Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "KT Excel 2017". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
deta, sokolaad, maatriks, sokolaadi, muutuja, kakao, pöördmaatriks, cramer, kakaod, ammendatud, 2017, saata, maatriksid, sokolaadivabrik, piimapulber, valemitega, 1320, 1002, 1194, 2446a = aij A = (aij ) = ij , (1.1) kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element. Maatriksi suurust saab väljendada valemiga: ridade arv x veergude arv. Antud maatriks (1.1) on suurusega n x m ja seda saab kirjutada järgmiselt : An x m või dim A = n x m (dimensioon suurus). 3 - 4 2 A = Näide 1: Antud maatriks 0 1 - 6,5 . Siin A , a = - 4, a = -6,5 . 2x3 12 23 Maatriksid on võrdsed oma vahel , kui on võrdsed kõik vastavad elemendid antud matriksites, s.t. A = B , kui aij = bij , i = 1,...,n , j = 1,...,m
püstjoontega): A = (aij ) = [aij ] = aij , (1.1) kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element. Maatriksi suurust saab väljendada valemiga: ridade arv x veergude arv. Antud maatriks (1.1) on suurusega n x m ja seda saab kirjutada järgmiselt : An x m või dim A = n x m (dimensioon suurus). 3 -4 2 Näide 1: Antud maatriks A = . Siin A2x3 , a12 = - 4, a23 = -6,5 . 0 1 - 6,5 Maatriksid on võrdsed oma vahel , kui on võrdsed kõik vastavad elemendid antud matriksites, s.t. A = B , kui aij = bij , i = 1,...,n , j = 1,...,m . Definitsioon 2
Ruutfunktsioon - Sissejuhatus ruutfunktsiooni Praeguseks momendiks peaksid tundma niisuguseid seosei muutujate x ja y vahel, nagu a võrdeline seos y = ax, pöördvõrdeline seos y ning lineaarseos ehk lineaarfunktsioon y = x ax + b. Kordame neid seoseid. Edasi vaatame ülesandeid. 1. Joonesta võrdelise seose y = 1,5x graafik ja leia selle abil muutuja y väärtused, kui x 2; 1; 0; 1; 2; 3 . Lahendus: Kõigepealt joonestame graafiku. Teame, et sirge joonestamiseks piisab kahest punktist. Võtame x = 0. Sel juhul on y = 1,5 . 0 = 0. Saime punkti (0; 0). Olgu nüüd x = 2, siis y = 1,5 . 2 = 3. Teine punkt on (2; 3). Kanname punktid koordinaatteljestikku ja ühendame. Vaatame ainult kahte punkti, kui x = 2 ja x = 3. Ülejäänud punkid jäävad iseseisvaks tööks.
. . . . . . . . . . . . . . . 62 Näiteid maatriksalgebra kasutamisest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Oleku- ja üleminekumaatriksid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Pöördmaatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Lineaarvõrrandsüsteemi lahendamine maatriksvõrrandi abil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 ÜLESANNETE VASTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 MATEMAATIKAS KASUTATAVAID TÄHISTUSI . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. 1. N n . , m k . N = 20, n = 5, m = 4, k = 2. . . C nk C Nm--nk C 52 C152 5!15!4!16! 5 4 3 15 14 4 P ( A) = = = = = 0,217 . CN m C 204 2!3!2!13!20! 2 20 19 18 17 2. n , k . , m . n = 10, k = 4, m = 2. . . C km C 42 4!2!8! 43 2 P ( A) = m = 2 = = = = 0,133 . Cn C10 2!2!10! 10 9 15 3. . 15% , 25%, 30%. , ( ) . . : A1 ; A2 ; A3 . , ( ) P ( A) = P ( A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 ) = = P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P ( A1 A2 A3 ) = = P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) + P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) + P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) = = 0,85 0,75 0,3 +
1 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK I Joonistel on kuue funktsiooni graafikud. Tee kindlaks, missuguste funktsioonidega on tegemist. 1 2 3 © Allar Veelmaa 2014 2 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK II © Allar Veelmaa 2014 3 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium REAALARVUDE PIIRKONNAD Kuna erinevates õpikutes kasutatakse reaalarvude piirkondade märkimiseks erinevaid tähistusi, siis oleks kasulik teada mõlemat varianti. Nimetus Tingimus Esimene
Maatriksit A nimetatakse s¨ummeetriliseks, kui AT = A, ning an- ummeetriliseks, kui AT = -A. tis¨ T¨ ahelepanek Nii s¨ ummeetrilised kui ka antis¨ ummeetrilised maatriksid on ruut- maatriksid. Antis¨ ummeetrilise maatriksi peadiagonaalil asetsevad nullid. N¨ aide Selles n¨aites on A s¨ ummeetriline ja B antis¨ ummeetriline maatriks 3 1 -1 3 1 -1 A= 1 3 2 = AT = 1 3 2 = A -1 2 1 -1 2 1 0 -1 2 0 1 -2 B= 1 0 -4 = B T = -1 0 4 = -B -2 4 0 2 -4 0 Teoreem 10 (transponeerimise omadusi). Maatriksid A ja B olgu sellised, et allpool esinevad tehted on m¨ a¨aratud ning R. Siis
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS I OSA SISUKORD 1. ARVUHULGAD …………………………………………………… 2 2. ARITMEETIKA ……………………………………………….…… 3 2.1 Mõningate arvude kõrgemad astmed ………………………….……. 3 2.2 Hariliku murru põhiomadus ………………………………….…….. 3 2.3 Tehetevahelised seosed ……………………………………….…….. 3 2.4 Tehted harilike murdudega ………………………………….……… 4 2.5 Tehete põhiomadused ……………………………………….……… 5 2.6 Näited tehete kohta positiivsete ja negatiivsete arvudega …….…….. 5 2.7 Näited tehete kohta ratsionaalarvudega ……………………….……. 6 2.8 Protsent ja promill ……………�
34. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine 35. Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid 36. Funktsiooni suurim ja v¨ahim v¨a¨artus antud l~oigul 37. Funktsiooni graafiku kumerus ja n~ogusus. K¨aa¨nupunktid 38. Funktsiooni graafiku as¨ umptoodid 39. Algfunktsioon ja m¨aa¨ramata integraal 40. Integraalide tabel 2 41. M¨aa¨ramata integraali omadusi 42. Integreerimine muutuja vahetusega 43. Ositi integreerimine 44. Osamurrud ja nende integreerimine 45. Ratsionaalse murru lahutamine osamurdudeks 46. M~onede trigonomeetriliste funktsioonide klasside integreerimine 47. Irratsionaalavaldiste integreerimine 48. M¨aa¨ratud integraali m~oiste 49. M¨aa¨ratud integraali omadused 50. M¨aa¨ratud integraali arvutamine. Newton-Leibnizi valem 51. Muutuja vahetus m¨aa¨ratud integraalis 52. Ositi integreerimine (m¨aa¨ratud integraali korral) 53
x1 = 0 x² = 9 x7=0 x = ± 9 = ±3 x2 = 7 x1 = 3 ja x2 = -3 Biruutvõrrand Biruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul ax4 + bx² + c = 0, kus a, b ja c on antud arvud (a0) ja x on tundmatu. Lahendamisel asendame x² mingi tähega ja lahendame võrrandi uue muutuja suhtes. Näidisülesanne 1: Näidisülesanne 2: x4 10x² + 9 = 0 x4 + 5x² + 4 = 0 x² = y x² = y y² - 10y + 9 = 0 y² + 5y + 4 = 0 y = 5± 25 - 9 =5± 16 = 5±4 -5 52 - 4 4 -5 9 -5 3 y= = =
Crameri valemit ei kasuta ükski arvutiprogramm, sest see võib anda väga suure vea. Gaussi meetodis saab arvutusvigade vähendamiseks valida juhtelemendiks maksimaalse absoluutväärtusega arvu (antud veerus kui ka kogu süsteemis). Gaussi meetodiga saab leida ka pöördmaatriksit. Pöördmaatriks on olemas vaid regulaarsel maatriksil. Def: Ruutmaatriksit A nim regulaarseks kui selle determinant ei võrdu 0ga ja singulaarseks kui võrdub 0. Def: Regulaarse maatriksi A pöördmaatriks A-1 peab rahuldama võrrandit A*A-1=A-1*A=E, kus E on vastavat järku ühikmaatriks. Lahendskeem: (A!E)- >Gaussi teisend->(E!A-1). N: 248 -2 0 2 468 2. Leontjevi staatiline mudel 1 2 lõpptoodang y kogutoodang x 1 100=x11 160=x12 240 500 2 275 40 85 400 sisemine tarbimine
Ruutvõrrandi abil lahenduvaid ülesandeid Ülesannete lahendused pärinevad õpikust "Matemaatika IX klassile"(koost. Tõnu Tõnso ,Tln., 1998), lk-74-78 (ül.269-391) ja kogumikust "Matemaatika kirjaliku eksami ülesanded IX klassile"* (koost. Enn Nurk ja Valvo Paat, Tln., 1996). * ülesanded tähistatud E-tähega. Paljude tekstülesannete lahendamisel jõuame ruutvõrrandini, millel on tavaliselt 2 lahendit. Olenevalt ülesande sisust võib aga ülesande vastuseks sobida ainult üks lahend. Tekstülesannete puhul tuleb võrrandi lahendeid kontrollida ülesande teksti, mitte koostatud võrrandi järgi. Tekstülesande lahendamine võrrandi abil koosneb kolmest etapist: 1. võrrandi koostamine teksti järgi; 2. koostatud võrrandi lahendamine; 3. võrrandi lahendite kontroll teksti järgi, lõplik lahendite leidmine ja vastuse kirjutamine. Mõningaid näpunäiteid võrrandi koostamiseks. Põhinõue - loe teksti ülima tähelepanuga, sest tekstis on kog
Ruutvõrrandi abil lahenduvaid ülesandeid Ülesannete lahendused pärinevad õpikust "Matemaatika IX klassile"(koost. Tõnu Tõnso ,Tln., 1998), lk-74-78 (ül.269-391) ja kogumikust "Matemaatika kirjaliku eksami ülesanded IX klassile"* (koost. Enn Nurk ja Valvo Paat, Tln., 1996). * ülesanded tähistatud E-tähega. Paljude tekstülesannete lahendamisel jõuame ruutvõrrandini, millel on tavaliselt 2 lahendit. Olenevalt ülesande sisust võib aga ülesande vastuseks sobida ainult üks lahend. Tekstülesannete puhul tuleb võrrandi lahendeid kontrollida ülesande teksti, mitte koostatud võrrandi järgi. Tekstülesande lahendamine võrrandi abil koosneb kolmest etapist: 1. võrrandi koostamine teksti järgi; 2. koostatud võrrandi lahendamine; 3. võrrandi lahendite kontroll teksti järgi, lõplik lahendite leidmine ja vastuse kirjutamine. Mõningaid näpunäiteid võrrandi koostamiseks. Põhinõue - loe teksti ülima tähelepanuga, sest tekstis on kog
Funktsiooniks (ehk u ¨heseks funktsiooniks) nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale v¨a¨artusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y u ¨he kindla v¨a¨artuse. Muutujat x nimetatakse seejuures s~oltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y s~oltuvaks muutujaks. Matemaatikas on levinud funktsiooni t¨ahised f, g, u, v, , jne. Olgu antud funktsioon f , mille argumendiks on x ja s~oltuvaks muutujaks y. Muutuja y v¨a¨artust, milleks funktsioon f kujutab argumendi x, nimetatakse funktsiooni f v¨a¨artuseks kohal x ja t¨ahistatakse s¨ umboliga f (x). Seega v~oime kirjutada seose y = f (x) , (1.1) mis v¨aljendab muutuja y "seotust" argumendiga x funktsiooni f kaudu. Seost (1.1) nimetatakse funktsiooni v~orrandiks.
(ehk u ¨heseks funktsiooniks) nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale v¨ a¨ artusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y u ¨he kindla v¨a¨artuse. Muutujat x nimetatakse seejuures s~oltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y s~oltuvaks muutujaks. Matemaatikas on levinud funktsiooni t¨ahised f, g, u, v, , jne. Olgu antud funktsioon f , mille argumendiks on x ja s~oltuvaks muutujaks y. Muutuja y v¨a¨artust, milleks funktsioon f kujutab argumendi x, nimetatakse funktsiooni f v¨a¨ artuseks kohal x ja t¨ahistatakse s¨ umboliga f (x). Seega v~oime kirjutada seose y = f (x) , (1.1) mis v¨aljendab muutuja y "seotust" argumendiga x funktsiooni f kaudu. Seost (1.1) nimetatakse funktsiooni v~orrandiks.
6.ptk Ruutvõrrand 8.klass Õpitulemused Näited 1.Arvu ruut - kahe võrdse teguri korrutis Ül.1262,1263 2 a a=a ; mistahes ratsionaalarvu ruut on Leida arvu ruut taskuarvuti abil. mittenegatiivne 2 2 2 2 15 =225; 28 =784; 41 =1681; 57 =3249 Lihtsustada avaldis ja arvutada. 2 2 2 2 2,4 2 =(2,4 2) =4,8 =23,04 NB ruutjuure pöördtehe; saab kasutada 2 näiteks ruudu ja ringi pindala arvutamisel =3,5 =12,25 2 2 2 2 2 (-4,5) 4 -8 (-1,5) =(-4,5 4) -(-8
Kõrgema matemaatika kordamisküsimused 1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Transponeeritud maatriks 2. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks. 3. Teist ja kolmandat järku determinandid. 4. Permutatsiooni definitsioon. Inversiooni definitsioon. n-järku determinandi definitsioon. Determinandi põhiomadused 5. Maatriksi elemendi minor. Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide teooria põhivalem. 6. Regulaarse maatriksi mõiste
¨s I, TTU Tallinn 2001, 227 lk, ISBN 9985-59-289-1 ¨ Raamatukogu Viitenumber http://www.lib.ttu.ee TTU ~opikute osakonnas 517/T-15 c Ivar Tammeraid, 2001 Sisukord 0.1. Eess~ ona K¨aesoleva ~ oppevahendi aluseks on autori poolt viimastel aastatel Tallinna Tehnika¨ ulikoo- lis bakalaureuse~ oppe u ¨li~ opilastele peetud u ¨he muutuja funktsiooni diferentsiaal- ja inte- graalarvutuse loengud nimetuse "Matemaatiline anal¨ uu¨s I" all. Siiski ei ole tegu pelgalt u ¨hel semestril esitatu kirjapanekuga. Lisatud on paljude v¨aidete t~oestused, mille esi- tamiseks napib loengutel aega. Samuti on tunduvalt mahukam n¨aite¨ ulesannete hulk. ¨ Uhtses kontekstis on lisatud ka keskkoolis-g¨ umnaasiumis matemaatilisest anal¨ uu¨sist esi- ~ tatu
k E) kus Z i1 = n ( k =1 i - k ) k i Näidisülesanne N 4.1 Antud: süsteemne maatriks A 0 - 5 4 A = 2 - 5 2 1 1 - 3 At Leida maatrikseksponent e Lahenduskäik 1. Laplace'i teisenduse meetodiga: 0 - 5 4 s s -4 A = 2 - 5 2 ( sE - A) = - 2 s + 5 - 2
2007. aasta matemaatika riigieksami ülesanded koos lahenduste ja kommentaaridega 2 1. ÜLESANNE (5 punkti) Ülesannete tekstid 1 5x 1 I Antud on avaldis 2 , kus x 0 ja x . x 25 x 2 x 0 5 1) Lihtsustage see avaldis. 3 2) Arvutage avaldise väärtus, kui x 2 . Vastus andke täpsusega 10 2. 2 x 2 (9 x 2 x 0 ) 1 II Antud on avaldis , kus x 0 ja x . 1 3x 3 1)
Tallinna Tehnikaülikool Informaatikainstituut Tõõ Andmed ja valemid Üliõpilane Kitty Saar Õppemärkmik Õppejõud Ahti Lohk Õpperühm Palun täitke tühjad lahtrid 072186 EAEI-13 Ülesanded Arvvalemid Ruutvõrrandi lahendamine Rakendus "Detail" Detaili kujud Materjalid Värvid Ideaalne inimene Laenuintress Viktoriin Lisad Matemaatikafunktsioonid Tekstifunktsioonid Loogikafunktsioonid Ajafunktsioonid viimane nr eelviimane a b c y nr z nr Funktsioonide väärtused 6 8 4 3 4 Sisestage siia matrikli viimane (a) ja
MATEMAATLINE ANALÜÜS II 1. KORDSED INTEGRAALID Kordame kõigepealt mõningaid teemasid Matemaatlise analüüsi I osast. 1.1 Kahe muutuja funktsioonid Kui Tasndi R 2 mingi piirkonna D igale punktile x, y D seatakse ühesel viisil vastavusse arv z, siis öeldakse, et piirkonnas D on määratud kahe muutuja funktsioon z f x, y . Piirkoda D nimetataksefunktsiooni f määramispiirkonnaks. See on mingi piirkond xy-tasandil. Näide 1. Poolsfääri z 1 x2 y 2 määramispiirkonnaks on ring x 2 y2 1. Funktsiooni z ln x y määramispiirkonnaks on pooltasand y x (sirgest y x ülespoole jääv tasandi osa: vaata joonist). Kahe muutja funktsioon ise esitab pinda xyz-ruumis (ruumis R 3 ). Näide 2
Teisendab radiaanid kraadideks Eksponent: e^a, kus e=2,718... on naturaallogaritmi alus Faktorial: a!. 0<= a <= 170 Ümardab arvu lähima täisarvuni, mis on väiksem kui a Naturaallogaritm (alus e=2,718...). a>0 Logaritm antud alusega, kui puudub, siis 10. a>0, alus>0 Logaritm alusega 10. a>0 Lahtriplokis asuva maatriksi deteminant Lahtriplokis asuva maatriksi pöördmaatriks. Lahhtriplokkides lp1 ja lp2 asuvate maatriksite korrutis Jagatise a/b jääk Ümardab arvu etteantud täpsusega Pii = 3,141592654 Astendamine - a^b Teisendab graadid radiaanideks Juhuslik arv vahemikus 0 kuni 1 Ümardab a väärtuse n koma- või kümnendkohani Arvu märk: 1 - + (positiivne), -1(negatiivne); 0 - null Siinus. Argument radiaanides
2. Ülesanne: VALEMID Tallinna Tehnikaülikool Informaatikainstituut Töö Exceli töökeskond Üliõpilane Mihkel Sepp Õppemärkmik 082710 Õppejõud Jüri Vilipõld Õpperühm MATB14 Sisestage siia matrikli viimane (a) ja viimane nr eelviimane eelviimane (b) number. Valemid annavad c a b c y nr z nr väärtuse ja funktsioonide numbrid 0 1 1 5 5 Funktsioonide väärtused Variandid a y nr c z nr a b x y z 0 5
FACT(a) Faktorial: a!. 0<= a <= 170 INT(a) Ümardab arvu lähima täisarvuni, mis on väiksem kui a LN(a) Naturaallogaritm (alus e=2,718…). a>0 LOG(a [; alus ]) Logaritm antud alusega, kui puudub, siis 10. a>0, alus>0 LOG10(a) Logaritm alusega 10. a>0 MDETERM(p) Lahtriplokis asuva maatriksi deteminant MINVERSE(p) Lahtriplokis asuva maatriksi pöördmaatriks. MMULT(p1;lp2) Lahhtriplokkides lp1 ja lp2 asuvate maatriksite korrutis MOD(a;b) Jagatise a/b jääk MROUND(a;täpsus) Ümardab arvu etteantud täpsusega PI() Pii = 3,141592654 RADIANS(a) Teisendab graadid radiaanideks RAND() Juhuslik arv vahemikus 0 kuni 1 ROUND(a;n) Ümardab a väärtuse n koma- või kümnendkohani
Ruutvõrrandi abil lahenduvaid ülesandeid Ülesannete lahendused pärinevad õpikust "Matemaatika IX klassile"(koost. Tõnu Tõnso ,Tln., 1998), lk-74-78 (ül.269-391) ja kogumikust "Matemaatika kirjaliku eksami ülesanded IX klassile"* (koost. Enn Nurk ja Valvo Paat, Tln., 1996). * ülesanded tähistatud E-tähega. Paljude tekstülesannete lahendamisel jõuame ruutvõrrandini, millel on tavaliselt 2 lahendit. Olenevalt ülesande sisust võib aga ülesande vastuseks sobida ainult üks lahend. Tekstülesannete puhul tuleb võrrandi lahendeid kontrollida ülesande teksti, mitte koostatud võrrandi järgi. Tekstülesande lahendamine võrrandi abil koosneb kolmest etapist: 1. võrrandi koostamine teksti järgi; 2. koostatud võrrandi lahendamine; 3. võrrandi lahendite kontroll teksti järgi, lõplik lahendite leidmine ja vastuse kirjutamine. Mõningaid näpunäiteid võrrandi koostamiseks. Põhinõue - loe teksti ülima tähelepanuga, sest tekstis on kog
Ülesanne 2. Andmed ja valemid Siia tehke või kopeerige eelmisest tööst "kirjanurk". Kuju võib olla teine, kuid toodud andmed peavad olema Tallinna Tehnikaülikool Informaatikainstituut Töö: Andmed ja valemid Üliõpilane: Õppejõud: Jüri Vilipõld d ja valemid st tööst "kirjanurk". andmed peavad olema ehnikaülikool Õppemärkmik: 83280 Õpperühm: Ülesanded Arvvavaldised Ruutvõrrandi lahendamine Rakendus "Detail" Detaili kujud Materjalid Värvid Ideaalne inimene Laenuintress Viktoriin Lisad Matemaatikafunktsioonid Tekstifunktsioonid Loogikafunktsioonid Ajafunktsioonid Sisestage siia matrikli viimane (a) ja viimane nr eelviimane eelviimane (b) number. Valemid annavad c a b c y
Ülesanne 2. Andmed ja valemid Tallinna Tehnikaülikool Informaatikainstituut Töö Exceli töökeskkond Üliõpilane Õppemärkmik Õppejõud Õpperühm d ja valemid ülikool stituut Õppemärkmik XXXX92 Õpperühm Ülesanded Arvavaldised Ruutvõrrandi lahendamine Rakendus "Detail" Detaili kujud Materjalid Värvid Ideaalne inimene Laenuintress Viktoriin Lisad Matemaatikafunktsioonid Tekstifunktsioonid Loogikafunktsioonid Ajafunktsioonid 093892 Sisestage siia matrikli viimane (a) ja viimane nr eelviimane eelviimane (b) number. Valemid annavad c a b c y nr z nr väärtuse ja funktsioonide numbrid
© § 15 y 9 z 42 kolmanda võrrandi mõlemat poolt 5-ga ja liidame kolm kolme tundmatuga lineaarvõrrandit. Selliseid võrrandisüsteeme saab la- ©¨ 6 y 2 z 12 kolmandale võrrandile teise võrrandi. hendada ka determinantide abil. Kuidas seda teha, sellele küsimusele leidis vas- 6 x + 12 y - 6 z = -18 Kolmandast võrrandist saame, et z = 3. Asendades z tuse Sveitsi matemaatik Gabriel Cramer (1704 -- 1752). Siinkohal sõnastame teise võrrandisse saame y = 1. Asendades leitud y ja Crameri teoreemi kolmest kolme tundmatuga lineaarvõrrandist koosneva 30 y - 18 z = -84 z väärtused esimesse võrrandisse. Saame, et x = 2. võrrandisüsteemi korral. - 8 z = -24 TEOREEM: Kolme tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemil
Ülesanne 2. Andmed ja valemid Siia tehke või kopeerige eelmisest tööst "kirjanurk". Kuju võib olla teine, kuid toodud andmed peavad olema Martin Jõgeva Jaan Übi d ja valemid st tööst "kirjanurk". andmed peavad olema 082649 MATB11 Ülesanded Arvvavaldised Ruutvõrrandi lahendamine Rakendus "Detail" Detaili kujud Materjalid Värvid Ideaalne inimene Laenuintress Viktoriin Lisad Matemaatikafunktsioonid Tekstifunktsioonid Loogikafunktsioonid Ajafunktsioonid Sisestage siia matrikli viimane (a) ja viimane nr eelviimane eelviimane (b) number. Valemid annavad c a b c y nr z nr väärtuse ja funktsioonide numbrid 9 4 3 1 3 Funktsioonide
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Maatriksite korrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Teist ja kolmandat järku determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Kõrgemat järku determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Determinantide omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Pöördmaatriks. Lineaarvõrrandisüsteemid 15 2.1 Maatriksi pöördmaatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Maatriksvõrrandite lahendamisest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Pöördmaatriksi leidmine valemi abil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 Maatriksi astak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(tühihulk), kui kas või ainult üks muutujatest võrdub nulliga 0 ⋅ a ⋅ b ⋅ cL = 0. (1.10) 2. Domineerimisseadus II. Suvalise muutujate hulga disjunktsioon on üks (universaalhulk), kui kas või ainult üks muutujatest võrdub ühega 1 + a + b + c +L = 1. (1.11) 3. Idempotentsus- ehk samaväärsusseadus (kehtib ka kolme ja enama muutuja kohta). Argumendi loogiline korrutamine või liitmine iseendaga ei muuda tulemi väärtust a ⋅ a = a; a + a = a. (1.12) 4. Eituse eitamise seadus. Argumendi väärtus tema kahekordsel eitamisel ei muutu a = a. (1.13) 5. Komplementaarsus- ehk täiendiseadus. Argumendi ja tema eituse ehk täiendi
.......................................... 59 9.1 Statistilise uurimistöö etapid................................................................................................. 59 9.2 Statistiline vaatlus ................................................................................................................. 59 9.3 Andmete olemus ja andmete kogumine ............................................................................... 60 9.4 Objekt-tunnus maatriks......................................................................................................... 61 10 Andmete kirjeldamine......................................................................................................... 63 10.1 Sagedusjaotused ................................................................................................................... 63 10.2 Keskmised .........................................................................................
annaabi.ee 
