Suured arvud Sissejuhatus Selles uurimustöös räägin siis mida nimetatakse suurteks arvudeks, kuidas neid tähistatakse, kus neid kasutatakse, mis on gugol? Mida tähendab lõpmatus? Mis on suured arvud? Suurteks arvudeks loetakse arve, millel on järke palju ja neid kirjutatakse tavaliselt kas arvu astmena või arvu standardkujul. Suuri arve ei kirjutata pikalt välja, sest nii on neid tülikam kirjutada ja lugeda. Lihtsustamiseks kasutatakse astmeid. Kus kasutatakse suuri arve? Suuri arve kasutatakse näiteks väikeste esemete loendamisel, maa ümbermõõdu, massi arvutamisel, suurte vahemaade mõõtmisel, pindalade leidmisel, valguskiiruse arvutamisel jne.
Doktorits testas algebra phiteoreemi. Vhimruutude meetodi phjal tuletas ta ,,Gaussi meetodi" taevakehade trajektooride kindlaks tegemiseks. Seda meetodit kasutatakse siiani satelliitide jlgimisel. Aastatel 1802 ja 1809 kandideeris Gauss ka Tartu likooli professoriks. Tulemuste eest astronoomias mrati Gauss 1807 Gttingeni observatooriumi direktoriks. 1827 ilmunud t pani aluse diferentsiaalgeomeetriale. Gaussi kvera nime kannab normaaljaotuse kver. Kompleksarve nimetatakse ka vahel Gaussi arvudeks. Gaussi meetodi nime kannab meetod lineaarvrrandissteemide lahendamiseks. Arvuteoorias tegeles algjuurte ja algarvudega. Testas ruutvastavuse teoreemi. Aastal 1802 ilmunud ts vttis esmakordselt kasutusele miste ,,determinant", mis temal thistas ruutvrrandi diskriminanti. Gaussi pilastest on tuntuimad Dedekind ja Riemann.
10100101 : 1011 1100101000,01001 : 10111000,11 Kontrollida tulemust korrutamise teel. 5. Teisenda järgmised arvud kümnendsüsteemist kahendsüsteemi: 235 256 95 500 127 309 6. Teisenda järgmised kahendsüsteemi arvud kümnendsüsteemi arvudeks: 10111011 100000010 110100101,1 10111000100110 101011100101101 11111111 Nagu eespool mainitud, kasutatakse elektronarvutites laialdaselt kahendsüsteemi. Informatsiooni sisestamisel pole see aga otstarbekas- numbrid on liiga pikad. Seetõttu kasutatakse palju ka kaheksand- ja kuueteistkümnendsüsteemi. Kaheksandsüsteem
täisarv (10-100=-90). Kahe naturaalarvu jagamisel võib olla tulemuseks naturaalarv (52:2=26) või kümmnendmurd (1:3=0,333...; 9:6=1,5). 2. Täisarvudeks nimetatakse positiivseid täisarve ja negatiivseid täisarve. Täisarvude hulga tähiseks on Z. Positiivseteks täisarvudeks on Z=(0; 1; 2; 3;...) ning negatiivseteks täisarvudeks on Z=(-1; -2; -3;...). Täisarvud jagunevad paarisarvudeks (-2; 2; -4; 4, -6; 6;...) ja paarituteks arvudeks (-1; 1; -3; 3; -5; 5;...). Tehes tehteid positiivsete ja/või negatiivsete täisarvudega on tulemuseks positiivne täisarv, negatiivne täisarv, positiivne kümnendmurd või negatiivne kümnendmurd. 3. Ratsionaalarvudeks nimetatakse murde a/b kus a ja b on täisarvud ning b¹0. Ratsionaalarvude hulga tähiseks on Q. Ratsionaalarvud on näiteks (1/4=0,25 ehk lõplik kümnendmurd; 1/3=0,333... ehk lõpmatu perioodiline kümnendmurd). 4
Info üleküllus 21. sajandil ehk infoajastul on meedial kanda suur roll. Praeguseks on meedial tekkinud palju väljundeid: internet, televisioon, raadio ning paberkandjal perioodilisedväljaanded. Kõik need väljundid on aga omakorda jagunenud lugematuteks arvudeks ettevõtjateks, kes kõik üritavad müüa oma toodet sarnastele sihtgruppidele. Samaagselt teistega üritatakse olla löövamad, pakkuda paremat meelelahutust ning tekitada suuremat huvi oma väljaande vastu. Sellega seos saame me rääkida infoüleküllusest, millest on kujunemas suur probleem. Mitte kunagi inimajaloo jooksul pole infot olnud rohkem ja see pole olnud lihtsamini kättesaadav kui ta on seda praegu. Eeskätt just tänu tehnoloogia arengule ja interneti laialdasele kasutamisele
irratsionaalarve. Viimase puhul võiks oletada, et kui on irratsionaalne algebraline arv, siis võiksid esined algebralised võrrandid irratsionaalarvuliste kordajatega. See omakorda tähendaks, et sirkli ja joonlaua abil saab ringjoont sirgestada. Alles 1844. aastal näitas prantsuse matemaatik J. Liouville, et on olemas irratsionaalarve, mis pole ühegi ratsionaalarvuliste kordajatega algebralise võrrandi lahenditeks. Ta nimetas neid arve transtsendentseteks, s.t. mittealgebralisteks arvudeks. Kuigi juba inglise matemaatik J. Wallis XVII sajandil avaldas esmakordselt mõtte, et ringjoone sirgestamise ülesanne ei ole lahendub sirkli ja joonlaua abil, õnnestus tal seda tõestada alles XIX sajandi kaheksakümnendal aastail. Nimelt näitas 1882. aastal Freiburgi ülikooli professor Ferdinand von Lindemann, et on transtsendentne arv. Siit pälvis Lindemann ka ,,arvu võitja" hüüdnime. Ringjoone sirgestamise ülesandele, samuti nagu ringi kvadratuuri ülesandele, on leitud arvukalt
poole kõmpima, kuna tema buss enam ei käinud. Ta ostis tee peal 300 grammi pähkleid ja 2 pudelit vett. Eelnevas jutus on esitatud kokku 4 kellaaega, tee pikkus, pähklite kaal ja pudelite arv. Kõik need arvud peale pudelite arvu on ligikaudsed arvud, sest pähkleid võis olla ka 301 grammi, Ronald võis tööle jõuda 8.16 ja rong võis väljuda 17.21. Seega võime öelda, et igapäevaelus kasutatavad arvud jagunemad täpseteks ja ligikaudseteks arvudeks. Täpsed arvud saame loendamise ja mõnikord arvutamise teel, ligikaudsed tulemused aga mõõtmise või arvutamise kaudu. Selleks,et lihtsustada arvutamist ligikaudsete arvudega, neid tavaliselt ümardatakse. On kokku lepitud ümardada ülespoole siis, kui esimene ärajääv number on 5, 6, 7, 8 või 9 ja allapoole siis,kui see number on 0, 1, 2, 3 või 4. Nii tehakse, et ümardamisel tekkiv viga oleks võimalikult väike. N : 1)Ümardades kümnelisteni : 2349 2350 ; 243 240
uue arvu nii, et liidad igale diagonaali arvule 1 juurde ja saad uue arvu, mida tabelis ei ole.Tabelisse on paigutatud arvud 123, 456, 789 123 Joel Spolsky- FOG CREEK 456 789 võtame diagonaali, mis koosneb arvudest: Fibonacci-foo 1 5 9 Liidame juurde igale ühe ja saame uuteks arvudeks: 2 6 0 ning sellest saab arv 0,260(vaatluse all on reaalarvud nullist üheni), mis ongi uueks arvuks.
mittealgebralisi irratsionaalarve. Kui oletada, et on irratsionaalne algebraline arv, siis võiksid esineda algebralised võrrandid irratsionaalarvuliste kordajatega, mis aga tähendaks, et sirkli ja joonlaua abil saaks ringjoont sirgestada. Alles 1844. aastal näitas prantsuse matemaatik J. Liouville, et on olemas irratsionaalarve, mis pole ühegi ratsionaalarvuliste kordajatega algebralise võrrandi lahendeiks. Ta nimetas neid arve transtsendentseteks, s.t. mittealgebralisteks arvudeks. 1882. a. näitas Freiburgi ülikooli professor Ferdinand von Lindemann, et on transtsendentne arv ning järelikult ei ole ringjoone sirgestamise ülesanne sirkli ja joonlaua abil lahenduv. 1777. aastal avaldas prantsuse loodusteadlane G. L. Leclerc de Buffon arvutamiseks võtte, mida nimetatakse Buffoni ülesandeks: tasandil on joonestatud rida paralleelseid sirgeid, mis asuvad üksteisest kaugusel 2a. Juhuslikult visatakse nõel pikkusega 2k (k < a). Osutub, et
suurim arvu. · Naturaalarvude hulk N on hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge. · Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. (Kui kaks naturaalarvu liita või korrutada on tulemuseks alati naturaalarv.) · Naturaalarvude hulk ei ole kinnine lahutamise või jagamise suhtes. Naturaalarve, mis jaguvad 2-ga, nimetatakse paarisarvudeks, ülejäänuid paarituteks arvudeks. Ühest suuremat naturaalarvu , mis jagub vaid ühe ja iseendaga nimetatakse algarvuks, kõiki ülejäänud ühest suuremaid arve kordarvudeks. Algarvud on 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 jne. (Hulk on lõpmatu.) Arvud 0 ja 1 ei ole algarvud ega kordarvud. Arvu a teguriteks nimetatakse kõiki neid naturaalarve, millega arv a jagub. Arvu iga tegur on kas selle arvu algarvuline tegur ehk algtegur või on võrdne arvu algtegurite korrutisega.
Ruumal 1m3=1000dm3=106cm3 Kaal 1 t (tonn)=10ts (tsentner)= a 1000kg 1cm3=1000mm3=106µm 3 1ts=100kg 1 l (liiter)=1dm3 1kg = 1000g 1 m3 =1000l Arvu standardkuju Väga suuri ja väga väikesi arve saab kirjutada arvu 10 astme abil kujul a10k, kus kZ ja 1a<10. Selliselt esitatud arve nim. standartkujulisteks arvudeks. Näide: 5980...00000...000 = 598 1022 22 nulli VÕRRE Kahe suhte (jagatise) võrdsust a c nimetatakse b d võrdeks: = ehk a : b = c : d, kus a ja d on võrde välisliikmed ning b ja c on võrde siseliikmed. Võrde põhiomadus: a d = b c välisliikmetekorrutis võrdub siseliikmete korrutisega. 8 12 Näiteks võrdsest = järeldub, et 8 3 = 12 2
Arvust 5A5EB760E eemaldan kõik järguväärtused, mis kuuluvad 1-de piirkonda. Eemaldan arvud A (10), B (11) ja 7. Korduvaid numbreid arvu koosseisus (siin: 5 ja E ehk 14) arvestame jällegi ühekordselt. Lõpp tulemuseks on arv 5E60, mis määrab 4-muutuja loogikafunktsiooni määramatus piirkonna (numbrilises 10ndesituses): 5, 14 (E), 6 ja 0. Ülejäänud arvud vahemikus 0....15 (mis puuduvad nii 1de piirkonnas kui ka määramatuspiirkonnas) moodustavad 0de piirkonna. Nendeks arvudeks on 1, 8, 9, 12, 13 ja 15. Matriklinumbrile 10103502 vastav 4-muutuja loogikafunktsioon oma numbrilises 10ndesituses: 1-de piirkonna järgi 7 ( 2,3, 4, 7, 10,11 )1 ( 0,5, 6,14 )−¿ f ( x1 x 2 x 3 x 4 ) =∑ ¿ 0-de piirkonna järgi ( 1, 8,9, 12,13, 15 )0 (0, 5, 6,14)−¿ f ( x 1 x 2 x 3 x 4 )=∏ ¿ 2. Kirjutada välja oma matriklinumbrist leitud osaliselt
Nüüd rakendame sellele seosele hulga originaali omadust 3 ja saame: -1({()})-1(()). Aga -1({()}), sest (){()} (vt hulga originaali definitsiooni). Kahest viimasest seosest saame -1( ()). 2. Olgu ja olgu ( -1)). Siis kujutise definitsiooni põhjal leidub -1(), nii et kehtib ()=. Seos -1() tähendab originaali definitsiooni põhjal, et () . Seega . Näide, kus ja -1( ()). Olgu ==, ()=|| ja ={1,2,3}. Kõigi korral kehtib ()=, s.t. ()={1,2,3}. Saame -1( () )={-3,-2,-1,1,2,3} , sest arvudeks 1, 2 ja 3 kujutuvad lisaks hulga elementidele ka nende vastandarvud. Näide, kus ja (-1() ): Olgu ==, ()=² ja ={-1,0,4}. Funktsiooniga kujutuvad hulka hulga -1() = {-2,0,2} elemendid, mida funktsiooniga kujutades saame (-1() )={0,4}. Funktsioonide võrdsus Funktsioone : ja : nimetatakse võrdseteks, kui =, = ja ()=() iga (=) korral. Seega näiteks funktsioonid : ja : [-1,1] loeme erinevateks.
seose: L^ (q ) = (q ). (13.0) Funktsioone (q ) , mis rahuldavad tingimust L^ (q ) = (q ), (13.1) kus on arvuline parameeter, nimetatakse operaatori L^ omafunktsioonideks. Neid parameetri väärtusi, millel võrrandil (13.1) on lahendeid, nimetatakse operaatori L^ omaväärtusteks (ka karakteristlikeks arvudeks). Operaatoriks võib olla nt arv, kuupjuur, tuletis jne: = A^ (13.2) Võrrand (13.0) on samaväärne võrrandiga (13.2). On olemas impulsioperaator, energiaoperaator jne. Võib juhtuda nii, et operaatori A^ jaoks on teatud funktsioonid n (n = 1,2,3) , mille puul kehtib definitsiooni kohaselt A^ = a , kus an on arvud, konstandid. n n n
punkt ja vastupidi, igale arvtelje punktile vastab üks kindel selle arvuhulga arv, siis öeldakse, et see arvuhulk on pidev 5. Vastandarv- Naturaalarvu n vastandarvuks nimetatakse sellist arvu -n, mis rahuldab võrdust n + ( -n ) = 0. 6. Täisarvude hulk- · Naturaalarvude hulk on täisarvude hulga osahulk · Z = {....-2; -1; 0; 1; 2; ......} · Jaguneb naturaalarvudeks ja negatiivseteks arvudeks a 7. b Murdarvud- Kui täisarv a jagub täisarvuga b, siis on jagatis täisarv, kui aga ei jagu, siis nimetame saadud arvu murdarvuks ja tähistame sümboliga (reaalarvu, mis ei ole täisarv.) 8. Ratsionaalarvude hulk- Täisarvud koos murdarvudega moodustavad ratsionaalarvude hulga 9. Irratsionaalarv- Lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud 10
mõni teine analüüsi meetod. Andmete tüüpidest rääkimiseks tuletame meelde ülaltoodud kümme küsimust koolide kohta ning püüame koos mõelda, mille poolest võiks sellistele küsimustele vastustena saadavad andmed omavahel erineda? *** Kas panite tähele, et osad oodatavatest andmetest on esitatavad sõnadena (nt ,,erakool", ,,väga hea", ,,jah", ,,kunstiring" jne) ning teised arvudena (nt 5 km, 3 paralleeli, 41 aastat jne)? Selline andmete jagamine sõnadeks ja arvudeks on algatuseks väga hea, sest nii saame juba esimese vihje sobivate meetodite kohta: ilmselt on küsimatagi selge, et kui andmeteks on sõnad, siis ei ole analüüsi käigus mõistlik ega ka lubatud kasutada päris kõiki arvutustel põhinevaid meetodeid, mis mõeldud arvuliste andmete analüüsiks. Kuid mõelda tuleb osata ka vastupidi: mitte iga meetod, mis võib olla andmetest ülevaate saamiseks mugav ja otstarbekas sõnaliste väärtustega andmete puhul, ei pruugi
mõni teine analüüsi meetod. Andmete tüüpidest rääkimiseks tuletame meelde ülaltoodud kümme küsimust koolide kohta ning püüame koos mõelda, mille poolest võiks sellistele küsimustele vastustena saadavad andmed omavahel erineda? *** Kas panite tähele, et osad oodatavatest andmetest on esitatavad sõnadena (nt „erakool“, „väga hea“, „jah“, „kunstiring“ jne) ning teised arvudena (nt 5 km, 3 paralleeli, 41 aastat jne)? Selline andmete jagamine sõnadeks ja arvudeks on algatuseks väga hea, sest nii saame juba esimese vihje sobivate meetodite kohta: ilmselt on küsimatagi selge, et kui andmeteks on sõnad, siis ei ole analüüsi käigus mõistlik ega ka lubatud kasutada päris kõiki arvutustel põhinevaid meetodeid, mis mõeldud arvuliste andmete analüüsiks. Kuid mõelda tuleb osata ka vastupidi: mitte iga meetod, mis võib olla andmetest ülevaate saamiseks mugav ja otstarbekas sõnaliste väärtustega andmete puhul, ei pruugi
meetod. Andmete tüüpidest rääkimiseks tuletame meelde ülaltoodud kümme küsimust koolide kohta ning püüame koos mõelda, mille poolest võiks sellistele küsimustele vastustena saadavad andmed omavahel erineda? *** Kas panite tähele, et osad oodatavatest andmetest on esitatavad sõnadena (nt „erakool“, „väga hea“, „jah“, „kunstiring“ jne) ning teised arvudena (nt 5 km, 3 paralleeli, 41 aastat jne)? Selline andmete jagamine sõnadeks ja arvudeks on algatuseks väga hea, sest nii saame juba esimese vihje sobivate meetodite kohta: ilmselt on küsimatagi selge, et kui andmeteks on sõnad, siis ei ole analüüsi käigus mõistlik ega ka lubatud kasutada päris kõiki arvutustel põhinevaid meetodeid, mis mõeldud arvuliste andmete analüüsiks. Kuid mõelda tuleb osata ka vastupidi: mitte iga meetod, mis võib olla andmetest ülevaate saamiseks mugav ja otstarbekas sõnaliste väärtustega andmete puhul, ei pruugi osutuda
Tões tus : Et iga täis arv j agub ühega s iis on väide tõene, sõltu mat a eeldus es t et n on paaris arv. T ões tu s alam ju h tu d e p õh jal : tões tataks e et, kõigil võimal ikel juhtudel on väide tõene. : N äide: Tões tada et iga pos itiivs e täis arvu n korral on n 3 + n paaris arv. Tões tus : J aotame pos itiivs ete arvude hulga omakorda pos itiivs eteks paaris - j a paaritut eks arvudeks ehk s aame kaks alamj uhtu, mill e j aoks tües tus e läbi viime. a) olgu n pos itiivne paaris arv s iis n= 2*k n 3 + n = 8 * k 3 + 2 * k = 2 * ( 4 * k 3 + k ) = 2 * k1 mis on paaris arv b) olgu n pos itiivne paaritu arv s iis n= 2*k+ 1 n 3 + n = 8 * k 3 + 12 * k 2 + 6 * k + 1 + 2 * k + 1 = 2 * ( 4 * k 3 + 6 * k 2 + 4 * k + 1 ) = 2 * k 2 mis on paaris arv N äide 2 (ala mj uhtudega tões tus ) Tões tada , et reaalarvud e x j a y korral kehtib a) x> = 0 j a y> = 0
Tões tus : Et iga täis arv j agub ühega s iis on väide tõene, sõltu mat a eeldus es t et n on paaris arv. T ões tu s alam ju htu d e p õh jal : tões tataks e et, kõigil võima like l j uhtudel on väide tõene. : N äide: Tões tada et iga pos itiivs e täis arvu n korral on n 3 n paaris arv. Tões tus : J aotame pos itiivs ete arvude hulga omakorda pos itiivs eteks paaris - j a paaritut eks arvudeks ehk s aame kaks alamj uhtu, mil le j aoks tües tus e läbi vii me. a) olgu n pos itiivne paaris arv s iis n= 2*k n 3 n 8 * k 3 2 * k 2 * ( 4 * k 3 k ) 2 * k1 mis on paaris arv b) olgu n pos itiivne paaritu arv s iis n= 2*k+ 1 n 3 n 8 * k 3 12 * k 2 6 * k 1 2 * k 1 2 * ( 4 * k 3 6 * k 2 4 * k 1 ) 2 * k 2 mis on paaris arv N äide 2 (ala mj uhtudega tões tus ) Tões tada , et reaalarvude x j a y korral kehtib a) x> = 0 j a y> = 0
tähendus (puhtalt sotsiaalteaduste eesmärk!) – Pakkuda välja uusi teooriaid ja seletusi – Avada ühiskondliku reaalsuse mitmekesisust Mõlema plussid ja miinused • Kvantitatiivsete meetodite suurimad plussid – Üldistusvõime – tugev üldistav ja teaduslik argument – Üsna objektiivsel ja väärtusvabal alusel kogutud andmed • Kvantitatiivsete meetodite suurimad miinused: – Taandab keerulised seosed ja nähtused puhtalt arvudeks ja statistilisteks seosteks – pakub tihti formaalset, liialt üldistatut ja reaalsusega kohati vähehaakuvat pilti – Ei arvesta uuritavat konteksti – selle ajaloolisi, kultuurilisi, institutsionaalseid, jt. eripärasid • Kvalitatiivsete meetodite suurimad plussid – Rikkalik ja sügavutiminev analüüs, mis võimaldab mõista keerulisi protsesse, seoseid ja põhjusi. • Kvalitatiivsete meetodite suurimad miinused: – Vähene üldistusvõime – uuritakse liiga vähe juhtumeid
Paarsusbiti moodus: nt bitijadas peab olema paaris arv nulle 50. Ethernet on esimene laiemalt levinud LAN tehnoloogia. pidi kuhu saab. Puuduseks võib tuua juhu, mil mingi – kui ei ole siis paarsusbitt on 0. 2. Kontrollsumma meetod: Suudab edastada andmeid kuni 10, 100, 1000 Mbps. Ethernetis marsruuter, switch, sild üles ütleb ja sealtkaudu side katkeb. Saatja jagab kogu portsu 16 bitisteks arvudeks; kontrollsumma liiguvad Etherneti kaadrid, millesse pakitakse IP datagrammid Marsruuter ei saa vastu võtta otsust marsruudi muutmiseks. saadakse segmendi „1“-de arvust; kontrollsumma lisatakse või teised võrgukihi protokolli paketid. LAN aadressiks on Flooding (üle ujutamine) – marsruuter saadab paketi kõikidesse UDP vastavasse päise lahtrisse. Vastuvõtja liidab samuti 48bit MAC aadressid, mida kasutatakse datagrammi füüsiliseks
mõõtühik. Tähistatakse B. Kilobait, megabait, gigabait, terabait, petabait(inimmälu hulk), eksabait, zettabait, jottabait. Kõik on eelnevast 210 korda suuremad. St 1 MB = 1024 kB. Sest see on lähim kahe aste tuhandele. Võib teatud kontekstis olla ka 1000 korda suurem, st 1 MB = 1000 kB Arvuti RAM üldiselt 4,8,16,32 GB, mobiil 4 GB. Ülejäänud SSD tüüpi mälu. Tähtede ja sümbolite kodeerimine – Peavad olema tõlgitud kahendsüsteemi arvudeks. Olemas erinevad koodisüsteemid: • ASCII (American Standard Code for Information Interchange) – Iga sümboli kodeerimiseks on 1 bait, tabelis on 28=256 erinevat sümbolit. – Algses versioonis (1963) oli 7 bitti, st 127 sümbolit – Laiendatud tabeli osa võib olla erinev. • EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code)- IBM võttis kasutusele.
2-m~o~otmeline) arv. Piltlikustamiseks v~oib kasutada xy-tasandit, kus kompleksarvu z x-koordinaat on Re z ning y-koordinaat on Im z. Sellises t~olgenduses nimetatakse xy-tasandit komplekstasan- diks, x-telge nimetatakse reaalteljeks ja y-telge imaginaarteljeks. Kompleksarv esitub u ¨heselt komplekstasandi punktina. Joonise koostamine j¨aa¨gu iseseisvaks harjutuseks. 2 Tehted kompleksarvudega 2.1 Idee selgitus Kompleksarve nimetatakse arvudeks ehk skalaarideks eesk¨ att sel- lep¨arast, et nendega saab sooritada aritmeetilisi tehteid: liitmist, 4 V. Kompleksarvud lahutamist, korrutamist ja jagamist. Tehted saab defineerida maat- rikstehetena. Osutub, et tehete tulemuseks on samuti kompleks- arvud, s.t C on kinnine aritmeetiliste tehete suhtes. 2.2 Tehete definitsioon Kompleksarvude liitmine, lahutamine ja korrutamine defineeritak-
ei sisaldu kaht järjestikust arvu. *Arvuteoorias: selgub, et kui n on algarv, siis kehtib alati kongruents Ln 1 (mod n). *Lucas' arvujada on oma nime saanud prantsuse matemaatiku F.E.A.Lucas' järgi, kes muuseas on väga tuntud selle poolest, et ta pani kirja valemi arvutamaks Fibonacci jada n'indat väärtust. Kirjanduses mainitakse veel, et ta oli ka ühe algarvulisuse testi autoriks. [18]. Catalani arvud. Catalani arvudeks on naturaalarvude jada, mis on oma nime saanud Belgia matemaatiku Eugene Catalani järgi ning ta esinevad sageli loendamisega seotud probleemides. *Catalani arvud on lahenduseks väga suurele hulgale erinevatele probleemidele, eriti just kombinatoorika vallas. Näiteid: a).Catalani arv Cn on erinvate Dycki sõnade arv pikkusega 2n. (Dycki sõnad on lahtistest ning kinnistavatest sulgudest koosnevad stringid, kusjuures kõik eelnevalt ,,avatud
tähendus (puhtalt sotsiaalteaduste eesmärk!) Pakkuda välja uusi teooriaid ja seletusi Avada ühiskondliku reaalsuse mitmekesisust Mõlema plussid ja miinused Kvantitatiivsete meetodite suurimad plussid Üldistusvõime tugev üldistav ja teaduslik argument Üsna objektiivsel ja väärtusvabal alusel kogutud andmed Kvantitatiivsete meetodite suurimad miinused: Taandab keerulised seosed ja nähtused puhtalt arvudeks ja statistilisteks seosteks pakub tihti formaalset, liialt üldistatut ja reaalsusega kohati vähehaakuvat pilti Ei arvesta uuritavat konteksti selle ajaloolisi, kultuurilisi, institutsionaalseid, jt. eripärasid Kvalitatiivsete meetodite suurimad plussid Rikkalik ja sügavutiminev analüüs, mis võimaldab mõista keerulisi protsesse, seoseid ja põhjusi. Kvalitatiivsete meetodite suurimad miinused:
Kuna k = k1+ k2 on täisarv, siis on 2k paarisarv ehk m + n on paarisarv. Lause Olgu a, b ja c täisarvud. Kui a | b ja b | c, siis a | c. Otsene tõestus alamjuhtude põhjal PQ Tegemist on meetodiga, kus väide tõestatakse kõigil võimalikel alamjuhtudel, kus P on tõene. Lause Iga naturaalarvu n korral on n3 + n paarisarv. TÕESTUS Jaotame naturaalarvude hulga omakorda paaris- ja paarituteks arvudeks ehk saame kaks alamjuhtu. 1. Kui n on paarisarv, siis ... 2. Kui n on paaritu arv, siis ... Meenutame, et reaalarvu x absoluutväärtus on ¿ x{x , kui x 0 ;-x , kui x <0. Lause Mis tahes reaalarvude x ja y korral kehtib |xy| = |x||y|. TÕESTUS Antud tõestuses vaatleme nelja alamjuhtu. 1. x 0 ja y 0 2. x 0 ja y < 0 3. x < 0 ja y 0 4. x < 0 ja y < 0 Kontrapositiivne tõestus Mõnikord on raske näidata otse, et P Q.
väiksemad. 4. Panna tabelisse kõik paarisarvud, kõik paaritud arvud; arvud, mis me saame kolme-, nelja-, viie- jne kaupa loendamisel. Ka igale õpilasele peaks valmistama sellise tabeli et, nad saaks kaasa töötada ja oma laual täita kõik need ülesanded, mida sooritatakse tahvli juures suure tabeliga. Tabeli põhjal on hea näidata lastele, et arve 1- 9 kirjutatakse ühe numbriga, tähistatakse ühe märgiga, sellepärast nimetataksegi neid ühekohalisteks arvudeks. Arve 10 - 20 tähistatakse kahe numbriga (märgiga), seetõttu nimetatakse neid kahekohalisteks arvudeks. Tabeli esimesel ja teisel real on palju ühist, kuid ka erinevat. Neid sarnasusi ja erinevusi õpilased iseseisvalt, ilma õpetaja abita leida ei suuda. Õpilaste tähelepanu on vaja juhtida sellele, et: 1. ühelised alumises reas korduvad samas järjekorras nagu ülemiseski; 2. kõigis alumise rea arvudes on kümneline, ülemise rea arvudes ei ole kümnelist (v.a. arv 10); 3
Või tei- selt poolt vaadatuna on matemaatikud aru saanud, et arvutada – liita ja lahutada, korrutada ja jagada – saab mitte ainult arvudega 1, 2, 3, 4, 5 ..., vaid ka palju keeru- lisemate objektidega. See näitab, kuivõrd on arvude mõiste tegelikult suhteline – kas arvuks nimetame kõike, millega oskame arvutada, või peaksime arvudeks nimetama ainult objekte, mis koosnevad numbritest? Arvude arengust saab pike- malt lugeda aga arvuhulkade peatükist [lk 78]. 22 Mis on matemaatika? matemaatika meie ümber Matemaatika on tore kombinatsioon rangusest ja vabadusest. On küll üheselt öel-
annaabi.ee 
