docstxt/129544194986833.txt
40 -0,15 0,44 0,25 0,004 60 0,57 0,71 0,28 0,048 80 1,29 0,90 0,19 0,001 100 2,00 0,98 0,08 0,024 0,090 2 = 0,090 f = k h 1 = 5- 2- 1=2 2kr = 20.90(2) = 4.605 Kuna 2 < 2kr, siis võtame H0 vastu. 4.2 H0: põhikogumi jaotus on eksponentjaotus (parameetrit peab hindama valimi põhjal); H1: põhikogumi jaotus ei ole eksponentjaotus. Hindame parameetrit suurima tõepära meetodil. = N / xi = 0,0226 Nüüd saame määrata intervalidesse sattumise teoreetilised tõenäosused. Eksponentjaotus F(t) (t) 20 0,36 0,36 0,042 40 0,59 0,23 0,010 60 0,74 0,15 0,001
4 80 1,05 2 0,353 0,183 4,578 1,451 5 100 1,66 6 0,452 0,147 3,673 1,475 Summa: 25 25 3,683 ,68 Hüpotees vastu võetud, sest ehk 3,68 < 4,61. Tuleb järeldada, et üldkogumi jaotuseks on normaaljaotus. 4.2 Üldkogumi jaotuseks on eksponentjaotus 4 Keili Kajava k xm ni F0 pi 1 20 7 0,354 0,354 8,852 0,387 2 40 5 0,583 0,229 5,718 0,090 3 60 5 0,731 0,148 3,693 0,462 4 80 2 0,826 0,095 2,386 0,062 5 100 6 0,888 0,062 1,541 12,904
a+b dx -
Ühtlane jaotus X~U(a,b);EX= 2 ;P(
Kokku 25 23,49 6,31 vabadusastmete arv k = m – 1 – r = 5 – 1 – 2 = 2. (r = 2, sest normaaljaotusel on kaks parameetrit) Et hüpotees vastu võetaks peab χ²kr > χ², antud juhul 4,605 < 6,31 Seega peab hüpoteesi tagasi lükkama ning järeldama, et üldkogumi jaotuseks on mingi teine jaotus. 4.2. Põhikogumi jaotuseks on eksponentjaotus Eksponentjaotuse parameeter: k xm ni F0(m) pi 1 20 6 0,32 0,32 8,01 0,50 2 40 3 0,54 0,22 5,44 1,10 3 60 3 0,69 0,15 3,70 0,13 4 80 9 0,79 0,10 2,51 16,73
5 100 1,658 6 0,452 0,098 2,460 5,094 summa 25 25 6,772 vabadusastmete arv . (r = 2, sest normaaljaotusel on kaks parameetrit) Et hüpotees vastu võetaks peab seega hüpoteesi ei võeta vastu ning võib järeldada, et üldkogumi jaotuseks on mingi muu jaotus. 4.2 Põhikogumi jaotuseks on eksponentjaotus Eksponentjaotuse parameeter 1 20 7 0,354 0,354 8,852 0,387 2 40 5 0,583 0,229 5,718 0,090 3 60 5 0,731 0,148 3,693 0,462 4 80 2 0,826 0,095 2,386 0,062 5 100 6 0,888 0,062 1,541 12,904
summa 25 25 5,207 vabadusastmete arv k = m 1 r = 5 1 2 = 2. (r = 2, sest normaaljaotusel on kaks parameetrit) ( ) Et hüpotees vastu võetaks peab , kuid siin see nii ole. Seega peab hüpoteesi tagasi lükkama ning järeldama, et üldkogumi jaotuseks on mingi teine jaotus. 4.2 Põhikogumi jaotuseks on eksponentjaotus Eksponentjaotuse parameeter: 3 Arvutusgraafiline töö | Mihkel Heinmaa | ( )
5 100 4 1,897 0,9699 0,0830 2,075 1,785843 Kokku 25 24,248 3,287724 vabadusastmete arv k = m 1 r = 5 1 2 = 2. (r = 2, sest normaaljaotusel on kaks parameetrit) Et hüpotees vastu võetaks peab ²kr > ², antud juhul 4,605 > 3,288, seega hüpoteesi võib vastu võtta ning järeldada, et tegemist on normaaljaotusega. 4.2. Põhikogumi jaotuseks on eksponentjaotus Eksponentjaotuse parameeter: = = 0,022 k xm ni F0(m) pi 1 20 7 0,356 0,143 3,568 3,301 2 40 5 0,585 0,229 5,731 0,093 3 60 5 0,733 0,148 3,691 0,464
0,3152902 Kokku 25 24,16 24 vabadusastmete arv k = m 1 r = 5 1 2 = 2 (r = 2, sest normaaljaotusel on kaks parameetrit) Et hüpotees vastu võetaks peab ²kr>². Seega hüpotees võetakse vastu ning võib järeldada, et üldkogumi jaotus on normaaljaotus. 4.2 H0: põhikogumi jaotus on eksponentjaotus (parameetrit peab hindama valimi põhjal); H1: põhikogumi jaotus ei ole eksponentjaotus. Hindame parameetrit suurima tõepära meetodil. = N / xi = 0,02 k x* ni 0,000 1 20 5 0,351 0,351 8,784 1,630 2 40 6 0,579 0,228 5,698 0,016
100 7 1,7602 0,9608 0,1170 2,9250 5,6771 25 0,9608 9,4613 vabadusastmete arv k = m 1 r = 5 1 2 = 2 (r = 2, sest normaaljaotusel on kaks parameetrit) Et hüpotees vastu võetaks peab ²kr>². Seega hüpoteesi vastu ei võeta ning võib järeldada, et üldkogumi jaotus ei ole normaaljaotus. 4.2 Põhikogumi jaotuseks on eksponentjaotus (mille parameeter hinnatakse valimi järgi) (ni- k Xm ni F pi ni' ni')^2/n'i 0,31316 0,31316 1,8727280 1 20 4 2 2 7,82906 22 0,52825 0,21509 5,37729 0,3527677 2 40 4 4 2 3 24
4 80 1,05 2 0,353 0,183 4,578 1,451 5 100 1,66 6 0,452 0,147 3,673 1,475 Summa: 25 25 3,683 ,68 Hüpotees vastu võetud, sest ehk 3,68 < 4,61. Tuleb järeldada, et üldkogumi jaotuseks on normaaljaotus. 4.2 Üldkogumi jaotuseks on eksponentjaotus k xm ni F0 pi 1 20 7 0,354 0,354 8,852 0,387 2 40 5 0,583 0,229 5,718 0,090 3 60 5 0,731 0,148 3,693 0,462 4 80 2 0,826 0,095 2,386 0,062 5 100 6 0,888 0,062 1,541 12,904
vastandsündmuse tõenäosus sõltumatud statistiline tõenäosus, klassikaline tõenäosus, täielik süsteem teoreetiline tõenäosus, tinglik tõenäosus välistavad juhuslik suurus, jaotusfunktsioon pidev juhuslik suurus, jaotusseadus, jaotusfunktsioon keskväärtus diskreetne juhuslik suurus, dispersioon, integraal, mediaan, ülemine rada 19. 15, binoomjaotus, parameetrid, parameeter Test 6 pidev, diskreetne, poissoni jaotus, jaotusseadus jaotusseadus, eksponentjaotus normaaljaotus, normaaljaotus normaaljaotus negatiivne väärtus poissoni jaotus Test 7 kogum, klastervalik, kihtvalik, lihtne juhuvalik, süstemaatiline valik tõenäosuslik valikumeetod, empiiriline valik fikseeritud samm, süstemaatiline valik, punkthinnang nihketa, efektiivne, optimaalne keskväärtus, normaaljaotus, suur valim keskväärtuse standardviga standardhälve standardviga, keskväärtuse usalduspiirid valimvaatlus usaldatavus
25 1,00 100 1 0,4032 11,1682 3 Funktsiooni väärtuse kohal ti arvutan valemist (tähistan muutuja x- ga): 2 vabadusastmete arv on Exceli arvutuskeskkonnas: Kuna , siis lükatakse tagasi, st. Normaaljaotus ei sobi. 4.2 Põhikogumi jaotuseks on eksponentjaotus (parameeter tuleb hinnata valimi järgi) Arvutan eksponentjaotuse hinnangulise parameetri: N=25 Intervall m 0-20 0,29 4 7,25 1,459 20-40 0,21 5 5,15 0,004 40-60 0,15 1 3,66 1,929 60-80 0,10 7 2,59 7,480 20,59 80-100 0,07 8 1,84 1 25 31,46 4
1098 80-100 4 100 1,9334 0,9732 0,0825 2,0625 1.8201 25 24,33 3,7196 Funktsiooni väärtuse kohal ti arvutan valemist (tähistan muutuja x- ga): 2 vabadusastmete arv on Exceli arvutuskeskkonnas: Kuna . Seega võib hüpoteesi vastu võtta ning järeldada, et üldkogumi jaotuseks on normaaljaotus. 4.2 Põhikogumi jaotuseks on eksponentjaotus (parameeter tuleb hinnata valimi järgi) Arvutan eksponentjaotuse hinnangulise parameetri: N=25 Intervall m 0-20 0,763 7 7,25 7,6 1 459 71 20-40 0,491 4 5,15 5,5 4 874 01 40-60 0,316 6 3,66 0,4 5 622
1,26 2 = 1,26 Vabadusastmete arv f=k-h-1=5-2-1=2. h=2, sest jaotust hindavate parameetrite arv on kaks (keskväärtus ja dispersioon). Kriitiline kvantiili väärtus on 2kr (0,10;2)=4,605. Hüpotees võetakse vastu, kui 2 2kr, ning et 1,26<4,605, võtan nullhüpoteesi vastu. Üldkogumi jaotuseks on normaaljaotus. 4.2 põhikogumi jaotuseks on eksponentjaotus. Eksponentjaotuse parameeter: 1 1 = = = 0, 022 x 46, 2 Teststatistiku arvutamise valemid: k (nm - nm~ ) 2 = 2 m =1 nm~ nm~ = N pm~ pm~ = F0 (vm ) - F0 (vm-1 ) F0 (vm ) = 1 - e - xm k xm-1 xm nm F0(vm) F0(vm-1) p~m n~m
χ 2=11,646 χ2 vabadusastmete arv k = m – 1 – r = 5 – 1 – 2 = 2 (r = 2, sest normaaljaotusel on kaks parameetrit) 2 χ kr ( 0,10 ; 2 )=4,605 Et hüpotees vastu võetaks peab χ²kr>χ². Seega hüpotees on tagasi lükatud ning võib järeldada, et üldkogumi jaotus ei ole normaaljaotus. 4.2 põhikogumi jaotuseks on eksponentjaotus (mille parameeter λ hinnatakse valimi järgi) ^λ= 1 ´x = 0,02 k 2 ( n i−n`i ) χ =∑2 n`i= pi N pi=[ ( e−λ x ) −( e−λ x ) ] i i−1 i=1 n`i Interval ni pi n`i χ2 lm
0,03 0,06 0,09 H0:F(x,) F0(x,) 2 0,13 1- 0,9 0,16 k (intervallide arv) 5 0,2 h (hinnatavate param. arv) 2 hinnatavad parameetrid on ja 0,11 f (vabadusaste) 2 0,13 21-(f) 4,605 0,17 kriitiline kvantiili väärtus 2 > 4,605 0,12 H0 hüpotees vastuvõetud, sest 0,046 < 4,605 0,12 0,08 0,2 Eksponentjaotus F(t) (t) hii-ruut 20 0,36 0,36 0,043 40 0,60 0,23 0,004 60 0,74 0,15 0,203 80 0,84 0,09 0,047 100 0,90 0,06 0,007 0,304
5 100 1,826 3 0,466 0,092 2,3 0,222 Kokku 25 25,0 0,333 vabadusastmete arv k = m 1 r = 5 1 2 = 2. (r = 2, sest normaaljaotusel on kaks parameetrit) Et hüpotees vastu võetaks peab . Seega võib hüpoteesi vastu võtta ning järeldada, et üldkogumi jaotuseks on normaaljaotus. 4.2 Põhikogumi jaotuseks on eksponentjaotus Eksponentjaotuse parameeter: k xm ni F0(m) pi n' 1 20 5 0,351 0,351 8,784 1,630 2 40 6 0,579 0,228 5,698 0,016 3 60 6 0,727 0,148 3,696 1,437 4 80 5 0,823 0,096 2,397 2,826 5 100 3 0,885 0,062 1,555 1,343
Olulisemad pidevad jaotusseadused 1) Ühtlane jaotus: ühtlane jaotus tekib ülalt ja alt piiratud juhusliku suuruse korral, kui selle lubatud muutumisvahemiku sees kõik juhusliku suuruse väärtused on tekke mõttes samaväärsed. Jaotuse parameetriteks on juhusliku suuruse muutumisintervalli alumine piir a ja ülemine piir b: a X b, b>a. Oluline erijuhtum on ühtlane jaotus parameetritega a=0, b=1, mida nimetatakse standard- voi baasjaotuseks ja tähistatakse X~U(0,1). 2) Eksponentjaotus: Eksponentjaotus kirjeldab näiteks mingi sündmuse toimumisaja jaotust eeldusel, et sündmuse tekkimise jaoks kõik ajahetked on samaväärsed. Kasutatakse töökindlustehnikas, teenindussüsteemides. Jaotuse kirjeldamiseks kasutatakse tavaliselt ühe parameetriga mudelit, kus parameeter on sündmuste voo intensiivsusena/sagedusena. 3) Normaaljaotus: Normaaljaotus on domineerivalt kõige olulisem jaotus (nimetatakse ka Gaussi jaotuseks)
2 40 6 0,4 3 60 6 0,6 4 80 5 0,8 5 100 3 1 Eksponentjaotus Kokku 25 10,000 0,02500 8,000 0,02000 Column W 6,000 0,01500 Column Q
kontsentreeritud vasakul) või negatiivne või defineerimata. Sümmeetrilise jaotuse korral on asümmeetriakordaja 0 Ekstsess - liialdus; vahejuhtum. Stat järsakuskordaja, arv, mis kajastab juhusliku suuruse Xjaotuse erinevust normaaljaotusest. 16. Pidevad ja diskreetsed jaotused. Pidevad: 1) Normaaljaotus 2) X^2- jaotus 3) Empiiriline jaotus 4) Logaritmiline normaaljaotus 5) Gram-charlier normaaljaotus 6) Weibulli jaotusseadus 7) Eksponentjaotus 8) Gammajaotus 9) Beetajaotus 10) Studenti jaotus 11) F-jaotus Diskreetsed: 1) Binoomjaotus 2) Hüpergeomeetriline jaotus 3) Poissoni jaotus 4) Pascali jaotus 17. Mis on usaldusnivoo? Usaldusnivoo näitab tulemuse sattumise tõenäosust mingisse vahemikku. 18. Mis on usalduspiirid? usalduspiirid, usaldusvahemiku alumine ja ülemine otspunkt. Usalduspiirkond on valimi põhjal arvutatud piirkond, millesse
sõltumatud sündmused suht püsiva piisavalt väikese sagedusega. Kasutatakse teenindussüsteemide, töökindluse jm arvutamisel. Ühtlane jaotus (pidev) tekib ülalt ja alt piiratud juhusliku suuruse korral, kui selle lubatud muutumisvahemiku sees kõik juhusliku suuruse väärtused on tekke mõttes samaväärsed. Jaotuse parameetriteks on juhusliku suuruse muutumisintervalli alumine piir a ja ülemine piir b. Eksponentjaotus (pidev) kirjeldab mingi sündmuse toimumisaja jaotust eeldusel, et sündmuse tekkimise jaoks kõik ajahetked on samaväärsed. Kasutatakse töökindlustehnikas, teenindussüsteemides jm. Jaotuse kirjeldamiseks üks parameeter lambda, mis on sündmuste voo intensiivsus/sagedus. Normaaljaotus on esmajoones seotud keskse piirteoreemiga tõenäosusteoorias. Suvalise ühesuguse jaotusega sõltumatute juhuslike suuruste summa või keskväärtuse
(r = 2, sest normaaljaotusel on 2 kaks parameetrit). χ kr ( 0,10 ; 2 )=4,605 2 2 Et hüpotees vastu võetaks peab χ kr > χ . 4,605<9,35 Seega on hüpotees tagasi lükatud ning võib järeldada, et üldkogumi jaotuseks ei ole normaaljaotus, vaid mõni teine jaotus. 4.2 Põhikogumi jaotuseks eksponentjaotus 1 1 λ= = =0 , 0188 ´x 53,24 2 k ( ni−n'i ) χ =∑ 2 ' i=1 ni n'i=n∙ [ ( 1−e−λ x ) −( 1−e− λx ) ] m m−1 n'i=n∙ [ F 0 ( v i )−F 0 ( v i−1 ) ] ' ni=n∙ pi
xxxx Summa: 1,00 25 0,096 vabadusastmete arv f = k h 1 = 5 2 1 = 2. ( h = 2, kuna normaaljaotusel on kaks parameetrit ja ) Et nullhüpotees vastu võetaks peab . Seega võin nullhüpoteesi vastu võtta ning järeldada, et üldkogumi jaotuseks on normaaljaotus. 4.2 Põhikogumi jaotuseks on eksponentjaotus, mille parameeter on . Eksponentjaotuse parameeter: Vahemi Katsed k F0(m) ni pi ni' xm 1 20 0,351 5 0,351 8,784 1,630 2 40 0,579 6 0,228 5,698 0,016 3 60 0,727 6 0,148 3,696 1,437
0,0038 5 0,0025 Colum 4 3 2 1 0 0-20 20-40 40-60 60-80 80-100 Eksponentjaotus 10 0,0 9 0,0 8 0,0 7 6 0,0
085 12.355 9.521 2.73 2.08 13.13 14.75 ül. 5 5.1 Empiirilise jaotuse histogramm graafik 8 7 6 5 4 Empiiriline 3 2 1 0 20 40 60 80 100 5.3 hüpoteesile 4.2 vastava eksponentjaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi g Eksponentjaotus 9 0.0160 8 0.0140 7 0.0120 6 ni(exp) 0.0100 5 f(exp)
Empiirilise jaotuse saab anda vaid tabeli või diagrammina. Teoreetilised jaotused - Teatud teoreetilistest printsiipidest tuletatud jaotusseadus on teoreetiline jaotus. Diskreetse juhusliku suuruse korral: valem tõenäosuste leidmiseks. Pideva juhusliku suuruse korral: valem jaotustiheduse leidmiseks. Tuntakse üle 100 erineva teoreetilise jaotuse. Diskreetsed jaotused: ühtlane jaotus, Bernoulli jaotus, Binoomjaotus, Poissoni jaotus. Pidevad jaotused: ühtlane ehk ristkülikjaotus, eksponentjaotus, normaaljaotus, t-jaotus, F-jaotus, χ 2-jaotus(hii-ruut jaotus) 1. Juhusliku suuruse iseloomu ja empiirilise jaotuse järgi leitakse sobiv teoreetiline jaotus. 2. Vaatlusandmete põhjal leitakse teoreetilise jaotuse parameetrid. 3. Teoreetilist jaotust kasutatakse tõenäosuste arvutamisel. Seda, kas valitud teoreetiline jaotus sobib, saab testida jaotuse sobivuse χ 2 testiga. Binoomjaotus - Binoomjaotusega on tegemist, kui • katse tulemus võib olla positiivne või negatiivne;
kasutatav sellistes olukordades, kus juhuslikel ajahetkedel tekivad mingid sõltumatud sündmused suht püsiva piisavalt väikese sagedusega. Kasutatakse teenindussüsteemide, töökindluse jm arvutamisel. Ühtlane jaotus (pidev) tekib ülalt ja alt piiratud juhusliku suuruse korral, kui selle lubatud muutumisvahemiku sees kõik juhusliku suuruse väärtused on tekke mõttes samaväärsed. Jaotuse parameetriteks on juhusliku suuruse muutumisintervalli alumine piir a ja ülemine piir b. Eksponentjaotus (pidev) kirjeldab mingi sündmuse toimumisaja jaotust eeldusel, et sündmuse tekkimise jaoks kõik ajahetked on samaväärsed. Kasutatakse töökindlustehnikas, teenindussüsteemides jm. Jaotuse kirjeldamiseks üks parameeter lambda, mis on sündmuste voo intensiivsus/sagedus. Normaaljaotus on esmajoones seotud keskse piirteoreemiga tõenäosusteoorias. Suvalise ühesuguse jaotusega sõltumatute juhuslike suuruste summa või keskväärtuse jaotus läheneb liidetavate arvu
5 100 1,27 8 0,398 0,255 6,375 0,414 Kokku 25 25 5,207 vabadusastmete arv k = m 1 r = 5 1 2 = 2 (r = 2, sest normaaljaotusel on kaks parameetrit) Et hüpotees vastu võetaks peab ²kr>². Seega peab hüpoteesi tagasi lükkama ja järeldama, et üldkogumi jaotus ei ole normaaljaotus. 4.2 Põhikogumi jaotuseks on eksponentjaotus Eksponentjaotuse parameeter: k xm ni F0 pi ni' (ni-ni')2/ni' 1 20 4 0,290 0,290 7,254 1,459 2 40 5 0,496 0,206 5,149 0,004 3 60 1 0,642 0,146 3,655 1,929 4 80 7 0,746 0,104 2,595 7,480
( )( ) ( )= ∫ = |= = = ≥0 ( ) ( ) ( ) ( )= ( ) = 18. Eksponentjaotus. Definitsioon, keskväärtus, mediaan ja dispersioon Öeldakse, et juhuslik suurus X on eksponentjaotusega parameetriga ν > 0, kui 0, < 0 ( )= { , 0 Keskväärtus: ( ) = ∫ =[ ]= ( |+ ∫ )= ∫ = |= Mediaan: y = Medx F(y) = ½
40-60 60 8 7 4 5 0,014542 60-80 80 2 6 3 5 0,009042 80-100 100 7 4 2 5 0,003189 kokku 25 23 25 Eksponentjaotus 8 0,02 7 6 0,015 Column F 5 Column J
25,00 1,00 100,00 1,30 0,10 0,9608 24,0200 9,1734 ²=9,17 vabadusastmete arv k = m 1 r = 5 1 2 = 2 (r = 2, sest normaaljaotusel on kaks parameetrit) Et hüpotees vastu võetaks peab ²kr>². Selleks. Seega peab hüpoteesi tagasi lükkama ja järjeldama, et üldkogumi jaotus ei ole normaaljaotus. 4.2 pohikogumi jaotuseks on eksponentjaotus (mille parameeter hinnatakse valimi jargi Eksponentjaotuse parameeter: N=25 Intervall pi ni n'i Fo 020 0,2 2040 0,5118 4 12,795 6,045488 0,4
X2 -27,72787048 statistik Vabadusastmete arv k = m 1 r = 5 1 1 = 2 X2kr (0,1;2) = 4,605 Kuna kriitiline teststatistik on suurem kui teststatistik, siis peab hüpotees paika. 4.2 põhikogumi jaotuseks on eksponentjaotus (mille parameeter tuleb hinnata valimi järgi) k xm ni F0(m) pi ni' ((ni-n'i)2)/n'i 1 20,00 6,00 0,29 0,29 7,25 0,215517241 2 40,00 7,00 0,50 0,21 5,15 0,664563107 3 60,00 4,00 0,64 0,15 3,65 0,033561644 4 80,00 5,00 0,75 0,10 2,60 2,215384615
x 1 x b −a E ( X ) =∫ 2 dx= = = = a b−a b−a 3 3(b−a) 3(b−a) 3 ≥0 2 a2 +ab+ b2 a+ b 2 (a−b) D ( X )= 3 − 2 =( )12 17. Eksponentjaotus. Definitsioon, keskväärtus, mediaan ja dispersioon Öeldakse, et juhuslik suurus X on eksponentjaotusega parameetriga ν > 0, kui { f ( X )= 0, x< 0 ν e−νx , x ≥ 0 Keskväärtus: [ ] ∞ du=dx ∞ ∞ E ( X )=ν ∫ x e−νx dx= 0 u=x
-x µ Jaotusfunktsioon: F ( x) = 1 - e Ütleme, et juhuslik suurus X on eksponentjaotusega, kui tema jaotustihedus avaldub -x µ 1 1 -x f ( x ) = -e - = e µ µ µ kujul x 0; µ>0 Eksponentjaotus on määratud ühe parameetriga µ, mis on keskmine ajavahemik kahe järjestikuse sündmuse vahel. Keskväärtus: E(X)=µ + + 1 - xµ x=u dx = du Tõestus: E ( X ) = - xf ( x ) dx = 0 µx e dx = = - e - x µ = v 1 e - x µ dx = dv
annaabi.ee 
