arvväärtus. Suuruse tõeline väärtus on väärtus, mis on kooskõlas mõõdetava suuruse definitsiooniga. Et suuruse tõeline väärtus on enam-vähem samaväärne nagu absoluutne tõde, siis on see küllaltki asjatu mõiste. Sestap piisab mõistest suuruse väärtus, mida käsitletakse kui suuruse tõelise väärtusena. Suuruse leppeväärtus on suurusele omistatud väärtus, mida tunnustatakse kui väärtust, millel on kindlaks otstarbeks sobiv määramatus. Leppeväärtuseks on omistatud väärtus, määratakse erinevates laborites mõõtmisel saadud mõõtetulemuste aritmeetilise keskmise abil. 5. Mõõtühik, ühikute süsteem, põhi- ja tuletatud ühikud, süsteemne ja süsteemiväline ühik, kord- ja osaühik. Mõõtühik on konkreetne füüsikaline suurus, mis on määratletud ja mida leppeliselt kasutatakse võrdlemiseks ja kvantitatiivselt iseloomustamaks teisi sama liiki suurusi.
2. MÕÕTMISE JA MÕÕTESUURUSEGA SEOTUD MÕISTED Mõõtmine on praktiline tegevus, millega saadakse üks või mitu väärtust, mida saab põhjendatult omistada mõõdetavale objektile. - mõõtmine ei ole otseselt rakendatav kvalitatiivsete tunnuste korral; - mõõtmine tähendab suuruste võrdlemist, kuid hõlmab ka objektide loendamist; - mõõtmine eeldab, et mõõdetav parameeter on sobiv mõõtetulemuse kasutuseesmärgiga ning on olemas mõõteprotseduur ja kalibreeritud mõõtevahend ning kindlaksmääratud mõõtetingimused. - ainehulga mõõtmist, mille käigus määratakse uuritavas objektis ühe või mitme aine sisaldust,nimetatakse sageli keemiliseks analüüsiks. Suurus - nähtuse, keha või aine omadus, kus omadust saab väljendada arvuna ja referentsina. Mõõtesuurus - suurus (objekti parameeter), mida mõõdetakse - mõõtesuuruse kindlaksmääramiseks on vaja teada suuruse liiki ja nähtuse, suurust kandva keha või aine
.......................................... 6 1.2. Mõõtühikud ja nende süsteemid .......................................................................................... 6 1.3. Dimensioonvalem................................................................................................................ 8 1.4. Suured ja väikesed ühikud................................................................................................... 9 2. Tõeline väärtus ja mõõdis. Viga ja määramatus ........................................................................ 11 3. Mõõtetulemus kui juhuslik suurus ............................................................................................. 13 3.1. Histogramm ....................................................................................................................... 14 3.2. Dispersioon ja standardhälve............................................................................................. 16 3.3
areng viib mudeli üha sarnasemaks looduses tegelikult eksisteerivaga. (näiteks aatomi mudel, Päikesesüsteemi mudel, aine siseehituse mudel jne.) Küsimused selle osa kohta: Kirjelda loodusteaduslikku meetodit. Too näide. Miks füüsikas räägitakse tihti mudelitest, mitte tegelikust olemusest? Miks mudelitest tehtud järeldusi tuleb alati kontrollida katsetega? Milleni kontrolli tulemused võivad eri juhtudel viia? IV tund: Mõõtmine ja mõõtetulemus.________________________________________ Mõõtmine on mõõdetava suuruse arvväärtuse kindlakstegemine (8.kl.- keha omaduse või nähtuse võrdlemine samanimelise ühikuks võetud suurusega). Mõõtmine on menetluste kogum mõõtesuuruse väärtuse määramiseks mõõtevahendi abil; 1. Mida mõõdame? Kas kõik asjad on mõõdetavad?(füüsikas, keemias, psühholoogias, sotsioloogias) Mõõtmine algab mõõdetava suuruse määratlusega! (definitsioon) 2. Kas selline mõõtmine on teostatav?
A Osa · L - mõõtetulemuse aluseks on mõõteriista näidud L. K- kalibreerimistunnistuse parand READ - lugemi võtmine (ümardamine lähima täisjaotiseväärtuseni) PAR - mõõteliinide paralleelsus RECT - ristseis RS - baaspinna asend F - mõõtejõud T temperatuur RO pinnakaredus MAT materjal RE - mõõtmiste vähesed kordused Mudel üldkujul: - pinna hälve sirgjoonelisusest, STR = f(mõõtevahendi näit, faktorid) STR = f(faktorid)= f(Lmax Lmin; K; READ, PAR, RECT, RS, F; T, RO, RE)
TARTU ÜLIKOOL Tartu Ülikooli Teaduskool Veaarvutus ja määramatus Urmo Visk Tartu 2005 Sisukord 1 Tähistused 2 2 Sissejuhatus 3 3 Viga 4 3.1 Mõõteriistade vead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3
areng viib mudeli üha sarnasemaks looduses tegelikult eksisteerivaga. (näiteks aatomi mudel, Päikesesüsteemi mudel, aine siseehituse mudel jne.) Küsimused selle osa kohta: ● Kirjelda loodusteaduslikku meetodit. Too näide. ● Miks füüsikas räägitakse tihti mudelitest, mitte tegelikust olemusest? ● Miks mudelitest tehtud järeldusi tuleb alati kontrollida katsetega? Milleni kontrolli tulemused võivad eri juhtudel viia? Mõõtmine ja mõõtetulemus.________________________________________ Mõõtmine on mõõdetava suuruse arvväärtuse kindlakstegemine (8.kl.- keha omaduse või nähtuse võrdlemine samanimelise ühikuks võetud suurusega). Mõõtmine on menetluste kogum mõõtesuuruse väärtuse määramiseks mõõtevahendi abil; 1. Mida mõõdame? Kas kõik asjad on mõõdetavad?(füüsikas, keemias, psühholoogias, sotsioloogias) Mõõtmine algab mõõdetava suuruse määratlusega! (definitsioon) 2. Kas selline mõõtmine on teostatav?
Tunnustatakse alles siis, kui teoorikas püstitatud ennustused on eksperimentaalselt kinnitatud. 19. Mida nimetatakse füüsikaliseks suuruseks? Looduses üldisi mudeleid, mis kirjeldavad füüsikaliste objektide mõõdetavaid omadusi 20. Mida tähendab mõõtmine? Mingi füüsikalise suuruse konkreetse väärtuse võrdlemine sama suuruse teise, mõõtühikuks võetud väärtusega. 21. Milline on otsene ja milline kaudne mõõtmine? Kaudse mõõtmise korral mõõtetulemus leitakse arvutuste teel otsemõõdetud suuruste kaudu, otsese korral meid huvita füüsikalise suuruse väärtus on vahetult loetav mõõteriista skaalalt 22. Mis on hüpotees? Hüpotees on teaduslikult põhjendatud oletus 23. Mida nimetatakse vaatluseks ja mida eksperimendiks? Vaatlus-andmete kogumine ja tähelepanekute tegemine , eksperiment ehk katse on uurimismeetod, mille käigus kontrollitakse püstitatud hüpoteesi 24. Mis on mõõtühik? Füüsikalise suuruse väärtus 25
tõenäosusega, siis p(xi)=1/N kõikide sündmuste xi jaoks ning H=log2N=Hmax. See Hmax on maksimaalne
entroopia ehk info hulga ülempiir. P(xi) on aga tõenäosus, et süsteem asub seisundis xi. N on süsteemi
võimalike seisundite koguarv. Kui mõne teate tõenäosus peaks olema 1, siis H=0. Järelikult suurus H
näitab ka sündmuse esialgset määramatust ja seda nimetatakse juhusliku sündmuse entroopiaks, mille
kohta kehtib võrratus: 0
Teooria eksami probleemid I osa Tõenäosusteooria 1. Defineerige sündmuste algebra. Tooge vähemalt 2 sündmuste algebra mittetriviaalset näidet Klassi F0 nimetatakse sündmuste algebraks, kui: 1) ∅,Ω ∈ F0 (Ω < ∞; Ω – elementaarsündmuste ruum ehk hulk, mille elementideks on juhusliku katse kõikvõimalikud tulemused) 2) A ∈ F0 => Ā ∈ F0 3) A,B ∈ F0 => A + B ∈ F0 Nt: Ω = {1,2,3,4,5,6} a. F = {∅,Ω} b. A = {2,3,5}; F = {∅,Ω,A,Ā} c. F = {∅,Ω,{2,4,5},{5},{1,3,6},{1,2,3,4,6},{1,3,5,6}, {2,4}} 2. Tõenäosuse aksiomaatiline definitsioon. Tõestada aksioomide põhjal, et tühja hulga tõenäosus on null. Tuletada liitmislause 2 sündmuse (liidetava) puhul Kujutist P: F → [0;1] nimetatakse tõenäosuseks, kui: 1) P(Ω) = 1 2) AB = ∅ => P
MATEMAATILINE ANALÜÜS II Kood YMM0012 3,5 AP KORDAMISKÜSIMUSED 1. Mitme muutujaga funktsiooni mõiste m-muutuja funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse P igale väärtusele tema muutumispiirkonnast D vastavusse suuruse z ühe kindla väärtuse Mitmemuutuja funktsioon graafik Funktsiooni z=f(x1,x2,...,xm), määramispiirkonnaga D, graafikuks nimetatakse järgmist ruumi Rm+1 alamhulka ={(x1,x2,...,xm,f(x1,x2,...,xm))||P(x1,x2,...,xm)D} 2. Nivoojooned ja pinnad Kahemuutuja funktsiooni z=f(x,y) nivoojooneks nimetatakse joont, mille moodustavad piirkonna D punktid (x,y) mille korral f(x,y)=C, kus C on etteantud konstant Skalaarvälja f ehk funktsiooni f nivoopinnaks nimetatakse pinda, mis koosneb piirkonna D punktidest (x,y,z) mille korral f(x,y,z)=C, kus C on etteantud konstant. 3. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus ja pidevus Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtus m-muutuja funktsioonil f on piirväärtus b punktis A kui suvalises piirprotsessis PA, mis rahulda
Mitmemõõtmelise ruumi mõiste Def: On antud n reaalarvu x1...xn ja nende järjestatud jada (x1...xn)(-punkt) seda nim n- mõõtmelise ruumi punktiks. Rn={(x1,...,xn) | xi R, i=1,...,n}, P(x1,...,xn) punkt koordinaatidega xi n=1: R1={P(x1) | x1 R} geom. sirge n=2: R2={P(x1,x2) | x1,x2 R} geom. tasand n=3: R3={P(x1,x2,x3) | x1,x2,x3 R} geom. ruum Punkt A on piirkonna D sisepunkt, sel korral kui tal leidub ümbrus, mis sisaldub piirkonnas D. Punkt A on piirkonna D rajapunkt sel korral kui iga tema ümbrus sisaldab nii piirkonna D kui ka piirkonda mittekuuluvaid punkte. Piirkond D on lahtine, kui ta koosneb sisepunktidest. Piirkond D on kinnine, kui ta koosneb nii sise- kui ka rajapunktidest. Mitme muutuja funktsiooni mõiste Def: nMF f:RnR:P(x1,...,xn) Rn a w=f(P) f(x1,...,xn) R Kujutlus, mis seab n-mõõtmelise ruumi punktidele P vastavusse lõpliku reaalarvu w=f(P), nim n- muutuja funktsiooniks. Geom hüperpind n+1-mõõtmelises ruumis. Füüsikaliselt on nMF skalaarv�
Matemaatiline anal¨ uu¨ s II 1. osa 1) Mitmemõõtmelise ruumi ja selle punkti mõisted. Kaugus mitmemõõtmelises ruumis. Kauguse omadused. Parameetrilised jooned. Mitmem~ o~ otmelise ruumi definitsioon. Hulka, mille elementideks on k~oik m reaalarvust koosnevad j¨arjestatud s¨ usteemid (a1 , a2 , . . . , am ), nimetatakse m- m~o~ otmeliseks ruumiks, s¨ usteemi A = (a1 , a2 , . . . , am ) selle ruumi punktiks ja arve a1 , a2 , . . . , am punkti A koordinaatideks. m-m~ o~ otmelist ruumi t¨ahistame umboliga Rm . s¨ Ruumi Rm punkte A = (a1 , a2 , . . . , am ) ja B = (b1 , b2 , . . . , bm ) nimetatakse v~ ordseteks ja kirjutatakse A = B, kui nende koordinaadid on v~ordsed, st a1 = b1 , a2 = b2 , . . . , am = bm . Nullpunktiks ehk koordinaatide alguspunktiks ruumis Rm nimetatakse punkti O = (0, 0, . . . , 0). Kaugus ruumis Rm . Olgu ruumis Rm antud kaks punkti A = (a1 , a2 ,
Füüsikaline suurus on füüsikaliste objektide kirjeldus, mida saab arvuliselt väljendada 4. Millal hakatakse mingit teooriat lõppilkult tunnistama? Alles pärast seda, kuisama tulemuse on saanud paljud erinevad teadlased erinevates laborites üle kogu maailma. 5. Milline on otsene ja milline on kaudne mõõtmine? Otsene mõõtmine on mõõtmine, mille korral meid huvitab füüsikalise suuruse väärtus , ning on loetav mõõteriista skaalalt. Kaudne mõõtmine on mõõtmine, kus mõõtetulemus leidake arvulisel teel otsemõõdetud suuruse kaudu. 6. Mida tähendab mõõtmine? Mõõtmine on mingi füüsikalise suuruse konkreetse väärtuse võrdlemine sama auuruse teise, mõõtühikuks võetud väärtusega 7. Mida nimetatakse vaatluseks ja mida eksperimendiks? Vaatlus on meelelise info kogumine Eksperiment on see kus loodusnähtus kutsutakse kuntslikult esile, protsess toimub kontrollitavats tingimustes 8. Miks on vaja mõõtmise sealdusandlust? 9. Mis on hüpotees?
Füüsikaline suurus on füüsikaliste objektide kirjeldus, mida saab arvuliselt väljendada 4. Millal hakatakse mingit teooriat lõppilkult tunnistama? Alles pärast seda, kuisama tulemuse on saanud paljud erinevad teadlased erinevates laborites üle kogu maailma. 5. Milline on otsene ja milline on kaudne mõõtmine? Otsene mõõtmine on mõõtmine, mille korral meid huvitab füüsikalise suuruse väärtus , ning on loetav mõõteriista skaalalt. Kaudne mõõtmine on mõõtmine, kus mõõtetulemus leidake arvulisel teel otsemõõdetud suuruse kaudu. 6. Mida tähendab mõõtmine? Mõõtmine on mingi füüsikalise suuruse konkreetse väärtuse võrdlemine sama auuruse teise, mõõtühikuks võetud väärtusega 7. Mida nimetatakse vaatluseks ja mida eksperimendiks? Vaatlus on meelelise info kogumine Eksperiment on see kus loodusnähtus kutsutakse kuntslikult esile, protsess toimub kontrollitavats tingimustes 8. Miks on vaja mõõtmise sealdusandlust? 9. Mis on hüpotees?
Teooria eksami probleemid I osa Tõenäosusteooria 1. TT ja MatStat kui üksteise pöördteadused. Tõenäosusteooria on matemaatika osa, mis uurib juhuslike nähtuste üldisi seaduspärasusi sõltumatult nende nähtuste konkreetsetsest sisust ja annab meetodid nendele nähtustele mõjuvate juhuslike mõjude kvantitatiivseks hindamiseks. Juhuslikkusel põhinev lähenemine nõuab erilisi meetodeid, mida võimaldab tõenäosusteooria. Matemaatiline statistika on matemaatika osa, mis uurib statistiliste andmete kogumise, süstematiseerimise, töötlemise ja statistiliste järelduste tegemise meetodeid. Matemaatilise statistika eesmärgiks on statistiliste seaduspärasuste avastamine ja kirjeldamine. 2. Defineerige sündmuste algebra. Tooge vähemalt 2 sündmuste algebra mittetriviaalset näidet Sündmuste algebra koos tema määratud tõenäosusmõõduga moodustavad tõenäosusruumi. Mõnikord on kasulik sünd
A Osa · L - mõõtetulemuse aluseks on mõõteriista näidud L. K- kalibreerimistunnistuse parand READ - lugemi võtmine (ümardamine lähima täisjaotiseväärtuseni) PAR - mõõteliinide paralleelsus RECT - ristseis RS - baaspinna asend F - mõõtejõud T temperatuur RO pinnakaredus MAT materjal RE - mõõtmiste vähesed kordused Mudel üldkujul: - pinna hälve sirgjoonelisusest, STR = f(mõõtevahendi näit, faktorid)
Kogutud standardhälve annab üldiselt usaldusväärsema korduvuse hinnangu kui lihtsalt standardhälve. Seejuures võivad erinevad mõõteseeriad olla läbi viidud erinevate perioodidega ja neil võivad olla erinevad mõõteväärtused. Need mõõteväärtused peaksid aga olema sarnased, sest reeglina mõõtmise korduvus sõltub mõõteväärtusest. /27/30/ 21 4.9 Mõõtemääramatus Mõõtemääramatus e. Määramatus on mõõte- või analüüsitulemusele omistavate võimalike väärtuste hajusust iseloomustav parameeter. Määramatus on põhiline tulemuste usaldusväärsust iseloomustav parameeter. Mõõdis xi on üksikmõõtmisel saadud väärtus, näiteks mõõteriista näit ühekorsel lugemi võtmisel või ühe tiitrimise tulemus. Mõõteväärtuse parimaks hinnanguks normaaljaotusele alluvate xi puhul on nende mõõdiste aritmeetiline keskmine x.
1) Mitmemõõtmelise ruumi ja selle punkti mõisted. Kaugus mitmemõõtmelises ruumis. Kauguse omadused. Parameetrilised jooned. · Mitmemõõteliseks ruumiks nimetakse hulka , mille elementideks on kõik reaalarvust koosnevad järjestatud süsteemid ( a1, a2, ..., an). · Mitmemõõtmelise ruumi punktiks nim mitmemõõtmelise ruumi ( a1, a2, ..., an) süsteemi A=( a1, a2, ..., an). · Kaugus mitmemõõelises ruumis. Kui A=( a1, a2, ..., an) ja B=( b1, b2, ..., bn) siis |AB|= (a1-b1)+ (a2-b2)+ ...+ (an-bn) · Kauguste omadused: A=B siis ja ainult siis, kui |AB|=0 |AB|=|BA| |AB| |AC|+|CB| · Parameetrilised jooned ruumis Rm. Olgu lõigul [T1, T2] antud m funktsiooni x1 = 1(t), x2 = 2(t), . . . , xm = m(t). Vaatleme nende funktsioonidevõrranditest moodustatud süsteemi x1 = 1(t)
1) Mitmemõõtmelise ruumi ja selle punkti mõisted. Kaugus mitmemõõtmelises ruumis. Kauguse omadused. Parameetrilised jooned. · Mitmemõõteliseks ruumiks nimetakse hulka , mille elementideks on kõik reaalarvust koosnevad järjestatud süsteemid ( a1, a2, ..., an). · Mitmemõõtmelise ruumi punktiks nim mitmemõõtmelise ruumi ( a1, a2, ..., an) süsteemi A=( a1, a2, ..., an). · Kaugus mitmemõõelises ruumis. Kui A=( a1, a2, ..., an) ja B=( b1, b2, ..., bn) siis |AB|= (a1-b1)+ (a2-b2)+ ...+ (an-bn) · Kauguste omadused: A=B siis ja ainult siis, kui |AB|=0 |AB|=|BA| |AB| |AC|+|CB| · Parameetrilised jooned ruumis Rm. Olgu lõigul [T1, T2] antud m funktsiooni x1 = 1(t), x2 = 2(t), . . . , xm = m(t). Vaatleme nende funktsioonidevõrranditest moodustatud süsteemi x1 = 1(t)
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . .
minimeerimise mõttes. Mudeli analüüs 1)Katse dispersiooni leidmine (Sobivaimaks lähenemisviisiks väljundi y dispersiooni hindamiseks on enamasti eraldi korduskatsete seeria läbiviimine mingi suvalise, ent fikseeritud sisendi x väärtuse juures) 2) Mudeli parameetrite hinnangute ja mudeli väljundi prognoosi dispersioon ja usaldusvahemikud (põhinevad t-statistiku kasutamisel) 3) Mudeli liikmete olulisuse kontroll (kui tekib kahtlus, kas sisend X mõjutab väljundit Y, kas vabaliige b0 erineb nullist) 4) Mudeli adekvaatsuse kontroll (kontrollitakse, kas mudel tervikuna on katseandmetega kooskõlas, levinuim viis on adekvaatsustest, kus adekvaatsusdispersiooni võrreldakse väljund dispersiooniga vastava F-statistiku abil) 5) Jääkide analüüs. Lisamärkused (vahed katsest saadud väljundiväärtuste ja mudeli poolt prognoositud väärtuste vahel) Dispersioonanalüüs (ühe faktoriline)
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨ avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsio
SÜNDMUSE TÕENÄOSUS 1. Mis on sündmus tavaelus? 2. Mis on juhuslik sündmus? 3. Millisest aspektist me tahame sündmusi uurida? 4. Sündmuse matemaatiline definitsioon (elementaarsündmus, elementaarsündmuste ruum, sündmus). Elementaarsündmus on mingi vaadeldava protsessi või läbiviidava katse tulemus. Elementaarsündmuste ruumi moodustavad kõik elementaarsündmused ehk kõikvõimalike tulemuste hulk. Sündmuseks nimetatakse mingit suvalist elementaarsündmuste ruumi alamhulka. 5. Sündmuse toimumise kriteerium. Sündmuse toimumise juures on meile oluline vaid see, kas toimub või mitte. Sündmus toimub, kui toimub sündmust määravatest elementaarsündmustest üks. 6. Mitu erinevat sündmust saab moodustada n-elemendilise elementaarsündmuste ruumi põhjal? Tõesta! N-elemendilise elementaarsündmuste ruumi põhjal saab moodustada 2 n sündmust, mille hulka on arvestatud ka tühihulk. 7. Sündmuste liigitus (kindel, võimatu, vastandsündmus) Kind
1. MÕÕTMINE Mõõtmine on objektide võrdlemine - Korraga saab võrrelda ainult kaht objekti omavahel. Kui objekte palju, valitakse välja üks (etalon) ning teisi võrreldakse sellega. Otsene mõõtmine ja kaudne mõõtmine – otseste mõõtmiste kaudu Nimi- ehk nominaalskaala – objektide eristamiseks – sugu, rahvus, huvid, kaubakood, ettevõtte registrinumber Järjestusskaala – võimaldab objekte järjestada mingi tunnuse alusel – nt ettevõtted: väikesed, keskmised, suured – küsitlus: "poolt", pigem poolt kui vastu", "pigem vastu kui poolt", "vastu" – intervallid skaalajaotuste vahel pole võrdsed Intervallskaala – skaalajaotuste intervallid on võrdsed Vahemikskaala – nullpunkti asukoht kokkuleppeline – ajaskaala, Celsiuse skaala temperatuuri mõõtmiseks – võib leida vahesid, ei tohi leida suhteid Suhteskaala – nullpunkt fikseeritud absoluutselt – objekti pikkus, kaal, töötajate arv, käive, m
Mõõteriist. Mõõteandurid ja mõõturid. Mõõteriistade klassifikatsioon. Mõõtmine on füüsikalise suuruse kvantitatiivne võrdlemine mõõteseadme poolt reprodutseeritava mõõtühikuga. Mõõtmine võib olla otsene või kaudne. Otsesel mõõtmisel määratakse mõõdetava suuruse arvväärtus just selle füüsikalise suuruse mõõtmiseks valmistatud mõõtevahendi abil, kaudsel arvutatakse otsitav suurus mõõdetud otseste suuruste järgi. Mõõtevahend, mis näitab mõõdetava suuruse väärtust, on mõõteriist. Mõõteriist võib olla otselugemmõõteriist, mille lugemisseadis esitab mõõtetulemuse mõõdetava suuruse ühikutes, või võrdlusmõõteriist, mis hangib mõõtetulemuse mõõdetava suuruse mõõtudega võrdlemise teel (nt lauakaal vihtide komplektiga). Mõõteandur tajub oma tundliku elemendiga tajuriga mõõdetavat suurust ja muundab selle mõõteriistale arusaadavaks suuruseks
Mõõteriist. Mõõteandurid ja mõõturid. Mõõteriistade klassifikatsioon. Mõõtmine on füüsikalise suuruse kvantitatiivne võrdlemine mõõteseadme poolt reprodutseeritava mõõtühikuga. Mõõtmine võib olla otsene või kaudne. Otsesel mõõtmisel määratakse mõõdetava suuruse arvväärtus just selle füüsikalise suuruse mõõtmiseks valmistatud mõõtevahendi abil, kaudsel arvutatakse otsitav suurus mõõdetud otseste suuruste järgi. Mõõtevahend, mis näitab mõõdetava suuruse väärtust, on mõõteriist. Mõõteriist võib olla otselugemmõõteriist, mille lugemisseadis esitab mõõtetulemuse mõõdetava suuruse ühikutes, või võrdlusmõõteriist, mis hangib mõõtetulemuse mõõdetava suuruse mõõtudega võrdlemise teel (nt lauakaal vihtide komplektiga). Mõõteandur tajub oma tundliku elemendiga tajuriga mõõdetavat suurust ja muundab selle mõõteriistale arusaadavaks suuruseks
teljega
19. L'Hospitali reegel
Teoreem: olgu antud f-nid y=f(x) ja y=g(x)=>dif-vad piirkonnas D nii, et lim x->a
f(x)=0, limx->a g(x)=0 või limx->a f(x)= , limx->a g(x)= ja eksisteerib limx->a
f'(x)/g'(x)=> limx->a f(x)/g(x)= limx->a f'(x)/g'(x); 0/0, / *Nt limx->
x+sinx/x=1+0 =1, kui võtta nyyd tuletis siis, tuleb limx-> 1+cosx ->ei
eksisteeri. *Rakendamine: 1)määramatused 0/0, / on vaatluse all, siis
saab neid lahendada L'H reegli järgi 2) 0* määramatus, mille korral
vaatleme limx->a f(x)g(x)=?=>f(x)g(x)=f(x)/1/g(x) =g(x)/1/f(x)-> on vaja tuletada
mitmekordseid murrujooni) 3)määramatused 1 ;0 ; 0=> limx->a f(x)g(x)=eA
(A= limx->a ln f(x)g(x)= limx->ag(x)lnf(x)) 4) määramatused - => murru ühisele
nimetajale tuua
20.F-ni monotoonsus om ja ekstreemumid
F-n y=f(x) on piirkonnas D monotoonne parajasti siis, kui selles piirkonnas f-ni
muut säilitab märki y= f; f>0=f-ni väärtuste vahe f=f(x2)-f(x1), x1
Statistika teooria I 1. Kirjeldava statistika põhimõisted: aritmeetiline keskmine, mediaan, kvartiilid, mood, dispersioon, standardhälve, haare. Esitada definitsioonid ja osata antud andmeväärtuste puhul neid mõisteid rakendada N x + x 2 + ... + x N xi Aritmeetiline keskmine: µ = 1 = i =1 N N N-üldkogumi maht Aritmeetilise keskmise erijuht on kaalutud keskmine: N N N µ = 1 µ1 + 2 µ 2 + ... + m µ m N N N µ1, µ2,..., µm on m-rühma keskmised N1 N 2 N , ,..., m on nn kaalud N N N Mediaan: Kui N on paaritu, siis on mediaan järjestatud statistilise rea (variatsioonirea) keskmine liige; kui N on paarisarv, si
arvväärtuseks. • Mõõtühik on füüsikalise suuruse (nt pikkus) konkreetne väärtus, mida kokkuleppeliselt kasutatakse sama suuruse teiste väärtuste (nt pliiatsi pikkus) arvuliseks iseloomustamiseks. Otsene ja kaudne mõõtmine • Otsene on selline mõõtmine, mille korral meid huvitav füüsikalise suuruse väärtus on vahetult loetav mõõteriista skaalalt. • Kaudne on mõõtmine, mille korral mõõtetulemus leitakse arvutuste teel otsemõõdetud suuruste kaudu. Kokkuvõte ja Ülesanded • Mõõtmine- Mõõtmine on mingi füüsikalise suuruse konkreetse väärtuse võrdlemine sama suuruse teise, mõõtühikuks võetud väärtusega. Lühidalt: mõõtmine on võrdlemine mõõtühikuga. • Mõõtühik- Mõõtühik on füüsikalise suuruse konkreetne väärtus, mida kokkuleppeliselt kasutatakse sama suuruse teiste väärtuste arvuliseks iseloomustamiseks.
elanike arv. 7. DurbinWatsoni test. Kasut 1. järku autokorrelatsiooni avastamiseks. Kasut.tingimused: reg.mudel sisaldab vabaliiget. Mudel ei sisalda sõltuva muutuja viitajaga liikmeid (nt Yt1, Yt2) 8. Fiktiivne muutuja (dummy) iseloomustavaid binaarseid muutujaid. Binaarne muutuja nominaalsel tunnusel vaid 2 erinevat väärtust, näiteks abielus v vallaline. 9. Entroopia määramatus (Prognoosi entroopia E on see osa infost tuleviku kohta, mida olemasoleva lähteinfo põhjal ei olnud võimalik leida). 10. Heteroskedastiivsusega on tavaliselt tegemist siis: a) parameetrite hinnangud on lineaarsed nihketa hinnangud, kuid nad ei ole parimad, st nad ei ole vähima dispersiooniga b) standardvead ei ole korrektsed ja seega ei ole korrektsed ka parameetrite hinnangute
Matematiline analüüs l. Jaan Jaano 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suva
19.5. Milline järgnevatest mõõtmistulemustest on korrektselt väljendatud? A)10N, B)F 10N, C)S 20 10 2 Mm, D)V 3m 3 , E)V3mcm3 19.6. Klots riputatakse dünamomeetri otsa. Dünamomeeter näitab 3,6 N. Kui sama klotsi vedada dünamomeetri otsas ühtlaselt mööda horisontaalset pinda, näitab dünamomeeter 0,9 N. Arvutage hõõrdetegur. 13 20. P 20.1. Mõisted mõõtevahend, mõõteriist, mõõt. Tooge näiteid. Mõõtevahend- õõtmisel kasutatav normitud tehniline vahend, nt kaaluviht, nihkkaliiber Mõõteriist- on seade, mille ülesandeks on mingi füüsikalise suuruse võrdlemine mõõtühikuga, nt ampermeeter, voltmeeter Mõõt- Mõõt on keha või vahend mingi füüsikalise suuruse teatava suuruse taastekitamiseks. Niisiis joonlaud on pikkusmõõt, liiter on mahumõõt. 20.2. Otsene ja kaudne mõõtmine. Näited.
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
