Ande Andekas Matemaatika Geomeetriline jada Jada, milles iga liikme ja sellele eelneva liikme jagatis on konstantne nimetatakse geomeetriliseks jadaks. Kui leiduvad arvud a ja b nii, et jada liikmed an asuvad iga n korral lõigus [a;b] siis nimetatakse jada (a n) tõkestatud jadaks. Jada nimetatakse hääbuvaks ehk nullile lähenevaks, kui jadast järjest kaugemale minnes selle jada liikmed erinevad nullist kuitahes vähe. Selliselt juhul on |q| < 1 või |q| > -1. an = aa * qn-1 Sn = a1 (qn 1)/q 1 S = a1/1 q a jada liige n liime arv q jada tegur Sn jada esimese n liikme summa S hääbuva jada esimese n liikme summa
Geomeetriline jada Geomeetriliseks jadaks nimetatakse arvujada, milles iga järgnev ja temale eelneva liikme jagatis on jääv, alates 2. liikmest. Jäävat jagatist nimetatakse jadateguriks ja tähistatakse q-ga |q|<1 Hääbuv jada Geomeetrilise jada üldliikme tuletamine a2=a1q a3=a2q a4=a3q a2*a3*a4*...*an=a1q*a2q*a3q*...*an-1q an=a1*qn-1 Geomeetrilise jada n esimese liikme summa valem Sn=a1+a2+a3+...+an q*Sn=a1q+a1q2+a1q3+...+a1qn - Sn=a1+a1q+a1q2+...+a1qn-1 qSn-Sn=a1qn-a1 (q-1)Sn=a1(qn-1) Hääbuva geomeetrilise jada summa valemi tuletamine Pedak
13,1 2 25. (2008) Kuulike lükatakse veerema mööda kaldpinda allapoole. Alates teisest sekundist veereb kuulike iga sekundiga eelmise sekundi jooksul läbitud teepikkusest ühe ja sama pikkuse võrra rohkem. Teise sekundi lõpuks oli kuulikese kaugus lähtepunktist l 2 = 9 cm ja neljanda sekuni lõpuks oli kuulike kaugusel l 4 = 30 cm. Mitmenda sekundi lõpuks jõuab kuulike kaldpinna lõppu, mis asub lähtepunktist kaugusel L = 900 cm? 24sekundiga 26. (2009) Kaks kiirabiautot alustavad üheaegselt sõitu teineteise poole – üks auto haiglast sündmuskohale, teine sündmuskohalt haiglasse. Esimese minutiga läbivad mõlemad autod
www.andmill2.planet.ee/gmat.html Aritmeetiline ja geomeetriline jada · Aritmeetiline jada an = an 1 + d an = a1 + (n 1)d a + a k +1 a k = k -1 2 a + an 2a + ( n - 1) d Sn = 1 n = 1 n n 2 · Geomeetriline jada an = q . an 1 an = a1 . qn 1 a i = a i -1 a i +1 www.andmill2.planet.ee/gmat.html
JADAD: a1 = jada esimene liige an = jada n-is liige n = näitab mitmes liige arv jadas on < n Z > d = aritmeetilise jada vahe ; d = an an 1 ehk d = a2 a1 q = geomeetlise jada jagatis ; q = an / an 1 ehk a2 / a1 Sn = jada n liikme summa Aritmeetilise jada üldliikme valem: an = a1 + ( n 1)d 2a1 + ( n 1)d a 1 + an Aritmeetilise jada summa : Sn = n või Sn = n 2 2 Aritmeetlilise jada üks liige on oma naabrite arit. keskmine an =(an 1 + an + 1) 2 Geomeetrilise jada üldliikme valem: an = a1×qn 1 a1( qn 1 ) a1( 1 qn ) Geomeetrilise jada summa: Sn = n või Sn = n q1 1q ___________ Geom
1. Geomeetrilise jada tegur on 3 ning viies liige 243. Leia selle jada kümnes liiga ja kümne liikme summa. 2. Paiguta arvude 7 ja 567 vahele kolm arvu nii, et nad koos esialgsetega moodustaksid geomeetrilise jada. 3. Geomeetrilise jada 1-se, 3-nda ja 5-nda liikme summa on 455 ning 2-se, 4-nda ja 6- nda liikme summa 1365. Leia selle jada kuus esimest liiget. 4. Geomeetrilise jada esimese ja neljanda liikme summa on 28 ning esimese ja neljanda liikme vahe -36. Leia jada kümne liikme summa. 5. Geomeetrilise jada 1. ja 3. liikme summa on 52. 2-se ja 4-nda liikme summa 260. Leia selle jada kümne liikme summa. 6. Leia jada 1;2;4... kaheteistkümne liikme summa. 7. Geomeetrilise jada 1., 2. ja 3. liikme summa on 168. 4-nda,5-nda ja 6-nda liikme summa aga 21. Leia selle jada 6 liiget. 8. Geomeetrilise jada esimese kolme liikme summa on 840 ning kolme järgneva liikme summa 105. Leia jada kuus esimest liiget. 9
Kuldlõike mõistmiseks tuleb tagasi minna mõnede avastuste juurde matemaatikas.Juba muistses Egiptuses ja Kreekas arvestati matemaatilisi kuldseid proportsioone(kuldlõiget) seda arvestati nii püramiidide ehitamisel kui ka templite rajamisel. Kreeka skulptorid arvestasid kuldlõiget oma skulptuure luues ning mitmed renessansiaja kunstnikud olid pühendunud matemaatikud.Arvud ongi kunst.Teadus, kunst ja usk voolavad paljude arvates samast allikast. Kuldlõige rahuldab positiivsete reaalarvude hulgas unikaalset samasust. Kuldlõige on irratsionaalarv, kuid mitte transtsendentne arv. Kuldlõike reegel-ehitise massid ja pinnad jaotuvad nii, et terviku suhe suuremasse osasse oleks nagu suurema osa suhe väiksemasse osasse. Kuldlõige on teguriks siis, kui Fibonacci jada asümptootiliselt nagu geomeetriline jada.Kuldlõige pole termin ainult arhitektuuris vaid ka muusikas. Vähemalt alates renessansi ajastust alates on
MIS ON JADA? Jada on matemaatikas kujutus, mille määramispiirkonnaks on naturaalarvude hulk N või selle mõni alamhulk. Määramispiirkonna fikseeritud elemendi kujutist nimetatakse selle jada elemendiks ehk liikmeks. Kui kujutuse määramispiirkonnaks on naturaalarvude hulk või selle mõni lõpmatu alamhulk, siis räägitakse lõpmatust jadast. Lõpliku määramispiirkonna korral räägitakse lõplikust jadast ehk järjendist. Lõplike jadade puhul on võimalik kõnelda jada pikkusest ehk selle jada liikmete arvust. Jada pikkusega n määramispiirkonnaks valitakse sageli hulk {1,2,3,...,n} Tähistused: Lõplikke jadasid pikkusega n tähistatakse loetlemise teel või lühemalt pealiikme kaudu või . Lõpmatuid jadasid võib tähistada samuti loetlemise teel.. , ..või pealiikme kaudu või või lühemalt . FIBONACCI JADA
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x - 2 Joonis 1.21: funktsioon y = arctan x Avaldades v~orrandist y = tan x muutuja x, saame x = arctan y + n, n Z. Vahetades t¨ahistuse, saame funktsiooni y = tan x l~opmatult mitmese p¨o¨ordfunktsiooni y = arctan x+n, n Z, mida t¨ahistataskse y = Arctan x. Lisame juba vaadeldud trigonomeetrilistele funtksioonidele veel neljanda y = cot x. Graafik on esitataud joonisel 1.22 Eraldame funktsioonist y = cot x v¨alja haru m¨a¨aramispiirkonnaga (0; ). Sellel harul vastab igale y (-; ) v¨a¨artusele u ¨ks muutuja x v¨a¨artus. Seda funtksiooni t¨ahistatakse x = arccot y. P¨arast t¨ahistuse muutmist on funkt- siooni y = cot x, x (0; ) p¨o¨ordfunktsiooniks y = arccot x. Selle funktsiooni m¨a¨aramispiirkond X = (-; ) ja muutumispiirkond Y = (0; ). 15
aratud. Kui a < 0, siis j¨ aa ¨b m¨a¨ aramispiirkonnast v¨ alja lisaks ka punkt x = 0. Seega: kui a > 0, siis X = [0, ) ja kui a < 0, siis X = (0, ). Eksponentfunktsioon on funktsioon j¨argmisel kujul: y = ax , kus astme alus a on konstantne ja rahuldab v~orratust a > 0. Lisaks sellele v~orratusele eeldame veel, et a = 1, sest a = 1 korral saame konstantse funkt- siooni y = 1x = 1. Eksponentfunktsiooni korral X = R ja Y = (0, ). Graafik on juhtudel a > 1 ja 0 < a < 1 kvalitatiivselt erinev (vt joonised 1.4 ja 1.5 tagapool). Nagu graafikutelt n¨ahtub, on funktsioon y = ax kasvav kogu oma m¨a¨aramispiirkonnas, kui a > 1 ja kahanev kogu oma m¨a¨aramispiirkonnas, kui 0 < a < 1.
.......................... 48 jada . ................................................... 128 võrdus ja võrdsus ......................... 52 Aritmeetiline jada ........................................129 Matemaatiline võrdus ....................................54 Geomeetriline jada ...................................... 131 Matemaatilise võrduse kasutused ..................55 Mõned teised põnevad jadad ....................... 135 hulk ............................................ 58 vektor ................................................. 138 Hulkade kirjeldamine .....................................58 Kuidas vektorit matemaatiliselt Hulkade olulisus ............................................59 kirja panna? ............................................... 139 Hulgad ja peavalu ........................................
JADAD Geomeetriline (iga liige on eelnevast konstantne arv KORDA suurem) q jada tegur Arikmeetiline (iga liige on eelnevast konstantne arv VÕRRA suurem) d - jada tegur VEKTORID JA SIRGED = AB SIRGE VÕRRANDID: PUNKTI ja SIHIVEKTORI ( kaudu KAHE PUNKTI kaudu PUNKTI ja TÕUSU (k) järgi AGKOORDINAAT (b) ja TÕUSU järgi __________________________________________________________ __________________________________________________________ NURK Nurk vektorite vahel Nurk sirgete vahel RINGJOON KOLMNURK RISTTAHUKAS võib ka katsetades !!
moodustavad aritmeetilise jada: a – 2; aq; aq2 – 4. Kuna aritmeetilise jada iga liige, peale esimese, on oma kahe naaberliikme aritmeetiline keskmine, siis saame a 2 aq 2 4 aq ; 2 2aq aq 2 a 6; aq 2 2aq a 6. Koostame võrrandisüsteemi a aq aq 2 42 aq 2 2aq a 6. Lahendame selle. Toome mõlemast võrrandist a sulgude ette ning jagame esimese võrrandi teisega: a 1 q q 2 42 ; a 1 2q q 2 6 a 1 q q2 42 ; a 1 2q q 2 6 1 q q 2 7; 1 2q q 2 7 1 2q q 2 1 q q 2 ;
JADAD 11. klass Aili Hollak Arvuti koolis lõputöö Koolitaja E. Tarro, 5. kursus JADAD Jada teatud reegli järgi saadud arvude hulk, kus igale naturaalarvule n (alates 1-st) seatakse vastavusse üks kindel arv n. Jada liikmed - 1, 2, ..., n, ... Jada üldliige - n Jada üldliikme valem - n= f(n) Näiteid jadadest Ruudu 1 2 3 4 5 6 nr. Pindala 1 4 9 16 25 36 Nii võib jätkata ruutude joonistamist ja leida ka igal sammul vastava ruudu pindala. Näiteks 11. ruudu pindala on 121, 30
aratud. Kui a < 0, siis j¨ a¨ ab m¨aa ¨ramispiirkonnast v¨ alja lisaks ka punkt x = 0. Seega: kui a > 0, siis X = [0, ) ja kui a < 0, siis X = (0, ). Eksponentfunktsioon on funktsioon j¨argmisel kujul: y = ax , kus astme alus a on konstantne ja rahuldab v~orratust a > 0. Lisaks sellele v~orratusele eeldame veel, et a = 1, sest a = 1 korral saame konstantse funkt- siooni y = 1x = 1. Eksponentfunktsiooni korral X = R ja Y = (0, ). Graafik on juhtudel a > 1 ja 0 < a < 1 kvalitatiivselt erinev (vt joonised 1.4 ja 1.5 tagapool). Nagu graafikutelt n¨ahtub, on funktsioon y = ax kasvav kogu oma m¨a¨ aramispiirkonnas, kui a > 1 ja kahanev kogu oma m¨a¨aramispiirkonnas, kui 0 < a < 1.
väärtused rahuldavad võrratust || < K. Kuna 1 võib olla suvaline positiivne arv, võime me valida 1 = Järgmiseks valime nii, et = 1, kus on mingisugune suuruse väärtus. Siis iga -le järgneva väärtuse korral kehtivad seosed || = || = || || < K = Seega me nÄeme, et kõik -le jÄrgnevad suuruse väärtused rahuldavad võrratust || < . Seda oligi vaja tõestada. 9. Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x a, mis rahuldab tingimust x = a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Funktsiooni piirväärtuse kirjutusviis on Piirväärtuse geomeetriline sisu :Suvalises piirprotsessis x a, kus x = a, läheneb funktsiooni graafiku jooksev punkt P = (x, f(x)) Ühele ja samale punktile A = (a, b). Funktsioonil f on piirväärtus kohal a, kui suvalises piirprotsessis x a, mis rahuldab tingimust x = a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb lõpmatusele.
4. Leia geomeetriline jada, mille kolmas liige on 12 ja kolme liikme summa on 21. a1 + a1q + 12 = 21 [3,6,12,.... ja 27,-18,12,...] Vihje: 2 12 Asenda teine esimesse. 1a q = 12 a1 = q2 5. Paiguta arvude 2 ja 162 vahele kolm arvu nii, et need moodustaksid koos antud arvudega geomeetrilise jada. [6,18,54] 6. Leia geomeetrilise jada kuues liige, kui teine liige on 20 ja kolme esimese liikme summa 1 a on 70. 320;1 Vihje: Kui a 2 = 20, siis a1 = ja a 3 = a1 ..... 1 4 q 2 7. Kummipalli põrkekõrguse ja langemiskõrguse suhe on
Moodustame suuruse Dn = n +1 ; n un D = lim Dn . Kasut kui sis faktoriaale nt n!. n 0 lim Dn < 1 , siis rida koondub; lim Dn > 1 , rida hajub; lim Dn = 1 , küsimus lahtine. Cauchy: mood suuruse c n = n u n . 0 lim Dn < 1 , siis rida koondub; lim Dn > 1 , rida hajub; lim Dn = 1 , küsimus lahtine. Palju n-indaid astmeid. Integraaltunnus: kui pos rea üldliikme un=f(n) puhul funktsioon y=f(x) rahuldab tingimusi: a) f(x) on määr piirkonnas [1, ) b) f(x) on pidev piirkonnas [1, ) c) f(x) on monotoonselt kahanev selles piirkonnas, siis rida un n ja pärati int I = f ( x)dx 1
siis tekib kas ruut- või eksponentvõrrand. Logaritmvõrrandit tuleb alati kontrollida, võib tekkida võõrlahendeid! 11. Tõenäosusteooria Klassikaline tõenäosus Tõenäosus näitab, kui suur on võimalus, et mingi sündmus juhtub. Sündmusi liigitatakse kindlateks, võimalikeks ja võimatuteks. Tõenäosust väljendatakse arvudega 0st 1ni, 0 tähendab võimatut sündmust ja 1 seda, et sündmus toimub kindlasti. Sündmuse A tõenäosuseks nimetatakse toimumiseks soodsate võimaluste arvu m ja kogu võimaluste arvu n suhet. Ehk siis P(A) = m/n. Kahe sündmuse A ja B summaks nimetatakse sündmust, mille toimumine seisneb kas sündmuse A võ B või mõlema toimumises. Kahe sündmuse A ja B
Valemid, teoreemid, seosed, tunnused, tingimused MATEMAATIKA EKSAMIL XI KLASSIS 1) a2-b2 = (a+b)(a-b) 2) a3 + b3=(a+b)(a2-ab+b2) 3) a3 - b3=(a-b)(a2+ab+b2) 4) (a+b)3 =a3+3a2b+3ab2+b3 5) (a-b)3 =a3-3a2b+3ab2-b3 −b ± √ b2−4 ac 2 6) a) lahenda ax + bx+c =0 2a b) tegurda : ax2 + bx+c= a( x− x1 )( x−x 2) c) tegurda ax3 + bx2+ax+b= x2(ax+b)+ax+b = (ax+b)(x2+1) 7) lim an bn lim an lim bn n n n 8) lim an bn lim an lim bn n n n 9) lim anbn lim an lim bn n n n an 10) lim lim an lim bn n bn n n 11) Korrutise tuletise sõnastus ja valem (u * v ) ´ = Korrutise tuletis võrdub esimese teguri tu
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK - alfa - nüü - beeta - ksii - gamma - omikron - delta - pii - epsilon - roo - dzeeta - sigma - eeta - tau - teeta - üpsilon - ioota - fii - kapa - hii - lambda - psii - müü - oomega
x2 võrratuse märk muutub vastupidiseks, st f(x1) > f(x2), siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik tõuseb, kahanemispiirkonnas aga langeb. Astmefunktsioon- funktsioon järgmisel kujul y = x a ,kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Eksponentfunktsioon- Eksponentfunktsioon on funktsioon järgmisel kujul: y = a astmel x , kus astme alus a on konstantne ja rahuldab võrratust a > 0. Lisaks sellele võrratusele eeldame veel, et a ei = 1, sest a = 1 korral saame konstantse funktsiooniy = 1 astmel x = 1. Eksponentfunktsiooni korral X = R ja Y = (0,∞). Trigonomeetrilised funktsioonid- y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y = cot x radiaanides antud argumendiga x. Määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: y = sin x : X = R, Y = [−1, 1] , y = cos x : X = R, Y = [−1, 1] , y = tan x : X = R {(2k + 1)/2 π || k ∈ Z}, Y = R,
Määramispiirkond on järgmine: d.i. a=p/q, kus p,q Z ja q on paaritu. (Täisarvuliste astendajatega funktsioon) d.ii. a=p/q, kus p,q Z ja q on paaris või a on irratsionaalne arv. (Paaris juured) e. Eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid, nende määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud e.i. y=, kus astme alus a on konstantne ja rahuldab väärtust a>0. Lisaks , sest a=1 korral saame konstantse funktsiooni y==1. Eksponentfunktsiooni korral . y= on kasvav kui a>1. y= on kahanev kui 0
x
f) tan 2 6 = 0 Vastus : x = 3 (6k - 1), k
g) Lahendage võrrand 2cos2x + 4sin2 x = a , kui võrrandi üks lahend on 450 ja
-3600
y(0) = . Kuna f ( x) x2 + 2 k = lim =1 ja b = lim [ f ( x ) - kx ] = lim - x = 0, x x x x x siis vaadeldava joone parempoolseks kaldasümptoodiks on sirge y=x. Analoogiliselt saame, et sirge y= x on ka antud joone vasakpoolne kaldasümptoot. §5 JADAD JA READ 1. Arvjadad Arvjadaks nimetatakse naturaalarvulise argumendiga funktsiooni x = x( n), n =1,2,.... Tähistame x(n) = x n . Arvu x n nimetatakse jada x=(xn) üldliikmeks ( ka elemendiks). Kirjutame ka x=(xn) = (x1, x2,...,xn,...). Definitsioon 13. Jada x=(xn) nimetatakse koonduvaks, kui eksisteerib lõplik piirväärtus lim x n = a. n
YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I Gert Tamberg Matemaatikainstituut Tallinna Tehnikaulikool ¨ [email protected] http://www.ttu.ee/gert-tamberg ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 1 / 25 ~ Oppeaine sisu ~ Oppeaine jaotub kahte ossa: 1 Diferentsiaalarvutus (loengud 1-9) 2 Integraalarvutus (loengud 10-16) ~ Oppeaine ~ lopphinne pannakse valja¨ viiepallisusteemis. ¨ Tudengil on ~ voimalik saada oma hinne katte ¨ semestri jooksul sooritatud kontrollto¨ ode ¨ ~ pohjal. Selleks tuleb kirjutada kolm teooria to¨ od ¨ (kollokviumi)
rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk muutub vastupidiseks, st f(x1) > f(x2), siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik tõuseb, kahanemispiirkonnas aga langeb. Astmefunktsioon on funktsioon järgmisel kujul y = xa, kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Eksponentfunktsioon on funktsioon järgmisel kujul: y = ax , kus astme alus a on konstantne ja rahuldab võrratust a > 0. Lisaks sellele võrratusele eeldame veel, et a ei võrdu 1, sest a = 1 korral saame konstantse funktsiooni y = 1 x = 1. Eksponentfunktsiooni korral X = R ja Y = (0,). Graafik on juhtudel a > 1 ja 0 < a < 1 kvalitatiivselt erinev . Funktsioon y = a x on kasvav kogu oma määramispiirkonnas, kui a > 1 ja kahanev kogu oma määramispiirkonnas, kui 0 < a < 1. Trigonomeetrilised funktsioonid y = sinx, y = cosx, y = tanx ja y = cotx radiaanides antud argumendiga x.
. . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.6 Cramer'i peajuht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.7 Gauss'i elimineerimise meetod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.8 Süsteemi üldlahend ja erilahend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.9 Homogeenne lineaarvõrrandisüsteem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 Funktsioonid ja jadad 25 3.1 Funktsiooni mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Üksühesus ja pealekujutus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3 Liitfunktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4 Pöördfunktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Püstprisma sin 0 1 2 3 1 2 tan tan 2 = Ruumala: V = S p h 2 2 1 - tan 2 2 Külgpindala: S k = PH sin cos 1 3 2 1 0 tan = Täispindala: S t = S k + 2 S p 2 1 + cos 2 2 2 1 - cos Korrapärane püramiid sin = ± 1 t
Lõplik piirväärtus: arv a, kui posit. arvu ε korral leidub naturaalarv 4. |a|−|b|≤|a+b|≤|a|+¿ b∨¿ ¿ n>n 0 5. Kui jadad { xn } ja { yn } n0=n0 ¿ ε) nii, et iga korral
argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk muutub vastupidiseks, st f(x1) > f(x2), siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik tõuseb, kahanemispiirkonnas aga langeb. Astmefunktsioon on funktsioon järgmisel kujul y = xa, kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Eksponentfunktsioon on funktsioon järgmisel kujul: y = ax , kus astme alus a on konstantne ja rahuldab võrratust a > 0. Lisaks sellele võrratusele eeldame veel, et a = 1 Eksponentfunktsiooni korral X = R ja Y = (0,). Funktsioon y = ax on kasvav kogu oma määramispiirkonnas, kui a > 1 ja kahanev kogu oma määramispiirkonnas, kui 0 < a < 1. Trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y = cot x radiaanides antud argumendiga x. Trigonometriliste funktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad: y = sin x : X = R, Y = [-1, 1] , y = cos x : X = R, Y = [-1, 1] ,
N¨aide 10. Uurime funktsiooni y = sin(cx) perioodilisust juhul, kui c on mingi fikseeritud positiivne reaalarv. Et X = R, siis iga x X korral suvalise T jaoks x ± T X. J¨ ab kontrollida, kas leidub selline T , et sin(c(x + T )) = sin(cx) iga x X a¨ korral, st sin(cx + cT ) = sin(cx). J¨arelikult peab cT = 2k (k Z) T = 2k/c (k Z) ja v¨ahim positiivne arv, mis rahuldab tingimust sin(cx + cT ) = sin(cx) on T = 2/c. Seega on funktsioon y = sin(cx) perioodiline, kusjuures perioodiks on T = 2/c. Definitsioon 8. Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks ehk rangelt kasvavaks pi- irkonnas X, kui iga x1 X ja x2 X korral, mis rahuldavad v~orratust x1 < x2 , kehtib v~orratus f (x1 ) < f (x2 ). N¨aites 9 on esitatud kasvav funktsioon. Definitsioon 9. Funktsiooni f nimetatakse kahanevaks ehk rangelt kahanevaks
6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetriliselt antud joone mõiste. 7. Järjestatud muutuva suuruse mõiste. Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid. Koonduvad ja hajuvad jadad. Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks. 8. Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid. Muutuvat suurust α nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim α = 0. Muutuvat suurust α nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim |α| = ∞ 9. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon ja geomeetriline sisu. Funktsiooni ühepoolsete piirväärtuste definitsioonid ja geomeetriline sisu