Künd. Kündmiseks kasutatakse atra. Atrasi liigitatakse tavaatradeks ja pööratradeks. Kündmise eesmärgiks on mullakamara teistpidi pööramine, et umbrohi ja taime juured mulla alla matta. Kündmise käigus hävivad umbrohud ja korjatud kultuuri juured. Künnisügavus peaks olema ligikaudu 20cm Kündi tehakse 2x aastas, kevadel ja sügisel. Kündmisel on oluline et ader oleks õiges asetuses ja et vaod oleks ühtlased ning vaoharjad võiks olla märgatavad. Künnivao peal ei tohi olla mitte mingi sugust haljasmassi, juurikaid ega heina. Kobestamine Mulla kobestamiseks kasutatakse kultivaatorit. Mullaharimisel muld kobestatakse, õhutatakse, segatakse ja murendatakse, umbrohujuured lõigatakse läbi või eemaldatakse, põllupind tasandatakse ning väetis segatakse mullaga
Lahenda lineaarvõrrandisüsteemid 1. Lahenda võrrandisüsteemi graafiliselt. y - x 4 y 4x 1 (a) b) y 2x - 5 y 2x - 3 2. Lahenda järgmised lineaarvõrrandisüsteemid liitmisvõttega. y x 1 x - y 10 (a) (b) 2x y 5 0 2x - y 16 3 y 4 x - 2 2x 3y - 6 0 (c) (d) 2 y - 1 x 2 y - 3 x 2 4 3. Lahenda järgmised lineaarvõrrandisüsteemid asendusvõttega.
Matemaatilised meetodid loodusteadustes. II kontrollt¨ o¨o, I variant 1. Leida j¨argmised piirv¨a¨artused (3p): 9 + x2 -2x4 - 3x3 + 1 2x lim , lim , lim x-3 (x + 3)2 x- x3 - 3x4 x x - ex Lahendus. 9 + x2 limx-3 (9 + x2 ) 18 1) lim = = = +, x-3 (x + 3)2 limx-3 (x + 3)2 +0 -2x4 - 3x3 + 1 x4 -2 - x3 + x14 -2 + 0 + 0 2 2) lim 3 4
112824 Kp = e =2,018 8,314400 4) Tasakaalulise gaasisegu koostise arvutamine temperatuuril T ja rõhul P Aine Lähteaine Reageeris Tekkis Tasakaal Moolid Moolimurd CH3OH(g) - - x x CO 1 x - 1-x H2 2 2x - 2-2x Summa 3-2x 3 pCH3OH x 1-x (2-2x)2 x(3-2x )2 Kp = pH2 pCO = 3-2x :[ 3-2x * (3-2x)2 ] = ( 1- x ) (2-2x ) = 4x 3-12 x 2+9x 2x 2-4x +2 = Murru nimetajast x1=x2=1 Murru lugejast
Naine 17 11 172 55 18.59 jooksmine Mees 19 12 186 64 18.50 jõusaal Mees 18 11 198 72 18.37 ei tee trenni Naine 16 10 170 53 18.34 tantsimine Naine 19 12 176 56 18.08 ei tee trenni Mitu korda nädalas te1. Kes tee2. Kas ro 3. Kas tr 4. Et ka5. Et ka6. Et k Söön soojato 4 Ei Ei Jah Ei Jah Jah 3x päevas 3 Ei Ei Jah Ei Jah Jah 2x päevas 2 Ei Ei Jah Ei Jah Jah 2x päevas 4 Ei Ei Jah Ei Ei Ei 2x päevas 0 Ei Jah Jah Jah Ei Jah ei söö iga pä 4 Ei Ei Jah Jah Jah Jah ei söö iga pä 4 Ei Ei Jah Jah Jah Jah 3x päevas
22 4 4 4 -7+5 -2 - 7 - 5 - 12 x1 = = = -0,5 ja x2 = = = -3 4 4 4 4 y = 2x2 + 7x + 3 + + -3 _ - 0,5 x Vastus. Lahendihulk on (-; -3) (-0,5; ). Näide 2. Lahendame võrratuse x2 - 2x 3 < 0. Lahendame võrrandi x2 - 2x 3 = 0. Saame x1 = 3 ja x2 = -1. y = x2 - 2x - 3 + + -1 _ 3 x Vastus. Lahendihulk on (-1; 3). Näide 3. Lahendame võrratuse - x2 - 2x + 3 > 0. - x2 - 2x + 3 = 0 | : (-1) x2 + 2x - 3 = 0 x1 = -3 ja x2 = 1. + _ -3 1 _ x
Valemid 1) am*an=am+n 2) am:an=am-n 3) (an)m=anm 4) (a*b)n=an*bn 5) (a:b)n=an:bn 6) a-n=1/an 7) ruutjuur a-st on sama, mis a astmes ½ I Võrrandi teisendamine võrrandiks, mille mõlemad pooled on ühe ja sama arvu astmed. Näide 1. Lahendame võrrandi 9x+5=81. Teisendame mõlemad pooled arvu 3 astmeteks: (32)x+5=34 32x+10=34 Ühe ja sama arvu astmed on võrdsed vaid siis, kui kui astendajad on võrdsed, järelikult 2x+10=4 2x=-6 x=-3 Kontroll: 9-3+5= 92=81 II Võrrandid, mis peale teisendusi muutuvad I tüüpi võrranditeks. Eraldi tüübina on esitatud need ülesanded sellepärast, et selliste ülesannete lahendamisel tehakse sageli vigu. Seetõttu oleks vaja eriti hoolsalt näited läbi mõelda. Näide 1. Lahendame võrrandi 3x+1+3x = 108 Kaotame summa astendajas 3x * 31 + 3x = 108 3 * 3x + 3x = 108 Toome 3x sulgude ette 3x (3+1)=108 3x * 4=108 3x =108:4 3x =27 3x=33 x=3 Kontroll: 33+1+33 = 34+33=81+27=108
Karikosk.O ,,Kesk-ja pikamaajooksu probleemidest,, ,,Kehakultuur,, nr. 6, 1979 Treeningumeetod I Tabel 1 2 kuu Üke Sprindi alade Aeglase Kordusjooksud Teiste võimlas90 treenng tempoga maastikul spordialade min maastikujooks harrastamine XI 2x nädalas XII 2x nädalas 1x nädalas I 2x nädalas 1x nädalas II 2x nädalas 1x nädalas Võimalusel mängud III 1x nädalas 1x nädalas 1x nädalas IV 1x nädalas 1x nädalas 1x nädalas V 3-4x nädalas VI 3-4x nädalas
3) y=16.8 4) y=-25.6 3x - 2 y y 1 3. Leia võrrandi + = lahendid, kui y {0;-1;-3;1,5} 2 2 2 1) x=0.33 2) x=0 3) x=-0.69 4) x=0.85 4. Leia punktid, milles sirge - 3x + 2 y = 8 lõikab koordinaattelgi. 1) x=-2.67 2) y= 4 5. Leia võrrandile 4x + y = 5 neli lahendit. 1) (2;-3) 2) (3;-7) 3) (4;-11) 4) (5;-15) 6. Leia võrrandisüsteemi lahend Süsteem Lahend 2x + 3 y = - 1 (1;-1) 3x + 2 y = 1 3x + y = 4 (1;1) 2x - y = 1 2x + 3 y = 12 (3;2) x - 3y = - 3 42 x - 25 y = 47 (1;-0,2) 28x + 45 y = 19 17 x - 9 y = - 435 (-2,14;44,29) 3x - 2 y = - 95 7
seega kas x = 0 või 3x + 6 = 0, millest x = 2. Vastus: x1 = 0, x2 = 2. 2) Kui 0,5x2 23 = 0, siis 0,5x2 = 23, millest x2 = 46. Järelikult x1 = - 46 ja x 2 = 46 . 3) Seda tüüpi võrrandi lahenditeks on alati 0 ja 0. Kui jagame võrduse 3x2 = 0 mõlemad pooled arvuga (3), siis saame võrrandi x2 = 0, millest x1 = x2 = 0. Lineaar- või ruutvõrrandi lahendamisele taandub tavaliselt ka võrdekujuline võrrand. 3+x 2x + 1 = Näide 2. Lahendame võrrandi x - 1 3 + 2x . a c = Kasutame võrde põhiomadust: kui b d , siis ad = bc. Võrrand teiseneb kujule (3 + x)(3 + 2x) = (x 1)(2x + 1), ehk 9 + 6x + 3x + 2x2 = 2x2 + x 2x 1, millest 10x =10, ehk x = 1. Vastus: x = 1.
-(ja,ning)kui on 2 mõtte . Lause peaks lõppema , aga lause edasi minekuks pannakse ( , ) -rindlause , koondlause siis ( -) -kui mõlemas pooles on öeldis ( , ) -kui alguses on öeldis siis ( - ) -kui võrdlus , teisel pool on öeldis siis ( , ) -sidesõna: tahad panna punkti aga paned sidesõna(ja,ning,kui,aga) siis ( , ) -kui lisand puudub siis( , ) Laused: S_: ,, O_ .!? `` ,, O_ ,!? ´´ S_ . Ühend: -l,m,n,r ( 2 s) -l,m,n ( ühend 1x) -gi- l,m,n,r-täis.(tema ees 2x) -ki- k,p,t,g,b,d,s,h,f(tema ees 2x) -modern+ne liide ( modernne) -monarhi- mida? ( 1 x) -valss-(l,m,n,r 2s) -valsile-(keda?mille?mida?- 1s) -ainsus(2x)-kirss -mitmus(1x)-kirsid -Itaal/ia+lane=itaallane , Tsehh/i+lane=tsehlane , Portugaal+lane=portugaallane -kontr/a+revolutsioon=kontrrevolutsioon(kui lõppeb ja algab kaas.h siis on (2x) -tüvi+tegija=söö+ja, vii+ja, raju+ja -likkus-mis?(2x)-sõbralikkus-nim. -lik-missugune?(1x)-sõbralik -stikune-missugune(1x) om.kelle?mille?
1) Koonda sarnased liikmed a) 2a - 5a + 8a - 7a = ................... f) 7x - 9x -2 + 3 = ................................... b) 5x + 3x + 6x - 2x = ................... g) 15x + y - 3x - 7y - 3 = ........................... c) 11y - 5y + 6y - 7y = ..................______ h) 2x - 5xy - 3y - 3x + 2xy = ...................... d) 22c - 13c + 8c - 7c = ................ i) 11 - 3a + 7b - 2a + 4b = ........................ e) 3a - 5b + 9a - 7b = ...................._____ j) 13u + 7v + 8u - 8u - 11v + 21 = ............. 1. Lahenda järgmised võrrandid: a) 5 - 4x + 9 = 2x - 10 ....................... e) 24x = 17 + 9x + 42 + 1 .................. ................................................... ..........................................
Võrrandil on mõned omadused: 1) Võrrand vastab tõele, kui mõlemad pooled on samaväärsed NÄIDE: 4x=8 , kui sa saad leiad x väärtuse , siis pead seda ka kontrollima asendades x'i (või mõne muu tähe) sinu saadud väärtusega.Kui mõlemad pooled on samaväärsed, siis on võrrand õige. 2)Võrrandis saab liikmete pooli vahetada NÄIDE: 4x-34+9 = 6x- 65+ 2x Võrrandi liikmete poolte vahetamine käib nii, et sa võtad arvud, kus on sees tundmatu (seekord x) ja viid kõik need arvud ühele poole , kuid sa pead vahetama selle ees oleva märgi , kui sa viid selle teisele poole näiteks viime tundmatut sisaldavad arvud vasakule poole (4x-34+9 = 6x- 65+ 2x) , kuna 4x on juba vasakul pool, siis teda liigutama ega ta märki muutma ei pea, kuna 6x on paremal pool ,siis viime selle vasakule, muutes selle märki seega 4x-6x..
KODUTÖÖ 1. Hille Kesa Leida osatuletised fx ja fy kui 1. f(x,y) = 2x² 3y 4 fx' = 2x 0 0 = 2x fy' = 0- 3- 0 = 3 2. f (x,y) = (xy1) ² = (u)² fx' = 2u * y = 2(xy 1 )* y = 2xy² - y fy' = 2u* x = 2x²y x 3. f (x, y) = x / x² + y² = x / u fx' = (x ² + y ²) 2x ² / (x ² + y ² ) ² fy' = (x ² + y ²) 2x y / (x ² + y ² ) ² 4. f(x, y ) = e x y ln y fx' = exy y lny + exy fy' = exy x lny + exy/ y Leida määramispiirkond ja kirjeldada neid 1. f (x, y) = 1 / x2 + y2 Kuna tegu on jagatisega, siis on kitsenduseks, et nimetaja st. x2 + y2 >=0 ning x >= y, kuid x=y / 0 sest vaadates funktsiooni ei saa 0 jagada, x= 0 on katkevuspunkt.
Matemaatika konspekt I LIITMISVÕTE {2x + 3y = 12 {x -3y = -3 3x = 9 | : 3 x=3 3 3y = -3 -3y = -6 | :(-3) y=2 K: ... V: x = 3 y=2 ASENDUSVÕTE {y -2x = 1 => y = 1 + 2x {3x + y = 9 => 3x + 1 + 2x = 9 3x + 2x = 8 5x = 8 | : 5 x = 1,6 y = 1 + 2 x 1,6 y = 4,2 K: ... V: x = 1,6 y = 4,2 * ax2 + bx + c = 0 x1,2 = -b ± b2 -4 a c ---------------- 2xa * (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 * (a b)(a + b) = a2 b2 * (a + b)3 = a3 3a2b + 3ab2 + b3
3x2 + 5x - 2= 0 a = 3, b = 5 ja c = -2 - 5 ± 25 - 4 3 (-2) - 5 ± 25 + 24 - 5 ± 49 - 5 ± 7 x= = = = 2 3 6 6 6 -5+7 2 1 - 5 - 7 - 12 x1 = = = ja x2 = = = -2 6 6 3 6 6 Näide 6. Lahendame ruutvõrrandi x2 - 2x - 3 = 0. Selles võrrandis a = 1, b = - 2 ja c = -3. Asendame need arvud lahendivalemisse, saame 2 ± 4 - 4 1 ( -3) 2 ± 4 + 12 2 ± 16 2 ± 4 x= = = = . 2 1 2 2 2 2+4 6 2-4 -2 Siit x1 = = =3 ja x2 = = = -1. 2 2 2 2
d) 6,5y2z + yz2 7,5y2z + zy2 Lahendus: 6,5y2z + yz2 7,5y2z + zy2 = yz2 2. Lihtsusta avaldis. a) 6a (9) + 8a + (9) 7a Lahendus: 6a (9) + 8a + (9) 7a = 6a + 9 + 8a 9 7a = 7a b) (5 4c) + (8 2c) Lahendus: (5 4c) + (8 2c) = 5 + 4c + 8 2c = 2c + 3 c) (4u2 u) (5 u + 2u2) Lahendus: ((4u2 u) (5 u + 2u2) = 4u2 u 5 + u 2u2 = 2u2 5 d) (3x2 2x) (4x + 3x2) Lahendus: (3x2 2x + 1) (4x + 3x2) = 3x2 2x + 1 4x 3x2 = 6x + 1 e) 7x [2x + 1 (3x 5)] Lahendus: 7x [2x + 1 (3x 5)] = 7x [2x + 1 3x + 5] = 7x 2x 1 + 3x 5 = 8x 6 f) 4a 3 [3a (2 a)] Lahendus: 4a 3 [3a (2 a)] = 4a 3 [3a 2 + a] = 4a 3 3a + 2 a = 1 3. Auto kulutas iga kilomeetri läbimiseks keskmiselt a g bensiini. Auto läbis
Confidential Page 1 10.11.2004 Created by Allar Veelmaa Kodune kontrolltöö teemal „Lineaarvõrrandid- ja võrratused“ 1. Lahenda võrrand ja kontrolli lahendit. a) 3(4x – 1) – 2(-x – 5) = - 1; b) 4x – 3 – 2(2x – 1) = -3; c) (2x – 1)(x + 2) = 2x2 – 3(x – 4); d) -3,5(2,5x – 2,5) = 12,25x – 5,25; e) –(2x + 3) + 1 = -2x – 2. 2. Leia võrrandi lahendid. 3x − 1 3x − 5 a) = ; x+2 x +1 4x − 1 1 b) + 3x − 1 = − (2 x − 5) ; 2 3 − 3x − 1 3x + 1 1 c) − =− . 2 3 6 3. Leia võrratuse 4x – 1 ≤ 11 naturaalarvulised lahendid. 4. Lahenda võrratus. a) 4x – 1 > 2(-x – 3); b) -5(-2x – 5) < - 3x – 2; c) -5(2x – 5) < -3x – 2; 4x − 1 x + 4
5. Kui võrrand on kujul ax = b, siis jagatakse võrrandi pooled tundmatu ees oleva arvuga (arvuga a). Võrratuse saame siis, kui kirjutame kahe avaldise vahele võrratusmärgi <, >, ≤ , ≥ . 2a + 4 < 16 + 5a Arvvõrratus on võrratus, mille mõlemal pool on arvavaldised. 45 - 3∙6 > 2 + 8 Arvvõrratus on kas tõene või väär. -4 < 2 (tõene), 9 > 0 (väär) Võrratus võib sisaldada ka tundmatuid. 2x - 3,4 > 6 + 5x Tundmatu seda väärtust, mille korral saame antud võrratusest tõese lause, nimetatakse võrratuse lahendiks. 2x > 9; x > 4,5; x = 5 on võrratuse lahend Võrratuse kõik lahendid moodustavad võrratuse lahendihulga. x > 4,5 on lahendihulk Kaks võrratust on samaväärsed, kui nende lahendihulgad ühtivad. 4y -16 < 8 ja 4y < 24 on samaväärsed Võrratuse põhiomadused
4. Määran reaktsiooni termilise dissotsiatsiooni astme x ning dissotsiatsiooni tasakaalukonstandi Kp. Selleks koostan tabeli vastavate andmetega TASAKAALUS: aine lähteaine reageeris tekkis moole moolirõhk mooliprotsent N2 1 x - (1-x)/2 O2 1 x - (1-x)/2 NO - - 2x x/2 Gaasifaasis moole on 1 - x +1 x + 2x = 2 Arvutan tasakaalukonstandi 3000 K juures G03000 = - RT ln Kp Kp = e-G/RT = e- (104506,8481/mol /[(8,314 (J/molK) 3000K)] = e-4,1890 = 0,01515 Arvutusel jätsin välja üldrõhu, sest selle väärtus on 1. Kp = Kp= = Kp · (1 -2x + x2) = 2x Kp · ( 1 2x + x2 ) 2x = 0 0,01515· (1 2x + x2) 2x = 0 0,01515 0,0303x + 0,01515x2 2x =0 0,01515x2 -2,0303x + 0,01515 = 0 Lahendiks on x= 0,0762.
KOLJU (Cranium) Neurocranium- os occipital- KUKLALUU os sphenoidale- KIILLUU os frontale- OTSMIKULUU os parietale (2X)- KIIRULUU os ethmoidale- SÕELLUU os temporale (2X)-OIMULUU os occipitale- KUKLALUU basis- ALUS pars lateralis- KÜLGOSA mõlemal pool squama occipitalis- KUKLALUU SOOMUS clivus- NÕLV üldiselt paikneb selle peal ajusild foramen magnum- KUKLAMULK condylus occipitalis- KUKLALUU PÕNDAD canalis hypoglossi- KEELEALUNE NÄRVIKANAL incisura jugularis- KÄGISÄLK processus jugularis- KÄGIJÄTKED protuberantia occipitalis ext. et int. SUUR MÜGARIK VÄLIMINE JA SISEMINE sulcus sinus sagitali- NOOLULKE VAGU
8.klass Õpitulemused Näited 1.Kahe tundmatuga lineaarvõrrand - Ül.908 normaalkuju ax+by=c, esimese tundmatuga lineaarliige ax, teise teise | 12 tundmatuga lineaarliige by ja vabaliige c; tähed a,b ja c tähistavad arve, need on laiendajad on 12;4;2;3 võrrandi kordajad; kahe tundmatuga võrrandil on samad põhiomadused, mis 48x-4(2x-5)=2(y+2)-3(2x-3y) ühe tundmatuga võrrandil 48x-8x+20=2y+4-6x+9y 48x-8x-2y+6x-9y=4-20 NB kaks kahe tundmatuga lineaarvõrrandit 46x-11y=-16 normaalkuju moodustavad lineaarvõrrandisüsteemi 2.Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi Ül.901 normaaalkuju - võrrand üldkujul ax+by=c 3x-5(3y-4)=-3(x-2)+6 kirjutatakse nii, et lineaarliikmed on 3x-15y+20=-3x+6+6 tähestikulises järjekorras; murde, sulge või 3x-15y+3x=6+6-20
2. Kui eksponentvõrrand on ax või af(x) suhtes algebraline võrrand, siis lahendame selle vastavalt ax või af(x) suhtes , millega taandame antud eksponentvõrrandi ühele või mitmele võrrandile kujul ax= b või af(x) = b. Näide Lahendame võrrandi 34 x -1 - 32 x -1 - 2 = 0 korrutame kolmega: 4 x -1 2 x -1 3 -3 -2 = 0 3 4x 3 -1 - 3 2x 3 -1 -2 =0 asendus u = 32x : (32 x ) 2 - 32 x - 6 = 0 u 2 - u - 6 = 0 u1 = 3, u2 = -2. Lahend u2 = -2 ei sobi, kuna 3 -2 2x Lahendist u1 = 3 saame: 32 x = 3 32 x = 31 1 2x = 1 x=
Arvestades, et x2 - 16 = (x - 4)(x + 4), saame x-4 1 1 A = lim = lim = . x4 (x - 4)(x + 4)( x + 2) x4 (x + 4)( x + 2) 16 N¨ aide 7. Leida piirv¨aa¨rtus 2 lim (cos 2x)1/ sin x . x0 Lahendus. Punktis x = 0 esineb m¨aa¨ramatus 1 . Kui piirv¨aa¨rtuse lim f (x)g(x) arvutamisel tekib 1 t¨ uu¨pi m¨aa¨ramatus, siis on otstarbekas funktsioon u(x) = f (x)g(x) viia kujule u(x) = eg(x) ln f (x) . Kui on olemas l~oplik piirv¨aa¨rtus lim[g(x) ln f (x)] = A, siis lim u(x) = lim eg(x) ln f (x) = eA .
Kromatiidid lahknevad ekvatoriaaltasandil rakupoolustele. Telofaas- kääviniidid kaovad, sünteesitakse tuumamembraanid. Kromosoomid keerduvad lahti, tekivad tuumakesed. Tsütoplasma jaguneb kaheks-moodustuvad 2 tütarrakku. MEIOOS- Raku jagunemise viis, kromosoomide arv tütarrakkudes väheneb 2 korda- moodustub haploidne rakk. Sugurakud ja eosed moodustuvad nii. (Kui munarakk viljastatakse moodustub n+n-2n diploidne rakk) Interfaas- enne meioosi. DNA, tsentrioolid 2x, rakuorganellide arv suureneb. I Profaas- tuumamembraanid lagundatakse, tuumakesed kaovad. Kromosoomid keerduvad, tsentsioolide paarid eralduvad, nende vahele moodustuvad kääviniidid. Kromosoomide ristsiire - Homoloogilised kromosoomid liiguvad paarikaupa ja vahetavad omavahel võrdse pikkusega osi. Kaasneb geenivahetus. I Metafaas- homol. krom. liiguvad paarikaupa ekvatoriaaltasandile. Kääviniidid kinnituvad tsentromeeridele.
olema teada x0, y0 ja k. N Leida puutuja võrrand ja tõusunurk joonele y = x + 4 x - 5 , kui puutepunkti abstsiss on -1. 2 Antud on x0=-1 1) y0 leidmiseks asendan x0 väärtuse algsesse funktsiooni valemisse: y 0 = ( - 1) + 4 ( - 1) - 5 = 1 - 4 - 5 = -8 2 2) Tõusu k leidmiseks asendan x0 väärtuse algse funktsiooni tuletise valemisse: y = 2x + 4 k = y ( - 1) = 2 ( - 1) + 4 = -2 + 4 = 2 3) Kasutan puutuja võrrandi valemit: y - ( - 8) = 2( x - ( - 1) ) y + 8 = 2x + 2 y = 2x + 2 - 8 y = 2x - 6 4) Tõusunurga leian taskuarvutil: = arctan k = arctan 2 = 63,40 N Leida joone y = x - 2 x + 7 puutuja võrrand, kui puutuja tõus on -4. 2 1) Kuna tõus on sama mis tuletise y = 2x - 2
Arvutada y’(1), kui y ln (3 punkti). x 2 4x x3 2. Arvutada y’(1), kui y ln (3 punkti). 3. Arendada funktsioon MacLaurini ritta, kasutades kuni x3 3. Arendada funktsioon MacLaurini ritta, kasutades kuni neljandat järku tuletist: f(x) = 2-sin(2x) (3 punkti). neljandat järku tuletist: f(x) = 2-sin(2x) (3 punkti). 4. Arvutada y’, kui y = (2x-3)sinx (3 punkti). 4. Arvutada y’, kui y = (2x-3)sinx (3 punkti). 5. Arvutada järgmised piirväärtused: (2+3+3 punkti) 22 5 x 4 x 2x 4 5
5. Võnkuva keha kaugus tasakaaluasendist hälve 5. Kui sundiva jõu sagedus langeb kokku süsteemi vabavõngete sagedusega, tekib resonants. 6. Võnkumine, mille korral tänu hõõrdumisele võnkuva keha en ja amplituud vähenevad, on sumbuv võnkumine. 7. Nurga taga seisva auto mootori müra kuuleme me seetõttu, et lainete korral esineb a. difraktsioon b. interferents c. Doppleri efekt 8. Kui heli sagedus on ühe ja sama amplituudi korral 2x suurem, siis heli intensiivsus (Heli intensiivsus on võrdeline heli sageduse ja heliallika võnkeamplituudi ruuduga.) a. on 2x väiksem b. On sama, sest intensiivsus ei sõltu sagedusest c. On 2x suurem d. On 4x suurem 9. Interferents on a. sageduse muutumine liikuva heliallika korral b. Lainete liitumine c. lainete paindumine tõkete taha 10. Suurema sagedusega lainetel on lainepikkus a. suurem b. Väiksem c
seaduste kohaselt võetakse kõik arvulised tegurid omaette ja tähelised tegurid omaette rühma. 5 x a x (-3) x b x c = -3 x 5 x abc = -15abc • Kordaja 1 jäetakse korrutises kirjutamata. abc • Kordaja -1 asemele kirjutatakse ainult miinusmärk. - abc ÜLESANNE 1: LIHTSUSTA KORRUTIS JA LEIA KORDAJA 1) 5a●(-3)bc= 2) 4x●(-2)= 3) 10●(-a)●0.1= 4) 5a● (-0.2)●b = 5) 3,5●(-2x) ●(- 1)= ÜLESANNE 1: VASTUSED • 1) VASTUS: 5a●(-3)bc=-15abc , kordaja -15 • 2) VASTUS: 4x●(-2)=-8x , kordaja -8 • 3) VASTUS: 10●(-a)●0.1=-a , kordaja -1 • 4) VASTUS: 5a● (-0.2)●b =-ab , kordaja -1 • 5) VASTUS: 3,5●(-2x) ●(-1)=7x , kordaja 7 3.2 SULGUDE AVAMINE • Korrutamise jaotuvuse seadust a(b + c) = ab + ac nimetatakse lühidalt sulgude avamiseks. ÜLESANNE 1: AVA SULUD 1) 2(x+1)=
kool.ee 3. Ristküliku pindala on sama suur, kui kahel võrdsel ruudul, kusjuures ristküliku üks külg on 3 cm ja teine on võrdne ruudu küljega. Leia selle ruudu külg. Lahendus: Olgu ruudu külg x cm. Ruudu pindala on sel juhul x2 cm2 ja ristküliku pindala on 3x cm2. Ülesande andmete järgi, ristküliku pindala on sama suur, kui kahel võrdsel ruudul, saame võrrandi 2x2 = 3x; 2x2 3x = 0. Lahendame: x(2x 3) = 0; x1 = 0 ja 2x 3 = 0 ehk x2 = 1,5. Kuigi saadud võrrandil on kaks lahendit, sobib neist ülesande vastuseks ainult teine, sest ruudu külje pikku ei saa olla 0 cm. Kontroll: Kui ruudu külje pikkus on 1,5 cm, siis pindala on 1,5 . 1,5 = 2,25 cm2. Ristküliku küljed on 3 cm ja 1,5 cm ning pindala 3 . 1,5 = 4,5 cm2, mis on 2 korda suurem kui ruudu pindala. Vastab ülesande tingimustega. Vastus: Ruudu külg on 1,5 cm. 4. Kahe arvu vahe on 6. Nende arvude ruutude summa on 260
S(t)=-t²+24t-120 V´=-2t+24 Ülesande ülesehitus jäi veidi keeruliseks 6. (10p) Ruudukujulisest plekitahvlist, mille serva pikkus on 60 cm, x x soovitakse valmistada võimalikult suure ruumalaga kaaneta kast. Selleks lõigatakse nurkadest ära võrdsed ruudud ja painutatakse ääred üles nii, et moodustuks kasti külgpind. Leidke äralõigatavate ruutude külje pikkus. Lahendus. V=Sp*h= (60-2x)²*x= 3600x-240x²+4x³ x x V´=3600-480x+12x² |=0 MAX KOHT! x²-40x+300=0 x=(40±20):2 x1=30 ja x2=10 V: Ruudu külje pikkus on 10cm. 7. (10p) Puhkekompleksis on 20 puhkemaja, iga maja nädalaüür on 400 eurot. Kui puhkemaju juurde ehitada, siis kasutajate mugavus langeks. Seetõttu tuleb koha pidajal iga uue maja ehitamise korral üürihinda 10 euro võrra langetada
Kui võrratuse mõlemad pooled korrutada või jagada ühe ja sama negatiivse reaalarvuga, muutub võrratusmärk vastupidiseks: a > b m a < m b, kui m < 0 a < b m a > m b, kui m < 0 ÜHE MUUTUJA LINEAARVÕRRATUSED Kui võrratus sisaldab tundmatut, siis saab teda lahendada, s.t. leida tundmatu kõik need väärtused, mille puhul antud võrratusest saame õige lause. Need tundmatu väärtused moodustavad võrratuse lahendihulga. Näide 1. Lahendada võrratus 2x 8 > 7. Viime 8 teisele poolele 2x > 7 + 8 2x > 15 jagame 2-ga (>0) x > 7,5 Võrratuse lahendiks on kõik arvud, mis on suurem kui 7,5. Vastus: x (7,5; ). 5x - 6 x - 5 Näide 2. Lahendada võrratus 2- > 3 2 Korrutame võrratuse mõlemad pooled 6-ga 2· 6 2(5x 6) > 3(x 5),
VÕRRANDITE NÄIDISKONTROLLTÖÖ 1. Kas järgmised võrrandid on samaväärsed? 3 3 1) 3x + 2 = 2x 7 ja x = -9; 2) x + = - 2 ja x = -2; x+2 x+2 x +1 3) = 0 ja x + 1 = 0. x-2 2. Lahenda võrrandid 3 x + 13 3(2 x - 3) 2(4 - x) 3( x - 11) 5 x + 6 1 - x 3(9 - x) 1) - = -7; 2) - = - ; 8 5 3 5 15 4 10
elementaaralgebras võrrand, mis saadakse kahe lineaarfunktisooni võrrutamisel Maakeeli: Lineaarvõrrandid on põhimõtteliselt kõik võrrandid, kus pole, ruute, juuri, siinuseid ega muud sellist kraami, mis asja keeruliseks teevad. Lineaarvõrrandid, milles on üks tundmatu (üldjuhul x), on lahendatavad koheselt arvutades. Lineaarvõrrandid millel on kaks tundmatut (üldjuhul x ja y) on lahendatavad graafikuga. Lineaarvõrrandite näited: 3x + y - 5 = -7x +4y + 3 2x - 3y + 1 = 3 x + 2y + 1 = 2x -4x - 3 = x + 1 6x + y - z + 1 = 3x + z Ühesõnaga mõlemal pool võrdusmärki on mingisugune lineaarne värk millele saab sirget graafikut joonistada, ka sellised murdudega võrrandid võib lineaarseteks lugeda millel on tundmatu murru lugejas, sest ka neil on sirged graafikud. Ühe tundmatuga lineaarvõrrandite lahendamine: https://www.youtube.com/watch?v=07F9hKTKKQ0 Lineaarvõrrandite lahendamine etapiliselt: Level 1) Level 2)
NÄITEID ELUST NÄITEID ELUST VÕRDELINE SEOS ON NÄITEKS KAUBA KOGUSE JA KAUBA HINNA VAHEL, TÖÖAJA JA TÖÖHULGA VAHEL, (ÜHTLASE LIIKUMISE PUHUL) TEEPIKKUSE JA AJA VAHEL.. Suurused on võrdelises seoses, kui nende vastavate väärtuste suhe on konstantne 4 6 10 -8 1 0,4 100 9 4 16 24 40 -32 1 1,6 400 36 Y: X=a y:x=4 · 16:4=4 · 24:6=4 Võrdeline seos ja selle graafik y=ax Näide: y=2x x -2 -1 0 1 y -4 -2 0 2 Võrdelise seose graafik y=ax a>0 y=2x y y=2x x y= a.x a<0 y= -2 x X -3 -2 -1 0 1 2 3 y 6 4 2 0 -2 -4 -6 Võrdelise seose graafik y=ax, kui a<0 y=-2x y y=-2x x y=ax a nimetatakse sirge tõusuks · Kui a>0, siis sirge tõus
Võrrandite lahendamine Lineaarvõrrandid Lineearvõrrandeid saab alati esitada kujul ax + b = 0. Sellel võrrandil võib olla · täpselt üks lahend · lahendid võivad puududa · lõpmata palju lahendeid Näide 1. Lahendame võrrandi 3(2x + 5) = 7x. Avame sulud 6x + 15 = 7 x, millest 6x + x = 7 15 ehk 7x = 8. 8 - Selle võrrandi lahend on x = 7. Näide 2. Lahendame võrrandi 3(2x 1) = 6x 3. Avame sulud, saame 6x 3 = 6x 3 (*), ehk 6x 6x = 33 (**), millest 0x = 0. Viimane võrdus kehtib iga tundmatu x väärtuse korral (0 · x = 0). Kuna võrrandi
****************************************************************** Kui võrratus sisaldab tundmatu absoluutväärtusi, siis tuleb arvestada seda, et vastavalt absoluutväärtuse definitsioonile x, kui x 0 x = x, kui x < 0, võib võrratus erinevates MP osades omandada erineva kuju. Näide 5. Lahendame järgmise absoluutväärtusi sisaldava võrratuse: - -x2 + 3x + 2 x2 + 2x - 1. Selle MP-ks on kogu arvsirge ]-;[ . Kuna aga - x 2 + 3x, kui - x 2 + 3x 0 ehk 0 x 3 - x + 3x = 2 x 2 - 3 x, kui - x 2 + 3x < 0 ehk x < 0 x > 3 ja 2 x - 1, kui 2x - 1 0 ehk x 0,5 2x - 1 = -2x + 1, kui 2x - 1 < 0 ehk x < 0,5 siis teeme joonise, mis aitab leida nende võrratuste jaoks ühised piirkonnad.
sirge bvabaliige/algkordinaad on tegu langeva sirgega. alineaarliikme kordaja/sirge tõus y ja xmuutujad Vabaliige näitab punkti kus funktsioonigraafik (sirge) lõikab y telge. Lineaarliikme kordaja näitab kas tegu on tõusva või langeva sirgega. Sirge tõus näitab mitu ühikut muutub y, kui x suureneb 1 ühiku võrra. N: y=2x+3 x 3 2 1 0 1 2 3 *Langev sirge y 9 7 5 3 1 1 3 *Sirge lõikab punkti (0;3) *Y väheneb 2 ühiku võrra II I veerand veerand III IV veerand veerand
16x = 64; x = 4. Kolmnurga alus on 4 * 4 5 = 16 5 = 11 cm pikk ja haar 6 * 4 7 = 24 7 =17 cm. Kontroll: Võrdhaarse kolmnurga ümbermõõt on 11 + 2 * 17 = 45 cm. Vastab ülesande tingimustele. Vastus: Kolmnurga küljed on 17 cm, 17 cm ja 11 cm. 7. Kahe arvu summa on 93 ja samade arvude vahe 19. Leia need arvud. Lahendus: Olgu üks arv x. Kahe arvu summa on aga 93 ehk teine arv on 93 x. Nende kahe arvu vahe on 19. Saame võrrandi: x (93 x) = 19. x 93 + x = 19; 2x = 112; x = 56. Kontroll: Üks arv on 56 ja teine arv 93 56 = 37. Kahe arvu vahe on aga 56 37 = 19. Vastab ülesande tingimustele. Vastus: Otsitavad arvud on 56 ja 37. 8. Viisnurga küljed avalduvad järjestikuste naturaalarvudena, kusjuures kolme lühema külje pikkuste summa on 8 dm võrra suurem kahe pikema külje pikkuste summast. Leia viisnurga ümbermõõt. Lahendus: Viisnurga küljed avalduvad järjestikuste naturaalarvudena ehk külgede pikkused on x, x + 1,
3 i) Esiteks, võta kuupjuur üksliikmest x3 , mis võrdub x. ii) Järgmisena, võta kuupjuur 8-st, mis võrdub 2. Kirjuta x ja 2 koos sulgudesse ja jäta "+" märki nagu x + 8. Tulemuseks on (x + 2). 3 iii) iv) Tõsta ruutu x avaldises (x + 2) , et saada x2. v) Korruta x ja 2 avaldises (x + 2) , et saada 2x ja pane vastandmärk , et saada -2x. vi) Tõsta ruutu 2 avaldises (x + 2) , et saada 4. vii) Kirjuta x2, -2x ja 4 koos sulgudesse, et saada (x2 -2x + 4). Lõpptulemus on x + 8 = ( x + 2)( x - 2x + 4). 3 2 viii)
4. Lihtsusta avaldis - a -b a +b 2 2 4 4 2 5. Lihtsusta avaldis : - + 2 3x - 6 x - 2 x + 2 x - 4 2 2 4 2 6. Lihtsusta avaldis - + 2 : x - 3 x + 3 x - 9 3x - 9 2 2 1 7. Lihtsusta avaldis 2 2 : + x x + 2x x + 2 2 1 3 m 8. Lihtsusta avaldis - 2 m - 3 m - 3m 3 x2 - y2 x+2 x - 4 y 3y - 2x 9. Lihtsusta 2 + : x + 2 x - 2 xy + y 2 x - y x 2 - y 2 a 2 + a - 6 2a + 8 a 2 - 2a - 3 a 2 + 4 a + 4 10
5 . Keskmise sõitja ajaväärtuseks on 3/h. Liini teenusepakkuja kaalub intervalli vähendamist 5 minutile, selleks uute busside soetamiseks on arvestatud, et aastane kapitalikulu on 40 000 ning aastane tegevuskulu on 20 000 . Leia, kuidas muutub reisi üldistatud maksumus (G), sõidunõudlus ning tarbija hinnalisa (TR). Milline on kogu kasu projektist ning milline on sotsiaalne puhaskasu (net social benefit)? Enne: Kt 1x sõiduaeg (30) + 2x ooteaeg (5) + 2x jalutamise aeg (ei muutu) Pärast: (Kt) 2x5 2x2.5 = 5 min Kt e = 40 min Kt p = 35 min G = 5 min * 3 /h = 3/12 = 0,25 G1 = 1.5 + 2/3 h * 3 = 1.5 + 2 = 3.5 G2 = 3.25 Q1 = 895 Q2 = 903 TR = Q1* G + ½ * Q * G = 895 * 0,25 + ½ * 8 * 0,25 = 225 / p Aastas: 225 * 365 = 82 125 Net social benefit = 82 125 60 000 = 22.1K 3
Veekeetja 2 400W Vee puhastaja MAGAMISTUBA Öökapp Lai kummut Kahekohaline voodi ELUTUBA Arvutilaud Telekas 350W Lauaarvuti 350W Nelja tooliga söögilaud 4x Jalatugi 3-kohaline diivan Tugitool VANNITUBA Dusinurk 2x Elektriline rätikukuivataja kroomitud 2x 140 W Kraanikauss WC Kraanikauss Vetsupott SAUN Keris 3 600W Saunalava puidust PIKK KORIDOR Trepp 1. KORRUS KOKKU (): HIND (): 2. KORRUS: RUUM: ESE: 95 VABAAJA TUBA 3x Lai kummut 214,99 Arvutilaud Kodukinosüsteem 190W
Võrrandid Võrrandi mõiste Võrrand on muutujaid sisaldav võrdus, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Näited Ruutvõrrand: x2 2x 1 0 Trigonomeetriline võrrand: sin t cos 2t 1 Eksponentvõrrand x suhtes: e 2 x e 2 x 2a 1 lineaarne võrrand a suhtes: Juurvõrrand x ja y suhtes: x y x 2 2 xy Logaritmvõrrand: log u (2u u 2 ) 3 Võrrandi lahend Tundmatu (muutuja, otsitava) väärtust, mille korral võrrand osutub samasuseks, nimetatakse võrrandi lahendiks ehk juureks. Näide Võrrandi 2x 3 0 3 lahendiks on x ,
x telge ei puuduta ega lõika. 4 Vastus. L = Ø. Ülesanne 3. Lahenda ruutvõrratus. 1) 12x2 36x 0 2) 3x2 1200 0 3) 5x2 + 9x + 2 > 0 4) 4x2 11x 3 < 0 5) 3x2 + 11x 4 0 6) 4x2 7x + 2 0 7) 5x2 9x + 2 > 0 8) 3x2 + 14x 5 < 0 9) x2 10x + 25 0 10)x2 + 8x 16 0 11) 4x2 + 4x 1 > 0 12) 9x2 6x + 1 < 0 13) x2 + 2x + 8 > 0 14) x2 + 6x 10 < 0 15) 2x2 x 10 0 16) 3x2 2x + 5 0 17) 12 x(x + 3) 20 18) x(x 7) 10 25 19) x(x + 4) 4 20) x(6 x) 9 1 1 - ;2 - ;3 Vastused. ( ;3 0; ); ( ;20 20; ); 5 ; 4 ; ( - ;-4] 1 ; ( - ;-2] 1 ; - 2; 1 - 5; 1
muster.ee/ - voodikate (harmoneerub kardinatega) –sisustussalongist http://www.muster.ee/ - kaheinimese tekk 200*200 cm - 2 patja 50*60 cm - madratsikaitse frotee+ved. kindel põhi 160*200 cm - valge voodipesu (http://www.hotellitarbed.ee/ee/voodipesu/voodipesu-valge/ - voodilina 250x270 cm - suur tekikott 205x230 cm - 2 padjapüüri 52x62 cm - valged froteerätikud: http://www.hotellitarbed.ee/ee/froteeratikud/froteeratikud/ - 2x froteerätik 50*70 cm - 1x vannimatt 50*70 cm raamiga - 2x froteerätik 70*140 cm Vannituba: - dushinurk + dushikardin valge 150*200 cm - dushi hoidja 60 cm+ dush - Valamu segisti ja valamukapiga - 2x automaatne seebi dosaator (ühes vedelseep, teises dushigeel-shampoon) - WC-pott - WC paberi hoidja+ WC paberirull - lisa WC paberi hoidja+ lisa WC paberirull - WC hari + hoidja, seinale kinnitatav - vannitoavalgusti laes - vannitoapeegel valgustiga - föön
98481 280 4.8869219056 -0.98481 300 5.235987756 -0.86603 320 5.5850536064 -0.64279 340 5.9341194568 -0.34202 360 6.2831853072 -2E-016 Koostage järgmiste fun Siinusfunktsioon 1) Y=sin(x) 1.5 2) Y=cos(x) 3) Y=sin(2x)+2cos(x) 1 Salvestage iga funktsi pange töölehtedele fun 0.5 Nurga x väärtused tule kraadi sammuga 20 kr 0 0 45 90 135 180 225 270 315 360 trigonomeetriliste funk
I RÜHM 2x 4 0 15 1. 2p. Väga lihtne ülesanne. Vastus: x>2 3 x 2 4 2x 2 6 x 0 6x3 6x 2. 3p. Arvteljele tuleb kanda 4 väärust, nende hulgas on 2 kahekordset väärtust ja null. Intervallmeetodil lahendades alustad paremalt joonistamist ALT. Lõppvastuses on ka üks üksik väärus. Vastuseks on poollõik või üksik element 2 x 2 32 3. 2p. Ruutvõrratuse lahendamine, mille lahendamine eeldab parabooli joonistamist ja sealt vastuse lugemist. Vastuseks on lõik
Eksponentvõrratused © T. Lepikult, 2003 Eksponentvõrratuste lahendamine Eksponentvõrratuses esineb otsitav muutuja üksenes eksponentfunktsiooni astendajas. Lahendamisel y y = (1/2) x 8 y = 2x kasutatakse eksponentfunktsiooni monotonsuse omadust: ühest suurema aluse 5 korral on eksponentfunktsioon kasvav ja ühest 2 väiksema aluse korral 1 kahanev. -3 -2 -1 0 1 2 3 x Lihtsaimad eksponentvõrratused Lihtsaimad eksponentvõrratused on ax > b (1) ja ax < b. (2)
Koostaja: Daniel Vain Kuupäev: 3/1/2015 Tulud (aasta kohta/€) Isa palk 15,000 Ema palk 4,500 5x Laste palk 1,500 2x Pensionärid 1,600 Toetused 1,000 Korteri üür 15,000 Kokku 38,600 Pere tulud Isa palk; 19% Ema palk; 6% Kokku; 50% 5x Laste palk; 2% 2x Pensionärid; 2%
annaabi.ee 
