30 20 10 0 -6 -4 -2 0 2 4 6 -10 -20 -30 Koostas: -40 Ruutfunktsioonid · Ruutfunktsioon y = x² · Ruutfunktsioon y = ax² · Ruutfunktsioon y = ax² + c · Ruutfunktsioon y = ax² + bx · Ruutfunktsioon y = ax² + bx + c Ruutfunktsioon y = x² Ruutliikme kordaja on 1 30 y Graafikut nimetatakse 25 PÕHIPARABOOLIKS 20 Graafik avaneb ÜLES 15 Graafik on sümmeetriline Y - TELJE SUHTES 10 Nullkoht on punktis ( 0 ; 0 ) 5
1.5 RUUTVÕRRAND Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul ax2 + bx + c = 0, kus a 0. Kordajad a, b ja c on reaalarvud ning x tundmatu (otsitav). Ruutvõrrand on teise astme algebraline võrrand. Ruutvõrrandi liikmeid nimetatakse järgmiselt: ax2 ruutliige, kus a on ruutliikme kordaja; bx lineaarliige, kus b on lineaarliikme kordaja; c vabaliige. Ruutvõrrandi lahendivalem on - b ± b 2 - 4ac x= () 2a Avaldist D = b2 4ac nimetatakse ruutvõrrandi diskriminandiks. · Kui D > 0, siis ruutvõrrandil on 2 erinevat lahendit. · Kui D = 0, siis on ruutvõrrandil 2 võrdset lahendit. · Kui D < 0, siis ruutvõrrandil reaalarvulised lahendid puuduvad.
Ruutfunktsioon avaldub kujul y = ax2 + bx + c, kus a, b ja c on mistahes arvud ja ruutliikme kordaja a 0. Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafikuks on parabool. Kui a > 0, siis parabooli harud avanevad üles, kui a < 0, siis alla. Parabooli sümmeetriatelge nimetatakse parabooli teljeks ja punkti, kus parabool lõikub oma teljega nimetatakse parabooli haripunktiks. Parabooli skitseerimiseks tuleb leida nullkohad ( võrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendid) ja x + x2
Võrrand, mille vasakul poolel on esimesel kohal positiivse kordajaga ruutliige, teisel kohal lineaarliige, kolmandal kohal vabaliige ning paremal poolel null, on normaalkujuline ruutvõrrand. Kui normaalkujulises ruutvõrrandis on kõik kolm liiget olemas (üheski kordaja pole 0), siis on tegemist täieliku ruutvõrrandiga. Kui ruutvõrrandis puudub lineaarliige või vabaliige või need mõlemad, siis see võrrand on mittetäielik ruutvõrrand. Ruutvõrrandit, mille ruutliikme kordaja a = 1, nimetatakse taandatud ruutvõrrandiks. 16. Kuidas lahendada mittetäielikku ruutvõrrandit? Puudub vabaliige: 1) Toome ühise teguri sulgude ette. Nii saame uue võrrandi, mille vasak pool on kahe teguri korrutis. 2) Korrutis võrdub nulliga, kui üks tegureist võrdub nulliga. 3) Saame võrrandile kaks lahendit: väiksema lahendi tähistame x1 ja suurema lahendi tähistame x2 4) Teeme kontrolli ja kirjutame vastuse Puudub lineaarliige:
Ruutfunktsioon Ruutfunktsiooni üldkuju: Ruutliige on funktsiooni pealiikmeks, kuna ruutliige määrab selle graafiku iseloomu ja kuju. Lineaarliige ja vabaliige mõjuvad vaid graafiku asukohta koordinaatteljestikus. Ruutfunktsiooni graafik on parabool Parabooli kuju sõltub ruutliikme kordaja suurusest ja märgist: Parabooli joonestamine: · Koosta väärtuste tabel. · Joonesta koordinaattasand. · Kanna arvutatud punktid koordinaattasandile. · Ühenda tasandile kantud punktid. Parabooli haripunkti koordinaatide arvutamine Parabooli nullkohtade arvutamine Ülesanded 1. Joonesta parabool graafik vahemikus . Lahenduskäik: Kui , siis Kui , siis Kui , siis Kui , siis
a =b b2 = a ! Negatiivsest arvust ei saa ruutjuurt võtta. Juure korrutis ab= a b Mittenegatiivsete arvude korrutise ruutjuur võrdub tegurite aritmeetilise ruutjuure korrutisega Jagatise ruutjuur a a = b b Positiivsete arvude jagatiste aritmeetiline ruutjuur võrdub nende arvude aritmeetiliste ruutjuurte jagatisega. Ruut võrrand Võrrandit ax²+bx+c=0, milles a, b ja c on antud arvud (a0) ja x on tundmatu, nimetatakse ruutvõrrandiks. ax² + bx + c = 0 a ruutliikme kordaja ax² ruutliige b lineaarliikme kordaja bx lineaarliige c vabaliige Valem. Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mida saab esitada kujul . Seejuures tähistavad a, b ja c reaalarvulisi kordajaid. Ruutvõrrandi lahendamiseks saab kasutada valemit .
2x2 8 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5 8 2x2 + 2 10 6,5 4 2,5 2 2,5 4 6,5 10 Punase joonega on märgitud ruutfunktsiooni y = 2x2 + 2 ja mustaga y = 2x2 graafik. Näeme, et ruutfunktsioonil y = 2x2 + 2 nullpunktid puuduvad, kuigi haripunkt on (0; 2). Ruutfunktsioonil ruutfunktsiooni y = 2x2 ühtivad nii nullpunkt kui ka haripunkt ehk selleks on punkt (0; 0). Kui ruutliikme kordaja oleks negatiivne, siis avaneks parabool allapoole. Vaatame edasi ülesandeid. Tööd asuvad aadressil www.kool.ee 1. Joonesta ühes ja samas teljestikus ruutfunktsioonide y = 2x2, y = 2x2 + 2 ja y = 2x2 2 graafikud. Leia iga graafiku abil vastava ruutfunktsiooni nullkohad ja haripunkti koordinaadid. Lahendus: Joonestame kõigepealt graafikud: y = 2x2 punane graafik;
Ruutvõrrandid ja nende lahendamine 2x2 - 8x + 35 = 0 2x2 ruutliige, millest 2 on ruutliikme kordaja -8x lineaarliige, millest -8 on lineaarliikme kordaja 35 vabaliige Mittetäielikud ruutvõrrandid: a) puudub vabaliige Üldkuju: ax2 + bx = 0 Lahendamine: 2x2 = - 4x Teisendada normaalkujule 2x2 + 4x = 0 | : 2 Kui võimalik, jagada läbi x2 kordajaga x2 + 2x = 0 Tuua x sulgude ette x (x + 2) = 0 See avaldis on võrdne nulliga,kui sulgude ees olev arv on 0 või
3. Võrrandid ja võrrandisüsteemid Lineaarvõrrand Muutujaga liikmed ühele, vabaliikmed teisele poole. Näide: 2(x+2) + 3 = 5x -2 -> 2x + 4 + 3 = 5x 1 -> -3x = -9|:(-3) -> x=3 Ruutvõrrand Erinevad lahendusvõtted: ax2 +bx+c=0 1) Klassikaline lahendivalem 2) Taandatud võrrandi lahendivalem x2+px+q=0 (ruutliikme kordaja peab olema a=1) 3) Viete'i teoreem (ruutliikme kordaja peab olema a=1) Ruutkolmliikme tegurdamine -> a(x-x1)(x-x2)=0 Näide: 2x2+5x-7=0 x1=1 x2=-3.5 2(x-1)(x+3,5)=0 Ärge unustage tegurdatud kujule ette lisada ruutliikme kordajat! Ruutvõrrandi graafiku parabooli haripunkti koordinaatide leidmine: xh=-b/2a VÕI xh=(x1+x2)/2
kordajaga ruutliige, teisel kohal lineaarliige ja kolmandal kohal vabaliige ning paremal pool 0. 1Mis on täielik ruutvõrrand? Täielik ruutvõttand on ruutvõrrand, kus on olemas ruutliige, lineaarliige, vabaliige ja a ei võrdu 0-ga. 1Mis on mitetäielik ruutvõrrnad? Kui puudub lineaarliige või vabaliige või mõlemad. 1Mis on taandatud ruutvõrrand? Taandatud ruutvõrrand on ruutvõrrand, mille ruutliikme kordaja on võrdne 1-ga, a=1 1Sõnasta taandatud ruutvõrrandi lahendite omadused. Viete'i valemid 1Mis on ringjoone puutuja? Ringjoone puutujaks nimetatakse sirget, millel on ringjoonega üks ühine punkt ehk puutepunkt, mis asub alati väljaspool ringjoont. Puutuja on alati risti raadiusega.
2 - 4 x > 2 2- x ( x + 3). Ülesanne 2 (II) Astme alus (2) on ühest suurem, ja eksponentfunktsiooni omaduse tõttu on see võrratus samaväärne võrratusega - 4 x > 2 - x( x + 3) x 2 - x - 2 > 0 Viimase ruutvõrratuse lahendamiseks leiame esmalt ruutvõrrandi x - x - 2 = 0 lahendid: 2 1 1 1 3 x= ± +2= ± x1 = - 1, x2 = 2. 2 4 2 2 Kuna ruutliikme kordaja on positiivne, avaneb vastav ruutparabool üles. Võrratuse x - x - 2 > 0 2 y y = x2 - x - 2 lahendihulgaks on funktsiooni y = x2 - x - 2 positiivsuspiirkond: X = (- ; - 1) (2; ). 2 x -1 Ülesanne 2 (III) Sama arvuhulk on ka esialgse eksponentvõrratuse lahendiks.
32. 16. 10. 06 Ruutfunktsioon y=ax2 ruutvõrrand. Ruutfunktsioon ja 33. 17. 10. 06 Ruutfunktsioon y=ax2+c 1) lk 34-35; ül 125-130 ruutvõrrand. Ruutliige lineaarliige, vabaliige. Ruutliikme kordaja ja 1) lk 42-44 , ül 154-156; Ruutfunktsioon ja 34. 18. 10. 06 Funktsioonid y=ax2+bx lineaarliikme kordaja. ruutvõrrand. Ruutfunktsioon ja Nullkohtade, haripunktide, 1) ül 128, 129, 131, 138, 161, 185 35. 19. 10. 06 ruutvõrrand. kordajate leidmine
korrutise nulliga võrdumise tingimuse või x +7x-4=0 täielik ruutjuure abil kordajad a=1, b=7, c=-4 2 NB kõiki ruutvõrrandeid saab lahendada x -9=0 mittetäielik lahendivalemi abil, kuid mittetäielike puhul kordajad a=1, b=0, c=-9 saab kiiremini vastava võtte kasutamisega 14.Taandatud ruutvõrrand - üldkuju Ül.1328 2 x +px+q=0 NB ruutliikme kordaja a=1; Taandada ruutvõrrand. 2 taandamata ruutvõrrandit saab teisendada 2)5t -25t+4=0 |:5 2 taandatuks, jagades mõlemaid pooli t -5t+0,8=0 2 ruutliikme kordajaga 3)0,5z -z+3=0|:0,5 2
Ülesanne 2 (3) Saadud võrrandid (1) ja (2) moodustavad jällegi mittelineaarse võrrandisüsteemi tundmatute x ja y määramiseks: 15( x + y ) = 4 xy, x - 3 y = 0. Teisest võrrandist avaldame tundmatu x: x - 3y = 0 x = 3y ja asendame esimesse võrrandisse: 15(3 y + y ) = 4 3 y y. Ülesanne 2 (4) Saadud ruutvõrrandi lahendamiseks avame sulud ja toome ruutliikme vasakule poole võrdusmärki: 15(3 y + y ) = 12 y 2 60 y - 12 y 2 = 0 12 y (5 - y ) = 0. Kuna viimases võrrandis võrdub korrutis nulliga, siis peab vähemalt üks teguritest olema null: 1) y = 0; 2) 5- y = 0 y = 5. Võrrandisüsteemi teisest võrrandist x - 3y = 0 Ülesanne 2 (5) Võrrandisüsteemi teisest võrrandist x - 3y = 0 leiame tundmatu x:
22.Ühtlaselt muutuva liikumise liikumisvõrrand ja graafik. Teades nihke sõltuvust ajast, on liikumisvõrrandit lihtne koostada. Näitab ju see võrrand keha koordinaadi sõltuvust ajast ja nagu ütleb seos, saame keha koordinaadi arvutada mis tahes ajahetke jaoks, liites algkoordinaadile selleks hetkeks sooritatud nihke pikkuse: x = x0 + s. Ruutfunktsiooni graafik on teatavasti parabool ja nii ongi ühtlaselt muutuva liikumise graafik parabooli kujuga. Sõltuvalt ruutliikme kordaja (kiirenduse) märgist on parabooli harud suunatud kas üles (a > 0) või alla (a < 0). 23.Vabalangemise kiirendus Kõik kehad, kui miski neid ei takista, langemad maapinna poole sõltumata nende massist või kujust ühesuguse kiirendusega 9,8 m/s2 (tegur g=10m/s2) ________________________________________________ 24.Missugune füüsikaline suurus iseloomustab kehade vastastikmõju? Jõud on kehale suunatud toime, mis võib mõjutada tema liikumise iseloomu või tema kuju 25
Diferentseeruv funktsioon on kasvav vahemikus, kus f ( x) 0 ja kahanev vahemikus, kus f ( x) 0 . Seega tuleb leida funktsiooni tuletis ning seejärel lahendada võrratused f ( x) 0 ja f ( x) 0 . Kuna on tegemist kuupfunktsiooniga, siis võrratused f ( x) 0 ja f ( x) 0 kujutavad ruutvõrratusi. Ruutvõrratuse lahendamiseks toimime järgmiselt: 1) leiame vastava ruutfunktsiooni nullkohad, st võrrandi f ' ( x) 0 lahendid; 2) arvestades ruutliikme kordaja märki ja leitud nullkohti skitseerime ruutfunktsiooni graafiku (parabooli); 3) leiame jooniselt ruutfunktsiooni positiivsus- või negatiivsuspiirkonna. 2) Etteantud lõigus funktsiooni suurima (vähima) väärtuse leidmiseks arvutame funktsiooni väärtused vastaval ekstreemumkohal, st f x max , kui küsitakse funktsiooni suurimat väärtust või f x min , kui küsitakse funktsiooni vähimat väärtust, ja lõigu otspunktides
a - b = ( x1 - x 2 ; y1 - y 2 ) y = ax 2 + bx + c 39. Vektori korrutamine arvuga Põhiparabool y=x 2 k a = ( kx; ky ) a? y=ax2 (ruutliikme kordaja) 40. Vektorite skalaarkorrutis c? y=x2+c (vabaliige) a b = x1 x 2 + y1 y 2 b? y=x 2+bx (lineaarliikme a b kordaja)
x 2 1,5 1 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2x2 8 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5 8 2x2 + 2 10 6,5 4 2,5 2 2,5 4 6,5 10 Punase joonega on märgitud ruutfunktsiooni y = 2x 2 + 2 ja mustaga y = 2x2 graafik. Näeme, et ruutfunktsioonil y = 2x2 + 2 nullpunktid puuduvad, kuigi haripunkt on (0; 2). Ruutfunktsioonil ruutfunktsiooni y = 2x2 ühtivad nii nullpunkt kui ka haripunkt ehk selleks on punkt (0; 0). Kui ruutliikme kordaja oleks negatiivne, siis avaneks parabool allapoole. Vaatame edasi ülesandeid. 1. Joonesta ühes ja samas teljestikus ruutfunktsioonide y = 2x 2, y = 2x2 + 2 ja y = 2x2 2 graafikud. Leia iga graafiku abil vastava ruutfunktsiooni nullkohad ja haripunkti koordinaadid. Lahendus: Joonestame kõigepealt graafikud: y = 2x2 punane graafik; y = 2x2 + 2 roheline graafik; y = 2x2 2 lilla graafik.
k x= tan t , (5) a mille korral k2 k a 2 x 2 + k 2 = a 2 2 tan 2 t + k 2 = k tan 2 t + 1 = . a cos t 2) a < 0, k > 0 , s.t. ruutliikme kordaja on negatiivne ja vabaliige on positiivne ning integraal (3) on avaldatav kujul Rx , k 2 -a 2 x 2 dx . (6) Juurest vabanemiseks kasutatakse muutuja vahetust k x= sin t , (7)
b. diagramm (b) lineaarne, c. diagramm (c) eksponentsiaalne 9. Regressioonanalüüsil saadi regressioonmudeliks y= - 7,8x2 + 4,5x - 2,1+. Järeldus: kui suuruse x kasvades suurus y kasvab, siis kasvamine on aeglustuv 10. Kuidas iseloomustada toodud regressioonijääkide diagrammi? Ei ole konstantne 11. Regressioonanalüüsil saadi regressioonmudeliks y= - 7,8x2 + 4,5x - 2,1. Järeldus: suuruse x kasvades suurus y kahaneb kiirenevalt. Ruutliikme kordaja on negatiivne, järelikult on allapoole avatud parabool. On kaks võimalust: kas aeglustuv kasvamine või kiirenev kahanemine. 12. Milliste märksõnadega võib iseloomustada toodud regressioonijääkide diagrammi? muutuv dispersioon, heteroskedastiivsus. 13. Analüütik uuris, kuidas sõltuvad ettevõtte poolt tehtud investeeringud INV ettevõtte turuväärtusest TV ja põhivarade väärtusest PV. Vastavaks regressioonmudeliks sai ta
x<-1 2 Lahend puudub. -1 < x < 1 3 Ruutvõrratus Ühe muutujaga ruutvõrratuse üldkuju on ax² + bx + c > 0 (a0 ja > võib olla ka <, või ). Ruutvõrratust saab lahendada graafiliselt, selle graafikuks on parabool. Sõltuvalt diskriminandist (D = b² - 4ac) ning ruutliikme kordajast (a) on paraboolil järgmised võimalikud asendid: a>0 a<0 D>0 D>0 a>0 a<0 D=0 D=0 a>0 a<0 D<0 D<0 Näide: 2x² - 5x + 3 > 0 (a=2>0, seega harud ülespoole) 2x² - 5x + 3 = 0
vabaliikmed paremale poole võrdusmärki; 2) jagada mõlemad pooled tundmatu kordajaga. 22 3.8 Ruutvõrrand Ruutvõrrandi üldkuju on ax 2 + bx + c = 0 , kus a ≠ 0 . Lahendite leidmiseks kasutatakse valemit −b ± b 2 − 4ac x= . 2a Erijuhul, kui ruutliikme kordaja on üks, saab nn. taandatud ruutvõrrandi x 2 + px + q = 0 lahendeid leida valemist 2 p p x = − ± −q . 2 2 Viète’i valemid. Taandatud ruutvõrrandi lahendid rahuldavad järgmisi seoseid: x1 + x2 = − p, x1 ⋅ x2 = q.
p ' a q % p0 , a < 0 , p0 > 0 , kus p on hind ja p0 piirhind (hind, mille korral nõutav kogus on 0). Leiame tulu- ja kasumi- funktsioonid üldkujul. Tulufunktsioon: R'qp asendame hinna vastava avaldisega R ' q (a q % p0) R ' a q 2 % p0 q . Lineaarse kulu- ja nõudlusfunktsiooni korral on tulufunktsioon ruutpolünoom, mille < ruutliikme ees olev kordaja on negatiivne (a < 0); < lineaarliikme ees olev kordaja on positiivne (p0 > 0). < vabaliige puudub (kui tootmismaht q on null, ei saada ka tulu). ©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Funktsioonid ja nende algebra 16 Sellise funktsiooni graafik on allapoole avanev parabool. Matetamaatikast on teada, et kui parabooli
ax 2 + bx + c > 0 või ax 2 + bx + c < 0 ( ka 0 või 0 ). Näiteks ruutvõrratuse ax 2 + bx + c > 0 lahendamine tähendab vastava ruutfunktsiooni y = ax 2 + bx + c positiivsuspiirkonna leidmist. Olgu selle funktsiooni nullkohad ehk ruutvõrrandi ax 2 + bx + c = 0 lahendid x1 ja x 2 . Esineda võivad järgmised kolm juhtu. I. D>0 (D=b 2 - 4ac ) . Ruutvõrrandil on kaks erinevat lahendit x1 ja x 2 . Sõltuvalt ruutliikme kordaja a märgist on võrratusel ax 2 + bx + c > 0 järgmised lahendid: 12 a >0 a <0 x x x 1 x 2 x 1 x 2 Lahendid: x < x1 x > x 2 . Lahendid: x1 < x < x 2
Näiteks ruutvõrratuse ax 2 bx c 0 lahendamine tähendab vastava ruutfunktsiooni y ax 2 bx c positiivsuspiirkonna leidmist. Olgu selle funktsiooni nullkohad ehk ruutvõrrandi ax 2 bx c 0 lahendid x1 ja x 2 . Esineda võivad järgmised kolm juhtu. I. D0 Db 2 4ac . Ruutvõrrandil on kaks erinevat lahendit x1 ja x 2 . Sõltuvalt ruutliikme kordaja a märgist on võrratusel ax 2 bx c 0 järgmised lahendid: 12 a0 a0 x x x 1 x 2 x 1 x 2
kus q on tootmismaht, cv on muutuvkulu ühiku kohta ja CF on püsikulu. Lineaarne nõudlusfunktsioon on kujul = + 0 ; < 0, 0 > 0 kus p on hind ja p0 on piirhind (hind, mille korral nõutav kogus on 0). Järgnevalt leiame tulu- ja kasumifunktsioonid üldkujul. Tulufunktsioon: = = + 0 = + Lineaarse kulu- ja nõudlusfunktsiooni korral on tulufunktsioon ruutpolünoom, mille o ruutliikme ees olev kordaja on negatiivne (a<0); o lineaarliikme ees olev kordaja on positiivne (p0>0); o vabaliige puudub (kui tootmismaht q on null, ei saada ka tulu). Sellise funktsiooni graafik on allapoole avanev parabool. Matemaatikast on teada, et kui parabooli võrrand on y=ax2+bx+c, siis parabooli tipu koordinaadi x-teljel saab leida valemist = - 2 . Seega tulufunktsiooni graafiku tipp asub kohal = - .
9.2 Integraal R(x, ax2 + bx + c)dx. Euleri asendused Olgu antud irratsionaalavldise integraal R x, ax2 + bx + c dx. (9.15) Sellist intgraali on alati v~oimalik leida Euleri asenduste abil. 9.2.1. Euleri esimene asendus Kui integraali (9.15) juurealuse avaldise ruutliikme kordaja a > 0, siis kasutatakse Euleri esi- mest asendust ax2 + bx + c = t - x a. (9.16) 2 2 2 T~ostes v~orduses (9.16) m~olemad pooled ruutu, saame ax + bx + c = t - 2 atx + ax , millest
See on abiks, kuna annab meile ka -iga liikme! Nii saame avaldisest võtta ilusti ruutjuurt . Seega tuleb juurimise jaoks leida -ile sulgudesse õige kaaslane, mis lahtikorruta- des annaks liikme . Tuletame meelde, et ruutliikme tegurdamine käib järgnevalt: Kui nüüd valime , ongi liikme ees soovitud kordaja See näeb välja juba peaaegu nagu meie algne võrrand . Ainsa vahena on ülemises valemis lihtsalt üks üleliigne liige ning liige on hoopis puudu. Seega peame algse ruutfunktsiooni kirjeldamiseks lihtsalt ruudust maha
annaabi.ee 
