Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Aritmeetiline jada". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
summaga, õppeaine, matemaatika, rähn, jadaks, arvujada, jääva, definitsioonist, konstantne, paiguta, arvudega, esimesest, neljandast, lõpustAritmeetiline jada Koostas: Margit Nuija Kool: Viljandi Paalalinna Gümnaasium Maakond: Viljandi Õppeaine: matemaatika Töö teema: aritmeetiline jada Klass: IV kooliaste, 11. klass Juhendas: Toomas Rähn Aritmeetilise jada mõiste Def. Aritmeetiliseks jadaks nim. arvujada, mille iga liige (alates teisest) võrdub eelneva liikme ja ühe jääva liidetava summaga. NB! Jääv liidetav (jada vahe) - d Esimene liige - a1 Liikmete arv - n Näide: On antud jada 5, 8, 11, 14, 17, 20. a1 = 5 d=3 n=6 Üldliikme valem Jada definitsioonist järeldub,et a2 = a1 + d a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d a4 = a3 + d =(a1 + 2d) + d = a1 + 3d ............................................ an = an-1 + d = .............a1 + (n-1) d
Lahendus: 2 2 3. Olgu antud aritmeetiline jada -2; 1; 4; ... Mitmes jada liige on 37? Lahendus: Antud on a1 = -2; a2 = 1, millest järeldub, et vahe on d = 1 (2) = 3; an = 37. ( ) Asendades arvud valemisse a n = a1 + n - 1 d , saame 37 = 2 + (n 1) . 3; 3(n 1) = 39 n 1 = 13; n = 14. Vastus: Arv 37 on antud aritmeetilise jada 14. liige. 4. Paiguta arvude 18 ja -10 vahele kolm arvu nii, et need koos antud arvudega moodustaksid aritmeetilise jada 5 järjestikust liiget. Lahendus: Antud on a1 = 18; n = 5; a5 = -10. ( ) Asendades arvud valemisse a n = a1 + n - 1 d , saame -10 = 18 + (5 1)d; 4d = -28; d = -7. Seega arvud on 18 7 = 11, 11 7 = 4 ja 4 7 = -3. Vastus: otsitavad arvud on 11, 4 ja -3. 5. Leia kõigi 5-ga jaguvate kahekohaliste naturaalarvude summa.
ruudu pindala 900, n-nda ruudu pindala on n² JADADE LIIGITUS Jadad Tõkestatud Tõkestamata Hääbuvad Muud Lõpmata suured Muud Tõkestamatult kasvavad Muud Tõkestamatult kahanevad JADAD Näited Tõkestatud jada hääbuv jada 1,½,,¼,..., konstantne jada 3,3,3,...,3,... Tõkestamata jada 6-ga jaguvad naturaalarvud alates arvust 6 tõkestamatult kasvav 3,0 -3,-6,-9,... tõkestamatult kahanev Jadad ehk progressioonid Aritmeetiline jada Geomeetriline jada mõiste: jada, milles iga mõiste: jada, milles iga liikme ja temale eelneva liikme ja temale eelneva liikme vahe on jääv suurus
a1 - esimene liige an - n-es liige ehk üldliige d aritmeetilise jada vahe n liikmete arv Sn - liikmete summa q - geomeetrilise jada tegur Aritmeetiline jada Aritmeetiline jada on jada, mille teisest liikmest alates iga liikme ja talle eelneva liikme vahe on jääv. Aritmeetiline jada on jada, mille iga liige alates teisest on võrdne talle eelneva liikme ja jääva arvu summaga. Arvu mida me juurde liidame nimetame me vaheks. d=0 konstantne jada Aritmeetiline jada on vaadeldav lineaarfunktsiooni väärtuste jadana, kui argumendile anda täisarvulisi väärtusi alates 1'st. y=x+2 xe{1;2;3;...} Aritmeetilise jada omadus: Iga liige alates teisest on võrdne oma naaberliigete aritmeetilise keskmisega. a2=(a1+a3)/2 Aritmeetilise jada üldliikme valem an=a1+(n-1)d Aritmeetilise jada esimese n-liikme summa: esimesed n-liiget ehk jada lõige: a1;a2;a3;...;an Sn- esimese n-liikme summa ehk jada lõike summa Sn=a1+an n 2
..69) n= 2 an−a1 69−25 44 +1 n= +1= +1=23 n 2 2 Sn ? 25+69 94 S 23 = × 23= ×23=1081 2 2 Vastus: Antud vahemikus kõigi paaritute arvude summa on 1081. 13) Paiguta arvude 9 ja 44 vahele neli arvu nii,et need koos antud arvudega moodustaksid aritmeetilise jada. 9, a2 , a3 , a4 , a5 , 44 an−a1 44−9 a1=9 d= d= d=7 a6 =44 n=6 n−1 5 a2=9+7=16 n-1=5 a3 =16+7=23 d? a 4=23+7=30 a5 =30+7=37
Jadad Aritmeetiline jada Aritmeetilise jada üldliikme valem on an = a1 + d(n – 1), kus d on jada vahe ja n jada liikmete arv. Aritmeetilise jada esimese n liikme summa valem on . a1 a n Sn n 2 Teades, et an = a1 + d(n – 1), võime eelnevale valemile anda ka teise kuju: . 2a 1 n 1 d Sn n 2 Viimane valem võimaldab arvutada esimese n liikme summat vaid jada esimese liikme ja jada vahe järgi.
3. Aritmeetilise jada üldliige avaldub kujul an = a1 + d (n 1), kus a 1 on aritmeetilise jada esimene liige, d on jada vahe ning n on liikmete arv jadas. 4. Aritmeetilise jada n esimese liikme summa avaldub kujul Sn = (a1 + an) / 2 · n, kus a1 on aritmeetilise jada esimene liige, an on jada üldliige ning n on liikmete arv jadas. 5. Geomeetriline jada jada, milles teisest liikmest alates on iga liikme ja sellele eelneva liikme jagatis konstantne. *Geomeetriline jada on hääbuv, kui 0 < q < 1. 6. Geomeetrilise jada üldliige avaldub kujul an = a1q(n - 1), kus a1 on geomeetrilise jada esimene liige, q on alates teisest liikmest liikme ja sellele eelneva liikme jagatis ning n on liikmete arv jadas. 7. Geomeetrilise jada n esimese liikme summa avaldub kujul Sn = (a1 [q(n - 1) - 1]) / (q 1), kus a1 on geomeetrilise jada esimene liige, q on alates teisest liikmest liikme ja
Aritmeetiline jada. Def. Aritmeetiliseks jadaks nimetatakse arvujada, milles iga liikme ja temale vahetult eelneva liikme vahe on jääv. a1 a n 2a1 n 1 d a n a1 n 1 d Sn n Sn n 2 2 1. Esimese raudbetoonist rõnga paigaldamine maksab töölisele 10 krooni, iga järgmise rõnga paigaldamine aga 2 krooni rohkem kui eelmine. Töö lõpetamisel maksti lisatasuks veel 40
· Juhuslikud sündmused on üksteist välistavad, kui nad ei saa korraga toimuda. Klassikaline tõenäosuse valem p(A)=m/n, kus m on selle sündmuse jaoks soodsad võimalused ja n on kõik võimalused. · p()=1 · p(V)=0 Tõenäosuse liitmine ja korrutamine Liitmiselause · Kahe teineteist välistava sündmuse (ei saa korraga toimuda) summa tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, p(A või B)=p(A)+p(B). · Kahe teineteist mitte välistava sündmuse (võivad ka koos toimuda) summa tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, millest on lahutatud nende sündmuste koostoimumise tõenäosus, p(A või B)=p(A)+p(B)-p(A ja B). Korrutamiselause Südmused on sõltumatud, kui ühe sündmuse tõenäosus ei sõltu sellest, kas teine sündmus t oimub või mitte.
a 1 + q 2 15 = , ) ( aq 1 + q 2 30 ) 1 1 = , q 2 q = 2. Asetades saadud q väärtuse esimesse võrrandisse, saame a(1 + 4) = 15, millest 5a = 15; a = 3. Otsitav jada on 3, 6, 12, 24, ... Kontroll: Leitud jada rahuldab kõiki ülesande tingimusi: esimese ja kolmanda liikme summa 3 + 12 = 15 ning teise ja neljanda liikme summa 6 + 24 = 30. Vastus: Otsitav jada on 3, 6, 12, 24, ... . 4. Paiguta arvude 3 ja 96 vahele neli geomeetrilist keskmist st leia neli sellist arvu, mis koos antud arvudega moodustaksid geomeetrilise jada. Lahendus: Jada esimeseks liikmeks on 3, liikmete arv on 6 ning viimaseks liikmeks 96. Üldliikme valemi, an = a1qn 1 , kohaselt saame 96 = 3 . q5 q5 = 32; q = 2. Otsitav jada on 3, 6, 12, 24, 48, 96. Vastus: Otsitavad arvud jadas on 6, 12, 24, 48. 5. Leia geomeetrilise jada 5, 15, 45, 135, 405, 1215, 3645 liikmete summa.
Rööpkülik: Mõiste: Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed. Pindala: S=ah Ümbermõõt: 2(a+b) Omadused: 1. Vastasküljed on võrdsed 2. Vastasnurgad on võrdsed 3. Iga külje lähisnurkade summa on 180° 4. Rööpküliku diagonal jaotab rööpküliku kaheks võrdseks kolmnurgaks 5. Rööpküliku diagonaalid poolitavad teineteist 6. Rööpküliku diagonaalide ruutude summa on võrdne külgede ruutude summaga. 7. Rööpküliku sümmeetriapunktiks on diagonaalide lõikepunkt (O) 2. Trapets: Mõiste: Trapetsiks nimetatakse nelinurka, mille kaks vastaskülge on paralleelsed, kuid teised küljed ei ole paralleelsed. Pindala: S=a+b/2·h Ümbermõõt: Ü=a+b+c+d Omadused: 1. Võrdhaarse trapetsi aluse lähisnurgad on võrdsed 2. Võrdhaarse trapetsi vastasnurkade summa on 180° 3. Võrdhaarse trapetsi diagonaalid on võrdsed 4. Võrdhaarsel trapetsil on üks sümmeetriatelg-aluste keskristsirge 5
ARITMEETILINE JA GEOMEETRILINE JADA 1. Aritmeetilise jada kolmas liige on 2 ja kaheksas liige on 17. Mitu jada liiget tuleb võtta, et nende summa oleks 95? n =10 2. Aritmeetilise jada esimese ja kuuenda liikme vahe on 10, nelja esimese liikme summa on 48. Leia see jada. a1 = 15, d = -2 3. Alustanud liikumist, läbib rong esimese sekundiga 0,3 m ja igas järgnevas sekundis 0,4 m rohkem kui eelmises. Leida 0,6 minutiga läbitud tee. 262,8 m 4. Aritmeetilise jada neljas liige on 9 ja üheksas liige on -6. Mitme liikme summa on 54? n1 = 4; n2 = 9 5. Leia kõigi niisuguste naturaalarvude summa, mis 9-ga jagades annavad jäägiks 4 ja arvud ise on suuremad 200 –st ning väiksemad 350-st. 4658 6. Geomeetrili
Kui võrrandi lahendamisel tuleb samasus (0=0), siis sirged ühtivad. Kui võrrandi lahendmisel tekib vastuolu (0=3), siis sirged on paralleelsed. Sirgete vaheline nurk Kahe sirge lõikumisel tekib kaks paari võrdseid nurki. Teravnurga suurust saab leida nii. 7. Aritmeetiline ja geomeetriline jada Aritmeetiline jada Aritmeetiline jada on jada, milles kahe järjestikuse liikme vahe on konstantne. Selle jada üldliige avaldub kujul an=a1+(n-1)d, kus d on jada vahe ja n on naturaalarv. Aritmeetilise jada liikmete vahel kehtib omadus: a2-a1=a3-a2=a4-a3... Aritmeetilise jada esimese n liikme summa avaldub kujul: Asendades siia eelneva an definitsiooni, saame uue kuju: 2a n 1 d Sn 1 n
Valemid, teoreemid, seosed, tunnused, tingimused MATEMAATIKA EKSAMIL XI KLASSIS 1) a2-b2 = (a+b)(a-b) 2) a3 + b3=(a+b)(a2-ab+b2) 3) a3 - b3=(a-b)(a2+ab+b2) 4) (a+b)3 =a3+3a2b+3ab2+b3 5) (a-b)3 =a3-3a2b+3ab2-b3 −b ± √ b2−4 ac 2 6) a) lahenda ax + bx+c =0 2a b) tegurda : ax2 + bx+c= a( x− x1 )( x−x 2) c) tegurda ax3 + bx2+ax+b= x2(ax+b)+ax+b = (ax+b)(x2+1) 7) lim an bn lim an lim bn n n n 8) lim an bn lim an lim bn n n n 9) lim anbn lim an lim bn n n n an 10) lim lim an lim bn n bn n n 11) Korrutise tuletise sõnastus ja valem (u * v ) ´ = Korrutise tuletis võrdub esimese teguri tu
Aritmeetiline jada-Jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelneva liikme ja selle jada jaoks mingi kindla arvu summaga nimetatakse aritmeetiliseks jadaks. Seda kindlat arvu nimetatakse aritmeetilise arvu jadaks ja tähistatakse tähega d. an=a1+(n-1)d an+1=an+d » an+1-an=d sn= a1+an/2 x n või sn=2a1+(n-1)d/2 Geomeetriline jada- Jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelneva liikme ja antud jada jaoks mingi kindla arvu korrutisega nimetatakse geomeetriliseks jadaks. Seda kindlat arvu nimetatakse teguriks ja tähistatakse tähega q n-1 n an=a1 x q q=an+1/n sn=a1(q -1)/q-1 Lõpmatult kahaneva geomeetrilise jada summa- S=a1/1-q Arvu ,,A" nimetatakse jada ,,an" tõkestamatul kasvamisel ja tähistatakse sümboliga liman=A n lim1/n=0 Piirväärtus n (tõkestamatul kasvamisel) läheneb nullile. n
Leia jada kümnes liige ja kümne liikme summa. [ a10 = 1536; S10 = 3069] 4. Leia geomeetriline jada, mille kolmas liige on 12 ja kolme liikme summa on 21. a1 + a1q + 12 = 21 [3,6,12,.... ja 27,-18,12,...] Vihje: 2 12 Asenda teine esimesse. 1a q = 12 a1 = q2 5. Paiguta arvude 2 ja 162 vahele kolm arvu nii, et need moodustaksid koos antud arvudega geomeetrilise jada. [6,18,54] 6. Leia geomeetrilise jada kuues liige, kui teine liige on 20 ja kolme esimese liikme summa 1 a on 70. 320;1 Vihje: Kui a 2 = 20, siis a1 = ja a 3 = a1 ..... 1 4 q
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK - alfa - nüü - beeta - ksii - gamma - omikron - delta - pii - epsilon - roo - dzeeta - sigma - eeta - tau - teeta - üpsilon
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK Α α alfa Ν ν nüü Β β beeta Ξ ξ ksii Γ γ gamma Ο ο omikron Δ δ delta Π π pii Ε ε epsilon Ρ ρ roo Ζ ζ dzeeta Σ σ sigma
Ak 1 , on tegurina elementi ak1 sisaldavate liidetavate summa avaldises (1) avaldatav kujul ak1 Ak 1 . Analoogselt on k-nda rea järgmist elementi ak 2 ( n - 1) ! ja nende liidetavate summa on avaldatav kujul ak 2 Ak 2 . Nii saadakse k-nda rea iga elemendi jaoks ( n - 1) ! liidetavat sisaldavate liidetavate arv summast (1). Need liidetavad on erinevad ja nende arv on ( n - 1) ! n = n ! . Seega peab saadud liidetavate summa võrduma summaga (1) ehk n D = ak1 Ak1 + ak 2 Ak 2 + ... + akn Akn = akj Akj . (2) j =1 Def. Summat (2) nimetatakse determinandi D arendiks k-nda rea järgi
I 1) ; 2) . II 1) ; 2) . III 1) ; 2) . 8 8 16 10 8 56 Näpunäited Esimeses alaülesandes on tegemist lihtsündmusega. Lihtsündmuse tõenäosus on määratud soodsate elementaarsündmuste arvu suhtega kõikide elementaarsündmuste arvusse. Teises alaülesandes on tegemist liitsündmusega. Kõigepealt tuleb selgeks teha, kas on tegemist sündmuste korrutisega või sündmuste summaga, teiste sõnadega, kas on vaja rakendada tõenäosuste korrutamise või liitmise lauset. Tõenäosuste korrutamise lause puhul on oluline teada, kas korrutatavad sündmused on sõltumatud või mitte. Tõenäosuste liitmise lause korral peab teadma, kas liidetavad sündmused on üksteist välistavad või mitte. Lahendused I 1) Olgu urnist rohelise kuuli võtmine sündmus A. m
ehk inf {x | x ∈ X} (ka inf x). x∈X Kui mittetühi hulk X ⊆ F on ülalt tõkestamata, kirjutatakse sup X = ∞. Analoogselt, kui hulk X on alt tõkestamata, kirjutatakse inf X = −∞. Vahetu kontroll näitab, et kui sup X eksisteerib, siis on ta üheselt määratud (kontrol- lida!)z, sama kehtib ka alumise raja inf X puhul (veenduda!)z. Järgmised väited (a) ja (b) tulenevad vahetult eelnevast definitsioonist. Lause 1.3 Olgu X ⊆ F mittetühi alamhulk. (a) Võrdus sup X = a kehtib parajasti siis, kui (i) x 6 a iga x ∈ X korral ja (ii) iga c ∈ F korral, mis rahuldab võrratust c < a, leidub selline x0 ∈ X, et c < x0 . Tingimuse (ii) võib esitada temaga samaväärsel kujul (ii′ ) iga positiivse ε ∈ F korral leidub selline x0 ∈ X, et a − ε < x0 . (b) Võrdus inf X = b kehtib parajasti siis, kui (iii) x > b iga x ∈ X korral ja
Tuletise 0-kohad f ( x) = 0 180° a n = 2r sin III. Lahendame võrratuse f ( x ) > 0 n 180° IV. * f (x ) >0 => kasvab C n = n a n = 2nr sin * f (x ) <0 => kahaneb n 93. Funktsiooni pidevus ja katkevuskohad * f (x ) =0 => konstantne 94. Funktsiooni tuletis 98. Ekstreemumid f ( x + x) - f ( x) Esimese tuletise järgi f x = lim 99. Funktsiooni teine tuletis x 0 x 100. F-ni graafiku kumerus ja nõgusus pk y Teise tuletise järgi y = lim · Positiivne = nõgusus
Kombinatoorika kasutamine tõenäosuse arvutamisel. Kombinatsioonid Kombinatsioonid n-elemendist k-kaupa on n-elemendilise hulga k-elemendilised osahulgad (elementide järjestus n! ei ole oluline). C n = k k!( n - k )! Teineteist välistavate sündmuste liitmisteoreem Kahe teineteist välistava sündmuse tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, st P( A B ) = P( A ) + P ( B ) . Tõenäosuste korrutamisteoreem Kahe sõltumatu sündmuse korrutise tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste korrutisega, st P( A B ) = P ( A ) P ( B ) . Antud valem kehtib ka suurema arvu sõltumatute sündmuste korral: P( A 1 A 2 A n ) = P( A ) P( A 2 ) P( A n )
Tiia Toobal 2008 II osa Pärnu Koidula Gümnaasium Test nr. 1. a 0,5 - 16b 0, 5 1. Leia avaldise - 4b 0, 25 , kui a = 16. a 0, 25 - 4b 0, 25 1) 6 2) -2 3) 4 4) 2 2. Leia antud arvudest suurim ( 2) ( 2) 3, 2 3 1 4, 7 1) 2) 3) 4) 3 4 5 2 3 1- log 3 6 - log 4 0 ,125 3. Arvuta avaldise 27 -4 väärtus. 1) 0 2) 7,875 3) 7,875 4) 3,875 4. On antud perioodilise funktsiooni y
TÕENÄOSUS SÜNDMUSED Tõenäosusteooria uurib esinevate juhuslike nähtuste seaduspärasusi Meie käsitluse aluseks on katse. Katse seisneb teatud tingimuste realiseeerumises ning selle käigus jälgitakse sündmuste toimumisi. Sündmus võib olla kindel, võimatu või juhuslik. Kindel sündmus (tähistatakse K) sündmus, mis teatud tingimuste korral alati toimub. Kindlateks sündmusteks on kooliaasta algus 1. septembril, igahommikune päikesetõus, vesi on ämbris vedelas olekus kui temperatuur on 10 kraadi. . Võimatu sündmus (tähistatakse V) sündmus, mis antud vaatluse või katse korral kunagi ei toimu. Võimatuteks sündmusteks on näiteks täringul üheaegselt 6 ja 4 silma heitmine; vesi ei saa tahkes olekus olla, kui temperatuur on +10 kraadi. Kindla sündmuse vastandsündmus on võimatu sündmus. Juhuslik sündmus sündmus, mis antud vaatluse või katse korral võib toimuda, aga võib ka mitte toimuda. Juhuslikeks sünd
tuletamiseta ka kolmemõõtmelisel juhul. Liikugu materiaalne punkt P xy- tasandil mööda joont punktist M punkti N. Sõltugu punktile P mõjuv jõud F punkti P asukohast . st. F(P)=(F 1(P), F2(P)). Jaotame joone L n osakaareks punktidega M0,M1,M2,...Mn=N suunaga punkti M poolt punkti N poole. Tähistame x i =xi - xi-1 , yi = yi -yi-1 . Olgu osakaarel Mi-1Mi tehtav töö Ai. Kogu joonel tehtav töö avaldub osakaartel tehtud tööde summaga A= A. Valime punkti pi kaarelt M i-1Mi. Kui di=Mi-1Mi on väike siis on jõud kaarel ligikaudu konstantne ja võrdne jõuga punktis P i. Valemi A=F*MN põhjal saame Ai=F(Pi)*Mi-1Mi. Valemis esinevad vektorid saab esitada koordinaatide kaudu järgmiselt : F(Pi)=(F1(Pi),F2(Pi)) ja Mi-1Mi=(xi,yi). Siit A =F1(Pi) xi+F2(P2) yi. Sumeerides seda A=(F1(Pi) xi+F2(Pi) yi).Valemi paremal poolel on F1 ja F2 integraalsumma koordinaatide järgi. Olgu n suurim arvudest d1,d2,
integreerimispiirkonnaks. Kui f(x,y)0 piirkonnas D, siis kahekordne integraal tähendab geomeetriliselt niisugust kõversilindri ruumala, mis alt on piiratud xy- tasandi piirkonnaga D, ülalt funktsiooni z=f(x,y) graafikuks oleva pinnaga ja küljelt silinderpinnaga, mille moodustaja on paralleelne z-teljega ja juhtjooneks piirkonna D rajajoon. Kahekordse integraali omadusi: 1. Kahe funktsiooni summa kahekordne integraal on võrdse nende funktsioonide kahekordsete integraalide summaga: 2. Kui c on konstant, siis: 3. Kahe funktsiooni vahe kahekordne integraal on võrdne nende funktsioonide kahekordse integraalide vahega: 4. Kui piirkond D on jaotatud kaheks piirkonnaks D1 ja D2, millel pole ühiseid seesmisi punkte, ja funktsioon z=f(x,y) on pidev piirkonna D kõikides punktides, siis: 2. Kahekordse integraali arvutamine: regulaarse piirkonna definitsioon (+joonis); kaksikintegraali definitsioon; omadus
1. Kompleksarv kui reaalarvude paar. Tehted kompleksarvudega. Tehete omadused. Kompleksarvu algebraline kuju. Tuletatavad tehted ja nende omadused. Kompleksarvuks nimetatakse reaalarvude paari (x,y). C = {(x;y) | x, y R} Tehted kompleksarvudega: z1 = (x1; y1) C; z2 = (x2; y2) C 1. liitmine: z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2) 2. korrutamine: z1 * z2 = (x1x2 - y1y2; x1y2 + x2y1) Kompleksarvudega tehete omadused 1. liitmine on kommutatiivne, st z1 + z2 = z2 + z1 z1, z2 C korral 2. liitmine on assotsiatiivne, st (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) z1, z2, z3 C korral 3. liitmise suhtes leidub nullelement (reaalarv 0, 0 + z = z + 0 = z z C korral), st leidub C, nii et z + = + z = z z korral; = (0; 0) = 0 4. igal kompleksarvul z = (x; y) = x + yi leidub (liitmise suhtes) vastandarv, st selline arv w C, et z + w = w + z = 0; w = -z 5. korrutamine on kommutatiivne, st z1z2 = z2z1 z1, z2 C korral 6. korrutamine on assotsiatiivne, st (z1z2)z3 = z1(z2z3) z1, z2, z3 C korral
ka lahendeid (0;0;0;7) ja (0;7;0;0) jne, st lahendid erinevad üksteisest elementide järjestuse poolest ning et esinesid eelpool mainitud kordumised, siis tuleb erinevate lahendite leidmiseks kasutada kordumistega permutatsioone, nimelt 3 P4(3) + 7 P4(2) + P4 = ... = 120 lahendit. Vastus: Sellel määramata võrrandil on 120 erinevat mittenegatiivset täisarvulist lahendit. Harjutusülesanded 1. Mitu erinevat 11-tähelist sõna on võimalik moodustada tähtede ümberpaigutamisega sõnas matemaatika? 2. Kui mitmel erineval viisil saab nimes TEELE tähti selliselt ümber paigutada, et kolm tähte E ei satuks kõrvuti? 3. Mitu erinevat neljakohalist arvu saab koostada numbritest 0, 1, 3, 6, 8 ja 9, kui numbrid arvus ei tarvitse olla erinevad (arvu 0363 loeme kolme-, mitte neljakohaliseks)? 4. Auto registreerimisnumber koosnev kolmekohalisest arvust ja kolmetähelisest sõnast (ka arvu 031 loetakse kolmekohaliseks). Mitu
samaaegselt.
4. D'Alemberti ja Cauchy tunnused. Üks neist tuletada.
D'Alembert
Kui positiivse arvrea k=1 ak korral eksisteerib lõplik piirväärtus
,siis
· Juhul q<1 on uuritav rida koonduv
· Juhul q>1 on uuritav rida hajuv
Cauchy
Kui positiivse arvrea k=1 ak korral eksisteerib lõplik piirväärtus
siis
· Juhul q<1 on uuritav rida koonduv
· Juhul q>1 on uuritav rida hajuv
Lähtudes jada piirväärtuse definitsioonist leiame, et
Piidab uurida vaid juhtu k0=1. Kui q<1, siis võime ette anda sellise arvu >0,et ka q+<1.
Võrdleme positiivseid arvridu ja . Geomeetriline rida on
teguri q+, kusjuures (q+)<1, korral koonduv. Kasutame võrratuste ahela viimast võrratust
ak<(q+)k (kN).
Võime väita, et ka rida on koonduv. Kui q>1, siis võime ette anda sellise arvu >0,
et ka q- >1. Kasutame võrratuse ahela esimest võrratust
(q-)k
samaaegselt.
4. D'Alemberti ja Cauchy tunnused. Üks neist tuletada.
D'Alembert
Kui positiivse arvrea k=1 ak korral eksisteerib lõplik piirväärtus
,siis
· Juhul q<1 on uuritav rida koonduv
· Juhul q>1 on uuritav rida hajuv
Cauchy
Kui positiivse arvrea k=1 ak korral eksisteerib lõplik piirväärtus
siis
· Juhul q<1 on uuritav rida koonduv
· Juhul q>1 on uuritav rida hajuv
Lähtudes jada piirväärtuse definitsioonist leiame, et
Piidab uurida vaid juhtu k0=1. Kui q<1, siis võime ette anda sellise arvu >0,et ka q+<1.
Võrdleme positiivseid arvridu ja . Geomeetriline rida on
teguri q+, kusjuures (q+)<1, korral koonduv. Kasutame võrratuste ahela viimast võrratust
ak<(q+)k (kN).
Võime väita, et ka rida on koonduv. Kui q>1, siis võime ette anda sellise arvu >0,
et ka q- >1. Kasutame võrratuse ahela esimest võrratust
(q-)k
Kordamisülesanded 11 klass 1. Kombinatoorika ja tõenäosus a) Ühes klassis õpitakse 14 õppeainet. Mitmel erineval viisil saan nendest koostada ühe päeva tunniplaani, kui selles peab olema 7 erinevat õppeainet? Vastus: 17297280 b) Martinil on taskus viis viiekroonist ja neli kümnekroonist rahatähte. Kui suur on tõenäosus, et kahe kupüüri juhuslikul võtmisel on mõlemad viiekroonised? Vastus: 20/72 c) Tõenäosus leida pliiats kirjutuslaua esimesest sahtlist on 0,5, teisest sahtlist 0,7 ja kolmandast 0,4. Kui suur on tõenäosus , et pliiats on olemas a) täpselt ühes sahtlis b) vähemalt ühes sahtlis c) mitte üheski sahtlis
-1- - 1.Leia funktsiooni määramispiirkond. 3 x 3 x y y b) y 17 15 x 2 x log( 1 x ) 2 a) 4x 8 c) 2x 2 3 9 x y d) y = log( x2 + x -20 ) - 6x e) log 2 ( x 4) f) y = log x-1 x2
annaabi.ee 
