Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Funktsioonid 2". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
parabool, ruutfunktsioon, parabooli, avaneb, ülespoole, ruutliige, sümeetriline, haripunkt, ruutfunktsiooni, teljega, nullpunkti, lineaarliige0 kuulub on antud kus ax on lineaarliige ja b määramispiirkonda. arvud on vabaliige ehk Sirge ei läbi alati 0 ning x ja algordinaat. punkti. Sirge läbib y on y teljel punkti b. muutujad. Ruutfunktsioon Y=ax,kus Valemi y=ax põhjal vastab Graafikuks on y=ax: a on muutuja x igale väärtusele parabool, mis on y antud arv muutuja y üks kindel teljega ning x ja väärtus. sümeetriline. y Graafiku haripunkt muutujad. asub 0 punktis. Kui a>0, siis avaneb parabool ülespoole,
Arv a näitab, mille võrra muutub funktsioon (y), kui argument (x) suureneb ühe võrra. Lineaarfunktsiooni y = ax + b graafikuks on sirge, mis lõikub y-teljega punktis (0;b) ja läbib punkti (1; a+b). Sirge tõus a näitab, kui palju muutub sirgel oleva punkti ordinaat (y) siis, kui abstsiss (x) kasvab ühe ühiku võrra. Ruutfunktsioon Ruutfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on esitatud ruutavaldisega y = ax 2 + bx + c, kus ax 2 on ruutliige, bx on lineaarliige, c on vabaliige. Ruutfunktsiooni graafikuks on joon, mida nimetatakse parabooliks. Parabooli sümmeetriatelg on sirge, mille suhtes parabool on sümmeetriline (nimetatakse ka parabooli teljeks). Sümmeetriatelje ja parabooli ühist punkti nimetatakse haripunktiks. Punkte x-teljel, kus parabool lõikab või puudutab x-telge nimetatakse nullkohtadeks. Nendes punktides on funktsiooni väärtus 0. Sirge võrrand Sirge võrrandi üldkuju on y=ax+b
Ande AndekasLammutaja Matemaatika Ruutfunktsioonid Ruutfunktsiooni harud avanevad üles, kui a>0 ja alla, kui a<0. Ruutfunktsiooni graafikuks on parabool, mis on sümmeetriline y- telje suhtes. y = ax² parabooli haripunkt asub koordinaatide alguspunktis (0;0). y =ax² + c parabooli haripunkt asub punktis (0;c) (y- teljel, punktis c). y = ax² + bx parabooli üks harudest läbib punkti (0;0) ja teine haru (-b/a;0). y = ax² + bx + c parabooli haripunkt võib asuda ükskõik kus. Ruutfunktsiooni nullkohad on x väärtused, mille puhul y=0 (graafikul lõikepunktid x-teljega). Haripunti tähiseks on Xh. Mida väiksem on a, seda laiem on parabool. Xh = b/2a = (x1 + x2)/2 x = (-b ± b2 4ac) / 2a x1 + x2 = -p x1 * x2 = q x = p/2 ± (p/2)2 q
Ruutfunktsioon avaldub kujul y = ax2 + bx + c, kus a, b ja c on mistahes arvud ja ruutliikme kordaja a 0. Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafikuks on parabool. Kui a > 0, siis parabooli harud avanevad üles, kui a < 0, siis alla. Parabooli sümmeetriatelge nimetatakse parabooli teljeks ja punkti, kus parabool lõikub oma teljega nimetatakse parabooli haripunktiks. Parabooli skitseerimiseks tuleb leida nullkohad ( võrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendid) ja x + x2 haripunkt ( haripunkti abstsissi leiame kas nullkohtade aritmeetilise keskmisena 1 2 b või valemist x h = - ; ordinaadi leidmiseks paneme abstsissi väärtuse funktsiooni
Funktsioone, mille kahanemisvahemik Funktsioone, mille kasvamisvahemik ühtib ühtib määramispiirkonnaga, nimetatakse määramispiirkonnaga, nimetatakse kasvavateks kahanevateks funktsioonideks. funktsioonideks. Paarisfunktsiooni graafik on sümeetriline y- telje suhtes. Astmefunktsioonid : Paaritu funktsiooni graafik on sümeetriline y=X^-2 ehk Y=1/X^2 kordinaatide alguspunkti suhtes. y=X^-3 ehk Y=1/X^3
Ruutfunktsioon ja selle graafik EESMÄRGID Parabooli y = ax2 + k joonestamine Tutvustada lihtsamat parabooli Parabooli y = ax2 + bx +c joonestamine Paraboolide joonestamine Parabooli y = ax2 + k joonestamine Sümmeetriatelg y = x2 x=0 x y (x, y) (–2, 4) y –2 4 –1 1 (–1, 1) 0 0 (0, 0) 1 1 (1, 1) x 2 4 (2, 4) Parabool avaneb ülespoole. Haripunkt (0, 0) Parabooli y = ax2 + k joonestamine Võrrandis y = x2 , mis on a ? a = 1 . Kuid, mis juhtub, kui a ei võrdu 1? Näiteksy võrrandis y = – 4x2 . Mis on a ? a=–4 x y (x, y) x –2 – 16 (–2, –16) –1 –4 (–1, –4) 0 0 (0, 0)
reaalse sisuga näite võib klassis esitada, lahendada ja analüüsida. Soovitan selleks kasutada programmi GeoGebra. Joonis 13 Liikumise graafikule kanname ühe punkti nii, et on nähtavad ka selle punkti koordinaadid. Punkti liigutamisel muutuvad ka koordinaadid (sõiduks kulunud aeg ja sõidukiirus). Joonisel 13 annavad punkti A koordinaadid vastuse esimesele ülesandele. 5. Ruutfunktsioon ja selle graafik Ruutfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mille saab esitada kujul y = ax2 + bx + c, kus a 0 ning b ja c on antud arvud. Ruutfunktsiooni käsitlemiseks koolis on mitmeid võimalusi: 1) ruutvõrrandi lahendamist käsitletakse enne ruutfunktsiooni tundmaõppimist; 2) ruutfunktsiooni graafiku konstrueerimine on seotud vastava ruutvõrrandi lahendamisega; 3) ruutfunktsiooni käsitletakse enne vastavat võrrandit. 10
ax2 + bx + c > 0 või ax2 + bx + c < 0 või ax2 + bx + c 0 või ax2 + bx + c 0, kus a 0, b ja c on antud arvud ja tähega x on tähistatud tundmatut. Ruutvõrratuste lahendamine Ruutvõrratuste lahendihulgad leitakse funktsiooni y = ax2 + bx + c graafiku abil. Arutelu lihtsustamiseks on kasulik võrratust teisendada nii (vajadusel teguriga 1 korrutades), et pealiikme kordaja a > 0. Sel juhul avaneb funktsiooni graafikuks olev parabool alati ülespoole, mistõttu on vaja leida vaid ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendid ning läbi nende skitseerida graafik. Kui neid lahendeid pole, siis - võrratuse ax2 + bx + c > 0 (või 0) lahendihulgaks on hulk R - võrratuse ax2 + bx + c < 0 (või 0 ) lahendihulgaks on tühi hulk Näide 1 Näide Lahendame võrratuse 6 + x x2 < 0. Lahendus Korrutame selle võrratuse mõlemaid pooli arvuga 1, saame võrratuse x2 x 6 0
Funktsiooniks nimetatakse seost kahe muutuja vahel, kus ühe muutuja igale võimalikule väärtusele vastab teise suuruse üks kindel väärtus. · x ja y on muutujad · x on argument · y on funktsiooni väärtus · a on kordaja ehk mingi arv Argumenti + väärtuste hulka nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks, ning muutuja y vastavate väärtuste hulka funtsiooni väärtuste piirkonnaks. Määramispiirkond- x Väärtuste piirkond- y · Ruutfunktsiooni graafikuks on parabool. · Parabool on sümmeetriline y-telje suhtes. · Parabooli sümmeetriatelge nimetatakse parabooli teljeks. · Parabooli ja tema telje ühist punkti nimetatakse parabooli haripunktiks. Mida suurem on kordaja a absoluutväärtus, seda kitsam on parabool. Argumendi x neid väärtusi, mille korral funktsiooni väärtus on null, nimetatakse funktsiooni nullkohtadeks. Hulkliiget, mille liikmeteks on ruutliige, lineaarliige ning
8x3 + 36x2 + 54x + 27 316 8x3 + 12x2 6x 1 = 0 x2 + x 6 = 0 x1 = 0,5 + 2,5 = 2 x2 = 0,5 2,5 = 3 Kontroll: x1 = 2 vasak pool: (2 . 2 + 3)3 316 = 73 316 = 27 parem pool: (2 . 2 1)3 = 33 = 27 Vasak pool on võrdne parema poolega. x2 = 3 vasak pool: (2 . ( 3) + 3)3 316 = ( 3)3 316 = 343 parem pool: (2 . ( 3) 1)3 = ( 7)3 = 343 Vasak pool on võrdne parema poolega. Vastus: x1 = 2 ja x2 = 3 Ruutfunktsioon - Sissejuhatus ruutfunktsiooni Praeguseks momendiks peaksid tundma niisuguseid seosei muutujate x ja y vahel, nagu a võrdeline seos y = ax, pöördvõrdeline seos y ning lineaarseos ehk lineaarfunktsioon y = x ax + b. Kordame neid seoseid. Edasi vaatame ülesandeid. 1. Joonesta võrdelise seose y = 1,5x graafik ja leia selle abil muutuja y väärtused, kui x 2; 1; 0; 1; 2; 3 .
40 30 20 10 0 -6 -4 -2 0 2 4 6 -10 -20 -30 Koostas: -40 Ruutfunktsioonid · Ruutfunktsioon y = x² · Ruutfunktsioon y = ax² · Ruutfunktsioon y = ax² + c · Ruutfunktsioon y = ax² + bx · Ruutfunktsioon y = ax² + bx + c Ruutfunktsioon y = x² Ruutliikme kordaja on 1 30 y Graafikut nimetatakse 25 PÕHIPARABOOLIKS 20 Graafik avaneb ÜLES 15 Graafik on sümmeetriline Y - TELJE SUHTES 10 Nullkoht on punktis ( 0 ; 0 )
38. Nullvektor, vastandvektor, vektorite vahe · Hüperbool a 0 = ( 0;0 ) y= x a = ( x; y ) vas tan dvektor - a = ( - x;- y ) · Parabool a - b = ( x1 - x 2 ; y1 - y 2 ) y = ax 2 + bx + c 39. Vektori korrutamine arvuga Põhiparabool y=x 2 k a = ( kx; ky ) a? y=ax2 (ruutliikme kordaja) 40. Vektorite skalaarkorrutis
Kaht sirget, millel on ainult üks ühine punkt nimetatakse lõikuvateks sirgeteks. Mediaan on variatsioonirea keskmine liige. On ka kolmnurga. tippu vastasküljega keskpunktiga ühendav lõik. Naturaalarv on sõltuvalt kontekstist kas üks arvudest 1, 2, 3, ... ( ) või üks arvudest 0, 1, 2, 3, ... ( ). Kõikide naturaalarvude hulka tähistatakse sümboliga . Normaalkujuline ruutvõrrand on võrrand, kus on lineaarliige, ruutliige ja vabaliige. Nt. 2x² + 5x 6 = 0 Nullkoht on argumendi väärtus, mille korral funktsiooni väärtus on 0. (ehk siis x väärtus, mille korral y=0) Nurk on geomeetriline kujund, mille moodustavad kaks ühest ja samast punktist väljuvat kiirt koos tasandi osaga, mis jääb nende kiirte vahele. Paarisarv on täisarv, mis jagub kahega. Nt. (0), 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... Kahe paarisarvu liitmisel saadakse paarisarv, ning kahe paarisarvu korrutamisel saadakse samuti paarisarv. Nt
Funktsiooni y = 3x + 1 graafik ei läbi koordinaatide alguspunkti. Kui sirge läbib punkte (2; 2) ja (5; 2), siis see sirge on paralleelne x-teljega. Kui sirge läbib punkte (3; 4) ja (3; 2007), siis see sirge on risti x-teljega. Funktsiooni y = 4x + 2 graafik ei läbi punkti (2; 10). Parabooli joonestamiseks tuleb välja arvutada rohkem kui kahe punkti koordinaadid. Ruutfunktsiooni graafik läbib y-telge ühes punktis. Parabooli ja x-telje lõikepunktide x-koordinaate nimetatakse ruutfunktsiooni nullkohtadeks. Pöördvõrdelise seose graafik on hüperbool. Sõltuvuse y = 3 : x graafiku harud paiknevad esimeses ja kolmandas koordinaatveerandis. Pöördvõrdelise sõltuvuse y = a : x graafik ei läbi y-telge. Pöördvõrdelise sõltuvuse y = 5 : x graafiku harud paiknevad teises ja neljandas koordinaatveerandis. Funktsiooni y = ax² + bx + c graafik on parabool. Ruurfunktsiooni y = 2x² + 3x 5 nullkohtade leidmiseks lahendatakse ruutvõrrand 2x² + 3x 5 = 0.
51. Mittetäielik ruutvõrrand ruutvõrrand, mis esitub kas kujul ax2+c=0 või kujul ax2+bx=0 või hoopis kujul ax2=0. 52. Murdvõrrand võrrand, mis sisaldab tundmatut murru nimetajas. 53. Naturaalarvud loendamise teel saadud arvud 1, 2, 3, ... 54. Nullkoht argumendi väärtus, mille korral funktsiooni väärtus on null. 55. Ordinaattelg y telg 56. Paarisarv kahega jaguv täisarv. 57. Paaritu arv täisarv, mis ei jagu kahega . 58. Parabool ruutfunktsiooni graafik. 59. Paralleelsus erinevate sirgete omadus olla ühe ja sama sihiga. 60. Perioodiline kümnendmurd kümnendmurd, mille murdosa mingist kindlast kohast alates teatav numbrite rühm lõpmatult kordub. 61. Piirdenurk nurk ringjoone ühise otspunktiga kõõlude vahel. Piirdenurk võrdub poolega samale kaarele toetuvast kesknurgast. 62. Prisma hulktahukas, mille kaks tahku on vastavalt paralleelsete ja võrdsete
KESKKOOLI MATEMAATIKA RAUDVARA 1. osa Andres Haavasalu dikteeritud konspekti järgi koostanud Viljar Veidenberg. 2003. aasta 1 Sisukord Sisukord........................................................................................................................................2 Arvuhulgad............................................................................................................................... 5 Naturaalarvude hulk N..........................................................................................................5 Negatiivsete täisarvude hulk z ...........................................................................................5 Täisarvude hulk Z.................................................................................................................5 Murdarvu
x1 + x 2 x0 = 2 , kui A( x1 ; y1 ) , B( x 2 ; y 2 ) y1 + y 2 y0 = 2 · Ringjoon (x a)2 + (y b)2 = r2 Kui a = b = 0, siis x2 + y2 = r2 · Parabool y = ax2 + bx + c D = b2 4ac Kui a < 0 ja D > 0, siis avaneb parabool allapoole. Kui a > 0 ja D > 0, siis parabool avaneb ülespoole. 4. Funktsioonid ja nende graafikud Valemid · Võrdeline sõltuvus y = ax a · Pöördvõrdeline sõltuvus y= x Diferentseeruva funktsiooni uurimine
3. Vektor tasandil. Joone võrrand Põhiteadmised · Punkti koordinaadid; · vektor, vektori koordinaadid; · vektorite summa ja vahe; · vektori korrutamine arvuga; · kahe vektori skalaarkorrutis; · vektori pikkus ja nurk vektorite vahel; · vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tunnused; · joone võrrandi mõiste; · sirge võrrand tasandil; · kahe sirge vastastikused asendid; · ringjoone võrrand; · parabooli võrrand. Põhioskused · Tehete sooritamine vektoritega geomeetriliselt ja koordinaatkujul; · vektorite kasutamine geomeetriaülesannete lahendamisel; · sirge võrrandi koostamine, kui sirge on määratud punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga, kahe punktiga, punkti ja sihivektoriga; · sirge tõusu määramine; · kahe sirge vahelise nurga arvutamine; · ringjoone ja parabooli võrrandite koostamine;
Sirge ja tasand kui alamruumid Ruumi Rn ühe võrra madalamat alamruumi Rn_1 nimetatakse hüpertasandiks. Sirge R1 on ruumi R2 hüpertasand ja tasand R2 on ruumi R3 hüpertasand. II järku jooned. Teist järku joone saab esitada üldvõrrandiga Ax2 +Bxy+Cy2+Dx+E+F=0,kus vähemalt üks kordajatest A, B või C0. Kolmliiget Ax2 + Bxy+Cy2 nimetatakse ruutliikmeks. Teist järku joonteks on ringjoon (A=C ja B=0), ellips (A ja C on sama märgiga),hüperbool (A ja C on erimärgilised) ja parabool (ûks kordajatest A või C=0). II järku jooned. Ellips Def. Ellips on tasapinna R2 nende punktide hulk, millede jaoks kauguste summa kahest antud punktist F1 ja F2, mida nimetatakse fookusteks, on konstantne. x2/a2+y2/b2=1. Ellipsi omadusi: 1. a>c ja kuna a>0, võime oletada, et ka b>0 (pane tähele, et b2 = a2 -c2). 2. Ellipsi kõigis punktides on |x|a ja |y|b. 3. Võrrandi (12) põhjal on ellips sümmeetriline kõver ja ülaloleva joonise põhjal asub
· On sümmeetriline x-telje, y-telje ja koordinaatide alguspunkti suhtes. · Lõikab x-telge A1(-a,0) ja A2(a,0) · Ei lõiku y-teljega. · Assümtootideks nim sirgeid, millele hüperbool kulgemisel lõpmatusse piiramatult läheneb. Assümtoote on 2. . x=a, x=-a; y=-b, y=b. Hüperbooli ekstsentrilisus Risthüperbooliks nim hüperbooli, mille reaal-ja imaginaartelg on võrdsed a=b. 2a- reaaltelg (a-reaalpooltelg) 2b- imaginaartelg (b-imaginaarne pooltelg) Parabool Parabooliks nim tasandi nende punktide hulka, mille kaugus antud punktist ja antud sirgest on võrdne. Mainitud punkti nim parabooli fookuseks ja sirget parabooli juhtsirgeks. Fookuste kaugus juhtsirgest tähistatakse p ja nim parabooli parameetriks. F(0; p/2) fookuse koordinaadid y= -p/2 juhtsirge võrrand 2p- fokaallaius Paraboolil, mille sümmetriatelg on x-telg, mille haripunkt on punktis (0,0), mille juhtjooneks on x=-p/2 ja fookus punktis (p/2;0) on võrrandiks y2=2px.
Ruutfunktsioon Across 4. Ruutfunktsiooni graafikuks on joon, mida nimetatakse Parabooliks 6. c on ? Vabaliige 7. bx on Lineaarliige 8. Sümmeetriatelje ja parabooli ühist punkti nimetatakse Haripunktiks Down 1. funktsiooni, mis on esitatud ruutavaldisega nimetatakse Ruutfunktsiooniks 1. Parabool avaneb üles, kui kordaja a on Positiivne 2. Punkte x-teljel, kus parabool lõikab või puudutab x-telge nimetatakse nullkohtadeks 3. Parabool avaneb alla, kui kordaja a on Negatiivne MARI LIIS LEPPOJA
2.4 RUUTVÕRRATUS Ühe muutujaga ruutvõrratuse üldkuju on ax2 + bx + c > 0, kus a 0. Märgi > asemel võib võrratuses olla ka üks märkidest <, , . Ruutvõrratuse lahendamiseks 1) lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0; 2) skitseerime parabooli y = ax2 + bx + c; 3) leiame jooniselt, kus funktsiooni väärtused positiivsed, kus negatiivsed. Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafik on parabool. Kui a > 0, siis avaneb parabool ülespoole. Kui a < 0, siis avaneb parabool allapoole. Kui lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0, siis on kolm erinevat võimalust: A) Diskriminant D = b2 4ac > 0. Parabool lõikab sel juhul x telge kahes erinevas punktis. ax2 + bx + c > 0 L = ( ;x1) (x2; ) ax2 + bx + c >0 L = (x1; x2) 1 B) Kui diskriminant D = 0, siis on ruutvõrrandil kaks võrdset reaalarvulist lahendid
" Matemaatika/9kl/2006/07 õa/I/1 a2 = a a, kui a 0 RUUTFUNKTSIOON Arvuruutjuur. Korrutise a= 11. 14. 09. 06 JA RUUTVÕRRAND. ruutjuur. Jagatise ruutjuur. - a, kui a < 0 Selgitus. 1) lk 23 27, ül 101-103
PARABOOL Parabooliga puututakse kokku juba koolimatemaatikas. Joonistatakse graafikuid, mis avanevad üles- või allapoole, mille haripunkt on koordinaatide alguspunktis või mitte, mis lõikavad x-telge või mitte jne. Järgmine joonis kirjeldab, millise tasandiga tuleb koonust lõigata, et nende lõikejoon oleks parabool. Järgnevalt vaatleme, kuidas parabool defineeritakse. Tegeleme parabooli võrrandiga, mis erineb pisut koolimatemaatikas õpitust. Lisaks joonistame paraboole, mis võivad avaneda nii üles või alla kui ka vasakule või paremale. Esitatud on nii teooria kui näiteülesanded. Iseseisvalt on võimalik läbi lahendada harjutusülesandeid, kus tuleb siiski paber ja pliiats appi võtta. Arvuti teel saab lahendada testi, mis aitab parabooli võrrandist selgust luua. Parabool on joon, mille iga punkti X(x; y) kaugus ühest kindlast sirgest (juhtjoonest)
© Külli Nõmmiste Jõhvi Gümnaasium Võrre. Võrdeline jaotamine. Funktsioonid. · Pöördvõrdeline seos 1. Funktsioonid (seosed) a Pöördvõrdelise seose valem: y = ,a0 Funktsiooniks nimetatakse eeskirja, mis seob omavahel muutujad x ja y. x · Võrdeline seos Pöördvõrdelise seose puhul on muutujate x ja y korrutis jääv: xy = a. Võrdelise seose valem: y = ax , Pöördvõrdelise seose graafikuks on hüperbool:
! Negatiivsest arvust ei saa ruutjuurt võtta. Juure korrutis ab= a b Mittenegatiivsete arvude korrutise ruutjuur võrdub tegurite aritmeetilise ruutjuure korrutisega Jagatise ruutjuur a a = b b Positiivsete arvude jagatiste aritmeetiline ruutjuur võrdub nende arvude aritmeetiliste ruutjuurte jagatisega. Ruut võrrand Võrrandit ax²+bx+c=0, milles a, b ja c on antud arvud (a0) ja x on tundmatu, nimetatakse ruutvõrrandiks. ax² + bx + c = 0 a ruutliikme kordaja ax² ruutliige b lineaarliikme kordaja bx lineaarliige c vabaliige Valem. Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mida saab esitada kujul . Seejuures tähistavad a, b ja c reaalarvulisi kordajaid. Ruutvõrrandi lahendamiseks saab kasutada valemit . Kui a=1, on tegemist taandatud ruutvõrrandiga, kuid ka sellisel juhul on võimalik lahendeid leida
Raudvara VÕRDELINE JA PÖÖRDVÕRDELINE SEOS. LINEAARFUNKTSIOON 4.1 MIS ON FUNKTSIOON? Teise väärtuse üks kindel väärtus on finktsioon. Funktsioon (y) Muutujat, mille väärtuse järgi leitakse teise muutuja vastavaid väärtusi, nimetatakse argumendiks. Argument (x) Argumendi väärtuste järgi leitud teise muutuja vastavat väärtust nimetatakse finktsiooni väärtuseks. 4.2 VÕRDELINE SEOS. Kui vastavate väärtuste (muutujate) jagatis on jääv suurus, siis kaks muutujat on seoses ehk y = ax, a on väiksem kui null (a = 0), see tähendab et muutuja y on võrdeline muutujaga x (võrdeline seos). A on antud arv ehk võrdeline tegur. A on suurem kui null (a > 0). Ühe muutuja väärtuse suurenemisel (vähenemisel) mingi arv korda suureneb (väheneb) ka teise muutuja väärtus sama arv korda. 4.3 VÕRDELISE SEOSE GRAAFIK. Võrdelise seose graafik läbib alguspunkti 0 punkti. Kui a on suurem kui 0 (a>0), siis graafik asetseb esimeses ja kolman
funktsiooni väärtusi saab leida. Tähistatakse X.
y-väärtuste hulka nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks. Tähistatakse Y
Funktsiooni positiivsuspiirkonnaks nimetatakse nende väärtuste hulka, mille korral
funktsiooni väärtuste hulk on positiivne
Funktsiooni negatiivsuspiirkonnaks nimetatakse nende väärtuste hulka, mille korral
funktsiooni väärtuste hulk on negatiivne
+
X -positiivsuspiirkond
-
X -negatiivsuspiirkond
Parabooli haripunkti leidmine Xh=x1+x2/2, kui parabool ei lõiku x-teljega Xh=-b/2a
Kui x1
(vt näiteks [3], lk 209-214). Osutub, et kirjeldatud kõvertrapetsi pindala S on võrdne määratud integraaliga b S= f (x)dx. a Näide 4.3 Leida joontega y = x2 , y = 0, x = 0 ja x = 2 piiratud kõvertrapetsi pindala. Kuna vaadeldava funktsiooni graafikuks on ülespoole avanev parabool, mis puutub x-teljega koordinaatide alguspunktis, siis saame kõvertrapetsi pindala arvutada määratud integraaliga 2 x3 2 23 03 8 S= x2 dx = = - = . 0 3 0 3 3 3
Hüperbooli asümptoodiks nim sirget millele hüperbool kulgemisel lõpmatusse piiramatult läheneb. Risthüperbooliks ehk võrdhaarseks hüperbooliks nim hüperbooli mille reaal- ja imaginaartelg on võrdsed, (a=b). Siit järeldub, et risthüperbooli asümptoodid ristuvad. Parabool Parabooliks nim tasandi niisuguste punktide hulka mis asuvad võrdsel kaugusel antud punktist, mida nim fookuseks ja antud sirgest mida nim juhtjooneks. Fookuse kaugust juhtjoonest tähistatakse tähega p, mida nim parabooli parameetriks. x²=2py so parabooli kanooniline võrrand. Selle võrrandiga antud parabool on sümmeetriline y-telje suhtes ja tema tipp ehk haripunkt asetseb koordinaatide alguspunktis. Parabool võib olla sümmeetriline ka x-telje suhtes. Sel juhul asetseb parabooli fookus x-teljel ja juhtjoon on paralleelne y-teljega. y²=2px Maatriksid Ruutmaatriks ja ristkülikmaatriks Kui ühe ja sama vektori koordinaadid asetseksid ühes reas ning samanimelised koordinaadid
Teised lineaarvõrratused lahendatakse analoogselt. Kui a = 0 , siis saadakse arvvõrratus (see ei ole lineaarvõrratus). Tõese arvvõrratuse lahenditeks on kõik reaalarvud. Mittetõese arvvõrratuse puhul lahendid puuduvad. 2.11 Ruutvõrratus Ühe tundmatuga ruutvõrratuseks nimetatakse võrratust ax 2 + bx + c > 0 või ax 2 + bx + c < 0 ( ka 0 või 0 ). Näiteks ruutvõrratuse ax 2 + bx + c > 0 lahendamine tähendab vastava ruutfunktsiooni y = ax 2 + bx + c positiivsuspiirkonna leidmist. Olgu selle funktsiooni nullkohad ehk ruutvõrrandi ax 2 + bx + c = 0 lahendid x1 ja x 2 . Esineda võivad järgmised kolm juhtu. I. D>0 (D=b 2 - 4ac ) . Ruutvõrrandil on kaks erinevat lahendit x1 ja x 2 . Sõltuvalt ruutliikme kordaja a märgist on võrratusel ax 2 + bx + c > 0 järgmised lahendid: 12
A C 39. Sirge üldvõrrand Ax + By + C = 0, kus sirge tõus k = ja algordinaat b = B B 40. Sirge üldvõrrandi uurimine: a) C = 0 , sirge läbib koordinaatide alguspunkti Ax+By=0 b) B = 0 , sirge on paralleelne y teljega Ax+C=0 x=a c) A = 0 , sirge on paralleelne x teljega By+C=0 y=b d) B = C = 0 , y telje võrrand x=0 e) A = C = 0 , x telje võrrand y=0 2 x y b 41. Sirge võrrand telglõikudes + = 1 kus sirge tõus k = a b a
A C 39. Sirge üldvõrrand Ax + By + C = 0, kus sirge tõus k = ja algordinaat b = B B 40. Sirge üldvõrrandi uurimine: a) C = 0 , sirge läbib koordinaatide alguspunkti Ax+By=0 b) B = 0 , sirge on paralleelne y teljega Ax+C=0 x=a c) A = 0 , sirge on paralleelne x teljega By+C=0 y=b d) B = C = 0 , y telje võrrand x=0 e) A = C = 0 , x telje võrrand y=0 2 x y b 41. Sirge võrrand telglõikudes + = 1 kus sirge tõus k = a b a
annaabi.ee 
