Vektor Vektor on suunatud sirglõik. Sellist sirglõiku iseloomustavad siht, suund ja pikkus. Siht näitab, kuidas vektor asetseb. Suund näitab, kummale poole on vektor suunatud. Pikkus näitab vektori arvväärtust. Kui vektori alguspunkt on A ja lõpppunkt on B, siis vektorit tähistatakse . Vektorit tohib tähistada ka väiketähega, näiteks Üldiselt mõistetakse matemaatikas vektori all vabavektoreid kui pole öeldud teisiti. Samasihilisteks ehk kollineaarseteks ehk paralleelseteks nimetatakse vektoreid, mis asetsevad ühel ja samal sirgel või paralleelsetel sirgetel
Tõestamine vastuväiteliselt öeldakse, et esitatud väide ei kehti. Eeldusest ja väite eitusest lähtudes teisendatakse võrratust seni, kuni jõutakse vastuoluni eeldusega või mõne muu matemaatikast tuntud tõega. Sellest järeldatakse, et tehtud oletus väite mittekehtivusest oli väär ning seega peab väide olema tõene. 4.10 Nurga mõõtmine Nuri mõõdetakse nurgakraadides. Nurk 1 on 1/90 täisnurgast e 1/360 osa täispöördest. 1=60 ja 1=60=3600 4.11 Teravnurga siinus, koosinus ja tangens Nurga sin võrdub täiendusnurga koosinusega, nurga koosinus võrdub täiendusnurga sin, nurga tan võrdub täiendusnurga tan pöördväärtusega. Nurga a kasvades sin a väärtused kasvavad, cos a kahanevad ja tan a kasvavad. 4.12 Teravnurga siinuse, koosinuse ja tangensi leidmine 4.13 Teravnurkse kolmnurga lahendamine Iseloomustades treppi, mäenõlva jne tõusu seisukohalt kasutatakse tõusunurka e nurka objekti ja horisondi vahel või siis tõusunurga tangensit, mida nimetatakse tõusuks
vastassuunalised (tähistus a b). Vektorit, mille alguspunkt ühtib selle vektori lõpp-punktiga, nimetatakse nullvektoriks. Kahte vektorit, mis erineved teineteisest vaid suuna poolest, nimetatakse vastandvektoreiks. 14. Vektori korrutamine arvuga (geomeetriliselt). Vektorite liitmine ja lahutamine (geomeetriliselt). vektori korrutamine arvuga: vektori korrutamisel arvuga suureneb tema pikkus võrdeliselt (siht ei muutu). kui kordaja on negatiivne, muutub vektor vastassuunaliseks. Geomeetrilise vektori a korrutiseks arvuga nimetatakse vektorit a, mis rahuldab tingimusi: vektorite liitmine ja lahutamine: Kolmurgareegel liidetavad vektorid ühendada järjest summavektor tõmmata esimese alguspunktist viimase lõppunkti; Rööpküliku reegel liidetavate vektorite alguspunktid on samad, summavektor tuleb tômmata alguspunktist rööpküliku vastasnurka. lahutamine toimub vastandvektori liitmisel. 15
Kitsas matemaatikas peab kolmanda kursuse lõpetaja oskama selgitada vektori mõistet ja selle koordinaate; liitma ja lahutama vektoreid ning korrutama vektoreid arvuga nii geomeetriliselt kui ka koordinaatkujul; arvutama vektori pikkust; leidma vektorite skalaarkorrutist ning tundma vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tunnuseid. Õpilane koostab sirge võrrandi, kui sirge on määratud punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga või kahe punktiga ning määrab sirgete vastastikuse asendi ja leiab vajadusel nende lõikepunkti. Õpilane tunneb ja joonestab sirgeid, paraboole ja ringjooni nende võrrandite järgi ning koostab ringjoone võrrandi keskpunkti ja raadiuse järgi. Samuti peab õpilane oskama leida joonte lõikepunkte, kui üks joontest on sirge, ja lahendama rakendusliku sisuga ülesandeid vektorite ja joonte võrrandite abil. Laias kursuses peab õpilane lisaks eelnevale selgitama ka kahe vektori vahelist nurka,
5.
(1;-1), a1 = 3; a2 = -3; arccos 0,8. 6. y = -x2+6x-5; x1=1, x2=5; H(3;4); A(0;1); x1
teljeks. Ristkoordinaadistik ruumis: · Kolm ristuvat suunaga arvsirget; · Alguspuntkid ühtivad; · Ühikud on võrdsed. Punkti ristkoordinaadid ruumis - (punkti koordinaatide saamiseks võtame ristprojektsioonid vastavatele telgedele) M(x;y;z) Mx(x), My(y), Mz(z). Seosed punkti rist- ja sfäärkoordinaatide vahel: 1) x 2) y 3) z = sin* 13. Geomeetrilise vektori mõiste, tähistused. Vektorite võrdsus. Kollineaarsed vektorid. Vektor ehk suunatud lõik lõik, millel on määratud suund, siht ja suurus. Täh a=(a1;a2;a3) või AB=(a1;a2;a3). Vektorite võrdsus: vektoreid nim võrdseteks kui nad on kollineaarsed, samasuunalised ja võrdse pikkusega (võivad erineda vaid alguspunktide poolest). Kollineaarsed vektorid: vektorid, mis asuvad ühel ja samal sirgel või paralleelsetel sirgetel (siht on sama, suund ja pikkus võivad olla erinevad). 14. Vektori korrutamine arvuga (geomeetriliselt)
2016 aasta sügis) Ristkoordinaadid. Kui ruumis on antud ristkoordinaadisüsteem, siis ruumi iga punkt P on üheselt määrastud ristkoordinaatidega x, y, z, kus x on punkti P ristprojektsioon abstsissteljele, y on punkti P ristprojektsioon ordinaatteljele ja z on punkti P ristprojektsioon aplikaateljele. Kirjutame P(x, y, z). Kahe punkti vaheline kaugus. Kui P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) on ruumi punktid, siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga Vektori mõiste Vektor on suunatud lõik alguspunktiga punktis A ja lõpp-punktiga punktis B. Nullvektor Eukleidilises ruumis (näiteks tasandil) on nullvektoriks määramata suunaga vektor, mille pikkus on null. Ühikvektor Kui vektori pikkus on 1, siis teda nimetatakse ühikvektoriks. Vektorite liitmine ja lahutamine Lahutamine toimub sama põhimõtte järgi. Reaalarvu ja vektori korrutis. Vektori pikkus Vektori pikkuseks loetakse sellele vektorile vastava sirglõigu AB pikkust
Lineaarteheteks vektoritega on vektorite liitmine, vektorite lahutamine, vektori korrutamine arvuga. Definitsioon. Vektorite a ja b summaks nimetatakse vektorit c a b , mille alguspunkt langeb kokku vektori a alguspunktiga ja lõpp-punkt vektori b lõpp-punktiga eeldusel, et vektor b on rakendatud vektori a lõpp-punkti. Kahe vektori korral kehtib rööpküliku reegel. Seda definitsiooni on võimalik üldistada suvalise lõpliku arvu vektorite jaoks. Definitsioon. Vektorite a ja b vaheks nimetatakse vektorit a b , mis on võrdne summaga a b a b .
y (s2) (s1) Tõusva sirge (s1) tõus on positiivne : tan 1 > 0 (0 < < 90°); langeva sirge (s2) tõus on 2 negatiivne: 1 0 x tan 2 < 0 (90 ° < <180°); Kahe punktiga määratud sirge tõus Kui sirgelt on teada kaks punkti A(x1; y1) ja B(x2; y2), siis saab sirge tõusu leida valemiga y2 - y1 k= . x2 - x1 y Näide B Kui sirge läbib punkte A(3; 5) y2 ja B(-7; 0), siis sirge tõusuks y2 - y1 saame A
A(4;-3) ning sirge tõus on k=-2 y 3 2( x 4) y 2 x 5 Tõusu ja algordinaadiga sirge võrrand y kx b y=2x- 3 algordinaat sirge tõus 2 1 Näide. Koosta sirge võrrand, kui sirge läbib y-telge punktis -3 ning sirge tõus on k=4 y 4x 3 y 4x 3 Kahe punktiga määratud sirge võrrand y P(x;y) B(x2;y2) y y1 x x1 A(x1;y1) x y2 y1 x2 x1 s y y1 Lõigu AP tõus on x x1 y2 y1 y y1 y2 y1 x2 x1 x x1 Lõigu AB tõus on x2 x1 Näide.
Nullvektori suund on määramata. 5. Ühikvektor- Kui vektori pikkus on 1 6. vektorite liitmine-rööpkülikureegel: Vektorite a ja b summaks nimetatakse niisugust vektorit c, mis väljub nende ühisest alguspunktist ja on niisuguse rööpküliku diagonaal, mille külgedeks on liidetavad vektorid. Kolmnurga reegel-vektorite liitmisel viiakse teise liidetava alguspunkt esimese liidetava lõpp-punkti. Vektorite a ja b summaks on vektor mis kulgeb esimese liidetava alguspunktist teise liidetava lõpp-punkti. 7. vektorite lahutamine- Vektorite a ja b vaheks nimetatakse vektorit d, millel on omadus b+d=a. Kahe vektori vahe leidmiseks viikse nad ühisesse alguspunkti ja nende vahe on vektor, mis kulgeb vähendaja lõpp-punktist vähendatava lõpp-punkti. 8. vektori ja reaalarvu korrutis- vektori korrutiseks arvuga nimetatakse vektorit, mille pikkus võrdub arvu absoluutväärtuse ja lähivektori pikkuse
........................................25 Kahe nurga summa ja vahe trigonomeetrilised seosed...........................................................25 Kahe nurga summa ja vahe siinus...................................................................................... 25 Kahe nurga summa ja vahe koosinus................................................................................. 26 Kahe nurga summa ja vahe tangens................................................................................... 26 Taandamisvalemid..................................................................................................................26 Kahekordse nurga trigonomeetrilised funktsioonid............................................................... 27 Poolnurga trigonomeetrilised funktsioonid............................................................................ 27
sirge langeks? Kuidas joonestatakse sirget, kui Nimetaja näitab liikumist x- tõus on murd? teljel ja lugeja y-teljel Millise nurga moodustab langev Nurga, mis on suurem kui 90º sirge? Kuidas koostatakse sirge Y=kx+b B=3;k=2 võrrand, kui teada on b=algordinaat y=2x+b algordinaat ja tõus? k=tõus Milline on kahe punktiga X-x1 = y-y1 määratud sirge võrrand? x2-x1 y2-y1 Kuidas koostatakse sirge y-y1=k(x-x1) A(3;2) k=5 võrrand, kui teada on üks punkt k=tõus y-2=5x-15 ja tõus? y=5x-13 y1; x1= punktid Milline on sirge võrrand X _ Y =1 telglõikudes
X - XC Y - YC Sirge võrrand kahe punkti järgi: = . X D - X C YD - YC X - ( -3) Y -1 X + 3 Y -1 Asetame arvud võrrandisse: = = . 2 - ( -3) - 5 -1 5 -6 5y 5 = 6x 18 5y + 6x 5 + 18 = 0 6x + 5y + 13 = 0 2. Leia punktiga A(5 ; -2) ja sihivektoriga s = (3 ; -2) määratud sirge võrrand. X - X A Y - YA Sirge kanooniline võrrand: = . s1 s2 X - 5 Y - (-2) Asetame arvud võrrandisse: = . 3 -2 3y + 6 = 2x + 10 2x + 3y 4 = 0 3. Leia kahe punktiga C(-1 ; 3) ja D(7 ; 4) määratud sirge tõus. Kas sirge on tõusev või langev?
Sirge tõusunurgaks nimetatakse nurka (alfa), mis on x-telje positiivse suuna ja sirge vahel. Sirge tõusuks nimetatakse suurust tan(alfa). Sirge algordinaadiks nimetatakse ordinaadi väärtust, kus sirge lõikab y-telge. Sirge võrrand kahe puntki abil: x-x1 / x2-x1 = y-y1 / y2-y1 Sirge võrrand ühe punkti ja sihivektoriga: x-x1 / s1 = y-y1 / s2 Sirge võrrand punkti ja tõusuga: y-y1 = k(x-x1) Sirge võrrand tõusu ja algordinaadiga: y = kx + b Ühel sirgel on lõpmata palju sihivektoreid. Teame järgnevaid sirge määramise viise: kahe punkti abil, punkti ja sihivekotriga, punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga. Sirge on omavahel risti kui nende tõusude korrutis on -1, s.t. k1 * k2 = -1. N: 12x 3y = 0; 2x + 8y 9 = 0 s1(3;12) s2(-8;2) s1*s2=3*(-8)+12*2=0 Sirge üldvõrrand: ax + by + c = 0 => s(prim) = (-b; a) Kahe sirge vastastikused asendid: s: a1x + b1y + c1 = 0 t: a2x + b2y + c2 = 0 I ühtivad: a1/a2=b1/b2=c1/c2 II paralleelsed: a1/a2=b1/b2
Joonte parameetrilised võrrandid Joone parameetrilisteks võrranditeks ruumis nim võrandeid kujul x=x(t) y=y(t) z=z(t) kui esimene võrrand esitab x-i t-funktsioonina, teine võrrand esitab y-i ja kolmas z-i muutuja funktsioonina. Muutujat t nim parametriks. Tasandil nim joone parameetrilisteks võrranditeks võrrandeid x=x(t) y=y(t) Sirge parameetrilised võrrandid Sirge on täielikult määratud kui on teada nullist erinev sirgega paralleelne vektor, nn sirge sihivektor s ja üks punkt M1 sirgel. M on meelevaldne punkt sirgel, siis OM1=r1 ja OM=r. Punktid M1 ja M määravad vektori M1M=r-r1. See vektor on paralleelne sihivektoriga. Võrrand r-r1=st on sirge parameetriline võrrand vektorkujul. Võrrandit y= kx+b nim sirge võrrandiks tõusu ja algordinaadi järgi. Siin arv k on sirge tõus ehk x-telje positiivse suuna ja sirge vahelise nurga tangens. Arvu b nim sirge algordinaadiks.See on sirge ja y-telje lõikepunkti ordinaat.
X klassi matemaatika V perioodi arvestuse näidisküsimused ja -ülesanded Teemad: Valemid: 1. Vektor tasandil d= ( x2 - x1 ) 2 + ( y 2 - y1 ) 2 - Kahe punkti vaheline kaugus - Mis on vektor? Vektorite liigitus? a1 a 2 - Kollineaarsed vektorid a b , kui = b1 b2 AB = ( x 2 - x1 ; y 2 - y1 ) a = a12 + a 22
b = |a||b|, kui a risti b . Avaldis koordinaatides: i j k x1 y1 z1 axb = x1 y1 z1 a b c =x 2 y2 z2 x2 y2 z2 x3 y3 z3 18. Kolme vektori segakorrutis (mõiste, omadused, avaldis koordinaatides). Kolme vektori segakorrutis nim. vektor a skalaarkorrutist vektorkorrutisega bx c Omadused: 1) On arvuline suurus 2) On 0, kui vektorid on komplanaarsed 3) Vôrdub vektoritele ehitatud rööptahuka ruumalaga. Avaldis koordinaatides: (vaata üles puule). 19. Vektorite kollineaarsuse, ristseisu ja komplanaarsuse tunnused. Vektorite kollineaarsuse tunnus: 1) Vektorite vastavate koordinaatide korrutised on vôrdsed 2) Vektorkorrutis on 0 ja kumbki vektor ei ole 0-vektor 3) Skalaarkorrutis vôrdub vektorite pikkuste korrutisega.
. . , aik} nimetame vektorsüsteemi {a1, a2, . . . , am} alamsüsteemiks. Vektorsüsteemi lineaarne sõltuvus (sõltumatus) Vektorsüsteemi {a1, a2, . . . , am} nimetame lineaarselt sõltuvaks (lineaarselt sõltumatuks), kui vektorvõrrandil 1a1+ 2a2 + ... + mam on rohkem kui 1 lahend (on ainult 1 lahend) ?Tulemused lineaarse sõltuvuse kohta väikese elementide arvuga vektorsüsteemides viimane tähendab seda, et kui vektorsüsteemis on 1 vektor, siis l-sõltuv on ainult siis kui see vektor on 0 vektor, kui 2 vektorit, siis l-sõltuv, kui need vektorid on kollineaarsed VEKTORRUUMI BAAS: Vektorruumi baas Vektorsüsteemi {e1, e2, .... , en} nimetatakse vektorruumi V baasiks, kui: 1) see vektorsüsteem on lineaarselt sõltumatu; 2) vektorruumi V iga element on avaldatav selle vektorsüsteemi elementide kaudu. Lõpmatumõõtmeline vektorruum Vektorruumi, millel puuduvad baasid, nimetatakse lõpmatumõõtmeliseks ehk lõpmatudimensionaalseks vektorruumiks
Punkti Po(xo; yo; zo) kaugus tasandist Ax+By+Cz+D=0 Kahe tasandi vastastikused asendid Olgu 2 tasandit : A1x+B1y+C1z+D1=0; ja tema normaalvektor : A2x+B2y+C2z+D2=0; ja tema normaalvektor Ühtivad tasandid = Paralleelsed tasandid || Lõikuvad tasandid =l Tasandid on risti kui Nurk tasandite vahel Sirge ruumis Sirge sihivektoriks nim iga vektorit, mis on paralleelne sirgega. Sirge kanooniline võrrand Vaatleme sirget, mis läbib punkti Mo(xo;yo;zo) ja sihivektor on . Valime sirgel suvalise punkti M(x;y;z). Moodustame vektori . Kui asendada kanoonilisse võrrandisse mingi punkti koordinaadid, siis kõik 3 suhet on omavahel võrdsed. Sirge parameetriline võrrand Parameeter t on muutuv suurus, erinevatel sirge punktidele vastab erinev t väärtus. Sirge kanooniliste ja parameetriliste võrrandite leidmiseks on vaja punkti, mis asuks sirgel ja sirge sihivektorit. Sirge ja tasandi vastasikused asendid Olgu sirge s:
10. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kompleksarvu reaalosa ja imaginaarosa, kompleksarvude võrdsus, kaaskompleksarv. Kompleksarvude liitmise, korrutamise ja jagamise valemid. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvu geomeetriline tõlgendus, Kaaskompleksarvude ja kompleksarvude summa geomeetriline tõlgendus. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise ja juurimise valemid. Juurte arv. 11. Geomeetriline vektor. Vektorite kollineaarsus, vektorite võrdsus. Nullvektor. Kolmnurka ja rööpküliku reegel. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust 12. Aritmeetiline vektor. Lineaarsed tehted aritmeetiliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Aritmeetiline ruum. 13. Vektorruumi ja vektori definitsioon. Vektorruumi 5 näidet. Vektorite lineaarne kombinatsioon (näide geomeetriliste vektorite kohta)
Õppematerjalide loomist toetab AS Topauto/autod, markide Seat, Suzuki, Hyundai ning kasutatud autode müüja üle Eesti 3. Vektor tasandil. Joone võrrand Põhiteadmised · Punkti koordinaadid; · vektor, vektori koordinaadid; · vektorite summa ja vahe; · vektori korrutamine arvuga; · kahe vektori skalaarkorrutis; · vektori pikkus ja nurk vektorite vahel; · vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tunnused; · joone võrrandi mõiste; · sirge võrrand tasandil; · kahe sirge vastastikused asendid; · ringjoone võrrand; · parabooli võrrand. Põhioskused · Tehete sooritamine vektoritega geomeetriliselt ja koordinaatkujul;
Joone võrrand Lineaarfunktsioon Funktsiooni, mida saab esitada kujul y = ax+ b nimetatakse lineaarfunktsiooniks. Avaldis ax on lineaarliige. Arv b on vabaliige, b väärtus vastab argumendi (x) väärtusele 0. Arv a näitab, mille võrra muutub funktsioon (y), kui argument (x) suureneb ühe võrra. Lineaarfunktsiooni y = ax + b graafikuks on sirge, mis lõikub y-teljega punktis (0;b) ja läbib punkti (1; a+b). Sirge tõus a näitab, kui palju muutub sirgel oleva punkti ordinaat (y) siis, kui abstsiss (x) kasvab ühe ühiku võrra. Ruutfunktsioon Ruutfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on esitatud ruutavaldisega y = ax 2 + bx + c, kus ax 2 on ruutliige, bx on lineaarliige, c on vabaliige. Ruutfunktsiooni graafikuks on joon, mida nimetatakse parabooliks. Parabooli sümmeetriatelg on sirge, mille suhtes parabool on sümmeetriline (nimetatakse ka parabooli teljeks). Sümmeetriatelje ja parabooli ühist punkti nimetatakse haripunktiks. Punkte x-tel
Kui sirgete samanimelised projektsioonid on omavahel paralleelsed, kuid pole risti kaksvaate teljega. 23. Sõnastage kahe sirge lõikumise tunnus kaksvaate alusel. Kui kahe sirge samanimeliste projektsioonide lõikepunktid asetsevad ühel ja samal sidejoonel ning kummagi sirge mõlemad vaated pole risti x-teljega. 24. Skitseerige kahe kiivsirge (a ja b) kaksvaade (lahenda varjumine). 25. Nimetage kõik tasapinna määramisvõimalused. 1) kolme punktiga, mis ei asetse sirgel, 2) punkti ja sirgega, kui sirge ei läbi seda punkti, 3) kahe lõikuva sirgega, 4) kahe paralleelse sirgega. Tasand on määratud ka mistahes tasapinnalise kujundiga (ring, kolmnurg, jne). 26. Missugust tasapinda nimetatakse üldasendiliseks (eriasendiliseks)? 1)Üldasendiline tasapind ei ole paralleelne mitte ühegi ekraaniga 2) Eriasendiline tasapind on risti vähemalt ühe ekraaniga 27. Mis on tasapinna jälgjoon? Tasandi ja ekraani lõikejoon. 28
Kui sirgete samanimelised projektsioonid on omavahel paralleelsed, kuid pole risti kaksvaate teljega. 23. Sõnastage kahe sirge lõikumise tunnus kaksvaate alusel. Kui kahe sirge samanimeliste projektsioonide lõikepunktid asetsevad ühel ja samal sidejoonel ning kummagi sirge mõlemad vaated pole risti x-teljega. 24. Skitseerige kahe kiivsirge (a ja b) kaksvaade (lahenda varjumine). 25. Nimetage kõik tasapinna määramisvõimalused. 1) kolme punktiga, mis ei asetse sirgel, 2) punkti ja sirgega, kui sirge ei läbi seda punkti, 3) kahe lõikuva sirgega, 4) kahe paralleelse sirgega. Tasand on määratud ka mistahes tasapinnalise kujundiga (ring, kolmnurg, jne). 26. Missugust tasapinda nimetatakse üldasendiliseks (eriasendiliseks)? 1)Üldasendiline tasapind ei ole paralleelne mitte ühegi ekraaniga 2) Eriasendiline tasapind on risti vähemalt ühe ekraaniga 27. Mis on tasapinna jälgjoon? Tasandi ja ekraani lõikejoon. 28
Piirkondadeks jaotamiseks tuleb leida väärtused, mille puhul ühe absoluutväärtuse väärtus on 0. Antud võrrandis x1 = 2 x2 = 0 x3 = -1 Seejärel tuleb arvtelg jagada antud juhul neljaks piirkonnaks: ]-;-1], ]-1;0], ] 0;2] ja ]2;]. Piirkonnas lahendatakse lineaarvõrrand. Märke muudetakse järgmiselt: valitakse piirkonnast suvaline väärtus (näiteks esimesest piirkonnast -5) ning pannakse x asemele. Kui absoluutväärtuse väärtus on negatiivne, muudetakse märgid. Juhul, kui väärtus on positiivne, märke ei muudeta. Antud juhul: Piirkond: ]-;-1] Võrrand: -x+2-x=2-x-1 -> x=1 (EI SOBI PIIRKONDA) Piirkond: ]-1;0] Võrrand: -x+2-x=2+x+1 -> x1=-1/3
16. ühikvektorite skalaarkorrutised ii = 1 ji = 0 ki = 0 ij = 0 jj = 1 kj = 0 ik = 0 jk = 0 kk = 1 17. Skalaarkorrutis koordinaatides a b = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2. X 1 X 2 + Y1Y2 + Z 1 Z 2 18. Ühe vektori projektsioon teisel vektoril prb a = X 22 + Y22 + Z 22 19. Vektoria vektorkorrutis vektoriga b on vektor c, mis on määratud järgmiste tingimustega: 1. c = a xb = a b sin , vektori c pikkus võrdub nende vektorite moodulite ja nende vektorite vahelise nurga siinuse korrutisega. 2.Vektori c siht on risti vektoritele a ja b joonestatud rööpküliku tasandiga. ( c a ; c b ) 3.Vektori c suund on selline, et vektorid a, b ja c antud järjekorras moodustaksid parempoolse vektorkolmiku, s.t.
16. ühikvektorite skalaarkorrutised ii = 1 ji = 0 ki = 0 ij = 0 jj = 1 kj = 0 ik = 0 jk = 0 kk = 1 17. Skalaarkorrutis koordinaatides a b = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2. X 1 X 2 + Y1Y2 + Z 1 Z 2 18. Ühe vektori projektsioon teisel vektoril prb a = X 22 + Y22 + Z 22 19. Vektoria vektorkorrutis vektoriga b on vektor c, mis on määratud järgmiste tingimustega: 1. c = a xb = a b sin , vektori c pikkus võrdub nende vektorite moodulite ja nende vektorite vahelise nurga siinuse korrutisega. 2.Vektori c siht on risti vektoritele a ja b joonestatud rööpküliku tasandiga. ( c a ; c b ) 3.Vektori c suund on selline, et vektorid a, b ja c antud järjekorras moodustaksid parempoolse vektorkolmiku, s.t.
1 y y1 A koos pealtvaatega A ja eestvaade A koos külgvaatega A. Joon. 7 Märgime, et kolme ja enama ekraani kasutamise korral peavad joonisel olema näidatud omavahel ristiolevate ekraanipaaride likesirged - kaksvaate teljed. Kahe ekraani korral vib kasutada teljevaba kaksvaadet. 2. SIRGJOONE PROJEKTSIOONID Sirge on määratud oma kahe punktiga, iga punkt on määratud oma kaksvaatega - järelikut sirgjoon on määratud oma kahe punkti kaksvaatega (joon. 8). Kui sirge on risti ühe ekraaniga, siis tema kujutis sellel ekraanil on punkt ja kujutis teisel ekraanil on risti kaksvaate teljega. 2.1. Sirge jäljed Sirge jäljeks antud ekraanil nimetatakse tema likepunkti selle ekraaniga. Antud on sirge s(A,B) (joon. 9). Üldasendilisel sirgel on kolm jälge: P s × 1 - phijälg (P= s× x ; P s); E s × 2 - esijälg (E = s × x ; E s).
Vektori a pikkus on a ja tähistatakse |a| = a. Vektoreid a ja b nimetakse kollineaarseteks (a ||b), kui nad on paralleelsed sama sirgega. Kollineaarsed vektorid on kas samasuunalised a b või vastassuunalised a b. Vektoreid a ja b nimetatakse komplanaarseteks, kui nad on paralleelsed ühe ja sama tasandiga. Vektorid a ja b on võrdsed (on sama suured), a=b, kui nende pikkus on sama ja nad on samasuunalised Vektorite a ja b summa a+b on vektor, mille alguspunkt on a alguspunkt ja lõpp-punkt saadakse b paralleellükkega a lõpp-punkti, siis a+b lõpp-punkt on b lõpp-punkt. Tihti kasutatakse ka rööpküliku reeglit, kus vektorid a ja b pannakse paralleellükkega algama samast punktist. Summa on siis rööpküliku pikem diagonaal. a-b=a+(-b). Seega ahelreelgi järgi tuleks vektorite a ja b vaheks vektor a-b, mis saadakse a lõppu b vastasvektori b lisamisega. Rööpküliku reeglite järgi oleks vektorite a ja b vahe neile
Kui sirgete samanimelised projektsioonid on omavahel paralleelsed, kuid pole risti kaksvaate teljega. 23. Sõnastage kahe sirge lõikumise tunnus kaksvaate alusel. Kui kahe sirge samanimeliste projektsioonide lõikepunktid asetsevad ühel ja samal sidejoonel ning kummagi sirge mõlemad vaated pole risti xteljega. 24. Skitseerige kahe kiivsirge (a ja b) kaksvaade (lahenda varjumine). 25. Nimetage kõik tasapinna määramisvõimalused. 1) kolme punktiga, mis ei asetse sirgel, 2) punkti ja sirgega, kui sirge ei läbi seda punkti, 3) kahe lõikuva sirgega, 4) kahe paralleelse sirgega. Tasand on määratud ka mistahes tasapinnalise kujundiga (ring, kolmnurg, jne). 26. Missugust tasapinda nimetatakse üldasendiliseks (eriasendiliseks)? 1)Üldasendiline tasapind ei ole paralleelne mitte ühegi ekraaniga 2) Eriasendiline tasapind on risti vähemalt ühe ekraaniga 27. Mis on tasapinna jälgjoon? Tasandi ja ekraani lõikejoon. 28
Koosinusteoreem lahendada kaks kolmnurka. a2=b2+c2-2bc*cos Nürinurgast on b2=a2+c2-2ac*cos miinusega. Kõige suuremale küljele vastab kõik pikem külg jne. c2=a2+b2-2ab*cos 30o 45o 60o 90o Siinus on + I ja II veerandis sin 1/2 2/3 3/2 1 Koosinus on + I ja IV veerandis Tangens on + I ja III veerandis cos 3/2 2/2 1/2 0 tan 3/3 1 3 - II veerand: 180o antud nurk III veerand: antud nurk - 180o cot 3 1 3/3 - IV veerand: 360o antud nurk sin(± ) = sincos±cos sin cos(± ) = coscos sinsin tan(± ) = tan+tan/1 tantan sin2 = 2sincos cos2 = cos2-sin2 tan2 = 2tan/1-tan2
ja ainult üks arvtelje punkt. Öeldu põhjal saab reaalarvud samastada sirge (arvelje) punktidega. Absoluutväärtuse mõiste reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset arvu. Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunktivahelist kaugust arvteljel. Absoluutväärtuste omadused: Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a ; a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a-; a+) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st |x-a| < . Reaalarvu vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a-], kus >0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse (a-,a] siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st |x-a|<, ja x ei asetse arvust a paremal, st xa.
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
