Võrrandisüsteemide lahendamine 8.klass Võrrandisüsteemi lahendamine · On antud võrrandisüsteem. · Vali lahendusvõte · Liitmisvõte · Asendusvõte Liitmisvõte · Valin, millise liikme välja koondan · Liidan võrrandid · Leian x · Panen x väärtuse algvõrrandisse ja leian y · Kirjutan vastuse Asendusvõte · Avaldan x · Panen x väärtuse teise võrrandisse asemele · Leian y · Leian x · Kirjutan vastuse
murdvõrrand nimetaja ei võrdu nulliga! vajadusel leian ühise nimetaja kontroll! juurvõrrand võtan mõlemad pooled ruutu trigonomeetriline võrrand - logaritm eksponentfunktsioon ja eksponentvõrrandid 1. eksponentvõrrand 2. eksponentvõrrand 3. kolmeliikmeline eksponentvõrrand ehk logaritmfunktsioon ja logaritmvõrrand logaritmfunktsioon: logaritmvõrrandite lahendusvõtted: 1. potentseerimine 2. asendusvõte 3. logaritmi definitsiooni kasutamine võrrandisüsteem ja võrratussüsteem liitmis- või asendusvõte! GEOMEETRIA Tasandilised kujundid kolmnurk Heroni valem: r – siseringjoone raadius täisnurkne kolmnurk koosinusteoreem siinusteoreem R – ümberringjoone raadius ruut ristkülik rööpkülik trapets romb ringjoon, ring, sektor l – sektori kaare pikkus S – sektori pindala
Matemaatika konspekt I LIITMISVÕTE {2x + 3y = 12 {x -3y = -3 3x = 9 | : 3 x=3 3 3y = -3 -3y = -6 | :(-3) y=2 K: ... V: x = 3 y=2 ASENDUSVÕTE {y -2x = 1 => y = 1 + 2x {3x + y = 9 => 3x + 1 + 2x = 9 3x + 2x = 8 5x = 8 | : 5 x = 1,6 y = 1 + 2 x 1,6 y = 4,2 K: ... V: x = 1,6 y = 4,2 * ax2 + bx + c = 0 x1,2 = -b ± b2 -4 a c ---------------- 2xa * (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 * (a b)(a + b) = a2 b2 * (a + b)3 = a3 3a2b + 3ab2 + b3
Järeldus: Logaritmi ees oleva kordaja võib viia logaritmitava astendajaks (NB! Juhul kui logaritm ise pole mingis astmes). nlogab = logabn Logaritmvõrrandid Logaritmvõrrand on võrrand, kus otsitav asub logaritmitavad või logaritmialuses. Logaritmvõrrandi lahenduse osa on kontroll. Logaritmvõrrandite lahendusvõtted I Potentseerimine logab = logac b=c II Asendusvõte (e. ruutvõrrandile taandamine) Kasutan abitundmatut. Kontrolli teen ka ruutvõrrandile. Ruutvõrrandi võõrlahenditega logaritmvõrrandi kontrolli ei tee. III Logaritmi I definitsiooni kasutamine IV Logaritmi II definitsiooni kasutamine V Logaritmi reeglite ja omaduste kasutamine VI Üleminek uuele logaritmialusele VII Võrrandi mõlema poole logaritmimine
Millal on sirged ühtivad? a1/a2=b1/b2=c1/c2 1x+2y+3=0 2x+4y+6=0 1/2=2/4=3/6 Kuidas leida nurka sirgete Tan a=(k1 k2?/1+ k1· k2 vahel? Kuidas leida sirgete Lahendada süsteem sirge lõikepunkti? võrranditest(liitmisvõte, asendusvõte, determinantvõte) Milline on ristsirgete tõusude Tõusude korrutis = -1 -2x+2y+3=0 seos? 1x+4y+6=0 -2.·1=-1 Millised on paralleelsete sirgete võrdsed 6x+8y+1=0 tõusud? 3x+4y+4=0 6/3=8/4 1/4
· Positiivset arvu, mille ruut esineb tegurina ruutjuure märgi all, võib tuua tegurina juuremärgi ette; positiivset arvu, mis seisaab tegurina juuremärgi ees, võib viia ruutu tõstetult tegurina juuremärgi alla. nt: 2. Korrutamise ja tegurdamise abivalemid. ( a+b)2= a2+2ab+b2 ( a-b)2= a2-2ab+b2 ( a+b)(a-b)= a2-b2 3. Lineaarvõrrandite süsteemi lahendamine: Liitmisvõte Asendusvõte + 2y+3y=15 5y=15 -y = -3 Y=3 Y = 3 X=23 2x+3×3=5 X=6 2x= -4 X= -2 Vastus = Vastus = 4. Kolmnurga kesklõik, ümbermõõt ja pindala. · Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks. · Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest.
Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine · Lineaarvõrrandisüsteemi üldkuju a1 x + b1 y = c1 a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2 a2 x + b2 y = c2 · Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisvõtted 1. Asendusvõte 13 + 2 y = 9 x 7x = 3y 3y 7x = 3y x = 7 3 y 13 + 2 y = 9 7 27 y 13 + 2 y = 7 13 - y = -13 y = 7 7 3 7 x= =3 7 Kontroll : v1 = 13 + 2 7 = 13 + 14 = 27
Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2 Asendusvõte 13 + 2 y = 9 x 3y 7x = 3y x = 7 3y 13 + 2 y = 9 7 27 y 13 + 2 y = 7 7 91 = 27 y - 14 y 13 y = 91 :13 y=7 3 7 x= 7 x=3 K: v1 = 13 + 2 7 = 27 p1 = 9 3 = 27 v1 = p1 v2 = 7 3 = 21 p2 = 3 7 = 21 v2 = p2 x=3 V: y=7 Liitmisvõte 3x = 2 y + 1 3 2x = 3y + 4 (-2) 9x = 6 y + 3 -4 x = -6 y - 8 5 x = -5 : 5 x = -1 3 (-1) = 2 y + 1 2 y = -4 : 2 y = -2 K: v1 = 3 ( -1) = -3
poole võrdusmärki. 2) Koonda, kui saab või tegurda. 3) Jagada avaldatava muutuja kordajaga Graafiline võte: 1)Võtan esimese võrrandi ja avaldan muutuja y. 2) Teen tabeli graafiku joonestamiseks 3) Võtan teise muutuja ja avaldan muutuja y ja teen tabeli. 4) joonistan sirged ühele ja samale koordinaatteljestikule nii, et tekib lõikepunkt,kui võimalik. 5) Võrrandisüsteemi lahendiks on lõikepunkti koordinaadid. Asendusvõte: 1) Valin millist muutujat avaldada (nt y) ja kumbast võrrandist. Kirjutan selle võrrandi uuesti välja. Soovitus: valida avaldamiseks see muutuja, mille kordaja on 1 või -1; 2 või -2; 4 või -4; 5 või -5; 8 või -8; 10 või -10. 2) Panen saadud y värtuse sellesse võrrandisse, millest ei avaldanud, saan x väärtuse. 3) Panen saadud x väärtuse y avaldisse ja avaldan y väärtuse. Defineerimine: Defineerimiseks nimetatakse mõistele selgituse andmist
Füüsikaline-diferentsiaal näitab kui pika vahemaa läbib liikuv objekt selle kiirusega aja jooksul;kiirus on muutuv suurus. Diferentsiaal-korrutist f'(x)x ja tähis sümboliga dy. L'Hospital-. Algfunkt-F(x) hulgas X, kui F'(x)=f(x) hulgas X. Määramata integraal-F(x) +C(suvaline konstant), tähistat . Omadused:, 2 funkt summa määramata integr=nende funkt määra. Integ summaga; kui a on konstant, saab selle integr märgi ette tuua;2 funkt vahe määramata integr=f määram integr vahega. Asendusvõte(määratud)-muutujavahetuse võte, on pidev ja integreeruv . Ositi-kasut, kus intregeeritavaks on . Määratud integ-lõigul , mis vastab argumendi muudule . Newton-Leibniz-vahelüli määratud ja määramata integr vahel. . Määratud om: sama määramataga, kui vahetada rajad, siis muutub märk vastupidiseks. Kujundi S-f(x)0 lõik, siiis trapets on ülalt piiratud joonega y=f(x), alt x-telg, vasak ja parem sirgega x=a,x=b, S= . Ruumala-vaja h, ristlõike S(x) lõikekoha x funkt.na V=
12. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) Määramata integraali omadused: 1. 2. 3. 13. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel. Esitada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks (tuletada pole vaja). Asendusvõte määramata integraali avaldamisel Integraali avaldamisel asendusvõttega tehagse selle integraali all muutuja vahetus. 1. Valime mingi funktsiooni 2. Asendame integreerimise x järgi integreerimisega u järgi 3. Eeldades, et on üksühene ja diferentseeruv omab ta pöördfunktsiooni 4. Kirjutame funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena 5. Korrutame selle võrduse du-ga saame 6. Asendame x ja dx integraali all saame Ositi integreerimise valem
930 lineaarvõrrandisüsteem - üldkuju Lahend tuleb leida antud jooniselt. a1x+b1y=c1 3x+y=4 a2x+b2y=c2 2x-y=1 a1,b1,c1,a2,b2,c2 antud arvud; Sirgete lõikepunkti koordinaadid on (1;1), leida võrranditele ühine lahend ehk seega võrrandisüsteemi lahend on x=1 süsteemi lahend; lahendusvõtted: y=1 1)liitmisvõte 2)asendusvõte 3)graafiliselt lahendamine NB lahendama saab hakata siis, kui süsteem on normaalkujul 10.Võrrandisüsteemi graafiline Ül.931 lahendamine - 3x+y=4 tuleb kujutada võrrandid graafiliselt ühes 2x-y=1 ja samas teljestikus; saadud sirgete ühiste Joonestan võrrandi järgi sirge, saan kaks punktide koordinaadid moodustavad sirget. NB ühe sirge joonestamisel on vaja
k lim(1 + kx ) x = lim1 + = e km sin 2 x + cos 2 x = 1 cos 2 x - sin 2 x = cos 2 x x 0 1 x x 1 ( lim F x 2 , y 2 x , y 0 ) Asendusvõte: x = r cos y = r sin r 0 [0;2 ] . lim F ( x 2 ,y ) 2 Asendusvõte: x = r cos y = r sin r [0;2 ] . x , y Piirväärtus ei tohi sõltuda lähenemisteest (-st). Vastasel korral teda ei leidu. Kui on vaja tõestada, et antud piirväärtust ei leidu, siis piisab tõestusest, et ühte kindla lähenemisteega y = f ( x ) piirväärtust ei leidu
Uued mõisted · Asendusvõte 1. Avaldan ühest võrrandist ühe tundamatu 2. Asendan saadud avaldise teise võrrandisse avaldatud tundmati kohale 3. Lahendan saadud võrrandi 4. Asendan saadud tundmatu väärtuse ühte võrrandisse 5. Teen kontrolli esialgse võrrandi süsteemi põhjal 6. Kirjutan vastuse · Defineerimine ja tõestamine 1. Kaht sirget, millel on ainult üks ühine punkt nimetatakse lõikuvateks sirgeteks. 2
Õpilase individuaalne 1) ül 20, 21 5. 07. 09. 06 Kordamine Lineaarvõrrandid. töö KÜL 2) ül 27(26, 27, 42, 44, ) Asendusvõte. 1) ül 31, 33, 34 6. 07. 09. 06 Kordamine Võrrandisüsteemid. Õpilase individuaalne töö Liitmisvõte KÜL 2) ül 50 (1, 4, 11) 7. 11. 09
2. leida funktsiooni nullkohad X0 3. leida funktsiooni negatiivsuspiirkond X- ja positiivsuspiirkond X+ 4. leida funktsiooni ekstreemumkohad Xe ja ekstreemumid 5. leida kasvamispiirkond X ja kahanemispiirkond X 6. leida funktsiooni käänukohad Xk 7. leida kumeruspiirkond ja nõgususpiirkond 8. toetudes leitud andmetele, skitseerida funktsiooni graafik 15. Algfunktsioon ja määramata integraal 16. Määramata integraali omadused 17. Asendusvõte määramata integrali puhul. 18. Ositi integreerimine 19. Määratud integrali mõiste 20. Newton-Leibnizi valem 21. Määratud integrali omadused 22.Asendusvõte ja ositi integreerimine määratud integraali korral. 23. määratud integraali rakendusi: tasandilise kujundi pindala arvutamine, keha ruumala arvutamine. 24. differentsiaalvõrrandid. (DV). Lahendid, lahendite geomeetriline tõlgendus esimest järku DV korral.
Määramata integraal ei ole ühene funktsioon. Iga x korral on tal lõpmatult palju erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitud konstandist C. Teisest küljest võib määramata integraali tõlgendada kui üheste funktsioonide parve y = F(x)+C, kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille jooned on üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil. Asendusvõte. Vaatleme määramata integraali f(x)dx . Integraali (5.2) avaldamisel asendusvõttega tehakse selle integraali all muutuja vahetus. Selleks valitakse mingi funktsioon u = (x) ja integreerimine muutuja x järgi asendatakse integreerimisega muutuja u järgi. Eeldame, et on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame funktsiooni pöördfunktsiooni -ga. Seega x = (u)
4. koondame sarnased liidetavad 5. leiame lahendi, jagades võrrandi mõlemat poolt tundmatu. Leitud lahendit tuleb osata vajadusel kontrollida. Näide 1. Lahendame võrrandi 2(2x - 5) = 20 - x Avame sulud 4x - 10 = 20 - x 4x + x = 20 + 10 5x = 30|: 5 x = 6. Selle võrrandi lahend on x = 6. 11. Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi lahendamine (Graafiline, liitmisvõte, asendusvõte) 12. Tekstülesannete lahendamine lineaarvõrrandsüsteemi abil. 13. Defineerimine ja algmõisted. Definitsioon on mõiste lühike ja täpne seletus. Mõisted, mida ei saa seletada nimetatakse algmõisteteks. Algmõisteid ei defineerita, vaid neile antakse nii täpne kirjeldus, kui see võimalik on ja tuuakse selgituseks näiteid 14. Teoreem ja aksioom. Eeldus ja väide. Pöördteoreem. Põhitõdesid, mida ei saa tõestada, nimetatakse aksioomideks.
26. Määratud integraali arvutamine Newton-Leibnizi valemi abil (valem). b ∫ f ( x ) dx=F ( b )−F (a) a 27. Määratud integraali omadused. a b 1) kui a>b, siis ∫ f ( x ) dx=−∫ f ( x) dx b a a 2) kui a=b, siis ∫ f ( x ) dx=0 a 28. Asendusvõte (kuidas valid uus muutuja?). 29. Ositi integreerimine määratud ja määramata integraalide puhul (valem, kuidas valida u ja dv?). 30. Esimest liiki päratud integraalid (lõpmatute rajadega integraalid) (definitsioon, kuidas arvutatakse). t Definitsioon: Kui ∫ f (x) dx eksisteerib iga arvu t≥a korral, siis a defineerime päratut integraali kui t lim ¿ t → ∞∫ f ( x ) dx
dny d d n -1 y d n -järku tuletis n = n -1 , kus on tuletise võtmise dx dx dx dx operaator . Määramata integraal Kui F ( x ) = f ( x ) , siis F ( x ) + C on funktsiooni f ( x ) määramata integraal f ( x )dx = F ( x ) + C . Asendusvõte ehk muutujate vahetus: kasutame integreerimismuutujat u = ( x ) , siis du = ( x ) dx f [( x )]( x )dx = f (u )du 1 1 1 1 Näide: cos ax dx = cos ax d ( ax ) = cos u du = sin u + C = sin ax + C . a a a a Määratud integraal Olgu lõik [a, b ] jagatud n osalõiguks a = x0 < x1 < ... < x n = b ning igas osalõigus i
1 ÜHE MUUTUJA FUNKTSIOON. TEMA MÄÄRAMISPIIRKOND DEFINITSIOON 1. Kui muutuja x igale väärtusele hulgast X on mingi eeskirja f abil vastavusse seatud lõplik reaalarv y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud FUNKTSIOON ja seda tähistatakse y = f(x). DEFINITSIOON 2. Muutuja x väärtuste hulka, mille puhul f(x) väärtus on lõplik, nimetatakse funktsiooni y = f(x) MÄÄRAMISPIIRKONNAKS. X = { x R; f(x) väärtus on lõplik}. PÕHILISED ELEMENTAARFUNKTSIOONID: 1. Astmefunktsioonid: y = x , Q; 2. Eksponentfunktsioonid: y = ax, a > 0, a 1; 3. Logaritmfunktsioonid: y = loga x, a > 0, a 1; 4. Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x; 5. Arkusfunktsioonid: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x. 2 LIITFUNKTSIOON DEFINITSIOON 1. Funktsiooni, mille argumendiks ei ole sõltumatu...
konstandist C. Teisalt võib tõlgendada integraali, kui üheste funktsioonide parve , kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon, kujutades seda funktsiooni xy-konrdinaadistikus saame joonteparve mille jooned on üksteisest tuletatavad y-telje paralleellükk abil. 34. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Määramata integraali omadused: 1. 2. 3. Tõestus Kasutades leiame seose 35. Asendusvõte määramata integraali avaldamisel Integraali avaldamisel asendusvõttega tehagse selle integraali all muutuja vahetus. 1. Valime mingi funktsiooni 2. Asendame integreerimise x järgi integreerimisega u järgi 3. Eeldades, et on üksühene ja diferentseeruv omab ta pöördfunktsiooni 4. Kirjutame funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena 5. Korrutame selle võrduse du-ga saame 6. Asendame x ja dx integraali all saame Ositi integreerimise valem
Määratud integraali omadused. 33. Määratud integraali arvutamine Newton-Leibnizi valemi abil (valem). NB! See teoreem annab integraalarvutuse ja diferentsiaalarvutuse vahelise seose. Väga tähtis seos. Näitab, et integreerimine ja diferentseerimine on teineteise pöördoperatsioonid. 𝑏 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝑎 34. Asendusvõte (kuidas valida uus muutuja, rajade vahetamine). 35. Ositi integreerimine määratud ja määramata integraalide puhul (valem, kuidas valida u ja dv?). Ositi integreerimise meetod võimaldab komplitseeritud integraali leidmist taandada lihtsama integraali leidmisele. Mõistlik on valida u-ks x, x-i aste või ln N: ∫ 𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 → 𝑥 = 𝑢, sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑣 36
Võrratus mida rahuldavad kaks funktsiooni laieneb ka nende funktsioonide integraalidele: Kui a b ja f(x) g(x) iga x [a;b] korral siis abf(x)dx abg(x)dx. Järgnev omadus kannab nimetust 9 integraali keskväärtusteoreem: 7. Lõigul [a,b] leidub vähemalt üks punkt c nii et: b b a f(x)dx = f(c) a dx = f(c) (b-a). 46. Muutuja vahetus määratud integraalis: Asendusvõte. Vaatleme määratud integraali abf(x)dx (5.15). Teeme integraali (5.15) all asenduse valides uueks muutujaks u, mis sõltub x-st järgmisel viisil: u = (x). Eeldame et on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame pöördfunktsiooni -ga. Siis x=(u) (5.16). Paneme kirja funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena: dx/du= '(u). Korrutades seda võrdust du-ga saame dx= '(u)du. (5.17). Kasutades valemeid (5.16) ja (5.17) saame integraali (5
..........................................21 31. Diferentseeruva funktsiooni kasvamis-, kahanemis-ja konstantsustingimused. ......................21 32. Funktsiooni ekstreemumite tarvilikud ja piisavad tingimused. ............................................... 22 33. Funktsiooni graafiku asümptoot, asümptootide liigid, teha selgitav joonis. ........................... 22 34. Määramata integraal, määramata integraali omadused, määramata integraali arvutusvõtted (ositi integreerimine ja asendusvõte). ............................................................................................23 35. Kirjeldada ratsionaalfunktsiooni integreerimist. ..................................................................... 23 36. Esimest ja teist liiki osamurrud. Tuletada valemid nende integreerimiseks. ...........................24 Osamurdude integreerimine...........................................................................................................24 37
d.ii. Nüüd leiame konstandi väärtuse, mille tarvis paneme x võrduma a-ga. d.iii. Kuna vasak pool võrdub määratud integraali esimese omaduse põhjal nulliga saame kirjutada valemi niimoodi d.iv. Kui selles avaldises panna x võrduma b-ga saamegi valemi. 19. Kirjeldada asendusvõtet määratud integraali arvutamisel. Tuletada ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks. a. Asendusvõte: a.i. Teeme integraali all asenduse valides uueks muutujaks u, mis sõltub x-st järgmisel viisil: a.ii. eeldusel, et on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame tema pöördfunktsiooni -ga ehk . a.iii. Paneme kirja tuletise diferentsiaalide jagatisena a.iv. a.v. Korrutades seda du-ga saame a.vi
25) muutuja x võrduma a-ga. Saame võrduse Z a a f(t)dt = F(a) + C , mille vasak pool võrdub nulliga määratud integraali omaduse 1 põhjal (vt §5.7). Seega, 0 = F(a) + C, millest tuletame valemi C = −F(a) konstandi C jaoks. Nüüd saame kirjutada võrduse (5.25) kujul Z x a f(t)dt = F(x) − F(a). Pannes selles avaldises muutuja x võrduma arvuga b, jõuamegi Newton-Leibnitzi valemini.Teoreem on tõestatud. 41. Kirjeldada asendusvõtet määratud integraali arvutamisel. Asendusvõte. Vaatleme määratud integraali Z b a f(x)dx . (5.26) Teeme integraali all asenduse valides uueks muutujaks u, mis sõltub x-st järgmisel viisil: u = ϕ(x). Eeldame, et ϕ on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame ϕ pöördfunktsiooni ψ-ga. Siis x = ψ(u). (5.27) Paneme kirja funktsiooni ψ tuletise diferentsiaalide jagatisena: dx du = ψ 0 (u). Korrutades seda võrdust du-ga saame dx = ψ 0 (u)du . (5.28) Kasutades valemeid (5.27) ja (5.28) saame integraali (5
Nii antud f-ni algf-ni, kui ka määramata integraali leidmist nim f-ni integreerimiseks. ; f ( x) dx =F(x) +C=> x-integreerimismuutuja; f(x)-int-tav f-n; f(x)dx-int-tav avaldis; C-int-mis konstant; F(x)-int-tava f-ni algf-n 25. Määramata int omadusi 1)[ f ( x) dx ]'=f(x)=>[ f ( x) dx ]'=[F(x)+C]'=F'(x)+0=f(x) 2) F ' ( x )dx =F(x) +C 3)k=const kf ( x )dx =k f ( x) dx konstandi võib tuua integraali ette 4) ( f ( x) ± g ( x))dx = f ( x)dx ± g ( x) dx 26. Asendusvõte määramata int-lis f ( x)dx => ei saa lah esimese kolme lause abil: x= (z) Asendus! Dx= '(z)dz = f (( z ))' ( z )dz = g ( z ) dz . *Millal ja kuidas rakendada: I asvõtet saab kasutada korrutise int-misel , siis kui üheks teguriks on liitf-n argumendiga, mille tuletis on teiseks teguriks: (( z ))' ( z ) dz =>x= (z) II vaja int-da f-ni: alati saab asendust kasutada lihtsustamiseks; f ( az +b) dz => x =az+b, dx =(az+b)dz , dx=adz=>dz=1/adx=>
Kahe tundmatuga võrrandisüsteemi lahendusvõtted I Liitmisvõte Liitmisvõtte kasutamisel tuleb võrrandeid teisendada nii, et ühe tundmatu kordajateks võrrandites oleksid teineteise vastandarvud. Selleks korrutatakse võrrandi(te) pooli vastavalt valitud teguri(te)ga. Seejärel võrrandid liidetakse. Tulemuseks on ühe tundmatuga võrrand, millest leiame selle tundmatu väärtuse. Leitud väärtus asetatakse ühte antud võrrandeist ja lahendatakse see teise tundmatu suhtes. II Asendusvõte Võrrandisüsteemi lahendamine asendusvõttega seisneb järgnevas: 1) ühest võrrandist avaldatakse üks tundmatu teise kaudu; 2) leitud avaldis asetatakse teise võrrandisse; 3) lahendatakse saadud ühe tundmatuga võrrand; 4) teise tundmatu leidmiseks kasutatakse seda avaldist, millega tehti esialgne asendus. Kui võrrandisüsteemi lahendamisel mõlemad tundmatud kaovad ja tekib mingi
11). Olgu M suurim v.a.artus ja m vähim v.a.artus. Siis kehtivad iga x [a, b] korral võrratused m f(x) M. Määratud integraali omaduse 6 põhjal 40. Teoreem muutuva ulemise rajaga integraalist koos toestusega. Newton-Leibnitzi valem. Valemi toestus. Teoreem 5.4 (Newton-Leibnitzi valem). Kui F on pideva funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a, b], siis kehtib valem 41. Kirjeldada asendusvotet maaratud integraali arvutamisel. Asendusvõte. Vaatleme määratud integraali Teeme integraali all asenduse valides uueks muutujaks u, mis sõltub x-st järgmisel viisil: u = (x). Eeldame, et on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame pöördfunktsiooni -ga. Siis x = (u). Paneme kirja funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena: dx/du =(u). Korrutades seda värdust du-ga same dx = (u)du . Kasutades valemeid (5.27) ja (5.28) saame integraali (5.26) all suurused x ja dx asendada vastavate u-st sõltuvate suurustega
Määratud integraal 10.1 Newton'i-Leibniz'i valem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 10.2 Integraalarvutuse keskväärtusteoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 10.3 Määratud integraal ülemise raja funktsioonina . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Kontrolltöö teemad 1. Newton'i-Leibniz'i valemi kasutamine. 2. Funktsiooni keskmise väärtuse leidmine. 3. Määratud integraali arvutamine (asendusvõte, ositi integreerimine, sümmeetrilised rajad, ab- soluutväärtus). Eksamiteemad 1. Newton'i-Leibniz'i valem (teoreem 10.1) (koos tõestusega). 2. Integraalarvutuse keskväärtusteoreem (teoreem 10.2). 3. Määratud integraali arvutamine (asendusvõte, ositi integreerimine, sümmeetrilised rajad, ab- soluutväärtus). 4. Matemaatilise analüüsi põhiteoreem (koos tõestusega).
II af x dx a f x dx 1 III f x dx Fx C f ax b dx a F ax b C Kehtib ka muutujate vahetuse valem e. asendusvõte f x x dx f t dt, kus t x ja ositi integreerimise valem udv uv vdu. Näide 11. 1 1 3 1 1. 2x 3 3 sin x 5 x dx 2 x3 1
annaabi.ee 
