Algarvud ja kordarvud Sisukord Sissejuhatus Algarvud ja kordarvud Arvu tegurid ja kordsed Jaguvuse tunnused arvudega 2, 3, 5 ja 10 Kordarvu lahutamine algteguriteks Ajaloolisi andmeid Arvude ühistegurid Arvude ühiskordsed Alg- ja kordarvud Jagaja arv, millega antud arv jagub Arvudel on erinev arv jagajaid: Arv 1 jagub ainult iseendaga; Arvud 2, 3, 5 ja 7 jaguvad arvuga 1 ja iseendaga; Arvudel 6, 8 ja 10 on jagajaid neli; Arvul 24 on palju rohkem jagajaid: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ja 24; Alg- ja kordarvud Algarv naturaalarv, mis jagub ainult kahe arvuga (arv 1 ja arv ise) Kordarv naturaalarv, millel on rohkem kui kaks jagajat Algarvude tabel koostatatud selleks, sest suuremate arvude korral on raske otsustada, kas arv on alg või kordarv; Arvu tegurid ja kordsed Arvu tegur kõik arvud, millega antud arv jagub;
b) ab=ba a, b korrutamise kommutatiivsus c) a + (b + c) = (a + b) + c a, b, c liitmise assotsiatiivsus(ühenduvusseadus) d) a (b c) = (a b) c a, b, c korrutamise assotsiatiivsus e) a (b + c) = ab + ac a, b, c korrutamise distributiivsus 2) - hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. 4. Algarvud. 1) Algarvuks nimetatakse 1-st suuremat naturaalarvu, mis jagub ainult iseenda ja 1-ga. 2) Eratosthenese sõel. a) Nimekiri arvudest 2..N. b) Nimekirjast tõmmatakse maha need arvud, mis on mingi algarvu kordsed. 5. Algarvud. 1) Eukleidese teoreem. a) Teoreem : algarvude hulk on lõpmatu. b) Tõestus : Tähistame p1=2, p2=3, p3=5, ...
Naturaalarvude hulga saame esitada kujul: N = {1;2;3;...;n-1;n;n+1;...} . 0 1 2 3 4 Naturaalarvude hulga omadusi. · Naturaalarvude hulk N on järjestatud lõpmatu hulk, milles on vähim, kuid pole suurim arvu. · Naturaalarvude hulk N on hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge. · Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. (Kui kaks naturaalarvu liita või korrutada on tulemuseks alati naturaalarv.) · Naturaalarvude hulk ei ole kinnine lahutamise või jagamise suhtes. Naturaalarve, mis jaguvad 2-ga, nimetatakse paarisarvudeks, ülejäänuid paarituteks arvudeks. Ühest suuremat naturaalarvu , mis jagub vaid ühe ja iseendaga nimetatakse algarvuks, kõiki ülejäänud ühest suuremaid arve kordarvudeks. Algarvud on 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 jne. (Hulk on lõpmatu.) Arvud 0 ja 1 ei ole algarvud ega kordarvud. Arvu a teguriteks nimetatakse kõiki neid naturaalarve, millega arv a jagub
Ülesanne 1 Aksioom (kreeka keeles axima 'see, mis on vääriline') tähendab üldkeeles väidet, mille tõesuses pole kahtlust. Algarvuks nimetatakse ühest suuremat naturaalarvu, mis jagub vaid arvuga 1 ja iseendaga. Algarvude hulk on lõpmatu. Sajast väiksemad algarvud ((100) = 25) on 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ja 97. Kaksikuteks nimetatakse selliseid algarve, mille vahe on 2, näiteks 101 ja 103 või 1 000 000 007 ja 1 000 000 009. Ei ole teada, kas kaksikuid on lõpmata palju. Aritmeetiliseks keskmiseks nimetatakse arvu, mis saadakse antud arvude summa jagamisel liidetavate arvuga. Näide 1. On antud arvud 3, 4, 5 ja 6. Leiame nende arvude aritmeetilise keskmise.
omadused Naturaalarve saab kujutada punktidena arvkiirel Naturaalarve saab järjestada 0 1 2 3 4 1. a = b; 2. a > b; 3. a < b Naturaalarvude hulk on lõpmatu Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise tehete suhtes Naturaalarvude hulk ei ole lahutamise ega jagamise tehete suhtes kinnine Naturaalarvud Paaris- ja paaritu arvud arvuga 2 jaguvuse alusel Algarvud ja kordarvud - arvude jaguvuse alusel Algarv ühest suuremat naturaalarvu, mis jagub vaid ühe ja iseendaga Kordarvud kõiki ülejäänud ühest suuremaid naturaalarve NB! Arvud 0 ja 1 ei ole ei algarvud ega kordarvud Arvu a teguriteks nimetatakse kõiki neid naturaalarve, millega arv a jagub. Arvu iga tegur on kas selle arvu algarvuline tegur ehk algtegur või on võrdne arvu algtegurite korrutisega. Antud arvude suurimaks ühisteguriks (SÜT)
1. Absoluutväärtus reaalarvuga x määratud mittenegatiivne reaalarv 2. Abstsisstelg x telg 3. Aksioom lause, mida loetakse õigeks ilma põhjenduseta. Aksioomid võetakse aluseks teiste väidete põhjendamisel. 4. Algarv Ühest suurem naturaalarv, mis jagub vaid ühe ja iseendaga. 5. Algebraline murd murd, mille lugejaks ja / või nimetajaks on muutujaid sisaldav avaldis. 6. Algebraline ruutjuur arv, mille ruut on antud arv a. 7. Algkoordinaat antud sirge ja ordinaattelje lõikepunkti ordinaat. 8. Algtegur naturaalarvu algarvuline tegur. 9. Algteguriteks lahutamine naturaalarvu esitamine algarvuliste tegurite korrutisena. 10. Alusnurk võrdhaarse kolmnurga või trapetsi aluse ja haara vaheline nurk. 11. Apoteem 1
NB vaja selleks, et õppiks tundma mõisteid haarad moodustavad sirge. Murdjooneks nimetatakse järjestikku ühendatud lõike, mis ei asu ühel sirgel. 7.Algmõiste - mõiste, mida ei defineerita; punkt, sirge, tasand, ruum, arv, suurus, vaja teiste mõistete defineerimisel hulk 8.Aksioom - väide, mis loetakse tõeseks 1)arv 0 on vähim naturaalarv ilma põhjendamata 2)igale naturaalarvule järgneb vahetult ainult üks naturaalarv 3)kaht erinevat punkti läbib ainult üks sirge NB nendele tuginetakse teoreemide 4)igale kahele erinevale punktile A ja B tõestamisel vastab üks kindel positiivne arv-punktide A
[15]. Rekurrentsete võrrandite lahendamine genereerivate funktsioonide meetodil. [16]. Fibonacci arvud. Üldliikme valem ja rakendused. [17]. Lucas` arvud. [18]. Catalani arvud. [19]. Sündmused ja tõenäosus. Statistiline tõenäosus. Bernoulli suurte arvude seadus. [20]. Sõltuvad ja sõltumatud sündmused. Sündmuste summa ja korrutis. [21]. Täistõenäosuse valem. Bayesi reegel. [22]. Bernoulli valem (k katse õnnestumine katsete üldarvu n korral). [23]. Kord- ja algarvud. Algarvude jaotus, algarvulisuse kontroll, Eratosthenese sõel. [24]. Naturaalarvude kanooniline kuju. Suurim ühistegur ja vähim ühiskordne. [25]. Fermat teoreem. Pseudoalgarvud ja Carmichaeli arvud. [26]. Eukleidese algoritm. [27]. Lineaarsed diofantilised võrrandid. [28]. Täisarvude kongruentsid. Kongruentsi omadusi. [29]. Moodularitmeetika. [30]. Algarvulisuse Fermat` test. Miller-Rabini test. [31]. Graafid ja graafide omadused. Ahelad ja tsüklid graafis. [32]. Euleri graafid
56 3. Hariliku murru taandamine Hariliku murru põhiomadus: Kui murru lugejat ja nimetajat korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga, siis saame selle murruga võrdse murru. Murru taandamine on murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva naturaalarvuga. Näide: (taandatud 2-ga) Murdu saab taandada ainult siis, kui tema lugejal ja nimetajal on 1-st erinev ühistegur. Kui selline ühistegur puudub, siis ei saa murdu taandada.. 5 11 Näited: , 6 8 Selliseid murde nimetatakse taandumatuteks murdudeks. Murdu saab võib taandada kahte moodi: 1) järk-järgult, valides lugeja ja nimetaja ühistegureid seni, kuni jõutakse taandumatu murruni. ( taandatud esialgu 2-ga ja siis veel 2-ga) 2) Korraga, jagades lugeja ja nimetaja nende suurima ühisteguriga (taandatud 4-ga) Ülesanne
kaugusel. 25.Ringi moodustab ringjoone sees olev tasandi osa koos ringjoonega. 26.Raadius on matemaatiline lõik, mis ühendab rongjoone punkti keskpunktiga. 27.Diameetriks nimetatakse sirglõiku, mis ühendab kaht ringjoone punkti ja läbib ringi keskpunkti. 28.Algarvuks nimetatakse arvu, millel on ainult kaks jagajat. 29.Kordarv on arv, millel on vähemalt kolm jagajat. 30.Kõik arvud, millega antud arv jagub, on selle arvu tegurid. 31.Arvu kordsed on kõik need arvud, mis antud arvuga jaguvad. 32.Vastandarvud on arvud, mis erinevad ainult märgi poolest. 33.Mis tahes positiivse arvu ja arvu 0 absoluutväärtus on võrdne arvu endaga, negatiivse arvu absoluutväärtus on võrdne tema vastandarvuga 34.Võrrand on võrdus, mis sisaldab tundmatut. 35.Võrrandi lahend on võrrandist leitud tundmatu väärtus. 36.Osamäär näitab, kui suur osa tervikust tuleb leida või kui suur osa arvust on antud. 37.Protsent on suht arv, mis näitab kui palju üks suurus moodustab teisest. 38
a) väite kinnita mi s eks kas utataks e juba tões tatud teoreeme b ) kas utataks e vas tuväite lis t tões tus t, ehk põhj endataks e, et eeldus , et ei leidu s ellis t x-i mill e korral P(x) on tõene viib vas tuoluni. Teoree mi d es inevad s ageli kuj ul: x D . K ui on tõene P (x) s iis on tõene ka Q (x) P (x)-eeldus Q (x)-väide N äide : tões tada, et iga täis arvu n korral vahemikus 1 n 10 on n 2 - n + 11 algarv Tões tus s eks teis enda me ess pooltoodud kujule n N , P( x ) = { n 1 n 10 } Q( x ) = n - n + 11 on algarv 2 Tões tus : A rvutame välj a kõik vaj alikud väärtus ed: Q( 1 ) =1 Q( 2 ) = 13 Q( 3 ) =17 Q( 4 ) = 23 Q( 5 ) = 31 Q( 6 ) = 41 Q( 7 ) = 53 Q( 8 ) = 67 Q( 9 ) = 83 Q( 10 ) =101 V õims ai m tões tus e meetod on s elline, mis üldis tab ehk laiendab väite kehtivus piirkonda
Praegune valik on selline. Võib-olla on need ülesanded natukene abiks ka mõnele kolleegile. On lisatud ka vastused ja üks võimalikest lahenduskäikudest. 1. Ühe staadioniringi läbimiseks kulub Sassil 3 minutit ja Reinul 4 minutit. Poisid alustasid jooksu samal ajal samalt stardijoonelt. Leia vähim aeg, mis kulub poistel, et ületada jälle samaaegselt seda stardijoont. VASTUS: 12 minutit, sest see on väikseim arv, mis jagub nii 3-ga kui ka 4- ga. 2. Mitu kolmnurka on joonisel? VASTUS: 20 3. Mari elab koos ema, isa ja vennaga. Neil on kodus üks koer, kaks kassi, kaks papagoid ja akvaariumis neli kuldkala. Mitu jalga on neil kõigil kokku? VASTUS: 24 4. Arvuta. Vastus kirjuta rooma numbritega. MM MCMXLVIII = .............. VASTUS: LII ( 2000 1948 = 52) 5. Sirge tee ääres on võrdsete vahedega 9 bussipeatust. Esimese ja kolmanda peatuse
moodustaksid aritmeetilise jada 5 järjestikust liiget. Lahendus: Antud on a1 = 18; n = 5; a5 = -10. ( ) Asendades arvud valemisse a n = a1 + n - 1 d , saame -10 = 18 + (5 1)d; 4d = -28; d = -7. Seega arvud on 18 7 = 11, 11 7 = 4 ja 4 7 = -3. Vastus: otsitavad arvud on 11, 4 ja -3. 5. Leia kõigi 5-ga jaguvate kahekohaliste naturaalarvude summa. Lahendus: Esimene kahekohaline arv, mis jagub 5-ga on a1 = 10 ja viimane on an = 95. Selliseid arve on kokku 18. Loe ise üle. a + an Sn = 1 n Kasutame aritmeetilise jada esimese n-liikme summa valemit 2 . Saame 10 + 95 S18 = 18 = 945 2 Vastus: kõigi 5-ga jaguvate kahekohaliste naturaalarvude summa on 945. 6
siis öeldakse, et see arvuhulk on pidev 5. Vastandarv- Naturaalarvu n vastandarvuks nimetatakse sellist arvu -n, mis rahuldab võrdust n + ( -n ) = 0. 6. Täisarvude hulk- · Naturaalarvude hulk on täisarvude hulga osahulk · Z = {....-2; -1; 0; 1; 2; ......} · Jaguneb naturaalarvudeks ja negatiivseteks arvudeks a 7. b Murdarvud- Kui täisarv a jagub täisarvuga b, siis on jagatis täisarv, kui aga ei jagu, siis nimetame saadud arvu murdarvuks ja tähistame sümboliga (reaalarvu, mis ei ole täisarv.) 8. Ratsionaalarvude hulk- Täisarvud koos murdarvudega moodustavad ratsionaalarvude hulga 9. Irratsionaalarv- Lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud 10. Reaalarvude hulk- Irratsionaalarvud koos ratsionaalarvudega moodustavad reaalarvude hulga. 11
3) 3 = 3 + 3 + 3- 3- 3 8) 8 = 3 + 3 + 3- 3 : 3 4) 4 = 3 · 3 : 3 + 3 : 3 9) 9 = 3 + 3 + 3 + 3 -3 5) 5= 3 + 3 : 3 + 3 : 3 10) 10 = 3 + 3 + 3 + 3 : 3 6. 1) 19 · 88 2) 89 · 11 3) 200 · 6 7. See arv on 4,6 8. 2²² 9. Ülesande viimane tingimus ütleb, et selle kolmekohalise arvu keskmine number on 0. Kolmekohalisi paarisarve,milles on sajalisi kahe võrra vähem kui ühelisi, on vaid kolm: 204, 406 ja 608. Nendest jagub 3-ga vaid 204. Seega mõeldud arv on 204. 10. Ülesannet on kergem lahendada, liikudes tehete jadas lõpust ettepoole ning sooritades tehete pöördtehted (korrutamine jagamine, liitmine lahtuamine). (10 + 8) : 2- 3 = 6 Mõeldu arv on 6 11. 1) jälgides arve, selgub, et iga arv, va. esimene, on kolm korda suurem eelnevast. Seega on rea kaks järgmist arvu 81 ja 243 2) Iga rea liige (alates kolmandast) on kahe eelneva summa, siis tuleb rida jätkata arvudega 13 ja 21.
a) väite kinnita mi s eks kas utataks e juba tões tatud teoreeme b ) kas utataks e vas tuväite lis t tões tus t, ehk põhj endataks e, et eeldus , et ei leidu s ellis t x-i mill e korral P(x) on tõene viib vas tuoluni. Teoree mid es inevad s ageli kujul: x D . K ui on tõene P (x) s iis on tõene ka Q (x) P (x)-eeldus Q (x)-väide N äide : tões tada, et iga täis arvu n korral vahemikus 1 n 10 on n 2 n 11 algarv Tões tus s eks teis enda me ess pooltoodud kuj ule n N , P( x ) { n 1 n 10 } Q( x ) n n 11 on algarv 2 Tões tus : A rvutame välj a kõik vaj alikud väärtus ed: Q( 1 ) 1 Q( 2 ) 13 Q( 3 ) 17 Q( 4 ) 23 Q( 5 ) 31 Q( 6 ) 41 Q( 7 ) 53 Q( 8 ) 67 Q( 9 ) 83 Q( 10 ) 101 V õims ai m tões tus e meetod on s elline, mis üldis tab ehk laiendab väite kehtivus piirkonda
Nuputamisülesanded 1. Kaks isa ja kaks poega jagasid omavahel 3 õuna selliselt, et igaüks sai 1 õuna. Kuidas oli see võimalik? 2. Ühes perekonnas on kolm venda. Neist igaühel on üks õde. Kui palju lapsi on selles perekonnas? 3. Poisil on 3 ühesuurust kuulikest, kuid üks kuulike on teistest veidi kergem. Kuidas saab kaalu abil teistest kergema kuulikese kindlaks määrata kaaluvihte kasutamata? 4. Kaks täiskasvanut ja kaks last tahavad paadiga üle jõe minna, kuid paat kannab korraga ainult ühte täiskasvanut või kahte last. Kuidas nad siiski kõik üle jõe saavad? 5. Raamat ja pastapliiats maksavad kokku 100 krooni. Raamat maksab 70 krooni rohkem kui pliiats. Kui palju maksab pliiats? 6. 3 + 10 = 1 9+8=5 12 + 11 = 11 7 + 3 = 10 Millega on tegemist? Millisel juhul sellised võrdused kehtivad? 7. Ühele kaalukausile pandi arbuus, teisele kaalukausile pool täpselt samasugust arbuusi
Murdude korrutiseks on murd, mille lugejaks on tegurite lugejate korrutis, ning nimetajaks tegurite nimetajate korrutis. 1 Näited 1) 5 3 5 3 5 = = . 12 4 12 4 16 4 2) 2 1 7 2 = 11 23 = 11 23 = 253 = 16 13 . 5 3 5 3 53 15 15 Murdude jagamine Murdude jagatiseks on murd, mille lugejaks on jagatava lugeja ja jagaja nimetaja korrutis, ning nimetajaks jagatava nimetaja ja jagaja lugeja korrutis. 1 Näited 1) 5 4 5 3 5 : = = . 12 3 12 4 16 4 2) 2 1 : 7 2 = 11 : 23 = 11 3 = 33 . 5 3 5 3 5 23 115 1 9 2 9 1 9 1 3) 4 :2 = : = = =2 . 2 2 1 22 4 4 3
KOMBINATOORIKA 2 Kombinatoorika tegeleb üldiste meetodite ja valemite loomisega niisuguste ülesannete lahendamiseks, kus tuleb leida erinevate võimaluste arv mingis mõttes eristatavate hulkade moodustamiseks. Näiteks kui meil on vaja numbritest 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 moodustada neljakohalisi naturaalarve, siis saame neid arve eristada selles esinevate kohtade arvu järgi, aga lisaks sellele veel selle järgi, kas selles neljakohalises arvus on korduvaid numbreid, kas selles võib esikohal olla number 0, kas numbrite erinev järjestus annab erineva arvu jne. Seega on ennekõike vaja ülesande teksti põhjal määrata ühendite arvu määramise eeskirjad. Ühendeiks nimetatakse mingeist esemeist ehk elementidest moodustatud rühmi, mis erinevad üksteisest kas elementide endi, nende järjestuse või arvu poolest. Niisugust üldist definitsiooni saab väga mitmel viisil täpsustada. Järgnevalt vaatleme kuut kõige olulisemat võimalust selleks ja esitame vastavate ühendite ar
jagamise suhtes. Täisarvud Naturaalarvud koos oma vastandarvudega moodustavad täisarvude hulga Z Z={...-2; -1; 0; 1; 2; ...}. Eraldi räägitakse veel positiivsete täisarvude hulgast : ={1; 2; 3;...} ja negatiivsete täisarvude hulgast ={...-3; -2; -1}. Et igal täisarvul leidub vastandarv, siis on lahutamistehe täisarvude hulgas alati teostatav iga kahe täisarvu vahe on alati täisarv. Täisarvud liigutavad veel paaris ja paarituteks täisarvudeks.Täisarvu, mis jagub kahega, nimetatakse paarisarvuks. Ta on esitatav kujul 2n, kus n Z. Paaritud, st. kahega mittejaguvad täisarvud, esituvad aga kujul 2n+1, kus n Z. Täisarvude hulga omadused 1. Täisarvude hulk on järjestatud. 2. Täisarvude hulgas ei ole suurimat (arvu) ega vähimat elementi (arvu). 3. Täisarvude hulk on liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes kinnine arvuhulk (täisarvude summa, vahe ja korrutis on täisarv. 4. Kehtivad samasused: · (a) = a
1. Kõik positiivsed täisarvud kaasa arvatud 0. Tähis on N. 2. Pöördarvudeks nim kahte arvu, mille korrutis on 1. Vastandarvud- kaks arvu mille summa on 0. 3. Naturaalarvud koos oma vastandarvudega moodustavad täisarvude hulga Z. 4. Positiivsete täisarvude hulka tähistatakse sümboliga Z. Negatiivsete täisarvude hulka tähistatakse sümboliga Z. 5. Täisarvu, mis jagub 2-ga, nimetatakse paarisarvuks. Ta esitatakse kujul 2n+1, kus n kuulub hulka Z. Paaritu, mittejaguvad täisarvud, esitatakse kujul 2n+1, kus n kuulub hulka Z. 6. Murdarvud tekivad täisarvude jagamisel a/b, kus jagaja b ei tohi olla 0. 7. Ratsionaalarvud on kõik täisarvud ja murdarvud. 8. Ratsionaalrvuks nimetatakse arvu, mis avaldub jagatisena a/b, kus a kuulub hulka Z, b kuulub hulka Z ja b ei võrdu 0-ga. 9
jagamisel lahutatakse esimesest astendajast teine astendaja ja alus astendatakse saadud vahega 12.Üksliikmete jagamine - kordajad jagatakse omavahel, sama alusega astmed omavahel ja selgitus: 4:2=2, a:a=1 seda ei kirjutata saadud tulemused korrutatakse; jagada võib ka vastusesse, b astmete jagamisel tuleb astendajad taandamisvõttega lahutada 3-1=2 13.Jagatise astendamine - astendatakse eraldi jagatav ja jagaja ning jagatakse esimene tulemus teisega (a:b)n=an:bn 14.Astendaja 0 ja 1 - iga nullist erinev arv astmes 0 on võrdne 1-ga ; iga astmealus astmes 1 on võrdne iseendaga 15.Negatiivne astendaja - nullist erinevat arvu negatiivse täisarvuga astendades tuleb arv või astendada selle astendaja vastandarvuga ja leida saadud astme pöördväärtus ; võib ka teisiti: astendada aluse pöördarv astendaja vastandarvuga 16
3) 9.Hulkliikme jagamine üksliikmega - jagatakse hulkliikme iga liige selle üksliikmega ja tulemused liidetakse selgitus: 1) 2) 3) 10.Hulkliikme tegurdamine - hulkliikme 1) teisendamine korrutiseks: 2) 1)leiame hulkliikme kõigi liikmete ühise teguri, millega kõik liikmed jaguvad 3) 2)leitud teguri toome sulgude ette, s.t. toome ta sulgudest välja 3)sulgudesse kirjutame hulkliikme, mis saadakse antud hulkliikme jagamisel selle ühisteguriga 11.Kaksliikmete korrutamine - ühe (x+y)(u+v)=xu+xv+yu+yv kaksliikme kumbki liige korrutada teise kaksliikme kummagi liikmega, tulemused liita, võimalusel koondada 12.Rühmitamisvõte - avaldada hulkliige korrutisena 1)rühmitada antud hulkliige cx+cy-d(x+y)=c(x+y)-d(x+y)=(x+y)(c-d)
Kolmnurk , mille kaks külge on ühe pikkusega on __7___ . Ruut on ___8___ , mille kõiik nurgad on __9__ . ___10___ on rööpkülik , mille kõik küljed on võrdsed. Ringjoone diameetriks nim lõiku , mis ühendab ringjoone__11___ ja ___12___ . Joon , mille iga punkt asetseb ringjoone keskpunktist võrdsel kaugusel on __13__ . Naturaalarvu , millel on ainult kaks tegurit ( 1 ja see arv ise ) nim ___14___ . Naturaalarvu , millel on enam kui kaks tegurit nim __15___ . Arv , millega antud arv jagub nim ___16___ . Arv , mis jagub antud arvuga on ___17___ . Murd , mille lugeja on nimetajast väiksem on __18__ . Murru taandamine on __19____ . Murru laiendamine on __20____ . Nurk , mis on suurem täisnurgast ja väiksem sirgnurgast nim ___21___ . ___22___ on täisnurgast väiksem. Kaht nurka , millel on üks ühine haar ja teised haarad moodustavad sirge nim __23__ . Tippnurgad on ___24__ ja ____25___ kõrvunurgad . 26. Mis on hulkliige? 27.Mis on arvuabsoluut väärtus ? 28
Sümboli väärtus ei sõltu asukohast. Sümboli väärtus sõltub asukohast. Edaspidi vaatleme ainult positsioonilisi arvusüsteeme ja nimetame neid lihtsuse mõttes lihtsalt arvusüsteemideks. Kümnendsüsteem Tekkis 5. sajandil Indias. Algselt kasutati numbreid 1- 9. Nulli kohale jäeti tühi koht. Alles hiljem hakati seda kohta märkima punktikese või väikese ringikesega. Positsioonilises kümnendsüsteemis esitub iga naturaalarv üheliste, kümneliste, sajaliste jne. summana. See tähendab: 325 = 3 · 100 + 2 · 10 + 5 · 1 21, 54 = 2 · 10 + 1 · 1 + 5 · 0, 1 + 4 · 0, 01 Kasutades arvu 10 astmeid võib selle summa kirja panna nii: 325 = 3 · 102 + 2 · 101 + 5 · 100 21, 54 = 2 · 101 + 1 · 100 + 5 · 10-1 + 4 · 10-2 Arvu 10 nimetatakse kümnendsüsteemi aluseks. 2 Kahendsüsteem
7. Algarvuks nimetatakse naturaalarvu, millel on ainult kaks tegurit. 8. Kordarvuks nimetatakse naturaalarvu, millel on enam kui kaks tegurit. 9. Hariliku murdu, mille lugeja on nimetajast suurem, nimetatakse liigmurruks. 10. Sirgnurgaks nimetatakse nurka, mille haarad moodustavad sirgjoone. 11. Paralleelseteks sirgeteks nimetatakse sirgeid, millel ühised punktid puuduvad. 12. Rombiks nimetatakse nelinurka, mille lähisküljed on võrdsed. 13. Iga naturaalarvu, millega antud arv jagub, nimetatakse antud arvu teguriks. 14. Iga naturaalarvu peale nulli, mis jagub antud arvuga, nimetatakse selle arvu kordseks. 15. Lihtmurruks nimetatakse harilikku murdu, mille lugeja on nimetajast väiksem. 16. Murru taandamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja jagamist ühe ja sama nullist erineva arvuga. 17. Murru laiendamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja korrutamist ühe ja sama nullist erineva arvuga. 18
Teoreem: Kõik ühekohalised lihtrekursiivsed funktsioonid on genereeritavad elementaarfunktsioonidest s(n)=n+1 ja q(n)=n−⌊√n⌋2 („ruutjääk”), kasutades liitmise, kompositsiooni- ja iteratsioonioperaatorit. Teoreem: Kõik ühekohalised osalised rekursiivsed funktsioonid on genereeritavad elementaarfunkt- sioonidest s(n) = n+1 ja q(n) = n−⌊√n⌋2, kasutades liitmise, kompositsiooni- ja pööramisoperaatorit. DEF: Funktsioonile h vastavusse seatud naturaalarv Gh (tema Gödeli number) arvutatakse nii: 2, kui h=s (s(n)=n+1) 3, kui h=q (q(n)=n−⌊√n⌋2) 5Gf · 7Gg, kui h=f+g 11Gf · 13Gg, kui h=f◦g 17Gf, kui h=f -1 19Gf, kui h=ιf Turingi mõttes arvutatavad on vaid need ühekohalised funktsioonid, mille jaoks leidub Gödeli number. 23 Kleene' s-m-n teoreem. Ühe funktsiooni Gödeli numbrist teise f.-ni Gödeli numbri arvutamine. Teoreem: Leidub selline m+1-kohaline (m y-t ja a) arvutatav funktsioon Snm, et suvaliste a,y1,...,ym korral
Kompleksarve aga ei saa järjestada suuruse järgi. Näiteks ei saa määrata, kumb kompleksarv on suurem kas 2 + 3i või 3 + 2i. Teema alguses selgitasime, et mitte igal ruutvõrrandil pole reaalarvulisi lahendeid. 1pr.k.imaginaire - kujutletav. Nimetuse imaginaire võttis tarvitusele prantsuse matemaatik Nad on olemas vaid siis, kui võrrandi ax2 + bx + c = 0 diskriminant on kas positiivne Rene Descartes 1637.a. või null (s.t. D = b2 - 4ac 0). Esimesel juhul on võrrandil kaks erinevat reaalarvulist 2Sõna "kompleksne" tähendab eesti keeles "liitne"; selle nimetuse andis arvudele lahendit, teisel juhul on lahendid võrdsed.
Kontrolli, kas selliselt arvutades saad eelmises näites antud determinantide determinant võrdne nulliga. korral samad tulemused kui Sarruse reegli järgi arvutades. a b = a·0 0·b = 0. 0 0 1 Sarrus, Pierre Frédéric (1798 -- 1861) -- prantsuse matemaatik. 7. Kui determinandis asuvad ühel pool peadiagonaali vaid nullid, siis on b) kolmerealiste determinantide korral; determinant võrdne peadiagonaali elementide korrutisega. Kui ühel 8. Kui determinandi mõne rea (veeru) elemendid esinevad kahe liidetava pool kõrvaldiagonaali on vaid nullid, siis on determinandi väärtus summana, siis ka determinant avaldub kahe determinandi summana,
Jadad Tõkestatud Tõkestamata Hääbuvad Muud Lõpmata suured Muud Tõkestamatult kasvavad Muud Tõkestamatult kahanevad JADAD Näited Tõkestatud jada hääbuv jada 1,½,,¼,..., konstantne jada 3,3,3,...,3,... Tõkestamata jada 6-ga jaguvad naturaalarvud alates arvust 6 tõkestamatult kasvav 3,0 -3,-6,-9,... tõkestamatult kahanev Jadad ehk progressioonid Aritmeetiline jada Geomeetriline jada mõiste: jada, milles iga mõiste: jada, milles iga liikme ja temale eelneva liikme ja temale eelneva liikme vahe on jääv suurus. liikme jagatis on jääv seda jäävat suurust suurus.
Ligikaudne arv ja selle tüvenumbrid .Ligikaudse arvutuse eeskirjad Matemaatika referaat : Nimi : Klass : Õpetaja Tallinn 2011 Sisukord 2 Mis on ligikaudsed arvud?..........................................3 .1 Mis on tüvenumbrid?................................................3 .2 Ligikaudse arvutuse eeskirjad.......................................4 .3 Kasutatud kirjandus..................................................6 .4 ?Mis on ligikaudsed arvud .1 3 Ligikaudne arv (ka lähend või lähismurd) mingi arvuga A (ülesande lahendiga, mõõdetava pikkusega vms.) ligikaudu võrduv arv a. Nii näiteks arvu sageli kasutatav lähend on 3,14.
Näide: Kui nurgad on kõrvunurgad, siis nende summa on 180o. Teoreemi tõestamine tähendab selle näitamist, et eeldusest A järeldub väide B. Tõestamisel lähtutakse aksioomidest ja varem tõestatud teoreemidest. Vahetades teoreemis ,,Kui A, siis B" eelduse ja väite, saame lause ,,Kui B, siis A". Seda lauset nimetatakse antud lause pöördlauseks. Kui lause kehtib, siis selle lause pöördlause ei pruugi kehtida. Näide: Lause: ,,Kui arv lõpeb nulliga, siis ta jagub viiega" (kehtib). Pöördlause: ,,Kui arv jagub viiega, siis ta lõpeb nulliga" (ei kehti). Näide: Lause: ,,Kui kolmnurga küljed on võrdsed, siis on ta nurgad võrdsed"(kehtib). Pöördlause: ,,Kui kolmnurga nurgad on võrdsed, siis ta küljed on võrdsed" (kehtib). Kui pöördlause juhtub olema tõene, siis nimetatakse seda pöördteoreemiks. Asendades teoreemis ,,Kui A, siis B" eelduse ja väite nende eitustega (sümbolid ¬A ja ¬B), saame lause ,,Kui ¬A, siis ¬B"
Kordamine II 5 x + 6 12 - x x 33. - = Lahenda võrrandid ja tee kontroll 9 6 2 1. 5 - 2( 3x +1) = 3( 2 - 3x ) + 6 Lahenda võrrandisüsteem 2. ( x + 3) - 2 x = ( x - 2 )( x + 2 ) + 1 2 3. ( 2 y - 3) + 4 = ( 2 y - 3)( 2 y + 1) 2 ( x + 2) 2 - ( y + x ) = ( x + 1)( x - 1) + 13 34. 4. ( x - 2 ) 2 + ( 3 x -1)( x + 3) = ( 2 x -1)( 2 x + 1) + 6 ( x + 3)( x - 2) - ( x - y )( x + y ) = ( y + 1) 2 - 9 5. 12 x 2 - ( 3 x +1) 2 = ( 3 x - 2 )( x +1) - 6 6. ( 2 x -1) 2 + x = x( x - 3) +13 ( u - 1) 2 + 3v = ( u -
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
