Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Geomeetriline jada". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
2186, 1093, geomeetriline, neljanda, 2187, jadad, tähega, esimesest, sulgude, jagame, rahuldab, paiguta, arvudega, viimaseksTeades, et an = a1 + d(n – 1), võime eelnevale valemile anda ka teise kuju: . 2a 1 n 1 d Sn n 2 Viimane valem võimaldab arvutada esimese n liikme summat vaid jada esimese liikme ja jada vahe järgi. Geomeetriline jada Geomeetrilise jada üldliige avaldub kujul an = a1qn – 1 , kus a1 on geomeetrilise jada esimene liige ja q jada tegur. Geomeetrilise jada esimese n liikme summa valem on kujul Sn 1 a qn 1 .
JADAD 11. klass Aili Hollak Arvuti koolis lõputöö Koolitaja E. Tarro, 5. kursus JADAD Jada teatud reegli järgi saadud arvude hulk, kus igale naturaalarvule n (alates 1-st) seatakse vastavusse üks kindel arv n. Jada liikmed - 1, 2, ..., n, ... Jada üldliige - n Jada üldliikme valem - n= f(n) Näiteid jadadest Ruudu 1 2 3 4 5 6 nr. Pindala 1 4 9 16 25 36 Nii võib jätkata ruutude joonistamist ja leida ka igal sammul vastava ruudu pindala. Näiteks 11. ruudu pindala on 121, 30
Kordamisülesanded 1. Geomeetrilise jada esimene liige on 96 ja kuues on -3. Leia jaga tegur. 2. Kas antud jada on geomeetriline jada? Kui on leia tegur, üldliikme valem ja kaks järgnevat liiget: a) 3;6;12;24;... b) 2;4;6;8;.... c) 8;-4;2;-1;... d) c 6 ; c 4 ; c 2 ; c 0 ;.. e) a; a 2 b; a 3b 2 ; a 4 b 3 ;... f) 1; 2 ;2;2 2 ;... 3. Geomeetrilise jada esimene liige on 3, jada tegur on 2. Leia jada kümnes liige ja kümne liikme summa. [ a10 = 1536; S10 = 3069] 4. Leia geomeetriline jada, mille kolmas liige on 12 ja kolme liikme summa on 21.
Lahendus: Antud on a3 = 5 a12 = -22 Leida on vaja S16. Kui vaadata valemeid, siis ei saagi nagu ülesannet lahendada, sest me ei tea jada esimest liiget ja vahet. Kuid me teame kolmandat ja kaheteistkümnendat liiget ning kuidas nad avalduvad valemi kaudu ehk a3 = a1 + 2d a1 + 2d = 5 a12 = a1 + 11d a1 + 11d = -22 Lahendame võrrandisüsteemi asendusvõttega, kus esimesest võrrandist avaldame a1 ja asendame teise võrrandisse. Saame a1 = 5 2d; 5 2d + 11d = 22; 9d = 27; d = 3. a1 = 5 2 . (3) = 11. Saime, et a1 = 11 ja d = 3. Leiame nüüd S16. 2 11 + (16 - 1) ( - 3) 22 - 45 23 16 S16 = 16 = 16 = = 184 2 2 2 Vastus: esimese kuueteistkümne liikme summa on 184. 9
7. Geomeetrilise jada esimene liige on 61 ja neljas liige on 1647. Leia selle jada seitsmes liige. 44469 8. Leia neli arvu, mis moodustavad geomeetrilise jada, kui äärmiste liikmete summa on - 49 ja keskmiste liikmete summa on 14. 7;-14;28:-56 9. Geomeetrilise jada kolmas liige on 24 ja kuues liige on -3. Mitme selle jada liikme summa, alates esimesest, oleks 64,5? 7 10. Lõpmatult kahaneva geomeetrilise jada teine liige on 3 ning summa 16. Leia jada esimene liige ja tegur. a1 = 4; q = 0,75 või a1 = 12; q = 0,25 11. Leida hääbuva geomeetrilise jada esimene liige, kui nelja liikme summa on 33,75 ja jada summa on 36. 18 või 54 12. Elanike arv linnas kasvab igal aastal 25% võrra
*Jada nimetatakse hääbuvaks ehk nullile lähenevaks, kui jadas järjest kaugemale minnes selle jada liikmed erinevad arvust 0 kui tahes vähe. 3. Aritmeetilise jada üldliige avaldub kujul an = a1 + d (n 1), kus a 1 on aritmeetilise jada esimene liige, d on jada vahe ning n on liikmete arv jadas. 4. Aritmeetilise jada n esimese liikme summa avaldub kujul Sn = (a1 + an) / 2 · n, kus a1 on aritmeetilise jada esimene liige, an on jada üldliige ning n on liikmete arv jadas. 5. Geomeetriline jada jada, milles teisest liikmest alates on iga liikme ja sellele eelneva liikme jagatis konstantne. *Geomeetriline jada on hääbuv, kui 0 < q < 1. 6. Geomeetrilise jada üldliige avaldub kujul an = a1q(n - 1), kus a1 on geomeetrilise jada esimene liige, q on alates teisest liikmest liikme ja sellele eelneva liikme jagatis ning n on liikmete arv jadas. 7. Geomeetrilise jada n esimese liikme summa avaldub kujul Sn = (a1 [q(n - 1) - 1])
JADAD Aritmeetiline jada Olgu antud lineaarfunktsioon y=f(x)=ax+b Aritmeetilised jadad on näiteks: 1,3,5,7...2n-1 Selle aritmeetilise jada üldvalem 7,11,13,15,19...4n+3 Selle aritmeetilise jada üldvalem d=3-1=5-3=7-5=...=2 d-aritmeetilise jada vahe 1+5 3+ 7 Omadus: =3 ; =5 2 2 d=11-7=15-11=19-15=...-4 7 +15 11 +19 Omadus: =11 ; =15 2 2 Üldiselt avaldub aritmeetiline jada: a1 , a2, a3 … an −1, a n , a n+1 , …
Piirkondadeks jaotamiseks tuleb leida väärtused, mille puhul ühe absoluutväärtuse väärtus on 0. Antud võrrandis x1 = 2 x2 = 0 x3 = -1 Seejärel tuleb arvtelg jagada antud juhul neljaks piirkonnaks: ]-;-1], ]-1;0], ] 0;2] ja ]2;]. Piirkonnas lahendatakse lineaarvõrrand. Märke muudetakse järgmiselt: valitakse piirkonnast suvaline väärtus (näiteks esimesest piirkonnast -5) ning pannakse x asemele. Kui absoluutväärtuse väärtus on negatiivne, muudetakse märgid. Juhul, kui väärtus on positiivne, märke ei muudeta. Antud juhul: Piirkond: ]-;-1] Võrrand: -x+2-x=2-x-1 -> x=1 (EI SOBI PIIRKONDA) Piirkond: ]-1;0] Võrrand: -x+2-x=2+x+1 -> x1=-1/3 Piirkond: ]0;2] Võrrand: -x+2+x=2+x+1 -> x=-1 (EI SOBI P.K)
Näide 7 Leida esimese 15 paaritu arvu summa Jada on 1; 3; 5, ... a1 = 1 d=2 n = 15 2 1 + (15 - 1) 2 2 + 28 Sn = 15 = 15 = 15 15 = 225 2 2 Vastus: Esimese 15 paaritu arvu summa on 225. Näide 8 Teadaolev vanim ülesanne jadadest, mis on pärit umbes aastast 3000 eKr ja leitud Ahmese papüüruselt. Sada mõõtu vilja tuleb jaotada viie inimese vahel nii, et teine saaks niipalju rohkem esimesest, kui palju kolmas saab rohkem teisest, neljas rohkem kolmandast ja viies rohkem neljandast. Peale selle peavad kaks esimest saama 7 korda vähem kolmest ülejäänust. Kui palju vilja tuleb anda igaühele? Kas sa saad selle ülesande lahendamisega hakkama? Vastus: Vili tuleb jaotada järgmiselt: 2 5 1 1 1 ; 10 ; 20; 29 ; 38 3 6 6 3 Aritmeetilise jada liikmete esimene omadus Aritmeetilise jada iga liige (väljaarvatud esimene) on tema
Näide 7 Leida esimese 15 paaritu arvu summa Jada on 1; 3; 5, ... a1 = 1 d=2 n = 15 2 1 + (15 - 1) 2 2 + 28 Sn = 15 = 15 = 15 15 = 225 2 2 Vastus: Esimese 15 paaritu arvu summa on 225. Näide 8 Teadaolev vanim ülesanne jadadest, mis on pärit umbes aastast 3000 eKr ja leitud Ahmese papüüruselt. Sada mõõtu vilja tuleb jaotada viie inimese vahel nii, et teine saaks niipalju rohkem esimesest, kui palju kolmas saab rohkem teisest, neljas rohkem kolmandast ja viies rohkem neljandast. Peale selle peavad kaks esimest saama 7 korda vähem kolmest ülejäänust. Kui palju vilja tuleb anda igaühele? Kas sa saad selle ülesande lahendamisega hakkama? Vastus: Vili tuleb jaotada järgmiselt: 2 5 1 1 1 ; 10 ; 20; 29 ; 38 3 6 6 3 Aritmeetilise jada liikmete esimene omadus Aritmeetilise jada iga liige (väljaarvatud esimene) on tema
Sn=a1 / 1-q 18. Astendamine: · Astendamine on astme a leidmine. · Negatiivse astendajaga aste def. Võrdusega: a = 1/a , kui a0 19. Eksponentfunktsioon: Mõiste: Eksponentfunktsioonideks nim. funktsioone y=a , kus a>0 ja a1. 20. Tõenäosus: Sündmuste liigid: Sündmuse tõenäosus on arv, mis iseloomustab sündmuse toimumise võimalikkust teatud tingimustel. Suhteline sagedus näitab, kui suur on tõenäosus mingi sündmuse toimumiseks. Tõenäosuse leiame, kui jagame soodsate (või oodatud) võimaluste arvu kõikide võimaluste arvuga. *Tõenäosust väljendatakse sageli protsentides. Näide. Kui suur on tõenäosus, et täringut veeretades tuleb paaritu arv silmi? Täringu veeretamisel võib tulla silmade arvuks 1, 2, 3, 4, 5 või 6 silma. Seega on kõikide võimaluste arv 6. Neist paaritud arvud on 1, 3 ja 5. Seega on soodsate võimaluste arv 3. Lahendus. Vastus. Tõenäosus, et täringu veeretamisel tuleb paaritu arv silmi, on 50%.
Kui ei eksisteeri lõplikku piirväärtust siis nimetatakse seda rida hajuvaks. Näide 1. Uurime rea koonduvust. Et siis , seega see rida on hajuv. Näide 2. Uurime rea koonduvust. Tegu on positiivse arvreaga, sest Võrdleme seda rida geomeetrilise reaga , see geomeetriline rida on koonduv, sest ja . Et , siis on uuritav rida koonduv. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine. Arvrida , kus on mingi reaalarv, nimetatakse geomeetriliseks reaks. Sellise rea osasumma avaldub kujul: . Rea summa avaldub kujul: Kui siis on tegemist hajuva reaga. Kui siis saame , ... ja
Kui ei eksisteeri lõplikku piirväärtust siis nimetatakse seda rida hajuvaks. Näide 1. Uurime rea koonduvust. Et siis , seega see rida on hajuv. Näide 2. Uurime rea koonduvust. Tegu on positiivse arvreaga, sest Võrdleme seda rida geomeetrilise reaga , see geomeetriline rida on koonduv, sest ja . Et , siis on uuritav rida koonduv. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine. Arvrida , kus on mingi reaalarv, nimetatakse geomeetriliseks reaks. Sellise rea osasumma avaldub kujul: . Rea summa avaldub kujul: Kui siis on tegemist hajuva reaga. Kui siis saame , ... ja
jada. Leia kolmnurga pindala. (4 cm 2 ) 6 20. Tööline teenindab 16 kudumismasinat, mis töötavad automaatselt. Kudumismasina jõudlus on a meetrit tunnis.Kangur laseb esimese masina tööle kell 8, iga järgmise aga 5 minutit hiljem eelmisest. Kui palju riiet toodetakse kahe esimese tunni jooksul? (22a meetrit) 21. Leia kõikvõimalikud arimeetilised jadad, mille esimeseks liikmeks on 5, mille vaheks on täisarv, mille liikmete hulgas on arvud 57 ja 113. ( d =1;d =2;d=4 ) 22. Kui kõik töölised oleksid asunud tööle üheaegselt oleksid nad sooritanud ettenähtud töö 7 tunniga. Nad asusid tööle üksteise järel võrdsete ajavahemike järel ja töötasid siis kõik kuni töö lõpetamiseni. Esimesena tööle asunud tööline töötas 10 tundi. Mitu korda töötas ta kauem viimasena tööle asunud töölisest? (2,5 korda)
n−1 63) - üldliikme valem : an =a1 q a1 (qn−1) a n q−a 1 64) - summa valem : s n= , kus q ≠ 1→ s n= q≠1 q−1 q−1 , kus 65) - liikmete omadus alates teisest liikmest : a2= √ a1∗a 3 66) Kirjuta hääbuva geomeetriline jada lõpmatu summa valem ja lisa tingimus, a1 millal kasutatakse : S= ,|q|<1 1−q 67) Permutatsioonid . Faktoriaali arvutamine. Permutatsioonideks n erinevast elemendist nimetatakse nende elementide kõikvõimalikke erinevaid järjestusi. Pn=n∗( n−1 )∗( n−2 )∗…∗3∗2∗1=n ! NT. 4 !=4∗3∗2∗1, 1!=1 68) Variatsioonid ja arvutamine. Variatsioonideks n elemendist k-kaupa ( k ≤ n ¿
Vastus: 17297280 b) Martinil on taskus viis viiekroonist ja neli kümnekroonist rahatähte. Kui suur on tõenäosus, et kahe kupüüri juhuslikul võtmisel on mõlemad viiekroonised? Vastus: 20/72 c) Tõenäosus leida pliiats kirjutuslaua esimesest sahtlist on 0,5, teisest sahtlist 0,7 ja kolmandast 0,4. Kui suur on tõenäosus , et pliiats on olemas a) täpselt ühes sahtlis b) vähemalt ühes sahtlis c) mitte üheski sahtlis Vastus: a)0,36 b)0,91 c)0,09 d) Lapsel on 3 kaarti, millele on kirjutatud kolm tähte I ; S ; A. Kui suur on tõenäosus, et kaarte juhuslikult üksteise
2) Arvutage täpne väärtus , kui Määrake, kas f(x) on paaris- või paaritu funktsioon. 4) Lahendage võrrand f x 0 lõigul ; . 5) Joonestage ühes ja samas teljestikus . funktsioonide y cosx ja cos2x graafikud lõigul ; . 8.Arvjada. Aritmeetiline ja geomeetriline jada. a) On antud jada üldliige an = n2 -7n -10. 1) kas arvud -22 ja 0 on antud jada liikmeteks? 2) Mitmes liige selles jadas on arv 50? Vastus: 1) arv -22 on, 0 ei ole 2) 12 2n 1 b) On antud jada an, mille üldliige an = n n 2 1) Kirjutage välja jada esimesed 5 liiget, an-1 ,an+1. 2) Mitmendast liikmest alates on jada an liikmed väiksemad kui 0,01?
I Urnis on 10 kollast ja 6 rohelist kuuli. Leidke tõenäosus, et urnist 1) juhuslikult võetud kuul on roheline; 2) juhuslikult korraga võetud kaks kuuli on mõlemad rohelised. II Karbis on 9 valget ja 7 musta palli. Leidke tõenäosus, et karbist 1) juhuslikult võetud pall on valge; 2) juhuslikult korraga võetud kaks palli on mõlemad valged. III Esimeses urnis on 5 punast ja 3 sinist kuuli, teises 4 punast ja 3 sinist kuuli. Leidke tõenäosus, et 1) esimesest urnist juhuslikult võetud kuul on sinine; 2) võttes kummastki urnist juhuslikult ühe kuuli, on mõlemad kuulid sinised. Vastused 3 1 9 3 3 9 I 1) ; 2) . II 1) ; 2) . III 1) ; 2) . 8 8 16 10 8 56 Näpunäited Esimeses alaülesandes on tegemist lihtsündmusega. Lihtsündmuse tõenäosus on määratud soodsate
Kui ei eksisteeri lõplikku piirväärtust siis nimetatakse seda rida hajuvaks. Näide 1. Uurime rea koonduvust. Et siis , seega see rida on hajuv. Näide 2. Uurime rea koonduvust. Tegu on positiivse arvreaga, sest Võrdleme seda rida geomeetrilise reaga , see geomeetriline rida on koonduv, sest ja . Et , siis on uuritav rida koonduv. 2. Integraaltunnus. Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu integraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ( ). Integraaltunnus: Olgu positiivsete liikmetega rida, kusjuures Peale selle olgu mingisugune pidev ja monotoonselt kahanev
Leia trapetsi ümberringjoone pikkus. 16. Leia hüperbooli y = puutujad, mis on paralleelsed sirgega y = -x. 17. Sirge s läbib punkte A(1; 2; -3) ja B(0; -1; 1). Sirge t läbib punkti C(-1; 0; 1) ning sihivektoriks on a = (1; 0; 4). Koosta sirgete s ja t võrrandid ning tee kindlaks sirgete vastastikune asedn. 18. Lihtsusta ( sin + cos - 1)( sin + cos + 1) 4( sin 30° - sin 45° sin )( cos 60° + cos 45° cos tan ) 19. Aritmeetilise jada neljanda, kaheksanda, kaheteistkümnenda ja kuueteistkümnenda liikme summa on 500. Leia esimese 19 liikme summa. 20. Koosta ruutvõrrand, mille lahendid oleksid kolme võrra väiksemad ruutvõrrandi x 2 - 4 x - b 2 - 2b + 3 = 0 lahenditest. 21. Olgu r ringi raadius. Avalda ringi segmendi pindala, kui segmendi alus on r 3 ja kõrgus r/2. Tee joonis. 22. Tõesta võrratus cos2x + 2sinx < 1,5 23. Lahenda võrrand 10 log ( x ) =4 2
ning k-permutatsioone Kombinatsioonid- k-kombinatsiooniks nimetatakse hulga A igat k-elemendilist alamhulka. (Nt. hulk[3] 2-kombinatsioonid: {12,13,23}). *Arvutada saab: [4]. Binoomi valem. Pascali kolmnurk. *Kombinatsioonide arvu tähist nimetatakse sageli ka binoomkordajaks. See tulenebgi aga (Newtoni) binoomivalemist. Binoomi valem-Valem, mis esitub kujul , ning sisuliselt kujutab ta endast ,,summa ruudu valemit" astmel n. Selgub aga, et binoomivalemi sulgude avamisega saame sellise üksliikmete summa, kus iga liikme kordaja e. binoomkordaja vastab sisuliselt kombinatsioonide arvule , kus k on konkreetse üksliikme x'i aste ning n on algse sulgavaldise aste. Näiteks: Toetused aga multinoomvalemile, saaksime binoom-koefitsente välja arvutada ka valemi abil, kus k1 on üksliikme esimese kordaja aste, k2 aga teise kordaja aste. Omadusi: *Binoomkordajad on sümmeetrilised alumise indeksi suhtes:
geomeetrilise reaga ∑∞ ∞ 𝑘=1 (2) , see geomeetriline rida on koonduv, sest 𝑞 = 2 ja 𝑞 = 2 < 1. Et ∑𝑘=1 (𝑘+1)2𝑘 ≤ (2) (𝑘𝜖𝑵) , siis 𝑪[𝒂, 𝒃](𝒌 ∈ 𝑵𝟎 ) ja ∑𝒙𝒌=𝟎 𝒖′𝒌 (𝒙) koondub ühtlaselt lõigul [a,b], siis funktsionaalrida (𝟏) võib lõigul [a,b] liikmeti diferentseerida,
- lambda - psii - müü - oomega 4 1. ARITMEETIKA 1.1 Mõningate arvude kõrgemad astmed 24 = 16 29 = 512 34 = 81 44 = 256 64 = 1296 25 = 32 210 = 1024 35 = 243 45 = 1024 65 = 7776 26 = 64 211 = 2048 36 = 729 46 = 4096 7 4 = 2401 27 = 128 212 = 4096 37 = 2187 54 = 625 84 = 4096 28 = 256 213 = 8192 38 = 6561 55 = 3125 94 = 6561 1.2 Hariliku murru põhiomadus Murru väärtus ei muutu, kui murru lugejat ja nimetajat korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga. Kui k 0 , siis a ka = (murru laiendamine), b kb ka ka : k a
23.05.1998 a matemaatika riigieksam Lehe haldamist toetavad Topauto ja meelespea.net Põhivariant 1. rida 1998 aasta matemaatika riigieksami ülesannete lahendused 8 - x 12 x +2 1. (5p) Lihtsustage avaldist ning näidake, et selle väärtus ei sõltu x väärtusest. 6 2- x 18 x 21-x Lahendus: Valemid, mida lihtsustamisel kasutati: 1 a n ; ( ab ) = a n bn ; ( a n ) = a n m n m a - n = n ; a m+ n = a m a Vastus: Avaldise väärtus ei sõltu x väärtusest, lihtsustatud avaldises x puudub. Vastus on 2. 2. (10p) Ühistu maast 80% on põldude all ja 51 ha on metsa. Mitte põllumaast 15% on hei
Selleks, et ka niisuguste võrrandite puhul saaks kasutada mõistet "võrrandi lahend", arvu 4 - 5i kaaskompleksarv on 4 + 5i, laiendati reaalarvude hulka ühe teatava arvuga, mille ruut on võrdne -1-ga. Kuna arvu 3i - 5 = -5 + 3i kaaskompleksarv on -5 - 3i ja ühtegi sellise omadusega reaalarvu ei leidu, siis hakati kujutletavat arvu, mille ruut on arvu 9i kaaskompleksarv on -9i. -1, nimetama imaginaarühikuks 1 ja tähistama tähega i. Kompleksarvu a + ib vastandarvuks nimetatakse arvu -(a + ib) = -a - ib. Arvu, mille ruut on -1, nimetatakse imaginaarühikuks ja tähistatakse Näide 3. Leiame arvudele 4i - 5 ja 6 - 4i vastandarvud. sümboliga i, s.t. i = -1
4 1. ARITMEETIKA 1.1 Mõningate arvude kõrgemad astmed 24 16 29 512 34 81 44 256 64 1296 25 32 210 1024 35 243 45 1024 65 7776 26 64 211 2048 36 729 46 4096 7 4 2401 27 128 212 4096 37 2187 54 625 84 4096 28 256 213 8192 38 6561 55 3125 94 6561 1.2 Hariliku murru põhiomadus Murru väärtus ei muutu, kui murru lugejat ja nimetajat korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga. Kui k 0 , siis a ka (murru laiendamine), b kb ka ka : k a
1.6 Võrratused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.6.1 Aritmeetiliste keskmiste ja geomeetriliste keskmiste võrdlemine . . . . . . . . 27 1.6.2 Hölderi ja Minkowski võrratus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 Arvjadad 30 2.1 Koonduvad jadad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.1 Koonduvate jadade üldised omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.2 Koonduvate jadade järjestusega seotud omadused . . . . . . . . . . . 32 2.1.3 Koonduvate jadade tehetega seotud omadused . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.4 Tähtsad piirväärtused .
(Q1) suvaliste a,b,c € R puhul kehtib parajasti üks tingimustest a = b, a < b, b < a (trihhotoomia reegel) (Q2) kui a < b ja b < c, siis a < c (transitiivsus) (Q3) kui a < b, siis a + c < b + c (liitmise monotoonsus) (Q4) kui a < b ja c > 0, siis ac < bc (korrutamise monotoonsus) 3) Kehtib pidevuse aksioom - Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja ja igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja. 4) Geomeetriline mudel – arvsirge (üksühene vastavus reaalarvude ja arvsirge punktide vahel) – Arvsirge on reaalarvude hea geomeetriline mudel. Positiivsele arvule a seame arvsirge positiivsel poolel vastavusse punkti, mille kaugus nullpunktist on a, negatiivse a puhul fikseerime arvtelje negatiivsel poolel punkti kaugusel −a. Pidevuse aksioom (P) garanteerib selle, et igale arvsirge punktile vastab mingi üheselt määratud reaalarv.
Tiia Toobal 2008 II osa Pärnu Koidula Gümnaasium Test nr. 1. a 0,5 - 16b 0, 5 1. Leia avaldise - 4b 0, 25 , kui a = 16. a 0, 25 - 4b 0, 25 1) 6 2) -2 3) 4 4) 2 2. Leia antud arvudest suurim ( 2) ( 2) 3, 2 3 1 4, 7 1) 2) 3) 4) 3 4 5 2 3 1- log 3 6 - log 4 0 ,125 3. Arvuta avaldise 27 -4 väärtus. 1) 0 2) 7,875 3) 7,875 4) 3,875 4. On antud perioodilise funktsiooni y
Liitmine toimub positsiooniliselt, kordajad liituvad modulo 2 järgi. Hulkliikmete liitmine: Korpuses GF(2) on elemente kaks 0 ja 1 ja nende liitmine toimub modulo 2: 0+modulo20=0, 0+modulo21=1, 1+modulo20=1, 1+modulo21=0 42. Hulkliikmetejagamine, kui kordajad kuuluvad lõplikku korpusesse GF (2m ) (natuke on mainitud loengus nr.13 ja raamat lk. 18-19) Jagamine on kahel viisil, kas tavaline (tulemuseks on jagatis) või faktorringis (tulemuseks on jääk). Otsene jagamine: Q(z)/g(z)=f(z) Nt. jagame koodi 1111111 koodiga 1011 saame 1111111/1011=1101 Hulkliikmete jagamine tabeli kujul: 1111111 jagaja hulkliige: 1011 1011 1101 1001 1011 01011 1011 0000 (jääk) Või nii, et jagamise tulemuseks on otsese jagamise jääk: (1111111/1011)mod g(z)=0000, kus taandava hulkliikme rollis fm(z) rollis on hulkliige g(z) 43. Hulkliikmete juured (raamat lk.45-46 ja loeng 14(alates slaid 12))
väärtuse vahel
dispersioon, - Dispersioon on hälbe ruudu keskväärtus. DX = D(X) = E(X-EX) 2=
standardhälve - Standardhälve on ruutjuur dispersioonist
7. Jaotusfunktsioon. - Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on funktsioon, mis seob väärtusega
x vastavusse tõenäosuse, et Xx. Tähistame F-ga
F(x )=P(Xx ) tõenäosus, et JS kuulub paljude väärtuste korral
0 0
teatavasse piirkonda P(a
1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega: Maatriksi järk tähistab maatriksi mõõtmeid: A on m*n järku maatriks. Liigid: · Ruutmaatriks (m=n) · Diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille peadiagonaalis arvud, muud elemendid 0-d. · Ühikmaatriks diagonaalmaatriksi erijuht. Peadiagonaali elemendid 1-d. Täh E. · Nullmaatriks kõik nullid. Täh . 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine).
mis on regulaarne x-telje sihis. Piirkonda, mis on regulaarne nii x-telje kui ka y-telje sihis, nim. regulaarseks piirkonnaks. Olgu funktsioon z=f(x,y) pidev piirkonnas D. Avaldist nim. funktsiooni z=f(x,y) kaksikintegraaliks üle piirkonna D. Kaksikintegraali tõkked (omadus 19.2). Olgu funktsiooni z=f(x,y) vähim ja suurim väärtus piirkonnas D vastavalt m ja M. Tähistame piirkonna D pindala tähega S, siis kehtib seos: Keskväärtuste teoreem (omadus 19.3). Pideva funktsiooni z=f(x,y) kaksikintegraal ID üle piirkonna D, mille pindala on S, võrdub korrutisega, mille üheks teguriks on pindala S ja teiseks funktsiooni z=d(x,y) väärtus piirkonna D teatud punktis P: 3. Pindala ja ruumala arvutamine kahekordse integraali abil: ruumala arvutamine (+märkus 20.1 ja 20.2); tasandilise piirkonna pindala arvutamine (selgitustega: et olgu f(x, y) 1 jne). Ruumala
annaabi.ee 
