Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Matemaatika 9. klassi kordamine alustamiseks ". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
matk, kombain, ümbermõõt, haarad, rööpküliku, võrdhaarse, rombi, lihtsusta, turist, kavatses, möödudes, koristatud, kummalgi, teega, sirgegaPLANIMEETRIA III 1.Leida täisnurkse kolmnurga küljed, kui kolmnurga ümbermõõt on 12 cm ja kaatetite vahe on 1 cm. 2. Arvutada täisnurkse kolmnurga kaatetid, kui täisnurga poolitaja jaotab hüpotenuusi lõikudeks, mille pikkusedon 15 cm ja 20 cm. 3.Täisnurkse kolmnurga kaatetid suhtuvad nagu 5:6 ja hüpotenuus on 122 cm. Arvuta lõigud, milleks kõrgus jaotab hüpotenuusi. 4. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 8 cm ja 6 cm. Täisnurga tipust on tõmmatud ristlõik hüpotenuusile, leia selle pikkus. 5. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 16 cm ja 12 cm
x 24 Saame kaatetid AB = 10 + 6 =16 (cm), ja D x AC = 6 + 24 = 30 (cm). Leiame pindala 6 A 6 F x C ab 16 30 S 2 2 240 cm 2 . Vastus. Kolmnurga pindala on 240 cm². 2) Võrdhaarse trapetsi diagonaal on risti haaraga. Arvutage trapetsi pindala, kui trapetsi haar on 15 cm ja diagonaal 20 cm. Lahendus. b D C 15 20 15 h x x A a B E 3 Leiame külje a = AB (hüpotenuus) täisnurksest kolmnurgast ABD Pythagorase teoreemi abil a 20 2 15 2 25cm .
Arvuta, mitu korda on ristküliku pindala suurem kui trapetsi KLPN pindala. N P M K L 3. Ristküliku diagonaal on 28 cm ning ta moodustab pikema küljega nurga 30°. Tee joonis ja arvuta : 3.1. nurk lühema külje ja diagonaali vahel 3.2. lühema külje pikkus. 4. Ristküliku ABCD külg AB = 16 cm ja BC = 6 cm ning DE = CE. Leia kolmnurga ABE ümbermõõt ja pindala. Selgita lahendust. 5. Antud on kolmnurgad ABC ja AFD. 5.1. Põhjenda, et need kolmnurgad on sarnased. 5.2. Arvuta lõigu DF pikkus, kui AC = 10 cm, BC = 12 cm ja AF = 6 cm. C 75° D A 75° B F 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18
GEOMEETRIA Eksam 9.klass 1. (1996) Võrdhaarse kolmnurga haar on 1,3 dm ja alusele tõmmatud kõrgus 0,5 dm. Arvuta kolmnurga ümbermõõt. 2. (1996) Täisnurkse trapetsi teravnurk on 71° ning alused 35 cm ja 28 cm. Arvuta trapetsi pindala. 3. (1997) Ristküliku diagonaal on 25 cm ja ta moodustab ristküliku ühe küljega nurga 650. Arvuta ristküliku ümbermõõt. 4. (1997) Ristküliku diagonaal on 15 cm ja ta moodustab ristküliku ühe küljega nurga 350. Arvuta ristküliku pindala. 5. (1997) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 2,4 cm ja 3,2 cm. Arvuta kolmnurga ümbermõõt ja pindala. 6. (1997) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on 1,5 dm ja kaatet 1,2 dm. Arvuta kolmnurga ümbermõõt ja pindala. 7. (1998) Kahe sarnase ristküliku ümbermõõdud on 54 cm ja 10,8 cm. Suurema ristküliku üks külg on 10 cm
Avalda koonuse ruumala, kui moodustaja on m. 10. Kauba hinda alandati 10% võrra. Mitme protsendi võrra tuleb uut hinda veel alandada, et kogu hinnaalandus oleks 28%? 11. Ringi raadiusega 1 on joonestatud maksimaalse suurusega võrdkülgne kolmnurk, sellesse siseringjoon, saadud ringi võrdkülgne kolmnurk jne. Leia tekkivate kolmnurkade pindalade summa. 12. Humalavars kasvab 6 cm ööpäevas. Ta väändub ümber puu maaga 30° nurga all. Puu ümbermõõt on 25 cm. Kui kiiresti kasvab humal 3 m kõrgusele maapinnast? 13. Parabooli lõigatakse teljega ristuva sirgega. Parabooli ning selle sirge lõikepunktide A ja B vaheline kaugus on 32 cm, parabooli telje ning nimetatud sirge lõikepunkti C ja parabooli tipu D vaheline kaugus on 6 cm. Punktist B 8 cm kaugusel, punktis E on lõigule AB tõmmatud ristsirge, mis lõikab parabooli punktis F. Leia E ja F vaheline kaugus 14
10. Mitu protsenti moodustab avaldise 2,5 -1 : 1 väärtus avaldise 4 -1 : 2,4 + 1 3 9 30 3 8 väärtusest? 1 3 4 11. Leia arv, millest 30% on võrdne avaldise 4 + 1,9 -1 : 1 väärtusega. 3 5 5 12. Võrdhaarse kolmnurga ümbermõõt on 16 cm ja alus on 6 cm. Kolmnurga alusele joonestatud kõrgus moodustab 80% haarast. Arvuta kolmnurga pindala. 13. Täisnurkse kolmnurga pindala on 24 cm² ja hüpotenuusile tõmmatud kõrgus on 4,8 cm. Üks kaatet moodustab hüpotenuusist 80% ja teine kaatet moodustab esimesest kaatetist 75%. Arvuta kolmnurga ümbermõõt. 14. Rööpküliku pindala on 80 cm² ja lühemate külgede vaheline kaugus on 10 cm, pikem külg on lühemast küljest 75% võrra pikem
nimetatakse trapetsiks?" NB vaja selleks, et küsimustele võmalikult lihtsalt ja selgelt vastata 6.Definitsioon - lause; annab täpse ja Ül.585,588 lühikese vastuse küsimusele "Mida Lõikuvateks sirgeteks nimetatakse sirgeid, nimetatakse...?" või "Mis on...?" millel on ainult üks ühine punkt. Sirgnurgaks nimetatakse nurka, mille NB vaja selleks, et õppiks tundma mõisteid haarad moodustavad sirge. Murdjooneks nimetatakse järjestikku ühendatud lõike, mis ei asu ühel sirgel. 7.Algmõiste - mõiste, mida ei defineerita; punkt, sirge, tasand, ruum, arv, suurus, vaja teiste mõistete defineerimisel hulk 8.Aksioom - väide, mis loetakse tõeseks 1)arv 0 on vähim naturaalarv ilma põhjendamata 2)igale naturaalarvule järgneb vahetult
PLANIMEETRIA KORDAMINE NELINURGAD RÖÖPKÜLIK Vastasküljed on paralleelsed ja võrdsed Vastasnurgad on võrdsed Diagonaalid poolitavad teineteist Diagonaal jaotab rööpküliku kaheks pindvõrdseks kolmnurgaks Lähisnurkade summa on 180º ( Diagonaalide ruutude summa on võrdne külgede ruutude summaga: d 12 + d 22 = 2 a 2 + b 2 ) Ümbermõõt. P = 2( a + b ) Pindala: S = ah S = a b sin ROMB On võrdsete külgedega rööpkülik, seega on rombil kõik rööpküliku omadused. Lisaks on rombi diagonaalid risti ja poolitavad rombi nurgad,
Kolmnurki liigitatakse külgede järgi erikülgseteks (isekülgseteks), võrdhaarseteks ja võrdkülgseteks kolmnurkadeks. Erikülgse kolmnurga kõik küljed on erineva pikkusega. Võrdhaarses kolmnurgas on kaks võrdse pikkusega külge, mida nimetatakse haaradeks. Kolmandat külge nimetatakse aluseks. Aluse lähisnurki nimetatakse alusnurkadeks ja haarade vahelist nurka tipunurgaks. Võrdkülgse kolmnurga kõik küljed on võrdse pikkusega. Kirjuta joonisele juurde, kus asuvad võrdhaarse kolmnurga alusnurgad ja tipunurk ning haarad. Võrdkülgne kolmnurk on võrdhaarse kolmnurga erijuht. 1. Kas leidub selliseid kolmnurki, mis on * võrdhaarsed ja nürinurksed ....ei................ * võrdhaarsed ja täisnurksed .......ei............. * erikülgsed ja nürinurksed .................ja........ * võrdkülgsed ja nürinurksed ..................... * võrdkülgsed ja täisnurksed ..................... 3
Ruutfunktsioon Sissejuhatav kordamine 1. Teosta tehted. Vastustes vabane negatiivsetest astendajatest. 3 1 2 3 1 a) 2 a b c 3 Lahendus: ; 1 4 2 s 3 t b) 4 5 3 4 s t Lahendus: . 2. Lihtsusta avaldis. a) xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) Lahendus: xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) = = x2y + 3xy2 + x3 2x2y xy2 + x2y 2xy2 y3 = = x 3 y3 = = (x y)(x2 + xy + y2) b) (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) Lahendus: (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) = 9a2 12a + 4 + 4 9a2 = = 8 12a 3. Lahenda võrrand. a) 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111 Lahendus: 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111;
23 3 3 cm . 2 BC h 3 3 2 Leiame nüüd kolmnurgast OBC Pythagorase teoreemi abil kera raadiuse R OC 4 2 32 19 cm . Vastus. Kera raadius on 19 cm. 3 3) Riigieksam 1999 (20p.) Püströöptahuka diagonaalid on 9 cm ja 33 cm. Tema põhja ümbermõõt on 18 cm ja külgserv on 4 cm. Leidke püströöptahuka ruumala. Leidke kolmnurkse püramiidi ABDD1 ruumala. Lahendus. D1 C1 Ülesande andmete põhjal B1 BD1 = 33 cm ja AC1 = 9 cm; A1 2(a + b) = 18 cm; Kõrgus H = AA1 = BB1 = CC1 = DD1 = 4 cm D
7. Kui ärimees võtaks 15%-lise laenu, siis tuleb tal laenu protsendi katteks tasuda 6000 eurot. Tal õnnestus laen kaubelda 5% võrra odavamaks. Kui suur on nüüd laenuprotsent? 8. Kolme arvu summa on 217. Need arvud on mingi geomeetrilise jada kolm järjestikust liiget ja teatava aritmeetilise jada teine, üheksas ja 44-es liige. Mitu esimest liiget tuleb võtta sellest aritmeetilisest jadast, et nende summa oleks 820? 9. Võrdhaarse trapetsi lühem alus on 4 dm ja haar 5 dm ning teravnurk 45o. Trapets pöörleb ümber oma pikema aluse. Leidke pöördkeha ruumala ja täispindala. 2x 10. Uurige f-ni y = (X, Xo, X+; X-; X , X , Xe) ja skitseerige graafik. 1- x2 11. Rombi diagonaalid suhtuvad nagu 3:4 ja ta ümbermõõt on 6 m. Arvutage diagonaalide pikkused ja nurk lühema diagonaali kõrguse vahel. Vastused. 1
vastaskülje osadeks, mis suhtuvad nagu selle nurga lähisküljed ) 7. Kolmnurga sise-ja ümberringjoone keskpunkti leidmine(1. nurgapoolitajate lõikepunkt, 2. külgede keskristsirgete lõikepunkt). 8. Kolmnurga kongruentsuse tunnused(1. tunnus KNK, 2. tunnus NKN, 3. tunnus KKK ja tunnus KKN) 9. Teoreem kolmnurga kesklõigust (Kesklõik on paralleelne küljega ja võrdub poolega sellest) 10. Võrdelised lõigud. Kiirteteoreem (Kui nurga haarad on lõigatud paralleelsete sirgetega, siis ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega. Nurga haarade lõikamisel paralleelsete sirgetega tekivad võrdeliste külgedega kolmnurgad) 11. Kolmnurkade sarnasus. (Täisnurksete kolmnurkade sarnasuse tunnused. Kaks täisnurkset kolmnurka on sarnased, kui 1. ühe kolmnurga kaatetid on võrdelised teise kolmnurga kaatetitega; 2. ühe kolmnurga teravnurk võrdub teise kolmnurga teravnurgaga; 3
vastaskülje osadeks, mis suhtuvad nagu selle nurga lähisküljed ) 7. Kolmnurga sise-ja ümberringjoone keskpunkti leidmine(1. nurgapoolitajate lõikepunkt, 2. külgede keskristsirgete lõikepunkt). 8. Kolmnurga kongruentsuse tunnused(1. tunnus KNK, 2. tunnus NKN, 3. tunnus KKK ja tunnus KKN) 9. Teoreem kolmnurga kesklõigust (Kesklõik on paralleelne küljega ja võrdub poolega sellest) 10. Võrdelised lõigud. Kiirteteoreem (Kui nurga haarad on lõigatud paralleelsete sirgetega, siis ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega. Nurga haarade lõikamisel paralleelsete sirgetega tekivad võrdeliste külgedega kolmnurgad) 11. Kolmnurkade sarnasus. (Täisnurksete kolmnurkade sarnasuse tunnused. Kaks täisnurkset kolmnurka on sarnased, kui 1. ühe kolmnurga kaatetid on võrdelised teise kolmnurga kaatetitega; 2. ühe kolmnurga teravnurk võrdub teise kolmnurga teravnurgaga; 3
Kontroll: 6 × 18 = 108 (cm²) Vastus: RK alus on 18 cm ja kõrgus 6 cm 283 Olgu RK kõrgus h, alus on siis h+3 h(h+3) = 108 h²+3h -108 = 0 h = -1,5 ± 110,25 = -1,5 ± 10,5 h 1 = -12 või h 2 = 9 h 1 = -12 ei sobi h = 9 cm , alus on 9+3 =12 (cm) Kontroll: 9 × 12 = 108 (cm²) Vastus: RK mõõtmed on 9 × 12 cm 284 Olgu rööpküliku kõrgus h, alus on siis 4h 4h × h = 196 4h² = 196 h²= 49 h= ± 49 = ±7 h 1 = -7 ei sobi h = 7 (cm) alus on 4h = 4 × 7 = 28 (cm) Kontroll: 7 × 28 = 196 (cm²) Vastus: rööpküliku kõrgus on 7 cm ja alus 28 cm NB! Rööpküliku teist külge me veel praeguste teadmiste juures (15. nov) ei oska leida.
Kontroll: 6 18 = 108 (cm²) Vastus:RK alus on 18 cm ja kõrgus 6 cm 283 Olgu RK kõrgus h, alus on siis h+3 h(h+3) = 108 h²+3h -108 = 0 h = -1,5 110 ,25 = -1,5 10,5 h 1 = -12 või h 2 = 9 h 1 = -12 ei sobi h = 9 cm , alus on 9+3 =12 (cm) Kontroll: 9 12 = 108 (cm²) Vastus:RK mõõtmed on 9 12 cm 284 Olgu rööpküliku kõrgus h, alus on siis 4h 4h h = 196 4h² = 196 h²= 49 h= 49 = 7 h 1 = -7 ei sobi h = 7 (cm) alus on 4h = 4 7 = 28 (cm) Kontroll: 7 28 = 196 (cm²) Vastus: rööpküliku kõrgus on 7 cm ja alus 28 cm NB! Rööpküliku teist külge me veel praeguste teadmiste juures (15. nov) ei oska leida. 285 Olgu rombi lühem diagonaal d, pikem on siis 2d
Kontroll: 6 18 = 108 (cm²) Vastus:RK alus on 18 cm ja kõrgus 6 cm 283 Olgu RK kõrgus h, alus on siis h+3 h(h+3) = 108 h²+3h -108 = 0 h = -1,5 110 ,25 = -1,5 10,5 h 1 = -12 või h 2 = 9 h 1 = -12 ei sobi h = 9 cm , alus on 9+3 =12 (cm) Kontroll: 9 12 = 108 (cm²) Vastus:RK mõõtmed on 9 12 cm 284 Olgu rööpküliku kõrgus h, alus on siis 4h 4h h = 196 4h² = 196 h²= 49 h= 49 = 7 h 1 = -7 ei sobi h = 7 (cm) alus on 4h = 4 7 = 28 (cm) Kontroll: 7 28 = 196 (cm²) Vastus: rööpküliku kõrgus on 7 cm ja alus 28 cm NB! Rööpküliku teist külge me veel praeguste teadmiste juures (15. nov) ei oska leida. 285 Olgu rombi lühem diagonaal d, pikem on siis 2d
NT. a : b = (a · n) : (b · n) 6 : 3 = (6 · 100) : (3 · 100)= 600 : 300 = 2 a : b = (a : n) : (b : n) 360 : 60 = (360 : 10) : (60 : 10) = 36 : 6 = 6 Jagavuse tunnused - kui ühe naturaalarvu jagamisel teisega saadakse tulemuseks naturaalarv, siis öeldakse, et esimene arv jagub teisega. Järkarvudeks nimetatakse arve, mis kirjutatakse ainult ühe nullist erineva numbri ja sellele järgnevate nullide abil. Ringjoone kesknurk on nurk, mille tipp on selle ringjoone keskpunktis ja mille haarad lõikavad ringjoont. Kesknurka mõõdab kaar, millele ta toetub. Kolmnurga kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte. Kolmnurkade võrdsuse tunnused: 1. Kui ühe kolmnurga kolm külge on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kolme küljega, siis need kolmnurgad on võrdsed (tunnus KKK). 2. Kui ühe kolmnurga kaks külge ja nendevaheline nurk on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kahe külje ja nendevahelise nurgaga, siis need kolmnurgad on võrdsed ( tunnus
#y 0,5 cos x #y 2 sin x + " (I) või " 1 , !y 1 +! y 4 arvestades, et 0 x 2 . III Kui plekitahvel keevitatakse toruks mööda pikemat külge, siis saadud silindri kõrgus on võrdne ristküliku pikema küljega ja silindri põhja ümbermõõt on võrdne ristküliku lühema küljega. Ristküliku külgede pikkused on leitavad täisnurkses kolmnurgas kehtivate trigonomeetriliste seoste kaudu. Toru läbimõõdu arvutamiseks on vaja teada ringjoone pikkuse valemit ja toru ruumala leidmiseks silindri ruumala valemit. Lahendused I 1) Funktsioon y 2 sin x on antud lõigul 0; 2 . Funktsiooni y f (x) nullkohad on võrrandi f ( x) 0 lahendid.
Mitu maja on kastani tänaval? Vastus: 17 43. Iga nelja hüppe jaoks kulub konnal 6 sekundit. Mitme sekundiga teeb konn 10 hüpet? Vastus: 15 sekundiga (6 : 4 = 1,5 sekundit 1 hüpe; 10 * 1,5 = 15 sekundit) 44. Jüri ja Sass kohtuvad 1 209 600 sekundi pärast. Mitme ööpäeva pärast nad kohtuvad? Vastus: 14 ( 1 209 600 : 60 = 20 160 min : 60 = 336 h : 24 = 14 ööpäeva) 45. Väike nõid kutsus külla 26 sõpra ja kavatses neile valmistada erilist putru. Ta leidis sobiva retsepti, aga see oli mõeldud 3 inimesele ja seal oli kirjas, et tal läheb vaja 100 g karusmarjamoosi, 80 g mett, 500 g mannat ja 65 g sokolaadi. Mitu grammi mett peab ta pudru sisse panema, et ta koos sõpradega saaks seda süüa ja koguse poolest saaks igaüks niipalju, nagu retsepti järgi arvestades? Vastus: 720 g (Putru pidi ta valmistama kokku 27 inimesele. Kuna retsept oli
suurus=kaar kraadides:2 või samale kaarele Kui suur on kaar, millele toetub piirdenurk toetuv kesknurk:2; kõik samale kaarele 80°? toetuvad piirdenurgad (tipp asub erinevalt) on 2 80°=160° võrdsed vaata lk.177 NB piirdenurga 90° kohta kehtib Thalese teoreem 4.Piirdenurga omadus - teoreem: piirdenurk Ül.1078 on pool temaga samale kaarele toetuvast 1.joonis kesknurgast; tõestus tuleb esitada kolmes antud: piirdenurk kui võrdhaarse kolmnurga osas vastavalt sellele, kas ringi keskpunkt on alusnurk 70°, leida nurgad n,p,q,r o piirdenurga ühel haaral, piirdenurga sees või n=70 võrdhaarse kolmnurga alusnurk o o o väljaspool p=180 -70 2=40 võrdhaarse kolmnurga tipunurk
suurus=kaar kraadides:2 või samale kaarele Kui suur on kaar, millele toetub piirdenurk toetuv kesknurk:2; kõik samale kaarele 80°? toetuvad piirdenurgad (tipp asub erinevalt) on 2 80°=160° võrdsed vaata lk.177 NB piirdenurga 90° kohta kehtib Thalese teoreem 4.Piirdenurga omadus - teoreem: piirdenurk Ül.1078 on pool temaga samale kaarele toetuvast 1.joonis kesknurgast; tõestus tuleb esitada kolmes antud: piirdenurk kui võrdhaarse kolmnurga osas vastavalt sellele, kas ringi keskpunkt on alusnurk 70°, leida nurgad n,p,q,r o piirdenurga ühel haaral, piirdenurga sees või n=70 võrdhaarse kolmnurga alusnurk o o o väljaspool p=180 -70 2=40 võrdhaarse kolmnurga tipunurk
KONTROLLITUD Test nr. 2. 1 a 1,5 + 27b 1,5 1. Arvuta avaldise 1 1 - 2b 2 , kui a = 9 ja b = 16. a - 3a b + 9b 2 2 1) 7 2) 11 3) 13 4) 1 2. Lihtsusta avaldis a b , kui a < 0 ja b > 0. 6 4 1 1) - a 2 b 3 2) a 3 b 2 3) - a 3 b 2 4) -a b 3 3. Arvuta log 0, 25 0,64 + log 0,5 10
d b V= 6 m S= 4 10 10 b maksumus=hindV Algandmed: b, h, d, L - mõõtmed (cm), materjali hind (Kr/m3) Tulemid: V - ruumala (m3), S - täispindala (m2), maksumus (Kr) Vaheandmed: A - ristlõike pindala (cm2), P - ristlõike ümbermõõt (cm) , S=2A+PL d 2 - 8 d +h)-d+ 2 3 2A+PL 2 m S= 4 m 10 us=hindV mus (Kr) mõõt (cm) Ülesande püstitus Detailike - valemites aadressid Hind 500 Maksumus Err:509 b 40 V = AL , S=2A+PL h 80 d 2 d 0 A=bh-
( ) 72 3 24. Laskevõistlusel koosnes seeria 25 lasust. Möödalasude eest sai karistuspunkte järgnevalt: esimene möödalask üks karistuspunkt ja iga järgneva möödalasu eest 0,5 karistuspunkti rohkem kui eelneva eest . Mitu korda tabas sihtmärki laskur, kes sai 7 karistuspunkti? (21 korda) 25. Leia aritmeetiline jada a1 a3 a5 12; a1 a3 a5 80 .(2;-1;-4;-7....;-10;-7;-4..) 26. Turist tõuseb mäkke, esimese tunniga jõudis ta 800 m kõrgusele, iga järgmise minutiga läbis ta 25 m võrra vähem kui eelmisega. Mitme tunniga jõuab ta 5700 m kõrgusele? (8tundi) 27. Kui jagada aritmeetilise jada üheksas liige teise liikmega saame vastuseks 5, kui aga jagada sama jada kolmekümnes liige kuuendaga saame vastuseks 2 jääk 5. Leia selle jada esimene liige ja jada vahe. (3; vahe 4) 28
Kui ühest kastist võtta 21 õuna ja panna need teise kasti, siis oleks mõlemas kastis ühepalju õunu. Leia mitu õuna on kummaski kastis. 66. Murru lugeja on nimetajast 1 võrra väiksem. Kui jätta selle murru lugeja samaks ja nimetajale liita 3, saadakse murd ½. Leia esialgne murd. 67. Murru nimetaja on lugejast 1 võrra suurem, Kui jätta selle murru nimetaja samaks ja lugejale liita 6, siis saadakse arv 2. Leia esialgne murd. 68. Jüril on 60 kr, mille ta kavatses kulutada kaustikute ostmiseks. Et kaustiku hind oli vahepeal tõusnud 3 kr võrra, siis sai ta oma raha eest osta ühe kaustiku kavatsetust vähem. Arvuta mitu kaustikut sai Jüri oma raha eest osta ja kui palju maksis üks kaustik. 69. Maril on 48 kr, mille eest pidi ta ostma kauplusest raamatuid. Et raamat maksis soodusmüügi tõttu 4 kr vähem kui enne, siis sai Mari oma raha eest osta ühe raamatu rohkem, kui ta esialgu oleks saanud.
9. (20 punkti) Püströöptahuka ABCDA1B1C1D1 (vt joonist) põhjaks on romb ABCD, mille teravnurk BAD = ja diagonaal BD = d. Püströöptahuka diagonaal CA1 moodustab põhitahuga nurga . 1) Avaldage püströöptahuka diagonaallõigete pindalad nurkade ja ning diagonaali d kaudu. 2) Antud püströöptahukasse on kujundatud püramiid OA1KL, kus punktid K ja L on vastavalt püströöptahuka servade D1C1 ja C1B1 keskpunktid ning punkt O on rombi ABCD diagonaalide lõikepunkt. Leidke püströöptahuka ja püramiidi OA1KL ruumalade suhe. 3) Näidake, et sirge A1O on risti sirgega BD. _____________________________________________________________________ Lahendus. 1) Rombi diagonaalid jaotavad rombi neljaks võrdseks täisnurkseks kolmnurgaks d 1 d tan = 2 x = AC = . 2 x 2 2 tan
2) Valemite rakendamine: 4x²-25y²=(2x+5)(2x-5) 3) Ruutkolmliikme tegurdamine: ax² + bx + c = a(x - x1)(x - x2) , kus x1 ja x2 on võrrandi ax²+bx+c=0 lahendid. 5 ± 25 - 4 2 3 5 ±1 Näiteks: 2x²-5x+3=2(x-1)(x-1,5), sest x = = , x1=1 ja x2=1,5 22 4 4) Rühmitamine: x³+3x²-4x-12=x²(x+3)-4(x+3)=(x+3)(x²-4) Näidisülesanne: lihtsusta: -K ± K ² -ac * K-valem: kui ax²+2Kx+c=0, siis x= a Astendamine Naturaalarvuline astendaja 2³=222=8 00= - a0=1, kui a0 , st iga arv astmes 0 on võrdne ühega (kui see arv ei ole 0). 11²= 12²= 13²= 14²= 15²= 16²= 17²= 18²= 19²= 20²= 21²= 22²= 23²= 24²= 25²= 121 144 169 196 225 156 289 324 361 400 441 484 529 576 625
nurga x siinuse, koosinuse ja tangensi kaudu ja vastupidi. sin 2x = 2 sin x · cos x cos 2x = cos2x – sin2 x 2 tan x tan 2x = 1 tan2 x Näited: 1 1 sin x · cos x = 2 sin x · cos x = sin 2x 2 2 sin2x – cos2x = –(cos2x – sin2x) = – cos 2x 2 tan 2x tan 4x = 1 tan2 2x Ülesanne. Kasutades kahekordse nurga siinuse valemit lihtsusta avaldis sin x cos x cos 2x cos 4x cos 8x cos 16x 1 Kui lahendad ülesande õigesti, saad lõpptulemuseks sin 32x . 32 Ülesanne. On teada, et cos 2x = cos2x – sin2 x. Millega võrdub a) cos2 2x – sin2 2x b) sin2 4x – cos2 4x c) cos2 8x + sin2 8x POOLNURGA VALEMID Trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamisel kasutatakse ka n.n
Geodeesia eksamiteemad kevad 2013 1. Geodeesia mõiste ja tegevusvaldkond, seosed teiste erialadega Geodeesia on teadus Maa ning selle pinna osade kuju ja suuruse määramisest, seejuures kasutatavatest mõõtmismeetoditest, mõõtmistulemuste matemaatilisest töötlemisest ning maapinnaosade mõõtkavalisest kujutamisest digiaalselt või paberkandjal kaartide, plaanide ja profiilidena. Geodeesia on teadusharu, mis vaatluste ja mõõtmiste tulemusena määrab terve maakera kuju ja suuruse, objektide täpsed asukohad, aga ka raskusjõu väärtused ja selle muutused ajas. Samuti ka objektide koordineerimine ja nende omavaheliste seoste kujutamine, seda just topograafiliste kaartide abiga. Objektide asukohtade väljakandmine loodusesse. TEGEVUSVALDKONNAD: Kõrgem geodeesia Maa tervikuna, kuju ja suurus; insenerigeodeesia geodeetilised tööd rajatiste projekteerimiseks, alusplaanid, ka maa-alused kommunikatsioonid, kaevandused, erinevad trassid; topograafia
langetas puu. Edasi tõstis ta tüve sama alusvankri peal olevasse laasimis- järkamismasinasse. Neli raielangitööde kompleksse mehhaniseerimise suunda: Esimene (1950-ndatel) oli seotud sortimentide valmistamisega kännu juures, teise peatunnuseks oli puidu kokkuvedu tüvestena, kolmandat iseloomustas võradega puude kokkuvedu. Vastavalt nendele suundadele konstrueeriti mitmeid metsakombaine ja masinsüsteeme. Esimest suunda esindasid kombain "Busch" (USA) ja süsteem "Koehring-Waterous" (Kanada). Kombaini "Busch" abil langetati ja laasiti puud, järgati sortimentideks (põhiliselt paberipuudeks), veeti laadimisplatsile ning laaditi autodele. Tüvemahul 0,15...0,25 m3 oli sellise kombaini tootlus 25...45 m3 vahetuses . Teist suunda esindas masinsüsteem "Beloit" (USA ja Kanada). See koosnes agregaadist, mis laasis kasvava puu, saagis sellelt ladva, langetas ja ladus tüved virna. Süsteemi
Söödatehnoloogia kordamisküsimused 1)Mullaviljakus ja maade hindamine Mullaviljakuse all mõistetakse mulla võimet varustada taimi vee, õhu ja toitainetega. Kui täiuslikult mainitud protsess ühes või teises mullas kulgeb, sellest sõltubki kultuuride saagikus, mis on ühtlasi ka mullaviljakuse näitaja. Mulla kvaliteedi näitajaks on viljakus. Eristatakse kahte liiki viljakust : a) looduslik- tekib looduslike tingimuste mõjul b) efektiivne inimese kaasabil tekkinud mulla viljakus (kuivendamine, metsaraie, väetamine, muldade harimine) Mullaviljakus on muutuv näitaja. Eesti muldi hakati hindama tootmisnäitaja järgi 17.sajandi teisel poolel, tänapäeval eristatakse Eestis 10 erinevat mulla koniteedi klassi: 1) klass 91-100 hindepunkti, 2) klass 81-90 hindepunkti(h.p.), 3) 71-80 h.p., 4) 61-70 h.p., 5) 51-60 h.p., 6) 41-50 h.p., 7) 31-40 h.p., 8) 21-30 h.p., 9)11-20 h.p., 10) 1-10 h.p. Keskmine on 35-50 hindepunkti. Looduslikel rohumaadel 10-20 hindepunkti
MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2016 KÄRBITUD loengukonspekt Marek Kolk ii Sisukord 0 Tähistused. Reaalarvud 1 0.1 Tähistused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 Kreeka tähestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Maatriksid ja determinandid 7 1.1 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tehted maatriksitega . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
annaabi.ee 
