PLANIMEETRIA III 1.Leida täisnurkse kolmnurga küljed, kui kolmnurga ümbermõõt on 12 cm ja kaatetite vahe on 1 cm. 2. Arvutada täisnurkse kolmnurga kaatetid, kui täisnurga poolitaja jaotab hüpotenuusi lõikudeks, mille pikkusedon 15 cm ja 20 cm. 3.Täisnurkse kolmnurga kaatetid suhtuvad nagu 5:6 ja hüpotenuus on 122 cm. Arvuta lõigud, milleks kõrgus jaotab hüpotenuusi. 4. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 8 cm ja 6 cm. Täisnurga tipust on tõmmatud ristlõik hüpotenuusile, leia selle pikkus. 5. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 16 cm ja 12 cm. Arvutada sise- ja ümberringjoone raadius. 6. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 15 dm ja 20 dm. Arvutada siseringjoone keskpunkti kaugus hüpotenuusioe joonestatud kõrgusest. 7. Täisnurkse kolmnurga üks kaatet on 15 cm ja siseringjoone raadius 3 cm. Leia selle kolmnurga pindala. 8
Täisnurkse kolmnurga üks nurk on täisnurk, ülejäänud kaks teravnurgad. Ühegi kolmnurga nurkade hulgas ei saa olla kahte nürinurka ega kahte täisnurka. Täisnurkse kolmnurga puhul nimetatakse ühte külge hüpotenuusiks ja kahte ülejäänud külge - täisnurga lähiskülgi - kaatetiteks. Mille alusel saab kolmnurki veel liigitada? 1. Kirjuta iga kolmnurga juurde, kas ta on terav-, nüri- või täisnurkne kolmnurk. .............Teravnurkne........................Teravnurkne..........................................täisnurkne .............................................................. 2. Joonesta kolmnurk, mille üks külg 3. Otsusta, kas kolmnurk on terav-, nüri- või on 5,9 cm ning selle lähisnurgad on täisnurkne või ei ole sellist kolmnurka võimalik 25º ja 35º
kolmas täht vahele) ja tõmmatakse kohale joonestada kõõlude otspunktidesse raadiused kaareke; mõõdetakse kaarekraadides; kõõl: tekivad kaks võrdkülgset kolmnurka ringjoone kaht punkti ühendav lõik, kõige iga nurk on 60° pikem kõõl on ringjoone diameeter kõõlude vahele jääb kaks sellist nurka seega kõõlude vaheline nurk on 2 60°=120° NB kesknurk suurusega 1° toetub kaarele, mis moodustab ringjoonest 2.Kesknurk - ringjoone kahe raadiuse vaheline Ül.1056 nurk; toetub raadiuste vahele jäävale Leida jooniselt kesknurga suurus. ringjoone kaarele Antud kaar on 85°, sellele toetub kesknurk, seega =85°. NB saab kasutada sektori joonestamisel, piirdenurga arvutamisel Antud kaar on 130°, kesknurk toetub kaarele
GEOMEETRIA Eksam 9.klass 1. (1996) Võrdhaarse kolmnurga haar on 1,3 dm ja alusele tõmmatud kõrgus 0,5 dm. Arvuta kolmnurga ümbermõõt. 2. (1996) Täisnurkse trapetsi teravnurk on 71° ning alused 35 cm ja 28 cm. Arvuta trapetsi pindala. 3. (1997) Ristküliku diagonaal on 25 cm ja ta moodustab ristküliku ühe küljega nurga 650. Arvuta ristküliku ümbermõõt. 4. (1997) Ristküliku diagonaal on 15 cm ja ta moodustab ristküliku ühe küljega nurga 350. Arvuta ristküliku pindala. 5. (1997) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 2,4 cm ja 3,2 cm. Arvuta kolmnurga ümbermõõt ja pindala. 6
PLANIMEETRIA KORDAMINE RUUT Ruut on võrdsete külgedega ristkülik või romb mille nurgad on täisnurgad. Ruudul on kõik rööpküliku, ristküliku ja rombi omadused. d =a 2 1 r= a 2 1 2 R= d = a 2 2 Ümbermõõt: P = 4a Pindala: S = a 2 = pr TRAPETS Trapets on nelinurk, mille kaks külge on paralleelsed (alused) ja kaks mitteparalleelsed (haarad). a +b Trapetsi kesklõik ( q ) on alustega paralleelne ning võrdub aluste poolsummaga. q = 2 Ümbermõõt: P = a + b + c + d a +b Pindala: S = h = qh 2 Võrdhaarset trapetsil · Aluse lähisnurgad on võrdsed · Diagonaalid on võrdsed · On ümberringjoon. KORRAPÄRANE HULKNURK korrapärase hulknurga küljed ( a n ) on võrdsed ja sisenurgad () on võrdsed.
d1 d 2 h a S ah a 2 sin d1 2 P 4a a b Trapets k ab Kesklõik k h 2 ab S h kh 2 a 1 Ringjoon, ring, sektor d 2r
ja korrutis q, siis need arvud on taandatud 3 ja 10. 2 ruutvõrrandi x +px+q=0 lahendid. x1=3 x2=10 NB pöördteoreem võimaldab lihtsamaid x1 x2=30 seega vabaliige on 30 ruutvõrrandeid ka peast lahendada x1+x2=13 seega lineaarliikme kordaja on 2 -13 võrrand x -13x+30=0 5.ptk Ringjoon ja korrapärane kolmnurk TAGASI Õpitulemused Näited 1.Ringjoone kaar ja kõõl - kaar: ringjoone osa, Ül.1060 saadakse vähemalt kahe punkti märkimisel Ringjoone punktist on joonestatud kaks ringjoonele; tähistamine: kirjuatatakse raadiusega võrdset kõõlu. Leida kõõlude otspunktide tähised (vajadusel lisatakse veel vaheline nurk.
3) kõik ühtevärvi pallid. 3. Leia kõik reaalarvude paarid (x;y), mis rahuldavad võrrandit 2 x +1 = 4 y 2 +1 ja võrratust 2 x 2 y . 4. Kahe positiivse arvu vahe moodustab 1/19 nende kuupide vahest, nend4e korrutis on aga ½ võrra väiksem nende ruutude poolsummast. Leia need arvud. 5. Lahenda võrrand 3sin 9 + 3 = 3 vahemikus (-2; 2). 6. Võrdkülgsesse kolmnurka küljega a on kujundatud teine võrdkülgne kolmnurk, mille tipud asuvad esimese kolmnurga külgedel jaotades need suhtes 1:2. Leia väiksema kolmnurga pindala. 7. Koonusekujulise veiniklaasi kõrgus on h. Mitu protsenti klaasi ruumalast on täidetud, kui klaasi fvalatakse veini poole kõrguseni? 8. Milliste muutuja x Väärtuste korral saavutab funktsioon f ( x ) = 2 8 x - 9 4 x + 12 2 x + 1997 oma suurima ja vähima väärtuse lõigus [-1;1] ? Leia need funktsiooni väärtused. 9
NB kasutatakse teoreemi sõnastamisel ja Teoreem. Rööpküliku diagonaalid tõestamisel poolitavad teineteist. Väide: diagonaalid poolitavad teineteist 12.Teoreemi tõestamine - loogiline arutelu; Ül.616 teoreemi tõesuse põhjendamine; Antud AM=AN. Tõesta, et kasutatakse aksioome; lähtutakse TÕESTUS. teoreemi eeldusest ning varem teada 1.Joonisel on võrdhaarne kolmnurk, olevatest tõdedest; jõutakse otsusele, et haarad võrdsed. teoreemi väide on tõene 2.Võrdhaarse kolmnurga alusnurgad on võrdsed. 3.Nurgad 1 ja 2 on alusnurkade kõrvunurgad. 4.Kui nurgad on omavahel võrdsed, siis on
Kodune arvestuslik töö. Vektor. Joone võrrand. 11.klass Esitamistähtaeg: 16.10.2012 Konsultatsioon: kokkuleppel või reedel 8.tund või meili teel ([email protected]) NB! Vormistus peab olema korrektne, täiuslik! ÜL.1 Ristküliku ABCD üheks tipuks on punkt A(4; 3), tipp B asub x-teljel ja küljega AB paralleelne külg CD asub sirgel x y + 7 = 0. 1) Arvuta ristküliku ABCD tippude B, C ja D koordinaadid ning joonesta ristkülik ABCD koordinaattasandile. 2) Koosta sirge võrrand, millel asub ristküliku diagonaal AC. 3) Arvuta ristküliku ABCD ümbermõõdu täpne väärtus. 4) Koosta ristküliku ABCD ümberringjoone võrrand. ÜL. 2 Punktist A(-2; 2) on joonestatud vektor = (6; 2). Läbi punkti D(-3; -5) on joonestatud sirge DC, mis on paralleelne sirgega AB. Punktide A, B, C ja D järjestikusel ühendamisel saadakse täisnurkne trapets, mille täisnurk on tipu B juures.
oleksid võrdelised. 19. Nurga haarad on lõigatud kahe paralleelse sirgega. Lõikajate lõigud haarade vahel on 4 cm ja 10 cm. Nurga haarade lõigud nurga tipust teise lõikajani on 15 cm ja 25 cm. Arvuta nurga haarade lõikude pikkused nurga tipust esimese lõikajani. 20. Kolmnurga lõikamisel sirgega, mis on ühe küljega paralleelne, tekkis trapets, mille alused on 2,4 cm ja 6 cm ning haarad 2,7 cm ja 3,6 cm. Arvuta kolmnurga külgede pikkused. 21. Täisnurkse trapetsi alused on 20 cm ja 12 cm ning pikem haar 17 cm. Arvuta trapetsi pindala. 22. Võrdhaarse trapetsi alused on 20 cm ja 10 cm ning kõrgus 12 cm. Arvuta trapetsi ümbermõõt. 23. Rombi külg on 5,2 cm ja üks diagonaal on 9,6 cm.Arvuta rombi pindala. 24. Rombi diagonaalid on 60 cm ja 32 cm. Arvuta rombi ümbermõõt. 25. Arvuta poolringikujulise kujundi ümbermõõt, kui ringjoone raadius on 8 cm. 26. Täisnurkse kolmnurga üks kaatet on 20 cm ja selle lõhisnurk on 60°
10. Mitu protsenti moodustab avaldise 2,5 -1 : 1 väärtus avaldise 4 -1 : 2,4 + 1 3 9 30 3 8 väärtusest? 1 3 4 11. Leia arv, millest 30% on võrdne avaldise 4 + 1,9 -1 : 1 väärtusega. 3 5 5 12. Võrdhaarse kolmnurga ümbermõõt on 16 cm ja alus on 6 cm. Kolmnurga alusele joonestatud kõrgus moodustab 80% haarast. Arvuta kolmnurga pindala. 13. Täisnurkse kolmnurga pindala on 24 cm² ja hüpotenuusile tõmmatud kõrgus on 4,8 cm. Üks kaatet moodustab hüpotenuusist 80% ja teine kaatet moodustab esimesest kaatetist 75%. Arvuta kolmnurga ümbermõõt. 14. Rööpküliku pindala on 80 cm² ja lühemate külgede vaheline kaugus on 10 cm, pikem külg on lühemast küljest 75% võrra pikem
1. Teoreemid ja mõisted kolmnurgast 2. Mediaanlõik - Kolmnurga mediaaniks nimetatakse elementaargeomeetrias kolmnurga tipust vastaskülje keskpunkti tõmmatud lõiku või selle pikkust. Kolmnurgal on kolm mediaani. Kõik nad lõikuvad ühes punktis, mida nimetatakse mediaanide lõikepunktiks. Jaotab tipupoolse osa suhtes alumise osaga 2:1. 3. Kesklõik - Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks. Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest.Nende ristumiskoht on kolmnurga ümberringjoone 4. Nurgapoolitaja – nurgapoolitajaks nimetatakse tipust lähtuvat kiirt, mis poolitab nurga kaheks võrdseks nurgaks. Nende ristumiskoht on siseringjoone keskpunkt. 5. Hüpotenuus - Hüpotenuus on täisnurga vastaskülg täisnurkses kolmnurgas. 6
jaotavad rööpküliku kaheks võrdseks kolmnurgaks. 26.Trapets Trapetsi alused on paralleelsed. 27.Romb Rombi küljed on võrdsed. Rombi diagonaalid on risti. 28.Kolmnurga sisenurkade summa Kolmnurga sisenurkade summa on 180º. 29.Kolmnurga välisnurga omadus Kolmnurga iga välisnurk on võrdne temaga mitte kõrvuti olevate sisenurkade summaga. Kolmnurga välisnurgaks nimetatakse kolmnurga sisenurga kõrvunurka (joonisel nr.4). 30.Kolmnurga kesklõik Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest. Kesklõikudest moodustatud kolmnurga ümbermõõt on pool suure kolmnurga ümbermõõdust. ED = ½ AB ; EF = ½ CB ; DF = ½ AC 31.Trapetsi kesklõik Trapetsi kesklõiguks nimetatakse haarade keskpunkte ühendavat lõiku. Trapetsi kesklõik on AB + DC paralleelne alustega ja on võrdne poolega aluste summast. EF =
Antsla Gümnaasium DEVIA PAAP MARILIN NIILUS 8A klass KOLMNURKADE LIIGITAMINE Referaat Juhendaja: õpetaja SIGNE KINNAS Antsla 2008 1 Sisukord Sissejuhatus..........................................................................................................................................3 1. Kolmnurk..........................................................................................................................................4 1.1. Kolmnurga nurgad.........................................................................................................................5 1.2. Kolmnurga küljed..........................................................................................................................6 2. Täisnurkne kolmnurk................................................
1. Ristkülik Mõiste: Ristkülik on nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad. Pindala: S=ab Ümbermõõt: Ü=2(a+b) Omadused: 1. Ristkülikul on kõik rööpküliku omadused. 2. Kõik nurgad on täisnurgad 3. Diagonaalid on võrdsed 4. Ristkülikul on ümberringjoon, mille keskpunktiks on diagonaalide lõikepunkt (O) ning raadiuseks pool diagonaali. 5. Ristkülikul on kaks sümmeetriatelge ja sümmeetriakeskpunkt. Ruut: Mõiste: Ruutu võib defineerida, kui a) ristkülikut, mille lähisküljed on võrdsed b) rombi, mille üks nurk on täisnurk c) rööpkülikut, mille lähisküljedon võrdsed ja üks nurk on täisnurk. Pindala: S=a² Ümbermõõt: Ü=4a Omadused: 1. Ruudul on nii ristküliku kui ka rombi omadused 2
Kui kahe sirge lõikamisel kolmandaga tekivad võrdsed põiknurgad, siis on need sirged paralleelsed. Kaks sirget on paralleelsed, kui nende lõikamisel kolmanda sirgega tekkinud lähisnurkade summa on 180º. Kaks sirget on paralleelsed, kui nad asetsevad samal tasandil ega pikendamisel lõiku. 17. Kolmnurga välisnurk ja selle omadus. Kolmnurga sisenurkade summa. Välisnurk on kolmnurga sisenurga kõrvunurk. Kolmnurga sisenurkade summa on 180 kraadi. 18. Kolmnurga kesklõik, selle omadus. Kolmnurga kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab tema kahe külje keskpunkte. Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga alusega ja tema pikkus võrdub poolega sellest. 19. Rööpkülik, ristkülik, romb, ruut ja nende omadused. Rööpkülik on nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed. Vastasküljed on võrdse pikkusega. Vastasnurgad on võrdsed. Lähisnurkade summa on 180 kraadi. Diagonaalid poolitavad teineteist
1. Teoreemid ja mõisted kolmnurgast 2. Mediaanlõik - Kolmnurga mediaaniks nimetatakse elementaargeomeetrias kolmnurga tipust vastaskülje keskpunkti tõmmatud lõiku või selle pikkust. Kolmnurgal on kolm mediaani. Kõik nad lõikuvad ühes punktis, mida nimetatakse mediaanide lõikepunktiks. Jaotab tipupoolse osa suhtes alumise osaga 2:1. 3. Kesklõik - Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks. Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest.Nende ristumiskoht on kolmnurga ümberringjoone 4. Nurgapoolitaja – nurgapoolitajaks nimetatakse tipust lähtuvat kiirt, mis poolitab nurga kaheks võrdseks nurgaks. Nende ristumiskoht on siseringjoone keskpunkt. 5. Hüpotenuus - Hüpotenuus on täisnurga vastaskülg täisnurkses kolmnurgas. 6. Kolmnurga nurkade summa on 180 kraadi. 7. Kolmnurgal on kolm nurka ja kolm külge. 8
aluseks teiste väidete põhjendamisel. 4. Algarv Ühest suurem naturaalarv, mis jagub vaid ühe ja iseendaga. 5. Algebraline murd murd, mille lugejaks ja / või nimetajaks on muutujaid sisaldav avaldis. 6. Algebraline ruutjuur arv, mille ruut on antud arv a. 7. Algkoordinaat antud sirge ja ordinaattelje lõikepunkti ordinaat. 8. Algtegur naturaalarvu algarvuline tegur. 9. Algteguriteks lahutamine naturaalarvu esitamine algarvuliste tegurite korrutisena. 10. Alusnurk võrdhaarse kolmnurga või trapetsi aluse ja haara vaheline nurk. 11. Apoteem 1. korrapärase hulknurga keskpunktist küljele tõmmatud ristlõik. 12. 2. korrapärase püramiidi tipust külgtahule tõmmatud kõrgus. 13. Aritmeetiline keskmine suuruste summa jagatis nende suuruste arvuga. 14. Aritmeetiline ruutjuur mittenegatiivne arv, mille ruut võrdub antud arvuga. 15. Arvtelg, arvsirge reaalarvude kujutamiseks kasutatav sirge, millel on fikseeritud
KORDAMINE 1. Lõpeta lause. Täisnurkse kolmnurga teravnurga siinus on selle nurga... Täisnurkse kolmnurga teravnurga koosinus on selle nurga... Täisnurkse kolmnurga teravnurga tangens on selle nurga... Kolmnurga elemendid on.... Kolmnurga lahendamiseks nimetatakse.... 2. Märgi täisnurk, kirjuta joonisele antud nurga vastaskaatet, lähiskaatet ja hüpotenuus, arvuta selle nurga siinus, koosinus ja tangens. 20 21 β 16 29 12 20 3
kolmnurga kaatetitega; 2. ühe kolmnurga teravnurk võrdub teise kolmnurga teravnurgaga; 3. ühe kolmnurga hüpotenuus ja kaatet on võrdelised teise kolmnurga hüpotenuusi ja kaatetiga.) 12. Teoreeme sarnaste kolmnurkade kohta. ( 1. sarnaste kolmnurkade küljed on võrdelised vastavate kõrgustega; 2. sarnaste kolmnurkade ümbermõõdud suhtuvad nagu nende vastavad küljed; 3. sarnaste kolmnurkade pindalad suhtuvad nagu vastavate külgede ruudud.) 13. Täisnurkne kolmnurk. Pythagorase teoreem (a2+b2=c2), Eukleidese teoreem (a2=fc ja b2=gc).Teoreem hüpotenuusile tõmmatud kõrgusest (h2=fg), Thalese teoreem (diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk). 14. Võrdkülgne kolmnurk.(a=b=c) a 3 a2 3 Kõrguse ja pindala avaldamine külje kaudu. h jaS 2 4 NELINURGAD
kolmnurga kaatetitega; 2. ühe kolmnurga teravnurk võrdub teise kolmnurga teravnurgaga; 3. ühe kolmnurga hüpotenuus ja kaatet on võrdelised teise kolmnurga hüpotenuusi ja kaatetiga.) 12. Teoreeme sarnaste kolmnurkade kohta. ( 1. sarnaste kolmnurkade küljed on võrdelised vastavate kõrgustega; 2. sarnaste kolmnurkade ümbermõõdud suhtuvad nagu nende vastavad küljed; 3. sarnaste kolmnurkade pindalad suhtuvad nagu vastavate külgede ruudud.) 13. Täisnurkne kolmnurk. Pythagorase teoreem (a2+b2=c2), Eukleidese teoreem (a2=fc ja b2=gc).Teoreem hüpotenuusile tõmmatud kõrgusest (h2=fg), Thalese teoreem (diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk). 14. Võrdkülgne kolmnurk.(a=b=c) a 3 a2 3 Kõrguse ja pindala avaldamine külje kaudu. h= jaS = 2 4 NELINURGAD
Kordamine III(sirge, ringjoon, parabool, vektor) 1. On antud kolmnurk tippudega A(1;2), B(4;3) ja C(2;5). Leidke sirgete AB ja AC võrrandid ning lõikepunktid koordinaattelgedega; 2) Leidke läbi tipu C joonestatud küljega AB paralleelse sirge võrrand; 3) Leidke läbi tipu C joonestatud küljega AB ristuva sirge tõus. 2. Lõik otspunktidega on ringjoone diameetriks. Leidke: 1) ringjoone võrrand; 2) sellele ringjoonele punktides (2,5; 4,5) ja (0;2) joonestatud puutujate võrrandid ja nende puutujate lõikepunkt. 3
Kolmnurgal saab olla 2 täisnurka Kolmnurga kõige suurem nurk võib olla 179 kraadi Kolmnurga kõige väiksem nurk võib olla 61 kraadi Kolmnurga nurkade summa oleneb kolmnurga suurusest Kolmnurga nurgad võivad olla 41 kraadi 100 kraadi ja 39 kraadi Määra kolmnurga liik, kui kolmnurga nurgad on: 60o, 30o ja 90o kolmnurk 45o, 70o ja 65 o kolmnurk 60o, 60o ja 60o kolmnurk 18o, 137o ja 25o kolmnurk 10o, 10o ja 160o komnurk Joonisel on täisnurkne kolmnurk KLM ja võrdhaarne kolmnurk PQR. Vali õiged lauselõpud: Külg KL on Külg MK on Külg LM on Külg PR on Külg QR on Nurk Q on Nurk R on Võrdhaarse kolmnurga alusnurk on 50o
Küsimused ja kommentaarid on oodatud aadressil [email protected] Mõisteid, mida ei defineerita nimetatakse a) algmõisteteks; b) teoreemideks; c) aksioomideks; d) tundmatuteks; e) eeldusteks. Lauseid, mida pole keegi tõestanud, aga mille tõesuses pole põhjust kahelda nimetatakse a) algmõisteteks; b) teoreemideks; c) aksioomideks; d) eeldusteks; e) Thaleese teoreemideks. Kolmnurga mediaan on kolmnurga a) nurgapoolitaja; b) keskristsirge; c) kõrgus; d) alus; e) küljepoolitaja. Trapetsi kesklõik on alustega a) risti; b) lõikuv ; c) paralleelne; d) võrdne; e) ühtiv. Kõrvunurkade summa võrdub a) põiknurgaga; b) kaasnurgaga; c) täisnurgaga; d) lähisnurgaga; e) sirgnurgaga. Kolmnurga sisenurkade summa on a) 100°; b) 360°; c) 90°; d) 180°; e) 50°. Tippnurgad on a) risti; b) 180° ; c) paralleelsed; d) võrdsed; e) teravnurgad. Korrapärase n-nurga sisenurkade summa on a) 180°; b) 180°(n-2); c) (n+2)180°; d) 90°; e) 360°. Ringjoonel ja selle puutujal on ühiseid punkte
Õpetajale 9. Antud on ristkülik külgedega a ja b. Ristküliku sees on viirutatud kolmnurk 4 punkti (vaata joonist). Arvuta viirutatud kolmnurga pindala ruutdetsimeetrites, kui a = 20,5 cm ja b = 60 cm. Kolmnurga alus on ________ ja kõrgus on ________ . 33 b 34
Hüpotenuusile joonestatud kõrgus jaotab hüpotenuusi kaheks osaks, mida nimetatakse kaatetite projektsioonideks hüpotenuusil C f kaateti a projektsioon g kaateti b projektsioon a h b f g B A D c Teoreem täisnurkse kolmnurga kõrgusest Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile tõmmatud kõrgus on kaatetite projektsioonide geomeetriline keskmine C h fg a h b ehk h fg 2 f g B A D
· Defineerimine ja tõestamine 1. Kaht sirget, millel on ainult üks ühine punkt nimetatakse lõikuvateks sirgeteks. 2. Kolmnurga tipust vastasküljeni tõmmatud ristlõiku nimetatakse kolmnurga kõrguseks. 3. Ruuduks nimetatakse võrdsete lähiskülgedega ja võrdsete lähisnurkadega nelinurka. 4. Ringjoone diameetriks nimetatakse lõiku, mis läbib ringjoone keskpunkti ja ühendab ringjoone kaht punkti. 5. Ringjoone diameetriks nimetatakse lõiku, mis poolitab ringjoone. 6. Kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk nimetatakse täisnurkseks kolmanurgaks. 7. Algarvuks nimetatakse naturaalarvu, millel on ainult kaks tegurit. 8. Kordarvuks nimetatakse naturaalarvu, millel on ainult kaks tegurit. 9. Harilikku murdu, mille lugeja on suurem või sama suur nimetatakse liigmurruks. 10. Sirgnurgaks nimetatakse nurka, mille haarad moodustavad sirgjoone. 11. Lõikuvateks sirgeteks nimetatakse sirgeid, millel on üks ühine punkt. 12
Aksioomi Iga kaht erinevat punkti läbib ainult üks d: sirge. Iga sirglõiku on võimalik lõpmatult 4 pikendada. Teoreemi eeldus ja väide Eelduses pannakse kirja see, mis on teada (antud) ning väide ütleb, mida tuleb tõestada. Kui eeldus, siis väide. Teoreemi Kolmnurga sisenurkade summa on d: 180. Rööpküliku diagonaalid poolitavad teineteist. Täisnurkse kolmnurga teravnurkade summa on 90. 5 Pöördteoreem Eelduse ja väite äravahetamisel tekkinud lauset nimetatakse esialgse teoreemi pöördlauseks. Kui teoreemi pöördlause on tõene, siis nimetatakse seda pöördlauset pöördteoreemiks. Teoreemi Kui kujund on ruut, siis tema d: lähisküljed on võrdsed. Kui kaks sirget on paralleelsed,
Sp r2 H Sk r m 1 1 V Sp H r2 H r 3 3 Kera S 4 R 2 4 V R3 R 3 NÄITEÜLESANDED. 1) Püramiidi põhjaks on võrdhaarne kolmnurk, mille alus on 4 cm ja haar 8 cm. Kõik külgtahud moodustavad püramiidi põhjaga kahetahulised nurgad 60o. Leidke püramiidi külgpindala. Lahendus. C Tähistame püramiidi kõrguse H = OC. Külgtahu, mille aluseks on 4 cm apoteem on BC ja külgtahu, mille aluseks on 8 cm apoteem on AC. Kolmnurgad AOC ja BOC on võrdsed KNK (külg- H
30. Romb:Rööpkülikud,mille kõik küljed on võrdsed(Näide28) S = ah (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Omadused: 1)romb on sümmeetriline oma diagonaalide suhtes 2)Rombi diagonaalid on teineteisega risti ja nad poolitavad rombi nurgad 31.Trapets:nelinurk mille kaks külge on paralleelsed ja kaks külge mitte paralleelsed(Näide29) S = (a + b)/2 *h (pindala = alus1; + alus2 : 2 x kõrgus) P=a+b+c+d Omadus:trapetsi haara lähinurkade summa on 180' 32.(Näide30) Kolmnurk: S = a*h /2 P=a+b+c S=a*b/2 Võrdhaarne on kolmnurk, mille kaks külge on võrdse pikkusega. Võrdhaarne kolmnurk on sümmeetriline oma tipunurga poolitaja suhtes, seega selle sirge suhtes, mille joonestasid. Sümmeetriast järelduvad võrdhaarse kolmnurga omadused: * võrdhaarse kolmnurga alusnurgad on võrdsed ja * võrdhaarse kolmnurga tipunurga poolitaja poolitab ka aluse ja on sellega risti.
ja haarad lõikajal vastassuunalised. 37. Kui üks paar põiknurki on võrdsed, siis on võrdsed ka teine paar. 38. Kui põiknurgad on võrdsed, siis lähisnurkade summa on 180 kraadi. 39. Kolmnurga välisnurgaks nimetatakse tema sisenurga kõrvunurka. 40. Kolmnurga välisnurk võrdub temaga mitte kõrvuti olevate sisenurkade summaga. 41. Kolmnurga kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab kolmnurga külgede keskpunkte. 42. Kolmnurga kesklõik on parallelne kolmnurga vastava küljega ning võrdub pikkuselt poolega sellest küljest. 43. Trapetsiks nimetatakse nelinurka, mille kaks külge on paralleelsed ja kaks külge mitteparalleelsed. 44. Trapetsi kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab trapetsi haarade keskpunkte. 45. Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega. 46. Trapetsi kesklõigu pikkus võrdub aluste poolsummaga. 47. Trapetsi ümbermõõt P= a+b+c+d 48. Trapetsi pindala S= a+b : 2 x h või S= k x h 49
algandmete täpsusega. 16 17 5. ÜLESANNE (10 punkti) Ülesannete tekstid b I Tiik on täisnurkse trapetsi kujuline. Trapetsi alusteks olevate kallaste pikkused on a ja b (a b) ning nendega ristuva kalda c pikkus on c, vt joonist. Trapetsi diagonaalide lõikepunktis paikneb purskkaev. 1) Leidke purskkaevu kaugus tiigi kaldast pikkusega a. a 2) Arvutage see kaugus, kui a = 60 m, b = 40 m ja c = 30 m. II Hoone külgsein on täisnurkse trapetsi kujuline
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
