Seega tükeldused on mittevõrreldavad, kui kumbki pole teisest suurem ega väiksem. Millisel juhul on tükeldused võrdsed? Tükeldused on võrdsed, kui nad mõlemad koosnevad samadest plokkidest. Kas tükelduste korrutis on teguriteks olnud tükeldustest suurem või väiksem?Kas tükelduste summa on liidetavateks olnud tükeldustest suurem või väiksem? Tükelduse korrutis on alati väiksem mõlemast teguriks olevast tükeldusest ehk tükelduste summa on alati suurem mõlemast liidetavast tükeldusest. Mis on nulltükeldus? Mis on ühiktükeldus? Kuidas neid tähistatakse? Nulltükeldus on hulga väikseim võimalik tükeldus. Nulltükelduse kõik plokid on väikseimaid võimalikud ehk üheelemendilised. Tähistatakse 0-ga Ühiktükeldus on hulga suurim võimalik tükeldus. Ühiktükeldus koosneb ühestainsast plokist, mis sisaldab hulga kõiki elemente.Tähistatakse 1-ga.
parameeter, mida nimetatakse n-ndat järku determinandiks, mis on sobivalt valitud märgiga. Kõikvõimalike niisuguste n teguri korrutiste summa, kus tegurid on valitud maatriksi erinevatest ridadest ja veergudest. Teist järku determinant sisaldab 2 liidetavat mis on maatriksi kahe elemendi korrutised. Teist järku determinant on peadiagonaali elementide korrutise ja kõrvaldiagonaali elementide korrutise vahe. Kolmandat järku determinant koosneb 3 liidetavast, mis on maatriksi 3 elemendi korrutused ja nende märgid määratakse vastavalt
determinant selle teguriga. See omadus võimaldab D-i rea või veeru elementide ühist tegurit D-i märgi ette tuua, mis harilikult lihtsab tunduvalt arvutusi. · Kui D-s on kaks rida omavahel võrdsad, siis D võrdub nulliga. Seega on eelmise omaduse tõttu D võrdne nulliga ka siis kui D-i kaks rida on võrdelised. · Kui D-s mingi rea iga element kujutab kahhe liidetava summa siis laguneb D kahe sama järku D- i summaks, kui esimeses D-s koosneb vaadeldav rida esimestest liidetavast ja teises D-s teistest liidetavatest; ülejäänud read jäävad aga endisteks. · D ei muutu, kui D-i ühe reaga liita mistahes tegutriga korrutatud teine rida. D-i seda omadust kasutatakse mõnede elementide nulliks muutmiseks, et D-i arvutamist lihtsustada. n-järku D-i elemendi aik miinoriks Mik nimetatakse (n-1)- järku D, mis tuleb D-st, kui sellest jäetakse ära i-s rida ja k-s veerg. Alam-D Aik ja miinori Mik vahel kehtib järgmine seos: Aik = (-1)i+k Mik 2
Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Loetleda diferentsiaali omadused. 2. Olgu antud funktsioon, mis diferentseerub punktis a ja eeldame, et Teades, et Nii me näitasime, et Tähistades ja vahe järgmiselt Kehtib võrratus: Et avaldada väärtust kaudu peame kõigepealt avaldama suhte: Korrutades saadud avaldist saame: kus Nüüd näemegi, et koosneb kahest liidetavast, mis kahanevad piirprotsessis Võrdleme neid suuruseid suhtes: Lisaks kehtib veel: · Diferentsiaali omadused: 1. 2. 3. 4. 5. 3. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma. · Funktsiooni lokaalne maksimum Funktsioonil on punktis lokaalne maksimum, kui: a) Funktsioon on määratud mingis ümbruses ( b) Igal puhul kehtib võrratus
Seega võib öelda, et y ja x suhe erineb x lähenemisel nullile funktsiooni tuletisest f'(x) lõpmata väikese suuruse võrra (ärme unusta, et lõpmata väike suurus on muutuv suurus): y x = f'(x) + a , kus a 0 ja x 0 Teeme väikese lubatud nipi ja vaatame, mis selle tagajärjel avaldub; korrutame x-ga mõlemad pooled läbi: y x = f'(x) + a x y = f'(x)x + ax AVALDUS FUNKTSIOONI MUUT! Funktsiooni muut koosneb kahest liidetavast: f'(x)x ja ax kusjuures mõlemad on lõpmata väikesed suurused, kuna x 0 . Suurus f'(x)x on aga kõrgemat järku lvs argumendi muudu suhtes, sest a x lim x = x 0 0 Niisiis: y = f'(x)x + ax Seda rohelist osa, mis kõrgema järgu lvs-na domineerib, seda korrutist f'(x)x nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks. DEF:
Matemaatilise analüüsi (I) II osaeksami teooriaküsimused (Tallinnas õppivatele kaugõppijatele) 1. Funktsiooni muudu peaosa ja funktsiooni diferentsiaal. Sõltumatu muutuja diferentsiaal. Funktsiooni diferentsiaali valem. Ligikaudse arvutamise valem. Funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene [kui f ( x ) 0 ] on muudu niinimetatud peaosa, mis on võrdeline argumendi muuduga x . Korrutist f ( x ) x nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks ja tähistatakse sümboliga dy või df ( x ) . Sõltumatu muutuja x diferentsiaal dx ühtib tema muuduga x . dy f ( x ) = Funktsiooni diferentsiaali valem: dy = f (
näidanud tõestust. 13. Määratud integraali lineaarsuse omadus tõestusega. Lause: Määratud integraali lineaarsuse omadus: Kui c1, c2R, siis Tõestus: Et funktsiooni integraasumma korral kehtib seos siis piirväärtus summast on piirväärtuste summa , kui piirväärtus mõlemast liidetavast eksisteerib ning konstantne tegur on toodav piirväärtuste märgi ette, siis 14.Määratud integraali aditiivsuse omadus tõestusega. Lause: määratud integraali aditiivsuse omadus: Kui , siis Tõestus: Kui on lõigu tükeldus, kusjuures c kuulub selle tükelduse osalõiku kus 1 on lõigu tükeldus punktidega x0,x1, ..., xk-1 , c ja 2 on lõigu tükeldus punktidega c, xk, ..., xn-1, xn
20. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f (a)0. Valemist näeme, et funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f(a)x ja teine on . Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis x 0. Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui x ja teine liidetav on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus x suhtes. Järelikult väikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seetõttu võime lugeda diferentsiaali dy funktsiooni muudu peaosaks.
Määramata integraal on lineaarne operaator, st ()+g(x)dx= f(x)dx+ g(x)dx piirväärtuste summa , kui piirväärtus mõlemast liidetavast eksisteerib ning () = () ( ) konstantne tegur on toodav piirväärtuste märgi ette, siis
∆y ∆y Avaldame võrdusest . = f ' ( a )+ r ( ∆ x ) ∥∙ ∆ x ∆x ∆x ∆ y =f ' ( a ) ∆ x + β , kus β=r ( ∆ x ) ( ∆ x ) Funktsiooni muut ∆y koosneb kahest liidetavast: f′(a)∆x ja β. Esimene liidetav f′(a)∆x sõltub lineaarselt argumendi muudust ∆x. Suurust f′(a)∆x nimetatakse funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks punktis a ja tähistatakse dy või df. Seega ∆y = dy + β . 12. Mida nimetatakse funktsiooni argumendi diferentsiaaliks? Näidata, et argumendi x korral kehtib valem Δy = dy + β , kus dy on sama järku lõpmatult väike suurus Δxx = dx . Vastavalt diferentsiaali definitsioonile, dy = f′(a)∆x . Tähistame funktsiooni y = x
.) ja k > l, siis nad moodustavad inversiooni, vastasel korral aga mitte. NÄITEID 1) TEIST JÄRKU DETERMINANT (n = 2). Teist järku ruutmaatriksi determinant sisaldab 2! = 12 liidetavat, mis on maatriksi kahe elemendi korrutised. Täpsemalt, teist järku determinant on peadiagonaali elementide korrutise ja kõrvaldiagonaali elementide korrutise vahe: A2×2 | A | = a11 a22 a12 a21. 2) KOLMANDAT JÄRKU DETERMINANT (n = 3) koosneb 3!=123 liidetavast, mis on maatriksi kolme elemendi korrutised ja nende märgid määratakse vastavalt SARRUSE REEGLILE: A3×3 | A | = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12 a21 a33 . MÄRKUS. Determinandi mõiste võimaldab lahendada küsimust maatriksi A rea-(veeru)vektorite lineaarsest sõltuvusest (|A| = 0 ) või sõltumatusest (|A | 0). 11 DETERMINANTIDE OMADUSI
.) ja k > l, siis nad moodustavad inversiooni, vastasel korral aga mitte. NÄITEID 1) TEIST JÄRKU DETERMINANT (n = 2). Teist järku ruutmaatriksi determinant sisaldab 2! = 12 liidetavat, mis on maatriksi kahe elemendi korrutised. Täpsemalt, teist järku determinant on peadiagonaali elementide korrutise ja kõrvaldiagonaali elementide korrutise vahe: A2×2 | A | = a11 a22 a12 a21. 2) KOLMANDAT JÄRKU DETERMINANT (n = 3) koosneb 3!=123 liidetavast, mis on maatriksi kolme elemendi korrutised ja nende märgid määratakse vastavalt SARRUSE REEGLILE: A3×3 | A | = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12 a21 a33 . MÄRKUS. Determinandi mõiste võimaldab lahendada küsimust maatriksi A rea-(veeru)vektorite lineaarsest sõltuvusest (|A| = 0 ) või sõltumatusest (|A | 0). 11 DETERMINANTIDE OMADUSI
TÕESTUSED, TULETUSKÄIGUD, PÕHJENDUSED!!! 23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana y = f'(a)x + , kus = r(x)x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f'(a)x ja teine on . M~olemad liidetavad on l~opmatult kahanevad protsessis x 0. V~ordleme neid suurusi x suhtes. Esiteks, eelduse f'(a) 0 p~ohjal saame lim dy x= lim f'(a)/x* x= lim f'(a) = f(a) 0. x0 x0 x0 Teiseks kehtib lim / x = lim r(x)x /x = lim r(x) = 0. x0 x0 x0 N¨aeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama j¨arku l~opmatult kahanev suurus kui
lõpmatult kahanev suurus x suhtes. Järelikult väikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seetõttu võime lugeda diferentsiaali dy funktsiooni muudu peaosaks. Jääkliikme võib väikese x korral funktsiooni muudu avaldises ära jätta. Kehtib ligikaudne valem. y = dy, kui x Näide: Tähistame ja f'(a) vahe järgmiselt: r(x) = , siis . Saame valemi: y = f'(a)x + , kus = r(x)x. Funktsiooni muut koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f'(a)x ja teine . 6. Diferentsiaali geomeetriline sisu. Korrektne selgitus joonisega. Geomeetriline sisu. Funktsiooni diferentsiaal võrdud selle funktsiooni graafiku puutuja kasvuga lõigul [a, x]. Joonis: tan = QR = AR · tan QR = f'(x0) · x QR = dy PR = y PQ = PR PQ PQ = 7. Diferentsiaali omadused. (omaduse 2 tõestus). 1. d(u ± v) = du ± dv, 2. d(uv) = vdu + udv, 3. d = , kui v0. 4. d(Cu) = Cdu , C - konstant,
(¿ k ¿ )−f (c) ∑¿ ξ i=1 piirväärtuste summa , kui piirväärtus mõlemast liidetavast eksisteerib ning konstantne ¿ tegur on toodav piirväärtuste märgi ette, siis (¿ k ¿)−f (c)
). Loetleda diferentsiaali omadused. a. Teades, et argumendi muut kohal a -funktsiooni muut kohal a a.i. Nii me näitasime, et a.ii. Tähistades ja vahe järgmiselt a.iii. Kehtib võrratus: a.iv. Et avaldada väärtust kaudu peame kõigepealt avaldama suhte: a.v. Korrutades saadud avaldist saame: kus a.vi. Nüüd näemegi, et koosneb kahest liidetavast, esimeseks dy= ja teine on , mis kahanevad piirprotsessis a.vii. Võrdleme neid suuruseid suhtes: a.viii. Lisaks kehtib veel: a.ix. Nüüd teame,et diferentsiaal dy on sama järku kahanev suurus ja kõrgemat järku kahanev suurus suhtes. Järelikult võimalikult väikse väärtuse korral hakkab diferentsiaal avaldises domineerima. a.x. Kehtib võrratus: , kui
Teades, et , leida punkti M poolt läbitud teepikkuse sõltuvus ajas t, kui s(0) = 0 ! Teepikkuse leidmiseks tuleb leida, mille tuletis on v(t). Kasutan käsku "Integrate" ja saan teepikkuseks Kontroll, kas leitud teepikkuse valem sobib: peaks võrduma 0-ga, järelikult leitud valem veel ei sobi, teda tuleb edasi arendada: Teen uue kontrolli: sobib ja kontrollin igaksjuhuks tuletist, kuigi ta ei saa juurde liidetavast arvust muutuda, kuna konstandi tuletis on nagunii 0 ja ta ei saa vastust mõjutada: ka sobib Pärast edukalt läbitud kontrolli saan punkti M poolt läbitud teepikkuse valemiks: 7. Mis on algfunktsioon? Esitada 2 näidet! Kõiki f-ne , mis rahuldavad võrdust , nimetatakse f-ni algf-nideks. Näited: , 8. Leida funktsiooni algfunktsioon? Kontroll: 9
graafik on punktis sile joon mille puutuja tõusunurk ei ole 23. Funktsiooni peaosa ja jääkliige Olgu antud funktsioon, mis diferentseerub punktis a ja eeldame, et Teades, et Nii me näitasime, et Tähistades ja vahe järgmiselt Kehtib võrratus: Et avaldada väärtust kaudu peame kõigepealt avaldama suhte: Korrutades saadud avaldist saame: kus Nüüd näemegi, et koosneb kahest liidetavast, mis kahanevad piirprotsessis Võrdleme neid suuruseid suhtes: Lisaks kehtib veel: Nüüd teame,et diferentsiaal dy on sama järku kahanev suurus ja kõrgemat järku kahanev suurus suhtes. Järelikult võimalikult väikse väärtuse korral hakkab diferentsiaal avaldises domineerima. Kehtib võrratus: , kui Diferentsiaali omadused: 1. 2. 3. 4. 5. 24.
Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f(a)0 kasutades mõisteid: x = x - a - argumendi muut kohal a y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . Näitasime, et Seega kui tähistame ja f'(a) vahe järgmiselt : Kehtib võrdus Püüame avaldada funktsiooni muutu y argumendi muudu x kaudu. Selleks avaldame kõigepealt võrdusest suhte ja korrutame saadud avaldise x-ga. Saame valemi Valemist näeme, et funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f(a)x ja teine on . Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis x 0. Võrdleme neid suurusi x suhtes. Esiteks, eelduse f(a) 0 põhjal saame : Teiseks kehtib valem : Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui x ja teine liidetav on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus x suhtes. Järelikult väikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima
Võttes teist järku diferentsiaalist diferentsiaali saame kolmandat järku diferentsiaali d^3 y. Järelikult Valemist näeme, et funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f(a)x ja d^3 y(x)=f^''' (x)?dx?^3. teine on . Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis x 0. Võrdleme neid suurusi x suhtes. Esiteks, eelduse f(a) Seda protseduuri võib jätkata.
kiirus on Vh ja hoovuse nurk on q ja läbib vahemaa ajaga T (t2 t1). Joonisel näidatud suunas mõõduliini läbitud teepikkus koosneb kahest liidetavast: s klg LNV T1vh cos q ja vastassuunas s klg LNV T2vh cos q Peab märkima, et logijärgi läbitud teepikkused on erinevad, sest logi arvestab kiirust veesuhtes (hoovust ei arvesta). Elimineerides
Matemaatiline analüüs 23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x suhtes, kui ∆x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu esitus: ∆y = f’(a)∆x + β , kus β = r(∆x)∆x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆ x suhtes, kui ∆ x läheneb nullile? (tõestada!). funktsiooni muut ∆y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f’(a)∆x ja teine on β. Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis ∆x → 0. Võrdleme neid suurusi ∆x suhtes. Esiteks, eelduse f’(a) 0 põhjal saame lim dy ∆x= lim f’(a)/∆x* ∆x= lim f’(a) = f(a) 0. ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 Teiseks kehtib lim β/ ∆x = lim r(∆x)∆x /∆x = lim r(∆x) = 0. ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0
1.Lineaarsed homogeennsed rekurrentsed võrrandid. (Nt. An = An-1 + 5An-2). 2.Lineaarsed mittehomogeennsed rekurrentsed võrrandid.(Nt. An = 3An-1 + 2An-2 - n). Reaalsetes rakendustes leidub mõlemat varianti üsna sageli. Teise tüübi puhul tuleb aga võrrandi lahendamisel arvestada ka tekivate erilahenditega (Mittehomogeennsuse puhul sõltub arvujada väärtus tavaliselt lisaks jada eelnevatele väärtustele An ka liikme indeksist n või suvalisest liidetavast x). Esimest järku rekurrentse on lihtne ning efektiivne lahendada interatsioonimeetodi abil. Teist järku rekurrentse lahendatakse tavaliselt karakteristliku võrrandi meetodi abil. Selleks, et lahendada mistahes n'indat järku rekurrentset võrrandit, vajame me ka vähemalt n'i erinevat eeldefineeritud algtingimust An. Kui algtingimused on olemas, on võrrand üheselt määratud. Karakteristliku võrrandi meetod: a). Rekurrentse võrrandi lahendit otsime alati kujul . b)
1 me näitasime, et f(a) = lim y/ x x0 Seega, kui me tähistame (y/ x) ja f(a) vahe() järgmiselt r(x) =(y/x) - f(a) (3.14) kehtib võrdus - lim r(x) = 0 (3.15) x0 Püüame avaldada() funktsiooni muutu y argumendi muudu x kaudu. Selleks avaldame kõigepealt võrdusest (3.14) suhte (y/x) : (y/x)= f(a) + r(x) ja korrutame saadud avaldise x-ga. Saame valemi y = f(a)x + , kus = r(x)x. (3.16) Valemist (3.16) näeme, et funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast,millest esimene on diferentsiaal dy = f (a)x ja teine on . Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis x 0. Võrdleme neid suurusi x suhtes. Esiteks, eelduse f(a) = 0 põhjal saame lim dy/ x= lim( f(a)*x)/ x= lim f(a) = f(a) = 0 x0 x0 x0 Teiseks, (3.15) põhjal kehtib lim / x= lim( r(x)x) /x= lim r(x) = 0 x0 x0 x0
või Mj,Sd Mj,Rd 2 Mc,pl,Rd kus Mb,pl,Rd - tala arvutuslik plastne paindekandevõime; Mc,pl,Rd - posti arvutuslik plastne paindekandevõime. - pooltugev liide, mis on võimeline vastu võtma vajaliku suurusega arvutuslikku paindemomenti ja teisi sisejõude, kuid mis on liidetavast elemendist nõrgem. Tabel 7.1 Liidete mudelite tüübid Sisejõudude leidmisel kasutatav arvutusmudel Liite liik Elastne Nimeliselt liigend Jäik Pooljäik Jäik-plastne Nimeliselt liigend Täistugev Pooltugev Pooljäik ja pooltugev
näiteks põhimuutujas ACADVER salvestatakse programmi AutoCAD vormingi number, kuna põhimuutuja DWGNAME sisaldab kasutatava joonise nime. Kuid põhimuutuja võib omada ka mitut väärtust ning sageli võib üksikuid lubatud väärtusi kokku liita, näiteks punkti asukoha täppismääramist joonise geomeetria alusel kirjeldava käsuga OSNAP määratud põhimuutuja OSMODE väärtus võib koosneda erinevates valikutesse võetud 14 erinevast liidetavast 0, 1, 2, ... , 2048, 4096, 8192, vastavalt joone lõpp-punkti, keskpunkti, ringi keskpunkti, ..., kiivsirgete lõikumise, joo- ne pikenduse ja rööpsuse kohta. Üheaegselt võib kasutusel olla mitu punkti asukoha täppismääramist. Seega kõiki võimalikke valikuid OSMODE on 14! (14 faktoriaali ≈ 1011). Näiteks OSMODE = 291 (= 1 + 2 + 32 + 256) tähendab, et ühel ajal on sisse lülitatud joone lõpp- ja keskpunkti ning lõikumise ja puutumise täppismääramised.
P¨ uu¨ame avaldada funktsiooni muutu y argumendi muudu x kaudu. Sel- y leks avaldame k~oigepealt v~ordusest (3.14) suhte x : y = f (a) + r(x) x ja korrutame saadud avaldise x-ga. Saame valemi y = f (a)x + , kus = r(x)x. (3.16) Valemist (3.16) n¨aeme, et funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f (a)x ja teine on . M~olemad liidetavad on l~opmatult kahanevad protsessis x 0. V~ordleme neid suurusi x suhtes. Esiteks, eelduse f (a) = 0 p~ohjal saame dy f (a)x lim = lim = lim f (a) = f (a) = 0 . x0 x x0 x x0 Teiseks, (3.15) p~ohjal kehtib r(x)x lim = lim = lim r(x) = 0 . x0 x x0 x x0
P¨ uu¨ame avaldada funktsiooni muutu y argumendi muudu x kaudu. Sel- y leks avaldame k~oigepealt v~ordusest (3.14) suhte x : y = f (a) + r(x) x ja korrutame saadud avaldise x-ga. Saame valemi y = f (a)x + , kus = r(x)x. (3.16) Valemist (3.16) n¨aeme, et funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f (a)x ja teine on . M~olemad liidetavad on l~opmatult kahanevad protsessis x 0. V~ordleme neid suurusi x suhtes. Esiteks, eelduse f (a) = 0 p~ohjal saame dy f (a)x lim = lim = lim f (a) = f (a) = 0 . x0 x x0 x x0 Teiseks, (3.15) p~ohjal kehtib r(x)x lim = lim = lim r(x) = 0 . x0 x x0 x x0
annaabi.ee 
