0 j K= s1 1
Logaritmfunktsioon
Logaritmfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni
y=logax , kus a>0 , a1 ja x>0
1) 0
määramispiirkonnaks. Määramispiirkonnale vastavat funktsiooni väärtuste hulka nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks. Näide Ringi pindala sõltuvust raadiusest kirjeldab funktsioon S = r 2 , kus sõltumatuks muutujaks e. argumendiks on raadius r. Selle funktsiooni määramispiirkonnaks on mittenegatiivsete reaalarvude hulk. Funktsiooni määramispiirkonna osahulgad Funktsiooni nullkohad on määramispiirkonna osahulk, mille korral funktsiooni väärtus on null: X0 = {x | x X , f ( x) = 0} Funktsiooni positiivsuspiirkond on määramispiirkonna osahulk, mille korral funktsiooni väärtus on positiivne: X+ = {x | x X, f ( x ) > 0} Funktsiooni negatiivsuspiirkond on määramispiirkonna osahulk, mille korral funktsiooni väärtus on negatiivne: X- = {x | x X, f ( x ) < 0} . Ülesanded 1
Need on funktsioonid, mille väärtusi on võimalik arvutada argumendi x iga väärtuse korral. Sellised funktsioonid on lineaarfunktsioon y = ax + b, ruutfunktsioon y = ax 2 + bx + c , aga ka naturaalarvulise astendajaga astmefunktsioon y = x n . Kõigile neile on ühine see, et funktsioonide graafikud on pidevad jooned ja kogu graafiku saab joonestada ilma pliiatsit paberilt tõstmata pideva joonega. Öeldakse, et vaadeldavad funktsioonid on pidevad kogu arvteljel. Funktsioonid, mille määramispiirkond koosneb arvtelje ühest osast. Leidub funktsioone, mis on määratud vaid arvtelje ühel osal: poolsirgel, vahemikus või lõigul. Nende funktsioonide väärtusi saab arvutada kas argumendi x teatavast väärtusest alates või argumendi x teatava väärtuseni Joonestame näiteks funktsioonide y= x ja y = 4 -x2 graafikud. Ka nende funktsioonide graafikuid saab
x2 x 4 0,5 3 x 12 x 1 1 2 x 5ln1 8 3 4 log10 . Kontrolli lihtsustamise õigsust. 3 6 x 2 12 x 2 4) Lihtsusta funktsiooni y avaldist ja joonesta funktsiooni graafik. 8 x 18 x 2 22 x 2 1 2x 4x a 5) Lihtsusta funktsiooni y : avaldis ja joonesta saadud x a x ax x a xa funktsiooni graafik. Leia saadud graafiku puutuja võrrand, kui puutepunkti abstsiss on 1.
kindel arv y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgas X on määratud funktsioon y=f(x) ja seda kirjutatakse kujul y=f(x) , kus xX. o (Igale punktide arvule kontrolltöös ..., igale läbitud kilomeetrite arvule taksosõidus ...) · Muutujat x nimetatakse funktsiooni argumendiks ehk sõltumatuks muutujaks ja muutujat y temast sõltuvaks muutujaks, e funktsiooni väärtuseks. · X funktsiooni määramispiirkond. · Y={ y I y = f (x), x X} funktsiooni muutumispiirkond. · MÕISTE 2: · Funktsioon on antud, kui on antud eeskiri ja määramispiirkond. Kui viimast pole antud, siis on tavaliselt määramispiirkonnaks kõigi argumentide hulk, kus eeskiri on rakendatav. · Võimalik punkide arv kontrolltöös, läbitud kilomeetrid 0 kuni... y=a:x · Funktsioon on ühene vastavus · Igale vastab üks, mitte ühelegi kahte või enamat 16
väärtusele vastab väiksem funktsiooni väärtus. Käänupunkt - Punkt, millest läbiminekul joon muutub nõgusast kumeraks või kumerast nõgusaks Kumeruspiirkond- vahemik, kus ükski tema punkt selles piirkonnas ei ole kõrgemal ühestki tema puutujast selles vahemikus Nõgususpiirkond vahemik, kus ükski tema punkt selles piirkonnas ei ole allpool ühestki tema puutujast selles vahemikus Joone asümptoot - sirge, millele joone graafik piiramatult läheneb. Püstasumptoot - y-teljega paralleelne asümptoot Kaldasümptoot - Asümptoot, mis ei ole paralleelne koordinaattelgedega
MA1 - Reaalarvud. Võrrandid 1. Teemad Arvuhulgad N, Z, Q ja R, nende omadused. Reaalarvude piirkonnad arvteljel. Reaalarvu absoluutväärtus. Protsentülesanded. Astme mõiste üldistamine: täisarvulise ja ratsionaalarvulise astendajaga aste. N- es juur. Tehted astmete ja juurtega. Ratsionaal- ja irratsionaalavaldiste lihtsustamine. Irratsionaalsusest vabanemine. Lineaar-, ruut-, murd- ja juurvõrrandid. Võrrandite koostamine. Lihtsamate tekstülesannete lahendamine. 2. Tarkuseterad 2.1 Arvuhulgad Loendamisel kasutatavad arvud Arv 0 Kas 0N? Naturaalarvud N Järjestatav, vähim arv 1, lõpmatu Liitmine, korrutamine Jäägiga jagamine, algarv, SÜT, VÜK Nat. arvude vastandarvud Täisarvud Z Järjestatav,
Kõik ülejäänud funktsioonid on mittealgebralised ehk transtsendentsed. Liitfunktsioon Liitfunktsiooniks nimetatkse funktsiooni piirkonnas X kujul F(x)=f[p(x)]. Liitfunktsioon koosneb mitmest funktsioonist. Pöördfunktsioon Olgu y=f(x) mingi funktsioon, kus x on argument ja y funktsioon.Kui lahendada see võrrand x suhtes, samme x=p(y). Nende graafikud on samad. Tuleb vahetada argumendi ja funktsiooni tähistused saame funktsiooni y=p(x) Pöördfunktsiooni graafik on sümmeetriline algfunktsiooni graafikuga esimese ja kolmanda veeerandi nurgapoolitaja suhtes.(y=x2 y= -+ x ) Piirväärtus Lõpmata väike suurus, selle omadused. Muutuvat suurust, mille piirväärtus on null, nimetakse lõpmata väikseks. Omadused: Lõpliku arvu lõpmata väikeste suuruste summa on lõpmata väike suurus Tõkestatud muutuva suuruse ja lõpmata väikese suuruse korrutis on lõpmata väike suurus Lõpliku arvu lõpmata väikeste suuruste korrutis on lõpmata väike suurus.
...................6 4. Funktsiooni mõiste, funktsiooni esitusviisid. .............................................................................. 6 5. Funktsioonide liigitus (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioonid, monotoonsed funktsioonid, tõkestatud funktsioonid). Tuua näiteid. .............................................. 7 6. Elementaarsed põhifunktsioonid, nende määramispiirkonnad, põhiomadused ja graafikud. .....7 7. Liitfunktsiooni mõiste, liitfunktsiooni määramispiirkond. Tuua näiteid. ....................................7 8. Pöördfunktsiooni mõiste; pöördfunktsiooni määramis- ja muutumispiirkond. Tuua näiteid. .....7 9. Muutuva suuruse piirväärtus, tõkestamatult kasvav ja tõkestamatult kahanev suurus. ...............8 10. Funktsiooni piirväärtus. Funktsiooni vasak- ja parempoolne piirväärtus. .................................9 11. Tõkestamatult kasvav funktsioon, tõkestamatult vähenev funktsioon. ................................... 10 12
a = 1 . Kuid, mis juhtub, kui a ei võrdu 1? Näiteksy võrrandis y = – 4x2 . Mis on a ? a=–4 x y (x, y) x –2 – 16 (–2, –16) –1 –4 (–1, –4) 0 0 (0, 0) 1 –4 (1, –4) 2 – 16 (–4, –16) Parabooli y = ax2 omadused y = ax2 graafik on parabool, mille haripunkt asub nullpunktis ja y-telg on sümmeetriatelg. Kui a on positiivne, parabool avaneb ülespoole, kui a on negatiivne, parabool avaneb allapole. Kui a on suurem kui 1 (a > 1), siis parabool on kitsam kui parabool f (x) = x2. Kui a on 0 ja 1 vahel(0 < a < 1), siis parabool on laiem kui parabool f (x) = x2 Parabooli y = ax2 + k joonestamine Näiteks võrrandis y = – 4x2 – 3 . Mis on a ?
Eksponentfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis esitub valemina kujul y=ax kus a on positiivne ühest erinev reaalarv ning muutuja x on reaalarv. Uuri eksponentfunktsioonide omadusi graafiku põhjal avades faili lingil: http://www.allarveelmaa.com/ematerjalid/eksponent.pdf Saime teada, et eksponentfunktsiooni korral 1) positiivsusvahemik ühtib määramispiirkonnaga; 2) puuduvad nullkohad; 3) graafik läbib punkti (0;1); 4) funktsioon on kasvav, kui a ¿ 1 ja kahanev, kui 0
Pank teenis puhaskasumit 1 240 000 1 000 000 = 240 000 krooni. 240000 Leiame, mitu protsenti moodustab 240 000 krooni 1 000 000 kroonist. = 0, 24 = 24% . 1000000 Vastus: Panga selle päeva kasumiprotsent oli 24%. 3. (10p) Leidke funktsiooni y = x 3 - 4x 2 - 3x - 2 kasvamis- ja kahanemisvahemikud ning maksimum- ja miinimumkoht. Lahendus: Leiame antud funktsiooni esimese ja teise tuletise. f ( x ) = ( x 3 - 4 x 2 - 3x - 2 ) = 3x 2 - 8 x - 3 f ( x ) = ( 3 x 2 - 8 x - 3) = 6x - 8 1) Leiame nüüd kasvamisvahemiku: X : y > 0 3 x 2 - 8 x - 3 > 0; 3 x 2 - 8 x - 3 = 0; Kasutatud kirjandus www.ekk.edu.ee Tööd asuvad keskkonnas www.kool.ee 23.05
aide 1.1. Tabel x y -2 3 -1 11 0 15 esitab definitsiooni kohaselt funktsiooni, sest igale muutuja x v¨aa¨rtusele kol- meelemendilisest hulgast X = {-2, -1, 0} seab see vastavusse u ¨he kindla muutuja y v¨a¨artuse. Muutuja x v¨a¨artusele -2 on vastavusse seatud muutuja y v¨a¨artus 3 jne. Teiseks funktsiooni esitusviisiks on graafik. N¨ aide 1.2. Graafik esitab y y0 P x0 x Joonis 1.1: Funktsiooni esitusviis graafikuna t~oepoolest u ¨laltoodud definitsiooni m~ottes funktsiooni, sest argumendi v¨a¨artusele x0 vastab graafiku punkt P . Selle punkti ordinaat y0 on u ¨heselt m¨aa¨ratud,
y = y (t ) Näide: x = 5 cos(t ) , t [0; 2 ] y = 5 sin(t ) 4 Paaris- ja paaritud funktsioonid Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui f (-x) = f (x) ja paarituks funktsiooniks, kui f (-x) = -f (x) iga x korral määramispiirkonnast X. Paarisfunktsiooni graafik on Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes sümmeetriline 0-punkti suhtes. 6 5 2 x 4 cos ( x) 3 x
annaabi.ee 
