Kordarvudeks nimetatakse naturaalarve, millel on rohkem kui kaks tegurit. Nt 8 : jagub 1'ga, 2'ga, 4'ga, 8'ga Naturaalarvude hulgast saame täisarvude hulga kui lisan nulli ja naturaalarvude vastandarvud Täisarvud koosnevad naturaalarvudes, nende vastandarvudest ja nullist. Tähistatakse : Z Paarisarve tähistatakse 2n kus 'n' kuulub naturaalarvude hulka. Paarituid arve tähistatakse 2n+1 / 2n1 Ratsionaalarvud = täisarvud (Z) ja positiivsed ja negatiivsed murdarvud Tähistatakse : Q Kümnendmurrud jaotatakse lõpmatuteks ja lõplikeks Irratsionaalarvud = lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud (I) Reaalarvud = N Z Q I hulkasid Tähistatakse : R Kümnendmurrud jagunevad : lõplikeks ja lõpmatuteks kümnendmurdudeks Lõpmatud ( igavesed ) jagunevad: perioodilisteks ja mitteperioodilisteks kümnendmurdudeks. Perioodilised kümnendmurrud jagunevad : segaperioodilised ( kui kordub nt numbrikombinatsioon 458 ) puhtperioodilised ( kui kordub ainult üks nr nt 333... )
Õppematerjalide loomist toetab AS Topauto/autod, markide Seat, Suzuki, Hyundai ning kasutatud autode müüja üle Eesti Murdude teisendusi. Harilike murdude korrutamine ja jagamine Ülesandeid kõigile tehtetele murdudega Kui ühes ülesanded esinevad nii kümnendmurrud kui ka harilikud murrud, siis üldiselt teisendatakse harilikud murrud kümnendmurdudeks, kuna kümnendmurde kasutatakse igapäeva elus sagedamini ja nendega on arvutamine lihtsam. Kui aga ülesandes on vaja leida täpne vastus ja harilik murd ei teisendu täpselt lõplikuks kümnendmurruks, tuleb kümnendmurrud teisendada harilikeks murdudeks, arvutada harilike murdudega ja anda ka vastus hariliku murru kujul. Edasi vaatame ülesandeid. 1 1
Tehted harilike ja kümnendmurdudega © T. Lepikult, 2010 Harilikke ja kümnendmurde sisaldava arvavaldise väärtuse arvutamine Kui arvavaldis sisaldab nii harilikke kui ka kümnendmurde ja nõutakse selle avaldise täpse väärtuse arvutamist, siis tuleb reeglina teisendada kümnendmurrud harilikeks murdudeks. Kui tehte mõlemad liikmed on kümnendmurrud, siis võib selle tehte sooritada ka kümnendmurdudega. Näide 1 3 Arvutame avaldise 1 + 0,45 täpse väärtuse. 8 9 Lahendus 45 9 1) teisendame kümnendmurru 0,45 harilikuks murruks: 0,45 = = . 100 20
x[a;b[ või x[a;b) Lõpmatu poollõik xb x[b;[ või x [b;) Lõpmatu poollõik xa x ]-;a] või x(-;a ] Lõpmatu vahemik x>b x]b;[ või x(b;) Lõpmatu vahemik xkümnendmurrud) irratsionaalarvude hulk (mitteperioodilised kümnendmurrud nt. 2; 3; ; e ) reaalarvude hulk = U Märgid "sisaldub" üks hulk sisaldub teises "kuulub" element kuulub hulka "või" "ja" "nii, et" nt. ={m/n m n } "ühisosa" ehk "ja" "ühend" ehk "või" "välja arvatud" Võrratuste lahendamine Lineaarvõrratus Näiteks: Graafiliselt: x+9>4x x+9-4x>0 x-4x>-9 -3x+9>0 -3x>-9 |:(-3) y= -3x+9
Arv ja number Arv oli algul loendamise tulemus. Seoses erinevate matemaatiliste tehete kasutuselevõtuga on naturaalarvude kõrvale tulnud ka teisi arve: jagamisega seoses harilikud murrud ja kümnendmurrud, lahutamisega seoses negatiivsed arvud jne. Esimesel kuuel kooliaastal tutvutakse erinevate ratsionaalarvudega. Numbrid on sümbolid, millega arvud üles märgitakse. Meie kasutame arvude kirjutamisel araabia numbreid, neid on kokku kümme: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ja 0. Järjekorra märkimiseks kasutatakse järgarve. Järgarvu märkimisel araabia numbritega lisatakse arvule punkt. Näiteks 3. tähendab ,,kolmas". Järgarvude märkimisel kasutame vahel rooma numbreid (siis punkti ei lisata).
Ratsionaalarvud negatiivsed või positiivsed täisarvud, kümnendmurrud, harilikud murrud. Absoluutväärtus arvu kaugus nullpunktist arvkiirel, see on alati positiivne arv Vastandarv positiivse arvu vastandarv on sama arv miinusmärgiga ehk negatiivne arv ja negatiivse arvu vastandarv on sama arv plussmärgiga ehk positiivne arv Näide: 6 vastandarv on 6 ja vastupidi. Sümbolites 6 = - ( - 6) ja - 6 = - ( + 6) NB! Lahutamistehtemärk tuleb alati asendada liitmistehtemärgiga ja sellele järgnev arv oma
TEHTED MURDUDEGA KÜMNENDMURRUD: 1. Liitmine/lahutamine: 1) Paigutame koma alla koma. Näide: 174,6 48,328 = 174,600 2) Lisame nullid. 48,328 126,272 2. Korrutamine: 1) Jätame tegurites komad esialgu tähele panemata Näide: 64,5 - 1 koht ja korrutame neid nagu naturaalarve; · 5,6 - 1 koht 2) Loeme, mitu kohta on pärast koma mõlemas teguris kokku. 3870 3) Nõnda saame teada, mitu kohta 3225 peame vastuses komaga eraldama. 361,20 - 2 kohta Vastuses hakkame kohti lugema arvu lõpust! 3. Korrutamine/jagamine järguühikutega: 1) 0,427 · 100 = 42,7 2) 0,1 · 34,67 = ...
1 0,1 = 10 1 0,2 = 5 1 0,25 = 4 1 0,5 = 2 3 0,75 = 4 Kui kümnendmurd on 1-st suurem, siis saab seda teisendada segaarvuks. Seda saab teha kahte moodi. Näide: 79 79 4,79 = 4 + 0,79 = 4 + =4 100 100 479 79 4,79 = =4 100 100 Ülesanne · Teisenda harilikuks murruks: 1) 4,21 2) 4,75 3) 0,125 · Teisenda kümnendmurrud harilikeks murdudeks ja seejärel liida või lahuta: 429 2 1) - 0,129 2) 2,6 + 1000 15 10. Harilike murdude teisendamine kümnendmurdudeks Kuna harilik murd on jagatis, tuleb selle murru teisendamisel kümnendmurruks jagada lugeja nimetajaga. 7 Näide: = 7 : 5 = 1,4 5 8
oluliseks majandusarvestuses. Selle raamatuga algas memoriaali ehk päevaraamatu, zurnaali ja pearaamatu kasutamine. Deebeti ja kreediti vormis kanti andmed zurnaali, seega oli ta esimene süstematiseerija. Täiendasid juba hiljem Gerolamo Cardanolt kogumisandmikud, algebraliste võrrandite lahendamine, samuti hasartmängudest tõi ta välja petmismeetodid ja näiteks Simon van Stevin võttis kasutusele kümnendmurrud ja nimetas esmakordselt raamatupidamist teadusena ja väitis, et arvutus on peale mikrotasandit ka makrotasandil. Tekkis kontode klassifitseerimine, kuid bilansiskeemil paiknes veel passiva vasakul ja aktiva paremal pool. 17 sajandil Jacques Savary oli teine suur tegija ja tema teos, kus oli 1700 lehekülge, kus oli ka äriseadustik, jagas kontod analüütilisteks ja sünteetilisteks kontodeks, vara soetusmaksumuses, perioodilised inventuurid ja oli käibeandmiku koostaja
11 13 Aga 2 Q, Q, kuna need arvud ei ole esitatavad kahe täisarvu jagatisena. Ratsionaalarvu esitamine kümnendmurruna Iga ratsionaalarv esitub kas lõpliku või (lõpmatu) perioodilise kümnendmurruna Näiteks: 2 = 2, (0); 1 - = -0,25; 4 2 - = -0,181818... = -0, (18). 11 Kümnendmurrud Kümnendmurd on kümnendsüsteemis koma abil kirjutatud murdarv, kus komast vasakul paiknevad täisosa numbrid ning komast paremal murdosa numbrid. Iga lõpliku või perioodilise kümnendmurru saab esitada harilike murdude summana, lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurru aga vastava rea (e. lõpmatu summa) abil. Näited: täisosa murdosa 7 7 1) 3,7 = 3 + = 3 ; 10 10 Näited kümnendmurdudest
ARVUTAMINE JA ALGRBRALINE TEISENDAMINE Esmalt oleks vaja tuletada meelde järgmised valemid ja reeglid: Tähega N tähistatakse naturaalarvude hulka, st. arvud, mida saame loendamise teel (1, 2, 3, …..). Vahel arvatakse ka arv 0 naturaalarvude hulka. Tähega Z tähistatakse kõikide täisarvude hulka (… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …) Tähega Q tähistatakse kõikide ratsionaalarvude hulka. Tähega I tähistatakse kõikide irratsionaalarvude hulka (mitteperioodilised lõpmatud kümnendmurrud). Tähega R tähistatakse kõikide reaalarvude hulka. R Q I 1) Arvu aste. a) a n a a ......... a a, kui n N n tegurit b) a a a m n m n Näide: x 8 x 5 x13 c) a m : a n a m n Näide: y 9 : y 3 y 6 d) a n b n a b n
Puhtperioodilise murru korral paneme perioodis oleva arvu lugejasse ning nimetajasse paneme nii mitu üheksat kui mitu arvu on perioodis. Üks kõik millise murru korral paneme koma taga oleva arvu lugejasse ja lahutame sellest mitteperioodis oleva arvu. Nimetajasse paneme üheksa ja nii mitu nulli kui on mitteperioodis olevaid numbreid, -1 null. Ratsionaalarvude hulk Q Täisarvude hulga ja murdarvude hulga ühend on ratsionaalarvude hulk (v.a. mitteperioodilised lõpmatud kümnendmurrud). a Ratsionaalarvuks nimetatakse arvu, mis avaldub jagatisena , kus aZ, bZ ja b0. b 0 7 0 =0 ; =- ; = iga arv. 7 0 0 Ratsionaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise korrutamise ja jagamise (v.a. 0) suhtes. Ratsionaalarvude hulk on tihe, st iga kahe ratsionaalarvu vahel on ratsionaalarv.
Protsent A Protsent B 1. Esita antud protsendid kümnendmurdudes 1. Esita antud kümnendmurrud protsentides a) 56 % c) 80 % a) 0,57 c) 0,8 b) 3,4 % d) 0,6 % b) 0,034 d) 1,24 2. Esita antud protsendid 2. Esita antud harilikud murrud protsentides hariliku murru kujul ( võimaluse korral taanda) 3 22 9 1
Matemaatika 9.klass 1.Ühenimeliste murdude summa on murd,mille nimetajaks on murdude ühine nimetaja ja lugejaks murdude lugejate summa. (Näide1) 2.Harilike murdude korrutis on murd,mille lugejaks on nende murdude lugejate korrutis ja nimetajaks murdude nimetajate korrutis.(Näide2) Harilike murdude jagatis on murd,mis saadakse esimese murru korrutamisel teise murru pöördarvuga.(Näide3) 3,4-kümnendmurrud.(Näide4) 5.negatiivsed ja erimärgilised arvud.(Näide5) 6.sulud,astendamine,korrutamine,jagamine,liitmine,lahutamine 7. 35=3*3*3*3*3=243.(Näide6) 8.(Näide8) Ruutude vahe valem: a² - b² = (a+b)(a-b) Vaheruudu valem: (a - b)² = a² - 2ab + b² Summaruudu valem: (a + b)² = a² + 2ab + b² Kuupide summa valem: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) Kuupide vahe valem: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) Summakuubi valem: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
kirjaoskamatuid u.90%. Pekingi ülikool asutati 1898. a.-l . Teadus Hiinas hakati kirja kasutama II-st a-tuh. Hulk olulisi leiutisi tehti seal sajandeid varem kui mujal: (kompass,seismoskoop,püssirohi,paber,portselan). "Matemaatika üheksas raamatus"(Zhang Cang). Sun Zi lahendas lineaarvõrrandisüsteemi täisarvudega. 3.saj. Võttis Liu Huei kasutusele kolmnurkade sarnasuse mõiste,samuti ka piirprotsessi mõiste. Yang Huei võttis kasutusele kümnendmurrud. Itaalia matemaatik M.Ricci tõlkis hiina keelde esimesed 6 osa Eukleidese "Elementidest". Filosoofia Alged ulatuvad I a-tuh. algusesse. Klassikaline ajajärk oli 5.-3.saj. kujunesid põhikoolkonnad. I filosoof pärimuste põhjal on Laozid. 4.-3.saj. tekkis legismi koolkond. Kirjandus Vanimad mälestised on mütoloogia pärimused ja rahvalaulud. Shijing sisaldab 11.-6.saj-st pärinevaid luuletekste. I a-tuh. Keskpaiku sugenes kirjavara.
ARVUHULGAD 1. Naturaalarvude hulk N = {1;2;3; ...}. 2. Positiivsete täisarvude hulk Z + = N. 3. Negatiivsete täisarvude hulk Z - = { -1; -2; -3; . . . }. 4. Täisarvude hulk Z = Z Z { 0}. + - a 5. Ratsionaalarvude hulk Q = aZ bZ b 0 b 6. Irratsionaalarvude hulga I moodustavad lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud. 7. Reaalarvude hulk R = Q I. KORRUTAMISE ABIVALEMID 8. (a + b)(a + b) = a 2 - b 2 . 9. ( a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 . 10. ( a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 . 11. a 3 ± b 3 = ( a ± b)(a 2 ab + b 2 ) . ASTMED JA JUURED 12. Korrutise aste ( a b) = a b . n n n n a an 13. Jagatise aste = b bn 14
ARVUHULGAD 1. Naturaalarvude hulk N = {1;2;3; ...}. 2. Positiivsete täisarvude hulk Z + = N. 3. Negatiivsete täisarvude hulk Z - = { -1; -2; -3; . . . }. 4. Täisarvude hulk Z = Z Z { 0}. + - a 5. Ratsionaalarvude hulk Q = aZ bZ b 0 b 6. Irratsionaalarvude hulga I moodustavad lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud. 7. Reaalarvude hulk R = Q I. KORRUTAMISE ABIVALEMID 8. (a + b)(a + b) = a 2 - b 2 . 9. ( a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 . 10. ( a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 . 11. a 3 ± b 3 = ( a ± b)(a 2 ab + b 2 ) . ASTMED JA JUURED 12. Korrutise aste ( a b) = a b . n n n n a an 13. Jagatise aste = b bn 14
Reaalarvud Positiivsed ja negatiivsed täisarvud ning murdarvud koos arvuga 0 moodustavad ratsionaalarvude hulga. Ratsionaalarve saab väljendada kahe täisarvu suhtena ja lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. 1 −5 1 1 Nt 4 ; 1 ; 3 =0,(3); 7 . Lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud moodustavad irratsionaalarvude hulga. Nt. π; e; √2 ; √3 . Ratsionaalarvude ja irratsionaal arvude hulgad moodustavad kokku reaalarvude hulga. Arvtelg ___ lõpmatu sirge, millel on määratud suund, 0-punkt ja pikkusühik. Igale reaalarvule vastab arvteljel üks punkt ja vastupidi. Reaalarvude hulgal on selline omadus, et iga kahe reaalarvu vahel on veel ratsionaalarve ja irratsionaalarve. Reaalarvu absoluutväärtus. Olgu arv x
kus m Z , n Z ja n 0. Et tehete sooritamisel murdudega saame murru, siis seetõttu võib öelda, et ratsionaalarvude hulk on kinnine kõigi aritmeetiliste tehete suhtes (välja arvatud jagamine nulliga). Saab tõestada, et iga kahe erineva ratsionaalarvu vahel leidub ratsionaalarve. Kümnendmurde saame jagada lõplikeks ja lõpmatuteks. Viimaseid saab omakorda jagada mitteperioodilisteks (irratsionaalarvud) ja perioodilisteks (ratsionaalarvud). Perioodilised kümnendmurrud võivad olla puht- või segaperioodilised. Irratsionaalarvude hulks tähistatakse tähega I . Iga lõpmatut kümnendmurdu, mis ei lõpe numbriga 9 perioodis, nimetatakse reaalarvuks. R Q I . Reaalarvude hulk on järjestatud ja pidev. Lisaks eespool loetletud naturaalarvude omadustele (Iga a, b R korral…), mis kehtivad ka kõigile teistele, võime lisada: 6. Lahutamise seadus. Iga a, b R korral on võrrandil b x a olemas lahend x a b .
kus m Z , n Z ja n 0. Et tehete sooritamisel murdudega saame murru, siis seetõttu võib öelda, et ratsionaalarvude hulk on kinnine kõigi aritmeetiliste tehete suhtes (välja arvatud jagamine nulliga). Saab tõestada, et iga kahe erineva ratsionaalarvu vahel leidub ratsionaalarve. Kümnendmurde saame jagada lõplikeks ja lõpmatuteks. Viimaseid saab omakorda jagada mitteperioodilisteks (irratsionaalarvud) ja perioodilisteks (ratsionaalarvud). Perioodilised kümnendmurrud võivad olla puht- või segaperioodilised. Irratsionaalarvude hulks tähistatakse tähega I . Iga lõpmatut kümnendmurdu, mis ei lõpe numbriga 9 perioodis, nimetatakse reaalarvuks. R Q I . Reaalarvude hulk on järjestatud ja pidev. Lisaks eespool loetletud naturaalarvude omadustele (Iga a, b R korral…), mis kehtivad ka kõigile teistele, võime lisada: 6. Lahutamise seadus. Iga a, b R korral on võrrandil b x a olemas lahend x a b .
Liitmine, korrutamine, lahutamine Murdarvud Ratsionaalarvud Q Kahe täisarvu jagatis Järjestatav, lõpmatu, tihe Liitmine, korrutamine, lahutamine, jagamine (v.a. nulliga) Irratsionaalarvud Reaalarvud R Lõpmatud kümnendmurrud, sh mitteperioodilised Järjestatud, lõpmatu, pidev +; ; korrutamine, jagamine, juurimine Kompleksarvud 2.2 Reaalarvude piirkonnad arvteljel Lõik a-st b-ni [a; b] a xb Vahemik a-st b-ni ]a, b[ või ( a; b ) a< xa
abil kirjutatud murdarv, näiteks 3,6 Iga ratsionaalarvu võime esitada kümnendmurruna: Lõplik kümnendmurd taandumatutest murdudest teisenevad lõplikeks kümnendmurdudeks need, mille nimetaja algteguriteks on ainult 2 ja 5; Lõpmatu perioodilise kümnendmurd kui taandumatu murru nimetaja algtegurite hulgas on 2-st ja 5-st erinevaid tegureid, siis jagamisel hakkab mingi jääk korduma ja tekkib perioodiline kümnendmurd. Perioodilised kümnendmurrud Puhtperioodilisteks kümnendmurdudeks, kui periood järgneb vahetult komale; Segaperioodilisteks kümnendmurdudeks, kui periood ei järgne vahetult komale. Reaalarvude hulk Arvu, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, nimetatakse irratsionaalarvuks. Irratsionaalarvud ei ole avaldatavad lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. Ratsionaalarvude hulk Q ja irratsionaalarvude hulk I moodustavad kokku reaalarvude hulga R.
... Mõnikord jäetakse 0 naturaalarvude hulgast välja. - Täisarv kõik naturaalarvud ja nende negatiivsed vastandarvud. - Ratsionaalarv reaalarvud, mida saab kasutada kahe täisarvu m ja n jagatisena m/n. Igal ratsionaalarvul on ka lõpmatu kümnendarendus ja see on alati perioodiline. - Reaalarv kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud (mitteperioodilised lõppmatud kümnendmurrud) kokku. Täidavad lünkadeta kogu arvsirge. - Kompleksarv arv kujul a + ib, kus a ja b on reaalarvud ning i imaginaarühik. Reaalarvu a nimetatakse kompleksarvu a + ib reaalosaks ja reaalarvu b selle kompleksarvu imaginaarosaks. Iga kompleksarv z = a + ib on määratud oma reaal- ja imaginaarosaga, st. reaalarvude järjestatud paariga (a;b). Sellise paariga on määratud ka tasandi punkt. Seega on vastavus tasandi punktide või nende kohavektorite ja
... Mõnikord jäetakse 0 naturaalarvude hulgast välja. - Täisarv kõik naturaalarvud ja nende negatiivsed vastandarvud. - Ratsionaalarv reaalarvud, mida saab kasutada kahe täisarvu m ja n jagatisena m/n. Igal ratsionaalarvul on ka lõpmatu kümnendarendus ja see on alati perioodiline. - Reaalarv kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud (mitteperioodilised lõppmatud kümnendmurrud) kokku. Täidavad lünkadeta kogu arvsirge. - Kompleksarv arv kujul a + ib, kus a ja b on reaalarvud ning i imaginaarühik. Reaalarvu a nimetatakse kompleksarvu a + ib reaalosaks ja reaalarvu b selle kompleksarvu imaginaarosaks. Iga kompleksarv z = a + ib on määratud oma reaal- ja imaginaarosaga, st. reaalarvude järjestatud paariga (a;b). Sellise paariga on määratud ka tasandi punkt. Seega on vastavus tasandi punktide või nende
} · Jaguneb naturaalarvudeks ja negatiivseteks arvudeks a 7. b Murdarvud- Kui täisarv a jagub täisarvuga b, siis on jagatis täisarv, kui aga ei jagu, siis nimetame saadud arvu murdarvuks ja tähistame sümboliga (reaalarvu, mis ei ole täisarv.) 8. Ratsionaalarvude hulk- Täisarvud koos murdarvudega moodustavad ratsionaalarvude hulga 9. Irratsionaalarv- Lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud 10. Reaalarvude hulk- Irratsionaalarvud koos ratsionaalarvudega moodustavad reaalarvude hulga. 11. Kompleksarv- Arve kujul a+ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaarühik, nimetatakse kompleksarvudeks. Kõikide kompleksarvude hulka tähistatakse sümboliga C 12. Kompleksarvu moodul- · Kompleksarvule vastava punkti kaugust komplekstasandi nullpunktis nimetame kompleksarvu mooduliks
olemas, aga ruutjuur negatiivse arvu ruudust võrdub selle vastandarvuga 3.Ratsionaalarvud - kahe täisarvu jagatis vaata kujul (q 0); tähis Q; Q=täisarvud+ Ül.1279,1289 Esitada kahe täisarvu jagatisena. positiivsed ja negatiivsed murdarvud; -8=-8:1 0,0082=82:10 000 osahulgad: naturaalarvude hulk ja - =- täisarvude hulk; siia kuuluvad murdarvud on kas lõplikud või lõpmatud perioodilised kümnendmurrud; iga ratsionaalarv avaldub Leida, kumb on suurem. lõpmatu perioodilise kümnendmurruna < + LOE 5< <6 ehk 5,... NB moodustavad reaalarvude hulga 3< <4+4< <5 ehk 7,... osahulga 4.Irratsionaalarvud - saab esitada lõpmatu Ül.1283 mitteperioodiline kümnendmurruna; Ruutjuure ligikaudne väärtus leida tekivad näiteks , , ; 6.klass: proovimise teel ümardatuna ühelisteni.
Ratsionaalarvud on sellised reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu m ja n jagatisena nii et n n 0 . Igal ratsionaalarvul on ka lõpmatu kümnendmurdarendus ja see on alati perioodiline, tähistatakse Q Irratsionaalarvud mitteperioodilised lõpmatud kümnendmurrud. Tähistus I Reaalarvud hulk R, koosneb kõikidest ratsionaal- ja irratsionaalarvudest 2. Tähtsamad reaalarvude hulgad (lõik, vahemik, poollõik). Hulga X R ülemine ja alumine raja. Olgu X mingi reaalarvude hulk (X R). Hulka X nimetatakse ülalt tõkestatud hulgaks, kui leidub selline arv M, nii et x M iga x X korral. Seejuures arvu M nimetatakse hulga X ülemiseks tõkkeks.
arutlustest igiliikumise võimatusest looduses. See tänapäeval algtõena käibiv asjaolu polnud toonases maailmas sugugi üheselt mõistetav. Igiliikurite ehitamise katseid võeti ette veel kaua aega pärast seda, koguni Sadi Carnot' (1796-1832) töödki ei kõigutanud auahneid üritajaid. Sama käsitluse jätkuna tuletas Stevin jõudude liitmise seaduse ning seaduse jõu jagamise kohta ristkomponentideks. Stevin huvitus ka matemaatikast. 1585 võttis ta esimesena kasutusele kümnendmurrud. Stevini mõju teaduse käigule võinuks olla aga palju suurem, kuid sügavtõsise isamaalasena ei tunnistanud ta peale hollandi keele ühtki teist ja laiem teadusavalikkus sai tema esimesed tõlked ladina ja prantsuse keelde. Muutused majanduses Juba 12. sajandil tootis mõni linn raha eest turul müüdavaid kaupu. Majandamise vormina muutus see valdavaks siiski alles 15. aastasajal kitsal maaribal Itaaliast läbi Lõuna-Saksamaa ja Reinimaa Hollandini
naturaalarvude hulgast välja); täisarv kõik naturaalarvud ja nende negatiivsed vastandarvud; ratsionaalarv need reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu m ja n (n0) m/n. Igal ratsionaalarvul on lõpmatu kümnendarendus ja see on alati perioodiline. Nt. 11/4=2.7500000...; reaalarv kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud (mitteperioodilised lõppmatud kümnendmurrud) kokku. Täidavad lünkadeta kogu arvsirge; kompleksarv - arv kujul a + ib, kus a ja b on reaalarvud ning i imaginaarühik (arv, mille ruut on -1). Reaalarvu a nimetatakse kompleksarvu a + ib reaalosaks ja reaalarvu b selle kompleksarvu imaginaarosaks. Iga kompleksarv z = a + ib on määratud oma reaal- ja imaginaarosaga, st. reaalarvude järjestatud paariga (a;b).
nii mitu üheksat kui mitu arvu on perioodis. Üks kõik millise murru korral paneme koma taga oleva arvu lugejasse ja lahutame sellest mitteperioodis oleva arvu. Nimetajasse paneme üheksa ja nii mitu nulli kui on mitteperioodis olevaid numbreid, -1 null. Ratsionaalarvude hulk Q 5 Täisarvude hulga ja murdarvude hulga ühend on ratsionaalarvude hulk (v.a. mitteperioodilised lõpmatud kümnendmurrud). a Ratsionaalarvuks nimetatakse arvu, mis avaldub jagatisena , kus aZ, bZ ja b0. b 0 7 0 =0 ; =- ; = iga arv. 7 0 0 Ratsionaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise korrutamise ja jagamise (v.a. 0) suhtes. Ratsionaalarvude hulk on tihe, st iga kahe ratsionaalarvu vahel on ratsionaalarv. 1
' 0,(6) ; 5 3 3 ' 0,428571428571... ' 0,(428571) 7 Ratsionaalarvude hulk on kinnine kõigi aritmeetiliste tehete suhtes. Iga kahe erineva ratsionaalarvu vahel asub lõpmata palju ratsionaalarve. MAJANDUSMATEMAATIKA I Funktsioonid ja nende algebra 7 Irratsionaalarvud on arvud, mida ei saa esitada täisarvude jagatisena. Näiteks /2, , sin 15E. Need on lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud. Näiteks arvu esimesed 500 kohta 3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862 089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811 174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337 867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066 063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469
annaabi.ee 
