Kuidas hulka tavaliselt tähistatakse? Hulka tähistatakse tavaliselt suurtähtedega näiteks A,B,C,D... . Millised hulga esitusviisid on olemas? Hulka võib esitada tema elementide täieliku loeteluna looksulgude vahel nt {a,b,c,d} või {a,b,c,d} Hulka võib esitada tema elementide osalise loeteluna, mis esitab mingit rehulaarselt äratuntavat seaduspärastust nt {0,1,2,3,4......} Hulka võib esitada üldise avaldise kaudu, mis kehtib kõigi hulgaelementide jaoks. Millal on hulgad teineteisega võrdsed? Hulgad on võrdsed, kui nad koosnevad samadest elementidest. Nt {1,3,5}={5,1,3} Kui palju võib ühte hulgaelementi hulgas sisalduda? Hulgas ei eksisteeri korduvaid elemente, iga elementi on hulgas üks eksemplaar. Milliste sümbolitega tähistatakse elemendi hulka kuulimist või mittekuulumist? No see eurosümbol on kuulumise märk ja mittekuulumise märk on sama, aint maha kriipsutatud. Millal on mingi hulk teise hulga osahulk?
KONTROLLKÜSIMUSTEGA TEST -- hulgad I file:///C:/Users/CPU/Desktop/Diskmati_TESTID_moodle__'s_-_100%... Diskreetne Matemaatika You are logged in as Alger Abna (Logout) Home My courses IAY0010 Topic 3 KONTROLLKÜSIMUSTEGA TEST -- hulgad I Review of attempt 1 Started on Thursday, 1 December 2011, 06:34 PM Quiz navigation Completed on Thursday, 1 December 2011, 06:40 PM 1 2 3 4 5 6 Time taken 6 mins 31 secs 7 8 9 10 11 12 Marks 24.00/24.00
KONTROLLKÜSIMUSTEGA TEST -- hulgad II file:///C:/Users/CPU/Desktop/Diskmati_TESTID_moodle__'s_-_100%... Diskreetne Matemaatika Oled sisenenud kui Oskar Liblik (Välju) Õpikeskkonna avalehele Minu kursused IAY0010 Teema 3 KONTROLLKÜSIMUSTEGA TEST -- hulgad II Katse 3 ülevaade Alustatud Wednesday, 9 November 2011, 09:26 AM Quiz navigation Lõpetatud Wednesday, 9 November 2011, 09:34 AM 1 2 3 4 5 6 Aega kulus 8 minutit 20 sekundit 7 8 9 10 11 12 Punktid 13,00/13,00
Veeb ÕIS Moodle E-mail Töölaud / Minu kursused / IAX0010 Diskreetne matemaatika / HULGAD / HULGAD II — kontrollküsimustega test Alustatud esmaspäev, 21. detsember 2020, 13.53 Olek Lõpetatud Lõpetatud esmaspäev, 21. detsember 2020, 14.03 Aega kulus 10 min 45 sekundit Hindepunktid 13,00/13,00 Hinne 100,00, maksimaalne 100,00 Küsimus 1 Õige Hindepunkte 1,00/1,00
Veeb ÕIS Moodle E-mail Töölaud / Minu kursused / IAX0010 Diskreetne matemaatika / HULGAD / HULGAD I — kontrollküsimustega test Alustatud teisipäev, 15. detsember 2020, 16.48 Olek Lõpetatud Lõpetatud teisipäev, 15. detsember 2020, 16.58 Aega kulus 9 min 25 sekundit Hindepunktid 24,00/24,00 Hinne 100,00, maksimaalne 100,00 Küsimus 1 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Hulgaelementide loetelut esitatakse Valige üks: ( tavaliste sulgude vahel )
Küsimus 1 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 sisesta õige sõna: Kui hulga A kõik elemendid on samal ajal ka hulga B elemendid, siis hulk A on hulga B osahulk Küsimus 2 - Õige / Hinne 2,00 / 2,00 vali õiged: hulkade ühend on hulkade ja selle tehte tulemuseks olev hulk on (üldjuhul) liitmine kui operandideks olnud hulgad suurem Küsimus 3 - Õige / Hinne 2,00 / 2,00 vali õiged: hulkade ühisosa on hulkade ja selle tehte tulemuseks olev hulk on (üldjuhul) korrutamine kui operandideks olnud hulgad väiksem Küsimus 4 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 sisesta õige sõna: Hulga on hulk, mille moodustavad kõik sellesse hulka mittekuuluvad elemendid. täiend
Hulgaavaldise üleviimiseks tema duaalsele kujule tuleb selles avaldises: Kõik UNIVERSAALHULGAD asendada TÜHJA hulgaga Kõik tehted ÜHEND asendada tehtega ÜHISOSA Kõik TÜHJAD hulgad asendada UNIVERSAALHULGAGA Kõik tehted ÜHISOSA asendada tehtega ÜHEND Kõik TÄIENDID jäävad asendamata Esimene võrdub 5. parempoolses Teine võrdub 8. parempoolses Kolmas võrdub 9. parempoolses Neljas võrdub 2. parempoolses Viies võrdub 4. parempoolses Kuues võrdub 1. parempoolses Seitsmes võrdub 6. parempoolses Kaheksas võrdub 7. parempoolses Üheksas võrdub 3. parempoolses Millised nimed on järgnevatel hulgaalgebra põhiseostel? Esimene põhiseos on neeldumine
Assotsiatiivsusseadus on sama, mis „vastus ei olene tehete järjekorrast“. Kommutatiivsusseadus on sama, mis „vastus ei olene operandide järjekorrast“. Kommutatiivne pole ainult implikatsiooni tehe. Distributiivsus esitab lahtiliitmist ja lahtikorrutamist. DeMorgani seadused kehtivad ükskõik mitme muutuja korral. Loogika seadusi rakendatakse, et saada lausest uut, samaväärset lauset. Hulgad: Hulk kooseb hulgaelementidest. Hulka saab esitada täieliku hulgaelementide loeteluna, osalise loeteluna, nähtava seaduspärasusega ning valemina, mis kehtib iga hulgalemendi korral. Hulgad on võrdsed, kui nad koosnevad täpselt samadest hulgaelementidest. Hulga osahulgaks nimetetakse seda hulka, mis täielikult sisaldub teise hulga sees. Kaks hulka on üksteise osahulkadeks, kui nad on võrdsed.
( sisesta ühesõnaline vastus ) Vastus: ristkorrutis Küsimus 13 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 hulgaavaldise üleviimiseks tema duaalsele kujule tuleb selles avaldises: kõik tehted ÜHEND . . . . . . asendada tehtega ÜHISOSA kõik UNIVERSAALHULGAD . . . . . . asendada TÜHJA hulgaga kõik TÄIENDID . . . . . jäävad asendamata kõik TÜHJAD hulgad . . . . . . asendada UNIVERSAALHULGAGA kõik tehted ÜHISOSA . . . . . . asendada tehtega ÜHEND
__ __ __ n __ h Hulgaalgebra sisaldab 3 tehet : A = A I = = I t i t e teineteisele VASTAVAD tehted, loogikaväärtused ja hulgad : A = A A = A v u loogikas hulkades A = I A = A r __ __
Kuidas nimetatakse hulka, milles sisalduvad kõik vaadeldavad hulgad? Universaalhulk Hulkade ühisosa on hulkade korrutamine ja selle tehte tulemuseks olev hulk on väiksem kui operanidideks olnud hulgad. Hulgaelementide loetelut esitatakse {loogsulgude vahel} Tühi hulk ja universaalhulk on iga hulga osahulkadeks Väär Hulka ennast tähistatakse tavaliselt suurtähega ja hulga elemente tähistatakse tavaliselt väiketähetedega. Hulkade esitamise viisid: Hulgaelementide täielik loetelu Hulgaelementide osaline loetelu, milles nähtub mingi regulaarne seaduspärasus Venni diagramm koos hulgaelementidega Tõeväärtust omava lause kaudu, mis on tõene iga hulgaelemendi korral
Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a I FUNKTSIOONID Tõkestatud hulgad Ülalt ja alt tõkestatud hulgad Olgu X mingi reaalarvude hulk. Definitsioon: Kui leidub niisugune reaalarv M , et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x M , siis öeldakse, et hulk X on ülalt tõkestatud, kusjuures arvu M nimetatakse hulga X ülemiseks tõkkeks. Ülalt tõkestatud hulga X elemendid paiknevad seega lõpmatus poollõigus (- , M ] . Definitsioon: Kui leidub niisugune reaalarv m , et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus
Diskreetne matemaatika II Kodused ülesanded 1 Olga Dalton 104493 IAPB21 1. (a) Kuna A on positiivsete täisarvude hulk, mille viimane number on 3, siis sisaldab hulk A arve 1,2,3, nendest paarisarv on 2. Seega on hulkade A ja B ühisosa {2} VV { { (b) 5-ga jagub iga arv, mis lõpeb kas 5 või 0-ga. Nendest arvudest on 5-ga lõppevad paaritud ja 0-ga lõppevad paarisarvud. Seega kuuluvad hulkade A ja B ühisosasse 0-ga lõppevad ja 5-ga jaguvad täisarvud, st 10-ga jaguvad täisarvud(arvud, mis annavad 10-ga jagamisel jäägi 0): VV {YÉY X { 2. Kujutan Venni diagrammil C = A B Et A C = (AC) (CA), siis · (AC) kujutub järgmiselt: ...
docstxt/13877548697252.txt
docstxt/15111984904585.txt
docstxt/14145078569989.txt
docstxt/14145079378473.txt
1. Mida tähendab hulga samaväärsuse säilitamine? Näide. 2. Nimeta mõõtmistegevuse kujunemise (kujundamise) etapid. 3. Millised on suuruste võrdlemise etapid? 4. Kuidas tutvustaksid lapsele uut arvu? Miks just nii? 5.Kirjelda hulkade, loendamise ja arvutamise omavahelisi seoseid. Miks on arvutama õppimisel eelpoolnimetatud tegevused olulised? Millises järjekorras peaks laps need omandama? 1. Hulga samaväärsuse säilitamine on tegevus, mis kindlustab hulga püsimise ka siis, kui tema seesmine struktuur on eelnevalt mingil põhjusel rikutud. On seotud hulga võimsuse püsimisega olukordades, kus hulka kuuluvaid esemeid saab üksteise suhtes ümber paigutada või kus müni ese tuleb teisega asendada. NÄIDE: Õpetaja asetab laste ette ühte ritta nt. viis ruutu. Lapsed ise asetavad ruutude alla sama palju ringe ning kinnitavad seda lausega "Ringe on sama palju kui ruute." Seejuures õpetaja jälgib, et kummagi hulga esemete arvu ei tehtaks kindlaks loe...
docstxt/122289052017025.txt
ning iga B elemendi b korral kehtib seos: (f(a) = b AND f(a') = b) => a = a' (igale elemendile vastavuses vid üks kindel element) · bijektsiooniks -> kui kujutus on samaaegselt sürjektsioon ja injektsioon Idee poolest on kujutus teatud tüüpi vastavus hulgast A hulka B. Hulgad A ja B on võrdvõimsad, kui leidub bijektiivne vastavus (M:A B) nende vahel (ehk siis kõik elemendid mõlemast hulgast on haaratud ja igaühele vastab vaid 1 kindel element). Lõpmatut hulka nimetatakse loenduvaks, kui see on võrdvõimas naturaalarvude hulgaga. |H| on hulga võimsus ehk lõpliku hulga korral elementide arv hulgas. Lõpmatu hulga võimsus leitakse, seades tema elemendid bijektiivsesse vastavusse (üks-
docstxt/126294910420533.txt
Betooni koostise määramine absoluutmahtude meetodil 4 ja 9 variant Leida: 1) betooni nominaalne kaaluline ja mahuline seguvahekord, 2) töösegu kaaluline ja mahuline vahekord, 3) doseeritavad materjalide hulgad kaalu ja mahu järgi Arvutuse lähteandmed on järgmised: 1) Soovitud betooni tugevusklass (garanteeritud tugevus) C 25/30 2) Kasutatav sideaine portlandtsement 42,5, mille garanteeritud tugevus R = 42.5 N/mm², tihedus ot = 1,30 ja erimass t = 3,15. 3) Peentäitematerjaliks on jämeliiv (Ø kuni 5 mm), tihedusegaa ol =1,6, erimassiga l =2,65 ja niiskusesisaldusega Wl = 5% 4) Jämetäitematerjaliks on lubjakivikillustik tihedusega ok =1,50, erimassiga
Nõutav koonuse vajumine 7 cm h Segistri trumli maht V 1000 l Segu väljaandvuse koef. - 0,7 Liiva ülehulga tegur 1,15 Leida: 1) betooni nominaalne kaaluline ja mahuline seguvahekord, 2) töösegu kaaluline ja mahuline vahekord, 3) doseeritavad materjalide hulgad kaalu ja mahu järgi Arvutuse lähteandmed. 1) Soovitud betooni tugevusklass (garanteeritud tugevus) C 25/30 2) Kasutatav sideaine põlevkivi-tsement 42,5, mille garanteeritud tugevus R = 42,5 N/mm², tihedus ot= 1,30 ja erimass 1= 3,15 3) Peentäitematerjaliks on jämeliiv (Ø kuni 5 mm), tihedusega ol= 1,6 , erimassiga 1= 2,65 ja niiskusesisaldusega Wl = 5% 4) Nõutav koonuse vajumiga h = 7 cm 5) Segisti trumli kasulik ruumala on 1000 l
Liiva niskus Wl 5 Lubjakivikillustik: Erimassiga l 2,6 Tihedusega 0k 1,55 Niiskusega Wk 4 Nõutav koonuse vajumine 8 cm h Segistri trumli maht V 400 L Segu väljaandvuse koef. - 0,67 Liiva ülehulga tegur 1,1 Leida: 1) betooni nominaalne kaaluline ja mahuline seguvahekord, 2) töösegu kaaluline ja mahuline vahekord, 3) doseeritavad materjalide hulgad kaalu ja mahu järgi Arvutuse lähteandmed. 2 1) Soovitud betooni tugevusklass (garanteeritud tugevus) C 12/15 2) Kasutatav sideaine portland-tsement, mille garanteeritud tugevus R = 32,5 N/mm², tihedus ot= 1,20 ja erimass 1= 3,10 3) Peentäitematerjaliks on peenliiv (Ø kuni 1,2 mm), tihedusega ol= 1,55 , erimassiga 1= 2,6 ja niiskusesisaldusega Wl = 5% 4) Nõutav koonuse vajumiga h = 8 cm
}, 5 = {(, ) | = + 1}, 6 = {(, ) | + 3}. Millised seosed sisaldavad paare (1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, -1) ja (2, 2)? Lahendus. Paar (1, 1) kuulub seostesse 1, 3, 4 ja 6. Paar (1, 2) kuulub seostesse 1 ja 6. Paar (2, 1) kuulub seostesse 2, 5 ja 6. Paar (1, -1) kuulub seostesse 2, 3 ja 6. Paar (2, 2) kuulub seostesse 1, 3 ja 4. Kui palju erinevaid seoseid saab olla hulgal, milles on elementi? N^2 Seoste esitusviise Seoseid võib esitada väga mitmel viisil. i. Kui hulgad ja on lõplikud ja ei sisalda väga palju elemente, siis võib seost määrata lihtsalt temasse kuuluvate elemendipaaride loetelu teel (vt näiteid 1 ja 2). Seost võib kujutada ka tabelina. Seos 1 näites 1 esitub tabelina järgmiselt: A 2 2 3 3 B 2 3 1 5 ii. Kui otsekorrutist × kujutada ristkülikuna, siis seost hulkade ja vahel võime kujutada ükskõik millise kujundina selle ristküliku sees. . iii. Maatriksesitus. Olgu = {1, .
D ef: Hu lk A on k ollek ts ioon k orrek ts elt d ef in eeritu d ob jek tid es t, n ii et iga ob jek ti k orral k eh tib ük s järgevas t k ah es t võim alu s es t - x k u u lub h u lk a A , k irju tam e x A - x ei ku u lu h u lk a A , k irju tam e x A H ulki tähis tame s uurte tähtedega j a nende ele men te väikes te tähtedeg a. Tühihulk Ø ={ } N äited hulkada defineerimis es t j a kas uta mis es t N 1. A ntud hulgad { a) x | x on reaalarv ja kehtib x 2 = 1} b) {x | x on täisarv ja kehtib x 2 = 3 } M illis ed on nende hulkade elemend id (loetled a). N 2. A ntud on hulkade elemendid a) {a ,i ,e ,o ,u ,ö ,ä ,ü} b) {1,3,5,7 ,9 ,...} defineerida vas tavad hulgad V aatle me kahte hulka A j a B. D ef. Hu lk a A n im etam e hu lga B alam h u lgak s ( A B ), s iis ja ain u lt s iis ku i iga h u lga A elem en t on k a h u lga B elem en t. A B tähendab, et x , x A j äreldub x B
D ef: Hu lk A on k ollek ts ioon k orrek ts elt d ef in eeritu d ob jek tid es t, n ii et iga ob jek ti k orral k eh tib ük s järgevas t k ah es t võim alu s es t - x k u u lub h u lk a A , k irju tam e x A - x ei ku u lu h u lk a A , k irju tam e x A H ulki tähis tame s uurte tähtedega j a nende ele men te väikes te tähtedeg a. Tühihulk Ø ={ } N äited hulkada defineerimis es t j a kas uta mis es t N 1. A ntud hulgad { a) x | x on reaalarv ja kehtib x 2 = 1} -1 ja 1 b) {x | x } on täisarv ja kehtib x 2 = 3 tühihulk M illis ed on nende hulkade elemend id (loetled a). N 2. A ntud on hulkade elemendid a) {a ,i ,e ,o ,u ,ö ,ä ,ü} b) {1,3,5,7 ,9 ,...} defineerida vas tavad hulgad V aatle me kahte hulka A j a B. D ef. Hu lk a A n im etam e hu lga B alam h u lgak s ( A B ), s iis ja ain u lt s iis ku i iga h u lga A elem en t on k a h u lga B elem en t.
1) Iga naturaalarv on täisarv. 2) Iga ratsionaalarv on täisarv. 3) Iga naturaalarv on esitatav hariliku murruna. 4) Leidub lihtmurd, mis on naturaalarv. 5) Ükski ratsionaalarv pole täisarv. 6) Kõik irratsionaalarvud on reaalarvud. 7) Ükski irratsionaalarv pole täisarv. 8) Mõni ratsionaalarv on täisarv. 9) Leidub naturaalarve, mis pole ratsionaalarvud. 10) Kõik täisarvud on naturaalarvud. 2. Kujuta ühel ja samal arvteljel hulgad A = [-3; 2] ja B = [-1; 4]. Leia hulgad AB ja AB. 3. Kujuta piirkonnad arvteljel ning kirjuta juurde nimetused. 1) 1 x 4 5) x < 3 2) 3 < x 2 6) x -2 3) x < 5 7) x 1 4) x > 0 8) -1 < x < 3 4. Teisenda harilikuks murruks. 1) 2,3(56) 2) 0,(201) 3) 1,(23) 5. Missugused järgmistest lausetest on tõesed ja missugused väärad?
Defineerimine ja tõestamine Raudvara 1. Hulgad Kui kahes hulgas A ja B on ühiseid elemente, siis need elemendid moodustavad hulkade A ja B ühisosa. Sümbolites: A B Näide: Olgu meil hulgad A = {1;5;7;4} ja B = {5;7;6}, siis A B = {5;7} Kui x A B, siis see tähendab x A ja x B. Sümbolites: x A x B Moodustades kahest hulgast A ja B uue hulga, millesse kuuluvad kõik hulga A ja B elemendid kordusteta saame hulkade A ja B ühendi. Sümbolites: A B (hulkade A ja B ühend) Näide: Olgu meil samad hulgad A ja B, siis A B ={1;4;5;6;7} Kui x A B, siis see tähendab, et x A või x B. Sümbolites: x A x B - kuuluvuse märk - ühisosa märk - sidesõna ,,ja" - ühendi märk
. . }; · Täisarvude hulk = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . }; · Ratsionaalarvude hulk = {qq=m n , m Z , n N } ; · Reaalarvude hulk ; · Irratsionaalarvude hulk ; · Kompleksarvude hulk = {zz=x +iy , x , y R , i2=-1 } . Olgu a ja b reaalarvud, kus a b. · Lõik [a ,b ]={ x Ra x b } ; · Vahemik (a , b)={ x Ra< x hulgad kerkivad esile väga tihti ning väga erinevates olukordades. Näiteks, kui A on võrrandi x2 + 1 = 0 reaalarvuliste lahendite hulk, siis hulgas A ei ole ühtegi elementi. Näiteks, kõigi reaalarvude x hulk, mis rahuldavad võrratust x2 < 0, on samuti tühi hulk. Definitsioon Tühjaks hulgaks nimetatakse hulka, mis ei sisalda ühtegi elementi. Lõplikud ja lõpmatud hulgad Kui hulgas on mingi naturaalarvuga võrdne arv elemente, siis nimetatakse seda hulka
1 1. õppetükk Kontrolltöö I tase 1) Kujuta ühel ja samal arvteljel hulgad A 3; 2 ja B 1; 4 Leia hulgad A B ja A B . 4 2) Arvuta kalkulaatorit kasutamata avaldise 0,2 0,04 2 0, 5 8 4 1,5 täpne väärtus.
Mõisavoor - viljavedu nt. Tallinna või Riiga Talurahvakaupmees - müüsid talumeestele lihtsamaid tarbekaupu või vahetasid neid saaduste vastu Manufaktuur - suurettevõte, kus valitses käsitsitootmine 5.Loe läbi katkend Adam Oleariuse reisikirjast ja vasta küsimustele. 1)Mis aastast reisikiri pärineb? - 1655 2)Millised muutused leidsid aset Narvas 17.saj keskpaiku? -Kauplemine oli vähenenud, uhked kivimajad, hoogu said juurde kaupmeeste ja käsitööliste hulgad 3)Mis oli nende muutuste põhjuseks? -Sõja tõttu vähenes kauplemine ning ehitati kivist kuna puidust ei tohtinud enam ehitada, kaupmeeste ja käsitööliste hulgad suurenesid, kuna nad asusid elama ning said kodanikeks Narvas. 4)Miks arenes keskajal Tallinnas kaubandus paremini kui Narvas? -Tallinnasse toodi sisse palju kaupa hea sadama tõttu. KIRIK JA VAIMUELU 1.Luteri kirik Eestis 1)Milliste raskustega puutus luteri kirik oma töös kokku Rootsi aja algul?
a. AA=A AA=A 2. Kommutatiivsus a. AB=BA AB=BA 3. Assotsiatiivsus a. (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) 4. Distributiivsus a. A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) 5. Neelduvus a. A(AB)=A A(AB)=A Universaalhulk: Tihti on käsitluses fikseeritud teatav hulk X ja kõik vaadeldavad hulgad on selle hulga alamhulgad. Sellisel juhul nimetatakse hulka X universaalseks. Hulga A täiendiks nimetatakse hulka A'=XA. (universaalhulga X suhtes) Täiendi omadused: 1. De Morgani seadused a. (AB)'=A'B' (AB)'=A'B' 2. Kahekordse täiendi seadus a. A''=A 3. Universaalse hulga ja tühja hulga reeglid a. '=X X'= AA'=X AA'=
MATEMAATIKAINSTITUUT Peeter Puusemp TOPOLOOGILISED RUUMID Loengukonspekt Tallinn 2003 SISUKORD Eess˜ona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 TOPOLOOGILINE RUUM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1 Topoloogilise ruumi definitsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Topoloogilise ruumi baas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Kinnised hulgad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 ¨ 1.4 Ulesandeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 ¨ 2 UMBRUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1 Punkti u ¨mbruste s¨ usteem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Topoloogia m¨a¨aramine u ¨mbruste s¨ usteemiga . . . . . 14 2.3 N¨aiteid
I kontrolltöö 1. + Hulk koosneb elementidest, kusjuures elemendid ei kordu ja nende järjestus ei ole kindlaks määratus. Tähistamine suure tähtega, aga elemendid väike tähtega. + Järjestetud hulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev, kumb järgnev. + arvuhulgad ? + Tõkestatud hulgad on näiteks kõik lõplikud vahemikud (a; b), lõigud [a; b] ja poollõigud [a; b), (a; b]. + Tõkestamata hulgad on aga näiteks lõpmatud vahemikud (-;a), (a; ) ja lõpmatu poollõigud (-; a], [a; ) 2. + Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a-; a+), kus >0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a-; a+) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui .
QUANTITIES Kogused, hulgad Quantities a packet of crisps – pakk krõbinaid a glass of juice – klaas vett a tin of cat food – purk kassitoitu a cup of tea – tass teed a bar of chocolate – tahvel šokolaadi a bottle of water – pudel vett a bunch of bananas – kimp banaane a pot of yoghurt – tops jogurtit a carton of milk – (tetrapakk) piima a loaf of bread – päts leiba a bag of sweets – pakk komme a kilo of cheese – kilo juustu two slices of bread – kaks viilu leiba
septembril põgenike ümberjaotamise kava. • Eesti täpsustab transportimise. • Eesti nõus võtma 373 pagulast. • Janek Mägi. • Jaotatakse lajali. Pildid Pagulaskeskus • Vao küla. • Miks vao külla. • Varjupaigas on 144 inimest. • 2015.aastal varupaigataotlejate arv võib ületada 200 piiri. Pilt Inimeste arvamused. • 42 % eestist on vastu. • 26 % on neutraalsed. • 32% on nõus. • Suuremad hulgad noored on selle vastu, et pagulased elaksid meie riigis. • Vanematel inimestel pole sellega probleeme, kuigi mõned nendest on vastu. Argumendid seoses nõustumisega Valmidus nõustuda pagulaste vastuvõtmisega Aitäh kuulamast :)
kinnipidamist. Alias on juba suur samm algsetest lauamängudest edasi võiks näideteks tuua algsemaid lauamänge... Puzzled- arendavad tähelepanu, peenmetoorikat. (Suuremaid ja keerukamaid puzzlesid saab kasutada ka näiteks lastevahelise koostöö arendamiseks). Suuremate puzzlede puhul koostööd teiste lastega. Matemaatilised mängud- (KAPSAUSS) arendavad mõtlemisoskust, taibukust. Matemaatikas on värvid ka tähtsad, loendamist, liitmist lahutamist, suurem, väiksem, hulgad. (Kuid mitte ainult. Üldiselt on laste jaoks lihtsam omandada läbi mängude kõiki matemaatilisi mõisteid ja omadusi. Nagu näiteks: värvid, loendamine, liitmine, lahutamine, hulgad, suurusmõisted, kohamõisted jne) Too välja, et ka vabaõhumängud on tähtsad ja siis näitena, et talvel... (muidu liiga järsk üleminek)... Väljas (mängides talvel) lumememme meisterdades on lapse jaoks lõbus kunsti
1.On antud hulgad A={a b c d e} ja B={a b c d e f g h} Leida AB AB AB BA BA Vastus: AB={a b c d e}=A AB={a b c d e f g h} =B AB = BA ={ f g h} BA={ f g h} 2.Leida hulgad A ja B, kui järgnevad tehted nendega annavad järgnevad tulemused: Vastus: AB ={1, 5, 7, 8} BA ={2, 10} AB={3, 6, 9} Vastus: A={1, 3, 5, 6, 7, 8, 9} B={2, 3, 6, 9, 10} 3.Mida võib ütelda hulkade A ja B kohta järgneval viiel juhul ( ehk millistel erijuhtudel need võrdused kehtivad?): AB=A AB=A AB =A AB=BA AB = BA Vastus: Need viis võrdused kehtivad ainult juhul, kui A= ja B= 4
ÕPIÕUE PLAAN Minu kujundatud õpiõues on 4 erinevat ala: 1) 2 õuesõppepaviljoni, mis on varustatud tahvli ning laudade ja toolide komplektiga. Korraga mahub ühte õpipaviljoni töötama 25 last. Seal on võimalik joonistada ja maalida, kirjutada, tutvustada ohutusnõudeid, teha teoreetilisi sissejuhatusi ja kokkuvõtteid mõnele teemale jne. 2) Ürdi- ja juurviljaaed. Rakendamisvõimalused: matemaatika (hulgad, geomeetrilised kujundid, loendamine, liitmine ja lahutamine, loodusõpetus (taimede välimus, ravimtaimed/mürktaimed, taimed inimese toidulaual, liikide mitmekesisus), eesti keel (taimede rahvapärased nimetused, jutu koostamine), kunstiõpetus (natüürmort, töö kuivatatud lehtedega – kleepimine, lehetrükk-tehnika) 3) Puudeallee Rakendamisvõimalusi: matemaatika, eesti keel (muistendite ja lugude jutustamine) , kodukoha tundmine , loodusõpetus
1.Tõkestatud hulgad (näide). Tõkestamata hulgad (näide). Tõkestatud hulgad. Definitsioon Reaalarvudest koosnevat hulka nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline positiivne arv nii, et iga korral kehtib võrratus . Hulk on tõkestatud, kui kõik selle hulga elemendid kuuluvad nulli ümbrusesse Näide: Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik vahemik (a;b) nii et AC(a;b) Tõkestamata hulgad. Näide: Näiteks lõpmatu vahemik (-, a) vahemik ja [a; ) lõpmatu poollõik. 2. Reaalarvu ümbrus. Arvtelg. Reaalarvu a absoluutväärtus (näiteks lihtsustage ). Absoluutväärtuse omadused. Tingimuse esitamine arvteljel. Reaalarvu a vasakpoolne ja parempoolne ümbrused. Reaalarvu a ümbrus nimetatakse suvalist vahemiku (a , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a , a + ) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus
T "astmeline". Järgnev joonis illustreerib mõisteid pidev ja diskreetne: — Loogika Lausearvutus. Loogikatehted. Loogikaseadused. Predikaadid. Tõestusmeetodid k a — Hulgad i Hulgaalgebra (Cantori algebra). Hulgaaritmeetika n pidev objekt diskreetne objekt e h — Graafid i t Diskreetset matemaatikat nimetatakse "diskreetseks", et vastandada teda t nn
eesti keeles tabavalt sõna "kambavaim". Igal inimesel on alateadvuslik soov kuuluda rühma, sarnaneda teistega ja olla seeläbi kaitstud võõra eest, kuid grupis vallanduvad alateadvus ja instinktid ning seetõttu on hulk ka intellektuaalselt madalam kui üksikindiviid, sest üksikisik allutab oma arvamuse hulga arvamusele. Sel lihtsal põhjusel ongi hulki ka lihtne manipuleerida ja suunata. Peaaegu igal hulgal on olemas oma juht, kelle mõju alla hulgad instinktiivselt alluvad. Inimhulkades on juhil väga suur mõjuvõim ning nad on pigem teo-, kui mõtteinimesed, kuna juhil on omad kindlad veendumused, mida ta iga hinna eest järgib, neist kinni peab ja täide püüab viia. Liidritel on väljakujunenud austajad, kes naudivad oma eeskujude sõnavõtte ja tegusid ning nõustuvad selges veendumuses, et eeskuju jutt on õige ning ei kuulu vastuvaidlemisele. Kaasaja
Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused - Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - , a], kus > 0. Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku [a, a+), kus > 0. Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M,), kus M > 0. Suuruse miinus lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (-,-M), kus M > 0. Tõkestatud hulgad - Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a, b) nii, et A (a, b). Jääv suurus suurus, mille arvuline väärtus ei muutu. Muutuv suurus suurus, mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi. Suuruse muutumispiirkond muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulk. Funktsioon Olgu antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis
ODYSSEIA Koostas: Allar Kadai I osa Moodustavad Odysseia poja Telemachose juhtumused.Penelopet ründavad kosilaste hulgad, kes priiskavad ja hävitavad Odysseuse vara. Telemachos sõidab isa kohta teateid hankima. Külastab Nestorit, Menelaost ja Helenat. Odysseus on elus ja peaks koju pöörduma. II osa Külastame koos Hermesega, jumalate käskjalaga, Odysseust Kalypso saarel. Odysseus asub koduteele. Poseidon purustab parve. Odysseus jõuab faiaakide maale. III osa Eksirännakud viivad ta lootosesööjate saarele, kuid sealne toit sunnib unustama kodumaa. Siis satub ta kükloobi
Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M;), kus M > 0. Arv x kuulub lõpmatuse ümbrusesse (M;) siis ja ainult siis, kuix > M. Suuruse miinus lpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (-;-M), kus M > 0. Arv x kuulub miinus lõpmatuse ümbrusesse (-;-M) siis ja ainult siis, kui x < -M. Tõkestatud hulga definitsioon. Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a; b) nii, et A C (a; b).Tõkkestatud hulgad on näiteks: vahemik (a,b), lõik ,poollõik . 2. Jääv ja muutuv suurus. Muutuv suurus on suurus mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi (aeg).Suuruse milline väärtus ei muutu nimetatakse jäävaks suuruseks (kiirus). Suuruse muutumispiirkond. Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks. Funktsiooni definitsioon. Funktsiooni argument, sõltuv muutuja, määramispiirkond ja väärtuste hulk
nii, et iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Astmefunktsioon. Astmefunktsioon on funktsioon kujul y = xa, kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid, nende määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. Trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y = cot x radiaanides antud argumendiga x 4. Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid. Üksühene funktsioon – kujutis, mis seab igale argumendi x väärtusele oma määramispiirkonnast vastavusse ühe y väärtuse. Üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i.
Väävelhape värvitu, lõhnatu, õline vedelik. Tugev oksüdeerija, reageerib ägedalt süttivate ja redutseerivate ainetega. Reageerib ägedalt ka alustega ja on koos enamuse metallidega moodustab süttiva/plahvatava gaasi. Söövitav. Vältida pikaajalist sissehingamist. Atsetoon vedel värvitu vedelik. Kergesti aurustuv, vältida sissehingamist. Aurud võivad õhuga koos moodustada plahvatusohtlikke segusid. Nahale sattudes põhjustab ärritust. Vajalikud aine hulgad Isopropanool 15,1 g (20 ml) Naatriumdikromaat 22 g Konts. väävelhape 18 ml Töö käik Reaktsioonikolbi valatakse 20 ml isopropanooli ja tilklehtrisse lahus, mis saadakse 22 g Na2Cr2O7 lahustamisel 60 ml vee ja 18 ml kontsentreeritud väävelhappe segus. Kroomsegu tilgutatakse reaktsioonikolbi, kus peab algama energiline reaktsioon. Kui kroomsegu on lisatud, kuumutatakse kolbi 10 minutit veevannil. Segu jahutatakse, püstjahuti asendatakse
on seotud ja y vaba muutuja). Hüüumärgiga eksistentsikvantor tähendab, et „leidub täpselt üks x …“. Kvantorid on omavahel seotud nagu ∀𝑥𝑃(𝑥)≡∃̅𝑥∃𝑃̅(𝑥). Predikaadid on võrdväärsed (ekvivalentsed), kui nende tõeväärtuspiirkonnad langevad kokku. Loogikaseadused on kuni kolme operandiga lihtsaimad samaselt tõesed lausearvutusvalemid ja samaselt tõesed lausearvutusvalemite võrdused. Implikatsioon ei ole kommutatiivne. HULGAD Hulk on koosvaadeldavate hulgaelementide kogum. Hulk koosneb hulgaelementidest. Hulka tähistatakse suurtähtedega A B C D. Hulka esitatakse tema elementide täieliku loeteluna { 𝑎 𝑏 𝑐 }, osalise loeteluna { … ,−1 ,0 ,1 ,… }, üldise avaldise kaudu { 𝑛 |(𝑛>1899)∧(𝑛<2000) }. Hulgad on võrdsed, kui nad koosnevad samadest elementidest { 1 3 5 }={ 5 1 3 }. Elemendi e kuulumist hulka V tähistatakse 𝑒∈𝑉, mittekuulumist 𝑒∉𝑉
Kombineeritud tants ERINEVAD SPORDIALAD: Oskab nimetada erinevaid spordialasid. Eesti sportlasi Mängib jalgpalli, korvpalli, rahvastepalli, juurdeviivaid mänge Valdkonna Mina ja keskkond sisu: 1) sotsiaalne keskkond: mina, perekond ja sugulased, kodu, lasteaed 2) looduskeskkond: kodukoha loodus, muutused looduses, inimese mõju loodusele; 3) tehiskeskkond: ehitised, kodutehnika, turvavarustus, virtuaalkeskkond. (2) Valdkonna Matemaatika sisu: 1) hulgad, loendamine ja arvud, arvutamine; 2) suurused ja mõõtmine; 3) geomeetrilised kujundid. Valdkonna Kunst sisu: 1) kujutamine ja väljendamine: mõtete, tunnete edasiandmine nähtaval kujul; 2) kujundamine: objektile esteetilise lisaväärtuse andmine; 3) tehnilised oskused: voolimine, joonistamine, maalimine, meisterdamine; 4) kunstiteoste vaatlemine, vestlused kunstiteostest, kunstist. Valdkonna Muusika sisu: 1) laulmine; 2) muusika kuulamine; 3) muusikalis-rütmiline liikumine;
annaabi.ee 
