Võrrandisüsteemide lahendamine 8.klass Võrrandisüsteemi lahendamine · On antud võrrandisüsteem. · Vali lahendusvõte · Liitmisvõte · Asendusvõte Liitmisvõte · Valin, millise liikme välja koondan · Liidan võrrandid · Leian x · Panen x väärtuse algvõrrandisse ja leian y · Kirjutan vastuse Asendusvõte · Avaldan x · Panen x väärtuse teise võrrandisse asemele · Leian y · Leian x · Kirjutan vastuse
murdvõrrand nimetaja ei võrdu nulliga! vajadusel leian ühise nimetaja kontroll! juurvõrrand võtan mõlemad pooled ruutu trigonomeetriline võrrand - logaritm eksponentfunktsioon ja eksponentvõrrandid 1. eksponentvõrrand 2. eksponentvõrrand 3. kolmeliikmeline eksponentvõrrand ehk logaritmfunktsioon ja logaritmvõrrand logaritmfunktsioon: logaritmvõrrandite lahendusvõtted: 1. potentseerimine 2. asendusvõte 3. logaritmi definitsiooni kasutamine võrrandisüsteem ja võrratussüsteem liitmis- või asendusvõte! GEOMEETRIA Tasandilised kujundid kolmnurk Heroni valem: r – siseringjoone raadius täisnurkne kolmnurk koosinusteoreem siinusteoreem R – ümberringjoone raadius ruut ristkülik rööpkülik trapets romb ringjoon, ring, sektor l – sektori kaare pikkus S – sektori pindala
Matemaatika konspekt I LIITMISVÕTE {2x + 3y = 12 {x -3y = -3 3x = 9 | : 3 x=3 3 3y = -3 -3y = -6 | :(-3) y=2 K: ... V: x = 3 y=2 ASENDUSVÕTE {y -2x = 1 => y = 1 + 2x {3x + y = 9 => 3x + 1 + 2x = 9 3x + 2x = 8 5x = 8 | : 5 x = 1,6 y = 1 + 2 x 1,6 y = 4,2 K: ... V: x = 1,6 y = 4,2 * ax2 + bx + c = 0 x1,2 = -b ± b2 -4 a c ---------------- 2xa * (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 * (a b)(a + b) = a2 b2 * (a + b)3 = a3 3a2b + 3ab2 + b3
Järeldus: Logaritmi ees oleva kordaja võib viia logaritmitava astendajaks (NB! Juhul kui logaritm ise pole mingis astmes). nlogab = logabn Logaritmvõrrandid Logaritmvõrrand on võrrand, kus otsitav asub logaritmitavad või logaritmialuses. Logaritmvõrrandi lahenduse osa on kontroll. Logaritmvõrrandite lahendusvõtted I Potentseerimine logab = logac b=c II Asendusvõte (e. ruutvõrrandile taandamine) Kasutan abitundmatut. Kontrolli teen ka ruutvõrrandile. Ruutvõrrandi võõrlahenditega logaritmvõrrandi kontrolli ei tee. III Logaritmi I definitsiooni kasutamine IV Logaritmi II definitsiooni kasutamine V Logaritmi reeglite ja omaduste kasutamine VI Üleminek uuele logaritmialusele VII Võrrandi mõlema poole logaritmimine
Millal on sirged ühtivad? a1/a2=b1/b2=c1/c2 1x+2y+3=0 2x+4y+6=0 1/2=2/4=3/6 Kuidas leida nurka sirgete Tan a=(k1 k2?/1+ k1· k2 vahel? Kuidas leida sirgete Lahendada süsteem sirge lõikepunkti? võrranditest(liitmisvõte, asendusvõte, determinantvõte) Milline on ristsirgete tõusude Tõusude korrutis = -1 -2x+2y+3=0 seos? 1x+4y+6=0 -2.·1=-1 Millised on paralleelsete sirgete võrdsed 6x+8y+1=0 tõusud? 3x+4y+4=0 6/3=8/4 1/4
· Positiivset arvu, mille ruut esineb tegurina ruutjuure märgi all, võib tuua tegurina juuremärgi ette; positiivset arvu, mis seisaab tegurina juuremärgi ees, võib viia ruutu tõstetult tegurina juuremärgi alla. nt: 2. Korrutamise ja tegurdamise abivalemid. ( a+b)2= a2+2ab+b2 ( a-b)2= a2-2ab+b2 ( a+b)(a-b)= a2-b2 3. Lineaarvõrrandite süsteemi lahendamine: Liitmisvõte Asendusvõte + 2y+3y=15 5y=15 -y = -3 Y=3 Y = 3 X=23 2x+3×3=5 X=6 2x= -4 X= -2 Vastus = Vastus = 4. Kolmnurga kesklõik, ümbermõõt ja pindala. · Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks. · Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest.
Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine · Lineaarvõrrandisüsteemi üldkuju a1 x + b1 y = c1 a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2 a2 x + b2 y = c2 · Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisvõtted 1. Asendusvõte 13 + 2 y = 9 x 7x = 3y 3y 7x = 3y x = 7 3 y 13 + 2 y = 9 7 27 y 13 + 2 y = 7 13 - y = -13 y = 7 7 3 7 x= =3 7 Kontroll : v1 = 13 + 2 7 = 13 + 14 = 27
Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2 Asendusvõte 13 + 2 y = 9 x 3y 7x = 3y x = 7 3y 13 + 2 y = 9 7 27 y 13 + 2 y = 7 7 91 = 27 y - 14 y 13 y = 91 :13 y=7 3 7 x= 7 x=3 K: v1 = 13 + 2 7 = 27 p1 = 9 3 = 27 v1 = p1 v2 = 7 3 = 21 p2 = 3 7 = 21 v2 = p2 x=3 V: y=7 Liitmisvõte 3x = 2 y + 1 3 2x = 3y + 4 (-2) 9x = 6 y + 3 -4 x = -6 y - 8 5 x = -5 : 5 x = -1 3 (-1) = 2 y + 1 2 y = -4 : 2 y = -2 K: v1 = 3 ( -1) = -3 p1 = 2 ( -2) + 1 = -3 v1 = p1 v2 = 2 ( -1) = -2 p2 = 3 ( -2) + 4 = -2 v2 = p2 x = -1 V: y = -2 Graafiline lahendamine x -1 x - 2y =1 y = 2 y - x = 1 y = x +1 y = x +1 x 0 2 y 1 3 y = 0,5 x - 0,5 x 3 5 y 1 2 x = -3 y = -2 K: v1 = -3 - 2...
Uued mõisted ja valemid Kahe tundmatuga lineaarvõrrand: 1) pooled vahetada- ei muutu ükski märk 2) „Iga roju oma koju“- üksikuid liikmeid võib viia ühelt võrdusmärgi poolt teisele, selle liikme ees olev märk muutub. 3) sarnased liikemd koondada. 4) korrutada või jagada võrrandi mõlemad pooled nullist erineva arvuga Kahe tundmatuga võrrandi normaalkuju on: esimesel kohal tähestikus eespool oleva tähega liige, teisel kohal tähestikus tagapool oleva tähega liige ja paremal pool võrdusmärki vabaliige. Muutuja avaldamine: 1) avaldatavat muutujat sisaldav liige või liikmed vasakule poole ja kõik ülejäänud paremale poole võrdusmärki. 2) Koonda, kui saab või tegurda. 3) Jagada avaldatava muutuja kordajaga Graafiline võte: 1)Võtan esimese võrrandi ja avaldan muutuja y. 2) Teen tabeli graafiku joonestamiseks 3) Võtan teise muutuja ja avaldan muutuja y ja teen tabeli. 4) joonistan sirged ühele ja samale koo...
Pöördmaat leidm- Ruutmaatriksil A= ||aij|| Rn×nleidub pöördm siis, kui tema detem ei =0 Ruutm nim regulaarseks, kui tema deter ei ole null. Vastasel juhul nim ruutm singulaarseks. Funkt nim eeskirja, mis seab sõltumatu muutuja igale väärtusele vastavusse sõltuva muutuja mingi ühe väärtuse. Argument-sõltumatu muutuja. Funkt väärtus-argumendi väärt järgi leitud sõltuva muutuja vastavad väärt. Paarisfunk-rahuldab tingimust f(x)=f(-x), sümmeetriline y-telje suhtes. Paaritu-f(-x)=-f(x), 0 punkti suhtes sümmeetr. Ühene f-1le värtusele vastavusse seatud 1 väärtus nt y=2x-3. Mitmene-vastavusse seatud mitu väärtust, nt 1, vahemik 1;-1, x-le vastab y! Tuletis-funkt kasvu ja argumendi kasvu suhte piirväärtus arg muudu lähenemisel 0le. Geogr tõlgendus-f graafikule punktis P tõmmatud puutuja tõus. Füüsikaline-diferentsiaal näitab kui pika vahemaa läbib liikuv objekt selle kiirusega aja jooksul;kiirus on muutuv suurus. Diferentsiaal-korrutist f'(x)x ...
12. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) Määramata integraali omadused: 1. 2. 3. 13. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel. Esitada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks (tuletada pole vaja). Asendusvõte määramata integraali avaldamisel Integraali avaldamisel asendusvõttega tehagse selle integraali all muutuja vahetus. 1. Valime mingi funktsiooni 2. Asendame integreerimise x järgi integreerimisega u järgi 3. Eeldades, et on üksühene ja diferentseeruv omab ta pöördfunktsiooni 4. Kirjutame funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena 5. Korrutame selle võrduse du-ga saame 6. Asendame x ja dx integraali all saame Ositi integreerimise valem
4.ptk Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteem 8.klass Õpitulemused Näited 1.Kahe tundmatuga lineaarvõrrand - Ül.908 normaalkuju ax+by=c, esimese tundmatuga lineaarliige ax, teise teise | 12 tundmatuga lineaarliige by ja vabaliige c; tähed a,b ja c tähistavad arve, need on laiendajad on 12;4;2;3 võrrandi kordajad; kahe tundmatuga võrrandil on samad põhiomadused, mis 48x-4(2x-5)=2(y+2)-3(2x-3y) ühe tundmatuga võrrandil 48x-8x+20=2y+4-6x+9y 48x-8x-2y+6x-9y=4-20 NB kaks kahe tundmatuga lineaarvõrrandit 46x-11y=-16 normaalkuju moodustavad lineaarvõrrandisüsteemi 2.Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi Ül.901 normaaalkuju - võrrand üldkujul ax+by=c 3x-5(3y-4)=-3(x-2)+6 kirjutatakse nii, et lineaarliikmed on 3x-15y+20=-3x+6+6 tähestikulises järjekorr...
k lim(1 + kx ) x = lim1 + = e km sin 2 x + cos 2 x = 1 cos 2 x - sin 2 x = cos 2 x x 0 1 x x 1 ( lim F x 2 , y 2 x , y 0 ) Asendusvõte: x = r cos y = r sin r 0 [0;2 ] . lim F ( x 2 ,y ) 2 Asendusvõte: x = r cos y = r sin r [0;2 ] . x , y Piirväärtus ei tohi sõltuda lähenemisteest (-st). Vastasel korral teda ei leidu. Kui on vaja tõestada, et antud piirväärtust ei leidu, siis piisab tõestusest, et ühte kindla lähenemisteega y = f ( x ) piirväärtust ei leidu
Uued mõisted · Asendusvõte 1. Avaldan ühest võrrandist ühe tundamatu 2. Asendan saadud avaldise teise võrrandisse avaldatud tundmati kohale 3. Lahendan saadud võrrandi 4. Asendan saadud tundmatu väärtuse ühte võrrandisse 5. Teen kontrolli esialgse võrrandi süsteemi põhjal 6. Kirjutan vastuse · Defineerimine ja tõestamine 1. Kaht sirget, millel on ainult üks ühine punkt nimetatakse lõikuvateks sirgeteks. 2
Õpilase individuaalne 1) ül 20, 21 5. 07. 09. 06 Kordamine Lineaarvõrrandid. töö KÜL 2) ül 27(26, 27, 42, 44, ) Asendusvõte. 1) ül 31, 33, 34 6. 07. 09. 06 Kordamine Võrrandisüsteemid. Õpilase individuaalne töö Liitmisvõte KÜL 2) ül 50 (1, 4, 11) 7. 11. 09
2. leida funktsiooni nullkohad X0 3. leida funktsiooni negatiivsuspiirkond X- ja positiivsuspiirkond X+ 4. leida funktsiooni ekstreemumkohad Xe ja ekstreemumid 5. leida kasvamispiirkond X ja kahanemispiirkond X 6. leida funktsiooni käänukohad Xk 7. leida kumeruspiirkond ja nõgususpiirkond 8. toetudes leitud andmetele, skitseerida funktsiooni graafik 15. Algfunktsioon ja määramata integraal 16. Määramata integraali omadused 17. Asendusvõte määramata integrali puhul. 18. Ositi integreerimine 19. Määratud integrali mõiste 20. Newton-Leibnizi valem 21. Määratud integrali omadused 22.Asendusvõte ja ositi integreerimine määratud integraali korral. 23. määratud integraali rakendusi: tasandilise kujundi pindala arvutamine, keha ruumala arvutamine. 24. differentsiaalvõrrandid. (DV). Lahendid, lahendite geomeetriline tõlgendus esimest järku DV korral.
Matemaatiline analüüs I (Vähendatud programmi teooria vastused) Lokaalse ekstreemumi mõiste. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ¨umbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat' lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f(x1) = 0. Rolle'i teoreem. Kui funktsioon f on lõigul [a, b] pidev, vahemikus (a, b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et f(c) = 0. Rolle'i teoreemil on lihtne g...
Matemaatika eksam 1. Tehted astmetega Sama alusega astmete korrutamiseks tuleb astmed liita. Sama alusega astmete jagamiseks tuleb astmed lahutada. Korrutise astendamiseks tuleb astendada kõik tegurid ja tulemused korrutada. Jagatuse astendamiseks tuleb astendada kõik tegurid ja tulemused jagada. Astme astendamiseks tuleb astmed korrutada. 2. Arvu standardkuju Arvu standardkuju on korrutis, mis koosneb ühe ja kümne vahel olevast tegusrist ja kümne mingist astmest. Näited. 7250 = 7,25 ∙ 10³; arvu tüvi on 7,25 ja arvu järk 10. 4000 = 4 ∙ 10³ 3. Korrutise ja jagatise astendamine, astme astendamine Mis tahes aluse nullis aste on 1. Negatiivse astendajaga aste on võrdne absoluutväärtuselt sama suure positiivse arvu astendajaga astme pöördväärtusega. Astme astendamiseks tuleb astmed korrutada. Sama alusega astmete korrutamiseks tuleb astmed liita. Sama alusega astmete jagamiseks tuleb astmed lahut...
26. Määratud integraali arvutamine Newton-Leibnizi valemi abil (valem). b ∫ f ( x ) dx=F ( b )−F (a) a 27. Määratud integraali omadused. a b 1) kui a>b, siis ∫ f ( x ) dx=−∫ f ( x) dx b a a 2) kui a=b, siis ∫ f ( x ) dx=0 a 28. Asendusvõte (kuidas valid uus muutuja?). 29. Ositi integreerimine määratud ja määramata integraalide puhul (valem, kuidas valida u ja dv?). 30. Esimest liiki päratud integraalid (lõpmatute rajadega integraalid) (definitsioon, kuidas arvutatakse). t Definitsioon: Kui ∫ f (x) dx eksisteerib iga arvu t≥a korral, siis a defineerime päratut integraali kui t lim ¿ t → ∞∫ f ( x ) dx
MLF 1121 Geofüüsikaline hüdrodünaamika (Matemaatika ülevaade I) Jüri Elken Kursuses vajalik matemaatika Lineaarne algebraliste võrrandite süsteem Olgu n tundmatuga m võrrandist koosnev süsteem a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = f 1 a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = f 2 ................................... a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = f m maatrikskujul AX = F , a11 a12 ... a1n a a 22 ... a 2 n kus A = 21 , ... ... ... ... a am2 ... a mn m1 x1 f1 x ...
1 ÜHE MUUTUJA FUNKTSIOON. TEMA MÄÄRAMISPIIRKOND DEFINITSIOON 1. Kui muutuja x igale väärtusele hulgast X on mingi eeskirja f abil vastavusse seatud lõplik reaalarv y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud FUNKTSIOON ja seda tähistatakse y = f(x). DEFINITSIOON 2. Muutuja x väärtuste hulka, mille puhul f(x) väärtus on lõplik, nimetatakse funktsiooni y = f(x) MÄÄRAMISPIIRKONNAKS. X = { x R; f(x) väärtus on lõplik}. PÕHILISED ELEMENTAARFUNKTSIOONID: 1. Astmefunktsioonid: y = x , Q; 2. Eksponentfunktsioonid: y = ax, a > 0, a 1; 3. Logaritmfunktsioonid: y = loga x, a > 0, a 1; 4. Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x; 5. Arkusfunktsioonid: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x. 2 LIITFUNKTSIOON DEFINITSIOON 1. Funktsiooni, mille argumendiks ei ole sõltumatu...
1. · Arvtelje mõiste Arvteljeks kutsume sirget, millel on positiivne suund, määratud nullpunkt ja pikkusühik. Arvteljega on võimalik seada vastavusse kõik reaalarvud, kus ühele reaalarvule vastab ainult üks arvtelje punkt. · Reaalarvu absoluutväärtus · Absoluutväärtuse omadused · Reaalarvu lõpmatuseks nimetame suvalist vahemikku (a-,a+), kus >0 on ümbruse raadius · Reaalarvu vasakpoolseks lõpmatuseks nimetame suvalist vahemikku (a-,a], kus >0 · Reaalarvu parempoolseks lõpmatuseks nimetame suvalist vahemikku [a, a+), kus >0 · Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetame hulka (M,), kus M>0 · Suuruse miinus lõpmatus ümbruses nimetame hulka (-,-M), kus M>0 · Hulka A nimetame tõkestatud hulgaks, kui A on määratud lõplikus vahemikus (a,b) 2. · Jääv suurus on suurus mille väärtus ei muutu · Muutuv suurus on suurus, millele võib omastada erinevaid väärtuseid ...
32. Määratud integraali omadused. 33. Määratud integraali arvutamine Newton-Leibnizi valemi abil (valem). NB! See teoreem annab integraalarvutuse ja diferentsiaalarvutuse vahelise seose. Väga tähtis seos. Näitab, et integreerimine ja diferentseerimine on teineteise pöördoperatsioonid. 𝑏 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝑎 34. Asendusvõte (kuidas valida uus muutuja, rajade vahetamine). 35. Ositi integreerimine määratud ja määramata integraalide puhul (valem, kuidas valida u ja dv?). Ositi integreerimise meetod võimaldab komplitseeritud integraali leidmist taandada lihtsama integraali leidmisele. Mõistlik on valida u-ks x, x-i aste või ln N: ∫ 𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 → 𝑥 = 𝑢, sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑣 36
Võrratus mida rahuldavad kaks funktsiooni laieneb ka nende funktsioonide integraalidele: Kui a b ja f(x) g(x) iga x [a;b] korral siis abf(x)dx abg(x)dx. Järgnev omadus kannab nimetust 9 integraali keskväärtusteoreem: 7. Lõigul [a,b] leidub vähemalt üks punkt c nii et: b b a f(x)dx = f(c) a dx = f(c) (b-a). 46. Muutuja vahetus määratud integraalis: Asendusvõte. Vaatleme määratud integraali abf(x)dx (5.15). Teeme integraali (5.15) all asenduse valides uueks muutujaks u, mis sõltub x-st järgmisel viisil: u = (x). Eeldame et on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame pöördfunktsiooni -ga. Siis x=(u) (5.16). Paneme kirja funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena: dx/du= '(u). Korrutades seda võrdust du-ga saame dx= '(u)du. (5.17). Kasutades valemeid (5.16) ja (5.17) saame integraali (5
Sisujuht 16. Esimest liiki katkevuspunkt - niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x a+ ja f( a- ) = lim f(x); x a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht, ................................................... 3 17. Teist liiki katkevuspunkt - arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x a - on lõpmatu või ei eksisteeri ............................................ 4 20. Diferentseeruv funktsioon - kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on aga diferentseeruv mingi piirkonna igas punktis, öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. ..................................... 4 1. Arvuhulgad: naturaal-, täis-, ratsionaal-, reaal- ja kompleksarvud. Nende omadused. ...............6 2. Reaalarvu absoluutväärt...
d.ii. Nüüd leiame konstandi väärtuse, mille tarvis paneme x võrduma a-ga. d.iii. Kuna vasak pool võrdub määratud integraali esimese omaduse põhjal nulliga saame kirjutada valemi niimoodi d.iv. Kui selles avaldises panna x võrduma b-ga saamegi valemi. 19. Kirjeldada asendusvõtet määratud integraali arvutamisel. Tuletada ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks. a. Asendusvõte: a.i. Teeme integraali all asenduse valides uueks muutujaks u, mis sõltub x-st järgmisel viisil: a.ii. eeldusel, et on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame tema pöördfunktsiooni -ga ehk . a.iii. Paneme kirja tuletise diferentsiaalide jagatisena a.iv. a.v. Korrutades seda du-ga saame a.vi
Matemaatiline analüüs 23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x suhtes, kui ∆x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu esitus: ∆y = f’(a)∆x + β , kus β = r(∆x)∆x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆ x suhtes, kui ∆ x läheneb nullile? (tõestada!). funktsiooni muut ∆y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f’(a)∆x ja teine on β. Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis ∆x → 0. Võrdleme neid suurusi ∆x suhtes. Esiteks, eelduse f’(a) 0 põhjal saame lim dy ∆x= lim f’(a)/∆x* ∆x= lim f’(a) = f(a) 0. ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 Teiseks kehtib lim β/ ∆x = lim r(∆x)∆x /∆x = lim r(∆x) = 0. ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui ∆x ja t...
Nii antud f-ni algf-ni, kui ka määramata integraali leidmist nim f-ni integreerimiseks. ; f ( x) dx =F(x) +C=> x-integreerimismuutuja; f(x)-int-tav f-n; f(x)dx-int-tav avaldis; C-int-mis konstant; F(x)-int-tava f-ni algf-n 25. Määramata int omadusi 1)[ f ( x) dx ]'=f(x)=>[ f ( x) dx ]'=[F(x)+C]'=F'(x)+0=f(x) 2) F ' ( x )dx =F(x) +C 3)k=const kf ( x )dx =k f ( x) dx konstandi võib tuua integraali ette 4) ( f ( x) ± g ( x))dx = f ( x)dx ± g ( x) dx 26. Asendusvõte määramata int-lis f ( x)dx => ei saa lah esimese kolme lause abil: x= (z) Asendus! Dx= '(z)dz = f (( z ))' ( z )dz = g ( z ) dz . *Millal ja kuidas rakendada: I asvõtet saab kasutada korrutise int-misel , siis kui üheks teguriks on liitf-n argumendiga, mille tuletis on teiseks teguriks: (( z ))' ( z ) dz =>x= (z) II vaja int-da f-ni: alati saab asendust kasutada lihtsustamiseks; f ( az +b) dz => x =az+b, dx =(az+b)dz , dx=adz=>dz=1/adx=> f (az +b)dz = f ( x)1 / adx =1 / a f ( x)dx
Kahe tundmatuga võrrandisüsteemi lahendusvõtted I Liitmisvõte Liitmisvõtte kasutamisel tuleb võrrandeid teisendada nii, et ühe tundmatu kordajateks võrrandites oleksid teineteise vastandarvud. Selleks korrutatakse võrrandi(te) pooli vastavalt valitud teguri(te)ga. Seejärel võrrandid liidetakse. Tulemuseks on ühe tundmatuga võrrand, millest leiame selle tundmatu väärtuse. Leitud väärtus asetatakse ühte antud võrrandeist ja lahendatakse see teise tundmatu suhtes. II Asendusvõte Võrrandisüsteemi lahendamine asendusvõttega seisneb järgnevas: 1) ühest võrrandist avaldatakse üks tundmatu teise kaudu; 2) leitud avaldis asetatakse teise võrrandisse; 3) lahendatakse saadud ühe tundmatuga võrrand; 4) teise tundmatu leidmiseks kasutatakse seda avaldist, millega tehti esialgne asendus. Kui võrrandisüsteemi lahendamisel mõlemad tundmatud kaovad ja tekib mingi
Matematiline analüüs l. Jaan Jaano 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks...
MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2016 KÄRBITUD loengukonspekt Marek Kolk ii Sisukord 0 Tähistused. Reaalarvud 1 0.1 Tähistused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 Kreeka tähestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Maatriksid ja determinandid 7 1.1 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tehted maatriksi...
II af x dx a f x dx 1 III f x dx Fx C f ax b dx a F ax b C Kehtib ka muutujate vahetuse valem e. asendusvõte f x x dx f t dt, kus t x ja ositi integreerimise valem udv uv vdu. Näide 11. 1 1 3 1 1. 2x 3 3 sin x 5 x dx 2 x3 1
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
